CINEMATICA DE CUERPOS RIGIDOS

CINEMATICA DE CUERPOS RIGIDOS

INTRODUCCION

En mecnica el movimiento es un fenmeno fsico que se define como todo cambio de posicin que experimentan los cuerpos de un sistema, o conjunto, en el espacio con respecto a ellos mismos o con arreglo a otro cuerpo que sirve de referencia. Todo cuerpo en movimiento describe una trayectoria. La parte de la fsica que se encarga del estudio del movimiento sin estudiar sus causas es la cinemtica. La parte de la fsica que se encarga del estudio de las causas del movimiento es la dinmica.

Uncuerpo rgidose puede definir como aquel que no sufre deformaciones por efecto de fuerzas externas, es decir un sistema de partculas cuyas posiciones relativas no cambian. Un cuerpo rgido es una idealizacin, que se emplea para efectos de estudios de cinemtica, ya que esta rama de la mecnica, nicamente estudia los objetos y no las fuerzas exteriores que actan sobre de ellos.

Un cuerpo rgido, es un caso particular de un sistema de muchas partculas. Estas partculas deben cumplir la condicin de que la separacin entre cualquier pareja de ellas siempre permanece constante mientras el cuerpo se mueve, sin importar el tipo de fuerzas que acten sobre l. Esta denicin permite armar que un cuerpo rgido no se deforma bajo ninguna interaccin con otros cuerpos.

Cuando un cuerpo rgido interacta con otros cuerpos, las fuerzas que se generan tienden a imprimirle un movimiento de traslacin pura, de rotacin pura o un movimiento combinado de traslacin y rotacin.

JUSTIFICACION

La cinemtica trata del estudio del movimiento de los cuerpos en general, y en particular, el caso simplificado del movimiento de un punto material. Desde el punto de vista matemtico, la cinemtica expresa como varan las coordenadas de posicin de la partcula (o partculas) en funcin del tiempo. La funcin que describe la trayectoria recorrida por el cuerpo (o partcula) depende de la velocidad (la rapidez con la que cambia de posicin un mvil) y de la aceleracin (variacin de la velocidad respecto del tiempo).

El movimiento de una partcula (o cuerpo rgido) se puede describir segn los valores de velocidad y aceleracin, que son magnitudes vectoriales.

En el estudio del movimiento, los sistemas de coordenadas ms tiles se encuentran viendo los lmites de la trayectoria a recorrer, o analizando el efecto geomtrico de la aceleracin que afecta al movimiento. El estudio cinemtico se hace sobre un sistema de coordenadas cartesianas, usando una, dos o tres dimensiones segn la trayectoria seguida por el cuerpo.

OBJETIVOS

En este reporte analizaremos la cinemtica de cuerpos rgidos ya que es muy importante esta rama de la dinmica porque se encarga del diseo de engranes, levas y mecanismos utilizados en muchas operaciones mecnicas. Hablaremos tambin sobre el movimiento plano de un cuerpo rgido cuando ocurre en todas sus partculas tienden a desplazarse a lo largo de sus trayectorias equidistantes de un plano ya que existen tres tipos de movimientos planos de un cuerpo rgido los cuales son: traslacin, rotacin alrededor de un eje fijo y el movimiento plano general. Ya entendido bien la cinemtica, podremos aplicar las ecuaciones de movimientos, las cuales relacionan las fuerzas que actan e el cuerpo con el movimiento de cuerpo.

Los objetivos generales de este reporte son:

Traslacin.

Rotacin con respecto a un eje fijo.

Movimiento general en el plano.

CINEMATICA DE CUERPOS RIGIDOS

1.1 INTRODUCCION

Cuerpo rgido: Se define como aquel que no sufre deformaciones por efecto defuerzasexternas, es decir un sistema de partculas cuyas posiciones relativas no cambian. Sin embargo, las estructuras y mquinas reales nunca son absolutamente rgidas y se deforman bajo la accin de cargas que actan sobre ellas. Un cuerpo rgido es unaidealizacin, que se emplea para efectos de estudios deCinemtica, ya que esta rama de laMecnica, nicamente estudia los objetos y no las fuerzas exteriores que actan sobre de ellos. Un cuerpo rgido que pueda girar libremente alrededor de un eje horizontal que no pase por su centro de masas oscilar cuando se desplace de su posicin de equilibrio. Este sistema recibe el nombre de pndulo fsico.

Traslacin: Este tipo de movimiento ocurre cuando una lnea en el cuerpo permanece paralela a su orientacin original durante todo el movimiento. Cuando las trayectorias del movimiento de dos puntos cualesquiera del cuerpo son lneas paralelas, el movimiento se llama traslacin rectilnea. Si las trayectorias del movimiento se desarrollan a lo largo de lneas curvas equidistantes, el movimiento se llama traslacin curvilnea.

Rotacin con respecto a un eje fijo: Cuando un cuerpo rgido gira alrededor de un eje fijo, todas sus partculas, excepto las que quedan en el eje de rotacin, se mueven a lo largo de trayectorias circulares.

Movimiento general en el plano: Cuando un cuerpo se somete a un movimiento plano general, experimenta una combinacin de traslacin y rotacin. La traslacin se presenta en un plano de referencia y la rotacin ocurre alrededor de un eje perpendicular al plano de referencia.

1.2 TRASLACION

En la traslacin de un cuerpo rgido, la orientacin de todo segmento rectilneo del cuerpo se mantiene constante. (No hay rotacin).Un movimiento de traslacin se presenta cuando el cuerpo cambia de posicin sin cambiar su orientacin, es decir, todos los puntos del cuerpo sufren el mismo desplazamiento a medida que transcurre el tiempo. En el cual una recta se mantenga siempre paralela a la velocidad, se dice que es de traslacin rectilnea en el que todo punto del cuerpo sigue una trayectoria rectilnea en el sentido del movimiento.En una traslacin curvilnea, la orientacin de todo segmento rectilneo sigue siendo invariable pero los distintos puntos no siguen trayectorias rectilneas.En la traslacin coplanaria, la trayectoria de cada punto se mantiene siempre en un plano.

Si A y B son dos puntos cualesquiera del cuerpo, sus posiciones estarn relacionadas por la regla del tringulo para la suma de vectores:

Como la posicin de B relativa a A (rB/A) es constante tanto en mdulo como en direccin, su derivada ser nula, as al derivar respecto al tiempo la ecuacin anterior se tiene simplemente:

Expresin que nos dice que en un cuerpo rgido en traslacin todos sus puntos tienen igual velocidad. Podemos derivar respecto al tiempo la ecuacin anterior y obtenemos:

Expresin que nos dice que en un cuerpo rgido en traslacin todos sus puntos tienen igual aceleracin. Como la forma, tamao y orientacin del cuerpo no importan para describir el movimiento, la Cinemtica de los puntos que constituyen un cuerpo rgido en movimiento de traslacin coincide con la Cinemtica del punto

1.3 ROTACION CON RESPECTO A UN EJE FIJO

En la rotacin en torno a un eje fijo, una recta del cuerpo, el eje de rotacin, est fija. Los puntos que no son del eje recorren trayectorias circulares centradas en el eje. Si el eje de rotacin no corta al cuerpo, podemos imaginar que este se extiende hasta incluir el eje de rotacin, es decir, a fines cinemticos el movimiento del cuerpo es el mismo que tendra si formara parte de un cuerpo rgido mayor que incluyera al eje de rotacin. Como cada trayectoria circular est contenida en un plano, la rotacin de un cuerpo en torno a un eje fijo es un movimiento plano.

La posicin de un cuerpo rgido en movimiento plano queda determinada al dar la situacin de un punto y la orientacin de una recta del plano del movimiento. As, el movimiento plano de todo cuerpo se puede determinar a partir del movimiento de dicho punto y el movimiento de la recta.En nuestro caso, en la rotacin alrededor de un eje fijo, el punto del eje permanece siempre en l. Por tanto, el movimiento de todo cuerpo se podr determinar a partir del movimiento de una recta.

1.3.1 MOVIMIENTO DE UNA RECTA EN LA ROTACIN EN TORNO A UN EJE FIJO

En la rotacin en torno a un eje fijo, la posicin del cuerpo queda determinada al dar la posicin angular de una recta cualquiera del plano de movimiento.La derivada respecto al tiempo de la posicin angular da la velocidad angular (t) y la segunda derivada da la aceleracin angular (t) del cuerpo rgido:

Si conocemos la aceleracin angular en funcin del tiempo podremos integrar para obtener la velocidad angular y la posicin angular en funcin del tiempo as:

Cuando se conozca la aceleracin angular en funcin de la posicin angular y no del tiempo, la regla de la cadena para la derivacin da

que se puede integrar para obtener la velocidad angular en funcin de la posicin angular

1.3.2 MOVIMIENTO DE UN PUNTO EN LA ROTACIN EN TORNO A UN EJE FIJO

En la rotacin en torno a un eje fijo, los puntos que no estn en el eje recorren trayectorias circulares centradas en dicho eje.

La velocidad del punto P puede escribirse en funcin de un vector velocidad angular definido por: = k , de- direccin: la del eje en torno al cual gira el cuerpo- sentido: regla de la mano derechaY en funcin de rP (vector de posicin del punto P medido relativo al eje de rotacin), de la siguiente manera:

Expresando el producto vectorial en funcin de las coordenadas x-y, tenemos:

La aceleracin del punto P que recorre su trayectoria circular alrededor del eje de rotacin, tendr componentes normal y tangencial:

Las componentes x-y de la aceleracin se obtienen derivando la velocidad as:

Por analoga con la velocidad de P, la componente tangencial de la aceleracin se podr escribir en la forma:

Donde es el vector aceleracin angular definido por = k de - direccin: la del eje en torno al cual gira el cuerpo- sentido: regla de la mano derecha

La componente normal de la aceleracin se podr escribir en la forma:

As:

1.4 MOVIMIENTO GENERAL EN EL PLANO

La traslacin coplanaria y la rotacin en torno a un eje fijo constituyen tipos concretos de movimiento plano en los cuales las rectas del cuerpo cumplen condiciones particulares. Todo otro tipo de movimiento plano entra en la categora de movimiento plano cualquiera.

Cada punto del cuerpo permanece en un plano. Como todos los puntos de rectas perpendiculares a un plano tienen igual movimiento, bastar considerar el movimiento en un solo plano. En adelante, se utilizar el plano que contiene el centro de masa al que llamaremos plano del movimiento. As, la posicin de un cuerpo rgido en movimiento plano quedar determinada al dar la situacin de un punto y la orientacin de una recta del plano del movimiento.

La orientacin de la recta se puede determinar o bien dando el ngulo que forma con una direccin fija o dando la situacin de dos puntos cualesquiera de la recta. El movimiento de todo el cuerpo podr determinarse a partir del movimiento de dicho punto y el movimiento de la recta. Es importante observar que el movimiento angular de rectas del plano del movimiento es el mismo para toda recta de un cuerpo rgido:

Considerando el cuerpo de la figura en el que se han dibujado dos segmentos rectilneos separados un ngulo fijo . Ambos estn en el plano de movimiento y los ngulos que forman con una direccin fija de referencia son AB y CD. Estos ngulos estn relacionados de la forma:

Al moverse el cuerpo, variarn los ngulos AB y CD pero no el ngulo fijo con lo que al derivar la ecuacin anterior respecto al tiempo, tendremos:

Donde es la velocidad angular, variacin por unidad de tiempo de la posicin angular. Esta ecuacin nos dice que todas las rectas del cuerpo tienen igual velocidad angular . Derivando respecto al tiempo la ecuacin anterior, tenemos:

Donde es la aceleracin angular, variacin por unidad de tiempo de la velocidad angular. Esto nos dice que todas las rectas del cuerpo tienen igual aceleracin angular .

CONCLUSION

Nuestra conclusin en general es que ladinmicaes la parte de lafsicaque describe la evolucin en el tiempo de un sistema fsico en relacin con las causas que provocan los cambios de estado fsico y estado de movimiento y la cinemtica de cuerpos rgidos es una rama que parte de la misma dinmica y es la encarga de estudiar los movimiento y equilibrio de cuerpos materiales ignorando sus deformaciones. Teniendo en cuenta que se puede mover en traslacin, en rotacin con respecto a un eje fijo o moviendo en un plano general ya que cada uno de estos tipos de movimientos tienen sus diferentes formas de estudio en el cual se aplica diferentes tipos de formulas y ecuaciones.El estudio de esta materia lleva a cabo las aplicaciones de ciertos temas como el clculo integral, calculo diferencial y sobretodo de la esttica para resolver ciertos problemas propuesto mostrndonos as como se demuestra la solucin de algunos problemas de movimientos como algunos problemas en movimiento plano ya que all se aplica los dos movimientos anteriores como lo es el de traslacin y el de rotacin con respecto a un eje fijo.Entiendo que varias de las cosas que utilizamos en la vida cotidiana son sujetas a esta ciencia de la cinemtica mas con el movimiento y es necesario saber un poco el origen de cada uno de los movimientos y ms que nada saber porque se llevan a cabo estos fenmenos que hoy son muy tiles en nuestra vida cotidiana.

BIBLIOGRAFIA

Dinmica II: Mecnica Para Ingeniera y sus Aplicaciones David J. McGraw-Hill & Wilton King.

Dinmica. Boresi y Schmidt.

Fsica Tomo I Serway Raymond.

Fsica general Paul Tippens 7ma edicin McGraw-Hill.

Mecnica Vectorial para Ingenieros (Dinmica). Beer Johnston McGraw-Hill.

DINAMICAPgina 18