problemas de la circunferencia
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Contiene 16 problemas sobre la circunferenciaTRANSCRIPT
LA LA
CIRCUNFERENCIACIRCUNFERENCIACIRCUNFERENCIACIRCUNFERENCIA
PROBLEMAS RESUELTOS
Q
Por ángulo semi-inscrito PQS
Problema Nº 01
RESOLUCIÓN
PSQ = xSe traza la cuerda SQ 2
mQRSPQSm =∠
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia setrazan la tangente PQ y la secante PRS, si el arco RSmide 140º y el ángulo QPS mide 50º. Calcule lamedida del ángulo PSQ .
50°70º+x
XR
S
Q
140°
2X
X + (X+70) + 50°= 180°
X = 30°X = 30°
P
xº702
x2º140PQSm +=+=∠
Reemplazando:
En el triángulo PQS:
Resolviendo la ecuación:
2
En el triángulo rectángulo RHS
Problema Nº 02
RESOLUCIÓN
m ∠∠∠∠ S = 70ºPSQ = x
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia setrazan la tangentes PQ y PR, luego en el mayor arcoQR se ubica un punto “S”, se traza RH perpendiculara la cuerda QS, si m ∠∠∠∠HRS=20º; calcule la m ∠∠∠∠QPR.
20°
70°X
X = 40°X = 40°R
Q
140° Es propiedad, que:
140°+ X = 180°
Por ángulo inscrito
P
S
m ∠∠∠∠ S = 70º
Resolviendo:
PSQ = x
2mQR
º70 = mQR = 140°
Problema Nº 03
RESOLUCIÓN
APD = xMedida del ángulo interior
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia setrazan las secantes PBA y PCD tal que las cuerdas ACy BD sean perpendiculares entre sí; calcule la medidadel ángulo APD, si el arco AD mide 130º.
x130°
A
C
B
DX = 40°X = 40°
250 130
X°°°°−−−−°°°°====50°
PResolviendo:
APD = x
Medida del ángulo exterior
°=+°90
2mBC130
mBC = 50°
N
Problema Nº 04
RESOLUCIÓNAPN = x
Se traza el radio OM:
Dato: OM(radio) = PM
En una circunferencia, el diámetro AB se prolongahasta un punto “P”, desde el cual se traza un rayosecante PMN tal que la longitud de PM sea igual alradio, si el arco AN mide 54º. Calcule la m ∠∠∠∠APN.
x
X = 18°X = 18°
2X 54
X−−−−°°°°====
M
N
54°
xx
PABo
Dato: OM(radio) = PM
Luego triángulo PMO es isósceles
Ángulo central igual al arco
Medida del ángulo exterior
Resolviendo:
B
Problema Nº 05
RESOLUCIÓN
PRQ = x
Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes:
En un triángulo ABC se inscribe una circunferenciatangente a los lados AB, BC y AC en los puntos “P”,“Q” y “R” respectivamente, si el ángulo ABC mide70º. Calcule la m ∠∠∠∠PRQ.
x
70°
Medida del ángulo inscrito:
X = 55°X = 55°
2110
X°°°°====
A
B
C
PQ
R
110°
PRQ = xformado por dos tangentes:
Resolviendo:
70°+ mPQ = 180° mPQ = 110°
Calcule la medida del ángulo “X”.
Problema Nº 06
A
70°
B
X P
Resolución
RESOLUCIÓN
70°
A
X PC
140º
Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes:
Medida del ángulo inscrito:
B
140º + x = 180º Resolviendo: X = 40º
2mAB
º70 = mAB=140º
Calcular la medida del ángulo “x”
Problema Nº 07
A
B
X P130º
Resolución
RESOLUCIÓNA
X P130º C260º
B
Medida del ángulo inscrito:
En la circunferencia:
Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes:
X = 80º
2mAB
º130 = mAB = 260º
mACB = 100º
mACB + x = 100º
260º + mACB = 360º
Calcule el perímetro del triángulo ABC.
Problema Nº 08
B
2
5 5A C
Resolución
RESOLUCIÓN
2
A
B
C
a b
Teorema de Poncelet : a + b = 10 + 2(2)
Luego el perímetro: (2p) = a + b + 10 = 14 + 10
(2p) = 24
5 5A C
a + b = 14 (1)(2)
Reemplazando (1) en (2) (2p) = 14 + 10
PLANTEAMIENTO
Q
Problema Nº 09
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangente PQ y la secante PRS de modo que los arcos SQ y SR sean congruentes. Si el arco QR mide 80º, calcular m ∠∠∠∠QPR .
X
Q
R
S
80º Pa
aResolución
En la circunferencia:
RESOLUCIÓN
X
Q
R
S
80º Pa
2a + 80º = 360ºa = 140º
Medida del ángulo exterior:
Xa
=−
=−80
2
140 80
2
º º ºX = 30º
S
a
Q
PLANTEAMIENTO
Problema Nº 10En un cuadrilátero ABCD m∠∠∠∠Q = m∠∠∠∠S = 90º se trazala diagonal PR . Los inradios de los triángulos PQR yPRS miden 3cm y 2cm respectivamente. Si elperímetro del cuadrilátero PQRS es 22cm . Calcule lalongitud de PR
PR
S
2
3
Resolución
a b
c
Dato:
a + b + c + d = 22cm
RESOLUCIÓN
P
Q
R
2
3
Teorema de Poncelet:
cd
�PQR � a + b = PR+2(3) +
a +b + c + d = 2PR + 10
PR = 6cm
�PSR � c + d = PR+2(2)
22 = 2PR + 10
S