Problemas de Fsica Terica I

2 de septiembre de 2015

Cinemtica

1. Una partcula se mueve en una trayectoria parablica = 2con una rapidez

constante 0. Encuentre expresiones para la velocidad y aceleracin de la

partcula cuando se encuentra en la posicin (, ).

R. =0

1+422( + 2) =

202

(1+422)2(2 + )

2. Una partcula se mueve en una espiral = de modo que su rapidez se man-

tiene constante e igual a 0. Determine y en funcin de y . Demuestre que

en todo instante la aceleracin es perpendicular a la velocidad. Encuentre y

como funcin del tiempo.

R. =0

1+2( + ) =

02

(1+2)( + )

=0

1 + 2 () =

0

1 + 2 + 0

3. Un can est localizado en la base de una colina de pendiente constante como

se muestra en la figura. Calcule el alcance del can a lo largo de la colina y el al-

cance mximo.

R. =2

2 ()

2 =

2

(1+)

4. Desde el borde de una rueda de radio b que se mueve sobre el suelo se despren-

den partculas de lodo. Si la velocidad de la rueda hacia adelante es 0. Calcular

la altura mxima con respecto al suelo a la que el lodo puede llegar. De qu

parte de la rueda sale el lodo en este caso? (es necesario suponer que 02 ).

R. = +0

2

2+

2

202

Dinmica de una partcula

5. Un proyectil es lanzado desde el origen con velocidad inicial 0 a un ngulo de

elevacin con la horizontal. Si el aire produce una resistencia proporcional a la

velocidad, calcule el decremento aproximado en el alcance horizontal del pro-

yectil.

R. 4

3 2

32

6. Calcule las aceleraciones de A y B en el sistema de poleas que se muestra. A y B

tienen la misma masa y se desprecia la masa de las poleas.

R. =(2)

4+ =

2(2)

4+

7. Determine la fuerza que ejerce sobre la pared una cua al deslizarse sobre ella un

bloque de masa . El coeficiente de friccin entre el bloque y la cua es . Despr-

ciese la friccin entre la cua y el suelo.

R. = ( 2)

8. Un bloque de masa se coloca sobre una cua de masa como se muestra en

la figura. La cua descansa sobre una superficie horizontal y el sistema est ini-

cialmente en reposo. Todas las superficies son lisas, de modo que tanto el bloque

como el plano inclinado pueden moverse. Calcule las aceleraciones del bloque y

de la cua.

R. =

+ 2 =

(+) 2

+ 2 =

+ 2

9. Un bloque de masa se coloca sobre una cua de masa . La cua descansa so-

bre una superficie horizontal y el sistema est inicialmente en reposo. Todas las

superficies son lisas, de modo que tanto el bloque como el plano inclinado pue-

den moverse. Si el bloque inicialmente se encuentra a una altura , calcule la ve-

locidad de la cua en el instante en que el bloque toca la mesa. Tambin calcule

la ecuacin de la trayectoria de la partcula.

R. 22 2

(+)(+ 2) = (1 +

) (

)

10. Una partcula de masa se desliza sobre una superficie parablica lisa = 2.

Calcule la fuerza que la superficie le ejerce a la partcula.

R. =+2

(1+422)32

11. Un bloque pequeo de masa est inicialmente en la base de una cua de masa

, ngulo y longitud , como se muestra en la figura. Suponga que todas las su-

perficies son lisas y que se aplica una fuerza horizontal constante . Calcule el

tiempo en que la masa alcance la parte superior de la cua y la distancia que

recorre la cua en el proceso. Se reduce la expresin para el tiempo al resultado

esperado cuando ? Explique.

R. t= 2[1+( )2]

( ) [1+( )]

12. Un cuerpo de masa est suspendido mediante un resorte vertical de constante

elstica , el cuerpo al mismo tiempo se encuentra sobre una tabla justo en la

posicin en donde el resorte no est estirado. La tabla empieza a bajar desde el

reposo con aceleracin . Calcule el alargamiento del resorte en el instante en

que la tabla se despegue del cuerpo. Cul ser la longitud del alargamiento m-

ximo del resorte?

R.

( + 2 2), <

13. Una partcula empieza a moverse desde el reposo en la parte superior de una

superficie cilndrica. Calcule el ngulo donde se desprender de la superficie.

14. Calcule la velocidad con que impacta la Tierra un meteorito que se encuentra en

reposo a una distancia d muy lejana. Si , verifique que esta velocidad coin-

cide con la velocidad de escape de la superficie terrestre. Calcule el tiempo de co-

lisin cuando el meteorito estaba a una distancia ; y a partir de este resultado,

verifique que en el caso Tierra-Luna, el tiempo de colisin es de aproximada-

mente 4.8 das.

15. Una canoa con una velocidad inicial 0 es frenada por una fuerza de friccin =

. Calcule la velocidad y aceleracin de la canoa en funcin del tiempo. Calcule

el tiempo y la distancia en que se detiene.

R. = 1

(0 +

) =

(1 0) =

2(0

0 + 0 1)

16. Calcule las aceleraciones de las partculas respecto a la polea mvil en una mquina

de Atwood compuesta.

17. Un proyectil es lanzado verticalmente hacia arriba con velocidad inicial 0. Su-

ponga que la resistencia del aire es proporcional al cuadrado de la velocidad.

Calcule la altura mxima a la que llega y la velocidad del proyectil cuando golpee

la tierra en su retorno.

R. =1

2 (1 +

2

) , = 0 0

2 + 2 =

18. En la figura, AB representa un plano horizontal liso con un pequeo orificio en O.

Una cuerda de longitud 2 pasa a travs de O y tiene en uno de sus extremos una

partcula P de masa m y una partcula Q de igual masa m que cuelga libremente. A la

partcula P se le da una velocidad de magnitud 8 3 a un ngulo recto a la cuerda

OP cuando la longitud = . Considere que r es la distancia instantnea OP

cuando es el ngulo entre OP y alguna lnea fija que pasa por O. Demostrar que el

movimiento que se ha de producir llevar a Q justamente al orificio.

R. ( )( 2) ( +2

3) = 0

19. Sobre una mesa horizontal lisa descansa un cuerpo de masa = 2 kg, sobre el

cual se encuentra otro cuerpo de masa = 1 kg. Ambos cuerpos estn unidos

entre s por medio de un hilo que pasa por una polea de peso despreciable. Qu

fuerza F hay que aplicar al cuerpo inferior para que empiece a moverse

alejndose de la polea con la aceleracin constante = 2 ? El coeficiente de

rozamiento entre los cuerpos es = 0.5. El rozamiento entre el cuerpo inferior y

la mesa es despreciable.

20. La partcula mostrada en la figura tiene una rapidez = en el punto su-

perior del lado interior de una pista circular lisa de radio . Demuestre que la

partcula no dejar la pista en ningn otro punto.

Oscilaciones

21. Dos resortes con constantes elsticas 1 y 2, respectivamente, son usados en

posicin vertical para soportar un objeto de masa . Demostrar que la frecuen-

cia angular de oscilacin es [(1 + 2) ] si los resortes son atados en para-

lelo y [12 (1 + 2) ] si los resortes son atados en serie.

22. Considere que la amplitud de un oscilador armnico amortiguado disminuye

1 de su valor inicial despus de ciclos. Calcule la razn del periodo de oscila-

cin al periodo del mismo oscilador sin amortiguamiento.

R.

= (1 +

1

422)

12

1 +1

822

23. Una partcula que realiza un movimiento armnico simple tiene una velocidad

1 cuando el desplazamiento es 1 y una velocidad 2 cuando el desplazamiento

es 2. Encontrar el periodo y la amplitud del movimiento en trminos de las can-

tidades dadas.

R. = 2(12 2

2) (22 1

2) = (122

2 122

2) (12 2

2)

24. Considere un pndulo simple de longitud y masa suspendido del techo de un

ascensor. a) Cul es el periodo de las pequeas oscilaciones del pndulo cuando

el ascensor cae con aceleracin ? b) Cul es el periodo de las pequeas

oscilaciones del pndulo cuando el ascensor sube con aceleracin ? Considere

ahora el mismo pndulo que cuelga del techo de un automvil que se desplaza en

forma horizontal. c) Cul es el periodo de las oscilaciones del pndulo cuando el

automvil se desplaza con aceleracin uniforme ? d) Cul es el periodo de las

oscilaciones del pndulo cuando el automvil se desplaza con velocidad constante?

Finalmente considere un bloque cbico hueco que se desliza hacia abajo por un

plano inclinado de ngulo . Suponga que en el interior del bloque se encuentra

colgando (desde la cara superior) el mismo pndulo. Cul es el periodo de las

oscilaciones del pndulo en este caso?

25. Un cilindro de masa , radio y altura , suspendido por un resorte de cons-

tante cuyo extremo superior est fijo, est sumergido en un lquido de densi-

dad . En equilibrio el cilindro est sumergido la mitad de su altura. En cierto

tiempo el cilindro se sumerge a 2/3 de su altura y entonces desde el reposo ini-

cia su movimiento vertical. Encuentre la ecuacin de movimiento del cilindro en

relacin a la posicin de equilibrio.

R. =

6, = ( + 2)

26. La figura muestra un pndulo cuyo pivote tiene un movimiento: 0 = 0 ,

.

Calcule () para oscilaciones pequeas, dado que est en reposo y (0) = 0.

R. () =0

2

2

0

3

(

2)

t

27. Un pndulo simple de masa m y longitud l se mueve en un medio viscoso de

fuerza resistente 2. Calcule () con las condiciones iniciales (0) = 0,

(0) = 0

R. () = 0(1 + )

28. Dos pndulos simples estn conectados mediante un resorte como se muestra

en la figura. Calcule las frecuencias normales de oscilacin del sistema.

R. + =

+

22

2 =

29. Considere un pndulo doble de longitudes 1 2, masas 1 2. Calcule las

frecuencias naturales de oscilacin para ngulos pequeos, considerando que las

masas y las longitudes de los pndulos son iguales.

30. Dos puntos de igual masa estn simtricamente colocados y sujetos a un hilo

cuya tensin es . Hallar el periodo de las vibraciones transversales de ambos

puntos.

R. 12 =

1

2

2 =

2+

31. Una partcula de masa cuelga de un punto fijo por medio de un hilo de longi-

tud ; de a su vez, cuelga una segunda partcula de la misma masa por me-

dio de otro hilo de longitud . Determine los perodos de oscilacin de ambas

partculas cuando se desvan ligeramente de la vertical.

R. 2 = (1

+

1

)

2 + 2

32. Un reloj de masa cuelga de dos cables ligeros que pasan por dos poleas sin

friccin y masas despreciables de donde cuelgan dos contrapesos de masa . a)

Determinar la energa potencial del sistema en trminos de la distancia . b) De-

terminar el valor de para el cual el reloj est en equilibrio. c) Demostrar que

para la del inciso b), la energa potencial es mnima. d) Calcular la frecuencia

angular para oscilaciones pequeas alrededor de la posicin de equilibrio.

Dinmica de un sistema de partculas, masa variable y colisiones

33. Las dos esferas de la derecha en la figura estn ligeramente separadas e

inicialmente en reposo; la esfera de la izquierda choca contra la otra a una

velocidad . Considere que todas las colisiones son frontales y elsticas, a) si

, demuestre que existen dos colisiones y calcule todas las velocidades

finales; si , demuestre que existen tres colisiones y calcule todas las

velocidades finales.

34. Una esfera de masa 1 se lanza contra otras dos de masas 2 y 3 que se en-

cuentran en reposo. Los centros de las tres esferas estn en lnea recta y el coefi-

ciente de restitucin es . Determine 2 bajo la condicin de que la ltima es-

fera, 3, adquiera la mxima velocidad posible y calcule su valor.

35. Una pequea bola de acero se deja caer desde el reposo a una altura sobre

una placa de acero producindose una serie de rebotes. Hallar la altura

mxima a que llegar la pelota despus de chocar con la placa veces. El

coeficiente de restitucin es .

36. Un hombre de masa asciende por una escalera de cuerdas suspendida por

debajo de un globo de masa . El globo se encuentra estacionario respecto al

piso. (a) Si el hombre empieza a ascender por la escalera con una rapidez

(respecto de la escalera), en qu direccin y con qu rapidez (respecto del piso)

se mover el globo? (b) Cul es el estado del movimiento despus de que el

hombre deja de ascender?

37. Una partcula de masa y velocidad choca elsticamente con una partcula de

masa , inicialmente en reposo. Como resultado del choque la partcula de masa

es desviada 90 y su velocidad reducida a 3 . La partcula de masa , re-

trocede con una velocidad y formando un ngulo con la direccin original de

. (todos los ngulos y velocidades se observan en el sistema laboratorio). Ob-

tngase el valor de en funcin de , en funcin de y el ngulo . Con qu

ngulos son desviadas las partculas en el sistema centro de masas?

R. = , = 3 , = 6 ; = 2 3 , = 5 3

38. Una persona de 80 kg est parada en la parte posterior de un trineo de vela que

se mueve sobre el hielo; el trineo tiene una masa de 400 kg y avanza a 4 m/s por

el hielo, que puede considerarse sin friccin. La persona decide caminar hacia el

frente del trineo, de 18 m de longitud y lo hace a una velocidad de 2

respecto al bote. Qu distancia recorri el trineo sobre el hielo mientras l

estuvo caminando?

39. Las masas 1 y 2 que se muestran en la figura se mueven en un campo

gravitacional constante. Determine el trabajo realizado por las fuerzas (externas

e internas) sobre el sistema al pasar de la configuracin A a la configuracin B.

Tambin calcule el cambio de energa cintica entre A y B.

40. Considere dos masas iguales unidas por medio de un resorte de constante

elstica . El sistema se encuentra inicialmente sujeto a una pared, de tal modo

que el resorte se encuentra comprimido en con respecto a su longitud natural,

describa cuantitativamente el movimiento del sistema una vez que se deja

evolucionar desde el reposo.

41. Contra un sistema en reposo que se encuentra en una superficie horizontal lisa y

que consta de dos cuerpos con masas , unidos por un resorte de constante ,

choca a la velocidad otro cuerpo de la misma masa. La colisin es elstica. Bs-

quese el alargamiento mximo del muelle. La rigidez del muelle es .

42. Sobre un soporte de masa , colgado de un muelle de rigidez , cae desde la al-

tura un cuerpo de masa y se adhiere a l. Determnese el alargamiento m-

ximo del muelle.

43. Una cadena uniforme de longitud cuelga inicialmente con una parte de longi-

tud colgando sobre la orilla de una mesa. La parte restante de longitud ( )

permanece enrollada en la orilla de la mesa. Si se suelta la cadena, calcular la ve-

locidad de la cadena cuando el ltimo eslabn deja el extremo de la mesa.

44. Una cadena uniforme extendida sobre una mesa, con algunos eslabones col-

gando hacia afuera, es primero mantenida quieta y, posteriormente dejada libre.

Bajo el peso de su parte colgante la cadena se desliza (sin rozamiento).

a) Es uniformemente acelerado su movimiento?

b) Su velocidad al cabo de un cierto tiempo, es menor, igual o mayor que la

velocidad adquirida al cabo del mismo tiempo por un cuerpo inicialmente

en reposo que baja en cada libre?

c) Lo mismo que (a) y (b), pero justamente cuando la cadena abandona la

mesa.

Responda las preguntas resolviendo analticamente el problema.

45. Una masa , unida al extremo de una cadena muy larga que tiene una masa

por unidad de longitud, se tira verticalmente hacia arriba con una velocidad ini-

cial . Calcule la altura mxima alcanzada por y su velocidad cuando regresa

a tierra.

R. = ( ) (1 + (32 2 )

3 1), = 2.

46. Una cuerda pesada homognea de longitud descansa sobre un clavo liso de

manera que uno de los cabos colgantes tiene longitud . La cuerda se deja libre.

Determine la velocidad de la cuerda en el instante en que sta abandona el clavo.

47. Encontrar la ecuacin diferencial de movimiento de una gota de lluvia que cae a

travs de una nube acumulando masa. Si la gota permanece esfrica y la razn

de crecimiento es proporcional al rea de la seccin eficaz de la gota multipli-

cada por la velocidad de cada. Demostrar que si la gota parte del reposo cuando

es infinitamente pequea, entonces la aceleracin es constante e igual a 7 .

48. Una pelota es soltada de una altura sobre un pavimento horizontal. Si el coefi-

ciente de restitucin es , calcular la distancia total que recorre la pelota antes

cesar los rebotes.

R. 1+2

12

49. Una cadena flexible de longitud y peso est colocada inicialmente en reposo

sobre una superficie sin friccin , estando a una distancia de . Cal-

cular la velocidad de la cadena cuando el extremo llega al punto .

R. = ( )(2 2).

Movimiento plano de un cuerpo rgido

50. Una rueda de bicicleta gira sin deslizamiento a lo largo de un plano con velocidad

angular . A distintas distancias del eje, y sobre diferentes rayos, se toman los pun-

tos y . Demostrar considerando una rotacin respecto al eje instantneo, que la

velocidad de con respecto a es en una direccin perpendicular a .

51. El brazo ranurado de la figura gira con una rapidez angular constante en el sentido

horario de 2 rad/s y en el plano . El bloque se mueve alejndose del origen a lo

largo del brazo a velocidad constante de 2 . Cuando =60 y OP=2.5 m, deter-

mine la velocidad y aceleracin de un punto sobre el bloque.

52. Una rueda de radio gira sin deslizar en lnea recta con aceleracin constante .

Demuestre que en un instante dado, la magnitud de la aceleracin de un punto

sobre la rueda con respecto al piso es

o [2 + 2 +o

4

o22

2o

2

o]

12,

donde oes la velocidad instantnea del la rueda y es el ngulo medido desde la

parte superior de la rueda al punto .

53. Un anillo pequeo est colocado sobre un aro de alambre de radio . Una varilla

OA pasa por el anillo y gira alrededor del punto fijo O sobre el aro con velocidad an-

gular constante = . Calcular la velocidad y aceleracin de respecto a . Si

se mueve con rapidez constante hallar .

54. Un cable est enrollado en el eje interior de una rueda y se tira hacia la derecha con

una velocidad constante de 0.5 . Si la rueda no desliza, determinar la velocidad

y aceleracin del punto . Hacia dnde rodar la rueda? Sugerencia: considere el

eje instantneo de rotacin.

55. Un insecto de masa camina con velocidad constante en una trayectoria circu-

lar de radio sobre un disco que gira con velocidad angular constante . Describir

el movimiento en un sistema coordenado fijo al tornamesa. Calcular la aceleracin

del insecto respecto al exterior y la fuerza de friccin ejercida sobre el insecto.

En particular, calcular y para los casos: = y = . Ntese que en el

segundo caso el insecto est estacionario respecto al exterior.

56. Un insecto de masa camina hacia afuera con velocidad constante siguiendo

una lnea radial marcada en el tornamesa de un fongrafo que gira con velocidad

angular constante . Obtener la velocidad y aceleracin del insecto como lo ve

desde afuera un observador, cuando el insecto est a una distancia del eje de ro-

tacin.

57. Una bola de billar es golpeada por un taco como se aprecia en la figura. La lnea

de accin del impulso aplicado es horizontal y pasa por el centro de la bola. La

velocidad inicial de la bola, su radio , su masa y el coeficiente de friccin

entre la bola y la mesa son todos conocidos. Qu distancia se mover la bola

antes de que cese su deslizamiento sobre la mesa?

58. Una esfera de radio rueda hacia abajo por una cua movible de masa . El

ngulo de la cua es , y la cua es libre de deslizarse sobre una superficie

horizontal lisa. El contacto entre la esfera y la cua es perfectamente rugosa.

Encontrar la aceleracin de la cua.

59. Un cilindro uniforme de masa y radio se encuentra en equilibrio en la parte

superior de otro cilindro fijo de radio , los ejes de los cilindros son paralelos. Si

el cilindro de radio empieza a rodar sin deslizar partiendo del reposo, calcule

la altura a la que se desprende del cilindro fijo.

60. Un cilindro de radio gira con velocidad angular alrededor de su eje, que se

encuentra paralelo a la horizontal. El cilindro se deja caer suavemente sobre una

superficie horizontal rugosa. Encuentre la velocidad de traslacin del centro de

masa, una vez que el cilindro est rodando sin resbalar. Calcule la prdida de

energa del cilindro y el tiempo que tarda en dejar de resbalar.

61. Calcular la frecuencia natural de la masa que oscila en el extremo de una vari-

lla de longitud y masa despreciable, atada a un resorte de constante como se

muestra en la figura.

R: = 2+

2

62. Una esfera de masa y radio descansa sobre el borde de un saliente horizontal.

Si principia a rodar sobre el borde con una velocidad angular inicial pequea que

puede despreciarse, y el rozamiento entre el saliente y la esfera es suficiente para

evitar el deslizamiento. Determinar el ngulo en que la esfera abandonar el

borde. Cul es la velocidad angular cuando lo abandona?

63. Una esfera de radio rueda hacia abajo por una cua movible de masa . El n-

gulo de la cua es , y es libre de deslizarse sobre una superficie horizontal lisa.

El contacto entre la esfera y la cua es perfectamente rugosa. Encontrar la acele-

racin de la cua.

64. Una estudiante lanza una regla de longitud hacia arriba en el aire. En el

momento en que la regla abandona su mano la velocidad del extremo ms

cercano de la regla es cero. sta completa vueltas hasta que es atrapada por la

estudiante en el punto de liberacin inicial. Demuestre que la altura a la que se

elev el centro de masa es = 4 .

65. Una bola de billar es golpeada por un taco de tal manera que la lnea de accin

del impulso aplicado es horizontal y pasa por el centro de la bola. La velocidad

inicial de la bola, el radio , la masa y el coeficiente de friccin entre la

bola y la mesa son conocidos. Considere que la velocidad angular en el mo-

mento del impulso es cero. Calcule la aceleracin del centro de masa de la bola

mientras sta estuvo patinando, demuestre que el momento angular total se

conserva respecto a un punto sobre la superficie, calcule la velocidad del centro

de masa de la bola cuando sta deja de patinar, y finalmente calcule la distancia

que recorre la bola antes de dejar de patinar.

66. Una bola de billar de radio inicialmente en reposo, se golpea repentinamente

con un taco que es sostenido horizontalmente a una distancia h sobre la lnea

central, como se muestra en la figura. La bola deja el taco a una velocidad y

adquiere una velocidad de 9 7 cuando sta deja de resbalar. Demuestre que

= 4 5 .

67. Una varilla de longitud se mantiene vertical y pivoteada sobre el piso y luego

se deja caer. Calcule la velocidad del otro extremo cuando pegue contra el suelo.

68. Una varilla uniforme de longitud 2 y masa se sostiene sobre un plano hori-

zontal en la forma que indica la figura. Seguidamente se suelta quedando some-

tida a la accin de su peso. Demostrar que su velocidad angular cuando llega la

posicin horizontal, cumple la condicin 2 =3

2 , lo mismo si el plano es

liso que rugoso, y demostrar tambin que en ambos casos nunca pierde la varilla

contacto con el suelo.

69. Considere un disco A de radio a que se encuentra fijo en una superficie plana,

otro disco B de radio b se encuentra en la parte superior del disco A y se le hace

mover sin resbalar por el disco A. Cul debe ser la razn de los radios para que

el disco B gire dos veces sobre su propio eje y regrese a su posicin original?

a) Aplique la condicin de no resbalamiento considerando que el punto de

contacto est en reposo instantneo y despus integre esta relacin para

obtener la respuesta.

b) Haga un diagrama que muestre la relacin entre los ngulos implicados

en el movimiento para obtener la respuesta.

70. Una canica slida pequea de masa y radio r rueda sin deslizamiento a lo

largo de la pista en rizo que se muestra en la figura, habiendo sido soltada desde

el reposo en algn punto de la seccin recta de la pista. (a) Desde qu altura m-

nima desde el fondo de la pista deber soltarse la canica con el fin de que no se

desprenda de la pista en la parte superior del rizo? (b) Si la canica se suelta

desde una altura de 6R medida desde el fondo de la pista, cul es la componente

horizontal de la fuerza que acta sobre ella en el punto Q?

71. Determine la fuerza P necesaria para mantener el cilindro en una posicin fija

con relacin a la cua. El coeficiente de rozamiento entre el cilindro y la cua es

y entre la cua y el plano horizontal es .

72. Un cilindro uniforme de masa y radio a rueda sin deslizar en el interior de un

cilindro fijo de radio b; los cilindros estn en contacto a lo largo de una

generatriz comn. Demostrar que el cilindro inferior oscila alrededor de su

posicin inferior como un pndulo simple de longitud 3

2( ).

73. Un cilindro uniforme de masa y radio se encuentra en equilibrio en la parte

superior de otro cilindro fijo de radio , los ejes de los cilindros son paralelos. Si

el cilindro de radio empieza a rodar sin deslizar partiendo del reposo, calcule

la altura a la que se desprende del cilindro fijo.

74. Un cilindro de radio gira con velocidad angular alrededor de su eje, que se en-

cuentra paralelo a la horizontal. El cilindro se deja caer suavemente sobre una su-

perficie horizontal rugosa. Calcule la velocidad de traslacin del centro de masa y el

tiempo que tarda en dejar de resbalar.

75. Un cilindro slido homogneo de masa est ligado a un resorte de constante y

est restringido a moverse en un plano inclinado como se muestra en la figura. Si el

cilindro rueda sin deslizar, demuestre que la frecuencia de oscilacin es 2 3 .

76. La masa est atada al extremo de una varilla de masa despreciable que a la

vez est rgidamente conectada al centro de un cilindro homogneo de radio

como se muestra en la figura. Si el cilindro rueda sin deslizar, cul es la frecuen-

cia natural de oscilacin del sistema?

77. Un cilindro homogneo de radio y masa rueda sin deslizar sobre una

superficie cilndrica de radio . Determinar la frecuencia natural de oscilacin

del cilindro para ngulos pequeos.

78. Una esfera de masa y radio rueda en un plano vertical sin deslizamiento

sobre una superficie curva de radio . Cuando el centro de la esfera tiene una

velocidad , calcular la reaccin normal de la superficie sobre la esfera.

79. Una esfera homognea de masa y radio a tiene un cable enrollado en una

circunferencia. Un extremo del cable est fijo en y se deja que la esfera caiga

desde el reposo. Hallar la velocidad del centro de masa despus de que ha cado

una distancia . Cul es la tensin en el cable?

Principio de trabajo virtual

80. Una escalera homognea de peso y longitud se mantiene en equilibrio por

medio de una fuerza horizontal como se muestra en la figura. Exprese en

trminos de usando el principio del trabajo virtual.

81. Dos partculas con masas y 2 estn conectadas por una varilla sin masa en

forma de una mancuerna. sta se puede deslizar sin friccin en un recipiente

esfrico de radio . Considere un desplazamiento y use el principio del trabajo

virtual para obtener el valor de en la posicin de equilibrio esttico.

82. Una escalera uniforme de longitud y masa est en equilibrio a un ngulo con

el piso. Si la pared y el piso estn lisos, la escalera debe ser sostenida en el lugar

mediante una soga que asegure la parte inferior de la escalera a un punto en la

pared a una altura arriba del piso. Calcular la tensin en la cuerda.

83. 84. Use el principio de trabajo virtual para determinar la posicin de equilibrio de

las dos barras articuladas mostradas en la figura. Considere 1 = 2.

Dinmica lagrangiana

85. Probar que las ecuaciones de Lagrange,

=

se pueden escribir de la forma,

2

=

Estas ecuaciones son conocidas como la forma de Nielsen de las ecuaciones de

Lagrange.

86. Si es una funcin lagrangiana para un sistema de grados de libertad que

satisface ecuaciones de Lagrange, demostrar por sustitucin directa que:

= +

(1, 2, , , )

tambin satisface las ecuaciones de Lagrange donde es una funcin diferenciable

arbitraria.

87. Un disco de radio y masa despreciable tiene una partcula de masa incrus-

tada a una distancia de su centro . Suponga que el disco rueda sin resbalar so-

bre un plano horizontal; escriba la ecuacin diferencial de movimiento para el

sistema. Encuentre la expresin para una integral de movimiento.

88. El soporte puntual de un pndulo simple de masa y longitud se mueve sobre

una lnea recta horizontal de acuerdo a = , = . Obtenga

la ecuacin diferencial de movimiento por los mtodos lagrangiano y newtoniano.

Suponga que 1 y calcule ().

89. A una partcula de masa restringida a moverse sobre un crculo horizontal liso

de radio R se le da una velocidad inicial . Considerar que el aire produce una

fuerza de friccin proporcional al cuadrado de la velocidad. Describir el

movimiento.

90. Una partcula se desliza sobre un plano inclinado liso cuya inclinacin se

incrementa a razn constante . Si al tiempo = 0, = 0 y = y la partcula

parte del reposo. Calcular el movimiento posterior de la partcula.

91. Una partcula de masa se desliza sobre una superficie parablica lisa = 2.

Calcular la fuerza normal que la superficie le ejerce a la partcula por medio de

las ecuaciones de Lagrange.

92. Una partcula de masa se desliza sin friccin sobre una cua de ngulo y masa

tal que puede moverse sin friccin sobre una superficie horizontal lisa. Tratando

la restriccin de la partcula sobre la cua por el mtodo de los multiplicadores de

Lagrange, encontrar las ecuaciones de movimiento de la partcula y la cua.

Tambin obtener una expresin para las fuerzas de restriccin. Cules son las

constantes de movimiento para el sistema? Comparar los resultados encontrados

con la situacin en que la cua se encuentra fija.

93. Una partcula de masa se desliza sobre una superficie esfrica lisa de radio

partiendo del reposo desde el punto ms elevado A qu ngulo se desprende

la partcula de la superficie? Resuelva este problema por medio de los

formalismos newtoniano y lagrangiano.

94. La partcula mostrada en la figura se mueve sobre una mesa horizontal lisa. La

cuerda unida a ella, est conectada a un resorte lineal de mdulo . La fuerza en el

resorte es cero cuando = 0. Inicialmente (0) = , (0) = 0 y (0) = 0.

Escribir una ecuacin diferencial a partir de la cual pueda determinarse ().

Determinar ().

95. Un aro rueda sin resbalar hacia abajo sobre un plano inclinado de longitud . Calcu-

lar la fuerza normal del plano inclinado sobre el aro.

96. El soporte de un pndulo simple de longitud y masa se mueve con veloci-

dad constante en una trayectoria circular de radio y centro . Encontrar la

ecuacin diferencial para suponiendo que todo el movimiento est confinado a

un plano vertical y = .

97. Una partcula se mueve sobre un alambre horizontal de radio , acta sobre ella

una fuerza resistente que es proporcional a la rapidez instantnea. Si la partcula

tiene una rapidez inicial , encontrar la posicin de la partcula en funcin del

tiempo.

98. En la figura, representa un plano horizontal liso con un pequeo orificio en .

Una cuerda de longitud l pasa a travs de y tiene en uno de sus extremos una

partcula de masa y una partcula de igual masa m que cuelga libremente. A

la partcula se le da una velocidad de magnitud a un ngulo recto a la cuerda

cuando la longitud = . Considere que es la distancia instantnea

cuando es el ngulo entre y alguna lnea fija que pasa por . Establezca la

lagrangiana del sistema. La ecuacin diferencial de movimiento para en trminos

de . Encontrar la velocidad de en cualquier posicin.

k

rrM

99. En la figura, representa un plano horizontal liso con un orificio pequeo en .

Una cuerda de longitud 2 pasa a travs de y tiene en uno de sus extremos una

partcula P de masa y una partcula de igual masa que cuelga libremente. A

la partcula se le da una velocidad de magnitud 8 3 a un ngulo recto a la

cuerda cuando la longitud = . Considere que es la distancia instantnea

cuando es el ngulo entre y alguna lnea fija que pasa por . Demostrar

que el movimiento que se produce llevar a justamente al orificio. Tambin

calcule la tensin de la cuerda. Resuelva el problema por medio de las ecuacio-

nes de Lagrange.

Fuerzas centrales

100. Dos estrellas se mueven una respecto a otra en rbitas circulares bajo la influen-

cia de fuerzas gravitatorias con periodo . En un instante dado se detienen y em-

piezan a atraerse mutuamente. Demostrar que chocan al cabo de un tiempo

42 .

101. Demostrar que si una partcula describe una rbita circular bajo la influencia de

una fuerza central atractiva dirigida hacia un punto sobre el crculo, entonces la

fuerza vara como el inverso de la potencia quinta de la distancia.

102. Una partcula que se mueve en un campo central describe una rbita espiral =

. Encontrar la ley de fuerzas. Encontrar tambin cmo vara con .

103. Probar que el movimiento de una partcula en un potencial

() =

+

2

es el mismo que el movimiento que se origina bajo el potencial de Kepler slo

cuando es expresado en trminos de un sistema de coordenadas rotando o

precediendo alrededor del centro de la fuerza. Para una energa total negativa,

probar si un potencial adicional es muy pequeo en comparacin del potencial de

Kepler, entonces la velocidad de precesin de la rbita elptica es

=2

2

104. Cuando se observa por primera vez un cometa, ste se encuentra a una distancia

de 1 3 de unidades astronmicas del Sol y viajando a una velocidad doble de la

velocidad de la Tierra. Determinar de consideraciones energticas el tipo de rbita

del cometa. (1 = ).

105. Una partcula de masa es lanzada desde el infinito con una velocidad , de tal

manera que pasara a una distancia de un centro fuerzas repulsivo 3 , ( > 0),

si no fuera deflectada. Encontrar la deflexin angular que sufre la partcula.

106. Una partcula de masa describe una curva = (1 + 2 2) bajo la

accin de una fuerza hacia el origen. Si la velocidad de la partcula en el pside

ms lejano es , hallar la ley de la fuerza. Al pasar por , uno de los psides

cercanos, la partcula recibe un impulso a lo largo de la normal externa.

Probar que si < 23, la partcula continua describiendo una curva cerrada

alrededor del origen, pero que si > 23, la nueva rbita tiene una asntota que

hace un ngulo con , dado por ( + 2) + 2 = 0, donde =

2 . Resuelva este problema usando el teorema de Newton de las rbitas

giratorias.

107. La velocidad mxima y mnima de un satlite son y respectiva-

mente. Demostrar que la excentricidad de la rbita en la que se mueve el sat-

lite es

= +

Probar que si el satlite tiene un periodo igual a , entonces ste se mueve en una

trayectoria elptica con eje mayor

=

2

108. Una partcula de masa se mueve en una trayectoria circular de radio bajo

la accin de una fuerza atractiva 2 dirigida hacia el centro del crculo. Repen-

tinamente se le imprime una velocidad radial hacia afuera 5 de tal ma-

nera que la velocidad transversal no cambia.

a) Aplique la segunda ley de Newton mientras la partcula se mueve en la r-

bita circular y calcule el momento angular .

b) Calcule la energa mecnica despus de que se le aplic la velocidad ra-

dial hacia afuera y compruebe que la nueva rbita es una elipse. Se modi-

fica el momento angular? Explique.

c) Calcule las distancias apsidales y obtenga la longitud del semieje mayor de

la rbita en funcin de . Obtenga el periodo de la rbita elptica.

109. Un satlite terrestre se mueve en una rbita elptica con un periodo , excen-

tricidad e y semieje mayor . Demostrar que la velocidad radial mxima es

2 1 2 .

110. Suponga que la rbita de la Tierra es circular y que la masa del Sol repentina-

mente disminuye a la mitad. Cul ser la nueva rbita de la Tierra?

111. Una partcula se mueve en una rbita elptica en un potencial de Kepler. Si la

razn de la velocidad angular mxima a la velocidad angular mnima de la part-

cula en su rbita es , demostrar que la excentricidad de la partcula es,

= 1

+ 1

112. Demostrar que la masa de un planeta se puede determinar si se pueden medir

el periodo de revolucin y el semieje mayor de uno de sus satlites. Ganymedes,

uno de los satlites del planeta Jpiter tiene un periodo de 7,155 das y se mueve

en una rbita casi circular de radio 1,071109 m. Calcule una estimacin para la

masa Jpiter.

113. Considere una partcula en un campo de fuerzas repulsivo inversamente pro-

porcional al cuadrado de la distancia = 2 .

Calcule la ecuacin de la rbita y de aqu la distancia de acercamiento mnima

Demuestre que la relacin entre y el ngulo de dispersin es: 1

=

2(

1

2 1)

114. (Sugerencia: para calcular las constantes de integracin considere que se

mide con respecto a y que cuando , .

115. Al final del proceso de lanzamiento de un satlite se encuentra sobre el ecua-

dor terrestre a una altura y viajando a una velocidad paralela a la superficie

de la Tierra. Demuestre que la excentricidad de la rbita est dada por:

1 + =( + 0)

2

donde y son la masa y radio de la Tierra. Encontrar una expresin para la

altura mxima del satlite.

Dinnica hamiltoniana

116. Un alambre circular y uniforme de radio y masa 2 puede girar libremente

alrededor de un dimetro vertical fijo. En el alambre se inserta una cuenta lisa

de masa . Demostrar que el hamiltoniano para el sistema es,

=1

22(

2 +

2

1 + 2)

donde es el ngulo descrito por el alambre al girar y es el ngulo formado por

el radio a la cuenta con la vertical hacia abajo. Obtener las ecuaciones de Hamilton

y, de ellas, deducir las siguientes ecuaciones:

(1 + 2) = 2 =

Demostrar que puede tenerse movimiento estable con:

= , = 2 =

117. Aplicar las ecuaciones de Hamilton para el movimiento plano de una partcula

de masa unitaria en un campo de fuerzas de potencial 2 ; y probar que si

al tiempo = 0, = , = 0 entonces = (2 2) 2 , donde es la energa

total.

118. Escribir para el pndulo que se muestra en la figura en funcin de la coor-

denada . Demostrar que .

=

2

2( 12

2)2

1

2( + )

2

119. Una partcula de masa se mueve en una dimensin bajo la influencia de una

fuerza

(, ) =

2( )

donde y son constantes positivas. Calcular las funciones lagrangiana y hamil-

toniana. Comparar la hamiltoniana y la energa total. Discutir la conservacin de

la energa del sistema.

120. Considere un pndulo simple de masa y longitud . El pndulo se pone en

movimiento y la longitud de la cuerda se acorta a una razn constante

= =

El punto de suspensin permanece fijo. Calcular las funciones lagrangiana y ha-

miltoniana. Comparar la hamiltoniana y la energa total. Se conserva la energa

del sistema?

121. Una partcula de masa se mueve bajo la influencia de la gravedad a lo largo de

una hlice = , = . Obtener las ecuaciones hamiltonianas de

movimiento.

122. Una partcula se desliza bajo la accin de la gravedad dentro de un paraboloide

de revolucin cuyo eje es vertical. Usando la coordenada al eje y el ngulo

azimutal como coordenadas generalizadas, encontrar: la lagrangiana del sistema;

los momentos generalizados y la correspondiente funcin hamiltoniana y la

ecuacin de movimiento para la coordenada como funcin del tiempo. Si

= 0, demostrar que la partcula puede ejecutar oscilaciones pequeas

alrededor del punto ms bajo del paraboloide y encontrar la frecuencia de

oscilacin de estas oscilaciones.

123. Una partcula de masa y carga se mueve en un campo electromagntico de-

finido por los campos vectoriales y o equivalentemente por el potencial escalar

y el potencial vectorial . Escogiendo las coordenadas cartesianas 1, 2, 3 de la

partcula como coordenadas generalizadas, obtener la funcin hamiltoniana y las

ecuaciones de movimiento.

124. Demuestre que si y son dos integrales de movimiento, entonces el parn-

tesis de Poisson { , } tambin es una integral de movimiento. (Sugerencia: use

la identidad de Jacobi).