Academia de Entrenamiento Matemtico Santa Rosa de Copn 2014Gua de estudio Nivel III1. Lombriz Rpidaa) Una lombriz anda siempre sobre una lnea recta. Todos los das ella avanza 5 m y retrocede 3 m. Al final de 15 das, a qu distancia estar del punto de partida?b) Al final de los 15 das, Cuntos metros ha caminado en total?c) Otra lombriz anda tambin sobre una lnea recta pero de manera diferente a la primera. En el primer da ella anda 1 m para en frente y 1/2 m para atrs, en el segundo da 1/2 m para en frente y 1/3 m para atrs, en el tercer da 1/3 m y 1/4 m respectivamente y as sucesivamente. Cuntos metros tiene andado despus de 1000 das?d) Algn da esta segunda lombriz conseguir estar a 2 m de distancia del punto inicial?2. Cambiando PosicionesEn el tablero de abajo, es permitido mover cualquier objeto de su respectivo cuadrado para cualquier cuadrado adyacente vacio, arriba, abajo, aun lado o en diagonal.

a) Muestre como cambiar la posicin de todos los sombreros con todos los trofeos en apenas 5 movimientos. Argumente porque no es posible cambiarlos de posicin con menos de 5 movimientos.b) En este otro tablero mostrado abajo Cul es el mnimo nmero de movimientos para cambiar los sombreros de posicin con los trofeos?

Y si fuese un tablero parecido a los anteriores pero con 1000 trofeos y 1000 sombreros, Cul sera el mnimo numero de movimientos para cambiarlos de posicin?

3. Corte a la medidaDiego recorto una cruz de cartulina como se muestra en la figura. En esta cruz todos los lados tienen 1 cm de longitud y todos los lados son rectos. Fernanda desafa a Diego a realizar dos cortes en lnea recta en esta cruz de modo que se formen cuatro piezas que al reacomodarlas formen un cuadrado.

a) Cual ser el rea del cuadrado obtenido?b) Cul ser la longitud del lado del cuadrado?c) Muestre como se pueden hacer estos dos cortes.4. Par o ImparArturo y Dina van a disputar un juego de par o impar. Dina escoge par y Arturo impar, enseguida cada uno escribe un nmero entero positivo en una hoja de papel sin que el otro la vea. Emilio recoge las dos hojas multiplica los dos nmeros y declara a Dina ganadora si el resultado fuese par y a Arturo ganador si fuese impar.a) Cmo debe hacer Dina para que ella siempre gane el juego?Emilio sugiere una modificacin en la disputa. Primeramente el pide que Arturo y Dina escriban nmeros que no sean divisibles por tres. El recoge las dos hojas, multiplica los dos nmeros, divide el resultado por tres y declara a Dina ganadora si el resto de la divisin es igual a 1 y Arturo ganador si el resto es igual a 2.b) Muestre que Dina ya no puede tener una estrategia ganadora.c) Muestre que Arturo y Dina tienen la misma probabilidad de ganar.5. El juego de la tiraDiego y Helen juegan el juego de la tira que consiste en lo siguiente. Dada una cuadricula de cuadrados de 1x1 cada jugador, en su turno, tiene el derecho de escoger un cuadrado y entonces retirar de la cuadricula todos los cuadrados debajo de el, todos los cuadrados a la izquierda de el, y todos los otros que estarn debajo y a la izquierda de el. Por ejemplo dado la cuadricula abajo.

El jugador que tiene el turno puede seleccionar el cuadrado abajo marcado en gris, dejando para su adversario los cuadrados mostrados.

Pierde quien toma el ltimo cuadrado.a) Dada la cuadricula abajo, Helen comienza jugando. Muestre una estrategia para que ella gane la partida, independientemente de la estrategia de Diego.

b) Dada la cuadricula abajo, Helen comienza jugando. Muestre una estrategia para que ella gane la partida, independientemente de la estrategia de Diego.

6. Cortando la cuerdaAugusto tiene un alambre de 10 cm de longitud. El realiza un corte en un punto del alambre obteniendo as dos alambres uno con longitud x y otro con longitud (10 x) como muestra la figura.

Augusto usa los dos pedazos de alambre para hacer dos cuadrados.a) Cual es la longitud de los lados de los cuadrados? Cul es el rea de cada uno?b) Cul es el valor de la longitud de cada uno de los dos pedazos de alambre para que la suma de las reas de los cuadrados obtenidos sea mnima?c) Suponga que Augusto corta el alambre en diez pedazos y usa cada uno de ellos para hacer un cuadrado. Cul debe ser el tamao de cada uno de los pedazos para que la suma de las reas de los cuadrados obtenidos sea mnima?7. Calculadora de Cincolandiaa) Una calculadora del pas de Cincolandia tiene apenas los algoritmos de 0 a 9 y dos botones * y **. El botn * eleva al cuadrado el nmero que est en la pantalla de la calculadora. El botn ** sustrae 5 del nmero que est en la pantalla de la calculadora. Mnica digita el numero 7 y despus aprieta * y en seguida aprieta el botn **. Cul es el resultado mostrado por la calculadora?b) Muestre que si un nmero natural x deja residuo 4 cuando es dividido por 5 entonces el numero x2 deja residuo 1 cuando es dividido por 5.c) En la calculadora de Cincolandia es posible digitar el numero 9 y despus llegar al resultado 7 apretando los botones * y ** de manera adecuada.

8) Algn da l gana?A partir de hoy, el gran apostador Carlo Pietro decide frecuentar casinos diariamente. En el primer da l apostara en un juego cuya probabilidad de ganar es de 1/2. En el segundo, tercero y cuarto da el apostara en juegos diferentes cuyas probabilidades de victoria son 1/3, 1/4, 1/5 respectivamente y as sucesivamente en los das que siguen.a) Cual es la probabilidad de que el gane hasta el tercer da?b) Cual es la probabilidad de que el gane hasta el quinto da?c) Cual es la probabilidad de que el gane hasta el 2013 da?9. rea mximaEl cuadrado ABCD abajo tiene lado 3 cm.

Los puntos P y Q pueden ser colocados sobre los segmentos AB y AD respectivamente de forma que la longitud del segmento AP mida la mitad de la longitud del segmento AQ. a) Determinar el valor del rea del cuadriltero sombreado en funcin de la longitud del segmento AB.b) Determine el rea mxima que el cuadriltero sombreado puede tener.10. Unos y ms unosCalcule la suma:

11. Apretones de manoEn un grupo de 20 personas, algunas personas intercambian apretones de manos.a) Contamos cuantos apretones de mano da cada persona y sumamos todos esos nmeros. Muestre que el resultado es par.b) Es posible que en un grupo de 99 personas cada persona tenga dado exactamente 3 apretones de mano?12. Crculo sobre crculoEn una hoja de papel Emanuel dibuja dos circunferencias de radio 1 que se tocan en un punto. En seguida el dibuja una tercera circunferencia de radio que toca las dos anteriores externamente conforme a la figura.

Emanuel calcula el rea de la regin sombreada exterior y limitada de las tres circunferencias. Cul es el valor encontrado por l?13. El entrenamiento de JulinJulin entrena en una pista de 3 km. El recorre el primer km caminando, el segundo corriendo y el tercero en bicicleta. Si l hubiese recorrido toda la pista en bicicleta hubiera demorado 10 min al menos. Julin corre al doble de la velocidad que camina y va en bicicleta al triple de la velocidad que camina. Cunto tiempo le lleva correr 1 km?14. Peones rebeldesEn el siguiente tablero 4x4 deben ser colocadas 4 torres, 4 caballos, 4 alfiles y 4 peones de modo que en cada fila y en cada columna las piezas colocadas sean distintas como en el ejemplo:

Los peones son rebeldes y deciden quedarse en las siguientes posiciones

a) Calcule el nmero de modos en el que las otras piezas pueden ser colocadas.15. ngulos en el cuadradoLa siguiente figura muestra un cuadrado ABCD.

Si AMB = 60 y DMN = 60. Calcule MBN.16. Carla escribe, Diana borraCarla escribe en la pizarra los nmeros enteros de 1 hasta 21. Diana desea borrar algunos de ellos de tal manera que al multiplicar los nmeros restantes el resultado sea un cuadrado perfecto.a) Muestre que Diana debe borrar necesariamente 11, 13, 17, 19 para conseguir su objetivo.b) Cual es la menor cantidad de nmeros que diana debe borrar para17. Papa NoelPapa Noel llega a la casa de Arnoldo y Bernardo cargando 10 juguetes distintos enumerados del 1 al 10 y les dice a ellos: el juguete 1 es para vos Arnoldo y el juguete nmero 2 es para vos Bernardo. Pero este ao ustedes pueden escoger quedarse con ms juguetes de manera que dejen al menos 1 para m. Diga de cuantas maneras ellos pueden dividir el restante nmero de los juguetes.

18. Hexgono equinguloEn el hexgono de la siguiente figura, la medida de todos los ngulos internos es , por eso es llamado equingulo.

Se sabe que las longitudes de los segmentos AB, BC, CD, DE tienen las medidas:|AB|=4, |BC|=5, |CD|=2 y |DE|=3.a) Calcule el valor de .b) Calcule |EF| y |FA|.c) Calcule el rea del hexgono.19. La ley pirataLa ley pirata establece que para dividir las monedas de un tesoro el capitn debe escoger un grupo de piratas (excluyndose a si mismo). En seguida el capitn debe distribuir la misma cantidad de monedas a cada uno de los piratas de ese grupo, de tal modo que no sea posible dar a cada uno de ellos ninguna otra moneda de las que restan (respetando el hecho de que cada pirata recibe la misma cantidad de monedas). Las monedas restantes son entonces dadas al capitn. En el barco del capitn Barba roja hay 100 piratas (sin incluir al capitn). Barba roja debe dividir un tesoro que contiene menos de 1000 monedas. Si el escoge 99 piratas el recibir 51 monedas, si el escoge 77 piratas el recibir 29 monedas.a) Cuantas monedas contiene el tesoro?b) Cuntos piratas debe escoger Barba roja para quedarse con la mayor cantidad de monedas?

20. Tringulos equilteros en el cuboLa siguiente figura muestra un cubo.

Calcule el nmero de tringulos equilteros que pueden ser formados de modo que sus tres vrtices sean vrtices del cubo.21. Cuadrados vecinosEn la siguiente figura ABEF y EBCD son cuadrados

Si MDE=15 y AF=4. Calcule MD22. El error de RalSean a y b nmeros enteros positivos tales que a > b. El profesor Fernando dice al alumno Ral que si el calcula el numero A = a2 + 4b + 1 el resultado es un cuadrado perfecto, Ral por error cambio los nmeros a y b calculando A = b2 +4a + 1 que por casualidad tambin un cuadrado perfecto. a) Muestre que .b) Encuentre los nmeros a, b, A y B.23. La diagonal de la cuadriculaEn el siguiente papel fue dibujada una cuadricula de 4x6 y despus se trazo una diagonal de A a B.

Observe que la diagonal AB intersecta la cuadricula en 9 puntos.

Si la cuadricula fuese de tamao de 12x17 en cuntos puntos la diagonal AB intersectara la cuadricula?24. Doblando el cuadradoLa siguiente figura muestra un cuadrado ABCD y dos puntos P y Q sobre los lados y respectivamente.

Doblamos ahora el cuadrado a lo largo del segmento llevando el vrtice B hasta el punto medio del segmento .

Se sabe que el lado del cuadrado mide 24a) Calcule la longitud del segmento b) Calcule la longitud del segmento c) Calcule la longitud del segmento 25. Sumando cubosAlberto comenz a sumar los primeros cubos y noto algo curioso:

Lo mismo se cumple si sumamos hasta 3:

Lo mismo hasta 4:

Sorprendido con eso Alberto fue a preguntar a su profesor de matemticas si eso siempre ocurrira. El profesor entonces dio a Alberto los siguientes pasos para demostrar ese hecho.Sea

la suma de los n primeros nmeros y

la suma de los n primeros cuadrados y

la suma de los n primeros cubos.a) Calcule la diferencia . Ahora calcule la suma:

luego concluya que 2Sn . Halle una frmula para Sn

b) Calcule . Concluya que3Qn + 3Sn + n = y luego halle una frmula para Qn

c) Calcule . Concluya que 4Cn + 6Qn + 4Sn + n = y halle una frmula para Cn. Concluya que Cn = (Sn)2 26. Contando tablerosSea an el nmero de maneras de llenar un tablero nxn con los algoritmos 0 y 1 de modo que la suma en cada lnea y en cada columna sea la misma, por ejemplo los tableros 2x2 que satisfacen esa regla son:

Luego a2 = 4. Calcule los valores de a3 y a427. Distancia hasta el incentroSea ABC un triangulo inscrito en la circunferencia de abajo. Sea tambin I el incentro del triangulo ABC y D el punto donde la recta AI corta a la circunferencia. Muestre que DB = DC = DI.

Bibliografa de los problemas:1. Banco de Problemas, OBMEP-201428. Producto igual a la sumaPedrito escribe dos nmeros enteros y positivos en un pedazo de papel y se los mostro a Jorge. Despus de eso Pedrito clculo el doble del producto de esos dos nmeros. Jorge sumo 21 con el doble del primer nmero y despus sumo el resultado con el segundo nmero. Para sorpresa de los dos el resultado fue el mismo. Cules son los posibles nmeros que Pedrito escribi en el pedazo de papel?29. Coloreando palitosPedro est jugando de hacer arreglos con palitos. El dispone sus palitos formando tringulos equilteros como se muestra abajo.

Pedro quiere pintar cada palito de su arreglo de tal forma que cada triangulo tenga sus lados pintados de exactamente dos colores diferentes. Para eso el dispone de tintas rojo, azul y negro. De cuantos modos puede pintar el arreglo?30. Tringulos equilteros Sea ABCD un paralelogramo y ABF y ADE tringulos equilteros construidos exteriormente al paralelogramo. Pruebe que FCE tambin es equiltero.

Bibliografa de los problemas:1. Banco de Problemas, OBMEP-2014

Gua de Estudio II Nivel1. Manteniendo la sumaAmanda dibuja la siguiente figura:

Observe que la suma a lo largo de cualquier lado del triangulo arriba es siempre la misma pues como podemos verificar,1 + 3 + 6 = 6 + 2 + 2 = 1 + 7 + 2.a) Complete los nmeros que faltan en los crculos de la figura debajo de modo que las sumas a lo largo de cualquier lado del cuadrado sean siempre las mismas.

b) Encuentre una manera de colocar los nmeros en los crculos de manera que las sumas a lo largo de cualquier lnea sean siempre las mismas. Hay ms de una solucin?

c) En la figura de abajo que fue dibujada apenas parcialmente (por falta de espacio), tambin vale que la suma a lo largo de cualquier segmento es siempre la misma. Entretanto, Amanda borra todos los nmeros excepto los dos nmeros mostrados en la figura. Se sabe que hay 40 crculos en el dibujo. Es posible descubrir cuales nmeros estaban en los crculos pintados?

2. Mueva los fsforosMoviendo exactamente cuatro fsforos, transforme la espiral de abajo en tres cuadrados de tamaos distintos.

3. Desigualdades y tringulosa) En un triangulo de lados a, b y c se cumple siempre que la suma de dos lados es mayor que el tercer lado, por ejemplo en el triangulo siguiente de lados a, b y c se cumple la desigualdad a < b + c. As mismo se cumplen otras dos desigualdades cules son?

b) En la figura de abajo se puede observar un rectngulo cuyo lado menor mide 3 y cuyo lado mayor mide 8.

Suponga que a b. Muestre que a + b > 10. Sugerencia: copie un rectngulo igual encima del cuadrado dado.c) En cada lado de un cuadrado es escogido un punto, en seguida estos puntos son unidos formando un cuadriltero igual a la figura de abajo.

Muestre que el permetro de este cuadriltero (la suma de la longitud de los lados) es mayor o igual a dos veces la longitud de la diagonal del cuadrado.Sugerencia: Dibuje varios cuadrados iguales al cuadrado dado.4. Nmeros invertidosEl nmero 1089 tiene una propiedad interesante. Cuando hacemos la multiplicacin de este nmero por 9, como es mostrado abajo

Obtenemos el nmero 9801 que es el nmero 1089 con todos sus dgitos de izquierda a derecha.a) Encuentre un nmero de cinco dgitos ABCDE tal que su multiplicacin por 9 sea igual al nmero que tiene los dgitos de ABCDE escritos de derecha a izquierda, es decir,

b) Encuentren todos los nmeros de 7 dgitos cuya multiplicacin por 9, como anteriormente, invierte la posicin de sus dgitos.

5. Punto y lnea sobre el planoUn gran pintor dibuja los siguientes puntos en el papel.

a) Sin levantar el lpiz del papel, dibuje 4 lneas rectas que pasen por todos los 9 puntos de la figura dibujada por el pintor.b) Pruebe que no es posible hacer lo mismo, con apenas 3 lneas rectas.c) Sin levantar el lpiz del papel dibuje 6 lneas rectas que pasen por todos los 16 puntos abajo.

6. A Susana le gusta hacer copias reducidasA la profesora Susana le gusta hacer copias reducidas. Ella comienza dibujando el triangulo rectngulo ABC de abajo:

En seguida la profesora traza un segmento AP1 de manera que AP1 sea perpendicular a BC, como lo muestra la figura.

Susana afirma entonces que el triangulo AP1C es semejante al triangulo ABC (es decir, tienen ngulos correspondientes iguales).a) Muestre que la profesora Susana esta en lo cierto.b) Calcule la longitud del segmento AP1.c) Calcule la razn entre el rea del triangulo ABC y el rea del triangulo AP1C.d) La profesora Susana repite el proceso, ahora trazando un segmento P1P2 perpendicular al lado AC como muestra la figura.

Cul es la razn entre las reas de los tringulos P1P2C y AP1C?e) La profesora Susana repite el proceso ms veces, como se muestra abajo,

Cul es el rea del triangulo P5P6C?7. Mayor o menorCul nmero es mayor ? Bien calcular explcitamente tales nmeros es algo bien difcil, lo mismo con la ayuda de una calculadora o computador. Entretanto podemos descubrirlo sin calcularlos explcitamente! Observe:

y observe tambin que

Como < concluimos que < .a) Cul nmero es mayor ?b) Cul nmero es mayor ?8. La Doctora Mara Amelia viajaa) La doctora Mara Amelia viaja para atender a sus pacientes. En su primer da de trabajo ella tiene que atender a pacientes en las ciudades de Anpolis, Bepolis, Cepolis, Depolis y Enpolis. Las ciudades estn unidas por entradas, como lo muestra la figura. Para atender los pacientes mas rpidamente la doctora necesita pasar por cada ciudad exactamente una vez y no volver a pasar por la ciudad donde comenz el recorrido. La doctora comienza en Anpolis. Muestre como ella puede hacer eso.

b) La doctora necesita hacer lo mismo, pero ahora una entrada fue cerrada por reparacin. Muestre como la doctora puede hacer el recorrido descrito anteriormente pasando apenas una sola vez por cada ciudad y regresando a la ciudad de partida, Anpolis.

c) Con el crecimiento poblacional surgirn nuevas ciudades como lo muestra la figura. Las entradas que estaban en reparacin volvern a ser transitables. Muestre que en este caso no hay solucin para el problema, es decir, no hay forma como la doctora salga de Anpolis, pase por cada una de las otras ciudades exactamente una vez y entonces regresar a Anpolis.

9. Cuadrados y ms cuadradosa) En la figura de abajo hay tres cuadrados de lados 9, 6 y x. Determine el valor de x.

b) Marcelo continua el dibujo anterior y dibuja algunos cuadrados ms (muchos!). Como estos sern muy pequeos no es posible verlos, pero se muestran algunos en la figura de abajo. Cul es la longitud del lado del cuadrado 2014 contando de izquierda a derecha.