problemas de tasas
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Tasas relacionada
s
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Cálculo diferencial e integral de una variable
TASAS RELACIONADAS
Una de las aplicaciones interesantes de la regla de la cadena la encontramos en la resolución de problemas de razón de cambio relacionados o ligados. En la resolución de estos problemas esta presente la regla de la cadena, preferiblemente en la notación de Leibniz.
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Cálculo diferencial e integral de una variable
En el rectángulo ABCD los lados opuestos AB y CD son fijos y miden 40 cm mientras que los restantes lados son variables y aumentan su longitud a razón de 0.5 cm/min.
¿Cómo varían las siguientes magnitudes?
• El área del rectángulo
• La diagonal, cuando el lado mide 2 cm.
Ejemplo 1
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Ejemplo 2
Un tanque de agua tiene forma de cono circular invertido, con radio de la base igual a 2 m y 4 m de altura. Si se le bombea agua, con una velocidad de 2 m3/min. Calcula la velocidad con que sube el nivel del agua cuando la profundidad alcanza 3 m.
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Cálculo diferencial e integral de una variable
r
2
h
4
hr31
V 2
Planteamiento
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Cálculo diferencial e integral de una variable
hr31
V 22
r
h
442
hr
min/m2dtdV 3 ?
dtdh
h21
r
El nivel de agua sube con con una velocidad de 8/(9p) m/min ó 0.28 m/min
Planteamiento
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Cálculo diferencial e integral de una variable
A mediodía el barco A está a 150 Km. al oeste del barco B. La embarcación A navega hacia el este a 35 Km/h y B hacia el norte a 25 Km/h ¿Con qué velocidad cambia la distancia entre ambos barcos a las 4:00 PM.?
Ejemplo 3
88
Cálculo diferencial e integral de una variableEjemplo 2
A mediodía el barco A está a 150 km al oeste del barco B. La embarcación A navega hacia el este a 35 km/h y B hacia el norte a 25 km/h. ¿Con qué velocidad cambia la distancia entre ambos a las 4 pm.?
12 m
A
B
99
Cálculo diferencial e integral de una variableEjemplo 2
A mediodía el barco A está a 150 km al oeste del barco B. La embarcación A navega hacia el este a 35 km/h y B hacia el norte a 25 km/h. ¿Con qué velocidad cambia la distancia entre ambos a las 4 pm.?
1 pm.
A B
1010
Cálculo diferencial e integral de una variableEjemplo 2
A mediodía el barco A está a 150 km al oeste del barco B. La embarcación A navega hacia el este a 35 km/h y B hacia el norte a 25 km/h. ¿Con qué velocidad cambia la distancia entre ambos a las 4 pm.?
2 pm.
B
A
1111
Cálculo diferencial e integral de una variableEjemplo 2
A mediodía el barco A está a 150 km al oeste del barco B. La embarcación A navega hacia el este a 35 km/h y B hacia el norte a 25 km/h. ¿Con qué velocidad cambia la distancia entre ambos a las 4 pm.?
3 pm.
B
A
1212
Cálculo diferencial e integral de una variableEjemplo 2
A mediodía el barco A está a 150 km al oeste del barco B. La embarcación A navega hacia el este a 35 km/h y B hacia el norte a 25 km/h. ¿Con qué velocidad cambia la distancia entre ambos a las 4 pm.?
4 p.m.
A
B
1313
Cálculo diferencial e integral de una variable
150 - XX
B
YZ
A
X: Distancia que recorre el barco A hacia el este en un determinado tiempo en Km. Y: Distancia que recorre el barco B hacia el norte en un determinado tiempo en Km.Z: Distancia entre los barcos en un determinado tiempo en Km.
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Estrategias
1. Leer detenidamente el problema.
2. Hacer un dibujo ilustrativo si el
problema lo requiere.
3. Identificar adecuadamente las
variables que intervienen.
4. Establecer las relaciones de
dependencia.
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Estrategia
6. Derivar.
7. Expresar el resultado en las unidades
de medida adecuadas y la respuesta completa.
5. Formular la regla de la cadena adecuadamente.
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Cálculo diferencial e integral de una variable
¿Con qué velocidad se desliza el extremo superior de la escalera sobre el muro cuando el extremo inferior esta a 1.80 m de la pared?.
Una escalera de 3 m de longitud descansa en un muro vertical. Si su extremo inferior se resbala y se aleja de la pared a una velocidad de 2.6 m/s.
Ejemplo 4
1717
Cálculo diferencial e integral de una variable
Respuesta
3 m
x
y
3 my
x
?dtdy
sm
dt
dx6.2
1818
Cálculo diferencial e integral de una variable
El extremo superior de la escalera se desplaza hacia abajo a una velocidad de 1,95 m/s.
Respuesta
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Un hombre de 6 pies de estatura camina hacia un edificio a una tasa de , si en el piso se encuentra una lámpara a 50 pies del edificio, ¿qué tan rápido se acorta la sombra del hombre proyectada enel edificio cuando el está a 30 pies de este.
spies5
Ejemplo 5
2020
Cálculo diferencial e integral de una variable
Ejemplo 6
Se bombea aire a un globo esférico, de tal modo que su volumen aumenta con una rapidez de 100 cm3/s. ¿Con qué rapidez aumenta el radio del globo cuando el diámetro es de 50 cm?
2121
Cálculo diferencial e integral de una variable
Planteamiento
dr
r 3100dV
cm / sdt
?dtdr
3r34
V
El radio del globo aumenta con una rapidez o tasa de 0.0127 cm/s
2222
Cálculo diferencial e integral de una variable
Una piscina está siendo llenada mediante una bomba que suministra 500 galones por minuto.
20’ 40’
Ejemplo 7
Una vez que se llene, el agua alcanza una profundidad de 9’ en la parte más profunda y 4’ en el otro extremo. El ancho es 30’. Determinar la velocidad con que se está elevando el nivel cuando hay 4’ de agua en el lado más profundo.
1g = 0.1337p
2323
Cálculo diferencial e integral de una variable
4’5’
h
L
20’ 40’
El nivel del agua se está elevando a razón de 0,514 pulgadas/minuto en ese instante.
2424
Cálculo diferencial e integral de una variable
Un canal de agua tiene 10 m de longitud y su sección transversal posee la forma de un trapezoide isósceles, de 30 cm de ancho en el fondo, 80 cm de ancho en la parte superior y 50 cm de altura. Si el canalón se llena con 0.2 m3/min de agua ¿Con qué velocidad sube el nivel del agua cuando la profundidad de ésta es de 30cm?
Ejemplo 8
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Se emplea una cámara de TV a 4000 pies de la base de una plataforma de lanzamiento de cohetes. Cuando el cohete esta a 3000 pies del suelo lleva una velocidad de 600 pies/s.
a) ¿Con qué velocidad crece la distancia de la cámara de TV al cohete en ese momento?
b) Si la cámara siempre se encuentra enfocada en el cohete, ¿a qué tasa se modifica su ángulo de elevación en ese momento?
Ejemplo 9
2626
Cálculo diferencial e integral de una variable
y
4000
x
θ
Solución:
Declaración de variables
X: Distancia vertical del cohete en pies.
Y: Distancia entre la cámara y la altura del cohete en pies.
Incógnita.
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Un faro se encuentra en una isleta a 3 Km del punto más cercano P de una costa recta, y su linterna gira a 4 rpm. ¿Con qué velocidad el haz luminoso barre la costa cuando pasa por un punto a 1 Km. de P?
Ejemplo 10
3 P
θ
X
1 rpm = 2 rad/min
2828
Cálculo diferencial e integral de una variableEjemplo 7
Un faro se encuentra en una isleta a 3 km del punto mas cercano, P, de una costa recta y su linterna gira a 4 rpm. ¿Con qué velocidad el haz luminoso barre la costa cuando pasa por un punto a 1 km de P?
P
2929
Cálculo diferencial e integral de una variableEjemplo 7
Un faro se encuentra en una isleta a 3 km del punto mas cercano, P, de una costa recta y su linterna gira a 4 rpm. ¿Con qué velocidad el haz luminoso barre la costa cuando pasa por un punto a 1 km de P?
P
3030
Cálculo diferencial e integral de una variableEjemplo 7
Un faro se encuentra en una isleta a 3 km del punto mas cercano, P, de una costa recta y su linterna gira a 4 rpm. ¿Con qué velocidad el haz luminoso barre la costa cuando pasa por un punto a 1 km de P?
P
3131
Cálculo diferencial e integral de una variableEjemplo 7
Un faro se encuentra en una isleta a 3 km del punto mas cercano, P, de una costa recta y su linterna gira a 4 rpm. ¿Con qué velocidad el haz luminoso barre la costa cuando pasa por un punto a 1 km de P?
P
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Cálculo diferencial e integral de una variableEjemplo 7
Un faro se encuentra en una isleta a 3 km del punto mas cercano, P, de una costa recta y su linterna gira a 4 rpm. ¿Con qué velocidad el haz luminoso barre la costa cuando pasa por un punto a 1 km de P?
P
3333
Cálculo diferencial e integral de una variableEjemplo 7
Un faro se encuentra en una isleta a 3 km del punto mas cercano, P, de una costa recta y su linterna gira a 4 rpm. ¿Con qué velocidad el haz luminoso barre la costa cuando pasa por un punto a 1 km de P?
P
3434
Cálculo diferencial e integral de una variableEjemplo 7
Un faro se encuentra en una isleta a 3 km del punto mas cercano, P, de una costa recta y su linterna gira a 4 rpm. ¿Con qué velocidad el haz luminoso barre la costa cuando pasa por un punto a 1 km de P?
P
3535
Cálculo diferencial e integral de una variableEjemplo 8
Dos personas parten del mismo punto. Una camina hacia el este a 3 mi/h y la otra hacia el noreste a 2 mi/h. ¿Con qué velocidad cambia la distancia entre ellas después de 15 minutos?
NE
E
3636
Cálculo diferencial e integral de una variableEjemplo 8
Dos personas parten del mismo punto. Una camina hacia el este a 3 mi/h y la otra hacia el noreste a 2 mi/h. ¿Con qué velocidad cambia la distancia entre ellas después de 15 minutos?
NE
E
3737
Cálculo diferencial e integral de una variable
Ejemplo 11
Un hombre de 1,75 m de estatura camina a 5 Km/h alejándose de una lámpara que se halla a 4 m de altura. ¿A qué velocidad se desplaza el extremo de su sombra?
3838
Cálculo diferencial e integral de una variable
Respuesta
El extremo de la sombra se desplaza a 8,89 Km/h
3939
Cálculo diferencial e integral de una variable
En una reserva forestal se produjo un incendio que se ha ido propagando en forma circular. Se ha calculado que las llamas avanzan a razón de 2 metros por minuto. Después de 6 horas de comenzar el incendio,
Ejemplo 12
• ¿Qué área tiene la región quemada?
• Con qué rapidez está aumentando el área quemada?
• Si se estima en 400 árboles por hectárea (1h = 10000 m2) la densidad del bosque, ¿cuántos árboles por minuto se están quemando?
4040
Cálculo diferencial e integral de una variable
Respuestas
• En ese momento el área quemada es 144 m2.
• Está aumentando a una razón aproximada de 9050 m2/min.
• Se están quemando aproximadamente 362 árboles por minuto.
4141
Cálculo diferencial e integral de una variableBibliografía
“Cálculo de una variable”
Cuarta edición
James Stewart
Sección 3.10
Ejercicios 3.10 pág 257:2, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 15, 17, 18, 20, 21, 24, 26,29, 31, 32,33.