Procesode variabilidadTcnicaestadstica para monitorear un proceso y verificar su estabilidad con cambiospequeos o imperceptibles que suceden en el proceso y afectan directamente alproducto.Todala variacin del objeto expuesto de los procesos de la fabricacin y de lamedida.Importanciade la variabilidadPorqueafecta al producto directamente, y en segundo plano a la economia de laempresa.EjemplosoPor ejemplo, cuando tomamos datos de lamuestra sobre la salida de un proceso, tal como dimensiones, grueso del xido,o resistencia crtico, observamos que todos los valores no son iguales. Esto dalugar a una coleccin de valores observados distribuidos sobre un cierto valorde la localizacin.oEn una empresa se fabrican pantalones demezclilla, pero esos pantalones ninguno tiene los mismos defectos, unos salencon error de costura, otros con error de talla, etc.oPor ejemplo, aunque las personas intentenhacer un buen trabajo, si un proceso cuenta con maquinaria mal calibrada, losmateriales son deficientes y las personas no cuentan con el entrenamientodebido, ser muy difcil reducir la variabilidad comn, cambiar al personal noser la solucin.Principiode la variabilidad del procesoEnel estudio de la variabilidad, consciente en que, aunque los dimetros de lasdistintas piezas sean distintos, si se mantiene constante el sistema de causasque producen la variabilidad en las entradas, las frecuencias con que seobservan los distintos valores de los dimetros tienden a estabilizarse en unaforma de distribucin predecible.Noexisten dos artculos que tengan las mismas medidasEjemplos:oEnuna empresa se fabrican tornillos de ciertas medidas, pero la maquinaria estfallando y no todas las piezas de la misma medida salen igual.oEnun restaurante se hace el mismo men todos los das, pero no siempre sabe igualo es la misma presentacin que el dia anterior ya que los empleados cambian deturno.oEnuna fabrica textil se desea tener el mismo color de pantalones, pero como lamateria prima no se obtiene de la misma fuente los colores varian.Tiposde variabilidadVariabilidad aleatoria.-Sedeben a una amplia variedad de causas que estn presentes en forma permanente yson de difcil identificacin. Cada una de estas causas es un componente muypequeo en la variabilidad total del proceso y la suma de su contribucin esmedible. Son inherentes al proceso y poco controlables por los operadores delos procesos. Su eliminacin o reduccin requiere de una decisin gerencialpara la asignacin de recursos para mejorar el sistema. (Remplazo de equipos,nuevas tecnologas, etc.)EjemplosoPor ejemplo, una pieza puede ser el resultadode una secuencia de operaciones de laminado realizadas en diferentes mquinas.El profesional dedicado a la calidad debera investigar si alguna de lasmquinas est generando ms variaciones que otra en una determinada dimensin.Sin embargo, examinar la variacin de las piezas no es suficiente. Se necesitandiagramas de control para determinar si el proceso se ubica dentro del controlestadstico.oPues son adaptaciones, variabilidad podemosver el caso del oso, una variedad de oso emigro al polo norte y por el ambientelos osos claros eran los que sobrevivan porque se camuflageaban con elambiente y cazaban mas animales, as que d el color ms claro paso a blanco,ya que fue una adaptacin sea se una variabilidad gentica, ya que los genesque determinaban el color blanco fueron los que se fueron pasando a lasgeneraciones posteriores.oTambin est el caso de las polillas de Inglaterra,son las polillas blancas pardas y negras, en principio las blancas prevalecan,pero con la revolucin industrial las negras sobrevivieron para acostumbrarseal ambiente que estaba lleno de holln del carbn ya si se camuflageaban deaves depredadoras, aunando alas blancas, reduciendo su nmero, cambiando lafrecuencia gentica de la poblacin original.Variabilidad Identificable.-se pueden individualizar y controlar hasta un mnimo valor econmico. Se diceque un proceso est bajo control estadstico cuando su variabilidad essolamente el resultado de causas aleatorias.oEjemplosoPor ejemplo, la variabilidad en la dimensiny resistencia de un ladrillo artesanal es mayor que en uno industrial.oPor ejemplo, la fabricacin de comida de lacalle a comida de un restaurante vara tan solo en el precio, como tambin enla calidad de los insumos.oPor ejemplo en la industria textil hay muchadiferencia el lugar de elaboracin como podramos dar el ejemplo de Mxico a unpas de Centroamrica varia por la calidad del producto y el costo del recursohumano.Causasde la variacin.-se dividen en dosCausas comunes (aleatorias):Seentienden aquellas fuentes de variacin en un proceso que estn bajo controlestadstico. Esto significa que todas las mediciones se encuentran dentro delos lmites de variacin normal, Las causas comunes de variacin se comportancomo un sistema constante de causas totalmente aleatorias. Conocer que unsistema solo est variando por causas comunes es normalmente simple a travs detcnicas estadsticas.Ejemplos:oPor ejemplo, conducimos un automvil y elvolante vibra cuando viajamos. La vibracin es una causa comn de variacin, elsistema funciona bajo ciertas variaciones que son comunes a su funcionamiento,variaciones tolerables.oPor ejemplo conducimos un automvil ysufrimos una pinchadura de una llanta, el vehculo comienza a bajar en zig-zagy de repente todo se hace peligroso: el sistema se volvi inestable y est apunto de colapsar.oUno ejemplos de causa comunes serian losmateriales recibidos inadecuados a los requisitos, condiciones de trabajoincomodas, y la mala supervisin.Las causas especiales de variacin(asignables o identificables): Frecuentemente sonllamadas causas asignables. Se refiere a cualquier factor o factores que causanvariacin en relacin con una operacin especfica o en un momento particularen el tiempo.Solosi todas las causas especiales de variacin son identificadas y corregidas,ellas continuarn afectando la salida del proceso de una manera impredecible.Si hay causas especiales de variacin, la salida del proceso no es estable atravs del tiempo y por supuesto tampoco es predecible.EjemplosoMateria prima descompuestaoRotura de alguna pieza interna de una mquinaoFuga de gas de algn ducto en el talleroOperario accidentadoFactorescomunes que afectan a la variabilidad.-oLasllamadas 5 msoConforme al presente mtodo seprocede a analizar el problema y a definir las posibles causas, generalmenteeste proceso se realiza con el grupo de trabajo encargado de la resolucin delproblema.oPara la aplicacin de este mtodo se sigue unorden para considerar las causas de los problemas, partiendo de la premisa queestas, estn agrupadas segn cinco criterios y por ello se denomina de las 5 M Mano de Obra.-Notoda la gente tiene la misma habilidad ni entrenamiento, descuidos u olvidos dela gente, (experiencia, Conocimientos, estado fsico, emocional, etc.). Mtodos.-Conformeva aumentando la demanda es necesario cambiar a mtodos ms efectivos y rpidos, (Inspector, equipo de medicin). Materiales.-Notodos los materiales son idnticos, (la materia prima es el producto terminadode otros por tanto tiene variabilidad).Medio Ambiente.-Elclima para ir a laborar, (Temperatura, luz, humedad, etc.). Mquinas.-Desajustesy desgastes de las maquinas, (antigedad, Desgaste, Estado de la maquinaria,fluctuaciones elctricas, etc.).Ejemplos:oMedir las caractersticas claves de losinsumos.oLas condiciones de operacin de los equipos ylas variables de salida de los diferentes subprocesos.oQue no toda la gente cumple responsabilidadde ir todos los das, esto retrasa la produccin al no haber una mano de obrasegura.Relacinentre variabilidad y calidad.-Laprimera tarea que debemos hacer es producir mercanca de calidad para que loscompradores compren y sigan comprando.Lavariacin en calidad de una unidad de producto a otra se debe generalmente a ungran nmero de causas, por lo que ningn producto o servicio es exactamenteigual a otro aunque sean realizados por la misma compaa, maquinaria y/opersonas.Y el producto entre menos variabilidadtenga, ms calidad hay.EjemplosoEl dimetro de una pieza de metal o el tiempode ciclo de un proceso de servicio.oEl porcentaje de productos con defectos o laproporcin de clientes insatisfechos.oPor ejemplo en una refaccionaria se vendieron30 bateras de esas 30 se registro el 30% de insatisfaccin los cuales dijeronque las diferentes causas que tuvieron con las bateras lo que quiere decir queno se tuvo el mismo problema en todas las bateras.Usosy aplicaciones de la variabilidadoOperaciones del proceso.oControl de calidad.oRecurso humano.oInsumos (materia prima).oProveedores.oAlta direccin de la empresa.Sistemaideal de control de variabilidadUnsistema ideal de control de un proceso pretende conocer con una ciertaexactitud cmo cada variable del proceso afecta cada caracterstica de calidadde un determinado producto o servicio, adems de que le permite, tener laposibilidad de manipular o ajustar esas variables y ser capaces de predecir conexactitud los cambios en las caractersticas de calidad con motivo de losajustes realizados en las variables del proceso.Unavez que se sabe que el producto o servicio responde a las necesidades delcliente la preocupacin bsica es tener el proceso bajo control. En este punto,en realidad, lo que se busca es reducir la variabilidad que caracteriza alproceso en anlisis. En ocasiones, es necesario usar los datos sobre lavariabilidad del producto como una medida indirecta de la capacidad del procesoya que en trminos generales el producto habla del proceso.Ejemplo:oHay equipos que traen incorporado un sistemapara CEP con displays de las grficas de control, y existen interfaces pararecolectar datos que utilizan un paradigma de rojo para parar y verde para seguir, demanera tal de alertar a los operadores sobre situaciones de bajo control o fuera de control.

Inferencia EstadisticaEscrito porzuliixchavarria15-04-2010Comentarios(0)DefinicionesEspacio de lamuestra:() es el conjunto de los posibles valores de un experimentoEvento:(A) es elconjunto de valores tomados por el experimento dentro del espacio de lamuestra. El evento complementario esAc AVariablealeatoria:x(Ai)es una funcin definida en el espacio deNposibles eventosAi.Funcin dedistribucin o probabilidad acumulada:F,es la probabilidad de que cuandose mide un valor de la variable aleatoriax, ste sea menor o igual ax.Fes una funcin mono tnicamente creciente.Six es,entoncesF()=0,F()=1.Probabilidaddiscreta:Pr, de una variable discretar,es la frecuencia conque ocurrer.Densidadde probabilidad, o funcin de frecuencia, o funcin diferencial deprobabilidad:P(x), de una variable continuax,es P(x)=dF/dx, de maneraque la probabilidad de quextome un valor entrexyx+dxseaP(x)dxAxiomasde probabilidad (Kolmogorov):0 P(A) 1P()= 1,P()= 0 siAB A B=P(AUB) = P(A) + P(B)Ejemplo:clculo de la probabilidad de que en una tirada de una moneda, salga o guila osol.AS= ,P(AUS)= P(A) + P(S)=+ = 1Independencia:siP(A|B)= P(A)P(AB)=P(A)P(B)Ejemplo:clculo de la probabilidad de que en dos tiradas de una moneda, salgan dos guilasP(AA)= = Probabilidadcondicional:P(A|B)= P(AB) / P(B)Ejemplo:clculo de la probabilidad de que en dos tiradas de una moneda, dada una primeraguila, salga otraguilaP(A|A)= P(AA)/P(A)= / = Lainferencia estadistica, es el proceso por el cual se deducen (infieren)propiedades o caractersticas de una poblacin a partir de una muestrasignificativa. Uno de los aspectos principales de la inferencia es laestimacin de parmetros estadsticos. Por ejemplo, para averiguar la media, ,de las estaturas de todos los soldados de un reemplazo, se extrae una muestra yse obtiene su media, 0. La media de la muestra (media muestral), 0, es unestimador de la media poblacional, . Si el proceso de muestreo est bienrealizado (es decir, la muestra tiene el tamao adecuado y ha sido seleccionadaaleatoriamente), entonces el valor de , desconocido, puede ser inferido apartir de 0.Lainferencia siempre se realiza en trminos aproximados y declarando un ciertonivel de confianza. Por ejemplo, si en una muestra de n = 500 soldados seobtiene una estatura media 0 = 172 cm, se puede llegar a una conclusin delsiguiente tipo: la estatura media, , de todos los soldados del reemplazo estcomprendida entre 171 cm y 173 cm, y esta afirmacin se realiza con un nivel deconfianza de un 90%. (Esto quiere decir que se acertar en el 90% de losestudios realizados en las mismas condiciones que ste y en el 10% restante secometer error.)Si se quiere mejorar el nivel de confianza, se deber aumentar el tamao de lamuestra, o bien disminuir la precisin de la estimacin dando un tramo msamplio que el formado por el de extremos 171, 173. Recprocamente, si se quiereaumentar la precisin en la estimacin disminuyendo el tamao del intervalo,entonces hay que aumentar el tamao de la muestra o bien consentir un nivel deconfianza menor.

Finalmente, si se quiere mejorar tanto la precisin como el ,hay que tomar una muestra suficientemente grande.Ejemplo:Hacemos una encuesta entre los clientesde una tienda para preguntarles su opinin sobre cambios generales quepretendemos hacer en diversas reas de la tienda. Despus de realizados loscambios, queremos hacer una segunda encuesta para saber cmo se modific laopinin sobre los cambios una vez hechos. Nos interesa laDIFERENCIA.*Revisamos varias de nuestras ventaspara ver los problemas que se presenten en la facturacin de las mismas. Estolo realizamos antes de imponer algunas mejoras en el procedimiento defacturacin. Tenemos la intencin de realizar la misma investigacin despus dehechos los cambios para medir laDIFERENCIA.*Queremos establecer estndares parael desempeo de los trabajadores a fin de poder ver como es el desempeoactual. De lo que encontremos se van a derivar varias acciones:-se va a otorgar un estmulo para los trabajadores,-se va a establecer una tabla comparativa de desempeo entre lasdiferentes unidades de la empresa y en base a ella se va a otorgar un estmuloa los gerentes,-se va a comparar el desempeo contra el desempeo en los ltimos tresperodos anteriores.Para establecer los estndares se vana seleccionar varios operarios de cada uno de los dos turnosy se va a medir su rendimiento durantetres das especficos de una semana. Estamos interesados en conocer unVALORgeneral.En los tres ejemplos anteriores setienen muestras obtenidas, quiz al azar, y se trata de conocer valores de lapoblacin en base a los de la muestra.*La decisin de si a los clientes lesgustaron los cambios la vamos a tomar sobre los valores en la muestra.*La mejora en las facturas la vamos aconstatar en base a las que observamos.*El estndar de desempeo lo vamos afijar en base a los trabajadores estudiados.Pero en los tres casos vamos aextenderel valor de la muestra o las muestras a la poblacin. Este proceso se llamainferencia.Errores en lainferencia y qu hace la estadstica con ellosEn todo casoel proceso deinferencia est sujeto a errores. No existe magia alguna que haga que elvalor de la muestra coincida con el de la poblacin y si afirmsemos locontrario seramos unos charlatanes.La diferencia entre los valores de lamuestra y los de la poblacin crea incertidumbre acerca de los valores mustrales.Se necesita una manera de establecer las limitaciones del proceso deinferencia.Los procedimientos estadsticos noeliminan los errores en la inferencia. Lo que hacen es que los valores de loserrores sean cuantificables mediante afirmaciones d probabilidad. Se dice quelos procedimientos estadsticos sonmediblesporque es posible medir (entrminos de probabilidad) la magnitud del error que cometen.En el ejemplo de los clientes delestablecimiento, si obtuvimos una muestra estadstica, podemos decir no slocul es el porcentaje de clientes indiferente a los cambios (por ejemplo 20%,valor en la muestra) sino, adems, cul es la probabilidad de que el porcentajereal sea menor que alguna cantidad (por ejemplo la probabilidad de que seamenor que 25%) o mayor que alguna otra cantidad (por ejemplo mayor que 10%) oque se encuentre entre dos valores (entre 18% y 23%, por ejemplo).Afirmaciones como las anteriores sebasan en el hecho de que por haber seleccionado al azar, hay un mecanismoobjetivo de generacin de la incertidumbre y mediante deducciones matemticases posible encontrar las probabilidades mencionadas. Si la seleccin se hubiesehecho ``a juicio'', dependera del buen juicio y no de las matemticas eltamao del error en la inferencia. La medicin de la incertidumbre sera muycomplicada y nada confiable.En la mayora de las veces que hacemosinferencia, las probabilidades las calculamos con el modelo normal. En algunoscasos este modelo normal es el modelo exacto para la inferencia, pero muyfrecuentemente es slo un modelo aproximado.Estimacin y Pruebade HiptesisEn la estadstica hay dos formasprincipales de inferir: La estimacin parte desde suponer un modelo estadsticopara la distribucin de la caracterstica que nos interesa en la poblacin.Esta caracterstica es, generalmente, numrica y distinguimos a las variablesen continuas y discretas.Si nos interesa el rendimiento oeficiencia de los trabajadores, como en el tercer ejemplo, tendremos el tiempode realizacin de una tarea especfica (variable continua).En el segundo ejemplo nos interesarel nmero y tipo de errores cometidos en la factura (variable discreta).En el primero nos interesa la opininque mediremos como favorable o desfavorable (variable discreta = nmero depersonas a favor o en contra).Si tiene Ud. inclinaciones mspoticas, recuerde a la reina de las hadas y su problema de enamorarse delprimero que vea al despertar; ah tenemos el mismo tipo de situacin: el amadoser guapo o no guapo, y el parmetro desconocido es la ``densidad'' de guaposalrededor de la reina dormida.I EstimacinPara estimar partimos de un modeloprobabilstico de cmo se distribuye la caracterstica en la poblacin o decmo se realiz el muestreo. Este modelo incluye cantidades que desconocemos yque llamamosparmetrosPor ejemplo, en la encuesta para saberla opinin de los clientes, el nmero de clientes a favor es un parmetro, y laprobabilidad de que obtengamos al azar a una persona que est a favor es laproporcin de personas a favor en la poblacin (que desconocemos).Esto se parece al lo de la reina delas hadas.Para los tiempos de realizacin de latarea, en el tercer ejemplo, podemos suponer una distribucin normal con unamedia y una desviacin estndar desconocidas; nuestro inters se centrara enel valor del promedio de la poblacin.De la muestra estimamos los valores delos parmetros en la poblacin y esto lo hacemos: *mediante un valor fijo yentonces decimos que tenemos unestimador puntualo, *mediante unintervalo de posibles valores y le llamamosestimacin por intervaloointervalode confianza.Los mtodos deestimacin puntualpuedentener varias caractersticas estadsticas entre las que sobresalen:1.Insesgamiento:Que el valor delparmetro coincida con el valor promedio del estimador. Esta propiedad latienen la mayora de los estimadores usados en la prctica.2.Consistencia: Que el valor de lamuestra se acerque al valor del parmetro al aumentar el tamaode la muestra.3.Suficiencia: Que el estimadoruse toda la informacin que la muestra contiene respecto al parmetro de inters.4.Eficiencia:Que el estimadortenga menor variabilidMuestreoEscrito porzuliixchavarria15-04-2010Comentarios(0)Ya sabemos queuna poblacin es el conjunto de individuos sobre los que hacemos ciertoestudio, y que una muestra es un subconjunto de la poblacin. Es evidente quelos resultados de una determinada encuesta tendrn un mayor grado de fiabilidadsi dicha encuesta se realiza sobre la poblacin completa.Sinembargo, en la mayora de las ocasiones esto no es posible, debido a mltiplesrazones:*Imposibilidad material(Hacer unaencuesta a los casi 41 millones de espaoles es imposible, hacer un estudiosobre la fecha de caducidad de un producto. Si lo hacemos con todos losproductos qu vendemos luego?)*Imposibilidad temporal(Hacer unestudio sobre la duracin de una bombilla. Cunto debemos esperar para saberlo?)Portanto, es habitual que tengamos que manejarnos con muestras, de modo que esimportante saber elegir bien una muestra de la poblacin, una muestra querepresente bien a dicha poblacin.Hay muchas maneras de elegir una muestra de unapoblacin.Antes depasar a analizar dichas formas de extraccin de muestras, lo que si hemos dedejar claro es que todas las muestras han de cumplir varias condicionesindispensables.Esevidente que para que el estudio a realizar sea fiable, hay que cuidar mucho laeleccin de la muestra, para que represente en la medida de lo posible a lapoblacin de la que se extrae. Si la muestra est mal elegida, diremos queno esrepresentativa.En estecaso, se pueden producir errores imprevistos e incontrolados. Dichos errores sedenominansesgosy diremos quela muestraest sesgada.Una delas condiciones para que una muestra sea representativa es que elmuestreo(o sistema para elegir una muestra de unapoblacin) que se haga seaaleatorio, es decir, todas las personas de la poblacin tengan las mismas posibilidadesde ser elegidas, mientras que si la eleccin de la muestra es subjetiva, esprobable que resulte sesgada.Lasdistintas maneras de elegir una muestra de una poblacin se denominanmuestreos. Bsicamente hay dos tipos de muestreos:1.Muestreo no probabilstico:El investigador no elige la muestra al azar,sino mediante determinados criterios subjetivos.2.Muestreoprobabilstico:Cuando lamuestra se elige al azar. En este caso podemos distinguirvarios tipos:a)Muestreo aleatorio simple:Aquel en el que cada individuo de la poblacintiene las mismas posibilidades de salir en la muestra.b)Muestreo sistemtico:En el que se elige un individuo al azar y a partir de l, a intervalosconstantes, se eligen los dems hasta completar la muestra.c)Muestreo estratificado:En este muestreo se divide la poblacin enclases o estratos y se escoge, aleatoriamente, un nmero de individuos de cadaestrato proporcional al nmero de componentes de cada estrato.d)Muestreo por conglomerados:Si no disponemos de la relacin de los elementos de la poblacin, o delos posibles estratos, no podemos aplicar los muestreos anteriores.Aqu entra el llamado muestreo por conglomerados, donde en lugar de elegirindividuos directamente, se eligen unidades ms amplias donde se clasifican loselementos de la poblacin, llamados conglomerados. En cada etapa del muestreoen lugar de seleccionar elementos al azar seleccionamos conglomerados.Losconglomerados deben ser tan heterogneos como la poblacin a estudiar, para quela represente bien. Luego se elegirn algunos de los conglomerados al azar, ydentro de estos, analizar todos sus elementos o tomar una muestra aleatoriasimple.No debemos confundir estrato y conglomerado. Un estrato es homogneo (sus elementos tienen las mismascaractersticas), mientras que un conglomerado es heterogneo (debe representarbien a la poblacin).Veamosla diferencia de estos muestreos mediante un ejemplo:Imaginemosque hemos de recoger una muestra de 20 alumnos de entre los de un instituto de600.Ejemplo:-Muestreo aleatorio simple:Elegiramosun alumno al azar (probabilidad de elegirlo 1600. Lo devolvemos a la poblaciny se elige otro (probabilidad de elegirlo 1600), y as hasta 20. Notemos que sino devolvisemos al alumno, entonces, la probabilidad de escoger al 2 alumnosera 1599, y ya no todos tendran la misma probabilidad de ser elegidos. Elproblema es que entonces permitimos que se puedan repetir individuos.-Muestreo sistemtico:Como hemos deelegir 20 alumnos de 600, es decir, 1 de cada 30, se procede as: Se ordenanlos alumnos y se numeran, se elige uno al azar, por ejemplo el alumno 27, yluego los dems se eligen a partir de este a intervalos de 30 alumnos.Escogeramos por tanto a los alumnos:27,57,87,117,147,177,207,237,267,297,327,357,387,417,447,477,507,537,567,597y el alumno 627 ya es otra vez el 27.-Muestreoestratificado:Si queremos que la muestra sea representativa,lo mejor ser conocer cuntos alumnos de cada curso hay, es decir, si hay 200alumnos de 3 ESO, 150 de 4 ESO, 150 de 1 de Bachillerato y 100 de 2 de Bachillerato, procederamos: Como de 600 en total hemos de elegir a 20, de 200de 3 de ESO hemos de elegir x:20/600=x/200x=4000/600 = 6_67 alumnos de 3(Utilizandola regla de tres)De igualmanera podemos calcular los alumnos correspondientes a los dems cursos:20/600 =y/150y= 3000/600 = 5 alumnos de 420/600 =z/150z= 3000/600 = 5 alumnos de 120/600 =t/100t= 2000/600= 3_3 alumnos de 2De modoque en nuestra muestra de 20, 7 alumnos son de 3, 5 de 4, 5 de 1 y 3 de 2.Para la eleccin de cada alumno dentro de cada curso, utilizamos el muestreoaleatorio simple.-Muestreo por conglomerados: Para ver este muestreo, hemos de cambiar el ejemplo.Supongamosque queremos extraer una muestra aleatoria de los estudiantes universitariosdel pas.Necesitaramosuna lista con todos ellos para poder realizar algn muestreo del tipo de los 3anteriores, lo cual es muy difcil de conseguir. Sin embargo, los estudiantes estnclasificados por Universidades,Facultadesy Clases.Podemosseleccionar en una primera etapa, algunas Universidades, despus algunasfacultades al azar, dentro de las facultades algunas clases y dentro de lasclases, algunos estudiantes por muestreo aleatorio simple. Los conglomerados encada etapa seran las diferentes Universidades, las diferentes facultades y losdiferentes clases.Comovemos los conglomerados son unidades amplias y heterogneas.Distribucin muestralde mediasSitenemos una poblacin de parmetros desconocidosy, y tomamos una muestra, podemos calcular la media muestral,x1, que tendra cierta relacin con.Podramostomar otra muestra, de igual tamao, y calcular de nuevo su media muestralx2, que tambin estar relacionada con.Assucesivamente, considerando varias muestras y haciendo las medias mustralesrespectivas, tenemos una serie de medias, relacionadas de alguna manera concmo?.De lasiguiente forma:Propiedad:Si la poblacin sigue una distribucin normalN(,), dondeyson desconocidos, si elegimos todas las muestras de cierto tamao (n) ,de forma que sean representativas, entonces:a) Lamedia de las medias mustrales de todas las muestras posibles, es igual a lamedia poblacional, es decir:x= (x1+x2+.. .+xk)/k=b) La desviacintpica de las medias mustrales posibles es:sx=/ndondees la desviacin tpica poblacional y n es el tamao de las muestras.Conclusin:Las medias de las muestras de tamao n extradas de una poblacin de parmetrosy, siguen una distribucin:XN(,/n)siempreque dichas muestras tengan un tamaon30.Distribucin muestralde proporcionesNos planteamosahora determinar qu proporcin de una poblacin posee un cierto atributo, por ejemplosi es fumador o no fumador, si tiene ordenador o no, si tiene alergia o no, etc...El estudio de este tipo de proporciones es equiparable al de una distribucinbinomial (donde slo hay dos posibilidades).Si la proporcinxito es p y la de fracaso q, y se toma una muestra de la poblacin de tamaon, al igual que en el caso anterior, para cada muestra tendremos una proporcinmuestral que denotaremos por py una desviacintpica muestral que denotaremos porsp.Entonces,utilizando razonamientos similares a los del apartado anterior, se verifica quep=p, ysp=/pq/npor tanto:Conclusin:Las proporciones mustrales de tamaon30, extradas de una poblacin en la que la probabilidadde xito es p, se ajustan a una normalN(p;pq/n)Ejemplo:Una fbrica de pasteles fabrica, en su produccinhabitual, un 3% de pasteles defectuosos.Uncliente recibe un pedido de 500 pasteles de la fbrica.a)Probabilidad de que encuentre ms del 4% de pasteles defectuosos.b)Probabilidad de que encuentre menos de un 1% de pasteles defectuosos.a) Eneste caso xito= pastel defectuoso, y la proporcin poblacional de xito esdep=3/100 tanto,q=97/100. La muestra que recibe el cliente es de tamaon=500.Portanto, las proporciones mustrales siguen una distribucin:pN(3/100;(3/10097/100)/500)=N(0_03; 0_076)puesto que las muestras tienen tamao mayor que 30.Laprobabilidad pedida es que la proporcin de pasteles defectuosos en la muestrasea mayor del 4%, es decir:p(p0_04) =p(Z0.040.03/0.0076)=p(Z1.32) = 0.0934b) Eneste caso esp(p0.01) =p(Z0.010.03/0.0076)=p(Z 2_63) = 0.0043Intervalos De ConfianzaEscrito porzuliixchavarria15-04-2010Comentarios(0)Estimacin puntual y por intervaloLas medias o desviacionesestndar calculadas de una muestra se denominan ESTADSTICOS, podran serconsideradas como un punto estimado de la media y desviacin estndar real depoblacin o de los PARAMETROS.Qu pasa si no deseamos unaestimacin puntual como media basada en una muestra, qu otra cosa podramosobtener como margen, algn tipo de error?

Un Intervalo de ConfianzaESTIMADORPUNTUAL:Utiliza un nmero nico o valor para localizar una estimacin delparmetro.ESTIMADOR PORINTERVALO DE CONFIANZA: Denota un rango dentro del cual se puede encontrarel parmetro y el nivel de confianza que el intervalo contiene al parmetro.LIMITES DECONFIANZA:Son los lmites del intervalo de confianza inferior (LIC) y superior(LSC), se determinan sumando y restando a la media de la muestraun cierto nmero Z (dependiendo del nivel o coeficiente deconfianza) de errores estndar de la media.

INTERPRETACINDEL INTERVALO DE CONFIANZA: Tener un 95% de confianza en que la mediapoblacional real y desconocida se encuentra entre los valores LIC y LSC.NIVELDE SIGNIFICANCIA = 1- INTERVALO DE CONFIANZA = ERROR TIPO 1 = ALFACmo obtenemos un intervalo deconfianza?Estimacin puntual+error deestimacinDe dnde viene el error deestimacin?Desv.estndar X multiplicador de nivel de confianza deseado Z/2Ejemplo 1Si lamedia de la muestra es 100 y la desviacin estndar es 10, el intervalo deconfianza al 95% donde se encuentra la media para una distribucin normal es:100+(10) X 1.96 =>(80.4, 119.6)1.96 =Z0.025El 95%de Nivel de Confianza significa que slo tenemos un 5% de oportunidad deobtener un punto fuera de ese intervalo.Estoes el5% total, o 2.5% mayor o menor. Sivamos a la tabla Zveremos quepara un rea de 0.025, corresponde a una Z de1.960.C. I.Multiplicador Z/2992.576951.960901.645851.439801.282Paratamaos de muestra>30, oconocida usar la distribucinNormalParamuestras de menor tamao, odesconocida usar ladistribucintElancho del intervalo de confianza decrece con la raiz cuadrada del tamao de lamuestra.Ejemplo 2Dadaslas siguientes resistencias a la tensin: 28.7, 27.9, 29.2 y 26.5 psiEstimarla media puntualXmedia = 28.08con S = 1.02Estimarel intervalo de confianza para un nivel de confianza del 95% (t = 3.182 conn-1=3 grados de libertad)Xmedia3.182*S/n = 28.083.182*1.02/2=(26.46, 29.70)FORMULAS PARAESTIMAR LOS INTERVALOS DE CONFIANZA:DescripcinIntervalo de confianza

Estimacin decon sigma conocida, muestra grande n>30

Estimacin decon sigma desconocida, muestra grande n>30, se toma la desv. Est. de la muestra S

Estimacin decon muestras pequeas, n < 30 y sigma desconocida

Estimacin de la

Estimacin de la proporcin

Tamao de muestra

Para estimar n en base a un error mximo

Para estimar n en base a un error mximoSi se especifica un intervalo total de error, el errormximo es la mitad del intervaloUtilizarque es peor caso

Comportamientode los intervalos de confianza.El modelo deintervalo de confianza obtenido para la media muestral proporciona caractersticasque se comparten con otros tipos de intervalos para otros parmetros:Se escoge unnivel de confianza 1- que determinar el error de estimacin. Se desea siempretener un nivel de confianza alto y un error de estimacin pequeo. El nivel deconfianza nos proporciona seguridad en que nuestro mtodo arroja respuestascorrectas. Un error de estimacin pequeo nos dice que el valor del parmetroestimado se parece mucho al obtenido.En el caso dela media poblacional, el error de estimacin esn/z / 2 por lohacemos ms pequeo el error si: El punto crtico se hace menor, lo que llevaconsigo ms peso de las colas y menos del intervalo central y por tanto unnivel de confianza menor.Si ladesviacin poblacional es menor. Es ms fcil estimar si la desviacin espequea.Si se aumentael tamao muestral. Para obtener un error mitad se necesita cuadriplicar eltamao muestral.Intervalo deconfianza para la media muestral con desviacin conocida.Para determinarun intervalo de confianza de la media muestral recordaremos que el estadstico:X/ ntiene unadistribucinnormal estndar.Por lo tantodebemos localizar un intervalo centrado en 0, que tenga una probabilidad 1-.Por tanto dejar dos colasde probabilidad /2, de modo que lo quebuscamos es simplemente unvalor crticoz /2.Y por lo tanto:Un intervalo de confianza de nivel 1 - para la media poblacional conocida la desviacin poblacional es:(xz /2 )/nDebido a que los niveles de confianza estndares son 90%, 95% y 99%conviene recordar:Nivel de confianzarea de la colaValor z /290%0,051,64595%0,0251,96099%0,0052,576Teorema de Limite CentralEscrito porzuliixchavarria15-04-2010Comentarios(0)El Teorema Central de Lmite no es unnico teorema, sino que consiste en un conjunto de resultados acerca delcomportamiento de la distribucin de la suma (o promedio) de variablesaleatorias.Con Teorema Central del Lmite nos referiremosa todo teorema en el que se arma, bajo ciertas hiptesis, que la distribucinde la suma de un nmero muy grande de variables aleatorias se aproxima a unadistribucin normal.El trmino Central, debido a Poly(1920), significa fundamental, o de importancia central, este describe el rolque cumple este teorema en la teora de probabilidades. Su importancia radicaen que este conjunto de teoremas desvelan las razones por las cuales, en muchoscampos de aplicacin, se encuentran en todo momento distribuciones normales, ocasi normales.Un ejemplo tpico de este hecho es elcaso de los errores de medida. Con respecto a este tema, Laplace propuso unahiptesis que parece ser plausible.Considera el error total como una sumade numerosos errores elementales muy pequeos debidos a causas independientes.Es casi indudable que varias causasindependientes o casi independientes contribuyen al error total. As porejemplo, en las observaciones astronmicas, pequeas variaciones detemperatura, corrientes irregulares de aire, vibraciones de edificios y hastael estado de los rganos de los sentidos de un observador, pueden considerarsecomo algunas pocas de dichas causas numerosas.El Teorema Central del Lmite es obrade muchos grandes matemticos.Dentro de la historia del TeoremaCentral del Lmite Laplace ocupa un lugar fundamental: a pesar de que nuncaenunci formalmente este resultado, ni lo demostr rigurosamente, a l ledebemos este importante descubrimiento.ElTeorema Central del Lmitedice que si tenemos un gruponumeroso de variables independientes y todas ellas siguen el mismo modelo dedistribucin (cualquiera que ste sea), la suma de ellas se distribuye segnunadistribucin normal.Ejemplo: la variable"tirar una moneda al aire" sigue la distribucin de Bernouilli. Silanzamos la moneda al aire 50 veces, la suma de estas 50 variables (cada unaindependiente entre si) se distribuye segn una distribucin normal.Este teorema se aplica tanto a suma de variables discretas como devariables continuas.Los parmetros de la distribucin normal son:Media:n * m(media de la variable individual multiplicada porel nmero de variables independientes)Varianza:n * s2(varianza de la variable individualmultiplicada por el nmero de variables individuales.Ejemplo:Se lanza una moneda al aire 100 veces, si sale cara le damos el valor 1y si sale cruz el valor 0. Cada lanzamiento es una variable independiente quese distribuye segn el modelo de Bernouilli, con media 0,5 y varianza 0,25.Calcular la probabilidad de que en estos 100 lanzamientos salgan ms de 60caras.La variable suma de estas 100 variables independientes se distribuye,por tanto, segn una distribucin normal.Media = 100 * 0,5 = 50Varianza = 100 * 0,25 = 25Para ver la probabilidad de que salgan ms de 60 caras calculamos lavariable normal tipificada equivalente:(*) 5 es la raiz cuadrada de 25, o sea la desviacin tpica de estadistribucinPor lo tanto:P (X > 60) = P (Y > 2,0) = 1- P(Y < 2,0) = 1 - 0,9772 = 0,0228Es decir, la probabilidad de que al tirar 100 veces la moneda salgan msde 60 caras es tan slo del 2,28%.Ejemplo 2La renta media de los habitantes de un pas se distribuye uniformementeentre 4,0 millones ptas. y 10,0 millones ptas. Calcular la probabilidad de queal seleccionar al azar a 100 personas la suma de sus rentas supere los 725millones ptas.Cada renta personal es una variable independiente que se ditribuye segnuna funcin uniforme. Por ello, a la suma de las rentas de 100 personas se lepuede aplicar elTeorema Central del Lmite.Lamediayvarianzade cada variable individual es:m= (4 + 10 ) / 2 = 7s2= (10 - 4)^2 / 12 =3Por tanto, la suma de las 100 variables se distribuye segn una normalcuyamediayvarianzason:Media:n * m= 100 * 7 = 700Varianza:n * s2= 100 * 3 = 300Para calcular la probabilidad de que la suma de las rentas sea superiora 725 millones ptas, comenzamos por calcular el valor equivalente de lavariable normal tipificada:Luego:P (X > 725) = P (Y > 1,44) = 1 -P (Y < 1,44) = 1 - 0,9251 = 0,0749Es decir, la probabilidad de que la suma de las rentas de 100 personasseleccionadas al azar supere los 725 millones de pesetas es tan slo del 7,49%.

EjemploEn una asignatura del colegio la probabilidad de que te saquen a lapizarra en cada clase es del 10%. A lo largo del ao tienes 100 clases de esaasignatura. Cul es la probabilidad de tener que salir a la pizarra ms de 15veces?Se vuelve a aplicar elTeorema Central del Lmite.Salir a la pizarra es una variable independiente que sigue el modelo dedistribucin de Bernouilli:"Salir a la pizarra", le damos el valor 1 y tiene unaprobabilidad del 0,10"No salir a la pizarra", le damos el valor 0 y tiene unaprobabilidad del 0,9Lamediay lavarianzade cada variable independientes es:m= 0,10s2= 0,10 * 0,90 = 0,09Por tanto, la suma de las 100 variables se distribuye segn una normalcuyamediayvarianzason:Media:n * m= 100 * 0,10 = 10Varianza:n * s2= 100 * 0,09 = 9Para calcular la probabilidad de salir a la pizarra ms de 15 veces,calculamos el valor equivalente de la variable normal tipificada:Luego:P (X > 15) = P (Y > 1,67) = 1 - P(Y < 1,67) = 1 - 0,9525 = 0,0475Es decir, la probabilidad de tener que salir ms de 15 veces a lapizarra a lo largo del curso es tan slo del 4,75%."VARIABILIDAD DEL PROCESO"Escrito poroszielmedinael 10-05-2010Comentarios(3)VARIABILIDAD DEL PROCESO:1.- DEFINICION: son cambios inevitables que modifican el proceso (ya sean pequeos o casi imperceptibles) que afectan posteriormente al producto qu se produce o al servicio que se ofrece.El enemigo de todo proceso es la variacin". Un administrador exitoso es aquel que logra controlarla. La teora de la variabilidad es una de las cuatro que el Dr. Deming propuso a los japoneses dentro de su filosofa del Conocimiento Profundo, otra teora que complementa la anterior es la "teora de la causalidad", en donde plantea que todo efecto tiene una causa, todo defecto tambin. El control de la variacin, solo puede darse en sus causas, principalmente en el control de su causa raz.La problemtica encontrada es que se acepta que hay problemas con la variacin, pero no hay inters en estudiar el porqu se produce y ni cmo medir esa variabilidad.La desviacin estndar es muy importante pues es una de las formas ms sencillas de controlar la variabilidad, llmese presupuestos, ventas, productos, tiempos de atencin y para todo el nuevo conjunto de indicadores que estn de moda.

Por medio de la desviacin estndar se pueden analizar encuestas a clientes y determinar que tan concluyentes son las respuestas, se puede inferir la probabilidad de que se alcancen las metas, que los productos estn fuera de especificacin, que un empleado llegue tarde, que un estudiante no logre la nota mnima etc.2.- IMPORTANCIA DE LA VARIABILIDAD: es de mucha importancia, quiz mas de la que nos podemos imaginar, pues la variabilidad afecta al producto. La variabilidad es requerida para modificar el proceso cuando se desea obtener resultados distintos ya sea para mejorar o corregir un proceso que requiera ajuste.Kaouru Ishikawa deca que el 85% de los problemas en un proceso son responsabilidad de la gerencia, el comentario no fue bien recibido. Su afirmacin se basa en que las variaciones de un proceso generalmente se atribuyen a causas normales, segn su capacidad diseada, la cual es responsabilidad de la gerencia. El operario acta dentro de lo que el proceso le permite.

Esto lleva a plantear uno de los mejores beneficios en el control de la variacin: definir cundo sta es propia del proceso, algo normal, originada por causas normales o comunes y cuando obedece a causas anormales o externas. Si se entiende el concepto de variabilidad y se mide por medio de la desviacin estndar se pueden establecer los lmites normales de variacin. (Usualmente ms menos 3 desviaciones estndar), una vez fijados esos lmites se puede entregar con toda tranquilidad el proceso a manos de los subalternos, para que ellos se auto controlen, tal y como recomienda la filosofa del "empowerment". Si los colaboradores no entienden cmo controlar la variabilidad de un proceso, no hay procedimiento o instruccin que lo salve, aunque estn certificados. De nada sirven los premios y los castigos si un proceso est variando dentro de sus causas normales. El premio o el castigo se convierten en una causa anormal, ajena al proceso, en donde luego que pasa su efecto, se regresa al estado anterior.3.- PRINCIPIO DE VARIABILIDAD DEL PROCESO: en unproceso de produccin, el principio de variabilidad es inobjetable, a pesar de que en este proceso se lleve a cabo la misma operacin, el mismo mtodo de trabajo, la misma herramienta, la misma maquinaria e inclusive el mismo operador nunca existirn dos artculos iguales. Tal vez a simple vista sean iguales, incluso al sacar la mediciones de cada pieza, peo no son completamente iguales, aunque para el caso sean tiles ambas. Esto se debe a la variabilidad, es imprescindible la ocurrencia de que exista variabilidad, pero si puede ser controlada, tal vez no de forma perfecta pero si lo suficiente para cumplir con las expectativas requeridas. La estadstica como la vida, nos ha demostrado que no hay dos cosas exactamente iguales, inclusive los dos ojos de una persona o bien dos cabellos de una misma cabeza.Pero adems nos ha demostrado la estadstica que las variaciones de un producto o un proceso pueden medirse con lo cual podemos determinar el comportamiento del proceso o el lote de productos o los tiempos de atencin en el servicio.Las mediciones obtenidas de un proceso o un lote de productos varan segn una figura bien definida, que en procesos normales tiene forma de campana, ya que generalmente de esas mediciones un buen numero de ellas tiende a agruparse alrededor de su valor promedio con lo cual la forma de la curva puede ser calculada. Esto es lo que se conoce como una distribucin normal en donde la frecuencia de las mediciones va disminuyendo hacia los extremos conforme se va alejando del promedio.Adicionalmente existen otra serie de estadsticos que podran utilizarse para el control de la variacin, el promedio correctamente utilizado es importante, al igual la moda y la mediana, as como el rango, pero no hay que ser tan ambiciosos. Hoy da cuando la mayora de las empresas se administran por promedios, se recuerda la ancdota del personaje aqul que se ahog en un ro con un promedio de metro y medio de profundidad.4.- TIPOS DE VARIABILIDAD: es comn que la produccin de un producto cambie constantemente, pero existen dos tipos de variabilidad que se perciben en esta serie de cambios, la variabilidad identificable y la aleatoria.* Identificable:esta originada por factores que son identificables; esta variabilidad no presenta un comportamiento estadstico y, por tanto, no son previsibles las salidas. La organizacin debe identificar las estas causas y eliminarlas como paso previo a poner el proceso bajo control; ejemplos de estas causas son roturas de herramientas, averas de maquinas, errores humanos, cambios err6neos de material, fallos en los sistemas de control, etc.* Aleatoria: est originada por factoresaleatorios (desgaste depiezas,mantenimiento, personas, equipos de medida, etc.); en este caso la variabilidad tiene un comportamiento estadstico y es predecible, y se puede ejercer un control estadstico sobre el mismo.5.- CAUSAS DE VARIACION: las causas por las que en una operacin se presenta la variabilidad son:Medio ambiente.- pues este puede tergiversar el tiempo y la calidad del producto o servicio.Cambio de operacin.- este tipo de factores provocan variabilidad, pues en ocasiones el trabajador debe adaptarse a esta forma de trabajo o en ocasiones no le agrado o simplemente le parece incomodo. Esto retrasa la produccin.6.- TIPOS DE CAUSAS DE OPERACIN: estas son las causas comunes y las especiales.Las causas comunes son:El punto crtico al controlar procesos es comprender si la variacin es debida a causas comunes o especiales. Esto es crtico porque la estrategia para tratar las causas comunes es diferente que la usada para tratar causas especiales. El problema fundamental es que la mayora de las veces se trata toda variacin como si sta fuera especial. Si hace esto, solo provocar una mayor cantidad de variacin, defectos y errores.Por causas comunes de variacin se entienden aquellas fuentes de variacin en un proceso que estn bajo control estadstico. Esto significa que todas las mediciones se encuentran dentro de los lmites de variacin normal, los cuales se determinan sumando y restando tres desviaciones estndar al promedio de esas mediciones.Las causas comunes de variacin se comportan como un sistema constante de causas totalmente aleatorias. An cuando los valores individualmente medidos son todos diferentes, como grupo, ellos tienden a formar un patrn que puede describirse como una distribucin.Cuando en un sistema slo existen causas comunes de variacin, el proceso forma una distribucin que es estable a travs del tiempo y adems predecible.Conocer que un sistema solo est variando por causas comunes es normalmente simple a travs de tcnicas estadsticas. Sin embargo, identificar esas causas requiere un anlisis ms detallado por parte de quienes operan el sistema. La solucin o eliminacin de estas causas comunes normalmente requiere la intervencin de la gerencia para tomar acciones sobre el sistema o proceso como un todo, ya que las variaciones comunes son propias o inherentes a cada proceso.Las causas especiales son:Las causas especiales de variacin frecuentemente son llamadas causas asignables. Se refiere a cualquier factor o factores que causan variacin en relacin con una operacin especfica o en un momento particular en el tiempo.Solo si todas las causas especiales de variacin son identificadas y corregidas, ellas continuarn afectando la salida del proceso de una manera impredecible. Si hay causas especiales de variacin, la salida del proceso no es estable a travs del tiempo y por supuesto tampoco es predecible.Cuando en el proceso existen causas especiales de variacin, la distribucin del proceso toma cualquier forma y es por lo tanto impredecible.

En general se acepta que el 85% de la variacin es originada por causas comunes y el 15% por causas especiales. Un antdoto para reducir la variacin es la normalizacin o documentacin del proceso como requiere ISO 9000.7.- FACTORES COMUNES QUE AFECTAN LA VARIABILIDAD: son principalmente conocemos como las 5ms:-materia prima: si no se tiene un buen insumo de materia prima, por obvias razones la calidad del producto menguara. materiales: los materiales o ingredientes extras tambin, al igual que con la materia prima deben de ser de primer nivel si es que se desea una produccin de buena calidad. mtodos: los mtodos de trabajo afectan incluso en la variabilidad que puede ocasionar la operacin de elaboracin de un producto. medio ambiente: si el ambiente de trabajo no es el idneo reduce la capacidad de produccin de los obreros.mano de obra: este factor es muy importante, pues si no se cumple con una mano de obra de calidad el producto, aunque tenga un excelente procedimiento de trabajo no ser de buena calidad.8.- RELACION ENTRE VARIABILIDAD Y CALIDAD: la calidad de un producto depende mucho de la variabilidad. Se establecen lmites de variabilidad, esto para evitar deformas, defectos o diferencias entre un producto y otro. Por lo que podramos concluir que a menor variabilidad tendremos una mejor calidad en el producto o servicio ofrecido.9.- USOS Y APLICACIONES D LA VARIABILIDAD: los usos y aplicaciones que podemos darle a la variabilidad son meramente productivos, pues el hecho de que hagamos alguna especie de cambio para mejorar el proceso de la produccin ser posteriormente obtener resultados favorables en el producto o servicio. No basta con solo mejorar el proceso, pues eso no nos garantiza que el producto ser mejor, sino que nos daremos cuenta de que los cambios realizados en el proceso son verdaderamente positivos cuando obtengamos resultados de la misma ndole en el producto, resultados mejores en el producto.10.- SISTEMA IDEAL DE CONTROL DE VARIABILIDAD:Un sistema ideal de control de variabilidad pretende conocer con una cierta exactitud cmo cada variable del proceso afecta cada caracterstica de calidad de un determinado producto o servicio, adems de que le permite, tener la posibilidad de manipular o ajustar esas variables y ser capaces de predecir con exactitud los cambios en las caractersticas de calidad con motivo de los ajustes realizados en las variables del proceso.La variable de un proceso ocasionar cambios en la calidad del proceso, para esto es este sistema, para lograr lo ms cercano a la perfeccin del producto mediante sistemas y mtodos de trabajo que proporcionen adelantos productivos a la calidad.Una vez que se sabe que el producto o servicio responde a las necesidades del cliente la preocupacin bsica es tener el proceso bajo control. En este punto, en realidad, lo que se busca es reducir la variabilidad que caracteriza al proceso en anlisis. En ocasiones, es necesario usar los datos sobre la variabilidad del producto como una medida indirecta de la capacidad del proceso ya que en trminos generales el producto habla del proceso.ComentariosMuy buena explicacion, gracias a este articulo ahora comprendo mejor la importancia de la variabilidad dentro de la industria.Escrito poranonimoel 02-05-2012Excelente artculo En el trabajo fabricamos un producto que compite con los mejores del mundo pero existen " puntitos negros en el arroz " que nos dan en el traste con algunos clientes. su causa VARIACIN EN EL PROCESO Saludos y gracias. JR.Escrito poranonimoel 29-04-2012