PROBLEMAS DE FÍSICA 1

1er

curso

Grado en INGENIERÍA DE TECNOLOGÍAS

INDUSTRIALES

§1. Cinemática.

§2. Dinámica de una partícula.

§3. Dinámica de un sistema de partículas.

§4. Sólido Rígido.

(Parte 1/3)

ESCUELA DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA

UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA

2

Problemas: CINEMATICA.

1. Un atleta corre 2 km en 5 minutos y luego tarda 10 minutos en volver

andando a su punto de partida. (a) ¿Cuál es su velocidad media durante los

primeros 5 minutos? (b) ¿Cuál es su velocidad media durante el tiempo que

camina? (c) ¿Cuál es el valor promedio del módulo de la velocidad para todo el

recorrido?

2. Un ascensor de 2.74 m de altura asciende con una aceleración vertical de

1.22 m/s2. En el instante en que su velocidad es de 2.44 m/s, un tornillo cae

desde el techo del ascensor. (a) Calcular el tiempo que tarda en llegar desde el

techo hasta el suelo. (b) La distancia que ha recorrido.

3. Se arroja verticalmente y hacia arriba desde la calle un objeto cualquiera. Un

observador, situado en una ventana de 1.52 m de altura, ve pasar el objeto,

primero subiendo y luego bajando. El tiempo total de la observación fue de

1.0s. Determinar la máxima altura alcanzada por el objeto, medida desde la

parte inferior de la ventana.

4. Un disco rueda sin deslizar sobre un plano horizontal. (a) Determinar las

ecuaciones cartesianas de la trayectoria de un punto de la periferia del disco.

(b) Hacer una figura de la trayectoria. (c) Calcular la velocidad y la aceleración

instantáneas cuando el punto alcanza su máximo y su mínimo valor de y. (Sea y

la coordenada vertical sobre el suelo).

5. Si nos colocamos a 50 m de la vía del tren y queremos filmar el paso del tren

que marcha con una velocidad constante de 100 km/h, ¿con qué velocidad

angular hemos de girar el tomavistas? (Tomar como origen el punto en el que el

tren está más próximo a la cámara y expresar el resultado en función del

tiempo).

3

6. La aceleración de un cuerpo que se mueve a lo largo de una línea recta está

dada por: a = -Kv2, donde K es una constante. Si suponemos que inicialmente la

velocidad es v0, y su posición es x0, encontrar la expresión de la velocidad y del

desplazamiento en función del tiempo. Encontrar también v en función de x,

v=v(x).

7. Una partícula se mueve en el plano XY con aceleración constante,

a i j 4 3 m/s2. Si en el instante inicial, la partícula se encuentra en reposo en

0ˆ ˆ4 3r i j m, determinar: (a) el vector velocidad para t = 2 s. (b) el vector

posición para t = 4 s. En ambos casos indicar su módulo y dirección.

8. El movimiento de una partícula viene definido por las siguientes ecuaciones

paramétricas: x = t2, y = t. Para el instante t = 2 s, calcular: (a) la velocidad y

aceleración en coordenadas cartesianas; (b) el radio de la circunferencia

osculatriz (o radio de curvatura, R); (c) las componentes intrínsecas de la

aceleración; (d) probar que el módulo de la aceleración es el mismo cuando se

calcula a partir de sus componentes cartesianas o de sus componentes

intrínsecas; (e) ecuación de la trayectoria, y=y(x).

9. La velocidad de la corriente de un río crece proporcionalmente a la distancia

desde la orilla, alcanzando su valor máximo v0 en el centro del río y siendo nula

en las orillas. Un bote avanza por el río de modo que su velocidad respecto al

agua es constante, u, y perpendicular a la corriente. (a) Hállese la distancia que

la corriente arrastrará al bote cuando éste la atraviesa (la anchura del río es D).

(b) Determinar la trayectoria del bote.

10. Una partícula está en reposo en la parte superior de un hemisferio de radio

R. Encontrad la velocidad horizontal mínima que debe aplicarse a la partícula

para que salga del hemisferio sin resbalar sobre él.

4

Soluciones CINEMATICA:

1. a) 20/3 ms-1

b) 10/3 ms-1

c) 40/9 ms-1

2. a) 0.7 s ; b) 0.74 m

3. h=1.537 m

4. a) x = Rt + R sent, y = R – R cost

5. = vD / (D2 + v2t2)

6. v = v0 / (1+v0kt) x = x0 + [ln(1+kv0t)]/k

7. a) ˆ ˆ8 6v i j m s

b) ˆ ˆ36 27r i j m

8. b) R = ½ (1+4t2)3/2 = 35.05 m

c)

d) x = y2

9. a) x = v0D / 2u

b)

10. 0v gR

5

Problemas: DINÁMICA DE UNA PARTICULA.

1. Sobre una partícula de masa M = 1 kg actúa una fuerza que depende del

tiempo como muestra la figura. Si la partícula parte inicialmente de x = 0 m con

una velocidad de 2 m/s, calcular x(t) y v(t) para t = 2 y 3 s.

2. Dos bloques se hallan en contacto sobre una mesa sin rozamiento como

indica la figura. Se aplica una fuerza horizontal a uno de ellos. (a) Encontrar la

fuerza de contacto entre los dos bloques. (b) Demostrar que si se aplica la

fuerza F sobre el otro bloque (igual dirección pero sentido contrario), la fuerza

de contacto no es la misma. ¿Por qué?

3. Tres bloques están unidos entre sí del modo indicado en la figura. Encontrar

las tensiones de las cuerdas que los unen cuando se tira del conjunto hacia la

derecha. (T3 = 60 N, M1 = 10 kg, M2 = 20 kg, M3 = 30 kg).

6

4. El coeficiente de rozamiento entre el bloque A y B de la figura es 1, y entre

el bloque B y el suelo horizontal es 2. ¿Qué relación debe de existir entre los

coeficientes 1, 2 y F para que las aceleraciones de los dos bloques coincidan?

Suponer que inicialmente el sistema está en reposo.

5. Una pequeña esfera de masa m se desliza sobre una superficie circular lisa,

partiendo en reposo desde una posición A. (a) Encontrar la velocidad angular

de la esfera cuando pasa por la posición C. (b) Hallar la fuerza ejercida por la

superficie sobre la esfera en ese instante.

7

6. Al eje de una polea móvil se sujeta una carga de peso P. ¿con qué fuerza, F,

es necesario tirar del extremo de la cuerda apoyada sobre una segunda polea

para que la carga se mueva hacia arriba con aceleración vertical a?

7. El coeficiente de rozamiento entre la mesa y el bloque de la figura es 0.35.

(a) Determinar el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento cuando el

bloque de 2 kg cae recorriendo una distancia y0. (b) Calcular la energía

mecánica total del sistema después de recorrer el bloque de 2 kg la distancia y0,

suponiendo que inicialmente E = 0 J. (c) Determinar la velocidad de los

bloques cuando y0 = 2 m.

8

8. Un cuerpo parte del reposo en una posición y0, moviéndose en línea recta

bajo la acción de una fuerza F=-k/y2. (a) Hállese su velocidad en función de la

posición. (b) Utilizar este resultado para obtener la velocidad con que un móvil

choca con el suelo cuando cae desde una altura de 100 m. Comparar con el

resultado obtenido al hacer la aproximación de gravedad uniforme (g=9.8 m/s2)

9. Una partícula de masa m se deposita a velocidad v sobre un bloque de masa

M que reposa sobre un plano horizontal sin rozamiento. ¿A qué altura asciende

la partícula sobre el bloque si no existe rozamiento entre ambos?

10. Se lanza un cuerpo de masa 4 kg verticalmente y hacia arriba, con

velocidad inicial de 60 m/s. Además de la fuerza de la gravedad (tomar g =

9.81 m/s2) actúa sobre el mismo la fuerza de resistencia del aire que viene dada

por: 0.03vF v , siendo v la velocidad del cuerpo en m/s. Calcular el tiempo

que transcurre hasta que la piedra alcanza la altura máxima y el valor de esta

altura.

9

Soluciones DINÁMICA DE UNA PARTICULA:

1. t = 2 s x = 6.5 m v = 5 ms-1

t = 3 s x = 11.33 m v = 4.5 ms-1

2. a) 2

1 2

c

MF F

M M

b) 1

1 2

c

MF F

M M

3. 1 210 ; 30T N T N

4. 1 21 AA

B

mF gm

m

5. a)2g sen

r

b) N = 3mg sen

6. F = P (g + a) / 2g

7. a) W = -13.7y J

b) Ef = -13.7y J

c) v = 1.98 ms-1

8.

9. 2

2

v Mh

g M m

10. t = 5.98 s Hmax = 178.2 m

10

Problemas: DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTICULAS.

1. Un proyectil de 200 g, con velocidad horizontal de 200 m/s choca contra un

bloque de madera, inicialmente inmóvil sobre un suelo sin rozamiento. El

proyectil queda empotrado en el bloque y el conjunto proyectil-bloque, que ha

adquirido una cierta velocidad a consecuencia del choque, penetra en una zona

en la que hay rozamiento (k= 0.5), recorriendo dentro de ella 3 m hasta

pararse. Calcular: (a) Masa del bloque de madera; (b) Energía mecánica

perdida debido al impacto del proyectil; (c) Energía disipada durante el

deslizamiento del conjunto bloque-proyectil en la zona con rozamiento.

2. Un bloque de masa 2M es disparado por un resorte ideal de constante

elástica desconocida, K, que se hallaba comprimido una distancia L desde su

posición de elongación natural. El bloque, en un punto de su trayectoria

horizontal, colisiona con otro de masa M quedando ambos empotrados.

Suponiendo que no hay rozamientos, determinar la mínima constante elástica,

K, que ha de tener el resorte para que el conjunto formado por ambos bloques

haga el rizo en la pista circular de radio R (ver figura).

3. Se denomina factor Q a la diferencia entre las energías cinética final e inicial

en el proceso de interacción en un sistema de partículas. (a) Obtener la relación

entre Q y el coeficiente de restitución “e” en el choque entre dos partículas

puntuales. En los sistemas de partículas donde puede haber conversión de

energía interna en cinética (procesos exoenergéticos), Q puede ser positivo.

R

2M M K

11

Supóngase que una granada de masa m explota en varios fragmentos y que la

explosión tiene un Q positivo. (b) Demostrar que si la granada explota en dos

fragmentos, éstos se mueven en sentidos opuestos en el sistema CM y que los

momentos y las velocidades en este sistema son (mQ/2)1/2 y (2Q/m) 1/2. (c) Si el

número de fragmentos es de 3, demostrar que en el sistema CM los momentos

se encuentran en un mismo plano. Suponiendo que los 3 fragmentos sean

emitidos simétricamente, demostrar que sus momentos y velocidades serán

(1/3)(2Qm) 1/2 y (2Q/m) 1/2.

4. Sobre una cinta transportadora (ver Figura), se deposita material en un

extremo y se descarga en otro. Supongamos que el material se deposita

continuamente en la cinta con una tasa constante con el tiempo, dm dt . La

cinta se mueve desde el reposo bajo la acción de una fuerza constante, F . Si

inicialmente M0 es la masa de la cinta, calcular la velocidad de la cinta

transportadora con el tiempo, v .

5. Calcular las coordenadas del centro de masas de una placa metálica

semicircular, con densidad uniforme , espesor t y radio a. Tomar como

referencia el centro del círculo.

6. Los objetos de la figura están hechos de alambre uniforme, doblado del

modo indicado. Determinar la posición de sus centros de masas

12

7. Sea un sistema de dos partículas con masas m1=2 kg y m2=4 kg. En un

instante determinado, las posiciones y velocidades de estas partículas respecto

de un sistema de referencia OXYZ son: 1ˆˆ2.0 3.0r m i m k , 2

ˆ1.0r m j ,

1ˆˆ ˆ1.0 / 1.0 / 1.0 /v m s i m s j m s k , 2

ˆ1.0 /v m s i , ˆ1.0 /m s k Determinar

para ese instante de tiempo: (a) La posición y velocidad del Centro de Masas

(CM), CMR y CMV ; (b) Momento lineal de cada partícula respecto de “O”, 1p y

2p , y respecto del CM, *

1p y *

2p ; (c) Momento lineal total respecto de “O”, P ,

y respecto del CM, *P ; (d) Cómo se relacionan P y *P ; (e) Momento angular

de cada partícula respecto del origen “O”, 1,Ol y 2,Ol , y respecto del CM, *

1l y

*

2l ; (f) El momento angular total del sistema respecto del origen “O”, 0L , y

respecto del CM, *L ; (g) Relacionar *

0L L con 1 2( )CM CMR m m V ; (h) Energía

cinética de cada partícula respecto del origen “O”, ,1cE y ,2cE , y respecto del

CM, , *

,1cE y *

,2cE ; (i) La energía cinética total del sistema respecto de “O”, cE ,

y respecto del CM, *

cE ; (j) Relacionar *

c cE E con 1 2(1/ 2) CM CMm m V V .

13

8. Sobre un plano horizontal sin rozamiento se encuentran dos bloques de

masas: m y M, y entre ellos un resorte ideal comprimido que tiene una contante

elástica K y una longitud L. Se sabe que este resorte en reposo mide L0. Si

eliminamos el dispositivo que mantendría comprimido el resorte, calcular en el

intervalo que pasa desde que están unidos al resorte hasta que dejan de estarlo:

(a) Momento lineal inicial y final del sistema completo; (b) Energía mecánica

inicial y final del sistema completo; (c) velocidad de cada bloque cuando

ambos se han separado del resorte.

9. Sea un sistema de dos partículas con masas m1=2.0 kg y m2=4.0 kg unidas

por muelle de constante elástica k= 0.21 N/m y elongación natural L0=4.0 m.

En un instante determinado t0, y respecto de un sistema de referencia OXYZ,

las posiciones de estas partículas y las fuerzas externas que actúan sobre estas

partículas vienen dadas por: 1ˆ3.0r m i , 2

ˆ3.0r m j m,

1ˆ ˆ4 / 2 / 2F N i j y 2

ˆ ˆ4 / 2 / 2F N i j . Determinar para ese instante

de tiempo y para el observador “O” situado en el origen: (a) las fuerzas de

interacción entre las partículas, ijF ; (b) el momento de las fuerzas exteriores de

cada partícula; (c) el momento de las fuerzas de interacción entre las dos

partículas; (d) el momento total de las fuerzas exteriores y el de las fuerzas

internas del sistema de partículas; (f)

0

O

t

dL

dt. (g) Repetir apartados (a) – (f)

respecto del CM.

10. Sobre una mesa sin rozamiento se encuentran tres masas iguales, m, que no

interaccionan entre ellas, y que se encuentran inicialmente en los extremos de

un triángulo equilátero de lado L. En un instante dado se le comunica a una de

ellas una velocidad 0v cuya dirección es la recta que une dicha partícula con su

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centro de masas. Calcular: a) velocidad del centro de masas, b) el trabajo que

ha sido necesario para conseguir esta situación para un observador inercial, c)

el trabajo que ha sido necesario para conseguir esta situación para un

observador en el centro de masas.

Soluciones DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTICULAS:

1. a) 7.173M kg

b) 930.1 cal

c) 25.9 cal

2. 2

45

2

mgRk

L

3. a) 221 2

1 2

1 2

11

2

m mQ e v v

m m

b)

1 12 22;

2

Q mQv p

m

c) 1

2 12

2 1; 2

3

Qv p Qm

m

.

4. 0

0

1MF

vM t

5. 4

0,0,3

CM

RR

6. Depende del sistema de referencia utilizado. Así, en el plano z=0 de la

figura dada, tenemos que:

0 cos ; 02 2 3

L Lx y x y

; 04 4 2 3

L L Lx y x y

7. a) (2 / 3,2 / 3, 1) m, ( 1/ 3,1/ 3,1) m/sCM CMR V

b)1 2

* *

1 2

(2,2,2) kg m/s, ( 4,0,4) kg m/s

(8 / 3,4 / 3,0) kg m/s, ( 8 / 3, 4 / 3,0) kg m/s

p p

p p

c) *( 2,2,6) kg m/s, (0,0,0) kg m/sP P

d) *

1 2( 2,2,6) kg m/s=(m ) CMP P m V

15

e)2 2

1, 2,

* 2 * 2

1 2

(6, 10,4) kg m /s, ( 4,0,4) kg m /s

(8 / 3, 16 / 3,32 / 9) kg m /s, (4 / 3, 8 / 3,16 / 9) kg m /s

O Ol l

l l

f) 2 *(10, 10,8) kg m /s, (4, 8,16 / 3) kg m/sOL L

g) *

1 2(6, 2,8 / 3) kg m/s= ( )O CM CML L R m m V

h),1 ,2

* *

,1 ,2

3 , 4

20 / 9 , 10 / 9

c c

c c

E J E J

E J E J

i) *

, ,7 , 10 / 3 c tot c totE J E J

j) *

, , 1 211/ 3 1/ 2c tot c tot CM CME E J m m V V

8. a) ( .) ( .)0 kg m/s, 0 kg m/sinic fin

tot totP P

b) ( .) 2 ( .) 2

, 0 , 0( ) / 2 , ( ) / 2inic fin

m tot m totE k L L E k L L

c) 0 0,M m

mk M kv L L v L L

M M m m M m

.

9. a)

21

12

0.05 N, 0.05 N 1/ 2, 1/ 2,0 ,

0.05 N 1/ 2, 1/ 2,0

ijF F

F

b) 1 2

( .) 2 ( .) 20,0,6 2 / , 0,0, 6 2 /ext ext

O OM kg m s M kg m s

c) 1 2

(int.) 2 (int.) 20,0,0.108 / , 0,0, 0.108 /O OM kg m s M kg m s

d) ( .) 2 (int.) 20,0,0 / , 0,0,0 /tot tot

ext

O OM kg m s M kg m s

e) 0

( .) (int.) ( .) 20,0,12 2 /tot tot tot

ext extOO O O

t

dLM M M kg m s

dt

g) *,( .) 2 *,( .) 2

1 20,0,0 / , 0,0,0 /ext extM kg m s M kg m s

*,(int.) 2 *,(int.) 2

1 20,0,0 / , 0,0,0 /M kg m s M kg m s

*,( .) 2 *,(int.) 20,0,0 / , 0,0,0 /ext

tot totM kg m s M kg m s

0

*20,0,0 /

t

dLkg m s

dt .

10. a) 0

3CM

vV

b) 2

0

1

2extW mv

c) * 2

0

1

3extW mv

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Problemas: SOLIDO RIGIDO:

1. En la figura, el coeficiente de rozamiento del bloque de 10 kg con el plano

vale k = 0.3. Calcular: (a) tensión de cada cuerda y aceleración de cada bloque

(b) velocidad del bloque de 30 kg cuando haya descendido 2 m, partiendo del

reposo. (La polea doble tiene I = 0.245 kg m2, R1 = 20 cm y R2 = 40 cm, y no

desliza con la cuerda)

2. Una barra horizontal de masa despreciable puede girar sin rozamiento sobre

dos cojinetes situados en sus extremos. Dos masas puntuales iguales se colocan

como muestra la figura, y están unidas a la barra mediante varillas de masa

también despreciable. En la posición indicada y despreciando efectos

gravitatorios, calcular: (a) el momento angular del sistema respecto al CM, (b)

las reacciones sobre los cojinetes.

3. Dos varillas idénticas, de masa M y longitud L cada una, se apoyan paralelas

sobre un plano horizontal sin rozamiento. Inicialmente, una de ellas está en

17

reposo, mientras que la otra se desplaza con movimiento de traslación sobre

una trayectoria perpendicular a ambas, con velocidad, v, y choca, de forma

totalmente inelástica, con la primera. Si el choque se realiza de manera que el

centro de una coincide con el extremo de la otra cuando quedan adheridas,

determinar la velocidad lineal y angular de la barra compuesta.

4. Los discos A y B pueden girar libremente alrededor de un eje común, y se

sabe que el momento de inercia del primero es la mitad que el del segundo. Se

comunica al disco A una cierta velocidad de rotación y, a continuación, se le

empuja sobre el eje hasta que se apoya en el disco B, que se encontraba

inmóvil. Tras un cierto periodo de deslizamiento, ambos acaban girando a

idéntica velocidad, pero habiéndose perdido una cantidad de energía Q.

Calcular la energía cinética inicial del disco A.

5. El cilindro de la figura, de radio R y momento de inercia I, se encuentra

inmóvil, pero puede girar alrededor de su eje horizontal. Se encuentra alojado

18

en un hueco practicado a una mesa horizontal, sin rozamiento y enrasado con la

superficie. Un bloque de masa M se acerca al cilindro en dirección

perpendicular al eje y con velocidad v1. Cuando comienza a haber contacto hay

resbalamiento, pero el rozamiento es lo bastante grande como para que éste

termine antes de finalizar el contacto. El bloque queda al otro lado con

velocidad v2. Determinarla en función de los datos del problema.

6. Sea un plano inclinado, de longitud L y formando un ángulo con la

horizontal. (a) Determinar el mínimo valor del coeficiente de rozamiento para

que un aro, un cilindro y una esfera rueden hacia abajo sin deslizar. (b)

Calcular la velocidad final con la que llegaría cada uno de estos objetos a la

base en ese caso.

7. Una barra de longitud L puede girar libremente en un plano vertical

alrededor del eje que pasa por uno de sus extremos. Un trozo de plastilina de la

misma masa que la barra choca del modo indicado con velocidad v contra el

extremo inferior, quedándose adherido. Determinar la mínima velocidad del

trozo de plastilina para que el conjunto realice un giro completo en su

movimiento posterior alrededor del eje.

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8. Una bola de billar de radio R recibe un impulso horizontal en la posición

indicada en la figura (en R/2). Tras el golpe, adquiere una velocidad v0.

Determinar: (a) la velocidad angular de la bola tras el impulso. (b) la velocidad

angular de la bola cuando haya alcanzado el estado de rodadura. (c) Si el

coeficiente de rozamiento con la mesa vale calcular el espacio recorrido

mientras hubo deslizamiento y el tiempo invertido en ello.

9. Una esfera de peso P y radio R se sostiene sujeta a una pared vertical

mediante un hilo de longitud L>R. Uno de los extremos del hilo está unido a la

pared y el otro a la superficie de la esfera. Se observa que el sistema permanece

en equilibrio con el hilo tangente a la superficie de la esfera. a) Determinar el

ángulo que forma el hilo con la pared. b) Calcular la tensión del hilo, T. c)

Calcular la reacción normal, N, y la fuerza de rozamiento, Fr, entre la esfera y

la pared. d) Suponiendo que el coeficiente de rozamiento es , ¿en qué

condiciones es posible que se produzca la situación de equilibrio mencionada?

20

10. Calcular la fuerza horizontal, F, que es necesario aplicar al centro de masas

de una esfera de 100.00 kg de masa y 50 cm de radio para hacerle subir un

escalón de 10 cm de altura. Obtén también el valor de la reacción de ligadura,

R, del escalón sobre la esfera.

Soluciones SOLIDO RIGIDO:

1. 1 2135.45 ; 78.71T N T N

2 2

1 23.58 ; 7.18a ms a ms

5.36v m s

2. a) , cos ,2OL m a b sen t b t a

b) 2 cos , ,0OM m ab t sen t

3. 6

;2 7

v vV

L

4. 3

2c

QE

5. 12

21

vv

I

MR

6. 1

;2

aro arotg v g L sen

1 1

; 23 3

disco discotg v g L sen

2 10

;7 7

esfera esferatg v g L sen

7. 2 2v gL

8. a) 00

5

4

v

R

b) 05

14

v

R

c) 2

0171

392

vx

g

21

9.

2 2 2 2 2 2a)sin( ) 2 ; cos( )

) 1 cos

) sin 1 cos ;

) 1 sin

r

L R LR L R L R

b T P

c N P F T

d

10. 735.75 N, 1226.25 NF R