problemario de la asignatura de calculo diferencial e integral

Prof. Jorge Luis Rosas Mendoza Enero 2008

1

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

UNIDAD PROFESIONAL INTERDISCIPLINARIA DE BIOTECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

PROBLEMARIO DE LA ASIGNATURA DE

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

PROFESOR

M EN C JORGE LUIS ROSAS MENDOZA

ENERO DEL 2008


2

Ejercicios Funciones

Funciones reales de una variable real.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8. Definiciones de función, dominio, rango y gráfica Operaciones con funciones. Determinar el dominio natural de la función.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.


3

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28. Para determinar

a)

b)

c)

29. Para , determinar

a)


4

b)

c)

30. Para Determine y simplifique


32. Para Determine cada valor

a)

b)

c)

33. Para , encuentre cada valor

a)

b)

c)



36. Determinar una función f que tenga las siguientes propiedades: su dominio es [–2, 2], y f(0)= f (– 2) = f (2) = 0.

37. Determinar una función f que tenga las siguientes propiedades: su dominio es R, f (3) = 0, f (– 2) = 0 y f

(0) = – 36 Encuentra la expresión para la función cuya gráfica es la curva dada.

38. El segmento rectilíneo que une los puntos (–2, 1) y (4, –6) 39. La mitad inferior de la parábola x + (y – 1)2 = 4.

Determine si la curva es la grafica de una función de x. Si lo es, dé el dominio y la imagen de la función.


5

40.

41.

42.

43.


6

¿Cuáles de las relaciones siguientes determinan una función f con fórmula ? Para aquellas que lo

sean, determine . Sugerencia: Despeje a y en términos de x y observe que la definición requiere un solo valor de y para cada x.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51. La grafica que se muestra da el peso de cierta persona como función de la edad. Describa con palabras la manera en que varía el peso de esta persona a lo largo del tiempo ¿Qué piensa el lector que sucedió cuando esta persona tenia 30 años?

52. La grafica que se muestra da la distancia a la que se encuentra un vendedor de su casa como función del tiempo en cierto día. Describa con palabras lo que la grafica indica respecto al recorrido del vendedor en este día.


7

53. Usted pone algunos cubos de hielo en un vaso, lo llena con agua fría y lo deja sobre una mesa. Describa como cambia la temperatura del agua a medida que pasa el tiempo. A continuación, trace una grafica aproximada de la temperatura del agua como función del tiempo transcurrido.

54. Trace una grafica aproximada de la temperatura exterior como función de la época, durante un día

típico de primavera.

55. El propietario de una casa corta el césped cada miércoles por la tarde. Trace una grafica aproximada de la altura del césped como función del tiempo durante un periodo de cuatro semanas.

56. En la tabla, se muestra la población P (en miles) de San José, California, desde 1984 hasta 1994. (Se

dan las estimaciones correspondientes a la mitad del año.) t 1984 1986 1988 1990 1992 1994 P 695 716 733 782 800 817

(a) Dibuje una gráfica de P como función del tiempo. (b) Use la gráfica para estimar la población de 1991.

57. El 18 de marzo de 1996, en Atlanta, Georgia, se registraron las lecturas T de la temperatura, cada dos

horas, desde la media noche hasta medio día. El tiempo t se midió en horas a partir de la media noche.

T 0 2 4 6 8 10 12 T 58 57 53 50 51 57 61

(a) Use las lecturas para trazar una gráfica aproximada de T como función de t. (b) Utilice la gráfica para estimar la temperatura a las 11 A.M.


8

Ejercicios

Operaciones Algebraicas Determine : a) b) c)

d) e) f)

g) h) y calcule sus dominios.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Respuesta:

8.

9.

10.

11.

12.

13. Supóngase que G es una función y x es un número tal que , ¿Cuál es el valor de

15 veces. Exprese la función F(x) en la forma .

14.


9

15.

16.

17.

18. Sea Demuestre que , siempre y cuando

19. Sea Demuestre que , siempre y cuando .y

20. Sea Demuestre que , siempre y cuando .y


10

Ejercicios

Operaciones gráficas

Trace las gráficas de f para los tres valores de c en un mismo sistema coordenado (utilice desplazamientos verticales, desplazamientos horizontales, ampliaciones o reducciones y reflexiones).

1. ; c=0, c=1, c=-3. 2. ; c=0, c=-1, c=2. 3. ; c=0, c=1, c=-2.

4. c= -1, c= -2, c=1.

5. ; c=1, c= 2, c= -1.

6. ; c= -1, c=3, c=1.

7. ; c=0, c=3, c=1.

8. ; c=0, c=-4, c=2.

9. ; c=0, c=2, c=-1.

10. ; c=0, c=4, c=-2.

11. ; c=0, c=4, c=-2

12. ; c=0, c=-2, c=3.

13. ; c=1, c=2, c=3.

14. ; c=0, c=4, c=-3.

15. ; c=0, c=5, c=-2.

16. ; c=0, c=5, c=-2.

17. ; ; c=-1, c=2, c=3.

18. ; ; c=-1, c=2, c=3.

19. ; ; c=-1, c=2, c=3.

20. ; ; c=-1, c=2, c=3.

21. ; ; c=1, c=-2, c=3.

22. ; c=0, c=2, c=-1.

23. ; c=0, c=-2, c=1.

24. ; c=0, c=2, c=-1.

25. ; c=1, c=2, c=-1.

26. c= -1, c= -2, c=1.

27. ; c=1, c= 2, c= -1.


11

Bosqueje las gráficas de las siguientes funciones

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.


12

Ejercicios Aplicación de Funciones

1) (Superficie de un cilindro en función del radio) Se desea construir un recipiente cilíndrico de metal sin

tapa que tenga una capacidad de 1 m3. Exprese el área de la superficie como una función del radio del cilindro.

2) (Área de un rectángulo en función de un lado ) Un rectángulo tiene un perímetro de 20 m. Exprese el área

del rectángulo como función de la longitud de uno de sus lados. 3) (Costo de las paredes de un edificio) Un edificio de oficinas está construido sobre un área de 46 m2. El

plano del piso se muestra en la figura. Suponiendo que el costo de las paredes es de $1000 pesos el metro lineal, exprese el costo C de las paredes como una función del ancho x. (Desprecie la porción de pared sobre las puertas).

4) (Caja sin tapa) Se desea construir una caja sin tapa a partir de una hoja de cartón rectangular que tiene

dimensiones 15cm X 20cm. Para ello se recortarán cuatro cuadrados idénticos de área x2, uno en cada esquina y se doblarán hacia arriba los lados resultantes. Exprese el volumen V de la caja como una función de x.

x | ? | x

20

5) (Costo de viaje en taxi) Un taxista cobra 5 pesos por el primer kilómetro (o fracción de kilómetro) y 2

pesos por cada décimo de kilómetro (o fracción) siguiente. Expresa el costo, C, de un viaje como una función de la distancia x, recorrida en kilómetros, para 0 < x < 2, y traza la gráfica de esa función.

6) (El primero Problema de la Ventana) Una ventana normanda tiene la forma de un rectángulo coronado

por un semicírculo. Si el perímetro de la ventana es de 30 pies, exprese el área A de ella como función del ancho x de la misma.

30


13

7) (Distancia recorrida por un globo)Un globo de aire caliente se suelta a la 1 P.M. y se eleva verticalmente a razón de 2m/s. Un punto de observación esta situado a 20m del punto en el suelo que se encuentra ubicado directamente abajo del globo. Sea t el tiempo en segundos transcurridos a partir de la 1 P.M. . Exprese la distancia d del globo al punto de observación como una función de t.

8) (Tiradero de basura ) Un tiradero de basura de forma rectangular tiene 400 Km2 y va a ser cercado.

Exprese el costo de la cerca en función de uno de sus lados x., si el precio es de $4.00 dólares el metro lineal de cerca,

9) (El Problema del Libro) Las páginas de un libro deben tener cada una 600 cm2 de área con márgenes de 2

cm. abajo y a los lados y 3 cm. arriba. Exprese el área impresa en función de uno de sus lados. 10) (Volumen de un cubo) Exprese el volumen V de un cubo como una función del área total de su superficie. 11) (Perímetro de un rectángulo ) Un rectángulo tiene un área de 16 m2. Exprese su perímetro como función

de la longitud de uno de sus lados. 12) (El equilibrista) La figura muestra las instalaciones de un equilibrista en el alambre. La distancia entre

los postes es de 16m, pero aun no se ha determinado la altura del punto de amarre P.

a) Exprese la longitud L como una función de la altura x del punto P.

b) Determine la altura del punto de amarre P suponiendo que el alambre o cuerda tiene una longitud de 24m.

13) (Remar o caminar ) Un hombre se encuentra en un bote a 2 kilómetros del punto mas cercano A de la costa, que es recta, y desea llevar a una casa que se encuentra en un punto B de la citada costa, a 6 kilómetros de A. El hombre piensa en remar hasta un punto P entre A y B que se encuentra a x millas de la casa y luego caminar el resto. Suponiendo que puede remar a una velocidad de 3 km/h por hora y caminar 5 km/h, exprese el tiempo total T que le tomará llegar a la casa, como una función de x.


14

14) (Costo de la pintura de un depósito rectangular ) Se desea pintar un depósito rectangular de base

cuadrada, abierto por arriba. Debe tener 125 M3 de capacidad. Si el costo de las caras laterales es de $2.00 pesos por metro cuadrado, y el del fondo es de $4.00 por metro cuadrado, Exprese el costo en función del lado, x, de su base.

15) (El Problema del Triángulo) Sea dado un punto (x0 , yo)) que se halla en el primer cuadrante en un

sistema de coordenadas rectangulares. Trazar por este punto una recta de manera que forme un triángulo con las direcciones positivas de los ejes de coordenadas. Hallar una expresión para el área del triángulo.

16) (El incendio) Un incendio comienza en un campo abierto y seco, y se extiende en forma de círculo. El

radio de tal círculo aumenta a razón de 6m/min. Exprese el área con fuego como una razón del tiempo t. 17) (La onda) Se deja caer una piedra en un lago, que crea una onda circular que viaja hacia fuera a una

velocidad de 60 cm/s. Exprese el radio r de este circulo como función del tiempo t (en segundos). Si A es el área de este circulo como función del radio, encuentre A o r e interprétala.

18) (Área de un triángulo equilátero) Exprese el área del triángulo equilátero como función de la longitud de

uno de sus lados. 19) (Longitud y diagonal de un cuadrado ) Exprese la longitud del lado de un cuadrado como una función de

la longitud d de la diagonal. Luego, exprese el área como una función de la longitud de la diagonal. 20) (El problema del alambre). Se tiene un alambre de 100cm de largo. Se corta en dos partes para construir

con uno de los trozo de alambre un cuadrado y con el otro un circulo. Exprese la suma de las áreas del cuadrado y del círculo como una función de x.

21) (El Segundo Problema de la Ventana) Una ventana tiene la forma de un rectángulo coronado con una

triángulo equilátero. El área de la ventana es de 6 metros cuadrados. Exprese el perímetro de la ventana como una función de uno de sus lados, x.

22) (El potrero) Se dispone de 400 m de alambrado para cercar un potrero rectangular. Expresar el área del

potrero en función de uno de sus lados (x). 23) (La torre y el avión ) En la figura se muestran las posiciones relativas de una avión y una torre de control

de 20 metros de alto. El principio de la pista se encuentra a una distancia de 300 metros de la base de la torre, sobre la perpendicular. Exprese la distancia x que el avión ha recorrido sobre la pista.

24) (El Problema del Cable más Corto) Dos postes con longitudes de 6 y 8 metros respectivamente se

colocan verticalmente sobre el piso con sus bases separadas una distancia de 10 metros. Exprese la longitud de un cable que pueda ir desde la punta de uno de los postes hasta un punto en el suelo entre los postes y luego hasta la punta del otro poste.


15

25) (El Problema del Yate y el Vapor) Un yate se mueve en línea recta hacia el punto donde se encuentra un vapor con una velocidad de 60 km/h. En el momento en que la distancia entre ambos es de 4 km, el vapor se empieza a mover en dirección perpendicular a la del yate con una velocidad de 25 km/h. Determinar la distancia entre las embarcaciones después de t horas en que el vapor se empieza a mover.

26) (El Problema de la Escalera) Una cerca de 8 pies de altura colocada al nivel del piso corre paralela a un

edificio alto. La cerca se encuentra a un pie del edificio. Exprese la longitud de la escalera que puede colocarse en el suelo y recargarse en el edificio por encima de la cerca como una función de x.

27) (Superficie y volumen de un cubo) Exprese el área superficial de un cubo como función de su volumen. 28) (Segundo problema de la caja) Una caja rectangular abierta, con volumen de 2m3, tiene una base

cuadrada. Exprese el área superficial de la caja como función de la longitud de uno de los lados de la base.

29) (Problema del Canalón) Una pieza larga y rectangular de lámina de 50 cm. de ancho va a convertirse en

un canal para agua doblando hacia arriba dos de sus lados hasta formar ángulos de 120º con la base. Exprese el volumen del canalón

30) (El Problema del Vaso Cónico) Un vaso cónico de papel tiene capacidad de 100 cm3. Expresar el área de

la cantidad de papel que se usa para fabricarlo como una función del radio. 31) (La tienda de campaña)Se desea construir una tienda de campaña con forma de pirámide de base

cuadrada. Un poste de metal colocado en el centro será el soporte de la tienda. Se cuenta don s pie cuadrados de lona para los cuatro lados del albergue y x es la longitud de la base. Demuestre que el

volumen V de la tienda es

32) (El Problema del Correo) Un paquete puede enviarse por correo ordinario solamente si la suma de su

altura y el perímetro de su base es menor que dos metros y medio. Exprese el volumen de una caja que puede enviarse por correo si la base de la caja es cuadrada.

33) (El cilindro y el cono ) Un cilindro circular recto de radio r y altura h esta inscrito en un cono de

altura 12 y radio de base 4, como se ilustra en la figura.

a) Exprese h como una función de r (sugerencia: use triángulos semejantes.)

b) Exprese el volumen V del cilindro como una función de r.


16

34) (El Problema del Triángulo Isósceles) Hallar una expresión para el área de un triángulo isósceles de perímetro p = 40 cm.

Ejercicios

Ejercicios Propiedades de las funciones

I.- a) Determine si f es par, impar o ninguna de las dos. b) Trace un bosquejo de la gráfica de la función. c) Determine si f es monótona. d) Determine si f es biunívoca o no. Explique. e) Si la función no es biunívoca de los intervalos más grandes donde es biunívoca. 1)

2)

3) 4)

5) 6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)


17

14)

15) 16)

17)

II.- Establezca si cada una de las funciones es par o impar o bien, ninguna de las dos. Demuestre sus

afirmaciones. 18) La suma de dos funciones impares es impar. 19) No todo polinomio de grado impar es una función impar. 20) La suma de dos funciones pares es par. 21) El producto de dos funciones impares es impar. 22) La suma de dos funciones impares es impar. 23) El producto de dos funciones pares es par. 24) El producto de una función impar y una par es impar . 25) No todo polinomio de grado par es una función par. III.- Sea F cualquier función cuyo dominio contiene a –x siempre que contenga a z. Demuestre que 26) 27) 28) F siempre puede expresarse como la suma de una función par y una función impar. III.- Determine si la función dada tiene inversa en todo su dominio.

Si no tiene inversa en todo su dominio, dé un dominio en el que la función tenga inversa. Calcule la función inversa. Determine el dominio y la imagen de la función inversa. Grafique las dos funciones en un mismo plano.

29)

30)

31)

32)

33)

34)

35)

36)

37)


18

38)

39)

40)

41)

42)

43)

44)

45)

46)

47)

48)

IV.- Determinar si la f unción dada es periódica y calcule el periodo.

49)

50)

51)


19

Límites Métodos para calcular límites

Ejercicios Técnicas para determinar límites

I.- Trace la gráfica de la función f definida por partes y determine los límites si es que existen. a) b) c)

1)

2)

3)

4)

II.- Utilice simplificaciones algebraicas como ayuda para evaluar el límite, si es que existe.

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)


20

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)


21

27)

28)

29)

30)

31)

32)

33)

34)

35) Si hallar

36) Si hallar

37) Si hallar

38) Si hallar

39) Trace la gráfica de un ejemplo de una función f que satisfaga todas las condiciones dadas.

a) b)

c) d)

f)

¿Hay un número a tal que exista? Si es así, determina los valores


22

Funciones continuas Funciones seccionalmente continuas

Ejercicios

Continuidad I.-Demuestre que la función f es continua en el número a dado.

1. , a = 4

2. , a = -1

3.

4. , a = 3

5.

6.

7.

8.

II.- Demuestre que f es continua en el intervalo indicado.

9.

10.

11.

12.

13. en [-1, 3].

14.

en [-2, 5]


23

15.

en [-3, 3]

16.

en [-4, 3]

III.- Encuentre todos los números en los que la función f es continua

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.


24

IV.- Describa el tipo de discontinuidad que tienen las siguientes funciones y si la discontinuidad es removible define una nueva función que sea continua.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35. =

36.

37.

38.

39.

40. Encuentre un valor de c para el cual f sea continua en todo ℜ.


25

41. Dar una función necesaria y suficiente sobre A y B para que la función sea continua en x=2 pero discontinua en x=1.

42. Encuentre un valor de c para el cual f sea continua en todo ℜ.

43. Encuentre un valor de c y d para los que f sea continua en [-3,3].

44. Encuentre el valor de c, para que f sea continua en [-2 3].

45. Determinar los valores de c para que f sea continua en todo ℜ.

46.

47. Determinar los valores de a para que f sea continua en todo ℜ.

48. Encuentre un valor de a y b para los que f sea continua en todo ℜ.

49. ¿Es continua f en 3? Justifique su respuesta.



26

51. ¿Es continua f en –1? Justifique su respuesta


53. Sean

Determine si las funciones compuestas fog y gof son continuas en x=0.

54. Un vendedor tiene un salario básico de $10,000.00 y recibe $1000.00 por cada $50,000 de las ventas que excedan $100,000.00. Trace la gráfica que muestre su ingreso como función de las ventas. Discuta la discontinuidad de la función.

55. La cuota de un estacionamiento para automóviles es de $10.00 por la primera media hora y $5.00 por

cada media hora o fracción adicional. Hasta un máximo de $50.00. Encuentre una función f que relacione la cuota con el tiempo que se deja un automóvil en el estacionamiento. Trace la gráfica de f y discuta la continuidad de f.


27

La derivada La derivada como razón de cambio Interpretación geométrica Propiedades de la derivada. Derivada de las operaciones elementales. Incrementos y diferencias Regla de la cadena y función inversa Derivación implícita Derivadas de orden superior

Ejercicios Derivada usando la definición

I.- Calcular la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto dado.

1.

2.

3.

4.

II.- Calcular el dominio de . Trace la gráfica de f y f ‘.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

III.- Cada límite representa la derivada de una función en un número c. Determinar f (x) y c.

12.


28

13.

14.

15.

16. Calcular A y B suponiendo que la función

es diferenciable en x=1.

17. Sea g la función definida por

Demostrar que g es diferenciable en x=c. ¿Cuál es su

derivada ? IV.- Dar un ejemplo de una función f, definida para todos los reales, que verifique las siguientes condiciones.

18. para todo ; no existe.

19. existe para todo ; no existe.

20. ;

21. para ; para ;

22. Sea

a) Demostrar que f es continua en x=0 y discontinuas en cualquier . b) ¿Pueden ser f una función diferenciable en un valor x donde ? c) Demostrar que f no es diferenciable en x=0.

23. Sea

a) Demostrar que g es una función ontinua en x=0 y discontinuas en cualquier . b) ¿Pueden ser g una función diferenciable en un valor x donde ? Explicarlo. c) Demostrar que g es diferenciable en x=0 y calcular .


29

24. Sea

a) Demostrar que f es una función continua en x=0. b) Demostrar que f no es diferenciable en x=0.

25. Sea

a) Demostrar que g es una función continua en x=0. b) Demostrar que g es diferenciable en x=0 y calcular .

26. Sea

a) ¿Es continua la función? Si no es continua, indique el tipo de discontinuidad que tiene. b) ¿Es derivable la función en: x = -3, x = -1, x = 0, x = 1, x = 3? a) ¿Es derivable la función?

27. Sea

a) Es la función continua? b) ¿Es la función derivable?

28. Sea con dominio .

a) ¿Es continua la función? b) ¿Es derivable la función?


30


31

Ejercicios

Reglas de derivación

I:- Calcular la derivada de las siguientes funciones

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

II.- Hallar una fórmula para derivada n-ésima.

14.

15.

16. a, b y c constantes

17. n entero positivo, a,b constantes

III.- Calcular y’.

18.

19.

20.

21.


32

22. Hallar los coeficientes A, B, C, D de tal modo que la curva sea tangente a la recta en el punto (1,0) y tangente a la recta en el punto (2,9).

23. Determinar los coeficientes A, B y C de tal modo que la curva pase por el punto (1,3) y sea tangente a la recta en el punto (2,0).

24. Hallar el o los valores de x para los que la tangente a la gráfica de la función cuadrática es una recta horizontal.

25. Hallar condiciones en A,B,C y D que garanticen que la gráfica del polinomio cúbico tenga:

a) Exactamente dos tangentes horizontales.

b) Exactamente una tangente horizontal.

c) Ninguna tangente horizontal.

26. Demostrar la regla del producto

27. Demostrar la regla del cociente.

28. Hallar A y B para que la derivada sea continua para todo x real.

29. Hallar A y B para que la derivada sea continua para todo x real.

30. Sea , donde n es un entero positivo.

a) Hallar Para k=n.

b) Hallar Para k<n.

c) Hallar Para k>n.

31. Dada la función polinomial

a) Hallar

b) ¿Cuál es para k>0?

32. Si Demostrar que


33

33.

34. Comprobar la identidad

35. Una función L tiene la propiedad de que para toda . Calcular la derivada de

36. Sean f y g funciones diferenciables tales que y , y sea

. Hallar .

37. Sean f y g funciones diferenciables tales que y , y sea

. Hallar .

38. Sea f una función diferenciable. Utilizar la regla de la cadena para demostrar que: a) Si f es par, entonces f’ es impar.

b) Si f es impar, entonces f’ es par.

39. Sea

a) Demostrar que f es diferenciable en x=0 y dar .

b) Determinar para todo x.

c) Demostrar que no existe.

d) Dibujar las gráficas de y .

40. Sea

a) Demostrar que tanto como existen y dar sus valores.

b) Determinar y para todo x.

c) Demostrar que no existe.

d) Dibujar las gráficas de , .y .


34

Rapidez de variación Razones de cambios relacionadas. Para resolver los problemas de variación relacionada posemos seguir los siguientes pasos:

1) Dibujar una diagrama, cuando sea pertinente, e indicar las cantidades que varían.

2) Especificar en forma matemática la tasa de variación que se está buscando y recopilar toda la

información dada

3) Hallar una ecuación que implique la variable cuya tasa de variación se debe hallar.

4) Diferenciar respecto a t la ecuación hallada en el paso 3).

5) Enunciar la respuesta final de forma coherente, especificando las unidades empleadas.

1) Una escalera de 10 metros está apoyada contra la pared de un edificio. La base de la escalera resbala alejándose de la pared a razón de 2m/s. ¿Con qué rapidez desciende el extremo superior de la escalera cuando se encuentra a 6 metros del piso?

Respuesta: En el instante en el que y=6 la escalera resbala verticalmente a razón de

2) Una persona comienza a correr a partir de un punto A hacia el este, a una velocidad de 3 m/s. Un minuto después, otra persona sale corriendo desde A hacia el norte a 2 m/s. ¿Cuál es la rapidez de variación de la

distancia entre las personas un minuto más tarde? cuando

3) A las 10:00 horas el barco A se encuentra a 25 kilómetros al sur del barco B. Suponiendo que A navega

hacia el oeste a razón de 12km/h, y que B navega hacia el sur a 16km/h ¿cuál es la rapidez de variación de la distancia entre los barcos a las 11:00?.

Nota: Observe que 4) Un vaso de papel en forma de cono con un diámetro de 10 centímetros y una profundidad de 10

centímetros está lleno de agua. El vaso pierde agua por abajo a razón de 2 centímetros cúbicos por minuto. ¿A qué velocidad está bajando el nivel del agua en el instante en el cual tiene exactamente 5 centímetros de profundidad.

Respuesta:

5) Cuando un disco metálico circular se calienta, su diámetro aumenta a razón 0.01 cm/min. ¿cuál es la rapidez de cambio del área de uno de sus lados, cuando el diámetro es de 15 cm?.

6) Un hombre que está en un muelle tira de una cuerda atada a la proa de un bote que se halla 30 cm sobre

el nivel del agua. La cuerda pasa sobre una polea simple que se encuentra en el muelle a 2 m del agua (véase la figura). Si tira de la cuerda a razón de 1 m/s, ¿con qué rapidez se acerca el bote al muelle en el momento en que la proa está a 6 m del punto sobre el agua que se encuentra directamente abajo de la polea.


35

7) Un globo de aire caliente se eleva en forma vertical y una cuerda atada a la base del globo se va soltando a razón de 1.5 m/s. El torno desde el cual se suelta la cuerda está a 6 m de la plataforma de abordaje. ¿Si se han soltado 150 m de cuerda, con qué rapidez asciende el globo?

8) Un globo esférico se está expandiendo. Si su radio crece a razón de 1 centímetro por cada 30 segundos. ¿con qué rapidez crece el volumen cuando el radio es de 5 centímetros.+

9) Una partícula se mueve en el sentido de las manecillas del reloj en una órbita circular dada por

. Cuando la partícula pasa por el punto , su ordenada disminuye a razón de 2 unidades por segundo. ¿Con qué rapidez varía su abscisa?

10) Un depósito para agua con sección vertical transversal en forma de triángulo equilátero se llena a razón

de 1 metro cúbico por minuto. Suponiendo que la longitud del depósito es de 3 metros. ¿con qué rapidez sube el nivel del agua en el momento en el cual ésta alcanza una profundidad de 2 metros.

11) Dos aviones uno rumbo al oeste y el otro al este, se aproximan uno a otro siguiendo dos trayectorias

paralelas que distan 80 metros. Sabiendo que ambos aviones vuelan a una velocidad de 800km por hora, ¿con qué rapidez está disminuyendo la distancia entre ambos cuando distan entre sì 100 kilómetros.

12) Un vaso de papel tiene forma de cono, de 10 centímetros de alto y 5 centímetros de radio en la base. Se

suministra agua a razón de 2 centímetros cúbicos por minuto. ¿cuál es la rapidez de cambio del nivel del agua cuando tiene exactamente 5 centímetros de profundidad.

13) Un globo despega a 500 metros de un observador y se eleva verticalmente a la velocidad de 140 metros por minuto. ¿Con qué velocidad está creciendo el ángulo de inclinación de la visual del observador en el instante en el cual es globo está exactamente a 500 metros del suelo? Respuesta: El ángulo de visión crece a razón de 0.14 radianes por segundo es decir aproximadamente 8 grados.

14) Una escalera de 15 metros de largo está apoyada contra un edificio. Si la base de la escalera se separa de

la pared a razón de 0.2 metros por segundo, ¿ con qué velocidad está cambiando el ángulo formado por la escalera y el suelo en el instante en el cual el otro extremo de ésta se encuentra a 10 metros del suelo?. Respuesta: En el instante en el que el extremo de la escalera está apoyada a 10 mtros. Del cuelo, el ángulo formado por el otro extremo y el suelo, disminuye a razón de 0.02 rad. por seg.


36

Valores extremos y gráficas Máximos y mínimos Criterio de la primera derivada Concavidad y criterio de la segunda derivada Gráficas con elementos de derivación

Ejercicios Máximos Mínimos y Concavidades

I.- Calcule los valores máximos y mínimos absolutos de f sobre el intervalo dado.

1.

2.

3.

4.

5.

6. [-1,3]

7.

8.

9. [-4, 5]

10. 11.

12. [-1,8]

13. II.- Calcule los máximos y mínimos locales de f. Describa los intervalos en los que f es creciente o decreciente y

trace la gráfica de f.

14.

15.

16.


37

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

III.- Halla los intervalos en los que f es creciente, o decreciente. Halla los valores máximos o mínimos de f. Halla

los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión. Bosqueje la gráfica de la función.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.


38

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48. 49.

IV.- a. Halle las asíntotas verticales y las

horizontales. b. Halle los intervalos de crecimiento o decrecimiento. c.- Halle los valores máximos y mínimos locales. d.- Halle los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión. e.- Bosqueje la gráfica de la función.

50.


39

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

VI.- Trace la gráfica de una función continua f que satisfaga todas las condiciones dadas.

58.

si

si

si

si .

59.

si

si

si o si

si o si Aplicaciones de máximos y mínimos

Ejercicios Aplicaciones de máximos y mínimos

1) Halle el rectángulo de área más grande que se puede inscribir en un triángulo equilátero de lado L si un

lado del rectángulo se encuentra sobre la base del triángulo.


40

2) Un trozo de alambre de 1m de largo se corta en dos partes. Una se dobla para formar un cuadrado y la otra para formar un triángulo equilátero. ¿Cómo debe cortarse el alambre de modo que el área total encerrada sea (a) máxima y (b) mínima?

3) Por experiencia, el gerente de un complejo de apartamentos de 100 unidades sabe que se ocuparán todos

si la renta es de 400 dólares al mes. Una investigación del mercado sugiere que, en promedio, quedará una unidad adicional vacía por cada incremento de 5 dólares en la renta. ¿Cuánto debe cargar el gerente por renta para maximizar el ingreso?.

4) Demuestre que de todos los rectángulos con área dada, el que tiene perímetro menor es el cuadrado.

5) Un yate se mueve en línea recta hacia el punto donde se encuentra un vapor con una velocidad de 60

km/h. En el momento en que la distancia entre ambos es de 4km, el vapor se empieza a mover en dirección perpendicular a la del yate con una velocidad de 25 km/h. Determinar el momento en que las embarcaciones se encuentran a la mínima distancia.

6) Se va a construir una vía de ferrocarril de un pueblo A a un pueblo C, que cambiará su dirección t grados hacia C, en un punto B. Debido a las montañas que hay entre A y C el punto B de la curva debe estar por lo menos 20 Km al este de A. El costo de la construcción es de 500,000 pesos por kilómetro entre A y B, y de 1000000por kilómetro entre B y C calcule el ángulo t para el cual el costo de la construcción es mínimo.

7) (El problema de la escalera) Una Cerca de 8 pies de altura colocada al nivel del piso corre paralela a un edificio alto. La cerca se encuentra a un pies del edificio. Encuentre la longitud de la escalera más corta que puede colocarse en el suelo y recargarse en el edificio por encima de la cerca.

8) (El problema de la ventana) Una ventana tiene la forma de un rectángulo coronado con un triangulo

equilátero. El área de la ventana es de 3.4 metros cuadrados. Encuentre las dimensiones del rectángulo para el cual el perímetro de la ventana sea mínimo.

9) Dos pasillos de 3m y 4m de ancho se encuentran formando un ángulo recto evalùe la longitud de la barra

rígida más larga que puede transportarse horizontalmente dando vuelta a la esquina, (Desprecie el grosor de la barra).

10) Sea dado un punto (x0, y0) que se halla en el primer cuadrante en un sistema de coordenadas

rectangulares. Trazar por este punto una recta de manera que forme un triangulo de área mínima con las direcciones positivas de los ejes de coordenadas.

11) Si un cultivador californiano planta 200 naranjos por acre, el rendimiento promedio es de 300 naranjas

por árbol. Por cada árbol adicional que siembre por acre, el cultivador obtendrá 15 naranjas menos por árbol. ¿Cuántos árboles por acre darán la mejor cosecha?

12) Calcule las dimensiones del cilindro circular recto de mayor volumen que se puede inscribir en un cono

de radio a y altura h.

13) Un hombre se encuentra en un bote a 2 kilómetros del punto mas cercano A de la costa, que es recta, y desea llevar a una casa que se encuentra en un punto B de la citada costa, a 6 kilómetros de A. El hombre puede remar a una velocidad de 3 km/h y caminar 5 km/h. a) ¿Qué debe hacer para llegar a su casa en el menor tiempo posible. b) Que debe hacer si el hombre tiene una lancha de motor que puede viajar a 15km/h.

14) Girando un rectángulo de perímetro p alrededor de uno de sus lados, se genera un cilindro circular recto.

Calcule las dimensiones del rectángulo que producen el cilindro de mayor volumen.

15) Se desea construir una tienda de campaña con forma de pirámide de base cuadrada. Un poste de metal colocado en el centro será el soporte de la tienda. Se cuenta con S pies cuadrados para los cuatro lados de


41

la tienda y x es la longitud de la base. Demuestre que el volumen de la tienda es y

determine el valor de x para el que el volumen es máximo.

16) Una cartelera rectangular de 20 pie de altura está instalada arriba de un edificio de manera que su orilla inferior está 60 pie arriba del nivel de los ojos de un observador. ¿A qué distancia del edificio se debe colocar el observador para que el ángulo t entre las rectas que van de sus ojos a la orilla de arriba y a la de debajo de la cartelera sea máxima? (Este ángulo es con el que se obtendrá una mejor vista del cartel)


42

Funciones exponenciales y logarítmicas Derivadas de funciones logarítmicas Derivadas de funciones exponenciales Derivada de las funciones inversas Calcula la derivada de la función

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11. 12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.


43

41. Demostrar la propiedad si a y b son cualesquiera números reales positivos, en tanto que x y y son números reales.

(a) (b) (c) (d) (e)

42. Encontrar la segunda derivada de la siguiente función:

43. Si , , y . Determinar la segunda derivada de .

44. Considere para a fija a>0 y a≠0 demuestre que ƒ tiene una función inversa

y encuentre una fórmula para .

45. Para a>1 fija, sea f(x)= en [0, ) Demuestre que f(x) alcanza su máximo en x0=

46. Sea con . Demuestre que para cualquier u fija:

alcanza su máximo en x0 = u

47. Determinar y’ en

48. Para a) Trazar la gráfica b) Determinar los extremos relativos de f. c) Determinar los intervalos de crecimiento. d) Determinar los intervalos de decrecimiento. e) Determinar los intervalos de concavidad. f) Determinar los puntos de inflexión.

49. Sea demostrar que f (b + c) + f (b – c) = 2 f (b) f (c).

50. Demostrar la propiedad si a y b son cualesquiera dos números reales positivos diferentes de 1, en tanto que x y y son números reales.

(a) (b) (c)

(d) 51. Despeje x de las siguientes ecuaciones.

a) b) c) 52. Deducir la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica y = 2x en el punto en el

que x = 2. 53. Encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en los puntos dados.

(a) en (b) en

54. Explicar porqué conociendo los valores de y , se puede obtener, sin emplear calculadora, , , , , pero no .


44

55. La única solución de la ecuación es x = 1. Explica porque está es una solución y porque no existen otras.

Funciones trigonométricas Límites de las funciones trigonométricas Derivadas de las funciones trigonométricas Funciones trigonométricas inversas Composición de funciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas. Halla el valor exacto de cada expresión sin usar calculadora

1.

2.

3.

4. sen(arctan 2) 5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16. 17.

18.

19.

20.

21.

Hallar la expresión algebraica determinada por la expresión dada 22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

Verifica que las identidades son válidas 36.

37.

38.

39.

40.


45

41.

42.

43.

44.

45.

46.


46

Derivadas Hallar la derivada de la función

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55. 56.

57.

58.

59.

60.

61.

62.

63.

64. 65.

66.

67.

68. Obtener ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de y = sen – 1(x – 1) en el

punto


47

69. Despeje x de la ecuación:

70. Encuentre el punto de intersección de las gráficas de: y .

71. Obtener las ecuaciones de la recta tangente y normal a la gráfica de la ecuación

en

72. Hallar los puntos de la gráfica de y = tan– 12x en los que la recta tangente es paralela a la recta 13y – 2x + 5 = 0

73. Hallar los intervalos en los que la gráfica de y = tan– 1x tiene concavidad hacia arriba y concavidad hacia abajo

74. Dados los puntos A(3, 1) y B(6, 4) en un sistema de coordenadas rectangulares, encontrar la abscisa del punto P sobre el eje x para la que el ángulo APB toma su valor.

Encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la ecuación en el punto dado.

75.

76. arctan(xy) = arcsen (x + y) (0,0)

77.

78. (1, 0)

79. De un rectángulo de lados a y b se va a recortar un triángulo de base a y altura b. ¿Cómo se debe cortar el rectángulo para obtener el mayor ángulo θ posible?

80. Un observador está parado a 300 pies del punto en el que se suelta un globo. El globo se

eleva a una velocidad de ¿Qué tan rápido aumenta el ángulo de elevación desde la mira

del observador cuando el globo se halla a 100 pies de altura? 81. Un avión vuela horizontalmente a una altura de 4400m alejándose respecto de un observador.

Cuando el ángulo de elevación es , el ángulo decrece a razón de 0.05 . ¿Cuál es la

rapidez del avión en ese instante? 82. La altura oblicua del cono que se muestra en la fig. es 3m. ¿Cuál debe ser el ángulo θ para

maximizar el volumen del cono?


48

83. Una pintura de 50cm de altura está colgada

en una pared de modo que su parte inferior

está a 180 cm del piso, como se muestra

en la figura:

Un observador se encuentra a b pies de la pared y el nivel de sus ojos de pie es de 60cm.

a) Exprese θ en función de b.

b) Calcule θ si b = 4 cm

84. Una escalera de 12 m de longitud se recarga sobre una pared vertical. Si la base de la

escalera resbala horizontalmente alejándose de la pared de modo que su parte superior se

desliza hacia abajo a 3 m/s, ¿qué tan rápido está cambiando la medida del ángulo formado

por la escalera y el suelo cuando la base de la escalera está a 8 metros de la pared?

85. Hallar el ángulo

86. ¿Dónde debe elegirse el punto P sobre el segmento rectilíneo AB, de

modo que se maximice el ángulo θ?

87. En una galería de arte, una pintura tiene la altura h y

está colgada de modo que su borde inferior queda a una distancia d arriba del ojo del observador. ¿Cuán lejos de la pared debe pararse un observador para tener la mejor vista? (En otra palabras, ¿dónde debe situarse el observador a fin de que se maximice el


49

ángulo θ subtendido en su ojo por la pintura? 88. Estás en un salón de clases, sentado junto a

una pared, mirando la pizarra que se encuentra al frente. Esta mide 12 pies de largo y empieza a tres pies de la pared que esta junto a ti. (a) Demuestra que tú ángulo de visión es

si estas a x pies de la

pared de enfrente. (b) Deseas colocar tu silla junto a la pared, para ampliar al máximo tu ángulo de visión

. ¿A qué distancia del frente del salón debes sentarte? 89. ¿Qué valor maximiza el ángulo θ de la ilustración? ¿Cuál es la magnitud de θ en ese punto?

Empieza por mostrar que Funciones hiperbólicas Demostrar que las siguientes identidades son válidas. 1. 2.

3.

4.

5. 6.

7.

8.

9.

10.

11. Determinar el valor de cosh x, tanh x, ctgh x, sech x y csch x si


50

Calcular las siguientes derivadas 12. 13. 14. 15.

16.

17.

18. 19. 20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.


51

31. Una línea telefónica cuelga entre dos postes separados uno de otro a 14m en forma de

catenaria donde x y y están en metros.

(a) Encontrar la pendiente de la curva que toca al poste derecho. (b) Encontrar el ángulo entre la línea y el poste.

32. Demostrar que cualquier función de la forma y = Asenh mx + Bcosh mx satisface la ecuación

diferencial 33. Para y = Asenh mx + Bcosh mx encontrar y = y(x) tal que y’’= 9y, y(0) = – 4 y y’(0) = 6. 34. Si x = ln(secθ + tan θ), demostrar que secθ = cosh x.

35. Evaluar

36. ¿En qué punto de la curva y = cosh x la tangente tiene pendiente 1? 37. Hallar y’ si senh xy = yex 38. Hallar y’ suponiendo que x2tanh y = ln y 39. Mostrar la igualdad

40. Mostrar la igualdad

41. Determinar

42. Simplifica usando las definiciones de las funciones hiperbólicas.

43. Demostrar

Determinar la derivada de: 1. 2.

3.

4. 5. 6.

7. 8.

9.

10.

11.

12.

13.


52

La integral Integral definida y área bajo una gráfica Integral definida y sus propiedades Teorema fundamental del cálculo

Integral indefinida y cambio de variable

Técnicas de integración Integrales inmediatas Integración por sustitución trigonométrica Integración por partes Integración por fracciones parciales

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.


53

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.


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30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.


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47.

48.

49.

50.

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53.

54.

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59.

60.

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65.

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68.

69.

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71.

72.

73.

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76.

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80.

81.

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84.

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86.

87.

88.

89.

90.

91.

92.

93.


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95.

96.

97.

98.

99.

100.

101.

102.

103.

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107.

108.

109.

110.


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112.

113.

114.

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118.

119.

120.

121.

122.

123.

124.

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128.

129.

130.

131.

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146.

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148.

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150.

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155.

156.

157.


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Integrales de funciones exponenciales y logarítmicas

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

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58.

59.

60.

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63.

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94.

95.

96.

Integrales de las funciones trigonométricas


64

Integrales de las funciones inversas trigonométricas

97.

98.

99.

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101.

102.

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30. 31.

32.

33.

34.

35.


67

Áreas y volúmenes Áreas en dos dimensiones Área por Integral Determinar el área de la región limitada por f (x) y el eje x 1. 2. [0, 4] 3. [0, 3] 4. [0, 3] 5. [0, 2] 6. [0, 3] 7. [0, 5]

8. [– a, a] 9. [– 2, 1] 10. [– 2, 2]

11.

12. 13. 14. , [-3, 3]

15.

16.

17.

18. 19. 20. [1, e] 21. [1, 2] 22. y = sen x [0, π] 23. y = 1 + cos x [0, 3π]

24.

25.

26. [0, 1]

27. Determinar el área del triángulo formado por (1, 1), (2, 4), (3, 2) Área entre Curvas Calcular el área de la región acotada por las gráficas de las ecuaciones dadas 28.

29.

30.

31.


68

32. Calcular el área de la región limitada por la gráfica de la función , el eje x y

las rectas y 33. Calcular el área de la región limitada por la gráfica de la función , el eje x y

las rectas y . 34. Calcular el área de la región comprendida entre las curvas , , . 35. Calcular el área de la región acotada por las gráficas de las ecuaciones y . 36. Calcular el área de la región acotada por las graficas de y . 37. Encontrar el área de la región encerrada por las parábolas y . 38. Calcular el área de la región acotada por las gráficas de , , .

39. Encontrar el área de la región comprendida entre las curvas , en .

Calcular el área de la región acotada por las gráficas de las curvas. 40. , , x = 1 y x = 2.

41. , , x = 0 y x = . 42. y 43. y 44. y

45. y , , .

46. y , , . 47. , . Representar la región acotada por las gráficas de las ecuaciones, mostrar un rectángulo típico vertical u horizontal y calcular el área de la región. 48. y = x2 + 2x y y = – x + 4 en 49. y = x3 – 4x + 2 y y = 2 en [– 1, 3] 50. y = 6 – 3x2 y y = 3x en [0, 2] 51. y2 = 1 – x y 2y = x + 2 52. y – x = 6, y – x3 = 0 y 2y + x = 0 53. 3y + x2 = 6 y y + 2x – 3 = 0 54. y = sen x y y = cos x en [0,2 ].

55. , y = – x2, en x = 1 y x = 2

56. y = ln x, y = 2 ln x, x = 1 y x = 5. 57. x = y 2, x = y + 2 58. 59.

60.

61. 62. , ,

63. , 64. , 65. , , 66. , , ,

67. , , , 68. , , , 69. , , 70. , , 71. , , , 72. x + 4y2 = 4 y x + y 4 = 1 para x 0 73. y2 = –x, x – y = 4, para y = –1 y y = 2 74. y = 1 – x2, y = x – 1 75. y2 = 4 + x, y2 + x = 2 76. y = x, y = 3x, x + y = 4 77. x = 4y – y3, x = 0


69

78. y = 0 79. , en [– 2, 3] 80. , en [–3, 1] 81. , en

[– 2, 2]

82. , en [– 2, 3]

83. y = sen x, y = cos x en [0, ]

84. , en [0, ]

85. , , x = 2

86. , 87. , 88. , en [– 1, 2]

89. ,

90. , en

91. , en

92. ,

93. ,

94. , , x = 2

95. ,

96. , y = x

97. , en

98. , para y en

99. ,

100. , x = 0 en


70

101. Calcular el área de la región acotada

por la curva , el eje x, el

eje y y la recta x = 4. 102. Las graficas de y

se cortan 4 veces, limitando

2 regiones de la misma área. Calcular el área de estas regiones.

103. Calcular el área de la región limitada por la curva y = ex, los ejes coordenados y la recta x = 2.

104. Calcular el área de la región limitada por la curva y = ex, y la recta que pasa por los puntos (0, 1) y (1, e).

105. Calcular el área de la región limitada por la gráfica de y = 5x y las rectas x = 1 y y =1.

106. Calcular el área de la región acotada por las gráficas de curva y = ex y y = 2x, y la recta x = 2.

107. Calcular el área de la región limitada por las gráficas de , y la recta .

108. Determinar el área de la región

acotada por la curva , el eje x,

el eje y y la recta x = 2. 109. Calcular el área de la región

determinada por la catenaria

, el eje x, el eje y y la recta x

= 6ln6. 110. Determinar el área del triángulo con

los vértices (a) (0, 0), (2, 1), (–1,6); (b) (0, 5), (2,–2), (5, 1)

111. Hallar el área de la región limitada por la parábola y = x2, la recta tangente a esta parábola en (1, 1) y el eje x.

112. Encontrar el número b tal que la recta y = b divida la región limitada por las curvas y = x2 y y = 4 en dos regiones de áreas iguales.

113. (a)Hallar el número a tal que la recta x = a biseque el área bajo de la curva

en [1,4].

(b) Encontrar el número b tal que la recta y = b biseque el área mencionada en (a).

114. Hallar los valores de c tales que el área de la región encerrada por las parábolas y = x2 – c2 y y = c2 – x2 sea 576.

115. Suponga que 0 < c < . ¿Para qué

valores de c, el área de la región encerrada por las curvas y = cos x, y = cos (x – c) y x = 0 es igual al área de la región encerrada por las curvas y = cos (x – c), y ?

116. Hallar el área de la región en el 1er, cuadrante que está acotada por la izquierda por el eje y, abajo por la curva

, por arriba a la izquierda por la curva y por arriba a la derecha por la recta x = 3 – y.

117. Hallar el área de la región en el 1er. cuadrante que está acotada por la izquierda por el eje y, por abajo por la

recta , por arriba a la izquierda por

la curva y por arriba a la

derecha por la curva

118. Hallar el área de la región entre la curva y la recta y = – 1 integrando con respecto a (a) eje x, (b) eje y.

119. Sea R la región acotada por las graficas de x – 2y = 0, x – 2y – 4 = 0, y = 3, y = 0. Calcule su área usando (a) integración, y (b) una fórmula de geometría.

Volúmenes de revolución Volúmenes de figuras geométricas conocidas Áreas de superficies de revolución


71

1. Sea Calcular el volumen del sólido de revolución que se genera al girar la región acotada por la grafica de

, el eje x, y alrededor del eje x.

2. Hallar el volumen del sólido generado al

girar la región acotada por y las rectas y alrededor de la recta .

3. La región acotada por le eje y las

graficas y gira alrededor del eje y. Calcular el volumen del sólido.

4. Hallar el volumen del sólido generado al

girar la región entre la parábola y la recta alrededor de

la recta .

Calcular el volumen del sólido generado al girar R alrededor del eje indicado. Trazar un rectángulo típico así como el disco o la arandela que genera.

5. , , alrededor

del eje x.

6. , , alrededor del eje x.


72

7. alrededor de

8. alrededor del eje y.

9. alrededor del eje x.

10. La región acotada por la curva y la recta gira

alrededor del eje para generar un sólido. Hallar el volumen del sólido.

11. Se hace girar la región R encerrada por

las curvas y entorno al eje . Hallar el volumen del sólido

resultante.

12. Calcular el volumen del sólido generado

si la región R encerrada por las curvas y se hace girar alrededor de

la recta .


73

13. Calcular el volumen del sólido generado si la región R encerrada por las curvas

y se hace girar alrededor de la recta .

14. Calcular el volumen del sólido generado

si la región R encerrada por las curvas y se hace girar alrededor de

la recta .

15. La región acotada por la parábola

y la recta en el primer cuadrante gira alrededor del eje para generar un sólido. Hallar el volumen del sólido.

16. La región en el primer cuadrante acotada

por las gráficas de y

gira alrededor del eje . Calcular el volumen del sólido resultante.

17. La región encerrada por la parábola

, el eje , y la recta gira

alrededor de la recta para generar

un sólido. Hallar el volumen del sólido.

18. La región encerrada por ,

, ; gira alrededor del eje y, calcular el volumen del sólido resultante.


74

Hallar el volumen del sólido generado al rotar la región acotada por las rectas y las curvas dadas alrededor del eje indicado (discos) 19. , y = 0; eje x

20. , , ; eje x

21. , ; eje x 22. , , ; eje y

23. ; eje y

24. ; eje y

Hallar el volumen del sólido generado al rotar la región acotada por las rectas y las curvas dadas alrededor del eje indicado (arandelas) 25. y = x, y = 1, x = 0; eje x 26. y = 2x, y = x, x = 1; eje x 27. , ; eje x

28. ; eje x 29. ; eje x

30. , , , ; eje y

31. 1er cuadrante , , ; eje y

32. 1er cuadrante , , ; eje y Representar la región R acotada por las gráficas de las ecuaciones para calcular el volumen

del sólido generado al girar R alrededor del eje indicado. Trace un rectángulo típico junto

con la envolvente cilíndrica que genera.

33. , , , , eje y

34. , , eje y 35. , , , eje y 36. , , , eje x 37. , y = 0, eje x.

38.

39. , , , eje x 40. y = x, , , recta 41. , , recta

Hallar los volúmenes de los sólidos generados al girar las regiones acotadas por las curvas y las rectas dadas alrededor del eje x. 41. , 42. , 43. x = 2y – y2, x = y 44. y = x, y = 2x, y = 2 45. , y = 0 , y = x – 2 46. x = 1 + y 2, x = 0, y = 1, y = 2

47. x + y = 3, x = 4 – (y – 1)2

48. , en

49. , ,

Hallar el volumen del sólido generado al girar cada región alrededor del eje y. 50. y = x2, x = 2 y el eje x. 51. y por y = x

52. , y = 0 y x = 4. 53. ,


75

54. , x = 0, y = 9 55. , ,

56. , , , .

57. .

Obtener el volumen del sólido de revolución que se forma haciendo rotar la región limitada por las graficas de las ecuaciones dadas, en torno del eje indicado. 58. , x = 0, y = 5, eje y

59. , x = 1, , eje y

60. y = x2, y = 2x, eje y 61. y = (x – 2)2, x = 0, y = 0; eje x 62. 2x – y – 12 = 0, x – 2y – 3 = 0, x = 4; eje

y. 63. y = x3 + 1, x + 2y = 2, x = 1; eje y. 64. x2 = 4y, y = 4; eje x. 65. 2y = x, y = 4, x = 1; eje x.

66. y = 4 – x2, y = 1 – x2, eje x

67. y = 1 – x2, y = x2 – 1, eje y 68. y = x3, x = – 2, y = 0, eje x 69. y = x, y = 2x, y = 2, eje x 70. y2 = x, 2y = x, eje y 71. y = 2x, y = 4x2, eje y 72. x = y3, x2 + y = 0, eje x 73. x = y2, y – x + 2 = 0, eje y 74. x + y = 1, y = x + 1, x = 2, eje y.

75. , y = 0, , x = 2, eje y

76. , x = 1, , , ; eje y.

77. , gira alrededor de ,

.

78. 1er cuadrante ; ,

; recta

79. 1er cuadrante ;

recta

80. 1er cuadrante, , , ;

recta

81. 2do cuadrante ;

recta

82. , ; recta

83. , ; recta

84. , ; recta .

85. y = , , ; recta

86. y = , , ; recta

87. y = , , ; recta

88. , ; recta

89. , ; recta

90. , ; recta y =16.

91. , , ; recta x = 2

92. , , ; recta x = 3

93. , , ; recta

94. y = 4 – x2 y y =0; recta x = 2

95. y = 4 – x2 y y =0; recta x = –2.

96. , y = 2, y x = 0; recta y = 2,

97. , y = 2, y x = 0; recta x = 4.

98. yx2 = 1, y = 1 y y = 4; recta y = 5.

99. y2 = x, x = 0, y = –1 y y = 1; recta y = 2.

100. y = x2, x = y2; y = –1.


76

101. y = x2 + 1, x = 0, x = 2 y y = 0; recta x

= 3

102. y = x2 + 1, x = 0, x = 2 y y = 0; recta x

= –1.

103. x = y – y3 y el eje y; recta y = 1.

104. y = 2x – x2 y y= x; recta x =1.

105. x = 4+6y – 2y2 y x = – 4; recta x = -4.

106. 2y = x + 4, y = x y x = 0; eje x

107. 2y = x + 4, y = x y x = 0; el eje y

108. 2y = x + 4, y = x y x = 0; recta x = 4;

109. 2y = x + 4, y = x y x = 0; recta y = 8.

110. Al girar alrededor del eje x la región limitada por la curva , el eje x, el eje y y la recta x = c (c>0), se generó un sólido de revolución. ¿Para qué valor de c el volumen del sólido será de unidades cúbicas?

111. Obtener el volumen del sólido de revolución generado cuando la región acotada por la

curva , el eje x y la recta x = 1se gira alrededor del eje x.

112. Calcular el volumen del sólido de revolución generado cuando la región limitada por el

eje x, la curva y las rectas x = 1 y x = 4se gira alrededor del eje x.

113. Calcular el volumen del sólido generado al girar la región limitada por las gráficas de las curvas y = ex y y = 2x, y la recta x = 2, alrededor del eje x.

114. Calcular el volumen del sólido generado al girar la región limitada por las gráficas de , y la recta .

115. Calcular el volumen del sólido de revolución generado si la región determinada por la

catenaria , el eje x, el eje y y la recta x = 6ln6, gira alrededor del eje x.

116. Obtener el volumen del sólido de revolución generado cuando la región limitada por la curva , el eje x, y las rectas x = 0 y x = ln 2, se gira alrededor del eje x.

117. Hallar el volumen del sólido generado al girar la región acotada por yx2 = 1, y = 1 y y = 4 alrededor de la recta y = 5.

118. Hallar el volumen del sólido generado al girar la región acotada por las graficas de y2 = x, x = 0, y = –1 y y = 1 gira alrededor de la recta y = 2.

119. Hallar el volumen del sólido obtenido al girar la región limitada por y = 4x – x2, y = 8x – 2x2; en torno de x = –2

120. Hallar el volumen del sólido obtenido al girar la región limitada por y = x2, x = y2; en torno de y = –1

121. Hallar el volumen del sólido generado al girar la región acotada por y = x2 + 1, x = 0, x = 2 y y=0;

(a) alrededor de la recta x = 3; (b) alrededor de la recta x = –1. 122. Hallar el volumen del sólido generado al girar la región acotada por y = 4 – x2 y y=0;

(b) alrededor de la recta x = 2, (b)alrededor de la recta x = –2 123. Hallar el volumen del sólido generado al girar la región acotada por y las rectas y

= 2, y x = 0 alrededor de: a) La recta y = 2 b) La recta x = 4


77

124. Hallar el volumen del sólido generado al girar la región acotada por las rectas y = 2x, y = 0 y x = 1 alrededor de:

a) x = 1 b) x = 2 125. Hallar el volumen del sólido generado al girar la región acotada por x = y3, x = 8 y y = 0

alrededor de la recta x = 8. 126. Hallar el volumen del sólido generado al girar la región acotada por x = y – y3 y el eje y

alrededor de la recta y = 1. 127. Hallar el volumen del sólido generado al girar la región acotada por y = 2x – x2 y y= x,

alrededor de la recta x =1. 128. Hallar el volumen del sólido generado al girar la región y = x4 y y = 1 alrededor y=1 129. Hallar el volumen del sólido generado al girar la región y = x2 y y = 4 alrededor de:

(a) y = 4, (b) y = 5, (c) x = 2 130. Obtener el volumen del sólido obtenido al girar la región triangular acotada por las rectas

2y = x + 4, y = x y x = 0 alrededor de: (c) el eje x; (b) el eje y; (c) la recta x = 4; (d) la recta y = 8.

131. Obtener el volumen del sólido obtenido al girar la región en el primer cuadrante acotada por y = x3 y y = 4x alrededor de:

(a) el eje x; (b) la recta x = 8. Obtener una fórmula para el volumen del sólido inclinado usando una integral definida. 132. Un cono circular recto de altura h y radio de la base r. 133. Una esfera de radio r. 134. Un cono circular recto troncado de altura h, radio de la base inferior R y radio de la base

superior r. 135. Un segmento esférico de altura h y radio de la esfera r. Representar la región R acotada por las gráficas de las ecuaciones dadas y luego plantee la integral o las integrales que se necesitan para calcular el volumen del sólido que se obtienen al girar R alrededor de la recta indicada. Use todos los métodos posibles en cada ejercicio. 136. , , eje x

137. , recta

138. , recta

139. , , recta

140. , , recta

141. , recta

142. , , recta

143. , , recta x = – 3


78

Formas indeterminadas Integrales impropias Determinar si la integral converge o diverge, si converge calcule su valor.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

Determinar si la integral converge o diverge y, si converge calcule su valor.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

Determinar si la integral converge o diverge, si converge calcule su valor.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.


79

Determine si las integrales dadas convergen o divergen.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

61.

Hallar los valores de p para los que la integral converge.

62.

63.

64.

65.

66.

67.

Calcular el valor de la constante C para el cual converge la integral

68.

69.


80

70. Demostrar

Aproximación de Taylor y series de potencias Series numéricas. La serie binomial y algunas otras series Polinomios de Taylor El teorema del residuo y las series de Taylor Series de potencias y radio de convergencia Series de Taylor y de MacLaurin Determinar la serie de Taylor de cada función en el punto indicado 1. f (x) = ln x en a = 2

2. a =1

3. en a = 2 4. en a = 3 5. en a = 2

6. en a = 4

7. en

8. en

Determinar la serie de MacLaurin 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. Determinar si la sucesión converge o diverge; si converge calcule el límite.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.


81

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

Series Hallar una fórmula para la n-ésima suma parcial de cada serie y úsela para hallar la suma de la serie sí ésta converge.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.


82

Determinar si las siguientes series convergen o divergen, si converge calcule su valor.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

Expresa cada número como razón de enteros. 21. 22. 17.0.234234234.....

23. 0.234234234… 24. 1.24123123123....

25. 5.22222… 26. 1.212121…

Hallar los valores de x para los cuales la serie geométrica converge. Calcule la suma

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33. Si la n-ésima suma parcial de la serie es Determinar An y

Aplicar el criterio del n-ésimo término a cada serie y comentar el resultado.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

Criterios de convergencia Usar el criterio de convergencia apropiado para determinar si las series convergen o divergen.


83

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60. Si

61.

Convergencia Absoluta


84

Determinar si las series Convergen Absolutamente, Condicionalmente o Divergen.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

Serie de potencias Hallar el radio e intervalo de convergencia de cada serie.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.


85

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.


86

problemario de la asignatura de calculo diferencial e integral

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