problemas de semana n_ 03-mecánica de sólidos ii-verano 2016(k)

8/20/2019 Problemas de Semana N_ 03-Mecánica de Sólidos II-Verano 2016(K)

1/18

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICAESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

CURSO : MECÁNICA DE SÓLIDOS IIPROFESOR : Mg. Ing. JORGE MONTAÑO PISFIL

Semana N° 03: PROBLEMAS RESUELTOS DE CARGA AXIAL

PROBLEMA Nº 1El conjunto consta de una barra de acero CB y una barra de aluminio BA, teniendo cada una undiámetro de 12 mm. Si la barra se somete a las cargas axiales en A y en el cople B, determine eldesplazamiento del cople B y del extremo A. La longitud de cada segmento sin estirar se muestraen la figura. Desprecie el tamaño de las conexiones en B y C , y suponga que son rígidas.

GPa E GPa E Al ac 70,200

Resolución

Para determinar el desplazamiento del cople B y del extremo A, primero hallo las fuerzas axialesinternas en las barras de acero y aluminio, para ello aplicamos el método de secciones y la primeraecuación de equilibrio ( 0 F ). Como resultado de ello obtenemos:

)(12 TRACCIÓN kN P CB : Fuerza axial interna en la barra de acero CB

)(18 TRACCIÓN kN P BA : Fuerza axial interna en la barra de aluminio BA

Cálc u lo de B

(desplazamiento del cop le B)El cople B experimenta una sola deformación porque al analizar la barra de acero CB, desde elextremo C hasta el cople B, hay una sola fuerza axial interna de tracción (

CB P ). Además, el punto

C de la barra de acero CB permanece fijo, porque en este punto se halla un apoyo tipo pasador queestá fijo a una pared,.Cuando la carga y el área son constantes, el desplazamiento del cople B ( B ) viene dado por la

siguiente ecuación.

acCB

CBCB B E A

L P

)/10200()12)(4/(

)103)(1012(292

33

m N mm

mmkN B

mm B 59,1

Cálc u lo de A (desplazamiento del pun to A)

El punto A experimenta dos deformaciones porque al analizar el conjunto, desde el extremo C

hasta el extremo A, actúan dos fuerzas axiales diferentes ( CB P de +12 kN y BA P de +18 kN).

Cuando hay varias fuerzas axiales diferentes, para hallar el desplazamiento de un punto, respectoa un punto fijo, aplico el Principio de Superposición. Es decir:

E A

L P

Al BA

BA BA

acCB

CBCB A E A

L P

E A

L P

Reemplazando datos, tenemos:

)/1070()012,0)(4/(

)2)(1018(

)/10200()012,0)(4/(

)3)(1012(392

3

292

3

m N m

m N

m N m

m N A

mmmmmm A 14,655,459,1

Nota.- También se cumple que: B AC B A //

3 m 2 m

ABC


2/18

PROBLEMA Nº 2

La flecha compuesta, que consiste en secciones de aluminio, cobre y acero, está sometida a lascargas mostradas en la figura. Determine el desplazamiento del extremo A con respecto al extremoD y el esfuerzo normal en cada sección. En la figura se muestran el área de la sección transversaly el módulo de elasticidad para cada sección. Desprecie el tamaño de los collarines en B y en C . Además, determine el desplazamiento de B con respecto a C de la flecha compuesta.

Aluminio Cobre Acero23 lg/1010 pubf k E

Al

23 lg/1018 pubf k E Cu

23 lg/1029 pubf k E ac

2lg09,0 pu A AB 2lg12,0 pu A BC

2lg06,0 pu ACD

Resolución Aplicando el método de secciones y la primera condición de equilibrio ( 0 F ), obtenemos:

)(2 TRACCIÓN bf k P AB : Fuerza axial interna en la sección de aluminio AB

)(5 COMPESIÓN bf k P BC : Fuerza axial interna en la sección de cobre BC

)(5,1 COMPESIÓN bf k P CD : Fuerza axial interna en la sección de acero CD

Cálc u lo de D A / (desplazamiento del pun to A, respecto al punto D)

En este caso aplico el Principio de Superposición. Por lo tanto, se cumple que:

E A L P D A /

Luego:

acCD

CDCD

Cu BC

BC BC

Al AB

AB AB D A E A

L P

E A

L P

E A

L P

/


)lg/1029)(lg06,0(

lg)16)(5,1(

)lg/1018)(lg12,0(

)lg12,0)(5(

)lg/1010)(lg09,0(

lg)18)(2(232232

2

232/ pubf k pu

pubf k

pubf k pu

pubf k

pubf k pu

pubf k D A

mm pu pu pu pu D A 0398,0lg00157,0lg)014,0(lg)028,0(lg04,0/

Nota.- El signo negativo para el desplazamiento del punto A, respecto al punto D, significa que laflecha compuesta experimentó una CONTRACCIÓN.

Cálc u lo de (esfuerzo no rmal) en cada sección

Sabemos: A

P

En la barra AB: 2lg09,0

2

pu

bf k AB

)(

lg

22,222 TRACCIÓN

pu

bf k AB

En la barra BC: 2lg12,0

5

pu

bf k BC

)(

lg67,41

2 COMPRESIÓN

pu

bf k BC

CA B

16 pulg 18 pulg

D

12 pulg


3/18

En la barra CD: 2lg06,0

5,1

pu

bf k CD

)(

lg25

2 COMPRESIÓN

pu

bf k CD

Cálc u lo deC B / (desplazamiento del pun to B, respecto al punto C)

Cu BC

BC BC C B E A

L P

/

)lg/1018)(lg12,0(

lg)12)(5(232/ pubf k pu

pubf k C B

lg028,0/ puC B

PROBLEMA Nº 3

La armadura está hecha de tres barras de acero A-36, cada una con área transversal de 400 mm2.Determine el desplazamiento horizontal del rodillo en C cuando P = 8 kN.

Resolución

Según tablas: GPa E A ACERO 20036

Además, como se trata de una armadura, hay que analizar primero toda la armadura y hallar lasfuerzas de reacción en los apoyos. A continuación se analiza el nodo C y se calcula la fuerza enlos elementos AC y BC.

Anális is de to da la armad ur aSobre toda la armadura actúan las cargas de 5 kN y P = 8 kN, además de las fuerzas de reacciónen el apoyo tipo pasador y en el apoyo tipo rodamiento, como se muestra en el DCL siguiente.

0,6 m0,8 m

0,8 m

A

B

C

P

5 kN

Por segunda condición de equilibrio:

+

0,6 m0,8 m

0,8 m

A

B

C

P

5 kN


4/18

Anális is del nodo C

Cálc u lo de C (desplazamiento h orizontal del rodi l lo en C)

36

A ACERO AC

AC CAC

E A

L P

)/10200)(400(

)4,1)(5725,5(292 m N mm

mkN C

mmC 0975.0

Nota.- El signo positivo para el desplazamiento del punto C , significa que el elemento ACexperimentó un ALARGAMIENTO, por lo tanto el rodillo en C se desplazó hacia la derecha.

PROBLEMA Nº 4

El conjunto consta de tres barras de titanio y una barra rígida AC . El área de la sección transversalde cada barra se da en la figura. Si se aplica una carga vertical de P = 20 kN al anillo F , determineel desplazamiento vertical del punto F . GPa E Ti 350 .

Resolución

Primero analizo la barra rígida AC (hago su DCL y aplico las ecuaciones de equilibrio) y hallo lasfuerzas axiales en las tres barras de titanio. A continuación se calculan las deformaciones de lospuntos A, C y E , para finalmente calcular el desplazamiento vertical del punto F .

Por primera condición de equilibrio:

C

2 m

0,5 m

1,5 m

A E

D B

2 m

0,75 m

C

P = 20 kN

ABA = 60 mm2

ADC = 45 mm2

AEF =75 mm2

Por segunda condición de equilibrio:

F EF = 20 kN

A C

E

0,5 m 0,75 m

F

+


5/18

Cálcu lo de deformaci ones A y C

Ti AB

AB AB A E A

L F

)/10350)(1060(

)2)(1012(2926

3

m N m

m N A

mm A 14,1

TiCD

CDCDC

E A

L F

)/10350)(1045(

)2)(108(2926

3

m N m

m N C

mmC 016,1

Análisis de d eform acion es

Como el desplazamiento del punto A es mayor que el del punto C ( C A ), la barra rígida AC sedesvía y adopta la posición final A´C´ , tal como se indica en la figura siguiente.

Cálcu lo de F ( desplazamiento vert ical del punto F)

El punto F experimenta dos desplazamientos, uno debido a la fuerza axial EF F y la otra debidoal desplazamiento del punto E . Es decir:

EF F A DEBIDO E F . . . (1)

Donde: mmmmmm yC E 091,1075,0016,1

mmm N m

mm N

E A

L F

Ti EF

EF EF F A DEBIDO EF

1429,1)/10350)(1075(

)1500)(1020(2926

3

Reemplazando en la ecuación (1), tenemos:

mmmmmm F 2339,21429,1091,1

PROBLEMA Nº 5

La barra rígida está soportada por la barra CB conectada ésta en sus extremos por pasadores; la

barra CB tiene un área transversal de 14 mm2 y está hecha de aluminio 6061 – T6. Determine ladeflexión vertical de la barra en D cuando se aplica la carga distribuida.

A E C

A´E´

C´

0,5 m 0,75 m 0,5 m 0,75 m

2 m 2 m

1,5 m

C

A B

D

AE´

C´


6/18

Resolución

La carga distribuida que actúa sobre la barra rígida ABD origina un desplazamiento vertical de lospuntos D y B (el punto A no se desplaza porque está fijo al apoyo rígido tipo pasador). Para calcularestos desplazamientos primero realizo un análisis de fuerzas sobre la barra rígida ABD.

Anális is de la b arr a ríg id a ABD

Sobre esta barra actúan la fuerza resultante de la carga distribuida, la fuerza ejercida por el elementoBC y la fuerza de reacción en el apoyo tipo pasador (esta se descompone en dos componentes),tal como se muestra en el DCL siguiente.

Por segunda condición de equilibrio: 0TOTALES A M

0)2(1200)2(87,36 m N mSen F BC )(2000 TRACCIÓN N F BC

Por primera condición de equilibrio: 0 F 0;1600 Y X A A R N R

Cálcu lo de BC ( deform ación d e la barra BC)

La barra BC experimenta un ALARGAMIENTO porque la fuerza que actúa sobre ella es una fuerzade tracción. Para hallar este alargamiento utilizamos la ecuación siguiente:

Al BC

BC BC BC E A L F

)/109,68)(1014(

)5,2)(2000( 2926 m N m m N BC

mm BC 183,5

* Esta deformación (alargamiento) producida en la barra BC nos permite hallar la longitud final deesta barra. Se cumple que:

BC BC BC F L L )(0)( m L BC F 505183,2)(

Anális is d e deform aciones pro duc idas

Debido a la carga distribuida, el extremo D de la barra rígida ABD desciende hasta el punto D´ ,formándose la figura siguiente:

Aplicando la ley de cosenos en el triángulo CAB´ , hallamos la medida del ángulo . Es decir:

)90cos()2)(5,1(2)2()5,1()505183,2( 222 mmmmm rad 004323,02477,0

2 m2 m

36,87°

AD

B

1,5 m

2 m

2 m

A B D

B´

D´

C


7/18

Cálcu lo de D ( deflexión vertic al de la barra ABD en D)

La deflexión vertical de la barra ABD en D es aproximadamente igual al desplazamiento lineal delpunto D (longitud de arco recorrido por el punto D). Es decir:

ABD D L mm D 2839,17

PROBLEMA Nº 6

La barra tiene un ligero ahusamiento y longitud L. Está suspendida del techo y soporta una carga P

en su extremo. Demuestre que el desplazamiento de su extremo debido a esta carga es)/( 12 r r E PL . Desprecie el peso del material. El módulo de elasticidad es E .

Resolución

La carga P que actúa en el extremo inferior de la barra en forma de tronco cónico origina una fuerzaaxial interna de TRACCIÓN. Esta fuerza de TRACCIÓN produce ALARGAMIENTO de la barra, porlo tanto el extremo inferior de esta barra se desplaza verticalmente hacia abajo.Para calcular el desplazamiento del extremo inferior de la barra, primero hallo la fuerza axial internaaplicando el método de secciones. A continuación hallo el área de la sección transversal donde sehizo el “corte” imaginario y finalmente calculo el desplazamiento solicitado.

Cálcu lo de la fuerza axial intern a que actúa en la barra en forma de tron co cónic o

P

L

P

F = Fuerza axial interna

Por primera condición deequilibrio:

nn

Aplicando el método desecciones, trazamos lasección n-n que “corta”transversalmente a la barraen forma de cono, yanalizamos la parte inferiorde dicha barra


8/18

Al observar la barra en forma de tronco cónico, se obtienen las figuras siguientes:

Por semejanza de triángulos, tenemos:

L

x

r r

r r x

12

1)(

1

12

)(

)(r

L

xr r r x

Luego, el área de la sección transversal será:

2

)()( x x r A 2

112

)(

)(

r

L

xr r A x

Cálc u lo de (desplazamiento del extremo infer ior d el tronco c ónico )

Se cumple que: L

x

x

E A

dx F

0 )(

)( , donde: F (x) es la fuerza axial interna, igual a P , y es constante

Reemplazando el área A(x) y evaluando la integral, obtenemos:

21 r r E

L P

PROBLEMA Nº 7

L L

La columna de acero A-36 está embebida enconcreto de alta resistencia como se muestra en la

figura. Si se aplica una carga axial de 60 klbf a lacolumna, determine el área requerida de acero, demanera que la fuerza sea compartida igualmenteentre el acero y el concreto. ¿Cuánto se acorta lacolumna? La columna tiene una altura original de8 pies.

60 klbf

16 pulg9 pulg

8 pies


9/18

Resolución

Análisis de fu erzas que ac túan so bre la co lum na

Aplicando el método de secciones y analizando la parte superior de la columna, tenemos:


La carga axial aplicada a la columna produce CONTRACCIÓN en dicha columna. Es decir, elextremo superior (punto A) se desplaza verticalmente hacia abajo. Además, como el acero y elconcreto forman parte de un mismo sistema, las deformaciones en el acero y en el concreto soniguales (ver figura siguiente).

* Según tablas: 2336

lg/1029200;29 pubf k GPa E GPa E A ACEROCONCRETO

Vista de planta de la columna:

Cálcu lo de (deformación de la column a)

Se cumple: CONCRETO ACERO (La deformación es la misma porque el acero y el concreto

forman parte del mismo sistema).

Luego: mm pu pubf k pu

pubf k 138,0lg00544,0)lg/1029)(lg2358,18(

lg)128)(30(232

Nota.- El signo negativo de ind ica que la colum na se ACORTÓ.

= carga axial aplicada

A Por primera condición de equilibrio:

. . . (1)

Por condición:

Reemplazando en (1) y resolviendo tenemos:

ALÍNEA INICIAL

LÍNEA FINAL

Se cumple:

(Condición de compatibilidad)

. . . (2)

16 pulg

9 pulg

Reemplazando datos en la ecuación (2), tenemos:


10/18

PROBLEMA Nº 8 Un tubo de acero está lleno de concreto y sometido a una fuerza de compresión de 80 kN. Determineel esfuerzo en el concreto y en el acero debido a esta carga. El tubo tiene un diámetro exterior de

80 mm y un diámetro interior de 70 mm. E Acero = 200 GPa , E Concreto = 24 GPa.

Resolución

Análisis de fu erzas que ac túan so bre el tubo

Aplicando el método de secciones y analizando la parte superior del tubo, tenemos:


Se cumple: CONCRETO ACERO CONCRETOCONCRETO

CONCRETO

ACERO ACERO

ACERO

E A

L F

E A

L F

)1024)(07,0(4

)10200)(07,008,0(4

92922

CONCRETO ACERO F F CONCRETO ACERO F F 551,2 . . . (2)

Reemplazando (2) en (1) y resolviendo, obtenemos:

)(4713,57,)(5287,22 N CONTRACCIÓkN F N CONTRACCIÓkN F ACEROCONCRETO

Cálc u lo de (esfuerzo norm al prom edio) en el acero y en el conc reto

ACERO

ACERO

ACERO A

F

MPa

m

N ACERO 7832,48

)07,008,0)(4/(

104713,57

222

3

(CONTRACCIÓN)

CONCRETO

CONCRETOCONCRETO A

F MPa

m

N CONCRETO 8539,5

)07,0)(4/(

105287,2222

3

(CONTRACCIÓN)

Por primera condición de equilibrio:

. . . (1)

500 mm

(CONDICIÓN DE

COMPATIBILIDAD)


11/18

PROBLEMA Nº 9 El poste central B del conjunto tiene una longitud original de 124,7 mm, mientras que los postes A y C tienen una longitud original de 125 mm. Si las tapas arriba y abajo se consideran rígidas,determine el esfuerzo normal promedio en cada poste. Los postes están hechos de aluminio y tiene

cada uno un área transversal de 400 mm2. E Al = 70 GPa.

Resolución

Anális is d e fuerzas que ac túan s ob re la tap a rígi da d e arrib a

Las fuerzas que actúan sobre esta tapa en la situación final de equilibrio son las que se muestranen la figura siguiente:

Anális is de deformaciones pro duc idas

Resolviendo las ecuaciones (2) y (3), obtenemos:

)(726,75 COMPRESIÓN F F kN F C A

y )(547,8 COMPRESIÓN kN F B

100 mm 100 mm125 mm

A B C

800 kN/m

800 kN/m

Por 1ra condición de equilibrio:

. . . (1)

Por 2da condición de equilibrio:

En (1): . . . (2)

0,1 m 0,1 m

Línea Inicial

Línea final

A B

De la figura se observa que:

(Condición de compatibilidad)

Luego:


. . . (3)

mm3,0

O


12/18

Cálc u lo de (esfuerzo norm al promedio) en cada poste

Poste A: A

A A A

F )(189

10400

726,7526

COMPRESIÓN MPam

kN A

Poste B: B

B B A

F )(4,21

10400

547,826

COMPRESIÓN MPam

kN B

Poste C:C

C C A

F )(189

10400

726,7526

COMPRESIÓN MPam

kN C

PROBLEMA Nº 10

La carga distribuida está soportada por tres barras de suspensión. AB y EF están hechas dealuminio y CD está hecha de acero. Si cada barra tiene un área transversal de 450 mm2, determinela intensidad máxima w de la carga distribuida de modo que no se exceda un esfuerzo permisiblede MPaac perm 180)( en el acero y MPa Al perm 94)( en el aluminio. Se sabe que:

GPa E GPa E Al ac 70;200 .

Resolución

Análisis de fu erzas que ac túan so bre la b arra ho rizon tal

Aluminio Aluminio Acero

1,5 m1,5 m

A

B

C

D

E

F

2 m

EF F

w3

1,5 m1,5 m 1,5 m1,5 mC


13/18

Por 2da condición de equilibrio: 0TotalesC M F F F AB EF

Por 1ra condición de equilibrio: 0Y F w F F CD 32 . . . (1)

Anális is de d eformacion es p rodu cidas

Como las barras de suspensión de los extremos son del mismo material (aluminio), tienen la mismasección transversal y están ubicadas a la misma distancia de la barra central, entoncesexperimentan igual deformación. En este caso, la barra central, a pesar de ser de diferente material(acero), también va a experimentar la misma deformación que las barras de los extremos, ya queson los efectos de estas barras los que predominan.

Por lo tanto se cumple que: BC A (CONDICIÓN DE COMPATIBILIDAD)

Reemplazando A y C , tenemos:

aceroCD

CDCD

Al AB

AB AB

E A

L F

E A

L F

Las longitudes y las áreas se cancelan porque son iguales. Remplazando los módulos deelasticidad, queda:

CD F F 35,0 . . . (2)

De la condición del problema MPa Al perm 94)( y utilizando la ecuación A F / , tenemos:

A F Al perm )( kN m Pa F 3,42)10450)(1094( 266

Reemplazando el valor de F en la ecuación (2) y despejando F CD obtenemos: kN F CD 857,120

Finalmente reemplazamos F y F CD en la ecuación (1) y obtenemos: mkN w /5,68

De la otra condición del problema MPaacero perm 180)( y procediendo de manera similar que en

la condición anterior, tenemos:

A F acero permCD )( kN m Pa F CD 81)10450)(10180( 266

Reemplazando el valor de F CD en la ecuación (2) obtenemos: kN F 35,28

Finalmente reemplazamos F y F CD en la ecuación (1) y obtenemos: mkN w /9,45

De los dos resultados obtenidos para w , se concluye que la intensidad máxima de la cargadistribuida debe ser:

mkN w /9,45


14/18

PROBLEMA Nº 11

Una barra de aleación de aluminio de 3 pulgadas de diámetro y 80 pulgadas de longitud está librede esfuerzo después de unirse a apoyos rígidos, como se muestra en la figura. Determine elesfuerzo normal en la barra después que la temperatura desciende 100 °F. Use:

F y pubf k E /105,12lg/10600 62

Resolución

Cálc u lo de T (deformación en la barra debido al camb io de temperatura)

Se sabe: LT T ))(100)(/105,12( 6 L F F T

lg)(1025,1 3 puen LT

Nota.- El signo (-) para T , indica que la barra experimentó una CONTRACCIÓN.

Cálc u lo de (esfuerzo n orm al) en la barra

A partir de las ecuaciones: A F

y E A L F

, obtenemos: L

E

Reemplazando E y T obtenemos: L L pubf k )1025,1)(lg/10600( 32

2lg25,13

pubf k

)(lg

25,132

N CONTRACCIÓ pu

bf k

PROBLEMA Nº 12

Se usaron nueve varillas de acero de refuerzo ( 2

lg/30000 pubf k E ) de 3/4 de pulg dediámetro cuando se construyó la pila corta de concreto ( 2lg/4500 pubf k E ) mostrado en la

figura. Después que se aplica una carga bf k P 150 a la pila, la temperatura aumentó 100 °F. Los

coeficientes de expansión térmica del acero y del concreto son F /106,6 6 y F /100,6 6 ,respectivamente. Determine:

a) Los esfuerzos normales en el concreto y en las barras de acero después que la temperaturaaumenta.

b) El cambio de longitud de la pila que resulta de los efectos combinados del cambio de temperatura

y de la carga.

A B


15/18

Resolución

Análisis de fu erzas que actúan s ob re la p ila

Anális is d e deform aciones pro duc idas

Como el acero y el concreto forman parte de un mismo sistema, se cumple:

)()( CONCRETOTOTAL ACEROTOTAL (CONDICIÓN DE COMPATIBILIDAD)

Como en este caso los materiales experimentan dos tipos de deformación, una debido a la fuerzaaxial ( ) y la otra debido al cambio de temperatura (

T

), la ecuación anterior equivale a:

)()( concT concacT ac LT E A

L F LT

E A

L F conc

concconc

concac

acac

ac

)()(

10 pulg

10 pulg

24 pulg

Cubierta

rígida

bf k P 150


. . . (1)


16/18

Cancelando L de todos los términos de la ecuación anterior, y ordenando la ecuación, tenemos:

T E A

F

E A

F concac

acac

ac

concconc

conc

)( . . . (2)

Donde: 22 lg976,3])8/3([9 pu Aac ;22 lg024,96lg100 pu A pu A acconc

Reemplazando las áreas, los coeficientes de expansión térmica y el cambio de temperatura en la

ecuación (2), y simplificando, tenemos:bf k F F concac 77,289928,119208,4051 . . . (3)

Resolviendo las ecuaciones (2) y (3) obtenemos:

)(35,110;)(649,39 COMPRESIÓN bf k F COMPRESIÓN bf k F concac

Cálculo de los esfuerzos normales en el acero y en el concreto

ac

ac

ac A

F

)(

lg972,9

lg976,3

649,39

22

COMPRESIÓN pu

bf k

pu

bf k

ac

conc

concconc A

F )(

lg226,1

lg024,96

35,11022

COMPRESIÓN pu

bf k

pu

bf k conc

Cálculo del cambio de longitud L de la pila

El cambio de longitud L de la pila es igual a la deformación total en el acero (debido a la cargaaxial y al cambio de temperatura), o igual a la deformación total en el concreto (debido a la cargaaxial y al cambio de temperatura). Es decir:

concac L

Luego:acac

acac E A

L F LT L )(

lg466,8 mpu L

PROBLEMA Nº 13Una barra prismática ( C yGPa E /105,2270 6 ), libre de esfuerzos a la temperaturaambiente, está ligada a muros rígidos en sus extremos. Un extremo de la barra se calienta a 100°Carriba de la temperatura ambiente, mientras que el otro extremo se conserva a la temperaturaambiente. El cambio de temperatura a lo largo de la barra es proporcional al cuadrado de la distanciaa partir del extremo sin calentar. Determine el esfuerzo normal en la barra después del cambio detemperatura.

ResoluciónSegún el enunciado, la figura correspondiente es la que se muestra a continuación.

A B


17/18

Por condición del problema: 2 xT . . . (1) , = constante de proporcionalidad

Del enunciado tenemos que para L x C T 100 . Evaluando estos valores en la ecuación

(1), tenemos que:

2100 LC 2

100

L

C

Reemplazando en la ecuación (1), queda: 22

100 x

L

C T

Hal lamo s el desplazamiento T debido al cambio d e temp eratura T

Cuando T es variable, el desplazamiento T viene dado por la ecuación siguiente:

L

T dxT 0

L

T dx x L

C

0

2

2

100 LC T

3

100

Cálcu lo del es fuerzo n orm al en la barra d espués d el cam bio de tem peratu ra

Se cumple que , en función de la deformación , viene dado por: L

E

Reemplazando LC

T 3

100 en la ecuación anterior, queda: E

C

3

100

Reemplazando los valores de y E , tenemos que el esfuerzo normal en la barra es igual a:

)1070()/105,22(3

100 96 PaC C

MPa5,52

PROBLEMA Nº 14

La barra central CD del conjunto se calienta de C T 301 a C T 1802 por medio de una

resistencia eléctrica. A la temperatura inferior1

T , el espacio entre C y la barra rígida es de 0,7 mm.

Determine la fuerza en las barras AB y EF causada por el incremento de temperatura. Las barras

AB y EF son de acero y cada una tiene un área transversal de 125 mm 2. CD es de aluminio y tiene

un área transversal de 375 mm2. C yGPa E GPa E Al Al ac /102370,200 6

0,7 mm

-

A

B

C

D

E

F

300 mm240 mm

+


18/18

Resolución

Análisis de fu erzas que actúan so bre la barra h orizo ntal BF en la situación fin al de

equi l ibr io (cuando C T 1802 )

Sobre la barra horizontal BF , cuando la temperatura final es2T , actúan tres fuerzas axiales: BA F ,

DC F y FE F , tal como se muestra en la figura siguiente.

Anális is de d eformacion es p rodu cidasLa figura inferior muestra las posiciones inicial y final de la parte superior de la barra central CD dealuminio. Esta parte superior de la barra (al igual que toda la barra) experimenta dos tipos dedeformación, una debido al cambio de temperatura y otra debido a la fuerza axial. En este caso,dado que el incremento de temperatura es positivo y tiene un valor alto, la deformación térmica

)( Al T también es positiva y es mayor que la deformación debido a la fuerza axial Al .

Además:- Como la fuerza axial en la barra central es de COMPRESIÓN, esta fuerza produce

CONTRACCIÓN, por esa razón Al está dirigida hacia abajo (lleva signo negativo).

- Como las fuerzas axiales en las barras de los extremos son de TRACCIÓN, estas fuerzas producen ALARGAMIENTO, por esa razón ac está dirigida hacia arriba (lleva signo positivo).

Luego, las fuerzas en las barras AB y EF son:

kN F F EF AB 23,4

0,7 mm

Línea final

Línea inicial

De la figura:

Reemplazando deformaciones, tenemos:

Despejando F , obtenemos:

(Condición de

compatibilidad)


Por simetría de la figura, se cumple:

B F

problemas de semana n_ 03-mecánica de sólidos ii-verano 2016(k)

Documents