problemas resueltos-cuerpos rigidos

8/17/2019 Problemas Resueltos-cuerpos Rigidos

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Solución de ejercicios | chancas Ordoñez yoel

2.1.-se tiene las magnitudes lFAl=60N Y lFBl=80N, el Angulo ∝ es de 45 grados. Determine gráficamente la magnitud de la suma de las fuerzas F =FA +FB y el Angulo entre FB y F

Aplicando la ley de los cosenos

135 REMPLAZANDO VALORES 60 80 60∗80135 : F= 129.6NY el Angulo entre Y

Aplicando la ley de senos

129.6135

60∝

∝ 19 2.2.- se tiene las magnitudes lFAl=60N Y lFBl=80N, el Angulo ∝ es de 45 grados. Determine

gráficamente la magnitud de la fuerza F =2FA -3FB y el Angulo entre FB y F

FA = 60 45 60 45 FB = 80 Sumando ambas fuerzas para determinar la fuerza F

F = 60 45 80 60 45 Sacando su módulo de la fuerza F

60 45 80 60 45 = 176.84N2.3.- se tiene las magnitudes /F A / =100lb y /F B /= 140lb el Angulo es de 40º use la trigonometría

para determinar la magnitud de las fuerzas F = F A + F B y el Angulo entre F B y F

Aplicando la ley de los cosenos.

100 140 2100140 140 226 . Y el angulo entre FB y F

Donde:


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U= 100lb

U+V=F; 100/senα= 226/sen140

Dónde: α=16.5 Rpta.

2.4.- se tiene las magnitudes /F A / =60N y /F B /= 80N. el angulo es de 45º . use el trigonometría para determinar la magnitud de la fuerza F= 2F A – 3F B y ei angulo entre F B y F

FA= 60cos45°i+60sen45°j

FB= 80i

F= 2FB- 3FB ; F= 2(60cos45°I + 60sen45°j)- 3(80i); F= (120cos45°-240)I +120sen45°j

Sacando su magnitud tenemos:

lFl= 12045°240 12045° 176.84 El ángulo entre FB y F

176.84/sen135=60/senα

Dónde: α=13.9°

2.9 Un motor de cohete ejerce una fuerza hacia arriba de magnitud 4 MN (meganewtons) sobre la

plataforma de pruebas. Si la fuerza se descompone en componentes vectoriales paralelas a las

barras AB y CD, ¿cuáles son las magnitudes de las componentes?

Solución;


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8.00

5.67

2.10 Los vectores Ra y Rb tienen magnitudes Ra=30 m y Rb =40 m. Determine la magnitud de su

suma, Ra + Rb

(a) si Ra y Rb tienen la misma dirección,

(b) si Ra y Rb son perpendiculares.

Solución:

a)

30m

40m

R=30+40 R=70m

b)

3 0 40 2∗ 40∗ 30 90

5 0


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2.11 Un tanque de almacenamiento esférico está soportado por cables. El torque está sometido a

tres fuerzas: las fuerzas Y F ejercidas por los cables el peso W. El peso del tanque es 600 lb. La

suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre el tanque es igual a cero. Determine las magnitudes

de F B' (a) gráficamente (b) usando la trigonometría.

Solución:a)

b)

20 20

20 20 600

319. .25

2.12La cuerdá ABC ejerce fuerzas F BA F BC sobre la polea en B. Sus magnitudes son IF BAI = IF BeI = 800 N. Determine IFBA FBeI, (a) gráficamente (b) con trigonometría.

a)

√ 800 800 2∗800∗80070

917.7

2.13 Dos tractores remolcan una unidad habitacional hacia una nueva localidad en la base

McMurdo de la Antártica (se muestra una vista aérea. Los cables son horizontales). La suma de las

fuerzas F A Y F B ejercidas sobre la unidad es paralela a la línea L, y │F A│= 1000 lb. Determine│F B│y │F B + F A│, (a) gráficamente y (b) usando la trigonometría.


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SOLUCION.

a)

Solución gráfica:

b) Solución trigonométrica:

180°80° ⇒ 100° 1000

30°

50° ⇒ − 100050°

30° 1532.09

100030°

100° ⇒

−

1000100°

30° 1969.62

2.14 Un topógrafo determina que la distancia horizontal del punto A al B de la figura es de 400 m y

que la distancia horizontal de A a C es de 600 m. determine la magnitud del vector horizontal r BC de

B a C y el ángulo α, (a) gráficamente y (b) usando la trigonometría.

a)

Solucióntrigonométrica:

400 600 240060040°


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390.25 390.2540°

400 ⇒ −

40040°390.25 41.2°

41.2°20° ⇒ 21.2° 2.15 El vector r va al punto A de la figura al punto medio del segmento definido por los puntos B y

C. Demuestre que:

12 .

……….. .1 … … … … . . . 2 Remplazamos la Ec. (2) en Ec. (1)

12

2.16 Esbozando los vectores, explique por qué:

SOLUCION.

, , [, , , , ] , , [ , , ] [ , , ] [ , , , , ]


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2.17 Se muestran las coordenadas x y y de los puntos B Y

C del velero.

(a) Determine un vector unitario paralelo al cable A eque vaya

De A a

(b) Determine un vector unitario paralelo al cable que vayade B a C.

A= (9,1.2) m

B= (0,0.8) m

C= (5.3, 12) m

Uac =

||

rAC = rc – ra = ( -3.7 i + 10.8 j )

UAC =−.. ..

UAC = -0.3 i + 0.95j

UAB = .+.√ .+. UAB = 0.04i + 0.08j

2.19.- Considere el vector fuerza F = 3i - 4j (kN) mostrado. Determine un vector unitario e que

tenga la misma dirección que F.

F = [3i-4j] kN


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UF =

UF = 0.6i + 0.8j Rpta

2.19.- El vector de posición que va del punto A al punto B es r = -8i + 6j (pies).(a) Determine el vector unitario que apunta de A a B.

(b) Determine el vector unitario que apunta de B a A.

A B

RAB = [-8i+6j] pies

UAB = [ −+

√ −+] UAB = -0.18i+ 0.14j Rpta.

UBA = [−+√ +] UBA =

+√ +

UBA = 0.18i + 0.14j Rpta.

2.20.- Dos automóviles, A y B, se encuentran en una pista circular de 1000pies de radio. La

distancia entre los dos automóviles, medida a lo largo de la pista, es de 2000 pies. ¿Cuál es el vector

de posición que va del automóvil A al automóvil B según el sistema coordenado que se muestra?

L = ∅ ∗ 2000 = ∗1000

2 ° COMVIRTIENDO A RADIANES:

2 ° ∗ R 1 1 5 °


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RAB=1000 1000 21000∗1000 115° RAB = 1687 m Rpta

2.21: Si 4 . 5 y 2 2 , ¿cuál es la magnitud de la fuerza 6 4?SOLUCION:

4 . 5 2 2 6 4

6 4 . 5 42 2 (6 27) 8 8 [ 2 35]

2.22: dos vectores perpendiculares U y V se encuentran en el plano . El vector 6 8 y|| 20 ¿Cuáles son las componentes escalares de V?SOLUCION:

6 8 || 2 0 ||

+

2.23: un pez ejerce una fuerza F de200 sobre la vara de pescar. Exprese F en términos decomponentes escalares.

20060 100 20060 173.21

{1173,21}


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2.24: se ejerce una fuerza F de 60 para meter un cajón en un camión. Exprese F en función decomponentes escalares.

6020 56.38 6020 20.52 {56.3820.52}

2.25 un motor de cohete ejerce una fuerza F de 40kN. Exprese F en función de componentes

escalares.

Fx = 40° cos (70°)i =13,68kN

Fy = 40° sen (70°)j =37,60kN

En función a sus componentes

F ={ } F ={13,69 37,60 }

2.26 Se muestran las coordenadas de los puntos A y B de una armadura. Exprese el vector de

posición de A y B en función de sus componentes escalares.


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SOLUCION

6 --------------------------- B

2 ---- -----

A

1 4

rAB = (XB – XA)i+( YB -YA)j

rAB = (4-1)j+ (6-2)j

rAB = (3i+4j)N

2.27 El vector de posición del punto A al punto B de la figura es rAB = 12i - 16j

(a) ¿Cuál es la distancia del punto A al punto B?

(b) ¿Cuál es el vector de posición del punto B al punto A?


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r AB = (12i – 16j )ma = AB

PORCION DE B A A

r AB

B

a)

Distancia de A B

| | 12 16 √144256 | | √ 40020 b)

r AB = (-12i + 16j)m

2.28 (a) Exprese el vector de posición del punto A al punto B de la figura en función de componentes

escalares.

(b) Exprese el vector de posición del punto B al punto en función de componentes escalares. c) Use

los resultados de las partes (a) y (b) para determinar la distancia del punto A al punto C.


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SOLUCION:

a)

50--------------------- B

35 -------- A

50 pul 98

rAB = (XB – XA)i+( YB -YA)j

rAB = (98-50)j+ (50-35)j

rAB = (38i+15j)pulg

b)

55---------C------------

50----A--- B

45 98

rBC = (XC – XB)i+( YC -YA)j

rBC = (45-98)j+ (55-50)j

rBC = -53i+50


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b)

| | 40.35 || 72.86 | | 40.85 72.86 240.8572.86 ∗ 67° | | 66

2.33. Se muestra las coor denadas “x” y “y” de los puntos A, B y C del velero.

a)

Determine un vector unitario paralelo al cable AC que vaya de A a C.

b)

Determine un vector unitario paralelo al cable BC que vaya de B a C.

Solución al problema a)

S=

-

= (5.3i, 12j) – (9i, 1.2j) = (-3.7i , 10.8j)

e =

= −.+.−.+ .

= −.√ . +.

√ . Rpta.

Solucion al problema b)

= (5.3i, 12j) – (0i, 0.8j) = (5.3i, 11.2j)

= .+..+.

43°

64°

21°A

BC 50j

15j

53i

38i


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= .√ . +.

√ . Rpta.

2.34. Considere el vector fuerza F= 3i – 4j (KN) mostrado. Determine el vector unitario e que ten

Ga la misma dirección que F.

e =

||

e=−

+−

e = + Rpta.2. 35. El vector de posion que va del punto A al punto B es r = -8i + 6j (pies)

a. Determine el vector unitario que apunta de A a B.b.

Determine el vector unitario que apunta de B a A.

Solución a)

= || = −+−+ =

− +

Rpta.

= 8i – 6j = −+− = - Rpta.

2.36. dos automóviles, A y b, se encuentran en una pista circular de 1000 pies de radio. La distancia

entre los dos automóviles, medida a lo largo de la pista, es de 2000 pies . cual es el vector posición

que va del automóvil A al automóvil B según el sistema coordenado que se muesta.

Solución.

L = Θr = θ = 2 α = − = 89 =

d = 22.4719 pie = 1000i + 1000j + 0k


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2.37 Se encuentra que la longitud de la línea OA es de 1500 metros y que la longitud de la línea OB

es de 2000 metros.

(a) Exprese el vector de posición de A a B en función de sus componentes escalares.

(b)Use el resultado de la parte (a) para determinar la distancia de A a B.

r OA = 1500 cos 60i + 1500 sin 60j

r OA =750i +1299j m

Los puntos de A es (750, 1299) (m)

r OB i + 20 j m

r OB = 1732i + 1000j m

Los puntos de B es (1732, 1000)

a)El vector unitario desde A y B es

r AB = (x B _ x A )i +(y B - y A )j

r AB = 982i -299j m

b) el vector unitario e AB es:

|| 982 299

1026.6

2.38 La distancia del Sol (S) a Mercurio (M) es de 57 x 106 km, la distancia del Sol a Venus (V) es de x km y la distancia del Sol a la Tierra (E) es de 150 x 106 km. Suponga que los planetas están

localizados en el plano x-y.

(a) Determine las componentes del vector de posición r M del Sol a Mercurio, del vector de posiciónr y del Sol a Venus y del vector de posición r E del Sol a la Tierra.

(b) Use los resultados de la parte (a) para determinar la distancia de la Tierra a Mercurio y la

distancia de la Tierra a Venus.

=(−)

10810401081040 15010201501020 15010 10810 18410 15010 5710 16010


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2.39 Una cuerda ejerce las fuerzas FA Y FB sobre una polea. Sus magnitudes son IF Al = IF Bl = 80

lb. ¿Cuál es la magnitud de la suma vectorial de las fuerzas?

||40º ||90 8040º8090º131.4 131.4

2.40 La cuerda ABC ejerce las fuerzas F BA Y F BC sobre la polea en B mostrada. Sus magnitudes son

IF BA I = IF BC I = 920N. Determine la magnitud de la suma vectorial de las fuerzas descomponiendolas fuerzas en sus componentes, y compare su respuesta con la del problema 2.12.

F BC = F(cos 20i + sin 20j)

F BA = F(-j)

F BC + F BA= ( Fcos 20i + (sin 20-1))j

(920 N)2 = F 2 (cos2 20° + [sin 20° -1]2 ) F = 802 N

2.41. Las magnitudes de las fuerzas mostradas son F 1=IFzl = F3 = 5 KN. ¿Cuál es la magnitud de

la suma vectorial de las tres fuerzas?


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F =Fx + FY

Fx = (F1 – F3 =cos 30 + F2 cos 45) i

FY= (-F2 sen 45 – F3 sen 30)

FX= (4.20 I – 6.03j) KN

2.42. Las cuatro fuerzas concurrentes mostradas tienen una suma vectorial igual a cero. Si IFBI =

800 lb, IFcl = 1000lb Y IFDI = 900 lIJ, ¿cuál es la magnitud de FA y el ángulo α?

Solución:

∑ F=0 ∑ FX=0 ∑ FX= -800 cos70º + 1000 cos30º+900 cos 20º


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- FA cos α FA cos α=1438, 13…….. ( α )

∑ FY=0

∑ FY= -900 sen90º - FA sen α + 800 sen 70º + 1000 sen30º

FA sen

α=943.94…………. (β

.. .. .. 33.28

FA × sen (33.28) = 943.94 FA=.

. FA = 1720.22lb

2.43. El empuje total ejercido sobre el impulsor por los motores principales de un cohete es de 200

000 lb Y es paralelo al eje y. Cada uno de los dos pequeños motores "vernier" ejerce un empuje de

5000 lb en las direcciones mostradas. Determine la magnitud y dirección de la fuerza total ejercida

por los motores sobre el impulsor.

Solución:

∑FX = 500 sen 30º - 500 sen 15º

∑FY= 200000 + 500 cos 30º + 500 sen 15º

F= FX + FY

F= (120.59 i + 200562.42j) lb F= √ 120.59 200562.42 F=200562.45lb


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2.44. Las magnitudes de las fuerzas que actúan sobre el soporte son IF1I = IF2 I = 100 lb. El

soporte fallará si la magnitud de la fuerza total que actúa sobre él excede de 150 lb. Determine el

intervalo de valores aceptables para el ángulo α.

Solución:

FR=√ 2 150= 100 + 100 - 2( 100 ) cos α 22500=2 ( 100 ) cos α -1/8= cos α α= 97.19

2.45) Tres fuerzas actúan sobre la esfera mostrada. La magnitud de FB es de 60 lb. La suma

vectorial de las tres fuerzas es igual 2.4 ¿Cuáles son las magnitudes de FA YFe?

:∑ 0 ∑ 0 .30° > . 30° ∑ 0 30° 0 > 30° > ° Calculando la fuerza C

° 1 2 0


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Reemplazando en la ecuación 1:

30° 120 30° 103,92

2.46) Cuatro fuerzas actúan sobre una viga. La suma vectorial de las fuerzas es igual a cero.|| 10 || 5 Determine las magnitudes de y .∑ 0 ∑ 0

30° > 30° … … . . . 1 0 30° 0 > 30° 510Calculando la fuerza ° 10

En la ecuación 1: 10 30° 8.66

2.47) Seis fuerzas actúan sobre una viga que forma parte de la estructura de un edificio. La suma

vectorial de las fuerzas es igual a cero.|| || 5, || 4 || 2. Determinelas magnitudes de || ||.

SOLUCION;

DATOS:

|| || 5, || 4 || 2


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0 0 40° 50° 40° 70° 0

2 40° 50° 4 40° 70° 0

50° 70° 1,53……..1

0

70° 90° 40° 50° 0 70° 4 90° 2 40° 50° 5 5 0

70° 50° 6,14 … … … 2 Sumando la ecuación 1 y 2:

50° 70° 1,53 70° 50° 6,14 Calculando la fuerza ,° 10,41 3,37

2.48) El peso total de un hombre y su paracaídas es La fuerza D de arrastre es

|| 230, Perpendicular a la fuerza de elevación. Si la suma vectorial de las tres fuerzas es iguala cero, ¿cuáles son las magnitudes de y D?

SOLUCION:

0


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∑ 0 20° 60° 0 ∑ 0 70° 20° 230 0 70° 20° 230

Igualando o reemplazando1 en 2: °° 70° 20° 230 20°70° 70° 20° 230

20° 70° 20° 230 20° 70° 20° 230 ° °+ °

2301,28 179,69 230 179.69 20°

70° 179.30

2.49 Dos cables AB y CD se extienden desde la estructura de lanzamiento de un cohete hasta el suelo. El cable AB ejerce-una fuerza de 10 000 lb sobre la torre y el cable CD ejerce una fuerza de

5000 lb.(a) Usando el sistema coordenado que se muestra, exprese cada una de las dos fuerzas ejercidas

sobre la torre por los cables en función de componentes escalares.

(b) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza total ejercida por los dos cables sobre la estructura?

6427.87 8927.87

7660.12 4330.12


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8927.87

11990.56

11990.56 8927.87 √ 223480391.9 1494.26

2.50 Los cables A, B C ayudan a soportar una columna de una estructura. Las magnitudes de las

fuerzas ejercidas por los cables son iguales: IFAI= IFBI IFe!. La magnitud de la suma vectorial de

las tres fuerzas es de 200 kN. ¿Qué valor tiene IFAl?

41.55 41.55 ∅ 41.55 ∅


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∅ ∅ = . =. = . =.|| 27.7 62.3 68.2

2.51 La tensión en el cable A C del velero mostrado es de 300lb. La suma vectorial de las fuerzas

ejercidas sobre la parte superior del mástil C por el cable A C y el cable BC del velero está dirigida

hacia abajo.

(a) ¿Cuál es la tensión en el cable BC?

(b) ¿Cuál es la fuerza vertical total que los dos cables ejercen sobre el mástil?

β) = 120.85.30 121.35.399

11.25.3 10.83.7 64. 67 77. 8


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F

38º 25º

T BC T AC

9 0

90 →

→

3000.42

0.22

157.14

38.25

90 →

0.61

3000.42

435.71

2.52 La estructura mostrada forma parte de una armadura que soporta el techo de un edificio. Los

miembros AB, AC y AD ejercen fuerzas FAB, FAC YFAD sobre la junta A. IFABI = 4 kN. Si la suma

vectorial de las tres fuerzas es igual a cero, ¿cuáles son las magnitudes de FAC y FAD?


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75.96 66.43

14.04 26.57

56.31

33.69

T BC

470.35

33.69

4.25 33.69 3.53 4.25 142.4 2.6

53. El vector de posición r va del punto A mostrado a un punto sobre la línea recta entre B y C.

Su magnitud es [r] = pies. Exprese r en términos de sus componentes escalares.


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TENEMOS EL PUNTO “N”: (9; 7)

DESCONPONIENDO: EN X: (9i – 3i) = 6i

EN Y: (7j – 5j) = 2j Entonces r = 6i + 2j

2.54. Sea r el vector de posición que va del punto de la figura al punto situado a una distancia de

metros del punto A sobre la línea recta que conecta A con B. Exprese en términos de componentes

escalares. (Su solución estará en función de s.)

SOLUCION:

TENEMOS EL PUNTO “N”: (5; 5.5)

DESCONPONIENDO: EN X: (5i – 9i) = -4i

EN Y: (5.5j – 3j) = 2.5j

Entonces r = -4i + 2.5j


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55 ¿Cuál es la magnitud del vector 3i - 4j - 12k?

Estrategia: La magnitud de un vector está dada, en función de sus componentes, por la ecuación

Así, la magnitud de un vector U está dada, en función de sus componentes en tres dimensiones, por

la expresión

SOLUCION:

3 4 12 13

56 Halle la magnitud del vector F = 20i + 60j - 90k (N).

20 60 90 110

2.57) La magnitud del vector fuerza 120 40 es || 130 ¿Qué valor tiene?SOLUCION:

120 40 || 130 || 120 40 1 3 0 120 40 1 3 0 1 2 0 4 0 30 30 120 40

2.58) La magnitud del vector. Sus componentes escalares están relacionadas por las ecuaciones 2 4 .Determine las componentes Escalares.

I U I

I U I


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SOLUCION:

; 2 ; 2 4

42

8

28 2 8 9 Cuando 3 0 3 0 9 > 103

2 > 2 103 > 20

3

8 > 8 10

3> 80

3

2.59) Determine la magnitud del vector 23 si 100200600 200450100

2100200600 3200450100 8009501500 || √ 800 950 1500 || 1947

2.60) Se dan los vectores. 3 2 6 y 4 1 2 3 (a) Determine las magnitudes de U y V.

(b) Determine la magnitud del vector 3U + 2V

SOLUCION:

. 3 2 6 ; 4 12 3 a)

|| 3

2

6

|| 4

12

6

|| 7 || 13 b) 3U + 2V

Sumando U+V

3 9 6 1 8 2 8 2 4 6 3 2 1 7 1 8 1 2 |3 2 | √ 17 18 12 |3 2| √ 757


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2. 61) Se tiene el vector V = 40i - 70j - 40k.

(a) ¿Cuál es su magnitud?

(b) ¿Cuáles son los ángulos , y entre y los ejes coordenados positivos?SOLUCION:

4 0 7 0 4 0 || 40 70 40 || 90

El vector unitario será:

4090 7090

4090

Los ángulos son:

− 409063.61°

− 7090 141.05°

− 4090 116.4°

2.62) Se tiene la fuerza F = 600i - 700j + 600k (lb). ¿Cuáles son los ángulos , y entre elvector F y los ejes coordenadas positivos?

SOLUCION:

|| 600 700 600 || 1100 6001100

7001100

6001100

− 600

1100 5 7 °

− 7001100 130°

− 6001100 5 7 ° 110057° 1100130° 1100 57° 600707.6600


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2.63) El cable ejerce una fuerza F de 50 lb sobre el gancho en O. El ángulo entre F y el eje x es de

40° y el ángulo entre F y el eje y es de 76°. La componente z de F es positiva.

(a) Exprese F en función de componentes escalares.

(b) Cuáles son los cosenos directores de F?

SOLUCION:

1 40°70°1 1 40°70° 1 40°70° ±0,73 −0,73 ; −0,73 1 3 7 ° 4 3 ° ⃗ ⃗ 50137° 50 40° 5070° ⃗ 36.5638.3017.10 2.64) Un vector unitario tiene los cosenos directores. 0,5 , 0.2 Su componente

Z es positiva. Exprese este vector en función ?e sus componentes escalares.

SOLUCION:

−0,5 1 2 0 ° −0,2 78.46 ⃗

⃗ 120 78.46° 0


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2.68.-Un vector fuerza F señala en la misma dirección que el vector unitario e= - j- k. La

magnitud de F es de 700 lb. Exprese F en función de componentes escalares.

SOLUCION:

=|| µ =700lb [ ]

Respuesta: = [200i-600j-300k] lb2.69.-Un vector de fuerza F apunta en la misma dirección que el vector de posición r= 4i +4j - 7k

(m). La magnitud de F es de 90 kN. Exprese F en términos de sus componentes escalares.

SOLUCION:

=|| µ =90KN [ +− ] = 90KN [ ]

Respuesta = [40i+40j-70k]2.70En el transbordador espacial los astronautas usan radar para determinar las magnitudes y los

cosenos directores de los vectores de posición de dos satélites A y B. El vector del transbordadoral satélite A tiene una magnitud de 2 km y cosenos directores de los vectores de de posición de dos

satélites A y B. el vector del transbordador AL satélite A tiene una magnitud de 2km y cosenosdirectores 0.768; 0.384; 0.512. El vector del transbordador al

satélite B tiene una magnitud de 4 km cosenos directores

0.743; 0.557; 0.371. ¿Cuál es la distancia entre los satélites?


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SOLUCION:

ř= 2KM [0.7680.3840.512 ]ř= [1.536 0.7681.024 ] KMř= 4KM [ 0.7430.5570.371 ]ř= [2.9722.2281.48] KMd= ř− ř d=[1.4361.462.508] KM|d|= 1.436 1.46 2.508²

Respuesta: |d|=3.237KM

2.71.-Unos arqueólogos extranjeros midieron una estructura precolombina y obtuvieron las

dimensiones mostradas. Determine (a) la magnitud (b) los cosenos directores del vector de posición

del punto A al punto B.


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SOLUCION:

(a) la magnitud:

̅−= ̅ - ̅= [ 1 0 8 4 ] = [ 0 16 14 ]̅−=[ 10810 ] |̅−|= 10 8 10² : |̅−|= 2√ 66 m(b) los cosenos directores:

= −√ =12.8= √ =60.5

= √ =52.01

2.72 Unos arqueólogos extranjeros midieron una estructura ceremonial precolombina y obtuvieron

las dimensiones mostradas. Determine (a) la magnitud y (b) los cosenos directores del vector de

posición del punto A al punto B.


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0,16,14 10,8,4 Y AB [1 0 0] [8 1 6] [4 1 4] r AB 108.10 a)

|| √ 10

8

10

√ 264 16.2

b) √ 0,615

8√ 264 0,492

10√ 264 0,615

2.73 consideremos la estructura descrita en el problema 2.72. Al volver a su país, un arqueólogo se

da cuenta de que ha perdido las notas que la dimensión b, pero otras notas indican que la distancia

del punta B al punto C es de 16.4m. ¿Cuáles son los cosenos directores que va de B a C?

Las coordenadas en B(10m, 8m, 4m)

10.0.18 Y BC 1 0 1 0 0 8 184 Y BC

8 14

16,61 8 14 3,99 3,9916,61 0,40

816,61 04,82

1416,61 0,8431


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2.74 Un topógrafo midió originalmente la altura del monte Everest con el siguiente procedimiento.

Primero mido las distancias entre los puntos A y B de igual altitud que se muestran. Suponga que

estaban a 10000 pies sobre el nivel del mar y 32000 pies separados entre sí. Luego uso un teodolito

para medir los cosenos directores de los vectores del punto B a P. suponga que para r AP se

obtuvieron los cosenos directores

= 0,509

=0,509,

= 0,694 y que para r BP

los cosenos directores obtenidos fueron 0,605, 0.471 0.642. El eje del sistema coordenado es vertical. ¿Cuál es la altura del Monte Everest sobre el nivel del

mar?

0,0,10000 10000,0,32000 ,, Y AP 10000Y AP 0,5090509 0,694 Y BP 32000 10000 Y BP 0,37430,748605472 0,509 0,509

10000.694

32000 0,748 0,5472

2.75 La distancia OA es de 20 pies. La línea rectaAB es paralela al eje y,y el punto B está en el

plano x-z. Exprese el vector r OA en función de sus componentes escalares. Estrategia r OA se puede

descomponer en un vector de O a B y en un vector B a A. Luego se puede descomponer el vector de

O a B en componentes vectoriales paralelas a los ejes x,y (véase el Ej . 2.9)|

|

|

|3020

0,5

10


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OB es

|| ||30200,866 17,8 15108,66

El vector r en la condición en el plano esr OB ||309060

r OB 15 8, 68 Resolviendo los componentes del vector es

r BA ||90090 r BA 0 1 0 0

2.73 Consideremos la estructura descrita en el problema 2.72. Al volver a su país, un arqueólogo se

da cuenta de que ha perdido las notas que contienen la dimensión b, pero otras notas indican que la

distancia del punto B al punto es de 16.4 m. ¿Cuáles son los coseno s directores del vector que va de B a C?

A{0i,16j,14k}

B{0i,8j,4k}

C{10+b,0,18}

Hallando cosenos directores de B a C


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rBC = rC- Rb

Rbc ={bi,-8j+14j} Ubc =3i-8j-14k

BC =√ 8 14 cosα= . ; α=79.5 16.4 = +8+ 14 cos= −. = 119.2

2.74 Un topógrafo midió originalmente la altura del Monte Everest con el siguiente procedimiento.

Primero midió la distancia entre los puntos A y B de igual altitud que se muestran. Suponga que

estaban a 10 000 pies sobre el nivel del mar y 32 000pies separados entre sí. Luego usó un teodolito

para medir los cosenos directores de los vectores del punto A a la cima P de la montaña y del punto B a P. Suponga que para rAP se obtuvieron los cosenos directores cos Ox = 0.509, cos Oy = 0.509,

cos Oz = 0.694 Y que para rBP los coseno s directores obtenidos fueron cos Ox = -0.605, cos Oy =

0.471, Y cos Oz = 0.642. El eje z del sistema coordenado es vertical. ¿Cuál es la altura del Monte

Everest sobre el nivel del mar?

2.75 La distancia OA es de 20 pies. La línea recta AB es paralela al eje y , y el punto b esta en el

plano x-z. Exprese el vector rOA en función de sus componentes escalares. Estrategia: rOA se puede

descomponer en un vector de O a B y en un vector de B a A. Luego se puede descomponer el vector

de O a B en componentes vectoriales paralelas a los ejes x y z (véase el Ejm. 2.9).


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Fy= roa sen30° = 20 sen 30°= 10 pies

Fb= roa cos30° = 20 cos 30°= 17.32 pies

Fx= FB sen30° =17 .32 sen 60°= 15 pies

F2 =17.32 cos60° =8.66 pies

Expresado en forma cartesiana:

Roa ={15i + 10j +8.66k} pies

2.76 La magnitud de r es de 100 pulg. La recta que va de la cabeza de r al punto A es paralela al

eje x y el punto A está en el plano j-z. Exprese r en función de sus componentes escalares.


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SOL:

Fx =r sen45° =100sen 45° =70.71 pulg

FB =100 cos45° = 70.71 pulg

CALCULAMOS LA MAGNITUDES CON LA FB:

Fy =FBsen60° =70.71sen 60° 061.24 pulg

F2 = 70.71cos60° =35.36 pulg

Expresando en forma cartesiana: _ r =√ 70.71 61.24 35.36 R ={70,71i+ 61.24j+35.36k} pulg r = 100.002 pulg

2.77 En la figura P2.77, la línea recta que va de la cabeza de F al punto A es paralela al eje y, y el

punto A está contenido en el plano x-z. La componente x de F es F, = 100 N.

(a) ¿Cuál es la magnitud de F?

(b) Determine los ángulos Ѳx, Ѳy y Ѳz los ejes coordenados positivos.

Sol:

→Fx =100 N

→100N/SEN 60° =FA/SEN 90° b) coseno directores de F son:

FA = 115.47 N cos Ѳx =Fx/F = . = 0.63


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→F2 =115.47 COS60° =57.74 N cos Ѳy =Fy/F =.. = 0.27

115.47/SEN70° = Fr/sen20° cos Ѳ z =Fz/F =.. = 0.73 Fy =42.03 N

¿cual es la magnitud de F ? Los ejes cordenados positivos son:

F= {100i+42.03j+115.47k} Ѳx =50.95 F = √ 100 42.03 115.47 Ѳ y = 74.63 F= 158.43 N Ѳz = 43.11

problemas resueltos-cuerpos rigidos

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