panchi nuñez física vectorial elemental dinámica

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REgIITSTTOS 1.- Comprensión de la definición de Vector. 2.- Manejar Ias operaciones vec- toriales: suma, resta, produc- to punto y producto cruz. 3.- Comprensión de los concep- tos de velocidad, aceleración lineales y anguiares. 4.- Manejar las caracterÍsticas cinemáticas que definen a los M.R.U.; M.R.U.V.l M.C.U";M.C.U.V. 5.- Manejar las ecuaciones para los movimientos M.R.U.; M.R.U.V.; M.C.U.; M.C.U.V. ORIETTVOS 1.- Comprender las definiciones de fuerza y masa' 2.- Ser capaz de enunciar las leyes de Newton 3.- Distinguir entre masa y Peso' 4.- Distinguir entre masa y momento de inercia. 5.- Resolver problemas utilizando las leyes de Newbon tanto para trayectorias rectilíneas como ci-rculares. 6.- Comprend,er las defrniciones de Torc¿ue y momento de iner- cia. 7.- Aplica¡ las ecuaciones que relacionan el Torque' el m9- niento de inercia y aeeleración angular a la resolución de problemas. 8.- Expresar física'y matemáticamente las ideas de equilibrio de una partícula y del cuerpo. FIJERZAS EN EL MOVIMIENTO LIT{EAL INTRODUCCION En el capítulo de cinemática aprendimos a di- ferenciar ios movimientos en función de la aceleración. Asícuandoñoru- = 0, hablamos de (M.R.U.), y cuandoÁior* = -aitapartl- cula tiene ( M.C.U. ). Este capítulo responde a la pregunta "Cómo y porqué aparece la aceleración? " La respuesta a esta inquietud es de suma im- portancia, porque al conocer la aceleración se óonoce la clase de movimiento que describe la partícula. Nswton descubrió que la interacción énre dos pafiículas provoca un cambio en el movimiento de ellas, la va¡iable afectada es la velocidad. Cuando un cuerpo interacciona con otro provo- ca la variación del vector velocidad, módulo o dirección, y da lugar a la aparición del vector aceleración. La aceleración del cuerpo se debe a la influencia de otros sobre éI. DINAMICA mov. _---> u L2 En la interacción participan por 1o menos dos c-uerpgs, el que influye y el que recibe la in- r l uencla. Cuando una persona que se encuenÍa en una canoa empuja a otra, tenemos una interacción y la canoa con la persona, también se ponen en movimiento. Cuando 1a persona salta de la canoa a 1a orilla, se produce 1a interacción del hombre y 1a embarcación. La barca adquiere ciena velocidad en dirección oDuesta al salto de la persona, si la masa de la canoa es mayor que la del hombre, la rapidez de la barca será menor que la del hombre, en cambio si las ma- sas son iguales, los módulos de las velocidades también seriín iguales. Se han realizado muchos experimentos encami- nados a cuantificar la aceleración durante la in- teracción de dos cuerpos. Ellos demosfa¡on que de las aceleraciones adquiridas lüego de una interacción depende exclusiva- mente de una propiedad inirínseca del cuerpo Itamada masa o inercia. La masa es el elemento básico del universo, y como tal no puede crearse, ni destruirse, única- mente se transforma de una forma a otra y su cantidad total permanece constante. \ 1.. LA MASA Es una cantidad escalar que se define desde dos puntos de vista, como oposición al movimien- io, de ta manera que hemos t¡atado en e1 ejem- plo la canoa; y también como cantidad de iustancia que posee un cuerpo (la masa de un cuerpo es igual a la suma de las masas de los puntos que lo constituYen). ,2 Cuando hablamos de la masa generalmente se maneja una correspondencia intuitiva entre ma- sa y peso; un cuerpo es pesado cuando tiene mucha masa. Tal relación se origina medimos 1a cantidad de materia de un cuerpo oor la fuerza de atracción hacia la tierra. La ^masa es una cantidad fundamental completa- mente diferente del peso, pero entre estos exis- te una relación directa. Así cuando tenemos un cuerpo de masa "m" su peso es "mg"., si dupli camos la masa también se duplica el peso; Ia diferencia enre ellos se clariñca en sus defini- ciones: 16r

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  • REgIITSTTOS1.- Comprensin de la definicin

    de Vector.

    2.- Manejar Ias operaciones vec-toriales: suma, resta, produc-to punto y producto cruz.

    3.- Comprensin de los concep-tos de velocidad, aceleracinlineales y anguiares.

    4.- Manejar las caractersticascinemticas que definen alos M.R.U.; M.R.U.V.lM.C.U";M.C.U.V.

    5.- Manejar las ecuaciones paralos movimientos M.R.U.;M.R.U.V.; M.C.U.; M.C.U.V.

    ORIETTVOS

    1.- Comprender las definiciones de fuerza y masa'

    2.- Ser capaz de enunciar las leyes de Newton

    3.- Distinguir entre masa y Peso'4.- Distinguir entre masa y momento de inercia.

    5.- Resolver problemas utilizando las leyes de Newbon tantopara trayectorias rectilneas como ci-rculares.

    6.- Comprend,er las defrniciones de Torcue y momento de iner-cia.

    7.- Aplica las ecuaciones que relacionan el Torque' el m9-niento de inercia y aeeleracin angular a la resolucin deproblemas.

    8.- Expresar fsica'y matemticamente las ideas de equilibrio deuna partcula y del cuerpo.

    FIJERZAS EN EL MOVIMIENTOLIT{EAL

    INTRODUCCION

    En el captulo de cinemtica aprendimos a di-ferenciar ios movimientos en funcin de laaceleracin. Ascuandooru- = 0, hablamosde (M.R.U.), y cuandoior* = -aitapartl-cula tiene ( M.C.U. ).

    Este captulo responde a la pregunta "Cmo yporqu aparece la aceleracin? "

    La respuesta a esta inquietud es de suma im-portancia, porque al conocer la aceleracin seonoce la clase de movimiento que describe lapartcula. Nswton descubri que la interaccinnre dos paficulas provoca un cambio en elmovimiento de ellas, la vaiable afectada es lavelocidad.

    Cuando un cuerpo interacciona con otro provo-ca la variacin del vector velocidad, mdulo odireccin, y da lugar a la aparicin del vectoraceleracin. La aceleracin del cuerpo se debea la influencia de otros sobre I.

    DINAMICA

    mov._--->

    uL2

    En la interaccin participan por 1o menos dosc-uerpgs, el que influye y el que recibe la in-r l uencla.

    Cuando una persona que se encuena en unacanoa empuja a otra, tenemos una interaccin y

    la canoa con la persona, tambin se ponen enmovimiento. Cuando 1a persona salta de lacanoa a 1a orilla, se produce 1a interaccin delhombre y 1a embarcacin. La barca adquiereciena velocidad en direccin oDuesta al saltode la persona, si la masa de la canoa es mayorque la del hombre, la rapidez de la barca sermenor que la del hombre, en cambio si las ma-sas son iguales, los mdulos de las velocidadestambin serin iguales.

    Se han realizado muchos experimentos encami-nados a cuantificar la aceleracin durante la in-teraccin de dos cuerpos. Ellos demosfaonque la razn de las aceleraciones adquiridaslego de una interaccin depende exclusiva-mente de una propiedad inirnseca del cuerpoItamada masa o inercia.

    La masa es el elemento bsico del universo, ycomo tal no puede crearse, ni destruirse, nica-mente se transforma de una forma a otra y sucantidad total permanece constante.

    \ 1.. LA MASAEs una cantidad escalar que se define desde dospuntos de vista, como oposicin al movimien-io, de ta manera que hemos tatado en e1 ejem-plo de la canoa; y tambin como cantidad deiustancia que posee un cuerpo (la masa de uncuerpo es igual a la suma de las masas de lospuntos que lo constituYen).

    ,2Cuando hablamos de la masa generalmente semaneja una correspondencia intuitiva entre ma-sa y peso; un cuerpo es pesado cuando tienemucha masa. Tal relacin se origina porquemedimos 1a cantidad de materia de un cuerpooor la fuerza de atraccin hacia la tierra. La^masa

    es una cantidad fundamental completa-mente diferente del peso, pero entre estos exis-te una relacin directa. As cuando tenemos uncuerpo de masa "m" su peso es "mg"., si duplicamos la masa tambin se duplica el peso; Iadiferencia enre ellos se clarica en sus defini-ciones:

    16r

  • DINAMiCAMasa.- Es la medida de la oposicin del cuerpoa ser impulsado. 2.. FUERZA

    T".,9,- E! ra ruerza q* ":j:..:lg:xn cuerpo k?,*:T,?#H^S;.#.T,t jTHi|Hff :debido a 1a accin dela dera sobre 1. i'uin"nr", asociamos esfuerzo muscurar con

    Un]adiilo {p .f tg. pesar 9.g Newtons q2,21b fu"oa.en Ia superficie de la rierra, si nos a-leiamos ^convenrenremente de la ti;;. l; i"fl";;il; De.sde el punto de vista de la fsica, fuerza esla gravedad disminuye y;i ;;;Gi ;;;;;; todu acrin capaz de altcrar la condicin de re-r menor. Ms ani i""eitier"""i ;il.;; poso, de movimiento o de deformacin de unmos el ladrio a la iuna tn.-il;;d;;s cuerpo. Es unaca:rtidad vectorial.1/6 de la terrestre; el peso tambin\erl/6 del

    -^*"^ cr nD^nrr^F. r peso terestre (t.6 t'tlwtons). Sil ;;;s;; (-oMO SE PRODUCEN LAS FUERZAS?cantidad de sustancia del cuerpo (masa) n la ,tierra y en la luni.;1.;r1;-ii. ;;;;;; Las fuerzas aparecen sientpre que interaccio-palabras el ladrillo presenta la misra."iltt.n- nan dos,cuerpos' desde el punto de vista didc-cia al incremenro d su rapidez, sin rmoona, si tlco se cLvlde las lnter cciones en dos tipos: "aesren ratrenao en ri; ---' " f"'lfi.:Hif*JiriJsJfiH,"r'.:;Si coiocamos el ladrillo en una cosula esoa_ e interacciones-

    ,'por contacto", que ncesitancial donde no hay graverd, ;i i"dri'li;'iJi5i- preclsamenre del contacto entre cuetpos endrf peso, sin embargo la oposicin a su movi- lnleraccronmiento ser la misma que en la tiena. FUERZAS poR coNTACTo.- cuand.o dosCuando hablamos de masa se suele sacar con_ gugrpos. estin en contacto_ aparece una fuerza.clusiones que confunden ;";; y ;;;;;, pr- L' es el caso de los ejemplos dibujados.que se piensa que un objeto con mucha masa esde gran volumen y ocpa muctro espaci, t.al '^aseeracon no;; ;;;i; porque existen cuer-

    -J_ mov.pos que poseen mucha masa y ocuDan Doco vo- f%lumen, ta.lesel casodelas baierasA"d;;. - f---a _ F -fr\-,||

    tqoan LJ-LJ ---F-fA

    Existe una relacin directa ene masa y volu-men, pero cuando se trata de la mismaiustan-cia. Esta conclusin no es general porque po-drfamos coger dos panes de igual mbsa y cm-primir a uno de ellos disminuvendo su vlumensin cambiar la masa. Enton-ces no confundirmasa con peso, ni con volumen.

    UNIDADES." Se ha escogido como unidad demasa al KILOCRAMO MASA, en el S.f. v selo define oficialmenre como la canddad de rna-sa de cierto cilindro hecho de platino e iridio.consewado en Sewes francia) en Ia OficinaInternacional de Pesas y Medidas. Con sufi-crente prectslon se puede considera que un Ii_tro de agua pura a i 50C liene una *as de 1 ke.

    La fuerza N es la accin perpendicula de laesa sobre ei cuerpo; igualmente al empujarun auto generamos sobre 1 una fuerza (F).FUERZA POR PRESENCIA DE CAMPO..Campo es el espacio con caractersticas espe-ciales y que circunda a una masa, a una carg oa un irrn. El campo gravitacional, elctrico omagntico genera una fuerza, cuando una part-cula interacciona con el campo.

    coLa parrcula A est enel campo gravitacio-nal, creado por 1a tie-rra; entonces sobre -ella actuar una fuer-za dirigida hacia la tierra.

    Un satlite gira alrededor de la tiera, gracias ala fuerza de atraccin que ejerce la tierra sobre1. A1 mismo tiempo el satiite atrae a la tierra.

    162163

    DINAMICAUn elecrn cerca de una esfera electrizada ex-perimenta una atraccin o repulsin al campoelctrico generado por la carga del conductor.

    -j-@

    DESARROLLO

    Como debajo del bloque est la tierra, enton-ces el campo gravitacional interacta con lamasa del cuerpo y aparece el peso.

    EJERCTCIO 3.1.

    En los siguientes grficos dibuje el peso de losblooues indicados.yffi

    ol-l luL-Jf]

    f*tr--r I

    I

    .

    -'\FMvr-

    Dos imanes crean un campo magntico y portanto una fuerza de atraccin o repulsin exis-dn entre ellos.

    FUERZA CRAVIaCIONAL.- Todo obietomaterial atrae a los dems objetos, una p,art-cula material atrae y es atraida por las d&nspartculas del universo.

    La f.tetza gravitacional es tan dbil que en laprctica no la tomamos en cuenta, a no ser queuno de los cuerpos tenga una gran masa comola tierra, Ia luna o algn cuerpo celeste.

    PESO.- El peso de un objeto es la fuerza gravi-tacional que acta sobre ese objeto. Para unobjeto sobre la superficie de la tierra el peso esla fuera de atraccin que la tierra ejerce sobreese objeto. En la luna el peso del objeto ser laatraccin de la lna sobre ese obieto. Puestoque estas dos atracciones no sori iguales, unmismo objeto tendr diferentes pesos depen-diendo de la fuerza de atraccin que acta so-bre 1. El peso Ce un objeto es una fuerza, li-gada a la masa mediante la siguiente expresin:

    r = _mgl

    La aceieracin de la gravedad se represenia porla letra g, ai nivel del mar vab 9,81 m/J' noso-tros aproximaremos a l0 mls "

    El peso es un vector dirigido hacia el centro dela tierra.

    E.TEMPLO 3.1 . Graffque el vector peso queacta sobre el bloque suspendldo en el te-cho de una habltacln.

    a)

    b)

    c)

    e)

  • COMO SEMANIFMSTANLAS FUERZAS?

    Una fuerza aplicada a un cuerpo provoca su.de-formacin o un cambio en su estado cinemtico

    La deformacin es una manifestacin estticade Ia fuerza. El cambio del estado cinemticodel cuerpo es una manifestacin dinmica, queafecta a la velocidad, posicin o trayectoria delcuprpo.

    LA FUERZA ES I.JNVECTOR

    De nuestra experiencia sabemos que la accinde una fuerza se determina mediante su diec-cin, valor numrico (mdulo) y punto de apli-cacin.

    Llamamos punto de aplicacin, a la pardculamaterid del cuerpo sobre la que acta la fuer-za. Si estamos considerando una partcula, elconcepto de punto de aplicacin es obvio y lasfuerzas se consideran como concentradas eneste punto (fuerzas concurrentes)La direccin de la fuerza coincide con la delmovimiento rectilneo que proporcionara alactuar sobre.una pafcula libre, inicialmenteen rcposo.

    La recta segn la cual se dirige la fuerza seIlama lnea de accin de la fuerza.

    n Linea de accin-----*

    de la fuerza.El valor numrico (mdulo).- Se determinacomparndolo con ofia fuerza que se toma co-mo unidad.

    LJNIDADES.- La unidad de fuerza se determina sobre la base del producto de la masa por laaceleracin.

    F = ttttEn el S.I. lleva el nombre de Newton (N). UnNewton se define como la fuerza que comunicaa la masa de 1 kg. la aceleracin de I m/s'.

    1N=1k9.

    Es comn encontrar otras unidades a parte dela mencionada, as tenemos la dina (dn) o elkilogramo tuena(kgfl.

    I ksf = 9'8 N- 10N1 din = 10-5 N

    CLASES DE FUERZASFuerza Resultante o Neta: Si vaias fuerzasse pueden sustituir por una sola, con el mismoefecto, esta fuerza se llona Fuerza Resultanteo Nett, la resultante es aquella que por s solarealiza la misma accin que todo el sistema derueras.

    Las fuerzas que actan sobre un cuerpo se divi-den en activas y resistivas dependiendo de ladieccin del movimiento.

    Fuerzas Activas: Las fuerzas que se encuen-tran en la misma direccin del movimiento sellaman activas. (Fac).

    Fuerzas Resistivas o Resistentes- Son todaslas que se oponen al movimiento.

    DINAMICAm1_

    -

    s2

    V- mov.+ +

    pFac=pAr=pV

    pttrc = - ptt

    - prrc = ptrEJEMPLO 3.2.- A partlr del grflco Indlquelas fuerzas actlvas y reslstlvas.

    DESARROLLO

    La direccin del movimiento indica un bloquedescendiendo por un plano inclinado.

    "164

    DINAMICADescomponiendo los vectores fuerza Fr, Fz, Adems las proyecciones de las fuerzas Fr, Fz,P, N, f en dos ejes, uno que coincide con la F3 F". Sobre los ejes X,Y,Z las nota-direccin del movimento y otro perpendcular remos como:a l tenemos: Fn para el eje X

    Fyn para el eje YFa para eleje Z.

    Fxt, Frz,Fyl, Fy2,Ft, Fa.

    Frx = Fr S cr Y Frv = F1 cOS crFzx = Fz coS a Y Fzv = F2 S crP, = Psena Y Pv =P cosaLas fuezas activas son: F1x y Px.Las fueaas resistivas sern: F2r y f, \Del grfico surge una pregunta. A qu tipo defuerzas pertenece aquellas que son perpendi-culares al movimiento? Pues sencillamenteno son activas, ni resistivas. Se podra argu-mentar, diciendo la accin de F1r, F2, y Py esaprisionar el bloque contra el plano inclinado'dificultando su movimiento. En consecuenciase trata de fuerzas resistivas. El razonamentoes correcto, la accin de estas fueaas estevaluada en el clculo de la normal y su efectoen la fuerza de rozamiento fr = pN.

    DESCOMPOSICION DE FUERZAS

    La proyeccin de la fuerza resultante (FR) so-bre el eje X es FR"; sobre el eje Y ser FRv; ysobre el Z es FR".

    Y

    Las proyecciones son cantidades algebricas endependencia de la oientacin del vector, pue-den ser positivas o negativas.

    Expresando en forma matemtica.

    Fxt * Fxz + Fil + ..... F- = IF = Fn*Fyl * Fy2 * Fy3 * ..... Fyo = IFy = FnyFzr * F + F + ..... F^

    --

    XF" - Fn,

    El mdu1o de la fuerza resultante es:

    nn={r*i+P;*P;La direccin de la fuerza est determinada porel unitario.-i= (cos crT+ (cos pffi (cos y) ['.

    Fn* ^ Fny Fn'cosc =-l coslJ =-: cosY =-=-Fn'FnFn

    RESULTANTE EN FORMAGEOMETRICA

    La expresin de la fuerza neta es:

    ri + Fi + Fi+ ....... + il = Fi"La suma vectotial de todas las fueras es equi-valente a una fuerza resultante o neta".

    Tambin podramos decir: "la fuerza resulnn-te (Fn), s caracteriza por celrar el polgono defuerzas".

    165

    F1

  • DINAMiCAEJEMPLO 3.3.- En la flgura se dan las fuer-zas: F1=10N; F=30N; F3=40N;Fa

    = 7O N apllcadas a un mlsmo punto, las

    dlrecclones se lndlcan en el dlbulo. En-cuentre la Fuerza Resultante del slstema.

    Simplifiquemos el ngulo de la fueza F:cr = t800 - 1600= 200.Para proyectar las fuerzas sobre los ejeselaboremos la tabla siguiente.

    Fuerza Proyeqciones de la fueza sobre. los ejes x, y.Eje X Eje Y

    Frmula Valor Frmula Valor

    El ngulo "y es 900, porque las fuerzas estnen el plano xy, entonces: cos y = 0.Expresando la fuerza resultante como el pro-ducto del mdulo por su unitario.

    F^- rFl "l- - oAA?/-.n-,.H,FF - --,-,\ 0,947i+0,321 7)N

    F = t e1,76i+ 31,067) NEsta fuerza produce los mismos efectos que:

    -C*-ri*?.*--nEJERC|C|O 3.2.'1.-

    l siguiente dagrama muestra las fuerzasque actan sobre una partcula de masa m, ladireccin del movimiento concde en el eje x-.

    F1=20NF2=60N

    mg:40 NN=40N f,.l

    a) Descomponga las fuerzas sobre "x" e "y".b) Encuentre la suma total de las fuerzas ac-

    tvas y resistivas.

    2.- Las acciones sobre el auerpo de mas_a m2constan en el grfico.,

    F1=40NN=20N

    mg=60N

    a) Descomponga las tuerzas sobre X e Y.b) Encuentre la suma total de las fuerzas acti-

    vas y resistivas.c) Determne la resultante de las fuerzas acti-

    vas y resistivas.

    3.- El bloque de la fig. desciende por el planonclinado .

    f=35N=42N

    m9=60NF=200N

    x,y

    F1 = 10 F1 cos 300Fz = 30 F2 cos g0oFs = 40 Fs sen 600F=70 F cos 200

    8.66 F1 sen 300 5.000 F2 sen 30" 30.00

    -34.64 F3 cos 600 20.00-65.78 F sen 200 -23.94

    >F = FR Fa'= -91.76 Fnv = 31.06

    El mdulo de la fueza resultante es:

    r- = r/n,fry1= {cel?6)z;ltGf= 96,87 N

    La direccin de la resultante es:rtr

    coS 0. = "' ' =- 0,947 => a = 161 .260Fn

    rtrcos p = 7J = o,szt => p = 71,260

    TR

    DESARROLLO

    L66 167

    a) Encuentre la fuerza resultante del sistema.b) La resultante de las fuezas activas y re-

    sistivas.

    4.- Conociendo las fuezas indicadas.F1=85NF2

    ='t8 NN=20Nm!=20N

    lr=12N

    a) Encuentre la fueza resultante.bi Suponga una direccin del movimiento. En-

    cuentre la resultante de las fuerzas activasy resistvas.

    c) En realidad se mueve el cuerpo?, en qu di-reccn.

    5.- A partir de los datos de la figura indique:a) Si el bloque se mueve o no.b) El valor de la fuerza resultante.

    DINAMICA

    mg=65Nf=28N

    6.- Los bloques de la figura se mueven en lasdirecciones indicadas.

    fr! m2S = 120 Nfr2=20NT=30Nfr1=10N

    I

    Si sobre el bloque 1 aplicamos una fuerza quetiende a moverle, la fuerza debida al contactode los cuerpos sufre una desviacin en sentidoopuesto al probable movimiento.

    Descomponiendo la fuerza R en dos ejes per-Dendiculares entre s, uno coincidente con elbrobable movimiento y otro perpendicular a 1.Las proyecciones sobre los ejes enen nombresproplos, as la proyeccin sobre el eje delmovimiento se llama Fuerza de rozamiento y laperpendicular a I, Normal' Estas proyeccio-nes' tienen caractersticas especiales, entonceshablaremos de cada una de ellas en forma in-depenente.LA NORMAL.- Aparece cuando hay contac-to entre partculas, independientemente de"Iatendencia al movimiento o al movimiento {uepudieran tener, es perpendicular a ellas.

    UNA FUERZA ESPECIAL

    Entre dos cuerpos en contacto aparece unafuerza perpendicular a dichas superficies (R).

    a) Encuentre la resultante de las fuezas acti-vas y resstivas para cada bloque y para elsistema en conjunto.

    7.- A partir de los datos de la figura.

    F1=120NF2=150NF3=88N

    mg=50N

    a) Encuentre la resultante de las fuerzas acti-vas y resistivas.

    b) La fuerza neta.

    El bloque de peso "mg" acta sobre Ia superfi-cie de'la meia por rnedio de la Normai (Nr)oerpendicular al plano de conracto. A su vez etiabiero reacciona sobre el bloque con una Nor-mal (N:), tambin perpendicular al plano decontacto. Las fuers Nt y Nr son accin yreaccin.

  • COEFICIENTE DE ROZAMIENTO (u).-Ampliando cualquier superficie vemos peque-as imperfecciones, casi imperceptibles, lascuales dificultan el movimiento del cuemo. Es-tas imperfecciones o rugosidades se cantifi-can mediante un nmero sin dimensiones lla-mado coeficiente de Rozamiento (if).

    -"(*MY

    A pesar de que al aumentar el irea, las rugosidades sern ms y el coeficiente de rozamientodebera aumenta en funcin del iea, conside-ramos al rozamiento indepenente de ella,confimando con esto que estudiamos slo lapartcula.

    Las rugosidades dependen del material de1 cualse ha fabricado el cuerpo. Para un mismo mate-rial, mientras ms pulidas son las superfieies encontacto, el coeficiente de rozamiento tienemenor valor. El coeficiente de rozamiento oue-de tomar cualquier valor aproximado cbm-prendido ente cero y la unidad.

    Distinguimos dos clases de coeficientes de ro-zamiento, uno esttico "Fr" con el cuerpo enreposo y ono dinmico cuando el cuerpo esten movimiento Fn o !f".

    FUERZA DE ROZAMIENTO (f.).- Apare-ce cuando acta una fuerza externa que intentamover o mueve aI cuerpo. Su principal carac-terstica es oponerse al probable movimiento o

    mov .+

    DINAMICA DINAMICAEl valor de la normal depende de las fuerzasaplicadas sobre la partrcula. Para calcula lanormal se debe averiguar si hay o no movi-miento en el sentido de la normal. Entoncescuando ia partcula se halle en equilibrio tene-mos:

    IFenelsentido = 0de la Normal

    directamente al movimiento relativo del bloquev se localiza entre las superficies en contacto,paralela a ellas.

    Todos hemos visto autos con fallas mecinicasen las calles y hemos advertido tambin queslo el conductor no puede mover el auto.

    Se ce: "El carro es muy pesado" en realidaddebera decise: "No puede vencer la fuerza derozamiento enfte las-llantas y el pavimento".Supongamos que el chofer ejerce una fuerza de200 N, si no puede mover el auto, es porque sufuerza estii compensada por ota de iguai valorv de direccin contraia, entonces la fuerza deiozamiento vale 200 N. Al equilibrase las dosfuerzas el carro no se mueve.

    No podramos decir que la fuerza de rozamien-to ei mxima, porque ello implicara un dese-quilibrio ene las fuerzas aplicadas y el valormrximo de las fuerzas de roce, la cual provoca-da un movimiento en la direccin de la fuerzade rozamiento. PERO esto no sucede, entoncesla fuerza de rozamiento no acta con su mxi-mo valor. 41 conseguir ayuda, el conductor es-t conscietrtg que dos personas aplican msfuerza, sin embargo, el auto no se mueve.PORQUE? Seguramente porque la fuerza deroce aument en la misma cantidad que la fuel-za aplicada. En efecto una fuerza aplicada de400 N se equilibra con 400 N de la fuerza derozamiento n direccin opuesta, nuevamentese cumDle:

    t = 0 (Reposo)

    Consecuentemente no hay movimiento.

    Si el conductor sncuentra ofra persona, pensa-r, "entre los tres aplicamos mayor fuerza", yaunoue la fuerza de rozamiento aumente lle-gar un punto en el cual las fuerzas activas su-peren a las resistivas y se inicie el movimiento.

    Cuando la partcula no se mueve el valor de lafuerza de rozamiento encontramos a patir de lacondicin de equilibrio.

    Een el sentido probable = 0del movimiento.

    LaF. se despeja de la relacin anterior.

    La fuerza de roce esutica aumenta en la mismaproporcin que aumenta la fuerza externa queiat de mover a la pancula y crece hasta cier-to lmite, durante el incremento de la t' estti-ca la partcula est en rcposo. Al rebasa ellmite la partcula se mueve.

    Lafuerza de rozamiento esttica mixima, vale

    fr,a* = !"NLa f*estitica, est comprendida entre un lmiteinferior cero y superior p,\dentro del cual lapartcula no se mueve.

    0

  • DINAMICA

    fr*o = P.rN

    No hay moYjmiento

    El grfico7? - Vr (velocidad relativa) sintetizalo exDuesto.

    equilibran con 50 N de la fr. Entonces la frreal es 50 N.

    b) Calculemos la fr"y",fr"yu, = p"N = 0.8 x 86.6 N = 69.28 N

    La componente del peso en X es la fuerza quetrata de

    ^ bajar al bloque, su valor es

    mg sen 30"= 50 N, pero no consigue moverle,deberamos aadir una fuerza (F) paralela alplano con cuyo valor se iguale a la frsMax y elmovimiento sea " i nminente".

    50N+F=ff"M""

    F = 69.28 N - 50 N = 19.28 N

    La fuerza que se debe apllicar para que elbloque est a punto de moverse es:

    F = 19.28 N.

    Cualquier fuerza de mdulo superior al valorde F har bajar al bloque.c) Cuando el bloque descienda a lo largo delplano, la fuerza de rozamiento cintica ser:

    fr. = t"N

    fr" = 0.6x86.6N =51.96NEJEhCTCTO 3.3.

    1 .- A. partir de los datos expuestos en la figura:- ps

    = 0,s lrc = o.| / l--1lllml+F=oNa) Dibuje las fuerzas que actan sobre el blo-

    que.b) Calcule la fr real.c) Qu fuerza se debe aadir a F para que el

    movimiento sea inminente.d) Encuentre la. fr".2.- Se conoce que los coeficientes de roza-rniento son !" = 0,7 y P" = 0,6 y que la masadel bloque es m = 40 Kg. Calcule:

    LFA=0

    EJEMPLO 3.4.-EIcuerpo de masam

    ='t0 Kg. se co-loca sobre el pla-no inclinado detal manera gue -no resbala, En -cuentre:a) La fuerza de rozamlentob) au fuerza, paralela al plano, ser nece-

    sarla apllcar al bloque para que est Apunto de moverse,

    c) La fuerza de rozamlento cintica.DESARROLLO

    g) El D.C,L. es:

    Para dibujar la fuerza de rozamiento (fr) su-p0nemos que el blogue tiende a resbalar haciaabajc, opuesto a esta tendencia al movintentodibujamos la fuerza de rozamiento.

    Descompongamos las fueaas sobre los ejes'x" "Y'

    IF, = O (No haY movimiento)N - mgcos 30'= 0 => N = mgcos 30o = 86.6 N

    F* = 0 (No hay movimiento)fr - mgsen 300 = 0 => fr = mgsen 300 = 50.0NEsto quiere decir que hay 50 N que tratan debajar al bloque, y no resbala debido a que se

    $""t

    ritl t7l

    DINAMICAa) La fueaa de rozamiento real.b) La Normal.c) La fr",r.,d) La fuerza paralela al plano que hara mover

    el bloque.e) La fuerza de rozamiento cuando el blooue

    se halle en movimiento.

    3.- En la figura p = 0,3 y u{ = 0,2 y m = 30 Kg.

    F f----l tls tl

    -i ml//

    a) Cunto deber valer F para que el bloqueest a punto de moverse ?

    b) Cunto valdr F si el bloque est en movi*miento ?

    4.- Un joven trata de mover un cajn de 500 Nque se halla sobre un piso cuyos coeficientesde rozamjento son U = 0,65 y p" = 0,5. El jo-ven por si solo desarrolla una fuerza de 150 N.

    a) Podr rnover la caja?b) Cuntas personas ms necesltar oue le

    ayuden, sabiendo que cada uno de ellosdesarrolla una fuerza de 1 S0 N f

    c) Cual es la frsM., que tiene que vencer paramover la caja 7

    d) Una vez que la caja est en movimiento,cunto vale la fueza de rozamiento 2

    5.- Un bloque de masa 1 Kg. se encuentra so-bre un plano inclinado que forma un ngulo de30" con la horizontal. Si se aplica una fuerzaF, como se indica en la figura y el valor delcoeficiente nico de rozamiento entre el blo-que y el plano es 0,347. Determine en cadacaso el sentido o tendencia del movimiento vel valor de la fuerza de rozamiento

    F2N6NO t\l

    Movimento tl

    DIAGRAMA DFL CUERPO LIBRE(D.C.L.)Antes de resolve un problema es necesaio co_nocer exactamente las fuerzas que actan sobreef guqpo., La mejor manera para ello es h;;;;el D.C.L. de la partcula o cue{po.Para hacer el D.C.L. se dibuja por separado lapartcula y sobre ella se dibujan las'acciones(fuerzas) con sus direcciones correctas.EJEMPLO 3.5.- Hacer et D.C.L. para toscuerpos 1, 2, 3 de la fgura.

    SOLUCION

    Para hacer el D.C.L. debemos establece'r quefuerzas actan sobre 1.

    Las normales Np/1 aparecen debido al contac-to entre las patas de la mesa y el suelo.

    La Normal N2/1 aparece por el contacto entreel cuerpo 2 y la mesa

    El peso ,mg aparece porque la mesa se hallaen el campo gravtacional terrestre. General-mente el peso se dibuja en el centro del cuer-p0. La fuerza de rozamiento fr1 indica que setrata de una superficie rugosa.

    Para el cueroo 2

  • La normal N1/2 aparece por el contacto delcuerpo 1 con el 2. As mismo la tensin Taparece por el contacto de la cuerda con efbloque 2.

    La fuerza de rozamiento frr se ooone al movi-miento del bloque 2.

    El peso m2g se debe a que la rDS? rr12 est enel campo gravitacional de la tierra.EJERCICIOS 3.4.- Para los cuerpos de las fi-guras enc0ntrar:a) Los D.C.L.b) La resultante de la tuerzas activas v re6isti-

    , vas por separado.

    c) La normal en cada uno de los grficcsd) La fueza de rozamiento real. "

    DINAMICACANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL(c.M.L.)Cuando un peatn va a cmzar ia calle mira quese acerca un gmn autobs con una velocidad de20 km/h instintivamente reocede. Que enede especial el autobs, ser su velocidad? Noporque si ve un insecto con la misma velocidadno se inquieta, entonces ser la masa del veh-culo? No precisamente, porque si el autobsest parado no se preocupa, en realidad estevaluando en forma instintiva el producto de lamasa por la velocidad o sea la (C.M.L.)

    F= -l

    La C.M.L. es un vector cuva dieccin coincidecon la velocidad instantinea.

    ',1 -,it*{t1

    trol.

    En definitiva, un cuerpo de masa "m" en movi-miento, a una velocidad V es portador de unaC.M.L. Un barco de grandes dimensiones na-vegando a baja velocidad, podra tener la mis-ma C.M.L. que una bola disparada a una granvelocidad.

    En el S.I. la unidad de Ia C.M. L. es:

    1kg.m 1 kg.m s= I N.s.

    s s'

    EJEMPLO 3.6. Un slstema est formado pordos raasas A, de 3 Kg. de masa y conunaVo= rJ- g/ imlsl y B de 5 Kg. de masa,su vetocidad es V;

    = a7l -f (mls). calcule

    la C.M.L. del slstema.

    DESARROLLO

    La C.M.L. de la masa A

    P'^ = t^-vipi

    = s xg 1211. s i (m/s) = ol- e7tN.s.i

    172

    .{t

    mov.

    -_+

    m=40kg

    F=70Nm=10kglLc

    = 0,3

    m=7kgF=60N

    l

    mOY,

    ----------'-+mr = Shg

    m = 3kg

    mz= 12 kg

    ., .sF

    t73

    La C.M.L. de B

    Pe=meVe

    p", = s xs tq,-Fl (m/s) = 20 -ls-i(ru..)

    La C.M.L. del sistema ser:

    Pr=P+Pe_> _>

    Pr = (6i - 9l) + (20i - 5 k) = 26 l- 9i - 5 k (N.s.)

    EJERCTCTO 3.5.

    1.-Galcule la C.M.L. de una partculade 10Kg. que tiene una =g-l'-eO7?ms).2.- Una masa de m = 8 Kg. tiene una C.M.L.\oe = (+e7i z+ i i r.r.s. Encuentre:a) La velocidad a ia que se movab) El unitario de la C.M.L.c) El unitario de la velocidad.3.- Dos carritos A y B de masas son m = '|0Kg. me - 30 kg. se mueven con velocidadesV'= g;lmls) v G =-lzlimis). Calcule:a) La C.M.L. de A y B.b) La C.M.L. en el sistema.

    4.- La velocidad de A es-V = I 1q-fimls) ysu masa es mA = 4 Kg., choca con otra masade ms = 6 Kg. en reposo. Finalmente se mue-ven juntos con una velocidad r = Sl'-7](m/s). Calcule:a) La C.M.L. inicial del sistema.b) La C.M.L. final del sistema.

    5.. Un cuerpo de m = 10 Kg. que inicialmentese mueve con ( = S I fmls), explota en dospartes guales, una de las cuales se muevecon Vi = 7i imls y ta otra con VJ = s F I(m/s). Calcule:a) La C.M.L. inicial.b) La C.M.L. de cada una de las partculas.c) La C.M.L. final del sistema.

    3.- LEYES DE NEWTONNewto se preocup por averiguar la relacinentre fuerza y moviniiento, eslableciendo tresleyes que relacionan estas variable.s.

    TERCERA LEYDE NEWTONLa interaccin de dos cuerpos es mutua. Cadauna de las partculas en inieraccin influve so-bre Ia otra; consecuentemene las fuerzas sur-gen en paes. Si presionamos un libro con eldedo, este tambin es presionado por el libro.

    la ley dice: "cuando dos cuerpos interaccionanentre si, Ia fuerza que el primer cuerpo ejercesobre el segundo (accin) F12 es igual y opuestaa la fuerza que el segundo ejerce sobre elpnmero (reaccin)"; F21 en smbolos:

    Fiz = ritAccin y reaccin actan sobre cuerpos dife-rentes.

    Otra foma de expresar la ley es: "toda accinejercida sobre un cuerpo, determina en ste unareacccin igual en dieccin contraria, simbii-camente:

    lFrzl = lF:rl (mismamagnitud)

    F." = - E r (direccionescontrarias)

    Las fuerzas F2 y Ftz (de accin y reaccin) ac-tan sobe cuerpos distintos

    Si Ud. arastra un carro mediante una ouerda,siente que es ttado hacia atrs por la cuerda yen ltima instancia por ei can'o.

    DINAMICA

  • DINAMICAEs lgico ftrzonar de la siguiente manera: ac-cin es igual a reaccin, entonces dos fuerzasiguaies actuando en direccin contraria debe-

    ' ran equilibrase; en consecuencia el carro debepennanecer en reposo.. Sin embargo el caro semueve evidenciando que las fuerzas no estnen equilibrio sobre el mismo cuerpo.

    Analicemos esta conbaccin. se fata de dosfueras de igual magnirud y direcciones contra-rias, actuando sobre cuerpos diferentes, una alcarro y otra a Ud. El carro est diseado paramoverse libremente sobre sus ruedas, mienfasUd. se apoya firmements sobre el suelo. En-tonces a pesar de actuar las mismas fuerzas, enmdulo, los efectos que producen no sonigua-los debido a que actan eir cuerpos d.iferente's.

    Para esta ley es irrelevante que la interaccinsea de "contacto" o "a distancia", as mismo nonteresan los valoes de las masas en interac-cin, y tampoco si los cuerpos estn en reposoo en movimiento.

    NEWTON Y EL MOVIMIENTOACELERADO

    Newton introduce el concepto de fuerza comorequisito indispensable y irico para hablar deIa variacion d la velocidad, h ual puede va-riar en magnitud y/o en direccin.

    Atemos al extremo de una cuerda un cuerpo eimprimmosle movimiento circular. La manoejerce una fuerza sobre el cuerpo a ravs de lacuerda, manteniendo el movimiento cuvo. Lafuerza ejercida'por Ia mano es la responsabledel cambio en la direccin de la velocidad.Estudiemos como se relacionan la variacin dela velocidad, el tiempo y la fuerza.

    Consideremos una fuerza generada por un re-sorte actuando sobre una masa "m". Al quitarel seguro "c" la masa se desliza sobre el planoy Ia figura muestra las posiciones de "m" en eltranscurso del tiempo.

    Los griificos siguientes muestran las posicionescuado duplicamos o triplicamos la fuerza.

    o 6 18 o(m)Se miden los desplazamientos en los corres-pondientes intervalos de tiempo y se calculanlas velocidades medias para cada intervalo.Graficando las velocidades medias en funcindel tiempo, tenemos:

    V(m/s)

    .al Lz a3

    Entre la fuerza y la aceleracin hay una cons-

    El grfico muestra que al incrementa la ferzatambin se aumenta Ia aceleracin (la pen-diente en el grifico V versus t expresa la ace-l-eracin).

    Finalmente representemos la fuerza aplicadaversus la aceleracin de la partcula. @ vs. a)

    tante de proporcionalidad que no es ms {ue lamasa de la partcula.

    Cuanto mayor sea la pendiente, mayor ser lamasa. En realidad la masa es una meda de laoposicin del cuerpo al movimiento (inercia).

    nq t75

    DINAMICA

    lcausas II del l=lMovimientol| 'r" I

    oposicin I l"areCtos' Ial | | MovimientolMovimientol I con I| | Aceleracin I

    Las expresiones anteriores recalcan que la ma-sa mide la inercia del cuerpo, es deci, la resis-tencia de la partcula a las variaciones de la ve-locidad debidas a la accin de fuezas aplica-das.

    t^lSumatonolFuerzaslExternaslal bloqueI'O tambin:

    V=0

    V = 0 moY.

    I oposicin I=l -aI I

    Jvovimienrol

    IYanaclon I

    de Velocidadl

    Intervalo I

    de tiempo I

    Las ideas anteriores constituyen la segunda leyde Newton que matemticamente se expresa dela siguiente manera:

    IFpu = m ALas formas descriptivas de 1a ecuacin son:

    Del principio anterior, se deduce que toda fuer-za constante (en m_agnitud y direccin) que ac-tua sobre una pancula en reposo, comnica asta un movimiento rectilneb unifo.rrre*enteacelerado en direccin de la fuerza.

    SEGUNDA LEY DE NEWTONCuando vaias fuerzas constanEs (en magnitudy direccin) actan sobre una partculai cadauna le comunica una aceleracin proporcionala dicha fuerza.

    En efecto, una fuerza F comunica a una Da.r_tcula una aceleacin al, una fuerza Fz le'co_rnunicar una aceleracin a2 ...... y una fuerzaFn gmunicar una acelercin an.

    Fi + Fi + ....*Fi = m ( -ai+ d+ ..... + -ai )tT=m-riapi

    = .n-dLa fuerza resu]taxre Fque sustituye a las fuer-zas que actan simultineamente sobre la pat-cula, es proporcional a la aceleracin totai delamisma (.Al observar ei movimiento de una partcula.apreciamos solamenre la aceleracin total. Las'aceteracrones parclales at. a2,...>an sabemosque existen, podemos encontra_r tu valor perono las vemos en el movimiento real.

    Es importante comprender el planteamiento f-sico de la segnda ley de Newton. Pues lasfuerzas que actan sobre un cuerpo provocanuna variacin de su velocidad. Como conse-cuencia de la vaiacin de 1a velocidad la nar-tcula se acelera.

    No podemos, hasta ahora, adeianiar ningn cri-terio acerca de la direccin del movimiento delcue{po y la fuerza aplicada al mismo.Ntese que la direccin de y la aceleracintotal fcoinciden.

    Fr = marFz = ma:i r:-Fn = m&

    mov.

    Aplicando la misma fuerza se produce Ia mi-tad de la aceleracin en los dos bloaues demayor masa (2m1).

    PRINCIPIO DE INDEPENDENCIA DELOS EFECTOS DE LAS FUERZASEl efecto producido por una fuerza sobre unapartcula es independienre del efecto que pro-duzcan ofas fueras sobre la misma partcula,y tambin es independiente del estadode repo-so o movimiento en el que se encuenre el cuer-po. Cuando varias fuerzas actan simultnea-mente sobre una misma partcula, cada una deellas produce un efecto, como si actuase sola.

  • Pn =Con el propsito de interpretar la igualdad delos unitarios de la fuerza y la aceleracin, ve-remos cietos ejemplos, en los cuales se ponede manifiesto el hecho de que no siempre la di-reccin de la fuerza coincide con la direccindei movimiento.

    La figura indica el D.C.L. de una partcula don-de el movimiento del cueroo no se realiza en iadteccin de la fuerza que acta (mg). Una si-tuacin siniilar tenemos en el M.C.U.

    lR./

    x

    CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEALY LASEGUNDA LEY DE NEWTON

    Una bolita est mondose sobre la mesa conC.M.L. constante, llega al filo de la mesa y cae.El vector C.M.L. cambia en direccin. debido ala accin de la fuera gravitacional.

    mV- mVolF .pl -

    ^tRecordando: Eipr =Fa y

    -7 = -f

    Imaginemos que una piedra choca contra un vi-drio y lo rompe, el D.C.L. de Ia piedra es:

    l-l''- "to"to2\t | -+W--f F"bttlYI Imgl Itll_-l

    Fn (40=Pr - Po=APEl peso no es responsable de la ruptura del vi-io.- Entonces de dnde apareci la fuerza querompi el vidrio? De la variacin de C.M.L.(^?).

    IMPULSO LINEAL

    El producto de la fuerza resultante por el inter-valo de tiempo se denomina IMPULSO LI-NEAL, fsicamente expresa el tiempo duranteel cual actan ias fuerzas sobre la partcula.Como resultado de la accin, hay una variacinde la C.M.L. de la pancula.

    El clculo del impulso lineal puede hacersegrficamente, representando la fuerza esul-tante en funcin del tiempo de interaccin.

    Generalmente las fuerzas oue intervienen en elimpulso iineal no son conitantes, varan de unlnstante a offo.

    &&dCIInicialmente el jugador de ftbo1 ejerci unafuerza mnima a1 tener contacto con el baln.La fuerza se increment con rapidez mientrasla pelota se deforma, luego disminuye confor-me se incrementa la velociclad y la pelota ad-quiere su forma original. Un grfico aproxima-do de la variacin de la fuelza durante la inter-accin es:

    Pr = mvl

    Accin de lasfuerzas sobre1a partcula.

    Pz = mv2

    Variacin de C.M.L.de la partcula en elintervalo de tiempo.que se considera

    DINAMICA

    r

    Pt-PoE--At

    ,l:, Jr).

    r

    La experiencia anterior se resume en:

    En smbolos tenemos:

    rAVi"ot .lurjlEFpr-=*\-, /

    ^r /

    .176

    l=AP=Pr-Po

    de

    DINAMICA

    En el grfico F. Vs. t. las fuerzas representadassobre el eje del tiempo se considern en la d.i-reccin positiva de1 movimiento y las grafica-das bajo el eje del tiempo en la direccin nega-tiva del movimiento.

    El impulso lineal es el rrea bajo la curva re-presentadN (Para encontrar el ira se divide enpequeos segmentos que facilite el clculo).En detenninados casos se apoxima la fuerzavariable a un valor promedi de impacto y seconsidera a esta fuerza como si fuese conslan-te dentro de At.

    Una fuerza grande actuando durante un inter-valo de tiempo pequeo puede equipararse conuna fuerza plQuea actuando en un intervalo deDempo granoe.

    -F2

    Atr

    Las reas sobre el eje de1 tiempo se consideranpositivas e incremenran la magnitud de laC.M.L. Las ireas bajo el eje del tiempo negati-vos indican una disminucin de la C.M.L. de lapartcula.

    EJEMPLO 3.7., Una petota de ping-pong demasa m

    = 100 gr. que inicialmente est en

    reposo, es impulsada por una raquela, queproduce un impulso estimado de acuerdoal grfico Fuerza - tiempo. Calcule la velo-cidad final.

    (ns)

    DESARROLLO

    El rea en el grfico tuerza'tiempo es el im-pulso lineal que recibe la pelota, entonces cal-culemos el rea del tringulo.

    Un camin choca cona un muro y se detiene.Toda la C.M.L. inicial se "extinsue" en untiempo breve. La fuerza aplicada iara detenerel camin es grande y es la responsable de da-os del camin, comparemos los resultadoscuando choca con un montculo de hierba don-de aparece una pequea fuerza actuando en unintervalo de tiempo grande, la hierba consiguedetener al auto sin ningn dao.

    En los dos casos el impulso lineal es e1 mismo,pero no la fueza.

    En las exhibiciones de karate tenemos otroejemplo, 1a mano y el brazo del experto semueven velozmente y chocan contra los ladri-ilos. La C.M.L. se reduce drsticamente cuan-do se aplica e1 impulso a los ladrillos, el tiempode contacto es mnimo generndose una granIUefza_

    base x alturaArea A=l=-=

    | = 0,25 N-s

    0.0005 x 1000

    Pero elC.M.L,

    impulso lineal produce variacin

  • DINAMICAInicialmente est en reposo Po = 0

    T= = 'V

    .. I 0,25N-s mv,=- =_=2(_m 0.1 Kg. s

    EJERCtCtO 3.6.

    1.- Un hombre empuja un carro desde el repo-so con una fueza F = 2000 N, durante 30 s.Calcule la C.M.L. final del carro.

    2.- Un cano de masa 1000 Kg. que inicial-mente se mueve a 5 m/s acelera durante 5 shasta alcanzar una velocidad final de 20 m/s.a) Calcule la variacin de C.M.L.b) Cul es el valor de la fueza media que ejer-

    ci el motor ?c) Muestre en Ln grfico fueza-tiempo el im-

    pulso lineal que recibi el auto.

    3.- Qud fueaa se necesita para detener en 5 sun carro de masa m = 2000 Kg. que inicial-mente tiene unavelocidad V =72Kmlh.?4.- Una bala entra en un montculo de arena vse detiene. La grfica muestra la fuerza me'-dia que hace la arena y el tiempo necesariopara detenerler.

    600 N

    t (s)3, I

    Cuando se dispara la msma bala, en las mis-

    PRMERA LEY DE NEWTONFue Leonado de Vinci quien descubri el pri-cipio,de inercia que dice:"Ningn cuerpo es ca-paz de va-la por si solo, su estado de movi-miento o reposoi' Si est en reposo no puedeespontneamente ponene en movimiento. Co-mo tampoco, si est en movimiento detenerse,en realidad no puede variar por si mismo lavelocidad.

    Posteriormente fue Galileo Galilei quien lo ou-blicit y enunci diciendo: "Todo cuerpo man-tiene su estado cinemtico de reposo o movi-miento rectilneo uniforme a no ier que sobrel acten fuerzas externas que tiendan a modi-ficar dicho estadol- Con otris palabras un cuer-po no se acelera por s mismo, la aceleracin seimpone contra Ia tendencia del cuerpo a con-servar su estado de movimiento uniforme. Mstarde Newton cuantiflc el principio de inerciamediante su primera ley: "Todo cuerpo con-serva su estado de reposo o movimiento rectil-neo uniforme, mientras las fuerzas aplicadas noalteren dicho estado "

    Newton considera un mismo estado cinemti-co, el reposo y ei movimiento rectilneo unifor-me. Una partcula posee este estado cuando, lasfuerzas que acnian sobre ella se equilibran, osea que los efectcs de las fuerzas se anulan yen consecuencia la fuerza neta o resultante esnula, resumiendo:

    IF pr-lcos = Fn = 0A LA PART.

    Es imponante resahar que la ley es vlida ensentido contraio. Si una pancula est en re-poso o se mueve con velocidad constante sepuede afirmar categricamente que la fuerzaesultante sobre la partcula es cero.

    Velocidad constante significa ausencia de cam-bios de la velocidad entonces la oardcula care-ce de aceleracin, esta es orra forma de enten-der a la primera ley.

    A esta ley de Newton se la conoce tambin co-mo la ley de la inercia, veamos un ejemplo queaclare este punto de vista.

    Una pelota sobre una superficie plana. se mue-ve perc paulatinamente va drsminuyendo suvelocidad hasta que se detiene. Porqu se.detu-vo si aparentemente no actan fuerzas sobre laoelota?.

    mas condiciones anteriores, sobre un montcu-lo de materiales ms ligeros que ejercen unafuerza media de 50 N. Qu tiemoo necesitarpara detener a la bala?.

    5.- El grfico muestra la fueza que acta so.bre un cueroo.

    La variacin de C.M.L. en el intervalo de 0 a 4(s) es mayor ........., menor........., igual ......... ala variacin de C.M.L. en el ntervalo de 4 a 6(s). Explique analticamente.

    t(s)

    1.78 L79

    Las causas que Ie detienen son: el rozamientoenre el piso y la pelota, la resistencia del aie,(aunque pequea pero existe).

    Si damos el mismo impulso a la pelota sobretres superficies: a) cesped; b) tierra; c) piso li-so, vemos que el csped ofrece mayor resis-tencia al movimiento. Disminuyendo el roza-miento, cancha de tierra, ia pelota corre ms.S todava pulimos y enceramos el piso la pe-lota se mover por ms tiempo. Entonces si tu-visemos una superficie bien pulida sin oza-miento, la pelota no se detendra nunca.

    La ley de la inercia es valedera nicamente pa-ra partculas que se mueven sobre superficiessin rozamiento, esto es imposible enconar enla realidad. Expresada correctamente Ia ley dela inercia quedada as:

    Toda "oartcula libre" mantiene su estado dereposob movimiento rectilneo uniforme siem-pr que sobre ella no acten fuerzas tendientesa modificar dicho estado.

    "Partcula libre" es un punto material ubicadoen el espacio donde no existe ni siquiera aire.

    DINAMICAAclaremos que Ia inercia de un cuerpo no es lacausa del movimiento sino una de ius propie_dades.

    Del principio de inercia se deduce que el movi-miento ectilneo uniforme se inicia cuando so-bre una parlcula libre, en reposo, acta unafuerza en forma insantinea.

    INDICACIONES PARA RESOLVERPROBLEMAS SOBRE DINAMICA

    En general es imprescindible identifica clara-mente datos e incgnitas que nos permitan en-rumba la solucin del problema con un obje-tivo predeterminado.

    Luego de la acotacin anterior que tiene carc-ter general tendremos:

    1.- Identifica la partcu1a o cuerpo cuyo equili-brio o movimiento se refiere el poblema.

    2.- Analizar todos los objetos qu-e rodean aicuerpo escogido: cuerdas, resortes, tierrapuesto que estos objetos ejercen fuerzas so-bre el cuemo. El estudiante debe aclaraplenamente-el tipo de fuerza que tiene, esdecir, si son variables o constantes con susresDectivas diecciones.

    3.- Ei iuerpo o partcula cuyo ansis se pro-pone debe aislarse. Considerndose todaslas fueras que actan sobre 1.

    4.- Con una escala aproximada hacer un dibujoesquemtico claro, trazando todas las fue-zas aplicadas al cuerpo en mencin.

    5.- Escoja un sistema de referencia adecuado,con esto queremos decir que es ms conve-niente hacer coincidi un eje de1 sistema dereferencia con ia probable direccin delmovimiento o con 1.

    6.- Aplicar las ecuaciones que expresan las le-yes de Newton a las situaciones fsicasenunciadas en el problema.

    7.- Hasta adquirir destreza en la resolucin, estil registrar en una tabla, los valores de lasproyecciones de las fuerzas sobre los ejesde coordenadas. Esto facilita el conol deia solucin v halla el posible eror.

    , EJEMPLO 3.8. : Con los datos indicados enel grfico:

    m =10K9.Fz25N

    t = 0,5

    t'at '.t

  • DINAMICAe.- Averlgue sl el cuerpo se mueve,b.- En caso de exlstlr movlmlentozcalcule la

    aceleracln.c.- Sl no hay movlmlento. Cul deberfa ser

    la fuerza mfnlma que se debe aadlr a Fpara que el cuerpo suba por el planoIncllnado con velocldad constant.

    DESARROLLO

    En primer lugar realicemos el D.C.L.

    El eje x del sistema de referencia coincide conla probable direccin del movimiento.

    Descompogamos las fuezas en los ejes xy.DESCOMPOSICION DE LAS FUERZAS

    Clculo de la Normal: tFy =N-mgcos0-Fsen0=

    N=La fuerza de rozamiento ser:

    f,= ltN = 47,5

    Para que exista movimiento las fueras acti-vas deben suoerr a las resistivas.

    Fuezas activas = F cos 0Fuerzas resistivas = mg sen 0 + fr

    IFe - XF = 20 - (60 + 47.5) = - 87.5Como las fuerzas activas no superan a las re-sistivas, el bloque no puede subir. Pero en-tonces podra resbalar. La fuerza que llevehacia abajo sera la componente del peso enX. Analicemos este caso tomando en cuentaque la fuerza de rozamiento nuevamente seopone al movimiento. EI D.C.L..sera el si-guiente:

    0095N

    El anlisis de las fuerzas activas y resistivas es:

    DFs - EF,s = mg sen 0 - (Fcos 0 + fr)= -7.5 Tampoco podra deslizarse hacia abajo el blo-que "m". En consecuencia el bloque se hallaen reposo. De los datos se deduce que existems probabilidad de deslizamiento hacia aba-jo, en este caso es interesante notar que el va-lor real de latuerza de rozamiento no es 47.5N sino XF" = 0 por el bloque no se mueve.

    mgsen0-Fcos0-f'r=0f'r=60N-20N=40N

    b.- Como no hay movimientorno existe acele-racin.

    c.- El movimiento es con velocidad constante.

    IFt=gN-Frsen0-mgcos0=0

    N=Frsen0+mgcos0ttr

    --t \-v

    F1 cos0-fr-mgsen0=0Fr cos 0 - pF1 sen 0 - prg cos 0 - mg sen 0 = 0Donde Fr es la fuerza que hace subir al bloque

    pmgcos0+mgsen0cos0-psen0

    F1=200NComo se estn aplicando 25 N la fuerza quedebe aadirse es: F = 200 N - 25 N = 175 N

    OTRO METODO

    Podramos responder directamente la pregun-ta b caiculando la aceleracin mediante la2da. ley de Newton.

    Suponiendo un movimiento hacia arriba

    2F-2F,"=Fcos 0 - (mg sen? + fr) = 1

    a = -8.75 m/s2

    25x3/5=-15

    180

    El signo negativo de la aceleracin indica queno podramos tener un movimiento aceleradohacia arribarla direccin de la aceleracin po-dria estar en sentido contrario al asumido.

    Supongamos que el bloque resbala debido ala accin de su peso.

    EFac'EF,s = mamg sen 0 - (F cos 0 + fr) =

    a = -0,75 m/s"

    Nuevamente una aceleracn negativa, tampo-co podra moverse hacia abajo, (en las condi-ciones dadas existe ms tendencia a resbalarque a subi4.

    Si no sube ni baja, entonces el bloque est enreposo.

    EJEMPLO 3.9.- Sl el slstema bala con unaaceleraclna(a

  • DESARROLLO

    a) D.C.L.

    Para calcular la aceleracin tomemos los tresbloques como un solo cuerpo.

    XFac - XF,. = fltr a donde: mr = 3M

    F=3Ma =ta= F3M

    El D.C.L. de A

    XF." - IF," = r F-Ner=Fesul =Mdtr .-n

    b) Las aceleraciones de los tres bloquesguales.

    F=fs=_=gr

    c) A partir del D.C.L. de A

    IF."- XF,"= F - Na,: Ml=-lei, e2

    NR'a=-F3

    El D.C.L. de B

    Pero NsTa y N6 consti-tuyen Axn y Rxn, enton- Neces la magnitud de la +fuerza qLe ejerce A es:

    zN^,R =- F

    EJEMPLO 3.12.- En el slstema de la flgura,determinar la fuerza de rozamlento queacta sobre el-guerpo A. m= 4 kg; ms

    = 2

    kg. F-10\i3N

    DESARROLLO

    mgx= mBgsn30'= 10 Fx= Fms30.= 15Nmgy= m8g cos 30'= 10 Fy= Fsen 30. =513-NEl D.C.L. del sistema es:

    t- t-

    3M3

    DINAMICA

    ss\{"4

    mBY

    'PARA EL BLOQUE B: IF6 - XF5 = ns10 N _ T = ms a (1)

    PARA EL BLOQUE A: XF"" - XF," = moA pesar que la fr es resistiva no la incluiremos.

    T-1SN=ma (2)(1) + (2) = 10 N - 15 N = (ma + mB) a

    Los 10 N no podrn vencer a los 15 N y noexistir movimiento hacia abajo. Pero si elmovimiento es hacia arriba tendremos:

    EFu"-IF,"=(mA+mB)a1b N - j0 N = (mA + mB)a

    Los 15 N si vencen a los 10 N. y sobran 5 N.Podrn estos superar la fr.,ur?. Calculemos lar,| smax.

    fr.r* = 1. Na

    EFr=g :>Nn*S-+O=ONn = 31'34 N'

    fr..* = 6,3 (31'34N) = 9,4 NLos 5 N no pueden superar a 9.4 N, en con-secuencia ei sistema no se mueve, se halla enequilibrio (reposo).

    ttr -n! x_v

    15-fr-10=0 :> fr=5NLa fuerza de rozamiento real es 5 N.

    EJERCTCIO 3.7.

    1.- Realice el diagrama de cuerpo libre de |oscuerpos 1 y 2 en el siguente grfico:

    Ncts

    182 183

    DINAMICA

    2.- El sistema mostrado en la figura se muevecon aceleracin. Todas las superficies son ru-oosas. Reallce el diagrama de cuerpo libreara cada bloque.

    3.- En la figura dibujar el D.C.L. de A y B

    5.- En el sistema de la figura el bloque tienetendencia de movimiento. La fuerza de roza-miento que acta sobre el cuerpo es:

    8.- Un globo de masa m, descende con unaaceleracin constante, cuya magnitud es (a),determinar la masa M de lastre que es nece-sario hechar por la borda, para que el globoascienda con la misma aceleracin (a)' despreciar en ambos casos la resistencia del aire.

    9.- En el sistema de la figura. Qu relacindebe existir entre "M" y "rn", para que n0 exis-ta movimiento?. La masa de la cuerda es des-oreciable, no existe rozamiento en la polea.

    4,- Se aplica una fuerza horizontal F, como n-dica la figura. Los bloques se encuentran s0-bre una superficie horizontal lisa' Determinela aceleracin y la f uerza neta de cada bloque.tTl3 = lr= 3m1 = .

    10.- La fuerza de rozamiento de un plano in-clinado 53,130 produce una desaceleracinioual a 2 x cos 53,130 m/s 2 en un cuerpo ques-e oesliza soDre 1. Calcular el desplaza-miento del cuerpo al cabo de 2 s. de iniciadoel movimiento cuando se lanza el cuerpo conuna velocidad inicial de 20 m/s hacia arrba delplano?.

    11.- Los dos bloques de la figura son del mis-mo materal y se mueven sobre la superficehorizontal ruqosa !r = 0,2 con una acelera-cin de 2 ml', gracias a la accin de la fuer-za F. (m1 = 2kg.y m2 = 5kg)., cul es la ten-sin en la cuerda Y cuanto vale F?

    12.- Cul debe ser la relacion m1/m2 para quela aceleracin de m2 sea igual a 1.5 m/s "

    6.- Un bloque de 1 kg. de masa se desliza so-bre una superficie horizontal con certa veloc-dad inicial Vo. Si se detuvo en 3 s.. despusde recorrer 7 m CElcular la fuerza de roza-miento que acta sobre el bloque.7.- El bloque de la figura, tiene una masa de 2Kg. Determinar el vector aceleracin del blo-que, cuando sobre el mismo acta:7.1. Una fuerzaF de 60 N.7.2. unauerzaF de 30 N

  • DINAMICA13.- Determine el valor de p para que el siste_ma de la figura est en movimiento inminente.

    la;Jl, la figura, A pesa 50 N, B pesa 20 N,r=cu t\ y et coettciente de rozamiento entre Ay la pared es de 0.2. Determinar la maonitud vdireccin de la fuerza que ejerce g soOr"e . - '

    15.- Determine el mximo valor de la fuezatsen funcin de p,, pz, m, y me, para que eloroque E no deslce sobre A, mientras elconjunto se traslada.

    ]8.- Ynq cajg de masa m = 40 kg se hafia so_bre.el.piso de la plataforma de n camin,-icoeflctente estatico es [s = 0,30 y el cinticoy,=\). uatcutar.ta magnitud y sentido de laTueza oe rozamiento que acta sobre la caia:a) cuando el camin tiene una acelerainde 2 m/s'b) Cuando su desaceleracin es 3 m/s2

    Jg.- 9.n globo est descendiendo con una ace_leracin constante ,'a,, menor que la acelera_cin de la.gravedad (g). El pes Oet gtobo Consu Darqutila y contenido es p = mg. eu ma-sa de lastre debe abandonarse para que lglobo comience a acelerar hacia anib colaceleracin constante "a". Desprecie la resis_tencia del aire.

    20.- a) Qu fuerza horizontal constante es ne-cesaia. para arrastrar un bloque de masam = 8 kg sobre una superfiqie tiorizontal conuna aceleracin de 1,20 m/s', si el coeficientecintico de rozamiento entre el bloque y la su_perficie es 0,5. b) eu peso, suspenido deuna cuerda atada al bloque de B kg y quepasa por una pequea polea sin rozamiento,producir esta aceleracirr.

    Ekg

    21.- Derterminar la tensin en el cable, paraque el bloque que pesa 75 N, se acelere ra_zn de 5 cm/s en cada segundo, hacia arribadel plano inclinado indicado en la fioura.

    F

    16-- Un ascensor que pesa 500N sube verti-calmente por un tnel sin rozamento. El or_fico adjunto muestra la variacin del mdulode la velocidad en funcin del tiempo. Calculela tensin del cable que soporta l ascensordurante el movimiento en los siguientes inter-valos de tiempo:a)0sa2s b)2sa4s c)4sa6s

    17.- En el sistema de la figura el bloque de.masa m1 se encuentra en resposo respecto albloque de masa m2.

    a) Realice el D.C.L. de cada uno de los blo-ques.b) El sistema se encuentra en eouilibrio?

    184

    u=0.2

    185

    \DINAMICA

    4.- EQUILIBRIO LINEALIrRASAClONltL)

    Cuando a pesar de actuar fuerzas sobre uncuerpo, este no se acelera, el cuerpo esl enequilibrio.

    El equilibrio expresado geomtrlcamente.

    Si l ltima fuerza que se suma cierra el pol-gono de fuerzas; entonces Ia fuerza neta total oresultante es igual a cero.

    F2

    De donde deducimos la siguiente condicin:

    Para que un sistema de fuerzas concurrentes sehalle en equilibrio es necesario y suficiente queel polgono de fuerzas construdo sea cerrado.

    Expresando analticamente la condicin ante-rior llegamos a la siguiente igualdad vectorial.

    Fi+-dz+Fi+.....+Fi=oEquilibrio expnesado en forma analtica

    Para que la fuerza resultante sea cero, las com-ponentes sobre los ejes X, Y, Z tambin debenser cero.

    IFn* : 0; IFny =

    0; EFn, = 0O lo que es lo mismo:

    Fxt * Fxz + .................+Fy1 * Fy2 + .................+Fzt * Fzt + ..................+

    Un sistema de fuerzas concurrentes est enequilibrio lineal cuando los sumatorios de lasproyecciones de todas las fuerzas sobre cadauno de los ejes X, Y, Z son iguales a cero.EQUILIBRIO Y MOVIMIENTOUna partcula est en equilibrio de traslacincuando las fuerzas activas igualan a las fuerzasresistivas.

    'E _

    'E

    En la definicin enfa en consideracin la di-reccin del probable movimiento; cuando lapartcula est en reposo, o ia del movimientomismo,(si este existe).EQUILIBRIO Y VELOCIDADLa variacin de la velocidad ocure cuando so-bre la partcula acta una fuerza resultante.

    EI anflisis de la velocidad permite determinarsi una partcula est o no en quilibrio.

    No hay variacin de la velocidad, cuando noactan fuerzas sobre la partcula o cuando ac-tuando fuerzas sus efectos se anulan. Entoncesdesde.el punto de vista cinemtico el equilibriose enuenoe como;

    AVn =gLa expresin manifiesta que Ia variacin simul-tnea de la velocidad en magnitud y direccines cero. Condicin factible de descomponer endos partes, AV"= g y AVo = gEn realidad estamos ante un movimiento convelocidad constante.

    EQUILIBRIO Y CANTIDAD DE MOVI-MIENTO LINEAL.Una partcula est en equilibrio cuando suC.M.L. pennanece constante.

    -P' = mu'= crc

    Ecuacin que plantea la constancia de 1a masay la velocidad.

    EJEMPLO 3.13.- El peso del bloque repre-sentado es 50 N. Calcular la tensln sobreloshilosl y2.

    DESARROLLO

    Sobre el punto 0 actan tres hilos que gene-ran las tensiones indicadas.

    r

    F-=0Fyn= 0F^=0

  • -l

    Sobre el bloque actanel peso y la cuerda prodqCO T3'

    A",_T

    Segn la tercera ley de Newton T3 y T3' cons-Irtuyen un par de accin V reaccin.

    El bloque est en equilibrio, entonces:

    DINAMICADESARROLLO

    Como la velocidad es constante, el bloque sehalla en equilibrio dinmico y la aceleracin es

    ttr-N +Fsen30o- mg =

    ttr-!,x-FcosS0o-fr

    =

    0n

    0

    0

    donde fr=FN =p(mg-20)40 cos 300 - 0,4 (mg - 20) = O

    m9 = 106.6 N

    EJEMPLO 3.15. A partir de los datos de la,4\ flg, Determlnar los valores extremos de va-\ r,r rlacln de m' para que exista equlllbrlo.

    m2 =

    50 Kg.

    DESARROLLO

    EI bloque m1 podra subir y m2 bajar, o bajarlllr Y rllz Subir, eStOS SOn IOS extremos de m1.Entonces hagamos el D.C.L. suponiendo quem1 tiende a subr.

    f7 qir\'. T zx\Sz

    EFv=0ftl -mrgcos450=0

    N=mrgcos45oIFx""-IFx,"=Q

    T3'- mg = QTg'= Ts=50N

    Los tres hilos estn en equilibrio.

    EF,=g- T2 cos 600 + T1 cos 600 = 0

    IFr= IT2 sen 600 + T1 sen 600 - T3 = 0

    T2 sen 600 + T1 sen 60t - S0 N = O

    Se ha formado dos ecuaciones con dos incg-nitas T1 y T2,resolvmoslas, despejando de (1)

    T, cos 600T: =----::;-=> Tr = Tz

    cos 60'

    En la ecuacin (2)

    T1 sen 600 + T1 sen 600 = 50 N2Trsen60o=50N

    50Nf, =-= 59

    2 sen 600

    Las tensiones sobre los hilos son:

    Tr=T=50N fr.rEJEMPLO 3.14. Un bloque es arrastradohacia fa derecha a velobldad constante por para m1una fuerza de 40 N que forma un ngulo de30" por encima de la horlzontal. El coefl-clente cintlco de rozamlento es 0,4. Cules el peso del bloque?.

    (2)

    r tl

    's

    mzg

    86 t87

    T-mrgsen45o-fr.,= If - mr g sen 450 - F mr I cos 450 = 0

    Para m, IF, = gN=m2gcos3Oo

    xFac-xF,s=0rn2gson30o-T-fr2=O

    rn2g sen 3Oo- T -pm2g cos 300= 0 (2)(1)+ (2) =m2 g sen 300 - m1 g sen 450 - rm1g cos 450

    - Fmz 9 cos 300 =O

    mr(sen4So - p cos4So) = mz (sen300 - p cos301)m2 (sen 300 - p cos 300) (a)(sen 450 - p cos 450)

    Suponiendo que m1 tiende a bajar.

    \T

    DINAMICAEJERCtCtO 3.8.

    tt\\', 1.- Calcular la tensin en cada cuerda de lafig. si el peso del cuerpo suspendido es 200 N,

    2.- A partir de los datos indicados. Calcular:

    a) La fueaa de rozamiento que equilibrara alsistema.

    b) El coeficiente de rozamiento.3.- Un bloque de masa m = 5 kg. se arrastrahacia la derecha. sobre una mesa con un coe-ficiente de rozamento p = 0,3. Qu fuerzahorlzontal debe aplicarse para que. se des-place con velocidad constante. ?

    4.- En el sistema de la figura, calcule m2 paraque el sistema est en equilibrio traslacional.

    N

    \\\

    x// Frz

    Ntese que al carnbiar la direccin del movi-miento se ha cambiado la direccin de la fuer'za de rozamiento.

    Paraml rn1 gson45o-T-frl=O (1)Para m2 T - lrz - mzg sen 300 = 0 (2)

    (1)+(2) =tg sen450 - fi1 - fr2 - m2 g sen300 = 0

    rn1 Q son 450 - p m1 g cos 450- me g cos 300- m2gSen30o=0

    m1(sen45o - p cos450)= m2 (p cos3Oo + sens0o)m2 (r cos 300 + sen 300) (b)lTll =

    sen 450 - r cos 450

    Entonces los lmites de m1 son;

    ........1...... s t, .......?.......

    --o

    5.- Cual ser el valor de la masa A para queel bloque B suba con velocidad constante.

    me=5K9.r = 0,4

    ml=

    m=20k9

    m=10KgF=0r2

    *y,

    m8

  • DINAMICA5.. FUERZAS EN EL

    HTOV|MTENTO CIRCULARComo el moyimiento cicula est contenido enun plano definilemos los ejes que conforman elplano de rotacin de la parncul.

    Eje raal es aquel que pasa por el cenro decurvatura (c.c.) y localiza a la pardcula. Lasfuerzas dirigidas hacia el c.c. -se consideranposrrlvas.

    El eje tnngenclal es tangente a la trayectoria yjunto con el rdial determinan el plano en lcual se mover la partcula en s trayectoriacircular. Los ejes radial y tangencial ion per-pendiculares ene s.

    E.l.eje axial es perpendicular al plano de rota-cin. El sumatorio de las fuerzs sobre el eieaxial es-cero porque la partcula no se desprei-de del plano de rotacin.

    LA SEGUNDA LEY DE NEWTON EN ELMOVIMMNTO CIRCULARCuando la partcula describe una trayectoriacicula las fuerzas aplicadas a la parcula sedescom,ponen en los ejes raal y-tangencial,cumprlenoose que:

    F* = r;La aceleracin total se descompone en:

    A= ar*anxr*" =rn

  • DINAMICAY

    I

    I

    EJEMPLO3.18. Una pledra de masa't kg.atada al extremo de una cuerda de 1 m delongltud, cuya reslstencla de rotura es500N, descrlbe una clrcunferencla horlzon-tal sobre un tablero llso de una mesa. Semantlene f||o el otro extremo de la cuerda.Calcular la mxlma velocldad que la pledrapuede alcanzar sln romper la cuerda.

    pmg=mw2R =tR= F9,w

    0,2 x 10 m/s 2

    I Fs= " f,=mw2R

    1 rd/s =2m.

    DESARROLLO

    DESARROLLO

    D.C.L.

    a

    R"

    En el eje radial: lFn = m aRTsen45o=mw

    sen 45(1) en (2) m9 -------= = m wcos 45

    El radio de la trayectoria

    R = 0,1 m + 0,2 sen 45" = 0,24 m

    *=1p_] = 6.a5| 0.24 s'mrd 1 rev revw=6.45- =1.02-s 2rcrd s

    T =----:-^cos 45"

    (1)

    EL D,C.L.,R

    'B =t

    (2)

    "ow" =i-R,'i - -.^v---J-n

    -/\'U,tn

    ----

  • DINAMICALa fuerza de rozamiento esttica mxirna es: Las fuerzas en el eje radial: IFs" = m aBa

    fr"*= fr=g.N. El sumatorio de las fuezas en el eie axial es:

    V,T_mocos0=m_(1)H

    mgsene =mcI'Rgsene

    .- radCt= - =10---=-R S.

    De la ecuacin (1), la tengin es:V,

    T = rll-=-+ mg cos 0 = 1 17.32 NEJEHCICIO 3.11.

    3.- Un cuerpo de 1 kg. de masa tiene un mo-vimiento curvilneo sin rozamiento sobre unasuoerficie horizontal. Cuando t - 0s su veloci-dad es V'= 19 i+ S I m/s y acta sobre l unafuerza constarrte de = 1s i i s xi N. Despusde 5 seg. determinar: R =2m1.- La velocidad2.- La aceleracin tangencial3.- La aceleracin normal.

    192

    N-rng=0 => *=mgSi fr = frR + fr1 la magnitud de la fuerza derozamiento ser:

    Fm9= m Vli+ozRzRz

    uzoz - Vf + o2 R2Rz

    R4L2g2 - Vr4 + 2 R2 1.- una moneda est a 0,25 m del centro devr4= (p2s2 - d2 R2) R2

    ::rff:'"1noT.ll%orq9 on"'"X?,?,i""f'38",X1

    v(-n2p2s2- .,2Rz => Vr = r m/s Tll:;|;"?Ti}J?,'fi"1?X?,"f ?,X1?"#:,.,3;1Esta sera la velocidad de la moneda antes de la moneda sin deslizarse respecto al disco.deslizarse del plato.

    Vr 1 m/s rd 2.- El cursor C de masa 0,5 kg' se ubica a 0,5PeroVr=WtR =>Wr =

    -

    = *= 4- m. del eje de rotacin sobre el brazo que giraH u'zc m "

    "n un plano vertical' con una velocidad angu-

    lo wr rrrls lar que aumenta 2 rd/s cada segundo' El cur-Wr=Wo+ct => t=-"- = -'''", =2.67s sorestunidoporunacuerdaligeraal ejede/ a 1'5 rdls ' rotacn. El coefciente de rozamiento nico

    entre el cursor y el brazo es 0.2 y la velocidadangular en ese punto es 6 rdis. Determinarla fuerza que ejerce el brazo sobre el cursor yla tensin de la cuerda.

    EJEMPLO 3.21. En la posicln indicada enel pndulo tiene una velocldad angular de5 rd/s.

    L=0,5mm=2kg

    m

    I

    Determinar la tensln de la cuerda y la ace'leracln angular de la masa de 2 kg.

    DESAHROLLO

    T/

    300

    D.C.L.

    t'.rs

    193

    DINAMICA

    6.. MOVIMIENTO DE UNSISTEM'\ DE PARTICUI.AS

    CENTRO DE MA,SA (C.M.)5iqu"t"-ot describi el movimiento de mu-chal partculas o de un cuerpo extenso, recum-.o, iI

    "on..pto de centro

    -de masa (C'M')'.el

    .oitpo ," coisidera como la unin de variospedazos de masa m;

    Consideremos un sistema de masas ml' m2""'mn ubicados en las posciones 11, r2"""' rn'

    Estamos sumando vectoes C.M.L. y puede su-ceder que una partcula tenga una C.M.L. su-perior a la dei C.M. (Pt >P"or).

    Supongamos que vaa la velccidad dc las par-ticlas, si divimos para el intervalo de tiem-po, que ocurre dicl-ra variacin tenemos:

    A-f." A v, A"*t--=-' A, *t

    ^r

    +"""!rn-

    M u = mr ai + mz d: + """""+*" a"

    Recordando Ia 20" Iey de Newton, la masa deiada pancula por su aceleracin es igual. a lafuerz resultant-e que acta sobre la partcula'

    in,f,r=Fot ; n;ir=i* t=F*Cuando la partcula est en un sistema, lasf*t;;; son e dos clases. fuerzas debidas a lasinteracciones con otras partculas .denffo oelsistema Grz, Fzrr,, F26, F32""""" ") y ruerzasextornas Fr, Fz, F: ejercidas por agentes exter-nos al sistema.

    F1

    Fnt = mt Ar = ts2lt * f371 + l.1

    FL = mzi = Fi+ F32+ F2

    Generalizando el resultado

    M ?c't = XF+ XFo

    Segn la tercera leY de Newton:

    Fut= -Fvz F:n = - Frn

    Se define la posicin del C.M' del sistema me-diante:

    M?M = m,ii + mr+.,.....'....'1t'ildonde: M = m1 + m2 +................*m.= Xrni

    Cuando un cuerpo se encuentra en un campoauituroo uniforme' el C'M' es el mismoi""i" t"it centro de gravedad' Este ser eI;; d todos los problmas que se realice eneste libro.

    Si el cambio de posicin de las masas vidi-mos para el intervalo de tiempo tenemos:

    - r?" At,'

    - ^rr' , - &"'

    M =*t A- .r-A, """'rtrn-Il

    Mf* = *rVr + m2f, + ...."""""+ m"*f"

    Cada fuerza intema que acta sobre una pa-cula tiene una fuerza igual. pero opuesta sooreora pancula. Por tanto las fuerzas lnternas;;;.;" en pareias de fuerzas iguaie pero;;*;;.

    -c.ian sumamos todas las fuerzas

    ;i;-;cii;" it. toot las panculas del si.ste-ma, las fuerzas internas se anulan y queoa-u-nl-

    "aenta las fuerzas externasren consecuencla:

    La cantidad de movimiento total de un sistema. putu.utu, es igual al producto de Ia masatot;l (M) por la velocidad del centro de masaiV."i Pf*i"mbro de ia izquierda q",luf:u?:ii-n-'t"pt.t.nta una

    .suma vectonal de laC.M.L. e cada una de las partculas'

    PcM

  • M-d"=XF-El C.M. se mueve como una patcula de masaM = Im, somedda a la influncia de la fuerzaexterna resultante que acta sobre el sistema.

    EJEMPLO 3.22.. En el ststema de ta ftgura.Encontrar el C.M. respecto al orlgen-o yrespecto a un slstema o'colocado en (1,1).

    m,=4kgm"= 6 kgm"=5kg

    DESARROLLO

    t* = t,ii* mr!' * m.rlComo se trata de una ecuacin vectorial des-compogamos en los ejes X, Y.

    M f6y = lTll f1* fll2 f2 .t tTl3 f3M f1y = ml f1y + lTl2f2y * fTt3 f3y

    Aplicando los datos y despejando

    fcux =4kg (2) + 6kg (5) + skg (5)

    = 4.2m

    DINAMICA

    odonde:

    i,'= s 157-'cm.t94

    ,1* = +(i -if + aitf + s & sTi

    =s. z i o,s' 1f*,

    II

    I

    CM

    Si bien la expresin del vector posicin delC.M. ha cambiado. El C.M. del sistema es ni_co y su localizacin respecto al sistema demasas m1, m2, m3 no vara.

    EJEMPLO 3.23..- Las tmnas de la flgurason de densldad unlforme. Halle el C.M.suponlendo que el rea es proporcional asu masa. Las medidas son en centmetros.

    II

    *r

    Y-

    DESARRO!-LO

    Coloquemos un sistema de coordenadas.

    t110

    -t-

    4kg+6kg+Skg

    ,"^,, - 4k9 (o) + 6kg (o)+ Skg (+)

    = 1.33m15 kg

    '.lr=a.2ti r.ssf in

    El C.M. de cada rectnqulo est en su centrode gravedad. Considerndo que toda la masadel rectngulo se haila coricentrada en elC.M. ei sistema se reduce a:

    Si colocamos el sistema o' en el punto (1,1)los nuevos vectores posicin son:

    >->.ft= t -l tz= 4-j 13=4i+3jLa posicin de C.M. es:

    fc =mr f1 + m2 12 * lTls fs

    mr = k(10 cm) (30 cm) = k 300m, = k (10 cm) (60 cm) = k 600

    M

    La posicin del C.M. es:

    fct' =k (300) (57+1sli+ k soo (40 't1 $ ti

    K 900

    -r]" = za.os7i i5 7 (cm)

    EJERCICIO 3.12.

    1.- Encuentre el C.M. para el sistema de lafigura.

    DINAMICA7.. DINAMICA ROTACIONAL

    2.- Las masas son m1= 4 kg; mz = 8 kg;mo = 12kg Y m+ ='l6kg. Determine el C.M. delsistema.

    ?-- - - -

    1

    ii3

    3.- Las lminas de la figura son de densidadunforme. Halle el C.M.srs suponiendo que elrea es proporcional a la masa. Las medidasestn en centmetros.

    ,ol

    4.- La figura muestra una escuadra de 45*Encuentre el C.M. suponiendo que las masasson proporcionales a las reas A1, A2, A3.

    I}ITRODUCCIONEn eI pirrafo anterior se estudi el movimientolineal, el cual es en realidad un movimientotraslacional. En el movimiento traslacional elcuerpo se mueve sin girar, sus partcu1as setrasladan paralelamente. Si trazamos una rectaen el cuerpo, la recta siempre se traslada para-lela a la primera posicin.

    -Ll nI I r- I'J n --l -nlr lltJ

    LI

    El movimiento traslacional no siempre es rec-tilneo como muesra la grifica.

    En el cuerpo con movimiento traslacional todaslas partculas de1 cuerpo tienen la misma rapi-dez Easlaciond ( lvl ). Consiguientementeaceleraciones iguales, entonces conociendo elmovimiento de un punto cualquiera, se puededeterminal el movimiento de los dems puntosdel cuerpo.

    En el movimiento rotacional, el cuerpo gira al-rededor de un eje, y cada una de las partculastiene diferente rapidez aslacional.

    Y

    't mzmr=2kgmz= 5 kgms= l0 kg4

    2

    mI

    -rL- -

    II

    0

    I

    t

    ''1\-.,-,;I I-N1-ll F;--T'.-/

    'yf=r1

    Las partes del objeto, que perrnanecen a lamisma distancia, se mueven en crculos con-cntricos.

    En el grfico las panes del objeto, cercanas aleje respecto al cual giran tienen menor rapideztraslacional en comparacin a las ms alejadas.

    Esta idea se expresa en Ia siguiente desigualdad

    V1-- W RrV2 =WR2

    rz=40 i+ 15i cm.

    195

    V1)V2)V3)V4

  • DINAMiCACuando miramos un disco girando en un toca-disco. la Darte cental del disco se mueve mslentamente que la externa, pero la-rapidez an-gular del dico como un todo es 33 revolucio-nes por minuto y es constante.

    Estudiando el giro de un disco desde el-puntode vista de las variables angulares todo el cuer'oo sira alredededor del eie con la misma rapidez" roucional (w). La descripcin desdeeste Dunto de vista es simple y al mismo dem-oo ormite una apreciacin sencilla y profundade ias caractersti'cas del movimiento rotacional

    Puesto que el movimiento rotacional se realizaen un plano. se llama bidimensional, la trayec-toria de cada punto del cuerpo est contenidoen el Dlano. Los planos de todas las trayecto-rias cinciden o son paralelas entre si.

    EJE DE ROTACION.- En el movimientorotacional las trayectorias de todos los puntosdel cuerpo son crculos concntricos, con cen-tro en una recta llamada eje de rotacin

    El eie de rotacin es f,rjo, y cuando pasa a tra-vs del cuerpo, se dice que el cuerpo gira o ro-ta. Si el eie de rotacin est fuera del cuerpo sedice que eI cu"mo revoluciona alrededor deleie. as Ia tierra rvoluciona alrededor del sol yg"ira respecto a un eje que le atraviesa.El movimiento de la rueda de un automvii quese mueve en lnea recta es un movimiento com-Duesto. consta de una rotacin alrededor de sulie v del movimiento de traslacin det eje jun-t cn el automvil, por Io tanto la velocidad Vdel punto de la rueda respecto al camino cons-tituye una suma de dos velocidades.

    En las siguientes pginas nuestro estudio se li-mimr a ia otacini1e cuerpos gidos alredc-dor cle un eje de rotacin en reposo.La cantidad que produce el movimiento de ro-tacin de los-cuemos tiene diferentes denomi-naciones, as tenemos'el torque, cuando se rela-ciona con las variables cinemticas y momentode una fuerza, o momento de torsin si est re-lacionado con la fueza, nosoftos no haremostal distincin. simplemente la llamaremos tor-que.

    TORQUE

    La fircrza aplicada a la llave produce un movi-miento rotacional de la tuerca.

    Para abir la puena aplicamos una fuerza queproduce el movimiento rotacional de la puerta.

    Vista superior de una Puerta

    Las experiencias anteriores muestran que laiuerza fuede producir movimiento rotacionalacelerado de un cuerPo.

    As como, en el movimiento traslacional aso-ciamos laiuerza con la aceleracin lineal, en elmovimiento rotacional asociaremos, el torquecon la aceleracin angular.

    Fsicamente el torque expresa la accin de unafuerza que hace girar un cuerpo alrededor deun eie; en otras palabras e-l torque es una cantl-dad vectorial qu produce movimiento rotacio-nal con aceleracin angular.

    Consideremos la ilave de la tuerca que gira al-rededor del eje "0" en la figura.

    EFrg = 1tt

    Fsen0=mcrR

    multiplicando Y dividiendo Por R:

    Fseno=*R" (+)'RFsen0=mR'c

    Se define al torque mediante:

    f=RFsen0=Fd.La fuerza es un vector que puede aplicarse encualquier punto de un cuerpo.

    196t97

    A la cantidad d = R sen 0 se la conoce comotiuro " momenio (o brazo de palanca).de.lafuerza y representa la distancra- perpenculardesde el eje de rotacin hasta Ia linea de acclon"-ro"tiu. La lnea de accin de ua fuerzaJs una recta infinita que contiene a la fuerza'

    En las figs. "a" y "b" acta Ia misma fuerza ycusa diirentes-torques debido a queel brazo *o*tnto en "b"-es ms corto- y el cuerporota con menor intensidad que "a".

    En "c": la lnea de accin de Ia fuerza pasa auavs del eie de rotacin; el brazo de momento;;;;t o hay rotacin, en consecencia eltorque es cero. Se podra generahzr ctrcrenoooue,el torque de las fuerzas cuyas lineas oe ac-cin pasa-por el eje de rotacin siempre escefo.

    En la figura "d": la direccin del movimientoes horari"a y el torque est en direccin contra-.ia a tos torques d las figuras "a" y "b" que semueven en sntido antihorario'

    Cuando se considera un movimiento rotacio-nul..tp".to a un eje fijo solo existen dos sen-iloi-p6itt"t de ro"tacin, que podemos descri-bir como positivo Y negativo.

    FORMA VECTORIAL DEL TORQUE

    La expresin: t = RF sen 0 no es ms que el-noii u..toal entre el radio R y la fuerza F

    DINAMICA

    =R x FLa representacin grrfica de la ecuacin es:

    El torque es perpendicular al plano del movt-miento y acta lo largo del eje de rotacron'

    mientras que el radio (R) y la fuerza (F) estiincontenidos en el plano del movimiento.

    Una misma fuerza puede producir torques dife-rentes, dependiend de la posicin del eje res-pecto al cual gira.

    f"!Bfg=0

    El torque no slo depende de la fuerza y delbrazo de momento, en realidad es necesario to-mar en consideracin la posicin del eje res-pecto al cual se medir Ia rotacin' Igicamenteue cada direccin de rotacin tendr asociada torqu" ferente.EJEMPLO 3'24.-Parc afloar una tuerca, unmecnco apllca una fuerza de F = 100 Ncomo se Indlca' Calcular.

    f

    Orha) El torque etercldo para aflolar la tuerca .i Oue tuer se necesitar para afloiar la

    mlsma tuerca, sl se aplica la fuerza per-Dendcular a la llave.

    c) s una prctica comn alargar el mango' de la llve por medio de un tubo, supo-

    ienOo que con el tubo se trlplca la lon-qltud dei mango' cual ser el valor de lauetta perpenular al tubo que afloiala tuerca?.

    DESARROLLO

    a) Tracemos un bosquejo de la llave y la fuerzaQue acta sobre el mango de la llave'

    F(1,2m froo"si--- l--l-t'-- io'x--r)'

    A partir del grfico, el brazo de palanca ser:

  • DINAMICAr= F. R= 100 N . 0.173m = 17.3 Nm

    En ciertas ocasiones es til descomponer la'fuerza.

    Frs=Fsen60o=86,6NFd=Fcos600=50N

    Entonces el torque ser:

    r= Frs. r=86.6 Nx 0,20 m= 17.3 N.y obtenemos el mismo valor de torque.

    b) Si la fueza es perpendicular al mangosen90o=1 y f=Fr

    0m

    f 17.3 NmF= =.-_=86.5Nr 0,2mNaturalmente que se requiere de un menoresfuerzo para aflojar la tuerca.

    c) Cuando triplicamos la longitud. El brazo es0,6 m. y la fueza ser:

    DINAMICAMOMENTO DE INERCIA O

    INERCIA ROTACIONAL

    a) Calcule ei torque para las posiciones 1,2,3.

    b) Encual posicin se abrir la puerta confacilidad.

    3.- Unafuerza?= Io '+zlittse aplicaaunpunto, P(5, 4, 0) m. Calcule el torque respectoal origen y al punto B (1 , 1 ,0)m.4.- Un nio de 120 N. se halla en el extremo A.Cual deber ser el peso de otro no para queal colocarse en B equilibre el sistema.

    5.- Para equilibrar el poste de una antena sedolocan varios cables a 2 m., 3m, 5m. 5,5m yse aplican las tensiones indicadas en la figura.

    a) Calculeel torqueresultante.b) En casode caersehacia quelado sevjrar.

    Cuando la masa "m" gira alrededor de un ejee rotacin que pasa por "o", encontramosJi'.na posi.in di: la plrtcula al movimientoi",^.i."1, esn oposicin aI movmiento seha-i-cuantin"ua Ln una cantidad llamada mo-;;t" ; inercia (I). que se calcula con la si.guiente frmula

    l=mlm = masa de la partcu1a; r = radio de giro'

    -- --:#

    +H,: )

    @='-.

    Cilindroo discoslidoslL=-MR--2

    Barradeigadalarqa

    "1r" =--ML-

    Aro ocmcarncllindrico

    !=MR2

    Barra delgada larga1^I" =-ML'71

    198199

  • DINAMICAEl momento de inercia es una cantidad aditiva,s1 tenemos vaias partculas sobre diversoscueryos los cuales giian, el momento de inerciadel sistema es:

    Lirt = X (Ipanolas * I"o"rpor)

    EJEMPLO 3.25. Tres masas de 1 kg. se ha-llan en los vrtlces de un trlngulo equll-tero de un meo de lado. Calcular el mo-mento de inercla de este slstema conslde-rando como ejes de rotacln YY',22' y XX'como se muestra en la flgura.

    DESARROLLO

    El momento de inercia de la tabla respecto aun eje que pasa por su centro de masa es:

    1"1lrc =;: mL' =

    -

    (a0 kg) (3m)'z = 30 kg m,12 12'Cuando salta el n!o en un extremo se formaun sstema que gira alrededor de un nuevoeje localizado entre el CM de la tabla y el ex-tremo donde est el nio. Supondremos queel nio es una partcula. En realidad el sisie-ma gira respecto al centro de masa del siste-ma(CM"'"). Laposicindol CMr" es:

    DESARROLLO

    El momento de inercia del sistema respecto aleje YY'es:

    I w,= trlrA2 + mrg 2 + mrc 2

    Puesto que el eje YY' pasa por la masa en "c',,el radio de giro r = 0, adems h = ra = 0,5 m.

    lw,:2mr'= eltXg. (0.5m) '?= 0,5 kg m'z

    Considerando ZZ'todas las masas se hallan ala misma distancia "r", cada m-asa contribuyeal total con una cantidad de mr7'tenemos:

    lzz'= 3 mrz'

    Para XX' nicamente la masa 'c', oueda fueradel eje XX', el radio {e giro es la altura deltringulo h = LSen 60" = rx

    I xx' = mr 2,

    = m(2 sen 600)EJEMPLO 3.26,Una tabla de masa m=40 kgy longitud L

    = 3ffi, yace sobre un piso llso,

    la Inerca de la tabla respecto a un ele ouepasa por su C.M. es 116 -

    (1/tzml'z. iJn hl-o de masa m

    = 20 kg salta sobre un extre-

    mo de la tabla. Calcule la oposlcln almovlmiento rotacional (momento de Iner-cla) del sstema. Se sabe que la Inercla ro-taconal alrededor de un eJe paralelo a unoque pasa por el GM y, g una dlstancla "d"de aquel es: |

    = lM + Mdz.

    IcM"i" =

    _>fTl f1 * lT1 f

    ITI + tTl

    Para calcular Bl CMr" colocamos un sistemade coordenadas en el CM de la tabla.

    Respecto a este sistema la posicin del CM dela tabla esTi= o i ot'y la oe nio-r'N

    = ai o7.

    rcMsis =+o t

  • DINAMICAlru = momento de inercia del nio (partcula).lsis = (1i2) MR' + MR2r., : (iei (l oo) (a'?)+ (50) (4') = 8.800 kg, m'La C.M.A.sts

    m2J = lsis W = 8.800 x 2 = 17.600 kg-

    EJEI''PLO 3& Dos rt838s l?11 = 12 kg ym2

    = 8kg estn separadas 1rn. Sl cada ma-

    sa glra oofl w =

    5 rdls alrededor de un eleque pasa por C['Lb. Calcule la C.M.A'..

    20 kg

    Entonces a 0,4 m de mr est el eie, respectoal cual giran rrr Y rllz.

    DESARROLLO

    Como tienen la misma C.M.A.

    Jr=Jel W = lt 1t

    h _Wa

    le WA1"1Iro ro' wo = lm" (3r)'zwtzz

    Wr 9me

    (1)= (2)=r9me W

    EJERCICIo 3.15.

    1.- Encuentre la C.M.A. de una masa m = 4 kgque glra alrededor de un eje a una distanciade R = 1.5 m con unaW = 5 rd/s.2.- Cul es la C.M.A. de una partcula que girasobre una circuferencia de R = 2 m, en el planoYZ, con una rapidez constante de 12 m/s?' Lamasa de la Partcula es 3 kg'

    3.- Dos masa iguales rrlr = lrlz = 6 kg se hallanseparadas 0,6 m y giran con una velocdadangular de 7 [radis] respecto al centro de masadef sistema (C'M.sis)' Calcule la C.M'A' sis'

    4.- El plato de un tocadisco de masa m= 0.6kg y R = 0.3 ffi gira a 33 RPM. Calcule laC.M.A. delPlato.5.- Suponga que sobre el plato del problemaanterior cae un disc! de masa 0.2 kg y R = 15 cm.Cul ser la C.M.A. del sistema.

    6.- Sobre un carrousel de m" = 20 kg YR" = 4m que da 20 revoluciones en 10 s estun nio (en el borde) de masa m = 10 kg.Calcule la C.M.A. d_el sistema.lerouset = (1/2) m" R'"7.- Una tabla de masa m = 20 kg y L = 2,4 mgira alrededor de su centro de gravedad convelocidad angular W = 12 rdls. Calcule laC.M.A. de la tabl-a respecto a su C.l'/1.l6: (1/12) ML'

    (1)

    (2)

    DESARROLLO

    Encontremos la posicin del C.M.ss

    fc[rsis =

    f2

    0 (12 kg) +'lm (8 kg)

    We

    tll

    lll

    Ws

    l

    i=0,4t(m)

    ,.'' --

    : -r.

    l-'i;1-$.,\ tY'*-

    -

    , u'o.\ru

    La C.M.A. del sistema ser:Jsis =Jr+J2=l1W+l2WJr," =mrRr2W+mzRz2WJsis = 12 (0,4)'?'(5) + 8 (0,6)'z (5) = 24 kg m%'

    EJEMPLO 3.29- Las ruedas A y B estn unl'das por una banda como lndlca la flgura, elradlo de B es tres veces el radlo de A. Gualdebe ser la relacln de las Inercias rotaclo-nales la/ls para que ambas ruedas tengan lamlsma C.M.A. El mqmento de inercla deuna rueda es (1/2) MR'.

    202 203

    DINAMICARELACION ENTRE C.M.A. Y C.M.L.

    Una partcula de masa "m" movindose conuna velocidad ;7' a 1o largo de una recta tieneasociada una C.M.L. (F= tn").Un observador mirando a la partcula a una dis-hncia R podr denir la C.M.A. instantnea dela parlcula respecto a 1, meante J = mVRi;donde fu es el radio instantneo, medido desdela partcula hasta el observador.

    A fin de identifica claramente a la C.M.A.realicemos las siguientes aansformaciones:

    zRr ^ VJ=mVRt-l =mR--mRzw.R' RJ= Iw

    Expresin conocida por nosotros, es decir que

    Iw=RmVigualdad que relaciona losmovimientosde ro-tacin y traslacin. El lado derecho de laigualdad se podra interpretar diciendo quecuando la distancia radial es grande compamdacon las dimensiones del cuerpo en rotacin, laC.M.A. es:

    J = RrnV

    Los vectores del grfico se relacionan median-te eI producto vectorial:

    T=I x-J = RPsen0=RmVsen0

    Podra generalizarse diciendo que para cual-quier partcula en movimienro rctilfneo puedeasigrarse una C.M.A. en relacin a la poiicinde un observador.

    EJEMPLO 3.30, Un auto de 1.000 kg. avan-za de Norte a Sur con una velocldad de 36km/h. Calcular la G.M.A. respecto a un ob-servador que se halla a 30 m. al este delauto.

    DESARROLLO

    yaque 0 =km

    v = 36--El siguiente grfico muestra, que la C.M.A. es huna cantidad relativa a cualouier observador.

    La C.M.A. (J) es un vector perpendicula alplano de rotacin, mientras que el radio y laC.M.L. estn contenidos en el plano de rota-cin.

    / ./,-/-"#--7,/a--

    J=RPsen0900 => Sen0=1 => J=RP

    th 1000m mx_ = 10_3600s 1 km smm

    P = mV = 1000 kg x 10-= 10.000 kg-ssm

    J = RP = 30m x 10.000 kg -

    m2J=300.000 kg- J=300.000Nxms

    Realizando el producto vectorial encontramosque la C.M.A. se halla a lo largo del eje "y",perpendcular al plano XZ.

  • DINAMICAEJERCCrO 3. 16.

    1.- Una partcula de m =2kg se mueve conuna velocidad constante l'= imsl. Al t = 0ssu posicin esej(in). Encontrarla C.M.A. dela partcula con respecto al origen del sistemade coordenadas, para cualquier tiempo.

    2.- En un parque de diversiones hay un ca-rrousel de 3m de radio y 200 kg de masa. Unnio de 40kg de masa corre con una rapidezde 3 m/s tangente al borde del carrousel y sal-ta sobre 1. Desoreciando el rozamiento delcarrousel con su eje y conociendo que laC.M"A. final e inicial son iguales, encontrar lavelocidad angular del carrousel con el nio- Elmomento de inercia del corrousel con reqpectoal eje que pasa por su centro es (1/2)MR'.3.- La figura muestra la trayectoria de un carrode masa m = 1000 kg que se mueve con unavelocidad constante l'=eO7'Vs. Calcule laC.M.A. cuando el carro est en A, B, C. res-pecto a un observador ubicado en O.

    x

    4.-Un carrito cuya C.M.L es -f=20.0007(kg m/s) se mueve por la trayectoria indicada.Calcule la G.M.A. respecto a los obervadoresubicados en A, B, C.

    TORQUE Y LA C.M.AParaque un cuerpo gire es necesario aplicar untorque, de la misma manera cuando queremosdetener un cuerpo que se halle girando se debeaplicar un torque. Entonces el torque est di-rectamente relacionado con el movimiento ro-tacional.

    La C.M.A. refleja la tendencia del objeto amantener su movimiento rotacional.

    Cuando acta varios torques sobre un. cuerpounos apoyando al movimiento rotacional yotros en cbnra su efectc resultant" r" t"aurnmediante la siguiente frmula.

    xt + tz - t3- t4 =I s. ti= I-d

    Xt= A (Iw)=> It= At:,TtO = '

    La variacin de C.M.A. (AJ) refleja el grado deinteraccin del torque con el cuerp. Al pro-ducto Xiit) se llama impulso angular.Miemos el paralelismo existente entre lasecuaciones descriptivas para los movimientostraslacionales v rotacionales.

    d;;I_At

    r [-ti.*po -llVariacinl- | durante el II c.u.l-. l- | cual acta IL J

    l_la r* -l

    T -.t lrlempo II Vaiacinl=l duranteel II c.tu.n | | cual acra I* i LeirR

    -l

    [-ou..ru -]

    '

    lnesuttante l

    ^p =

    (At) FR-

    = roexpresiones que confirman la validez de lasecuaciones descriptivas enunciadas.

    EJEMPLO 3.27- Una piedra de molino de 5kg. de masa y radio 0.10 m. est rotandocon una velocldad angular de 240 rev/mln.Qu fuerza tangencial debe apllcarse sobrela pledra de manera que se detenqa luego

    204

    DINAMICAde completar dos revoluclones? El mo-mento de Lnercla de la pledra de mollno esl= (1/2) MR'.

    DESARROLLO

    Para que se detenga la piedra de molino sedebe aplicar un torque entonces: f = | crAdems sabemos oue: ml

    m2

    or.of,f,olloLos D.C.L. son:

    Aplicando el sumatorio de torques a la polea

    I To = I aac - 2 Xts= lo. 6 {9s c( =-3R

    Cuando se considera un movimiento rotacio-nal respecto a un eje fijo,solo existen dos sen-tidos posbles que podemos describir comopostivo y negativo. Los torques que coincidencon la direccin del movimiento consideramospositivos activos y los que se oponen/negati-vos o resistivos.

    T2R-T1 R=lo.

    Apliquemos lazd^ ley a las masas rnr y rnz

    ?=E* F=' r=RFsen0como se^trata de una fuerza tangencial 0 = 900y sen 90"= 1

    El momento de inercia es:

    | = (1t2) MR'? = 1/2 (Skg) (0.1om)'?= 0,25 kg. m'zPorotro lado: wrz= wo2 + 2 aA0

    2nradA0 = 2 rev. x

    -=

    12.56 rad.1 rev.

    rev 2nrad l min rdwo=240_x --x 25.12_min lrev 60s s

    wr'- wo' 0 - (25.12 rad/s)'? ^_ . ^ rd= 25.12-2 (^0) 2(12.56 rad) S"

    Pero: f =lcr

    x = 0.25kg. m2 x 25.12 ra:

    =u.r, *nI'

    s- s-

    fPeroT=R.F=> F=-=

    R

    6.28 kg. m?s'?

    0.1 m

    4Tr+Illlj* |12+vInlI

    T1

    T1 -W1 =llll

    W2-T2=fll2

    Tl=fitr?+Wr

    z=wz- lllz?

    (1)aR

    (21

    (3)

    KomF =62.8

    ==-

    = 62.8 N

    EJEMPLO 3.32. Cul debe ser el valor derll2 pra que una vez que es abandonadoen A con V6

    = 0 m/s recorre AB en 3 s?.

    AB =

    1m; m1 =

    0,5 kg; Mo =

    1 kg; R =

    0,1m.La oposicin al movimento rotacional d^e lapolea (momento de Inercla) es:fl/2|rloR'

    Suslituyendo (2) y (3) en (1)

    (wr- m, a) R - (m1 a + w1 ) n = j- r,rrn'f

    (wz-wr -rr2?-rT11 a n=]-Una2

    ,1 . (m"- m,)owr -w, = (--tvl+m, +rflo )a =)a= - '' (4)

    '2 1/2 M+m'+mz205

  • DINAMICAEsfera:Jomo parte del reposo

    1^lAB = : Vot +-at 2 => 1

    ^ =Z^(g)' (s)'

    2r1 ,=> a=n(;-r) (5)

    lgualando (4) V (s)2/r \ (m2-0,5(kg) x10(m/s'z)g ' s' ' ( vz1r 1n + 0,5 (kg) + m2

    t(;.0,5+m2)= e(mz-0,S) x 10145

    -+0,5+m2=45mr-- Z

    90m2- 2m2=47 =t r.=#rSmz = 0,53 kg

    EJEMPLO 3.33.- Una esfera hueca unlforme(lnercla Lotaclonal respecto a un dlmetro =(?/3) MR') glra alrededor de un ele verflcal

    sln frlccln. Una cuerda llgera que est en-rollada en su ecuador, pasa sobre una po-lea vertlcal (lnercla rotaclonal

    = (1/2) mfl y

    sostlene un bloque de masa m en su otrextremo, como lndlca la flgura. Calcular laaceleracln del bloque,

    ET=la/t

    T1 R =: mr Rtl.JH

    T1 ==-rllsa (1)3

    Polea: Xf = laConsideramos los torques en la direccn delmovimiento positivos

    1 oAT*-f.r=-'-zr

    ,1T2-T1 =-a (2)

    2

    Bloque: XFac - XFrs = r1t?mg - T2 = r (3)

    217(1) + (2