problemario de cálculo diferencial e integral

Calculo Diferencial e Integral

Jose Luis Camarillo Nava

Octubre de 2014

Captulo 1

Funciones y curvas en el plano

1.1. Ejercicios sobre Inecuaciones

Ejercicio 1.1: Resuelva las siguientes inecuaciones lineales

1. 5x 3 = 22. 3 2x = 8 7x3. 72x

5> 1x

4

4. 3(x5)7 x+2

5> 4(x+3)

2+ 7(x 1)

Ejercicio 1.2: Resuelva las siguientes inecuaciones de segundo gado

1. (x+ 1)2 (x 1)2 + 12 > 02. 3(x 5)2 12 < 03. x

295 x24

15< 12x

3

4. (x+2)2

9 x29

4< (x+3)

2

2+ 1

5

Ejercicio 1.3: Resuelva las siguientes inecuaciones

1. 1x+5

> 0

2. x225x1 < 0

3. xx+7

+ 5 > 0

4. x25x+6x24 > 0

3

4 CAPITULO 1. FUNCIONES Y CURVAS EN EL PLANO

1.2. Ejercicios sobre Funciones

Ejercicio 1.2.1: Determine si el conjunto dado es una funcion. En talcaso, determine el dominio de la misma:

1. f = {(x, y) R R : y = x 4}2. f = {(x, y) R R : x2 + y2 = 4}3. f = {(x, y) R R : y = x2}4. f = {(x, y) R R : x = (y 2)2 + 1}

5. f =

{(x, y) R R : y = 1

x2 4}

6. f = {(x, y) R R : y = x x3}

7. f =

{(x, y) R R : y = Log10

(2 + x

2 x)}

8. f =

{(x, y) R R : y = Log10

(x2 3x+ 2

x+ 1

)}Ejercicio 1.2.2: Sea f : R{0} R la funcion definida por la formula

f(x) =3

x2

Calcule:

1. f(1).

2. f(3).

3. f

(1

3

).

4. f(3).

5. f

(3

a

).

6.f(a)

f(x).

1.2. EJERCICIOS SOBRE FUNCIONES 5

7.f(x+ h) f(x)

h, con h 6= 0.

8.f(x) f(a)

x a .

Ejercicio 1.2.3: Haga un estudio de las siguientes funciones. Concreta-mente, determine el dominio, el rango, intervalos de crecimiento o decreci-miento, puntos de corte con el eje X, puntos de corte con el eje Y y dibujesu grafica.

1. f(x) = 3x 1.

2. f(x) = 5x2 + 10x+ 35.

3. f(x) =x2 4

4. f(x) =

9 x2

5. f(x) = |3x+ 2|+ 5

6. f(x) = x3 + 2

7. f(x) = 3x 1 + 5

Ejercicio 1.2.4: Sea f(x) la funcion definida por la formula

f(x) = x2

Usted aprendera en la siguiente unidad que la derivada de f(x) en cual-quier numero real a viene dada por la formula

f (a) = lmxa

f(x) f(a)x a

Utilice una calculadora o computadora para completar las siguientes ta-blas de valores. El proposito es aproximar el valor de f (2) por la izquierday por la derecha


xx2 2x 2

11, 51, 91, 991, 9991, 99991, 999991, 9999991, 9999999

xx2 2x 2

32, 52, 12, 012, 0012, 00012, 000012, 0000012, 0000001

1.3. Problemas sobre recta, circunferencia, parabo-

la, elipse, hiperbola

1.3.1. Recta

1. Halle la ecuacion de la recta que pasa por el punto P (1, 5) y tienependiente m = 2.

2. Halle la ecuacion de la recta que pasa por el punto M(2, 1) y tiene unangulo de inclinacion de 45 grados.

3. Hallar la ecuacion de la recta que pasa por los puntos P (4, 3) y M(1, 2).

4. Hallar la ecuacion de la recta que cuya pendiente es m = 4 y que pasapor el punto de interseccion de las rectas 2x+y8 = 0 y 3x2y+9 = 0.

1.3. PROBLEMAS SOBRE RECTA, CIRCUNFERENCIA, PARABOLA, ELIPSE, HIPERBOLA7

1.3.2. Circunferencia

1. Hallar la ecuacion, centro y radio de la circunferencia que pasa por lostres puntos A(1, 1),B(3, 5) y C(5,3).

2. Hallar la ecuacion, centro y radio de la circunferencia que pasa por lospuntos (5, 2), (7, 0) y cuyo centro esta sobre la recta 3x+ 7y + 2 = 0.

3. Hallar la longitud de la circunferencia cuya ecuacion es

25x2 + 25y2 + 30x 20y 62 = 0

4. Hallar el area del crculo

9x2 + 9y2 + 72x 12y + 103 = 0

5. Demuestre que las circunferencias 4x2 + 4y2 16x + 12y + 13 = 0 y12x2 + 12y2 48x+ 36y + 55 = 0 son concentricas.

1.3.3. Parabola

1. Hallar la ecuacion de la parabola que tiene por foco el punto F (3, 4) ytiene como directriz la recta x = 1.

2. Hallar la ecuacion de la parabola que tiene por foco el punto F (3,5)y directirz y = 1.

3. Hallar la ecuacion de la parabola que tiene por vertice el punto V (2, 0)y foco F (0, 0).

4. Hallar la ecuacion de la parabola que tiene por foco el punto F (1, 1)y directriz x+ y 5 = 0.

5. Hallar la ecuacion de la parabola que tiene eje de simetra paralelo aleje X y que pasa por los puntos P (3/2,1), Q(0, 5) y M(6,7).

1.3.4. Elipse

.

1. Demuestre que la ecuacion dada tiene por grafica una elipse. Ademas,determine las coordenadas del centro, vertices y focos, las longitudesde los ejers mayor y menor, la de cada lado recto y la excentricidad:


a) x2 + 4y2 6x+ 16y + 21 = 0b) 4x2 + 9y2 + 32x 18y + 37 = 0c) x2 + 4y2 10x 40y + 109 = 0d) 9x2 + 4y2 87 32 = 0

2. El centro de una elipse es el punto C(1,1) y uno de sus verticeses el punto V (3,1). Si la longitud de cada lado recto es 4, hallese laecuacion de la elipse, su excentricidad y las coordenadas de los focos.Grafice la elipse.

1.3.5. Hiperbola

1. Demuestre que la ecuacion dada tiene por grafica una hiperbola. Ademas,determine las coordenadas del centro, vertices y focos, las longitudesde los ejes transverso y conjugado, lado recto y la excentricidad, y lasecuaciones de las asntotas:

a) x2 9y2 4x+ 36y 41 = 0b) 4x2 9y2 + 32x+ 36y + 64 = 0c) x2 4y2 2x+ 1 = 0d) 9x2 4y2 + 54x+ 16y + 29 = 0e) 3x2 y2 + 30x+ 78 = 0

1.4. Graficacion de curvas en el plano

1. En cada uno de los siguientes ejercicios discuta la ecuacion dada yluego, trace su grafica:

a) y2 = x3

b) 5x+ 2y 20 = 0c) 4x2 + 3y2 12 = 0d) 9x2 4y2 = 36e) x3 x y = 0f ) x2 + 4y2 2x 16y + 13 = 0g) x2 + 4x+ 3y + 1 = 0

h) y = x3 + x2 9x 9

1.4. GRAFICACION DE CURVAS EN EL PLANO 9

i) xy 2y 3 = 0j ) xy 2x 1 = 0k) x2y 4y x = 0

2. Utilice una computadora para graficar cada una de las ecuaciones dadasen el ejercicio anterior.

Captulo 2

Derivacion

2.1. Ejercicios

En los siguientes ejercicios, obtenga la ecuacion de la recta tangente a lacurva dada en el punto dado, utilizando las dos definiciones de pendiente ala recta tangente.

Recuerde que si una C curva esta determinada por la ecuacion y = f(x),entonces la pendiente de la recta tangente a C en el punto P (a, f(a)) esta de-finida por:

m = lmxa

f(x) f(a)x a

o, equivalentemente

m = lmh0

f(a+ h) f(a)h

1. y = 9 x2; P (2, 5)

2. y = x2 + 4; P (1, 5)

3. y = x2 6x+ 9; P (3, 0)

4. y = x3 + 3; P (1, 4)

5. y = 1 x3; P (2,7)

6. y =

4 x; P (5, 3)

7. y = 4x2

; P (2, 1)

11

12 CAPITULO 2. DERIVACION

8. y = 8x

; P (4,4)

9. y = x3 4x; P (0, 0)

10. y =8

x 2; P (6, 4)

En los siguientes ejercicios se tiene una funcion f(x). El objetivo es cal-cular de cuatro maneras el valor de f (2).

1. Utilice la definicion

f (2) = lmh0

f(2 + h) f(2)h

2. Utilice una calculadora o una computadora a fin de determinar losvalores del cociente de diferencias estandar

f(2 + h) f(2)h

cuando h toma los valores:

0.10, 0.09,0.08,0.07,0.06,0.05,0.04,0.03,0.02,0.01

y

-0.10, -0.09,-0.08,-0.07,-0.06,-0.05,-0.04,-0.03,-0.02,-0.01

3.

4. Utilice la definicion

f (2) = lmx2

f(x) f(2)x 2

5. Utilice una calculadora o una computadora a fin de determinar losvalores del cociente de diferencias estandar

f(x) f(2)x 2

cuando x toma los valores:

2.1. EJERCICIOS 13

2.10, 2.09,2.08,2.07,2.06,2.05,2.04,2.03,2.02,2.01

y

1.91, 1.92,1.93,1.94,1.95,1.96,1.97,1.98,1.99

a) f(x) = x3

b) f(x) =

6 xc) f(x) =

1

4 xEn Geometra se demuestra que dos rectas son paralelas si, y solo , si

tienen la misma pendiente m.Por otro lado, si la recta l1 tiene pendiente m1 y si la recta l2 tiene

pendiente m2, entonces se sabe que: l1 y l2 son perpendiculares si, y solo, si

m1 m2 = 1Teniendo esto en cuenta, resuelva los siguientes ejercicios:

1. Obtenga una ecuacion para la recta tangente a la curva y = 2x2 + 3que sea paralela a la recta 8x y + 3 = 0.

2. Encuentre una ecuacion de la recta normal a la curva y = 2 13x2 y

que sea paralela a la recta y = x.

3. Demuestre que no existe una recta que pase por el punto P (1, 2) y quesea tangente a a curva y = 4 x2.

Calculo de derivadas usando formulas.

Calcule y en cada caso:

1. y = x5 4x3 + 2x 3

2. y =1

5 x

3+ x2 0,5x4

3.5x3a

, con a R

4. y = axm + bxn, con a, b R y m,n N

5. y =ax6 + ba2 + b2

, con a, b R.


6. y =pi

x+ Ln(2)

7. y = 7x23 2x 52 + x3

8. y = x2 3x2

9. y =a

3x2 bx 3x , con a, b R.

10. y =a+ bx

c+ dx, con a, b, c, d R.

11. y =2x+ 3

x2 5x+ 5.

12. y =2

2x 1 1

x.

13. y =1 +t

1t .

14. y = 5sen(x) + 7cos(x)

15. y = tan(x) cotan(x)

16. y =sen(x) + cos(x)

sen(x) cos(x)17. y = 2xsen(t) (t2 2)cos(t)18. y = x arcsen(x)19. y = (1 + x2) arctan(x) x20. y = x7 ex

21. y =ex

x2

22. y =x5

ex

23. y = ex cos(x)

24. y =1

x 2Ln(x) Ln(x)

x

2.1. EJERCICIOS 15

25. y =

(ax+ b

c

)3, con a, b, c R

26. y = (5 + 2x3)4

27. y =1

24(2x 1)7 3

40(2x 1)6 5

56(2x 1)5

28. y =

1 x2

29. y = 3a+ bx3, con a, b R

30. y = tan(x) tan3(x)

3+tan5(x)

5

31. y =1

6 (1 3cos(x))2

32. y = (5x+ 2)(7x 3)(9x+ 4)

Captulo 3

Integracion

3.1. Calculo de areas. Sumas de Riemann.

Ejercicio 1: Recuerde que si f : [a, b] R es una funcion continua talque f(x) = 0, para todo x [a, b], entonces el area de la region R, A(R),limitada por el eje X, las rectas verticales x = a y x = b y la curva y = f(x)esta dada por la formula

A(R) = lmx

[n

i=1

(b an

) f(a+ i

(b an

))]Utilice esta formula para calcular el valor exacto del area de las regiones

del plano dadas a continuacion. En cada caso, dibuje la grafica.

1) a = 2, b = 2, f(x) = 4 x2.2) a = 0, b = 1, f(x) = x3 + 3.

3) a = 2, b = 5, f(x) = (x 2)2.4) a = 1, b = 3, f(x) = x2 + 1.5) a = 2, b = 5, f(x) = (x 2)2 + 3.

Ejercicio 2: Recuerde que si f : [a, b] R es una funcion continua talque f(x) = 0, para todo x [a, b], entonces el area de la region R, A(R),limitada por el eje X, las rectas verticales x = a y x = b y la curva y = f(x),se puede aproximar calculando valores de las sumas de Riemann:

Sn =n

i=1

(b an

) f(a+ i

(b an

))

17

18 CAPITULO 3. INTEGRACION

Aproxime el area de las regiones dadas a continuacion utilizando el valordado de n.

1) a = 1, b = 10, f(x) =1

x, n = 10.

2) a = 2, b = 7, f(x) =1

x2, n = 10.

3) a = 0, b = 1, f(x) = x3.

4) a = 0, b = 1, f(x) =x.

5) a = 0, b = 3, f(x) = 9 x2.

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