introducción a la mecánica de los sólidos deformables (upm 2014)

8/20/2019 Introducción a La Mecánica de Los Sólidos Deformables (UPM 2014)

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Introducci´ on a la mecánicade los s´ olidos deformables

Ignacio Romero Olleros

E.T.S. Ingenieros Industriales

Universidad Polit écnica de Madrid

4 de Febrero, 2014


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Índice

Caṕıtulo 1. Álgebra y cálculo tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1. Vectores y campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1. Componentes y cambio de base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Operaciones algebraicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Cálculo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Tensores y campos tensoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1. Componentes y cambio de base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2. Operaciones algebraicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3. Tensores con propiedades especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4. Descomposiciones de tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.5. Autovectores y autovalores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.6. Cálculo tensorial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Caṕıtulo 2. Estudio del equilibrio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1. El modelo del s´ olido deformable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2. Fuerzas que act´ uan sobre los s´ olidos deformables . . . . . . . . . . . . 162.1. Fuerzas volumétricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2. Fuerzas de supercie o de contacto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3. Fuerzas internas en un cuerpo deformable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4. El tensor de tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.1. Interpretaci´ on fı́sica de las componentes del tensor detensiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

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5. Ecuaciones de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.1. Principio fundamental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.2. Equilibrio de fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.3. Equilibrio de momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

6. Tensiones principales y direcciones principales detensi´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

7. Representaci´ on gr´ aca de un tensor de tensiones . . . . . . . . . . . . 29

8. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Caṕıtulo 3. Análisis de la deformaci´ on de los cuerpos . . . . . . . . . . . . . . 45

1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2. Cinem´ atica de un cuerpo deformable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3. C´alculo de deformaciones. El tensor de deformaci´ oninnitesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.1. El tensor de deformaciones innitesimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2. Cálculo de deformaciones longitudinales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.3. Cálculo de deformaciones angulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.4. Interpretaci´ on geométrica de las componentes del tensor dedeformaci ón. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4. La deformaci´ on volumétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5. Deformaciones principales y direcciones principales dedeformaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6. Galgas extensométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7. El diagrama de Mohr de deformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

8. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

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Caṕıtulo 4. Elasticidad y termoelasticidad lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671. El concepto de elasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2. El principio de superposici´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3. Las constantes el´ asticas de un material is´ otropo . . . . . . . . . . . . . 693.1. El módulo de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.2. El coeciente de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4. La ley de Hooke generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5. Las ecuaciones de Lamé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6. Deformaciones y tensiones proporcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747. Termoelasticidad lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

8. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Caṕıtulo 5. Estudio del problema elástico completo . . . . . . . . . . . . . . . . 81

1. Enunciado completo del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

2. El principio de los trabajos virtuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3. Las ecuaciones de Navier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4. El principio de Saint Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5. Estados planos de tensi´ on y deformaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.1. Estados de tensi´on plana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.2. Estados de deformaci´on plana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.3. El diagrama de Mohr en estados planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Caṕıtulo 6. La enerǵıa elástica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

1. El trabajo de las fuerzas exteriores sobre un cuerpodeformable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

2. La enerǵıa elástica de deformaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

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Caṕıtulo 1

Álgebra y cálculo tensorial

Cada disciplina de la ciencia y la ingenieŕıa tiene su lenguaje, que ha idoevolucionando con los años y que permite su descripci´ on de la forma m ás clara ysencilla posible. La elasticidad es una teoŕıa de campos y, como tal, se expresa m´ asclara y sencillamente en el lenguaje de los vectores y los tensores. Se podŕıa decirque el lenguaje natural de la teoŕıa de la elasticidad, aquel en el que los conceptosaparecen más claramente representados, es el de los vectores y los tensores, y por elloparece recomendable su uso. En estas p´ aginas se recogen los conceptos más básicos,que son los que se emplear án en el desarrollo de la asignatura. Un desarrollo m´ ascompleto de los conceptos del álgebra y c álculo tensorial se pueden encontrar, entremuchos otros, en [4, 5, 6, 8].

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1. Vectores y campos vectorialesLa denici ón completa de un vector y un campo vectorial se puede consultar en

cualquier libro de álgebra. En lo que sigue, llamaremos vector simplemente a unelemento cualquiera de R d , siendo d igual a 3 en estas notas, aunque la gran partede los conceptos que se presentan son v´ alidos también para otras dimensiones. Uncampo vectorial denido en Ω ⊂ R 3 es una funci ón que para todo punto en Ω devuelve un vector.

Notaci´ on: Para diferenciar los vectores de los escalares se emplean en la literaturadistintas notaciones. Aśı, dependiendo del libro u autor que se consulte, un mismovector se puede ver escrito como u , ū, u,u, . . . Entre todas estas utilizaremos laprimera.

1.1. Componentes y cambio de base

Sea B = {e 1, e 2, e 3} una base cartesiana de R 3. Cualquier vector v ∈ R 3 sepuede expresar de la forma

v = v1e 1 + v2e 2 + v3e 3 =3

i=1

vi e i , (1.1)

y v1, v2, v3 se llaman las componentes de v en la base B . Las componentes de unvector cambian según la base a la cu ál se reeran, por lo tanto no se debe confundirel vector mismo con su representaci´ on.

Para expresar que una terna v1, v2, v3 son las componentes del vector v en labase B escribiremos:

{v}B =v1v2v3 B

. (1.2)

A menudo, cuando no hay posibilidad de confusi´ on porque s ólo se ha denido unabase se emplea la notación

{v}=v1v2v3

, o simplemente v =v1v2v3

. (1.3)

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La relaci ón entre las componentes de un vector, referidas a dos bases distintasse obtiene de la siguiente manera. Sea B la base anteriormente denida y B unanueva base cartesiana formada por los vectores ortormales {e 1, e 2, e 3}. Un vectore i cualquiera de la base B se puede expresar como suma de vectores de la base B de la forma:

e i = a i1e 1 + a i2e 2 + a i3e 3 , siendo aij = e i ·e j . (1.4)Otro vector cualquiera v se puede escribir indistintamente como combinaci´ on linealde los elementos de B o de los de B :

v =

3

i=1 vie i =

3

j =1 v j e j .

Sustituyendo la expresi´ on (1.4) e identicando las componentes se obtiene

v j =3

i=1a ij vi . (1.5)

Esta última relación se puede expresar matricialmente como

v1v2v3 B

=a11 a21 a31a12 a22 a32

a13 a23 a33

v1v2

v3 B , (1.6)

o de forma compacta

{v}B = [A]T {v}B . (1.7)

Si las bases B y B son ortonormales, la matriz de cambio de base [ A], es una matrizortogonal, es decir, que verica [ A]−1 = [A]T . Más aún, si las dos bases tienen lamisma orientación ([e 1 e2 e3] = [e 1 e2 e3], ver debajo el signicado de la operación[]), entonces el determinante de [ A] es igual a 1 por tanto es una rotaci´ on.

Es habitual referirse a los vectores de la base cartesiana de R 3 como {i , j , k} ylas componentes de un vector v en dicha base como vx , vy , vz .

1.2. Operaciones algebraicas

Los vectores de R d poseen las operaciones vectoriales b´ asicas de suma ymultiplicaci ón por un escalar. Para realizar operaciones vectoriales nos vemos

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obligados a menudo a emplear las componentes de un vector, pero es importanterecalcar que el resultado es independiente de la base escogida, siempre que todos losvectores que intervengan se expresen en la misma base. Por ejemplo, para calcular elvector c = a + b, utilizamos las componentes de todos ellos en la base B y podemosemplear la expresi´on:

c1c2c3 B

=a1a2a3 B

+b1b2b3 B

. (1.8)

Adem ás, en el espacio eucĺıdeo se dene el producto escalar de dos vectores conla expresi ón

a ·b = a1b1 + a2b2 + a3b3 . (1.9)El producto escalar, como el resto de operaciones de las que tratamos, es unaoperaci ón intŕınsica que no depende de la base escogida. La norma de un vectorse indicar á como |a | y se dene de la siguiente forma

|a | = √ a ·a . (1.10)Cualquier vector no nulo se puede normalizar, multiplic´ andose por el inverso de sunorma, y obteniéndose un vector unitario . Dado un vector cualquiera a y otrovector cualquiera unitario u , se denen la proyecci ón de a sobre u y la proyección

de a sobre el plano normal a u como

a u = ( a ·u )u , a⊥u = a −a u . (1.11)Esta descomposici´on es única y se puede escribir a = a u + a⊥u .

El producto vectorial de dos vectores se indica como a ×b y se dene elproducto mixto a , b, c como

[a b c ] = a ·b ×c . (1.12)

1.3. Cálculo vectorial

En Teoŕıa de Campos se estudian los principales operadores diferenciales queact úan sobre los campos escalares y vectoriales. Estos son el gradiente, la divergenciay el rotacional. Para denirlos, consideramos en esta secci´ on una base cartesiana

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referirnos a los de segundo orden, los más habituales en mecánica. Por ejemplo, eltensor de inercia que se emplea en Mec´ anica Cl ásica es un tensor de segundo orden.Los tensores se estudian a menudo en ´ algebra bajo el nombre de

“homomorsmos” y son simplemente aplicaciones lineales de R d en R d , es decir,funciones lineales que transforman un vector en otro. Para cualquier vector a ∈

R d ,un tensor T es una operaci ón lineal tal que T (a ) es otro vector. Por sencillez, losparéntesis se eliminan y se escribe simplemente b = T a .

Un campo tensorial no es más que una función que para cada punto de undominio devuelve un tensor. Volviendo al ejemplo de la Mec´ anica Cl ásica, el tensorde inercia es un campo tensorial que depende del punto donde se calcule. Adem´ astransforma vectores en vectores. Si el punto de evaluaci´ on es el centro de gravedado un punto jo, este tensor transforma la velocidad angular en el momento cinéticorespecto al punto.

Notaci´ on: Igual que en el caso de los vectores, existe una notaci´ on especial quepermite distinguir los tensores de segundo orden del resto de objetos (escalares,vectores, . . . ). También esta notaci´ on depende del autor o del libro que se consultey un mismo tensor se puede escribir como A , ¯̄A, A,A, . . . En estas notas se emplear´ ala primera de ellas y se evitar´ a la confusi ón entre vectores y tensores de segundoorden empleando siempre que no se indique lo contrario letras min´ usculas en el

primer caso y mayúsculas en el segundo.

2.1. Componentes y cambio de base

Recordamos que un tensor es simplemente una operaci´ on que transformavectores en vectores, y que es lineal. Pues bien, en particular se pueden usartensores y operarlos sobre los vectores de una base B . Con ello se pueden denir lascomponentes de un tensor T como los nueve escalares

T ij = e i ·(T e j ) , i = 1 , 2, 3 j = 1 , 2, 3 . (1.17)

Las componentes de un tensor referidas a una base B se muestran en forma dematriz, y se escribe[T ]B =

T 11 T 12 T 13T 21 T 22 T 23T 31 T 32 T 33 B

, (1.18)

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de forma an áloga a la expresi ón en un vector columna de un vector (1.2). Como enel caso de los vectores, la matriz de un tensor en una base cualquiera no debe deconfundirse con el tensor propiamente dicho.

La propiedad de linealidad de los tensores implica que las componentes del vectorb que resulta de la aplicación de un tensor T sobre un vector a se pueden obtenermultiplicando la matriz [ T ]B y el vector columna {a }B . Es decir, si b = T a ,entonces

{b}B = [T ]B {a }B , o más explı́citamenteb1b2b3 B

=T 11 T 12 T 13T 21 T 22 T 23T 31 T 32 T 33 B

a1a2a3 B

.

(1.19)Observando la denición de las componentes de un tensor deducimos que éstas

dependen de la base en la que se exprese el tensor. Para hallar la relací on entrecomponentes de un mismo tensor en dos bases cartesianas distintas B y B escribimosla relaci ón b = T a en componentes de las dos bases.

{b}B = [T ]B {a }B , y {b}B = [T ]B {a }B . (1.20)La expresi ón (1.7) relaciona las componentes de los vectores a y b en las dos basesaśı que la segunda ecuaci´ on de (1.20) se puede escribir como

[A]T {b}B

= [T ]

B [A]T {a }

B . (1.21)

Despejando {b}B y comparando el resultado con la primera ecuaci´ on de (1.20)se deduce que la expresión que relaciona las componentes de T en las dos basesconsideradas es

[T ]B = [A][T ]B [A]T . (1.22)

2.2. Operaciones algebraicas

Los tensores poseen las operaciones de suma, multiplicací on y multiplicaciónpor un escalar. La expresión matricial del resultado de todas estas operaciones esla correspondiente operaci´ on matricial operada sobre las matrices de componentes

de los tensores. Insistimos, como en el caso de los vectores, que el resultado esindependiente de la base escogida.La traza de un tensor es la suma de los elementos de la diagonal de su matriz

de compomentes:tr[T ] = T 11 + T 22 + T 33 . (1.23)

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La traza de un tensor no depende tampoco de la base en la que se exprese su matrizde componentes y se dice que es por tanto un invariante del tensor. Esto se puedecomprobar calculando la traza del tensor en la ecuaci´ on (1.22). La operación trazaes lineal aśı que, dado un escalar α y dos tensores T , S ,

tr[αT ] = αtr[T ] , tr[T + S ] = tr[ T ] + tr[ S ] . (1.24)

El producto escalar entre tensores de orden dos se escribe con el śımbolo “:”y se dene como la operaci ón que a toda pareja de tensores T , S asocia el escalarT : S denido por

T : S = tr[ S T T ] . (1.25)

En componentes, la operaci´ on de la doble contracción, como tambíen se conoce aeste producto escalar, es simplemente

T : S =3

i=1

3

j =1T ij S ij . (1.26)

Como esta operación dene un producto escalar, también se puede denir unanorma asociada de tensores:

T = √ T : T . (1.27)El determinante de un tensor T es el escalar det( T ) que verica

[Ta T b Tc ] = det( T )[a b c ] . (1.28)

Adem ás, se puede demostrar, que el determinante se puede obtener calculandoel determinante de la matriz de componentes del tensor, en cualquier base. Eldeterminante es, por tanto, otro invariante del tensor.

2.3. Tensores con propiedades especiales

Dependiendo de sus propiedades, los tensores se clasican empleando unoscalicativos idénticos a los de la clasicaci´ on de las matrices. En primer lugar,el tensor identidad I es el único que verica Ia = a para todo vector a . Lamatriz de componentes de I , en cualquier base, es la matriz identidad. El tensor nulo es el único tensor tal que T + 0 = T , para cualquier tensor T .

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2.5. Autovectores y autovalores

Dado un tensor T cualquiera, se dice que el vector v es un autovector y λ suautovalor asociado si v es unitario y

T v = λv . (1.33)

Para calcular los autovalores buscamos las soluciones no triviales de la ecuaci´ on(1.33) y para ello hay que resolver la ecuaci´ on

det( T −λ I ) = 0 . (1.34)Esta ecuaci´on es un polinomio de tercer grado que tiene por expresi´ on

−λ3 + I 1(T )λ2 −I 2(T )λ + I 3(T ) = 0 . (1.35)Las funciones I 1, I 2, I 3 son los llamados invariantes principales del tensor T , porqueno dependen de la base, y su expresi´ on explı́cita es

I 1(T ) = tr[ T ] , I 2(T ) = 12 (tr[ T ]2 −tr[T 2]) , I 3(T ) = det( T ) . (1.36)

Como en álgebra de matrices, una vez calculados los tres autovalores λ1, λ 2 yλ3, se calculan sus autovectores asociados buscando las bases de los espacios nulos

de los tensores T −λI , (1.37)que no son vaćıos por denici´ on. Cuando el tensor es simétrico, el siguiente teoremaespectral garantiza que los autovalores y autovectores cumplen una propiedadesespeciales que se emplear án muy a menudo en la mec´anica de s ólidos deformables.Por su importancia incluimos una demostraci´ on del teorema.

Teorema 2.2: Los tres autovalores de un tensor simétrico S son reales y sus tres autovectores asociados forman una base ortonormal, llamada la base principal del tensor, que denominamos

B ∗. En esta base, la expresi´ on matricial del tensor es:

[S ]B ∗ =

λ1 0 00 λ2 00 0 λ3 B

∗

. (1.38)

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Demostraci ón: Demostramos primero que los tres autovalores son reales. Como elpolinomio caracterı́stico de S es de tercer orden existen tres autovalores λ1, λ 2, λ 3que en principio pueden ser complejos. Si v es el autovector asociado a un autovalorλ de los tres y v̄ es el autovector conjugado entonces

v̄ ·Sv = v̄ ·λv = λ|v |2 . (1.39)Conjugando ambos lados de la ecuaci´ on anterior, se obtiene

v ·S v̄ = λ̄|v |2 . (1.40)Igualando las identidades de (1.39) y (1.40) concluimos que λ = λ̄ , es decir que λ

es real.La demostración de la segunda parte es inmediata si los autovales son distintos,

pero consideramos el caso más general. Como antes, sean ( λ1, λ 2, λ 3) los tresautovalores de S (ordenados de cualquier manera) y ( v1, v2, v 3) sus autovectorescorrespondientes. Si w es un vector ortogonal a v1, entonces Sw es tambiénortogonal a v1, porque v1 ·Sw = Sv 1 ·w = λ1v1 ·w = 0. Aśı pues S , cuandose restringe al subespacio de vectores ortogonales a v1 es también un tensor deese conjunto a śı mismo. Por lo tanto tendr´ a dos autovalores y autovectores, queforzosamente deberán ser ortogonales a v 1. Tomando uno cualquiera que llamamosλ2 y v2 al autovector, repetimos el mismo argumento para el subespacio de vectoresortogonales a v1 y v2 para concluir que los tres autovectores son ortonormales.

En la base principal tenemos

{v1}B ∗ =

100 B

∗

, {v2}B ∗ =

010 B

∗

, {v3}B ∗ =

001 B

∗

, (1.41)

por lo que la expresi ón matricial de S ha de ser como se indica en (1.38).Un tensor simétrico con dos autovalores iguales se llama ciĺındrico , y cuando

los tres son iguales, esf́erico . En este último caso el tensor ha de ser proporcionalal tensor identidad.

2.6. Cálculo tensorial

Como en el caso del cálculo vectorial resumimos únicamente los elementos m´ asbásicos del cálculo tensorial, aquellos que emplearemos en la asignatura. En primerlugar hay que indicar que existen expresiones para el gradiente y la divergencia

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de tensores de cualquier orden (no s´ olo de segundo orden). Puesto que no sonnecesarios no los deniremos aqúı. Tan s´ olo serán necesarios el gradiente de uncampo vectorial, que es un campo tensorial, y la divergencia de un campo tensorial,que es un campo vectorial.

Para denir el gradiente de un campo vectorial de forma intŕınsica (sincoordenadas) se usa la misma idea que el caso de un campo escalar. En esta situaci´ onse dene el gradiente de un campo escalar φ como aquel único vector grad φ queverica que, para cualquier pareja de puntos P o y P

φ(P ) = φ(P o) + grad φ(P o) ·r + O(|r |2) , (1.42)

siendo r el vector que va del punto P o al punto P . En el caso de un campo vectorialv su gradiente es el único tensor grad v tal que

v (P ) = v (P o) + (grad v (P o)) r + O(|r |2) . (1.43)En una base cartesiana las componentes del tensor grad v son

[grad v (x,y,z )] =vx,x vx,y vx,zvy,x vy,y vy,zvz,x vz,y vz,z

. (1.44)

El operador divergencia de un campo tensorial T se dene de forma intŕınsicacomo aquel único campo vectorial div T que verica

(div T ) ·a = div ( T T a ) , (1.45)para todo vector a . En coordenadas cartesianas, las componentes del vector div T son

{div T (x,y,z )}=T xx,x + T xy,y + Txz,zT yx,x + T yy,y + Tyz,zT zx,x + T zy,y + Tzz,z

. (1.46)

El teorema de la divergencia para campos tensoriales es pr´ acticamente

idéntido a (1.15), pues establece que para toda regi´ on Ω ∈ R3

de contorno Γ yun campo tensorial T denido en ella, la integral de la divergencia de T es igual alujo saliente de T :

Ω div T dΩ = Γ T ·n dΓ , (1.47)12


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siendo n la normal saliente a Γ . Para el mismo dominio, si v es un campo vectorial,entonces la f órmula de la integraci´ on por partes es

Ω div T ·v dΩ = Γ (T n ) ·v dΓ − Ω T : grad v dΩ . (1.48)3. Problemas

1) Demuestra que, para cualquier tensor T , su traza verica tr[ T ] = I : T . Calculala traza del tensor identidad.

2) Demuestra el resultado (1.16) utilizando el teorema de la divergencia sobre el

campo vectorial φv .3) Comprueba que el tensor antisimétrico asociado a un vector de componentesv = {vx , vy , vz}T es el que tiene por matriz de componentes

[V ] =0 −vz vyvz 0 −vx−vy vx 0

.

4) Si S es un tensor simétrico y W antisimétrico, comprueba que S : W = 0. siV es un tensor esférico y E uno desviador, comprueba también que V : E = 0.

5) Demuestra que el producto escalar de vectores no depende de la base escogida.6) Si u es un campo vectorial, demuestra que el vector axial de la parte

antisimétrica del tensor grad ( u ) coincide con 12 rot( u ).7) El tensor T en la base B = {e 1, e 2, e 3} tiene la siguiente expresi´on matricial

[T ] =2 3 03 4 00 0 5

.

Encontrar la expresi´ on matricial de T en la base B = {e 1, e 2, e 3} si e1 =√ 32 e1 +

12 e 2, e2 = −12 e 1 +

√ 32 e2 y e3 = e3. Comprobar que la traza y el

determinante no dependen de la representaci´ on matricial.

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Caṕıtulo 2

Estudio del equilibrio

1. El modelo del s´ olido deformable

La materia no es contiua. Si empleamos un microscopio de suciente resoluci´ onpodremos apreciar cómo ésta se compone de multitud de at´ omos separados entreśı, los cuales a su vez están formados por un núcleo diminuto y nubes de electroneslejanos a estos. Esta observaci´ on es válida para cualquier tipo de cuerpo: s ólido,ĺıquido o gaseoso.

En cualquier rama de la ciencia, e ingenieŕıa en particular, se formulanmodelos matemáticos de la realidad para poder explicar su comportamiento ypoder predecir su comportamiento futuro. Todos los modelos son inexactos, puesasumen simplicaciones de la materia para que las ecuaciones resultantes puedanser manejables y se puedan resolver al menos en algunos casos. Hay en cualquier

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caso una cierta jerarqúıa de modelos de la realidad f́ısica, desde los m´ as sencillos einexactos, hasta los m´ as complejos y precisos.En mec ánica de s ólidos, que es la disciplina que nos concierne, existe el modelo

de “part́ıcula” que Galileo y Newton, entre otros, introdujeron. Seg´ un este modelo,la din ámica de s ólidos puede estudiarse considerando que estos son puntos dotadosde masa. Un modelo de complejidad mayor es el de “ś olido rı́gido”, que incorporadetalles sobre la distribuci´ on de la masa y la orientación de los cuerpos.

Los dos modelos indicados no describen ni la deformabilidad de los cuerpos,ni la posibilidad de rotura/fallo, ni las diferencias entre distintos materiales, ni losefectos de la temperatura sobre los cuerpos... Para incorporar todos estos aspectosse formula un modelo más complejo, llamado el modelo de “sólido deformable”, quesigue siendo imperfecto e inexacto, pero cuya precisi´ on a la hora de reproducir loque ocurre con los s ólidos reales es mucho mayor que la de la part́ıcula o el s´ olidoŕıgido.

En este curso describiremos el modelo de “s´ olido deformable” para formados pormateriales:

• continuos , por lo tanto ignorando la estructura at´ omica de la materia;• homogéneos , es decir indistinguibles punto a punto;• el´ asticos , o sea cuya deformaci ón desaparece de forma instant´ anea cuando lascargas se retiran;

• is´ otropos , que indica que las propiedades son las mismas en todas las direccionesdel espacio.Aún con estas limitaciones, el modelo matem´ atico resultante es muy complejo,

aśı que incorporamos una restricci´ on más, que no tiene que ver con el material sinocon el tipo de problema que vamos a estudiar y es que s´ olo consideramos problemasen los que las deformaciones y sus gradientes son muy peque˜ nas.

Con estas restricciones, estudiaremos el comportamiento de s´ olidos, entendidoscomo subconjuntos Ω ⊂R 3, con contorno Γ formados por un conjunto continuo depuntos que debido a la acci´ on de fuerzas exteriores y/o temperatura pueden adoptarformas distintas a la original.

2. Fuerzas que act´ uan sobre los s´ olidos deformablesComo la mec ánica trata de las fuerzas y su efecto sobre los cuerpos, el primer

paso para describir en qué consiste el s´ olido deformable consiste en delimitar quéfuerzas vamos a considerar y cu´ ales no.

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En el caso de la part́ıcula, las ´ unicas fuerzas que se admiten son las fuerzaspuntuales. En el modelo del s´ olido ŕıgido, adem´ as de las primeras, se admintenpares de fuerzas. En el modelo de s´olido deformable no se admite ninguna de las dos anteriores y sin embargo se permiten dos nuevos tipos de fuerzas llamadas fuerzas volumétricas y fuerzas de supercie .

2.1. Fuerzas volumétricas

Las fuerzas volumétricas son fuerzas que act´ uan sobre cada diferencial devolumen del cuerpo, o equivalentemente, sobre cada diferencial de masa. El ejemploclásico es el de la fuerza de la gravedad, que act´ ua sobre cada elemento diferencialde volumen “tirando”de él hacia abajo. Matem´ aticamente, las fuerzas volumétricasse describen con un campo vectorial f v : Ω →R 3 de forma que sobre el diferencialde volumen en el punto P ∈ Ω actúa una fuerza diferencial f v dv. La resultante,por tanto, de todas las fuerzas volumétricas que act´ uan sobre un cuerpo es

R v = Ω f v(P ) dv , (2.1)o en componentes en una base cartesiana B = {i , j , z },

RvxRvyRvz

= Ω f vx (P ) f vy(P )

f vz (P ) dv . (2.2)

2.2. Fuerzas de supercie o de contacto

Las fuerzas de supercie, tambíen llamadas fuerzas de contacto, son fuerzasaplicadas sobre el cuerpo a través de su contorno Γ . Matem áticamente se expresancomo un campo vectorial f s : Γ → R 3 denido sobre el contorno de fuerzas porunidad de supercie. Sobre un diferencial de ´ area sobre el punto P

∈ Γ actúa

una fuerza total de valor f s dA y, por tanto, la resultante de todas las fuerzas desupercie actuando sobre un cuerpo es:

R s = Γ f s (P ) dA , (2.3)17


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o en componentes en una base cartesianaRsxRsyRsz

= Γ f s x (P ) f s y(P ) f s z (P ) dA . (2.4)En mec ánica, se denomina tensi´ on a la fuerza aplicada sobre la unidad de ´ area. Adiferencia de la presi´ on , la tensi ón tiene direcci ón y sentido.

Observaciones 2.1:

i. Los sólidos deformables no admiten fuerzas ni pares puntuales.

ii . Las fuerzas volumétricas tienen dimensiones de F/L3

y las de superce, de F/L2

.iii . Las fuerzas de supercie se pueden descomponer en su componente normal y

tangencial a la supercie del cuerpo. Si consideramos un punto P ∈ Γ , y lanormal a Γ n en dicho punto, podemos calcular f s n = ( f s ·n )n , f s⊥n = f s − f s n . (2.5)

Es común estudiar s´olidos deformables sujetos en una parte de su contorno quedenominaremos Γ u , de forma que Γ = Γ u∪Γ t con Γ u ∩Γ t = . En el contorno Γ u essólido deformable tiene sus desplazamientos impedidos y para ello la sustentaci´ onejerce unas fuerzas de supercie de valor desconocido a priori que se encargan desatisfacer dicha restricci´ on. Por el contrario, o bien Γ t es una supercie libre o bienhay fuerzas de supercie conocidas, de tal manera que los desplazamientos de suspuntos son desconocidos cuando se plantea el problema (ver Figura 2.1).

La resultante de la fuerzas de supercie sobre Γ u se llama la reacci´ on sobre elcuerpo y no se conoce hasta que se resuelve todo el problema de contorno.

3. Fuerzas internas en un cuerpo deformable

El concepto de fuerza interna es central para el estudio de cuerpos deformables

y es nuevo, en el sentido de que no existe en los modelos de part́ıculas con masa oen el de cuerpos ŕıgidos.Cuando se estudia un cuerpo deformable sometido a fuerzas externas se deduce

que, aunque no se puedan medir, deben de existir fuerzas en el interior del mismo.Estas no se pueden medir porque para ello habŕıa que partir el cuerpo, creando una

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Ω

Γ u

Γ t

f v

f s

Figura 2.1: El modelo de cuerpo deformable

nueva supercie externa y por tanto dejaŕıan de ser fuerzas internas. Pero, sin dudadeben de existir para mantener la cohesi´ on entre sus part́ıculas y para transmitirlas fuerzas aplicadas desde el exterior, en la supercie o en el interior.

Para comprender este nuevo concepto, consideramos un cuerpo formado por unaparte roja y otra verde unidas por una supercie “suave” S . Cuando sometemos atodo el cuerpo a fuerzas externas (volumétricas o de supercie) tambíen aparecenfuerzas entre las dos partes diferenciadas por sus colores. Si quit´ asemos la parteverde, para que la parte roja no lo notara debeŕıamos aplicar sobre la supercie

S algunas fuerzas que “sustituyeran” el efecto de la parte roja sobre la primera, yviceversa. Estas fuerzas no se controlan desde el exterior, no son fuerzas aplicadas,sino que aparecen en todos los cuerpos deformables, por su propia naturaleza. Loque es importante comprender es que la ´ unica acci ón que la parte verde realizasobre la roja es la de unas fuerzas de supercie aplicadas sobre S , y que ésto escierto para cualquier cuerpo deformable y cualquier supercie interior que queramos

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considerar1. Las fuerzas que se transmiten en esta supercie, por unidad de ´ area,reciben el nombre de tensiones internas , y dependen, en general, del punto del s´ olido

que se investigue y del corte imaginario que se considere. El concepto de tensi´ oninterna y externa est´ an muy relacionados y resumimos su denici´ on:

Denici´ on 3.2: El vector tensi´ on t en un punto P del s´ olido Ω , cuando éste se corta imaginariamente con una supercie S , es el vector de fuerzas por unidad de supercie que el resto del cuerpo realiza sobre este punto y supercie.Como el vector tensión est á siempre denido sobre una supercie de normal n ,

se denen su proyecci ón sobre la normal t n y sobre la supercie misma t⊥ de lamanera estándar:

t n = ( t ·n )n , t⊥n = t −t n . (2.6)Se denen las componentes intŕınsecas de la tensi´ on denida sobre unasupercie de normal n como

σn = t ·n , |τ | = |t⊥n | = |t |2 −σ2n . (2.7)Nótese que la componente normal σn tiene signo, pero que la componente tangencial

|τ | siempre es positiva, o nula.En principio, el vector t de tensi ón en un cuerpo depende del punto P sobre el que

se evalúe y de la supercie que haya cortado (imaginariamente) dicho cuerpo. Conobjeto de simplicar las ecuaciones de la mec´ anica de s ólidos deformables Cauchypropuso la siguiente condici´ on, que ha pasado ha llamarse el Principio de Cauchy :el vector t en un punto P ∈Ω que pertenece a una supercie interna s´ olo dependede P y de la normal n a dicha supercie en P , matem áticamente:

t = t (P, n ) . (2.8)

No hace muchos a ños se demostró que esta hip ótesis no es necesaria, sino que sepuede demostrar que aśı ocurre siempre, y este resultado se conoce como el teoremade Noll, su descubridor.

1 Esta aproximaci´ on de hecho ignora el efecto de fuerzas volumétricas entre ambas partes,que en la naturaleza son muy débiles.

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4. El tensor de tensionesEl resultado fundamental del an´ alisis del equilibrio en cuerpos deformables

se debe al propio Cauchy y se conoce como el teorema de Cauchy , pues tienedemostración.

Teorema 4.3: ( Teorema de Cauchy ) En un cuerpo deformable en equilibrioexiste un campo de tensores T = T (P ) tal que el campo de tensiones y el de fuerzas de supercie se pueden expresar como

t (P, n ) = T (P )T n , Si P ∈Ω f s (P ) = T (P )

T n , Si P ∈Γ t (2.9)

El tensor T se conoce como el tensor de tensiones .

La raz ón por la que este resultado es tan importante es que simplica ladependencia funcional de la tensi´ on t en cualquier punto interior del cuerpo y sobrecualquier supercie. De ser una dependencia no lineal t = t (P, n ), ésta pasa a serlineal en la normal n y ésto tiene unas consecuencias enormes, no s´ olo desde el puntode vista de c álculo, sino también en la obtenci´ on de las ecuaciones de equilibrio.

En una base cualquiera B = {e 1, e 2, e 3}, y en particular en la base cartesianaB c = {i , j , k}, el teorema de Cauchy se puede expresar en componentes

t1t2t3 B

=T 11 T 21 T 31T 12 T 22 T 32T 13 T 23 T 33 B

n1n2n3 B

,

txtytz B c

=T xx T yx T zxT xy T yy T zyT xz T yz T zz B c

nxnynz B c

. (2.10)

Aunque la expresión del tensor de tensiones cambia seg´ un la base, la expresión(2.9) es válida en cualquier sistema de coordenadas . Esta f órmula es una expresiónintŕınseca, ya que el teorema de Cauchy no hace referencia a ning´ un observador nisistema de coordenadas.

Observaciones 4.4:

i. Las dimensiones del tensor de tensiones son de F/L 2. Habitualmente eningenierı́a se emplean los MPa.

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ii . El tensor de tensiones admite la siguiente descomposici´ on:

T = − p1 + s , siendo p = −13

tr[T ], s = T + p1 . (2.11)

El escalar p es la presión asociada al tensor T y s es la tensi ón “desviadora”.iii . Cuando conocemos el campo de tensores T , conocemos todo el estado tensional

del cuerpo, incluyendo las tensiones en el contorno.iv . El campo de tensiones es ´ unico .v . Cuando el campo de tensores no depende del punto, sino que es constante, se

dice que el estado tensional es homogéneo .

Demostraci ón: La demostraci´on del teorema de Cauchy emplea los argumentospropuestos por el mismo Cauchy, usando el llamado “tetrahedro de Cauchy”.

Sea un tetraedro diferencial recto centrado en el punto P ∈ Ω , con unode sus vértices coincidente con el centro de un sistema de coordenadas de baseB = {e 1, e 2, e 3}. La cara opuesta al origen del sistema de coordenadas tiene ´ areadA y normal n = n1e 1 + n2e 2 + n3e 3. Las otras tres caras tienen areas

dA1 = n1 dA , dA2 = n2 dA , dA3 = n3 dA . (2.12)

Llamando t a la tensi ón sobre el área d A y t 1, t 2, t 3 a las tensiones sobre las otrastres caras se tiene que

t = t (P, n ) , t 1 = t (P, −e 1) , t 2 = t (P, −e 2) , t 3 = t (P, −e 3) , (2.13)y por tanto el equilibrio de fuerzas se expresa como:

t (P, n ) dA + t (P, −e 1)n1 dA + t (P, −e 2)n2 dA + t (P, −e 3)n3 dA + f v(P ) dV = 0 .(2.14)Como las fuerzas volumétricas multiplican a un innitésimo de orden superior, éstasse pueden despreciar en la suma anterior. Para continuar, tomamos el ĺımite en laecuación anterior cuando n →e 1 para obtener

t (P, e 1) = −t (P, −e 1) . (2.15)Como este resultado es v´alido para cualquier base y vector e 1 se concluye que

t (P, n ) = −t (P, −n ) , (2.16)

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resultado conocido como el corolario de Cauchy . Utilizando este resultado en laecuación (2.14) obtenemos

t (P, n ) = t (P, e 1)n1 + t (P, e 2)n2 + t (P, e 3)n3 . (2.17)

Esta relaci´on expresa que la dependencia del vector t en la normal n es lineal y porlo tanto existe un tensor que denominamos T T tal que

t (P, n ) = T T (P )n . (2.18)

Si la normal n coincide con una normal a la superce exterior del cuerpoconcluimos que

f s (P ) = T T (P )n . (2.19)

Ejemplo 4.5: El paraleleṕıpedo de la gura de la izquierda est´ a sometido a unestado tensional que, en el sistema cartesiano indicado (con unidades de metros),se representa con la matriz

[T ] =xy y2 xzy2 xz + yz 0xz 0 z2

MPa .

Calcular la tensi´on normal y tangencial sobre el plano de la derecha (pasa portres vértices) en punto central del paralelepı́pedo. Datos Lx = 4 m, Ly = 5 m,Lz = 3 m.

x

y

z

x

y

z

Consideramos tres vértices del paraleleṕıpedo por los que pasa el plano de lagura de la derecha. Sus vectores de posici´ on son r A = 4 i , r B = 5 j y r C = 3k .

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El vector unitario normal al plano de la gura es

n = (r B −r A) ×(r C −r A)|(r B −r A) ×(r C −r A)|

= 1√ 769(15i + 12 j + 20 k ) .

El punto central del paraleleṕıpedo sobre el cual se desea calcular las tensioneses P ≡(2, 2.5, 1.5) m y la tensi ón en P sobre el plano es:

{t (P, n )}=5 25/ 4 3

25/ 4 27/ 4 03 0 9/ 4

1√ 769

151220

= 1√ 769

21069990

MPa .

Las componentes intŕınsecas de este vector son:

σn = t (P, n ) ·n = 7047

769 MPa , |τ | = |t |2 −σ2n = 4 .86 MPa .

4.1. Interpretaci´ on f́ısica de las componentes del tensor detensiones

Cada una de las componentes de T en una base tiene un signicado especial yen ingenieŕıa reciben nombres que hacen referencia a su direcci´ on, como veremos a

continuaci´on. Si escogemos una base cualquiera B = {e 1, e 2, e 3}, el vector tensi ónen un punto P ∈Ω que act úa sobre una superce de normal e i que pasa por dichopunto es t i = T T e i . La tensi´ on normal a esta supercie es por tantoσi = t i ·e i = T ii

y las tensiones tangenciales o cortantes a esta supercie son por tanto

τ ij = e j ·T T e i = T ij con i = j . (2.20)En general, la componente T ij es el valor de la tensi ón que act úa sobre una superciede normal e i , en direcci ón e j . A la tensi ón T ii se le da el śımbolo especial σi y, cuando

i = j , se emplea la notaci´on τ ij = T ij .Lo anterior aplica también a las componentes de T en la base cartesiana

B c = {i , j , k}. En ésta tenemos las tres tensiones normalesσx = T xx = i ·T T i , σy = T yy = j ·T T j , σz = T zz = k ·T T k , (2.21)

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y las tensiones tangencialesτ xy = T xy = j ·T T i , τ xz = T xz = k ·T T i , τ yx = T yx = j ·T T i , . . .(2.22)

En la Figura 2.2 se pueden apreciar algunas de las componentes del tensor detensi ón sobre un cubo diferencial

5. Ecuaciones de equilibrio

En esta secci ón se obtienen las ecuaciones que expresan que un cuerpodeformable está en equilibrio.

5.1. Principio fundamental

De la misma manera que Newton estableci´ on en su segunda ley las condicionesnecesarias y sucientes para el equilibrio de una part́ıcula, y que luego se extienden alcaso de los sólidos ŕıgidos añadiendo la condición del equilibrio de momentos, existenun principio fundamental que generaliza los dos anteriores al caso de los cuerposdeformables. Como tal principio no es demostrable, pero es fundamental pues en élse basa el estudio del equilibrio de sólidos, uidos y estructuras deformables.

El principio fundamental de la est́ atica de los cuerpos deformablesestablece que toda región R contenida o igual a un cuerpo deformable Ω está enequilibrio est ático. De forma matem´ atica:

R f v dV + ∂ R\Γ t dA + ∂ R∩Γ f s dA = 0 , para toda R⊆Ω (2.23)Más aún, para que el equilibrio est´ atico sea completo, el momento resultante

de todas las fuerzas que act´ uan sobre R también ha de ser nulo, aśı pues, para unsistema de referencia arbitrario, podemos escribir:

Rr

× f v dV +

∂ R\Γ

r

×t dA+

∂ R∩Γ

r

× f s dA = 0 , para toda

R⊆Ω (2.24)

siendo r el vector de posici ón de los puntos en R.Las expresiones (2.23) y (2.24) tienen forma integral y su forma diferencial es

mucho m ás útil por lo que la obtenemos a continuaci´ on. Existen dos maneras de

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j

k

i

P

S

N

E O

D

A

t (S, − k )

t (N, k )

t (E, j )

t (O, − j )

t (D, i )

t (A, − i )

P

S

N

E O

D

A

σ yy (E )

τ yz (E )

τ yx (E )

σ yy (O )

τ yz (O )

τ yx (O )

σ zz (N )

τ zy (N )

τ zx (N )

σ zz (S )

τ zy (S )

τ zx (S )

Figura 2.2: Vectores tensi´on y sus componentes sobre un cubo diferencial

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llegar a ellas: de forma “gr áca” y de forma anaĺıtica. A continuaci´ on describimosla última de ellas y dejamos la primera para desarrollarla en clase.

5.2. Equilibrio de fuerzas

Empleando el Principio de Cauchy, las dos integrales de supercie de laexpresi ón (2.23) se pueden escribir como:

∂ R\Γ t dA + ∂ R∩Γ f s dA = ∂ RT n dA . (2.25)Empleando el teorema de la divergencia sobre la regi´ on R, esta integral de superciese puede expresar como:

∂ RT T n dA = Rdiv T T dv . (2.26)Sustituyendo este resultado en la expresi´ on (2.23), se obtiene

R div T T + f v dv = 0 . (2.27)Pero esta última expresión es válida para cualquier regi´ on R del cuerpo, y esoúnicamente es posible si el integrando es idénticamente cero en todo punto, es decir

div T T + f v = 0 . (2.28)

5.3. Equilibrio de momentos

La demostración anaĺıtica de la expresi´ on diferencial correspondiente a laecuación (2.24) requiere unas operaciones tensoriales que est´ an fuera del temario, aśıpues sólo indicamos el resultado de las mismas. Empleando el principio de Cauchyde la misma manera que en la sección anterior, la ecuaci´ on integral del equilibrio demomentos se puede escribir como:

Rr × f v dV + ∂ Rr ×(T T n ) dA = 0 . (2.29)Usando (2.28) en la primera integral e integrando por partes la segunda se obtiene

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(sin demostrar)

Rr ×(−div T T ) dv + Rhemi[T ] dv − Rr ×(div T T ) dv = 0 , (2.30)siendo hemi el operador que obtiene la parte hemisimétrica de un tensor. Cancelandolos términos con las divergencias se obtiene

Rhemi[T ] dv = 0 , (2.31)y como este resultado ha de ser v´ alido para cualquier regi´ on R, concluimos queel integrando se anula y por tanto la parte hemisimétrica de T ha de ser cero, esdecir, T es un tensor simétrico. Resumiendo, las dos ecuaciones de equilibrio de loscuerpos deformables se pueden escribir de forma diferencial como

div T + f v = 0 , T = T T . (2.32)

6. Tensiones principales y direcciones principales detensi´ onA partir del estado tensional de un cuerpo T = T (P ) podemos calcular el vector

tensi ón t (P, n ) que act úa sobre cada unidad de supercie en el punto P con normaln . La direcci ón del vector tensión no se conoce a priori, y dependiendo del estadotensional, puede ser cualquiera.

En particular, surge el interrogante de si, dado la tensi´ on en un punto T (P ), sepuede cortar el cuerpo por una supercie tal que el vector tensi´ on t (P, n ) resultatener la misma dirección que la normal n . Para resolver esta cuesti´ on, planteamosmatemáticamente:

T (P )n = λn . (2.33)La cuesti ón planteada es equivalente a encontrar los autovectores del tensor T , quepor ser simétrico, siempre son ortonormales. Los autovalores asociados ser´ an realessiempre. Los valores propios de T se conocen como las tensiones principales ylos autovalores como las direcciones principales de tensi´ on.

Los tres autovectores son ortonormales y forman una base

B p =

{v1, v2, v3

}denominada la base principal de tensi ón en el punto P . Las tensiones principalesse suelen indicar como σ1, σ2, σ3 y, por convenio, salvo que se indique lo contrariose tomar á siempre de forma que

σ1 ≥σ2 ≥σ3 . (2.34)

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La base principal diagonaliza el tensor de tensiones. En otras palabras, la matrizasociada a T en la base B p es diagonal de la forma

[T ]B p =σ1 0 00 σ2 00 0 σ3

. (2.35)

Las tensiones principales y las direcciones principales de tensi´ on son, en general,distintas en cada punto de un cuerpo deformable. S´ olo si el estado tensionales homogéneo todas ellas ser´ an las mismas en todo el cuerpo. Proporcionaninformaci ón muy útil para comprender el estado tensional en un punto , y n otiene sentido hablar de las tensiones principales de un cuerpo o de sus direccionesprincipales de tensión.

Observaciones 6.6:

i. Cuando dos tensiones principales son idénticas se dice que el tensor de tensioneses ciĺındrico . En este caso hay un dirección principal, la asociada a la tensi´ onprincipal distinta, y un plano de direcciones principales. Dos vectores unitarioscualesquiera, ortogonales entre śı, forman, junto con la primera direcci´ onprincipal, la base principal de tensiones.

ii . Si las tres tensiones principales son iguales, se dice que el tensor de tensioneses esf́erico . Cualquier vector es una direcci´ on principal de tensión y cualquierbase es una base principal.

7. Representaci´ on gráca de un tensor de tensiones

Como un tensor (simétrico) es un objeto dif́ıcil de interpretar se han propuestovarias representaciones gr´ acas que proporcionan algo de informaci´ on sobre el mismoy permite una evaluaci´ on cualitativa sus propiedades. La representaci´ on más útil enmecánica de s ólidos es el llamado diagrama de Mohr que representa grácamenteen un diagrama cartesiano todos los posibles valores de las componentes intŕınsecasde tensi ón asociadas al tensor de tensiones en un punto . En realidad, se puede

emplear el diagrama de Mohr para representar gr´ acamente las propiedades decualquier tensor simétrico, por ejemplo, el tensor de inercia.La forma de construir el diagrama de Mohr seŕıa la siguiente. Dado un tensor

simétrico T , escogemos un vector unitario cualquiera n 1. El vector tensión cuandoel cuerpo se corta con una supercie de normal n 1 es t 1 = T n 1, cuyas tensiones

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σ n

|τ |

σ 1σ 2σ 3

C 1

C 2

C 3

Figura 2.3: Diagrama de Mohr

intrı́nsecas son σ1n y |τ |1. En un diagrama cartesiano se puede dibujar el puntode coordenadas ( σ1n , |τ |1). Si ahora escogemos un vector unitario distinto n 2podemos, por el mismo razonamiento, calcular las tensiones intŕınsecas σ2n y |τ |2 ydibujarlas tambíen en el mismo diagrama cartesiano sobre el punto de coordenadas(σ2n ,

|τ

|2). Este proceso se puede repetir indenidamente seleccionando siempre

vectores unitarios y marcando en el diagrama cartesiano las tensiones intŕınsecasresultantes. El resultado de este proceso es, en el lı́mite, una supercie acotada portres cı́rculos que tiene la forma de la Figura 2.3.

La demostraci´on de que la supercie de posibles componentes intŕınsecas es laindicada en la Figura 2.3 es la siguiente. En primer lugar, como |τ | es no negativo,la supercie ha de estar siempre en la parte por encima del eje de abcisas. Adem´ as,como σn y |τ | son funciones continuas de T y de n , la supercie ha de ser conexa.Más aún, como hay tres tensiones principales ´ unicamente, la supercie intersecta eleje de abcisas únicamente en tres puntos, ( σi , 0), i = 1 , 2, 3.

Para continuar, expresamos el tensor T en su base principal y escogemosvectores normales n que, tambíen expresados en la base principal, son de la forman = cos α v1 + cos β v2 + cos γ v3. Los ángulos α, β,γ son los formados por n ycada una de las direcciones principales. El vector tensi´ on expresado en esta base est = σ1 cosα v1 + σ2 cosβ v2 + σ3 cosγ v3 y por tanto sus componentes intŕınsecas

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son de la forma:

σn =σ1 cosασ2 cosβ σ3 cosγ

·cos αcos β cos γ

= σ1 cos2 α + σ2 cos2 β + σ3 cos2 γ ,

|τ |2 = σ21 cos2 α(1 −cos2 α) + σ22 cos2 β (1 −cos2 β ) + σ23 cos2 γ (1 −cos2 γ )= σ21 cos

2 α sen2 α + σ22 cos2 β sen2 β + σ23 cos

2 γ sen2 γ ,

(2.36)

con la restricci ón 1 = cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ . Si eliminamos cos γ de la restricci ón,podemos interpretar (2.36) como la ecuaci´ on paramétrica de una supercie en elplano.

Para continuar denimos α ∈ [0, π/ 2] el ángulo que satisface cos α = |cos α | yan álogamente β y γ , limit ándones a partir de ahora a estudiar el diagrama de Mohrpara vectores normales unitarios de la forma n = cos αv1 + cos β v2 + cos γ v3. Siestudiamos el caso ĺımite, por ejemplo, γ = π/ 2, es decir el lugar geométrico enel plano (σn , |τ |) correspondiente a aquellos planos de normal perpendicular a v3,obtenemos a partir de (2.36) que cos 2 β = sen2

α yσn = σ1 cos2

α + σ2 sen2

α =

σ12

(cos2

α + 1 −sen2

α) +

σ22

(sen2

α + 1 −cos2

α)

= σ1 + σ2

2 +

σ1 −σ22

cos2

α ,

|τ |2 = σ1 −σ2

2 sen2 α . (2.37)Interpretamos que una parte del contorno de la supercie que buscamos es un arco

de circunferencia centrado en ( σ1 + σ22 , 0) y con radio σ1 −σ22 . Esta semicircunferencia

la denominamos C 3, el lugar geométrico de los componentes intŕınsecas de tensi´ onen planos cuya normal es perpendicular a v3. Repitiendo el mismo argumento, peroescogiendo planos cuyas normales sean perpendiculares a v1 y a v2 obtenemos que elcontorno de la región admisible es la unión de C 3 con otras dos semicircunferenciasque llamamos C 1 y C 2 cuyas propiedades son an´ alogas a las de C 3. Estas trescircunferencias están indicadas en la Figura 2.3.

De esta construcción se sigue que dado el diagrama de Mohr correspondiente alestado tensional en un punto, y considerando un plano que corta al s´ olido pasandopor dicho punto y con normal n = cos αv1 + cos β v2 + cos γ v3, las componentesintŕınsecas del vector tensi´ on se representan el el plano ( σn , |τ |) en un punto que

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σ 1σ 2σ 3

t

A

θ

| τ | m

a x

σ n

|τ |

Figura 2.4: Representación gráca del estado tensional sobre un plano.

debe de estar dentro de la supercie delimitada por C 1, C 2 y C 3.Más aún, el diagrama de Mohr permite la construcci´ on inversa, aunque esta

no la demostramos. Dado un punto A dentro de la región comprendida entre lastres circunferencias de Mohr, es posible determinar de forma gr´ aca el valor de

α, β, γ , los ángulos que forman la normal al plano cuyas componentes intŕınsecas secorresponden con el punto A. En la Figura 2.5 se indica la construcci´ on geométrica.Observaciones 7.7:

i. El diagrama de Mohr no permite distinguir las componentes intŕınsecas de losvectores tensión correspondientes a normales que forman ´ angulos mayores deπ/ 2 con los ejes principales. En términos geométricos, el diagrama de Mohrrepresenta las componentes intŕınsecas en planos cuyas normales pertenecen alprimer octante del sistema de coordenadas principal.

ii . El diagrama de Mohr de un estado tensional ciĺındrico es simplemente unasemicircunferencia que corta al eje horizontal en σ1, σ3. Si el estado tensional esesférico, el diagrama de Mohr degenera en un punto sobre el eje horinzontal decoordenada σ1 = σ2 = σ3.

iii. Los estados tensiones de planos cuya normal es perpendicular la direcci´ onprincipal primera v 1 se corresponden con los puntos de C 1 (an álogamente, para

C 2 y C 3).iv . La mayor tensión cortante |τ |max en un punto se corresponde con el radio de lamayor circunferencia de Mohr. Ver Figura 2.4.

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σ n

|τ |

σ1

σ2

σ3

C 1

C 2

C 3

A

σ 2 + σ 32

α

α

σ n

|τ |

σ1σ2σ3

C 1

C 2

C 3

A

σ 1 + σ 32

β

β

σ n

|τ |

σ1σ2σ3

C 1

C 2

C 3

A

σ 1 + σ 22

γ

γ

Figura 2.5: Obtenci ón gráca de los ángulos α, β, γ en el diagrama de Mohr33


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v . El módulo del vector t correspondiente a un plano cuya representaci´ on en eldiagrama de Mohr es el punto A, el la distancia del centro de coordenadas adicho punto (ver Figura 2.4). Adem´ as, el ángulo que forma el vector t y lanormal al plano es θ.

Ejemplo 7.8: El estado tensional en un punto de un s´ olido deformable tiene unaexpresi ón matricial respecto al sistema de coordadas x, y,z que es

[T ] = −1 −√ 3 0−√ 3 1 00 0 1 MPa .

Se pide:

1. Determinar las tensiones principales y dibujar el diagrama de Mohr del estadotensional.

2. Calcular la tensión tangencial máxima en el punto e indicar el ángulo queforma la normal del plano correspondiente con los tres ejes principales detensi ón.

3. Calcular el ángulo que forma el eje x con cada una de las direccionesprincipales de tensión.

1) Los autovalores de T son las ráıces del polinomio caracterı́stico

(1 −λ) ((−1 −λ)(1 −λ) −3) = 0 ,es decir λ1 = 2 MPa, λ 2 = 1 MPa, λ3 =

−2 MPa.

2) La tensi ón tangencial máxima es el radio del ćırculo de Mohr mayor, esdecir τ max = 2 MPa. En la gura se calculan gr´ acamente los ángulos de lanormal al plano con mayor tensi´ on tangencial respecto de los ejes principales(α = 45o, β = 90o, γ = 45o).

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MPa, σ3 = −5 MPa. ¿Hay alg´un plano tal que la tensi´ on normal y tangencialen el mismo valgan σn = 2 MPa y τ = 3 MPa? ¿y cuando σn = 5 MPa yτ = 1 MPa?

b) Un śolido posee un estado tensional esférico con σ1 = σ2 = σ3 = p. Sudiagrama de Mohr corresponde a tres ćırculos idénticos de centro en el origeny radio p.

c) Un sólido deformable cuyo tensor de tensiones sea el mismo en todo puntono puede estar sometido a ninguna fuerza volmétrica.

d) Si tomamos g = 10 m/s 2,

1 MPa = 1kp/cm 2

e) La única fuerza volumétrica que puede actuar sobre un cuerpo es el peso.

2.2 Un sólido deformable en equilibrio se encuentra sometido a un campo detensiones cuya expresi´on matricial, en un sistema cartesiano de coordenadas es:

[T ] =3κx 2 2κxy √ 2κy2τ yx κx2 κ(y2 + x2)τ zx τ zy κ(z2 + xz)

.

a) ¿Cu ánto valen σx , τ zx y τ zy ?b) ¿Cu áles son las dimensiones de κ?c) ¿Cu ál es el campo de fuerzas volumétricas que act´ ua sobre el cuerpo?d) ¿Cu ál es la tensi ón que se aplica desde el exterior en un punto de la supercie

(x,y,z ) = (1 , 1, 2) m en el que la normal tiene valor n = 1√ 13 (2i + 3 j ).¿Cu áles son sus componentes intŕınsecas?

e) Encuentra las tensiones principales en el punto ( x,y,z ) = (1 , 0, 1) m siκ = 2 ·106 N/m 4.

2.3 Comprueba que en los siguientes casos el estado tensional propuesto verica lasecuaciones de equilibrio en el interior y en el contorno del cuerpo.

a) Un s ólido deformable sometido a presi´ on exterior uniforme de valor p tienetensor de tensiones T = − pI , siendo I el tensor unidad.

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b) Un cilindro cuyo eje de revolución coincide con k se encuentra sometido auna presi ón p en sus caras planas y a presión q en su supercie lateral tieneun estado tensional cuya expresi´ on matricial en el sistema cartesiano es:

[T ]xyz =−q 0 00 −q 00 0 − p

c) Un paraleleṕıpedo como el de laF 3

F 3

F 2

F 2

F 1

F 1

ba c

x y

z

gura tiene lados de dimensionesa, b y c. Este cuerpo se encuentrasometido a tensiones normalessobre sus caras uniformementerepartidas cuyas resultantes son,como indica la gura, F 1, F 2, F 3.El estado tensional del cuerpo es:

[T ] =

F 1bc 0 00 F 2ac 00 0 F 3ab

2.4 Un cuerpo deformable est´ a sometido a un estado tensional homogéneo cuyarepresentación matricial en un sistema cartesiano de coordenadas es:

[T ] =5/ 2 −√ 3/ 2 0

−√ 3/ 2 3/ 2 00 0 −3 MPa .

1) Dibujar el diagrama de Mohr correspondiente al estado tensional.

Si cortamos el cuerpo con un plano de vector normal n tal que el vector tensión tactuando sobre dicho plano s´ olo tenga componente tangencial:2) Calcular el m ódulo de todos los posibles vectores t .3) Indicar los ángulos que forman, en cada caso, n con la segunda direcci ón

principal.

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2.5 Un cilindro deformable de longitudL y radio a está sujeto por un extremoy sometido a la acci ón de una fuerza F normal a su supercie libre y repartidauniformemente sobre ella.

Sabiendo que el cilindro está enequilibrio, postular una expresi´ on parael tensor de tensiones y comprobar queverica las ecuaciones de equilibrio en elinterior y el en contorno.

Además, encontrar el valor del vector tensi´ on actuando en los siguientes puntosy planos, indicando sus componentes normal y tangencial,

a) Punto A = L j , normal n = j .b) Punto B = L2 j , normal n = j .c) Punto B , normal n = i .d) Punto B , normal n = √ 22 ( j + k ).

2.6 Si las tensiones principales en un punto de un s´ olido elástico valen 30, 10 y-10 MPa respectivamente, se pide:

• Hallar el m ódulo del vector tensión para la dirección en la que aparezca τ max .• Hallar las componentes intŕınsecas de la tensi´ on en la direcci ón que forma 30 ocon la direcci ón principal 1 y 60 o con la direcci ón principal 2.

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2.7 Un sólido deformable de volumen V se encuentra en equilibrio, sumergido enun uido de peso especı́co γ y sometidoa una fuerza volumétrica. El estadotensional del cuerpo se expresa, en elsistema de coordenadas de la gura, conuna matriz de expresi´ on:

[T ] = −γz 0 00 −γz 00 0 −γz

= −γz [I ] .

z

V

i) Encontrar el valor del campo de fuerzas volumétricas actuando sobre el cuerpo.ii) Comprobar que cada punto de la supercie del cuerpo est´ a sometido a la acci ón

de la presi ón hidrost´atica y que ésta no tiene componente tangencial.iii) Encontrar el valor de la resultante de las fuerzas ejercidas por el uido sobre el

cuerpo, demostrando que es el vector opuesto al peso del volumen desplazado,es decir, el principio de Arqúımedes.

2.8 En la gura aparecen dibujados tres estados tensionales, con las tensionesen MPa. Para cada uno de ellos,

a) Dibuja las componentes de los vectores tensi´ on en las caras ocultas de loscubos diferenciales.

b) Indica la expresí on del tensor de tensiones en la base cartesiana de la gura.

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2.9 En la gura aparecen dibujados tres estados tensionales, con las tensionesen MPa. Para cada uno de ellos,

a) Dibuja las componentes de los vectores tensi´ on en las caras ocultas de loscubos diferenciales.

b) Indica la expresión del tensor de tensiones en la base cartesiana de la gura.

2.10 Un paraleleṕıpedodeformable tiene las dimensionesen metros que se indican en lagura. El cuerpo est́ a sujeto enel plano x = 0 y sometido a unafuerza axial F en dirección del ejex, aplicada uniformemente sobrela cara x = 1 m. Cuando se aplicauna fuerza, el cuerpo se parte por el plano x + y = 0 , 5. Para repararlo se empleaun pegamento que resiste tensiones normales y tangenciales m´ aximas de valor:

σmax = 40 KPa , τ max = 80 KPa .

1) Postula la expresión matricial del tensor de tensiones T (x,y,z ) (no es necesariovericar que cumple las ecuaciones de equilibrio).

2) Calcula las componentes intŕınsecas de tensi´ on sobre el plano x + y = 0 , 5.3) ¿Cu ál es el valor de la fuerza m áxima que puede resistir el cuerpo reparado

suponiendo que la zona más débil del mismo es la supercie pegada?

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2.11 El sólido deformable de lagura se encuentra sometido aun estado tensional T (x,y,z ) delcual se sabe que

σz = σy = τ xz = τ yz = 0 ,σx = y(2 + (1 −x)) MPa ,

y que la tensi ón τ xy no dependede la variable z. Las caras delcuerpo perpendiculares a los ejes y y z están libres de tensiones y el cuerpo no

est á sometido a ninguna fuerza volumétrica.1) Demuestra que τ xy = 12 (y

2 −0.152).2) Dibuja el diagrama de Mohr del estado tensional en el punto ( x,y,z ) = (0 , 0, 0).

(nota: cotas en metros. El sistema de coordenadas est´ a situado en en centro dela cara menor y sus ejes son paralelos a las aristas del s´ olido)

2.12 Las tensiones principales en un punto son 2, 5 y 7 MPa, respectivamente.Identica grácamente la tensi´ on cortante máxima y ḿınima (en valor absoluto) deaquellos planos en los que:

a) La tensi ón normal es 6 MPa.b) La tensi ón tiene m ódulo 6 MPa.c) La tensi ón normal es el doble de la tensión tangencial.d) El ángulo que forma su normal con el eje principal primero es de 30 o.

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2.13 El paralelepı́pedo de lagura est á sometido a un campode tensiones cuya respresentaci´ onmatricial en el sistema indicadoes:

[T ] =x2 zy2 z2zy2 x 0z2 0 xz

MPa .

Si las dimensiones de la gura son metros,

1) Calcular la fuerza que se ejerce sobre la cara x = 1 m del s ólido.2) Calcular la fuerza volumétrica total que se realiza sobre el cuerpo.3) ¿En qué punto de la cara x = 1 m aparece la mayor tensi´ on tangencial?

(nota: cotas en metros)

2.14 Un cuerpo deformable ocupa un volumen V y está sometido a un estadotensional que, referido a una base cartesiana, es de la forma

[T (x,y,z )] = K x2y yz2

−2xyz

−z3/ 3

yz2 −y3/ 3 y2z−2xyz −z3/ 3 y2z 0

,

siendo K una constante con dimensiones de F /L 5. Comprobar que la resultante detodas las fuerzas que act´ uan sobre el contorno del cuerpo es nula.

2.15 Un punto de un cuerpo deformable est´ a sometido a un estado tensional cuyodiagrama de Mohr se muestra en la gura. Sobre este diagrama se indica un puntoque se corresponde con las componentes intŕınsecas de tensi´ on sobre un plano denormal n .

1) Determina grácamente el valor de α, β, γ .2) Calcula el vector tensión t sobre dicho plano.3) Indica qué ángulo forma t con n .42


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-10 0 10 20 30 40 σn (MPa)

|τ | (MPa)

π/ 6

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presentados en este capı́tulo, pero no se debe de olvidar que la gran mayoŕıa de lasestructuras y de las m´ aquinas trabajan en situaciones de peque˜ nas deformacionesaśı pues sus aplicaciones son numerosas. El estudio de las llamandas deformaciones nitas o grandes deformaciones queda para cursos más avanzados.

Una vez que el concepto de deformación esté claramente denido estudiaremos,en el caṕıtulo 4, que existe una relaci´ on, llamada constitutiva , entre las tensiones y lasdeformaciones, cerrando con ello el planteamiento del modelo del cuerpo deformable.

2. Cinemática de un cuerpo deformable

Un cuerpo sometido a fuerzas y acciones externas puede responder de maneraque sus puntos cambien de posici´ on. Dado un punto P ∈ Ω , denominamos P laposición en el espacio que el punto P ocupa después de que el cuerpo sufra lasacciones exteriores. Denimos el campo de desplazamientos u : Ω →R 3 como

u (P ) = r P −r P (3.1)siendo r P y r P los vectores de posici ón de los puntos P y P respectivamenterespecto de un sistema de coordenadas cualquiera, pero jo. El concepto de campode desplazamiento se estudia en el modelo de los cuerpos rı́gidos, pues no es exclusivode los cuerpos deformables.

Sin embargo, intuitivamente, se entiende que el concepto de deformaci´ on, aunquerelacionado con el desplazamiento, no es lo mismo. Un cuerpo en el que todossus puntos se desplazan con un campo u constante sabemos que no se deforma.Tampoco se deforma un cuerpo que rota alrededor de un eje o de un punto jo.

La denici ón precisa del concepto de deformaci´ on no es evidente. Los cuerpostienen muchas maneras de deformarse, si se miran en su conjunto. Sin embargo,localmente (a nivel diferencial) veremos que s´ olo hay dos modos de deformación. Loque dene a la deformación es el desplazamiento relativo, y para ello es necesarioestudiar el campo cinem´ atico en el entorno de cada punto, porque, a diferencia de loque ocurre en los s ólidos ŕıgidos, cada entorno se puede deformar de forma distinta.Aśı, en una estructura sometida a cargas se puede hablar de que una viga est´ a muy

deformada y otra no; en el chasis de un veh́ıculo, una parte est´ a muy deformada yotra a penas, etc.A pesar de la aparente dicultad en describir la deformaci´ on en toda

generalidad, argumentamos a continuaci´ on que a nivel local s ólo existen dos tiposde deformaciones. El primer tipo de deformaci´ on que existe se reere al cambio de

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P Q

dr η

P

Qdr

u (P )u (Q )

Figura 3.1: Deformaci ón en el entorno de un punto de un cuerpo deformable

longitud y se conoce como la deformaci´ on longitudinal unitaria de un cuerpoen un punto P y en una direcci ón η . Para poder denirlo, consideremos dos puntosP y Q innitesimalmente pr´ oximos sobre un cuerpo deformable, y llamemos d ral vector diferencial que va desde P a Q. Cuando el cuerpo se deforma, estos dospuntos pasan a ocupar las posiciones P y Q , y denominamos ahora d r al vectordiferencial que los une. Es el cambio relativo de longitud de un elemento diferencialde ĺınea con origen en el punto P y con dirección η . Su denitici ón matem´atica es

εex (P, η ) := |dr | − |dr ||dr |

. (3.2)

El segundo tipo de deformaci´ on posible es el cambio de ángulo. Para denirlo,consideremos ahora que sobre el cuerpo deformable existen dos vectores diferencialesdr 1 y dr 2 con origen en el punto P . Cuando el cuerpo se deforma, estos vectores setransforman en nuevos vectores diferenciales d r 1 y dr 2. Cada uno de ellos puedehaber cambiado su longitud debido a la deformací on longitudinal, pero adem´ aspuede haber cambiado el ´ angulo que forman entre śı. Llamando η1 y η2 a lasdirecciones de los vectores d r 1 y dr 2, se dene la deformaci´ on angular γ como

γ ex (P, η1, η 2) := cos( θ ) −cos(θ) , (3.3)siendo θ el ángulo (en radianes) que forman d r 1, dr 2 y θ el ángulo queforman d r 1, dr 2.

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P d r 1

d r 2 η 1

η 2

θ

P

d r 1

d r 2

θ

Figura 3.2: Deformaci ón angular en el entorno de un punto de un cuerpo

deformable

Observaciones 2.1:i. Tanto las deformaciones longitudinales como las angulares no tienen

dimensiones.ii . Ambas medidas son locales , es decir relativas a un punto, no a un cuerpo en su

conjunto. Además, est án relacionadas con direcciones. No tiene sentido hablarde la deformaci ón longitudinal de un cuerpo ni de la deformaci´ on longitudinalde un punto. Tan s´ olo el concepto de la deformación longitudinal de un punto,en una direcci ón tiene sentido.

iii . Las deniciones de deformación presentadas en esta secci´ on son válidas inclusopara deformaciones nitas y por ello se denominan “exactas”.

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3. Cálculo de deformaciones. El tensor de deformaci´ oninnitesimalEl problema que pretendemos resolver en esta secci´ on es el siguiente: dado un

campo de desplazamientos u : Ω →R 3, ¿cuáles son las deformaciones εex y γ ex entodos los puntos y todas las direcciones posibles? Este es el problema central de lacinemática de los cuerpos deformables.

Para calcular las deformaciones en cualquier punto ser´ a necesario determinar laforma local del campo de desplazamientos alrededor de dicho punto. Como siempreen teoŕıa de campos, esta informaci´ on la recoge el gradiente:

Denici´ on 3.2: Dado un campo de desplazamientos u : Ω → R 3 se dene el tensor gradiente de desplazmientos ∇u como aquel que verica u (P + d r ) = u (P ) + ∇u (P ) d r + O(|d r |2) . (3.4)

La expresi´ on en coordenadas cartesianas de la matriz asociada al tensor ∇u es

[∇u (P )] =ux,x (P ) ux,y (P ) ux,z (P )uy,x (P ) uy,y (P ) uy,z (P )uz,x (P ) uz,y (P ) uz,z (P )

.

El gradiente de desplazamientos es también adimensional y, como veremosdespués, nos servir´ a para calcular deformaciones. Para simplicar el c´ alculo de lasmismas vamos a suponer a partir de ahora que el cuerpo al desplazarse se deformamuy poco. La denici´on precisa de qué signica esto es la siguiente:

Denici´ on 3.3: Se dice que un cuerpo experimenta una deformaci´ on peque˜ na si ∇u 1. Esto ocurre si y s´ olo si todas las componentes de ∇u son muchom´ as peque˜ nas que 1.

3.1. El tensor de deformaciones innitesimales

Cuando calculemos deformaciones comprobaremos que éstas s´ olo dependende la parte simétrica de ∇u y a este objeto lo denominaremos el tensor dedeformaci´ on , y juega un papel central en el modelo del s´ olido deformable.

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Denici´ on 3.4: Dado un campo de desplazamientos u : Ω → R3, denimos la deformaci´ on innitesimal D como el campo de tensores simétricos

D (P ) := ∇S u (P ) = 12 ∇u (P ) + ∇u

T (P ) . (3.5)

La parte de ∇u que no est á asociada a la deformación innitesimal D , es decirla parte hemisimétrica del tensor, śı que est´ a asociada al movimiento local y recibela siguiente denición:

Denici´ on 3.5: La parte hemisimétrica de

∇u (P ) es el campo tensorial de giro

innitesimal

Ω := ∇a u (P ) = 12 ∇u (P ) −∇u T (P ) . (3.6)

Como Ω es un tensor hemisimétrico tiene un vector axial asociado ω , llamadoel vector de giro innitesimal. Este campo vectorial satisface adem´ as

ω = 12 rot u . (3.7)

La interpretaci´ on geométrica completa de estos campos tensoriales es lasiguiente. Si en un punto P ∈ Ω se escogen tres vectores diferenciales ortogonalesdr 1, dr 2, dr 3, cuando el cuerpo se deforme, estos tres vectores cambian de m´ oduloy dirección transformándose en tres nuevos vectores innitesimales d r 1, dr 2, dr 3.Para cada uno de ellos se puede escribir

dr i = ( I + D + Ω ) d r i = d r i + D dr i + ω × dr i . (3.8)Aśı pues, los tensores D y Ω caracterizan, de forma completa, la transformaci´ ongeométrica local, para cada entorno diferencial de los puntos del cuerpo deformable.

3.2. Cálculo de deformaciones longitudinales

Para obtener una expresi´ on que nos permita obtener el valor de εex en función deu y sus gradientes, sustituimos el desarrollo de Taylor del campo de desplazamientoen la expresi ón (3.2). Sea η el vector unitario en la direcci´ on en la que queremos

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calcular la deformación longitudinal. Entonces,

εex := |dr ||dr | −

1 = |dr + u (Q) −u (P )||dr | −

1 = |dr + ∇u (P ) d r ||dr | −

1

= |η + ∇u (P )η | −1 = η ·η + 2 η ·∇u (P )η + |∇u (P )η |2 −1 .(3.9)

La expresi ón para la deformación longitudinal εex es una funci ón no lineal. Sinembargo, si las deformaciones son peque˜ nas podemos aproximar

εex ≈ η ·η + 2 η ·∇u (P )η −1 , (3.10)Y utilizando un desarrollo de Taylor para la funci´ on √ 1 + x obtener nalmente

εex ≈η ·∇u (P )η . (3.11)Si A es un tensor cualquiera, es immediato comprobar que η ·Aη = η ·A S η yconcluimos

Denici´ on 3.6: Se dene la deformaci´ on longitudinal innitesimal en un punto P ∈Ω y una direcci´ on cualquiera η como el escalar

ε(P, η ) := η ·Dη . (3.12)

Observaciones 3.7:

i. La deformaci ón longitudinal innitesimal ε es una aproximación al la verdaderadeformaci ón longitudinal εex , que es mucho m ás complicada de calcular. Laaproximación es tanto más válida cuanto más peque ña sea la cantidad ∇u .Por tanto, ε sólo es exacta cuando la deformací on sea innitesimal. Paradeformaciones nitas se puede dar el caso de que un cuerpo que se mueveŕıgidamente tenga deformaci´ on ε no nula.

ii . La deformaci ón ε es unitaria, y por tanto adimensional.

Cuando un cuerpo se deforma, una curva material C se deforma también puescada uno de sus puntos se desplaza debido al movimiento del cuerpo. A menudoes interesante encontrar la longitud de la curva deformada a partir de la longitudinicial y de la deformación longitudinal unitaria en cada punto. Si la longitud dela curva sin deformar es L, cada punto de la curva lo denominamos P y el vector

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tangente a la curva en P es τ , entonces

L = C(1 + ε(P, τ (P )))d S . (3.13)Ejemplo 3.8:

Un cuarto de aro de radio r se deformasegún el campo de desplazamientos

u (x,y,z ) = κx2

2 i ,

siendo x un eje del sistema cartesianosituado en el centro del aro como seindica en la gura. Calcular:

i) la deformaci ón longitudinal unitaria εen cualquier punto del aro y direcci´ oncircunferencial.

ii) la longitud del aro deformado.x

y

r

El vector tangente al aro en un punto genérico es τ = −sen θi + cos θ j , siendoθ∈[0, π/ 2] el ángulo que forma el vector de posición del punto con el eje x. Ladeformaci ón longitudinal unitaria en dicho punto y direcci´ on es:ε(P, τ ) = τ ·Dτ = κ x sen2 θ .

Como x = r cosθ el valor de la deformaci ón es simplemente ε(P, τ ) =2 κ r sen2 θ cosθ. La longitud del trozo de aro deformado es:

L = CdS = π/ 2

θ=0(1 + ε(θ, τ )) d S = π/ 2θ=0 (1 + κ r sen2 θ cosθ) dS = π2 r + κ3 r 2.

3.3. Cálculo de deformaciones angulares

El cálculo de la deformación angular es, como en el caso anterior, complejo engeneral. Sin embargo, bajo algunas hip´ otesis simplicadores dicho cálculo se vuelvemás sencillo.

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P d r 1

d r 2

η 1

η 2

θ = π/ 2

P

d r 1

d r 2

θ

γ̃ 1

γ̃ 2

Figura 3.3: Interpretaci´ on geométrica de la deformaci´ on angular innitesimal

Para empezar, únicamente consideraremos el caso de que η

1 y η

2 seanortonormales. A partir entonces de la expresí on (3.3) de la deformación angularse obtiene

γ ex (η1, η 2) := cos( θ ) = dr 1 · dr 2|dr 1| |dr 2|

= (I + ∇u ) d r 1 ·(I + ∇u ) d r 2

|dr 1| |dr 2||dr 1| |dr 2||dr 1| |dr 2|

= ( I + ∇u )η1 ·(I + ∇u )η 11

(1 + ε1)(1 + ε2)= ( η 1 ·η 2 + ∇uη 1 ·η 2 + η 1 ·∇uη 2 + ∇uη 1 ·∇uη 2) (1 + ε1)(1 + ε2) .

(3.14)Si las deformaciones son pequeñas, la expresi ón anterior se puede simplicar

resultandoγ ex (η 1, η 2) ≈∇uη 1 ·η 2 + η 1 ·∇uη 2

= ∇uη 1 ·η 2 + ∇T uη 1 ·η 2 = 2η 1 ·Dη 2 .(3.15)

Basándose en la anterior aproximaci´ on se propone la siguiente

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uso es más habitual en ingenieŕıa que las primeras. Se suele decir que εii y γ ij sonmedidas de deformación ingenieriles.

Observaciones 3.10:

i. Cuando D no depende del punto de evaluaci´ on el estado de deformación delcuerpo es homogéneo .

ii . Cuando un cuerpo experimenta un desplazamiento u y el tensor D es nulo entodo punto no signica que el cuerpo no haya sufrido deformaci´ on alguna. Estoseŕıa rigurosamente cierto ´ unicamente si la deformaci´ on es innitesimal. Paraser precisos diremos que el campo de desplazamientos es innitesimalmenteŕıgido . Cuan ŕıgido es realmente depende de la peque˜ nez del gradiente dedeformaciones. Por ejemplo, su un cuerpo sufre una rotaci´ on nita alrededor deun punto jo sabemos que éste no se ha deformado. Sin embargo se compruebaque el campo de deformaciones D no se anula. En esta situaci´ on el gradiente

∇u no es pequeño ası́ que D no es una medida “able” de deformaci´ on.

iii . Como las deniciones (3.5) y (3.16) son tensoriales, son v´ alidas en cualquiersistema de referencia que se emplee, no necesariamente cartesiano.

iv . Las expresiones de cambio de base para las componentes de un tensor descritasen el caṕıtulo 1 se aplican directamente al tensor D .

Ejemplo 3.11:El cuadrado de la gura sufre unestado de deformación homogéneo conεz = γ xz = γ yz = 0. Se sabe que, aldeformarse,

a) el lado AC aumenta su tama˜ no un 1%.b) el ángulo ACD se cierra 2o.c) el segmento BD se acorta un 3%.

Encontrar la expresi´ on matrici

introducción a la mecánica de los sólidos deformables (upm 2014)

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