problemas defísica general

ÓpticaD. V. SIVUJIN

Edición en español: © Editorial Reverté, S. A., 1984

ISBN: 978-84-291-4328-7 Obra completa

Revisi·n de la versión española por: Dr. Jos® Aguilar PerisCatedr§rico de Termolog²ade la Universidad Complutense de Madrid

Propiedad de: EDITORIAL REVERTÉ, S. A. Loreto, 13-15. Local B 08029 Barcelona. ESPAÑA Tel: (34) 93 419 33 36 reverte@reverte.com www.reverte.com

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# 921

Versión espa¶ola por: D. Manuel Gisbert

Edición en papel:

ISBN 978-84-291-4330 Tomo 2

Edición e-book (PDF):

ISBN 978-84-291-9247-6

Prólogo a la cuarta edición

En la presente edición, la Optica del libro de Física se edita como libro in­dependiente. Esta parte está elaborada y complementada considerablemente con problemas nuevos. Como en las dos ediciones anteriores, esta tarea la. han ejecutado V. L. Guinzburg y D. V. Sivujin. Además, en la cuarta edición ha tomado parte l. A. Yákovlev. Este ha escrito el § 5, que contiene 1 O pro­blemas de holografza, y unos 25 problemas de interferencia, difracción y po­larización de la luz y de Optica cristalina. Los profesores de las secciones de Física general, de Astrofzsica y de Astronomía del Instituto Físico-Técnico de Moscú (dirigida por V. L. Guinzburg) y los colaboradores de l. A . Yákov­lev han propuesto distintos problemas. Se ha elaborado de nuevo el § 7 de Optica cristalina. La Optica cristalina de los cristales monoaxiales se expone independientemente de la Optica cristalina de los cristales biaxiales. Con ello se logra una considerable simplificación, ya que la mayoría de los problemas se refieren precisamente a la Optica cristalina de los cristales monoaxiales. Los párrafos de la teorza de la relatividad y de la óptica molecular se han comple­mentado considerablemente.

Los autores expresan un profundo agradecimiento a todos los compañeros que han contribuido al mejoramiento de este libro y a la reposición del mis­mo con nuevos problemas.

Los autores expresan su profundo agradecimiento al profesor adjunto A . Spelktorov por e l trabajo difícil y minucioso de revisar y reseñar el manuscri­to de la IV parte del libro de problemas y al profesor adjunto D. l. Ibraímov por la organización de su discusión en la sección de Física general que él diri­ge en la Universidad Estatal de Kiruguizia.

D. V. Sivujin

V

.,..

Indice analítico

Prólogo a la cuarta edición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

l. Óptica geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 . Fotometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3 . Interferencia de la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 4 . Difracción de la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5 . Elementos de holografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 6 . Polarización de la luz . Fórmulas de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 7 . Óptica cristalina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 6 8 . Velocidad de la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 9 . Teoría de la relatividad y óptica de los cuerpos

en movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 1 0 . Presión de la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 11 . Óptica molecular y cuestiones adyacentes de

otras partes de la Física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 12 . Radiación térmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 22

Respuestas y soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 29

VII

Problemas

§ l. Optica geométrica

l. Al iluminar un disco opaco de radio r, en una pantalla alejada de aquél la distancia l, se obtiene una sombra de radio r1 y una penum bra de radio r2. La fuente de luz también tiene forma de disco y la recta que une los centros de los discos, es perpendicular a los mismos y al plano de la pantallla . Deter­minar las dimensiones de la fuente de luz y su distancia hasta el disco ilumi­nado .

2 . El di ámetro de la fotosfera del Sol es igual a 1 390 000 km y su distan­cia a la T ierra es de 150 000 000 km y varía de manera insignificante. La dis­tancia desde el centro de la Luna hasta la superfici e de la T ierra varía desde 357 000 hasta 399 000 km ¿Cuándo será total y cuándo anular el eclipse solar, si el diámetro de la Luna es de 3480 km?

3. Explíquese por qué la luz de una fuente , al pasar por un orificio repre­senta la imagen de esta fuente sobre una pantalla situada detrás del orificio , si éste es pequeño, y representa la imagen del orificio , si éste es grande.

4. Los rayos del Sol inciden sobre un espejo pequeño y cuadrado y, des­pués de reflejarse, inciden sobre una pantalla . ¿Qué forma tendrá la parte ilu­minada de la pantalla y cómo variará al variar la distancia entre el espejo y la pantalla?

5. Ante una red vertical cuadrada de alambres se ha situado una rendija horizontal larga y estrecha iluminada por una extensa y brill ante fuente de luz . Después de pasar por la rendija y por la red, la luz incide sobre una pan­H a alejada. D escríb ase el espectro que se obtiene en la pantalla . ¿Qué ocurrirá si se gira la rendija alrededor de la perpendicular al plano de la red un ángulo de 90 o de 45° ? Considérese la red representada en la fig. 1 , a, y la red repre­sentada en la fig . 1 , b.

2 Problemas

1

a) b) Fig. l.

6 . ¿Cómo v ariará la imagen proyectada en la pantalla si en el problema an­terior se permutan de lugar la' rendija y la red?

7. Dos espejos están inclinados entre sí y forman un ángulo diedro a. So­bre ellos incide un rayo que está en un plano perpendicular a la arista del án­gulo . Demostrar que el ángulo 8 de desviación de este rayo respecto de la di­rección inicial , después de reflejarse en amb os espejos, no depende del ángulo de incidencia. Calcúlese 8 .

8. Escríb anse en forma v ectorial las leyes de reflexión y de refracción de los rayos luminosos en la superficie divisoria plana ( dioptrio plan o) de dos me­dios isótropos transparentes . La luz incide desde el medio 1 , de índice de re­fracción n1, sobre el medio 2, de índice de refracción n2• Los sentidos de los rayos incidente, reflejado y refractad o v ienen caracterizados por los vectores unitarios r0, r1 y r2• El vector unitario N de la normal a la divisoria va dirigi­d o desde el medio 2 al medio l.

9. Demostrar que el rayo de luz que se refleja sucesivamente en tres espe­jos perpendiculares entre sí, cambia su s enti do por el opuesto.

10. Una pirámide de base triangular se ha obtenido al cortar un vértice de un cubo de vidrio de caras plateadas . Por la base de esta pirámide se intro­duce un rayo de luz que se refleja sucesivamente en las otras tres caras per­pendiculares entre sí. Demostrar que el rayo que sale de la pirámide es de di­rección opuesta al de entrada .

11. Hallar todas las imágenes de un objeto que se halle entre dos espejos inclinados entre sí formando un ángulo de 60° . Constrúyase la marcha de los rayos que expresan la imagen del objeto después de dos reflexiones sucesivas en los dos espejos .

12. Determinar el número de im ágenes de un objeto situado entre dos espe­jos planos que f orman entre sí un ángulo '{) , suponiendo que el nú mero m = = 2rr/I{J , es entero.

· 13. Un rayo de luz entra. en un prisma refractivo por la cara AD y se refl eja

Problemas 3

IJ

e Fig. 2 .

sucesivamente e n las caras B C y BD, y luego, sale por la cara AC, como se in­dica en la fig . 2 . El rayo está en un plano perpendicular a las aristas del pris­ma. Los ángulos B y A del prisma son respectivamente a y 2a , y los ángulos C y D son iguales entre sí. Demostrar que el ángulo o de desviación del rayo emergente respecto de la dirección inicial , no depende del ángulo de inciden­cia . Calcúlese el ángulo o . ¿Dará el prisma, en la marcha indicada de los ra­yos , una descomposición espectral?

14. Explíquese por qué , en una noche de luna, sobre la superficie del mar se ve un reflejo esteliforme de la Luna y no la imagen del disco lunar .

15. Hallar la magnitud de la imagen del Sol que se obtiene en un reflector de 1 6 m de radio de curvatura. El diámetro del Sol es de 1 ,4 ·106 km, y la dis­tancia desde la T ierra al Sol , de 1 50 ·106 km.

16. El radio de curvatura de un espejo cóncavo es de 40 cm. Hallar la posi­ción de un objeto en la que su imagen sea real y dos veces mayor. Hallar la posición en que la imagen sea virtual y dos veces mayor .

17. Para medir la distancia focal de un espejo, a 1 0 cm del mismo se ha si­tuado una vela encendida. Una imagen clara de la vela se ha obtenido en una pantalla situada a la distancia de 30 cm del espejo . Hallar la distancia focal, f, del espejo .

18. Demostrar geométrica y analíticamente que si e l espejo esférico MM (fig . 3 ) , plat eado por el lado 1. refleja al objeto P en P', si está plateado por el lado 2 reflejará al objeto P' en P.

19. Hallar la forma de una superficie especular que refleje los rayos parale­los de manera que parezca que emergen de un punto de detrás del espejo .

20. Un recipiente con mercurio gira uniformemente alrededor del eje ver­tical a la velocidad angular w = 1 s - 1 • La superficie del mercurio toma una forma cóncava y se utiliza como espejo . Determinar la distancia focal de este espejo .

4 Problemas

o Fig. 3 .

21. Demostrar geométricamente q ue si el rayo de luz q ue parte del punto A incide en el punto B después de reflejarse en un espejo plano, la longitud de este rayo será menor que la longitud de cualquier otro camino que v aya desde A al espejo y después hasta B.

22. Demostrar q ue 1a imagen de un punto P en un espejo esférico, puede construirse de la manera siguiente: D e cualquier punto A se trazan las rectas

AO yAC que unen este punto con el v értice O y con el centro C de curv atu­ra (fig. 4). Del punto P se traz a la recta PD , que corta a las rectas AO yAC en los puntos D y B . Se trazan las diagonales del cuadriláte ro OCDB y la rec­ta AP ' que une el punto A con el punto de intersección de las diagonales BO y C D , corta al eje óptico en el punto P', que es la imagen del punto P.

p

Fig . 4

23. Demostrar qu e si el rayo de luz que parte del punto A incide en el pun­to B después de refractarse en la superficie divi soria plana de dos medios ( diop­trio plano) , el camino óptico de este rayo es menor que el camino óptico de cualquier otro trayecto que una A y B.

Problemas 5

24. Dedúzcase la fórmula del espejo esférico y la fórmula de la lente delga­da partiendo del principo del tautocronismo 1 •

25. Al incidir sobre la superficie plana divisoria de dos medios, el rayo par­cialmente se refleja y se refracta ¿A qué ángulo de incidencia <P el rayo refle­jado es perpendicular al refractado?

26 . Demostrar que si un rayo de luz atraviesa varios medios separados por superficies divisorias planas y paralelas , la dirección del rayo emergente de­pende solamente de la dirección del rayo incidente y de los índices de refrac­ción de los medios primero y último .

27. Determinar la desviación lateral que experimenta un rayo de luz, que atraviesa unas placas de vidrio paralelas y planas con un espesor total de 10 cm, que incide con un ángulo de 70° . E l índice de refracción del vidrio es n = 1 ,5 .

28. Un hombre, de pie a orillas de un estanque , ve una piedra que se halla en el fondo del mismo . La profundidad del estanque es h= 1 m. ¿A que dis­tanciah' de la superficie del agua se obtendrá la imagen de la piedra, si el rayo visual forma con la normal a la superficie del agua un ángulo <P= 60° ? El ín­dice de refracción del agua es n= 1 ,33.

29. Bajo una lámina de vidrio de espesor d = 1 5 cm hay una pequeña partí­cula . ¿A qué distancia 1 de la superficie superior de la lámina se formará su imagen visible , si el rayo visual es perpendicular a la superficie de la lámina y el índice de refracción del vidrio es n = 1 ,5?

30. Un lámina plana de vidrio de 3 mm de espesor se examina en un mi­croscopio . Primeramente , el microscopio se ajusta para observar la superficie superior de la lámina, luego se desplaza el tubo del microscopio hacia abajo hasta que se vea claramente la superficie inferior de la lámina (para comodi­dad de la observ ación, en las superficies de la lámina se han trazado unas se­ñales) . El desplazamiento del tubo resultó ser de 2 mm. Hallar el índice de re­fracción, n, de la lámina.

31. Un objeto se ha situado a la distancia 1 1 = 15 cm de una lámina de v i­drio plana y paralela . El observador lo examina a través de la lámina y el rayo visual es perpendicular a ésta . Hallar la distancia 12 de la imagen del objeto a la superficie de la lámina. Espesor ; d = 4,5 cm. Índice de refracción del vi­drio n = 1 ,5 .

32. ¿Cómo se desplazará el foco de una cámara fotográfica, s i en su inte­rior, en el trayecto de los rayos (perpendicularmente al eje óptico ) se coloca

1 >En este libro se ha adoptado la siguiente regla de los signos : Todas las distancias consi­deradas desde el espejo , o de la lente (o de otros puntos tomados como origen de lecturas) , en e l sentido de propagación de l a luz , s e consideran positivas , y en contra de l a propaga­ción de la luz , negativas . Si la luz incidente se propaga de izquierda a derecha, la regla de los signos coincidirá con la regla de los signos adoptada en la geometría analítica . Los ra­dios de curvatura de las superficies esféricas se miden desde la superficie esférica hacia el centro de curvatura . Las distancias focales , por el contrario , se miden en la dirección des­de los focos hacia la lente o espejo (y en el caso de lentes gruesas, o de sistemas de lentes, en la dirección desde los focos hacia los correspondientes planos principales ) .

6 Problemas

figura 5

una lámina plana y paralela de vidrio de espesor d = 6 mm con un índice de refracción n= 1 ,5? (El objetivo está altamente diafragmado) .

33. Un objeto está instalado en el eje de un espejo cóncavo más allá de su foco. Entre el foco y el espejo hay una lámina plana y paralela de vidrio , de espesor d e índice de refracción n, de manera que el eje del espejo es perpen­dicular a la lámina . Demostrar que la introducción de la lámina desplaza a la imagen de la misma forma que el desplazamiento del espejo en una magnitud d (n-1 )/n en el sentido hacia el objeto .

34. Demostrar que para un prisma de ángulo A, el ángulo de desviación o está relacionado con los ángulos de incidencia r.p y 1/1 ' y con los ángulos de refracción ¡J¡ y r.p' (fig. 5 ) mediante la fórmula

sen {(A +6)/2} n cos {('!J-'P')/2} sen (A/2) cos {(<p-<p')/2}

35. Demostrar que la desviación mínima o de un haz paralelo en un prisma tiene lugar cuando la marcha de los rayos por el prisma es simétrica. Relacio­nar el ángulo de desviación mínima o con el índice de refracción n de la sus­tancia del prisma y con el ángulo A del prisma.

36. ¿Cuál es el ángulo o de desviación mínima de la raya D del sodio en un prisma de 60° ? Para la raya D , el índice de refracción del vidrio del prisma es n = 1 ,62 .

37. Un rayo de luz , después de pasar por un prisma, incide sobre un espejo plano y se refleja . Demostrar que si el trayecto del rayo a través del prisma es simétrico, el ángulo de desviación del rayo reflejado con respecto a la direc­ción inicial no depende del índice de refracción del prisma .

38. Un vaso cilíndrico que contiene un líquido se coloca sobre una mone­da que se ve a través de la pared lateral del vaso . Indíquese cuál será el valor mínimo posible del índice de refracción n del líquido, para que la moneda no se vea.

39. ¿Qué ángulo a ha de tener el recipiente de sección trapezoidal ABC D (fig . 6 ) con agua para que a través de su pared lateral no se vea el objeto colo-

Problemas 7

fig. 6

cado debajo del recip iente? El índice de refracción del agu a es n= 1 ,33 . El fondo del recipiente es de forma rectangular .

40. Un rayo de luz que se halla en el plano perpendicular a la arista (de re­fracción) de un prisma , se refracta en éste . Demostrar que si el índice de re­fracción relativo, n, del prisma es mayor que la unidad y el ángulo de inciden­cia permanece constante , la desviación del rayo aumentará al crecer el ángulo del pri sma. Demostrar también que, en las mismas condiciones, el ángulo má­xi mo del prisma para que el rayo emerja del mismo es

senq¡ 1 A= arcsen -- + arcsen- . n n

41. Calcular el ángulo de desviación mínima o de un prisma con un ángulo A muy pequeñ o teniendo en cuenta los términos inferiores a segundo grado

(con respecto a A ) . 42. Escríb ase la ecuació n de la dispersión angular de un prisma en la región

de la desviación mínima . Hállese el ángulo a que se dispersan (separan) dos ra­yos al salir del prisma , si al incidir en éste eran paralelos . El índice de refra c-

Intervalo ¡ A., en A n

7685 1,5391

5893 1,5442 2

4861 1,5497 3

4100 1,5565 4

30.14 1,5770 5

2537 1,5963 6

1988 1,6509

8 Problemas

ción del prisma para el primer rayo, que experimenta la menor desviación, es igual a 1 ,500 y para otro, 1 ,501 . El ángulo del prisma es de 60° .

43. Utilizando los datos tabulados en la página anterior sobre la disper­sión del cuarzo, determinar la dispersión angular (en ángulos c/A) de un pris­ma de cuarzo de 60° en distintas partes del espectro.

44 . Calcular la dispersión lineal que se obtiene (en mm/ A), si en el espec­trógrafo con prisma descrito en el problema anterior, se utiliza una cámara con un objetivo de distancia focal f= 50 cm (para los intervalos indicados en el problema anterior).

45. En un recipiente largo de paredes planas y paralelas, lleno de líquido, se ha sumergido un prisma de vidrio de manera que su base repose sobre el fondo, como se indica en la fig. 7 . Las curvas de dependencia del índice de re­fracción del líquido y del vidrio respecto de la longitud de onda, se represen­tan en la fig. 8. Indíquese qué le pasará a un rayo de luz blanca que entre en el recipiente e incida sobre el prisma paralelamente a su base: ¿se descompon­drá espectralmente y que ocurrirá con los rayos amarillo, azul y rojo?

fig. 7

46. Los caminos ópticos de los rayos desde una posición del frente de mi­das a otra son los mismos. Teniendo en cuenta además que los rayos son per­pendiculares a los frentes de ondas, demostrar que el aumento angular de un

/1

--..¿Vidrio -- --

uq�o

Azul Amarilla Roja Partes del espectro

fig. 8

Problemas 9

anteojo "situado en el infinito" es igual a la relación entre las anchuras de los haces de luz antes y después de pasar por el anteojo.

47. Si se miran los objetos alejados a través de un prisma, parecerán, ha­blando en general, deformados. Una de las deformaciones consiste en que la imagen está alargada o aplastada en la dirección perpendicular a la arista del prisma. ¿Cómo habría que mantener el prisma para que exista esta deforma­ción?

48. ¿Cómo se podría construir un "anteojo", con dos prismas de vidrio, para mirar objetos alejados y con imágenes semejantes a cualquier aumento?

49. Utilizando el resultado del problema 44 demostrar que el aumento del anteojo es igual a la relación entre la distancia focal del objetivo y la distan­cia focal del ocular.

50. Una esfera de vidrio delgado está llena de agua (n= 4/3). Un observa­dor mira a lo largo de un diámetro de la esfera una partícula que se desplaza a lo largo de este mismo diámetro. ¿Cómo variará la posición de la imagen de la partícula, si ésta se desplaza desde el extremo alejado, con respecto al ob­servador, del diámetro hacia el extremo cercano al mismo? El diámetro de la esfera es D = 1 O cm.

51 . Si nos ponemos unas lentes cuyos vidrios tengan la forma de meniscos de superficies posteriores cóncavas, frecuentemente, junto con las imágenes directas de brillantes objetos alejados, pueden verse estas mismas imágenes muy reducidas. Explíquese este fenómeno.

52. ¿Puede servir de anteojo para examinar objetos alejados una lente bi-convexa con un índice de refracción n > 1? ¿Qué imágenes dará: directas o inversas? ¿Cuál deberá ser el espesor d de la lente, si los radios de curvatura de las superficies esféricas anterior y posterior son respectivamente R 1 y R2 ? ¿Cuál será el aumento angular N?

53 . ¿Cómo deberá ser una lente gruesa de vidrio de índice de refracción n > 1 para servir de anteojo que dé imágenes directas aumentadas de los obje­tos alejados con un aumento angular N? ¿A qué será igual el espesor d de es­ta lente, si los radios de curvatura de las superficies esféricas anterior y poste­rior de la misma son respectivamente R 1 y R2? ¿Cómo estará relacionado el aumento angular N con los radios de curvatura R 1 y R 2 ?

54 . El vidrio mate de una cámara fotográfica se ha dispuesto de forma que resulte nítida la imagen de un objeto que se halla a la distancia de 5 m. ¿Has­ta qué diámetro D habrá que diafragmar el objetivo, de distancia focal igual a 20 cm, para que no se note falta de nitidez en la imagen de los objetos que se hallen a 0,5 m más cerca del que se fotografía (considérese que la falta de ni­tidez no se aprecia, si el difuminado de los objetos es inferior o igual a 0,1mm)?

55. Hallar la distancia focal f de una lente fina biconvexa limitada por su­perficies esféricas de radios R1 = 25 mm y R2 = 40 mm; el índice de refrac­ción de la lente es n= 1,5.

56 . Una lente de distancia focal f= 10 cm es de cristal con un índice de re­fracción n = 1,5. Hallar la distancia focal f' de la lente sumergida en agua (n '= 4/3).

10 Problemas

57. Una lente de índice de refracción n= 1 ,53 se ha sumergido en bisulfu­ro de carbono (n' = 1 ,63) . ¿ Cómo variará la distancia focal de la lente en comparación con la distancia focal de la misma en el aire?

58. Con una lente convergente de vidrio de índice de refracción n= 3/2 se ha obtenido una imagen real del objeto a la distancia de 10 cm de la lente. Después de sumergir en el agua al objeto y a la lente, sin variar la distancia en­tre ambos, la imagen se obtiene a la distancia de 60 cm de la lente. Hallar la distancia focal, f, de la lente, si el índice de refracción del agua es n'= 4/3.

59. La distancia focal del objetivo de un anteojo es {1 = 60 cm, la del ocu­lar, {2 = 4 cm. El índice de refracción del vidrio del objetivo y del ocular es n = 3/2 . El anteojo se sumerge en el agua, que llena su parte interior. ¿Con qué objetivo de la misma clase de vidrio habrá que sustituir el objetivo del tu­bo para que se puedan examinar con el mismo objetos alejados en el agua? En este caso, ¿cuál será el aumento del anteojo, si el índice de refracción del agua es n '= 4/3?

60. Un telescopio de Galileo de aumento igual a 9 tiene una longitud de 40 cm. Después de sustituir el objetivo y el ocular del telescopio por lentes convergentes, el telescopio dió el mismo aumento. Determinar las distancias focales {¡ y f2 de estas lentes, y las distancias focales {1 y {2 del objetivo y ocular del telescopio de Galileo.

1=+ 10 f'=-ttl f=+9 fig. 9

61. Un anteojo con un objetivo de distancia focal f= 50 cm se ha enfoca­do al infinito. ¿A qué distancia [).l habrá que desplazar el ocular para ver níti­damente los objetos a una distancia de 50 m?

62. ¿Cuál deberá ser la estructura del ojo animal para poder ver bien de la mima manera los objetos alejados en el aire y en el agua sin variar la acomo­dación?

63. La imagen de un objeto que se halla a la distancia de 1 0 cm de una len­te delgada es directa y de tamaño doble. Determinar la distancia focal, f, de la lente.

Problemas 1 1

64. Sobre el sistema de lentes representado en la fig . 9 , incide , desde la iz­quierda, un haz paralelo de luz . Hallar la posición del punto de convergencia de este haz después de pasar por el sistema.

65. Hallar la imagen del punto que se halla a la distancia de 10 cm a la iz­quierda, de la lente extrema izquierda del sistema representado en la fig . 1 0 .

f=-5 f=+5 f=-5 f=+5

-t-·-+-t-·--·4-�of-cm +k- 5cm ... l.: !Ocm� fig . 1 0

66. Un microscopio tiene un objetivo de distancia focal {1 = 1 cm y un ocular de distancia focal {2 = 3 cm; la distancia entre ellos es d = 20 cm. ¿A qué distancia l1 debe hallarse el objetivo para que la imagen definitiva se ob­tenga a la distancia 12 = 25 cm del ojo (distancia mínima de visión distinta)? ¿Qué aumento lineal a se obtiene en este caso?

67. Demostrar que si una lente se halla ante el ojo y se desplaza hacia un la­do, al observador le parece que el objeto que se mira a través de la lente, se desplaza hacia el mismo lado de la lente , si la lente es divergente , y hacia el la­do opuesto , si la lente es convergente .

Observación. En este caso , la lente convergente se utiliza como lupa: si el ob­jeto se situa entre el foco y la lente, se obtiene una imagen directa . Si se aleja del ojo suficientemente la lente convergente , y se miran por ella objetos ale­jados , se obtiene una imagen invertida de los mismos . En este caso , al despla­zar la lente hacia un lado, la imagen se desplaza hacia el mismo lado .

68. Demostrar que la distancia mínima entre los dos puntos ópticamente conjugados respecto de una lente convergente es igual a 4 {, donde f es la dis­tancia focal de la lente .

69. Una lente convergente da la imagen de un objeto sobre una pantalla . La altura de la imagen es a . Dejando inmóviles la pantalla y e l objeto, se em­pieza a desplazar la lente hacia la pantalla y se halla que en la segunda imagen nítida del objeto , la altura de la imagen es b . Hallar la altura real h del objeto .

70. La distancia desde una lámpara hasta una pantalla es L= 50 cm. Una lente , situada entre ellas , da una imagen nítida de la lámpara sobre la pantalla en dos posiciones, cuya distancia entre ellas es l = 1 0 cm. Hallar la distancia focal , f , de la lente .

71. La distancia focal , { , de una lente se iguala a la distancia desde la mis­ma hasta la imagen de una lámpara muy alejada . ¿Cuál deberá ser la distancia

12 Problemas

l de la lámpara hasta la lente para que el error en la determinación de la dis­tancia focal no sea superior a p %?

72. El espejo cóncavo de un galvanómetro tiene una distancia focal de 1m. Para observar las desviaciones es preferible utilizar un anteojo (lectura subje­tiva), para lo cual hay que situar inmediatamente delante del espejo y junto al mismo una lente que haga a todo el sistema equivalente a un espejo plano. Hallar la distancia focal de la lente.

73. Al observar las desviaciones de un galvanómetro especular, se utiliza el sistema representado en la fig. 11 (el denominado lectura subjetiva). Ante el espejo plano M del galvanómetro se coloca una lente L. La luz de una lámpa­ra S, después de pasar por la lente L, reflejarse en el espejo M y pasar por se­gunda vez por la lente L, da una imagen real en la escala N. Con qué distancia focal, f, habrá que tornar la lente L para que la lámpara S y la escala N situa­das cerca una de la otra, se hallen a la distancia 1,5 m del galvanómetro. La lente se considera muy próxima al espejo M.

fig. 11.

74. En un espejo cóncavo que reposa horizontalmente, se ha vertido un poco de agua. El espejo da una imagen real del objeto sobre una pantalla a la distancia de 54 cm del espejo. Al acercar la pantalla al espejo, la imagen apa­rece de nuevo a la distancia de 36 cm del espejo. Determinar el radio de cur­vatura R del espejo y la distancia l del objeto hasta el espejo, si el índice de refracción del agua es n = 4/3.

75. Con una cámara fotográfica cuyo objetivo tiene una distancia focal de 12 cm con una extensión de 20 cm, hay que fotografiar un objeto que S!=! ha­lla a 15 cm del objetivo. ¿Qué lente habrá que añadir al objetivo para que la imagen salga nítida siendo la extensión de la cámara la máxima posible?

76. Si el punto P' es la imagen óptica del punto P, los caminos ópticos de todos los rayos que unen estos puntos, como se sabe, son iguales. Suponga­mos que la imagen P' se obtiene por reflexión en un espejo plano. Entonces, como demuestra la fig. 12, la longitud de la quebrada PBP' es mayor que la correspondiente a la quebrada PAP'. ¿Cómo concordar estas dos afirmacio­nes?

77 . Hallar la ecuación de la superficie anaberrante de revolución que sepa­ra dos medios homogéneos de índices de refracción n y n ', para un par de

Problemas 13

Fig. 12.

puntos conjugados P y P' que se hallan en el eje de giro, de los cuales el pun­to P se halla en el infinito 1 • Consideremos los casos: 1) n '2 > n 2 ; 2) n '2 < n 2 ; 3)n'2=n 2•

78. Partiendo directamente de la ley de refracción de Snell y utilizando las propiedades geométricas de la elipse y de la parábola, demostrar que: 1) un haz de rayos de luz que incide sobre un elipsoide de revolución paralelamen­te a su eje, converge en el foco posterior del elipsoide, si el índice de refrac­ción de éste con respecto al medio ambiente es n = 1/e, donde e es la excen­tricidad del elipsoide; 2) un haz de rayos luminosos que incide sobre una de las cavidades de un hiperboloide de revolución de dos hojas paralelamente a su eje, después de refractarse se transforma en un haz de rayos divergentes cuyas prolongaciones se cortan exactamente en el foco anterior del hiperbo­loide, si el índice de refracción del hiperboloide con respecto al medio am­biente es n = 1/e, donde e es la excentricidad del hiperboloide. (Cf. con el problema anterior).

Fig. 13.

1 )Los puntos P y P' se denominan anaberrantes si todos Jos rayos que salen de P, después de reflejarse o refractarse en una superficie S, convergen en P'. Para este par de puntos, la superficie S se denomina anaberrante. Generalmente para estos conceptos se utiliza el tér­mino "aplanético". Nosotros no lo consideramos así y denominamos aplanéticos sólo a los puntos anaberrantes que satisfacen la condición de los senos (véase el problema 159).

14 Problemas

79. Demostrar que una lente limitada por el elipsoide de revolución BLAL de focos F 1 y F 2 ( fig. 13) y por una esfera de centro en F 1 , hace converger un haz paralelo incidente en el foco F 1 , si el índice de refracción es n = AB! /F 1 F 2• Los rayos inciden paralelamente al eje del elipsoide.

Indicación. Véase el problema anterior o el 7 7 . 80. Demostrar que una lente limitada por el plano AB y por el hiperboloi­

de de revolución CDE (fig. 14), dispersa los rayos que inciden sobre la misma paralalelamente al eje del hiperboloide, de manera que, al salir de la lente, sus prolongaciones se cortan en el foco anterior del hiperboloide, si el índice de refracción de la lente es igual a la excentricidad del hiperboloide.

Indicación. Véase el problema 77 o el 78 .

B Fig.14.

81. Una superficie de revolución que separa dos medios homogéneos de índices de refracción n y n ' y que posee la propiedad de que los rayos de luz que parten de un punto determinado P que yace en el eje de rotación, con­vergen en otro punto P' que también yace en el eje de rotación, se denomina óvalo de Descartes. Hallar la ecuación de la sección de esta superficie cortada por un plano que pasa por el eje de rotación PP'. Averigüese en qué casos es­ta curva se transforma en una curva de segundo grado.

S

Fig.15.

Problemas 15

82. Weierstrass propuso el siguiente método geométrico de construcción de un rayo refractado sobre la superficie de una esfera. Sea la esfera KL de radio R (fig . 1 5) y de índice de refracción n' en un medio homogéneo de ín­dice de refracción n . T racemos dos esferas concéntricas de radios OP = R n/n' y OQ = R n 'In. Prolonguemos el rayo incidente SK hasta su intersección con la segunda esfera en el punto Q. Unamos Q con el centro de la esfera O me­diante una recta . Esta cortará a la primera esfera en el punto P. Entonces, la recta KP será el rayo refractado . Demuéstrese esta construcción. Demuéstre­se también que los puntos P y Q forman un par de puntos aplanéticos . (Cf. con el problema anterior) .

83. Aprovechando el hecho d e que para una superficie esférica hay un par de puntos aplanéticos , constrúyase una lente aplanética e indíquense los pun­tos aplanéticos para la misma .

84. Se recubre con plata una de las superficies de una lente delgada bicon­vexa. Hallar la distancia focal,{, del espejo obtenido de esta manera. El radio de curvatura de la superficie limpia es R 1 , y el de la superficie plateada, R 2 •

85. Dos lentes delgadas planoconvexas iguales de índice de refracción n se han plateado : una por el lado plano, y la otra, por el convexo . Hallar la rela­ción entre las distancias focales {1 y {2 de los espejos compuestos obtenidos, si la luz, en los dos casos , incide por el lado no plateado .

86. La imagen de un objeto luminoso que se obtiene al reflejarse en una lente convergente delgada, puede hacerse coincidir con el propio objeto en dos posiciones de este último: cuando la distancia desde el objeto hasta la lente es igual a 20,0 cm, y cuando es igual a 7 ,91 cm (las dos posiciones a un mismo lado de la lente) . La distancia focal de la lente es de 37 ,7 cm. Deter­minar el tipo de lente . Hallar los radios de curvatura R 1 y R 2 de sus superfi­cies y el índice de refracción del vidrio .

87. Una superficie esférica de radio R separa un medio de índice de refrac­ción n (espacio objeto) de un medio de índice de refracción n' (espacio ima­gen) . Limitándonos a los rayos paraxiales, hallar, en la aproximación de la óptica paraxial , la relación entre las coordenadas x, y, z del punto objeto, y las coordenadas x ', y', z ', del punto imagen. El eje X es el eje óptico principal, y el origen de coordenadas, el punto de intersección de éste con la superficie divisoria .

Observación. Con respecto a la regla de los signos, véase la nota de la página 5 .

88. Utilizando los resultados del problema anterior, demostrar que para un sistema óptico centrado, en la aproximación de la óptica paraxial , las coorde­nadas x, y, z, del punto objeto están relacionadas con las coordenadas x', y', z', del punto imagen mediante las fórmulas de correspondencia colineal :

, Ax + 8 , Cy , Cz X = ax+b ' Y = ax+b' Z = ax +b'

donde A, B , C, a, b son constantes para el sistema óptico considerado , que dependen de la elección del origen de coordenadas . En el espacio objeto , co-

16 Problemas

mo origen de coordenadas se toma cualquier punto que se halle en el eje óp­tico del sistema , y como origen de coordenadas en el espacio imagen, otro punto arbitrario (o el mismo ) en el mismo eje .

89. Expresar las coordenadas de los puntos focales, principales y nodales de un sistema óptico centrado y sus distancias focales mediante las constan­tes A , B , C, a, b. (Véase el problema anterior ) .

90. ¿Qué aspecto adquirirán las fórmulas de correspondencia colineal (véa­se el problema 88), si como origenes de coordenadas se toman : 1 ) los puntos principales (las coordenadas con respecto a este sistema las designaremos me­diante las letras griegas �, r¡, �); 2) los puntos focales (las coordenadas cun res­pecto a este sistema las designaremos mediante las letras latinas X, Y, Z)?

91. Hallar la posición de los planos principales y las distancias focales de un sistema centrado que conste de una superficie esférica refringente (véase el problema 87) .

92. Demostrar que en cualquier sistema centrado, las distancias focales f y f' se relacionan mediante la ecuación

f'lf=-n'¡n,

donde n es el índice de refracción del espacio objeto , y n ', el del espacio ima­gen.

Indicación. Utilícese la fórmula r¡ 'fr¡ ==.-te /f'� , (fórmula de Lagrange­Hemholtz ) y la definición de los planos principales.

93. Demostrar que en un sistema óptico centrado, el aumento longitudinal es igual al cuadrado del transversal , si los índices de refracción del espacio objeto y del espacio imagen son iguales .

Indicación . Utilícese la fórmula de Newton XX'== ff'. 94. Dos sistemas ópticos centrados se han unido en un sistema centrado .

Las distancias focales del primer sistema son {1 y f'¡, y las del segundo , {2 y {'2 • La distancia F � F 2 , del foco anterior F 2 del segundo sistema respecto del foco posterior F� del primer sistema, es o (se denomina intervalo óptico de dos sistemas y se considera positivo si F� F 2 coincide en dirección y sentido con los de la luz incidente, y negativo , en el caso contrario) . Hallar la posi­ción de los puntos focales y principales del sistema compuesto y sus distan­cias focales .

95. Dos lentes delgadas de distancias focales f1 y {2 se hallan a la distan­cia l una de otra formando un sistema centrado. Hallar la distancia focal, f , de este sistema y las posiciones de sus planos principales .

96. El sistema de dos lentes delgadas descrito en el problema anterior hay que sustiluirlo por una lente delgada "equivalente" que , en cualquier posi­ción del objeto de, en magnitud, la misma imagen del objeto que el sistema descrito de dos lentes . Hallar la distancia focal y la posición de la lente "equi­valente".

97. Hallar la distancia focal, f, de un sistema centrado que consta de dos

Problemas 17

lentes delgadas de distancias focales t1 y t2 que están alejadas una de otra a la distancia l , si el espacio entre las lentes está lleno de agua.

98. Utilizando los resultados de los problemas 91 y 94, hallar la posición de los planos principales y las distancias focales de un sistema centrado que conste de dos superficies esféricas de radios de curvatura R1 y R2 que sepa­ran medios homo géneos de índices de refracción n1, n2 y n3•

99. Hallar la posición de los planos principales de una lente gruesa en for­ma de esfera de radio R. Determinar las distancias focales t y f' y las posicio­nes de los puntos focales de esta lente si está hecha : 1 ) de agua (na = 4/3 ) ; 2 ) d e vidrio (nv = 3/2 ) . ¿Con qué índice d e refracción los puntos focales no salen al exterior?

100. El radio de una esfera de vidrio (n = 1 ,5 ) es R = 4 cm. 1 ) Hallar la distancia x' desde el centro de la esfera hasta la imagen del objeto situado a 6 cm de la superficie de la esfera . 2 ) Hallar el aumento de la imagen.

101. ¿En qué casos la distancia focal de una lente gruesa no depende de su espesor y coincide exactamente con la distancia focal de una lente delgada de superficie de igual curvatura? ¿Dependerá , en este caso, la posición del foco respecto de la lente , de su espesor?

102. ¿En qué caso una lente biconvexa de vidrio , de índice de refracción n = 1 ,5 , y que se halle en el aire , será divergente?

103. ¿En qué caso una lente biconvexa , de sustancia con un índice de re­fracción superior al del medio ambiente, actuará como una lámina planopa­ralela?

104. Dos lentes planoconvexas se hallan a una pequeña distancia entre sí y enfrentadas por los lados planos . Demostrar que, en este caso, la distancia fo­cal es mayor que en el caso de hallarse en contacto las lentes .

105. A un lado de una lente biconvexa delgada de vidrio (n = 1 ,52) hay agua (n' = 1 ,33 ) , y en el otro, aire . Los radios de curvatura de las dos superficies son de 20 cm. Hallar la posición de los planos principales y focales y los pun­tos nodales del sistema .

106. El radio de curvatura R de la superficie esférica de una lente plano­convexa de vidrio (n = 1 ,52) es de 26 cm; el espesor de la lente es 3 ,04 cm. Calcular la distanci& focal , t, de la lente y hallar la posición de la imagen de un objeto que se halla a 7 5 cm de distancia respecto de la superficie más pró­xima de la lente y situado del lado : 1 ) de la superficie convexa ; 2 ) de la su­perficie plana.

107. Hallar la distancia focal , t. y la posición de los planos principales de una lente biconvexa gruesa, para la cual n = 1 ,5 , R1 = 1 0 cm, R2 = 4 cm, y d = 2 cm.

108. Determinar la posición de los planos principales , de los puntos foca­les y de la distancia focal del sistema de dos lentes delgadas representado en la fig . 1 6 .

109. ¿Siempre s e ven bajo los mismos ángulos e l objeto y su imagen desde el centro óptico de una lente gruesa?

18

!Ocm----i

Fig. 16 .

Problemas

Observación. Se denomina centro óptico de una lente gruesa a la imagen del punto principal anterior (posterior) al refractarse en la superficie anterior (posterior) de la lente .

110. ¿Cómo será una lente cóncavo-convexa cuyas dos superficies tengan el mismo radio de curvatura : convergente o divergente? Determinar la posi­ción de los planos principales y la distancia focal de la lente, si su espesor es d, el radio de curvatura de cada una de las superficies es R, y el índice de re­fracción, n > l.

111. Las superficies refringentes de una lente son superficies esféricas con­céntricas. El radio mayor de curvatura es R, el espesor de la lente d, y el ín­dice de refracción, n > l. ¿Cómo será esta lente : convergente o divergente? Determinar la posición de los planos principales y la distancia focal de la lente .

112. ¿En qué posición de un objeto tridimensional infinitamente pequeño, su imagen en un sistema óptico centrado, será semejante al propio objeto?

Indicación. Para que la imagen de un pequeño objeto voluminoso sea se­mejante al propio objeto, es necesario y suficiente que el aumento lateral , en valores absolutos , sea igual al aumento axial (o aumento de profundidad) . Partiendo de la ecuación del sistema centrado en la forma de Newton XX' = = ff', determinar el aumento axial . Comparándolo con el aumento lateral , no es difícil hallar la solución del problema.

113. B. B. Golitsin propuso el siguiente procedimiento para determinar los índices de refracción de los líquidos . El líquido a investigar se vierte en un tubo cilíndrico de vidrio en cuya superficie exterior se trazan dos rayas para­lelas al eje del tubo, y del lado opuesto del tubo se mide la distancia aparente entre los trazos (rayas) y 1 • Sean y la distancia real entre los trazos; R 1 el ra­dio exterior del tubo, y R2 el interior; n1, n2 y n , los índices de refracción del aire , del vidrio y del líquido a investigar,respectivamente . Demostrar que el índice de refracción del l íquido puede calcularse mediante la fórmula

114. Para determinar el aumento de un anteojo.cuyo_ ocular es una lente convergente, Ramsden propuso el método siguiente: El anteojo enfocado al infinito, se fija en un banco óptico . Después de extraer el objetivo , en su

Problemas 19

lugar se coloca un diafragma de forma, por ejemplo , de rombo . El ocular da­rá la imagen real de este diafragma, que se puede obtener en una pantalla . Sea L la longitud de la diagonal del rombo-diafragma, y l, la de su imagen. Demostrar que el aumento del anteojo es i_gual aL /l.

115. El método de Ramsden (véase el problema anterior) no se puede apli­car directamente para determinar el aumento del anteojo de Galileo, ya que su ocular es una lente divergente . Para determinar el aumento del anteojo de Galileo puede hacerse lo siguiente : Después de enfocar el anteojo de Galileo al infinito, se fija en el banco óptico . Detrás del anteojo de Galileo se coloca otro anteojo de aumento conocido, enfocado también al infinito y con el ocular dirigido hacia el lado del anteojo de Galileo . Por detrás del segundo anteojo se sitúa una pantalla . Luego, el objetivo del anteojo de galileo se des­enrosca y se sustituye por un diafragma. Desplazando la pantalla se obtiene en ésta la imagen real del diafragma. Demostrar que el aumento del anteojo de Galileo es

donde D1 es la dimensión del diafragma ; D2, la dimensión de su imagen, y N2 el aumento del segundo anteojo .

116. Para determinar la distancia focal de una lente convergente, Bessel propuso el método siguiente : A ambos lados de la lente y a una distancia A invariable uno de otro se colocan un objeto y una pantalla. Hablando en ge­neral , hay dos posiciones del objeto en las cuales se obtienen imágenes níti­das del mismo en la pantalla (indíquese cuándo es posible) . Sea a la distancia entre estas dos posiciones, y e, la distancia entre los planos principales de la lente . Hallar la expresión de la distancia focal de la lente despreciando los cuadrados de la relación e/A. ¿De qué forma puede determinarse la magnitud e?

117. Hallar la fórmula que relaciona la distancia u desde la fuente hasta un espejo cóncavo de radio R, con la distancia v desde el espejo hasta el punto A de intersección del eje con el espejo a la distancia h del eje . Se desprecian los términos que contienen potencias de h superiores a dos .

118. Una fuente puntual se halla a la distancia u de un espejo cóncavo es­férico de radio de curvatura R. Hallar la aberración esférica longitudinal de los rayos que parten de la fuente y se reflejan en el espejo a la distancia h del eje . Se desprecian los términos que contienen potencias de h superiores a dos .

Indicación . Véase el problema anterior. 119. El radio de un espejo esférico cóncavo es de 50 cm. Una fuente pun­

tual está situada en el eje del espejo a la distancia de 100 cm del mismo . Cal­cular la aberración longitudinal de los rayos que se reflejan en el espejo a las distancias de 3, 6, 9 y12 cm del eje .

120. Hallar la aberración esférica longitudinal de un haz paralelo e n un es­pejo esférico de 1 m de diámetro y de 1 0 m de distancia focal .

20 Problemas

1 21. ¿Qué diámetro tendrán las imágenes de las estrellas obtenidas en el espejo descrito en el problema anterior?

122. Para los rayos paraxiales , la fórmula que relaciona la distancia u de la fuente hasta la superficie esférica refringente de radio R, con la distancia v desde la imagen hasta la misma superficie , tiene la forma

(véase el problema 87 ). Demostrar que para los rayos que cortan la superficie a la distancia h, del eje , la distancia v ' de la imagen hasta la superficie esférica está relacionada con u mediante la fórmula (con una exactitud de h4 )

1 23 . Hallar la aberración esférica longitudinal en una lente delgada para los rayos que atraviesan la lente a la distancia h del eje.

Indicación . Véase el problema anterior. 124. Hallar la aberración esférica longitudinal de un haz paralelo que inci­

de sobre una lente planoconvexa de vidrio (n = 1 ,5 ) , en los casos : 1 ) cuando la lente está orientada con la cara convexa hacia el haz ; 2) cuando la lente está orientada con la cara plana hacia el haz . La distancia focal de la lente es de 1 m. El diámetro de la lente es de 10 cm. Hallar también la aberración transversal en ambos casos .

1 25. Hallar las distancias focales para los rayos rojos, amarillos y azules, y la aberración cromática longitudinal (diferencia entre las distancias focales de los rayos visibles marginales) de una lente biconvexa de radios de curvatura R1 = R2 = R = 981,4 mm. La lente es de vidrio con los siguientes índices de refracción :

Rayos

Rojos Amarillos Azules

A., A

6682 5270 4046

n

1 , 4835 1 , 4907 1 , 4997

1 26. En las observaciones visuales generalmente se fija la imagen formada por los rayos de la parte media del espectro visible , es decir , por los rayos amarillos . Considerando que el diámetro del orificio de la lente descrita en el problema anterior es igual a 5 cm, hallar los diámetros D de los círculos de dispersión (de difusión, de confusión o de aberración) formados por los ra­yos rojos y azules al enfocar la imagen amarilla.

Problemas 2 1

1 27. Hallar el aumento N de una lupa o de un ocular (considerándolos un sistema grueso centrado ) en función de la posición del objeto y del ojo del observador. Las coordenadas del objeto y de su imagen con respecto a sus puntos focales son X y X'; la coordenada que determina la posición del ojo con respecto al foco posterior del ocular, es igual a a. ¿Para qué posición del ojo el aumento no depende de la posición del objeto? ¿Cuánto vale el au­mento cuando el ojo se ha acomodado a la distancia mínima de visión distin­ta (punto próximo) , L = 25 cm?

Observación . Se llama aumento de la lupa o del ocular a la relación que existe entre el ángulo con que se ve el objeto a través de la lupa, y el ángulo con que se vería sin instrumentos ópticos , si estuviese situado a la distancia mínima de visión distinta con respecto al ojo.

1 28. ¿En qué consiste la idea de la acromatización de los oculares solamen­te con respecto a las distancias focales sin la acromatización simultánea de hacer coincidir los planos principales?

1 29. Demostrar que dos lentes delgadas del mismo material forman, en lo que se refiere a la distancia focal , un sistema acromatizado (para todas las longitudes de onda) , si la distancia entre ellas es l = ({1 + {2 )/2.

130. Uno de los tipos del ocular de Kellner es un sistema acromatizado con respecto a la distancia focal , formado por dos lentes delgadas convergentes, cuya distancia entre las mismas, l, es igual a la distancia focal , {1 , de la prime­ra lente. Hallar la distancia focal , {2 , de la segunda lente y la distancia focal , f, de todo el ocular en la posición de sus planos principales.

131. El ocular de Huygens es un sistema , acromatizado con respecto a la distancia focal , formado por dos lentes delgadas planoconvexas , con las su­perficies convexas orientadas hacia el lado de la luz incidente. Para disminuir la aberración esférica, Huygens eligió una distancia entre las lentes de manera que los rayos de luz que inciden sobre el ocular paralelamente al eje óptico principal , experimenten las mismas desviaciones angulares al refractarse en la primera y en la segunda lente1 • Hallar la relación entre las distancias focales, {1 y {2 , de ambas lentes , la distancia , l , entre las mismas, la posición de los planos principales del ocular y su distancia focal , f.

1 32. ¿Por qué en el ocular de Kellner descrito en el problema 1 30 se ven partículas de polvo en la superficie de la primera lente , y en el ocular de Huy­gen no se ven?

133. El ocular de Ramsden consta de dos lentes planoconvexas de la mis­ma distancia focal , {1 , con las caras convexas orientadas una frente a la otra. La distancia entre las lentes es igual a los dos tercios de sus distancias focales. Hallar la distancia focal y la posición de los planos principales del ocular de Ramsden. ¿Dónde habrá que colocar la cruz de los hilos oculares para que su imagen coincida con el plano de la imagen del objeto?

134 . Escnbase la condición de acromatización de dos lentes acopladas.

1 )En los tipos nuevos del ocular de Huy gen, esta condición generalmente no se observa .

22 Problemas

¿Qué conclusión puede deducirse de esta condición , sobre las distancias fo­cales de las dos componentes de la lente acromática?

135. En el objetivo acromático de un telescopio , de unos gemelos , etc , que constan de una lente biconvexa y otra planocóncava, ¿cuál se construye de vidrio crown y cuál de vidrio flint?

136. Calcular el objetivo acromático planoconvexo de distancia focal f =

= 1 m construido de vidrio crown (n 1 = 1 ,5179 , y el número de Abbe o va­lor nu, v 1 = 60,2) y de vidrio flint (n2 = 1 ,6202, y el número de Abbe , v 2 = 36,2) . Una de las lentes es biconvexa .

Observación . El número de Abbe o valor nu se llama a la relación

nD -1 v = np -nc

donde las letras D, F y e se refieren a las correspondientes rayas de Fraun­hofer .

137. Escribir la condición a que una lente estará acromatizada con respec­to a las distancias focales de dos sectores cualesquiera del espectro .

1 38. Demostrar que la lente gruesa acromatizada, sola , del problema ante­rior, será convergente si es biconvexa, y divergente si es convexo-cóncava.

Observación . La lente se denomina convergente , si su distancia focal en el espacio de los objetos, f = -{', es positiva. En el caso contrario , la lente se denomina divergente (véase la llamada de la pág. 5) .

139. Hallar e l espesor , d, y la distancia focal , {, de una lente gruesa acro­mática biconvexa, cuyas dos caras tienen el mismo radio de curvatura, R =

= 1 O cm. La lente es de vidrio con los siguientes índices de refracción : nr o i o =

= 1 ,636 , na z u l = 1 ,682 . 140. Una lente condensadora proyecta la luz de una fuente sobre la rendi­

ja de un espectrógrafo aumentando k veces la imagen de la fuente . Demostrar que si el objetivo del colimador se cubre totalmente , la luminosidad del con­densador , a 1 , y la luminosidad del objetivo del colimador, a2 , se relacionan mediante la igualdad a 1 = (1 + k ) a 2 •

141. Al fotografiar espectros, la placa fotográfica hay que disponerla, no perpendicularmente al eje óptico del objetivo del espectrógrafo . Calcular cuál ha de ser el ángulo de desviación {J de la placa y hacia qué lado para obtener bien registrado todo el espectro , si se sabe que el índice de refracción del vi­drio óptico del objetivo es, para la raya C, nc = 1 ,502, y para la raya F, np = = 1 ,510, y la dispersión angular entre las mismas rayas es a = 3° .

Indicación . Puede considerarse que si las dos rayas e y F están enfocadas , todo el espectro estará bien registrado . En la resolución hay que tener en cuenta que los haces del mismo color emergen paralelamente del prisma .

142. Un rayo de luz incide sobre una esfera homogénea con un índice de refracción n . ¿Puede experimentar el rayo refractado una refracción interna total dentro de la esfera?

143. Según la teoría de Descartes , el arco iris se forma como resultado de