problemario de calculo diferencial
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Problemas resueltos y ejercicios propuestos de calculo diferencialTRANSCRIPT
COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS
DEL ESTADO DE MEXICO
NICOLAS ROMERO II
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CALCULO DIFERENCIAL
Ing. Alberto Osnaya Becerril
ACADEMIA DE FÍSICA Y MATEMATICAS
2011
Problemario de cálculo diferencial
Contenido
Presentación
Introducción
Para recordar
Unidad 1
Funciones
1.1. ¿Qué es una función?
1.2. Dominio y rango de una función.
1.3. Grafica de funciones.
1.4. Función compuesta.
1.5. Operaciones básicas con funciones.
1.6. Composición de funciones
Graficas de funciones
Composición de funciones
Operación de funciones
Tema 2. Dominio y rango de una función…………………………………7
Tema 3. Graficas de funciones…………………………………………….9
Tema 4.Operaciones con funciones………………………………………10
Tema 5. Composición de funciones………………………………………11
Tema 6. Función inversa………………………………………………….12
Tema 7. Limite de una función…………………………………………...17
Tema 7.1. Limites finitos…………………………………………………17
Tema 7.2. Limites trascendentes………………………………………….18
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Problemario de cálculo diferencial
Tema 7.3. Limites infinitos o impropios………………………………….19
Tema 8. Derivadas………………………………………………………...21
Tema 9. Regla de la cadena……………………………………………….26
PRESENTACION.
El Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos Del Estado de México, plantel
Nicolás Romero II, institución preocupada por la calidad formativa de sus egresados, es
la principal participe en este cuaderno de ejercicios de cálculo diferencial.
Este proyecto tiene como objetivo fundamental ofrecer a los estudiantes los
conocimientos del cálculo diferencial de una manera sencilla, logrando ser una
herramienta que facilite la materia con una serie de problemas resueltos, en los cuales
puedan observar como se obtuvo el resultado, asi como también una serie de
problemas propuestos en los cuales podrán evaluar sus conocimientos.
Estamos concientes de que este trabajo contiene ejercicios muy básicos y un
contenido teórico muy reducido, por lo que es solamente un apoyo para el curso, y
que la explicación, comprobación, asi como ejercicios mas complejos dependen del
profesor asignado a la materia.
Agradezco de manera formal a la comunidad académica y en especial al cuerpo
directivo del plantel CECyTEM Nicolás Romero II, por haberme dado la oportunidad de
realizar este proyecto reiterando mi compromiso con la educación
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Problemario de cálculo diferencial
Ing. Alberto Osnaya Becerril
Academia de Física Y Matemáticas
Introducción.
Este cuadernillo de ejercicios comprende parte de los temas fundamentales de la
materia de Calculo Diferencial correspondiente al cuarto semestre del Colegio de
Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de México. El cuadernillo está dirigido a
todos los estudiantes familiarizados con los conceptos fundamentales del Algebra y la
Geometría, el lenguaje con el que está estructurado se presenta de manera amigable,
absteniéndose lo más posible de términos confusos o de proposiciones que carecen de
gran significado para los alumnos, ya que su principal propósito es el de mostrar paso a
paso la forma en la que se resuelven los ejercicios más comunes presentes en la
materia de cálculo diferencial de una manera confiable y explicita.
En cada tema se presentan una serie de ejercicios resueltos, así también diversos
ejercicios propuestos para que el alumno ejercite lo antes visto y ponga a prueba sus
conocimientos. Los resultados de cada ejercicio se muestran al final de este cuadernillo
a fin de que el alumno corrobore la veracidad de sus resultados.
El cálculo diferencial es de suma importancia para la vida profesional de nuestros
estudiantes ya que cobra un enorme significado al aplicarlo en problemas reales de la
vida cotidiana o en el trabajo diario, por tal motivo la última unidad está dedicada a la
aplicación del cálculo en este tipo de problemas ya que el objetivo primordial es que el
alumno formule sus conocimientos teóricos para fines prácticos.
Para finalizar, cabe mencionar que servirá de poco la implementación de este
cuadernillo si los alumnos no se esfuerzan por resolver todos los ejercicios y de esa
manera adquirir la experiencia necesaria para lograr llegar un curso exitoso.
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Problemario de cálculo diferencial
PARA RECORDAR.....
Antes de comenzar es indispensable recordar algunas reglas básicas de algebra
para facilitar los ejercicios, tales como son:
Leyes de los exponentes Leyes de los signos
Cuadrado de un binomio
Es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primer
término por el segundo, más el cuadrado del segundo término.
Factorizacion
Trinomio cuadrado perfecto
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Es igual a la raíz cuadrada del primer término, signo del segundo termino, y la
raíz cuadrada del tercer termino
Ejemplos:
Diferencia de cuadrados
Es igual al producto de binomios conjugados, y se encuentra extrayendo la raíz
cuadrada del primer término que será el primer elemento de cada binomio, la raíz
cuadrada del segundo representa los segundos elementos de los binomios, el primer
binomio será positivo y el segundo elemento del segundo binomio será negativo.
Ejemplo.
Trinomio de la forma
Será igual a un par de binomios con término común. La raíz cuadrada del primer
término es el primer elemento de cada binomio. Se buscan dos números que sumados
sean igual al segundo termino y que multiplicados sean igual al tercer termino.
Ejemplo.
Triángulo de Pascal
El triángulo que se forma me indica los coeficientes que han de estar presentes en la
resolución del binomio. Estos coeficientes dependerán de la potencia a la cual este
elevado el binomio correspondiente. 1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
Ejemplo.
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El primer término se coloca a la potencia cero y el segundo a la potencia a la cual esta
elevado el binomio, la potencia del primero va en orden creciente y la del segundo
término en orden decreciente. Al inicio de cada término se coloca el coeficiente
correspondiente del Triángulo de Pascal.
Unidad 1
FUNCIONES.
1.1. ¿Qué es una función?
Una función queda representada de la siguiente manera:
Es costumbre en algunas ocasiones nombrar la función con letras tales como g y/o h ,
por lo que no siempre se representara con la letra f.
Antes de entrar en materia debemos entender por lo menos, lo que es una función.
Una función es aquella que para cada elemento del dominio le corresponde uno y
solamente uno de los elementos del contradominio, en otras palabras, para cada valor
de “x” le corresponderá un único valor de “y”. Esto se puede apreciar de manera
gráfica de la siguiente forma: Al trazar una línea vertical en cualquier parte de la
gráfica solamente debe tocar un punto de la misma para que corresponda a una
función.
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1.2. DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN.
Dominio. Es el conjunto de números x para los cuales existe.
Rango. Es el conjunto formado por los números que resultan al aplicar f a cada
uno de los números x que pertenecen al dominio.
Definiciones de intervalos.
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Esta es una función, ya que para cada valor de “x” le corresponde un único valor de “y”
No es función
No son funciones
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Sean a, b , se le llama intervalo cerrado de extremos a y b al conjunto
representado por y definido por:
a x b
Sean a, b , se le llama intervalo abierto de extremos ay b al conjunto representado
por y definido por:
a x b
a < x < b
Sean a, b , se le llaman intervalo semiabierto o semicerrado. El primero es abierto
por la izquierda y cerrado por la derecha, y el segundo es abierto por la derecha y
cerrado por la izquierda, definidos por:
a x b
a x b
a x b
a
EJERCICIOS RESUELTOS.
Ejercicio 1
Con cualquier número real que se sustituya en la función obtendremos un resultado,
excepto con el cero. Por lo tanto.
D
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El rango serán los resultados obtenidos de sustituir el dominio en la función. Por lo
tanto.
R
Ejercicio 2
Observando nuestra función sabemos que no existen las raíces negativas, por lo que
nuestro dominio comenzara a partir de los números que al sustituirlos nos den un
valor positivo y así poder obtener un resultado de la raíz, es decir:
D
Los resultados de la raíz deberán ser positivos, sin embargo las raíces cuadradas tienen
el signo de (+, -) el rango será:
R
Ejercicio 3
D R
Ejercicio 4
D R
Ejercicio 5
D R
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EJERCICIOS PROPUESTOS 1.2.
Determinar el dominio y el rango de las siguientes funciones.
1.3. GRAFICAS DE FUNCIONES.
La grafica de una función es la colección de puntos en el plano
cartesiano tales que “x pertenece al dominio de f, y ”. En otras palabras en el
eje de las x se encontrara el dominio y en el eje de las y el rango
EJERCICIOS RESUELTOS
Se muestra cómo se lleva a cabo la tabulación de una función algebraica. Algo muy
importante es observar si la gráfica corresponde o no a una función, la manera más
sencilla de hacerlo es llevando a cabo la prueba de trazar una línea vertical sobre
cualquier punto de la gráfica.
Ejercicio1
D Observando el dominio determinamos que podemos sustituir cualquier
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número real en la función. La grafica se puede extender cuanto se desee.
R
Se procede a realizar la tabulación de la gráfica sustituyendo los valores de x
(dominio) en la función y así obtener el valor de y (rango o contradominio)
-3 9 - 3 + 2 8
-2 4 - 2 + 2 4
-1 1 – 1 + 2 2
0 0 + 0 + 2 2
1 1 + 1 + 2 4
2 4 + 2 + 2 8
3 9 + 2 + 2 13
Ejercicio 2
D
R Debido al Rango, podemos observar que los resultados obtenidos siempre
serán positivos
x x2 y
-3 9
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-2 4
-1 1
0 0 0
1 ( 1 )2 1
2 ( 2 )2 4
3 ( 3 )2 9
Ejercicio 3
D . Esto nos indica que el único número que no podemos sustituir es
el cero.
R
Eje x Eje y
-3 -2.6
-2 -1.5
-1 0
1 0
2 1.5
3 2.6
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Ejercicio 4
En este ejercicio se da un rango determinado para la
Función, que son los números menores o iguales a -4
Eje x x + 3 Eje y
-4 -4 + 3 -1
-3 -3 + 3 0
-2 -2 + 3 1
-1 -1 + 3 2
0 0 + 3 3
1 1 + 3 4
2 2 + 3 5
EJERCICIOS PROPUESTOS 1.3.
Realizar las graficas de las siguientes funciones.
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1.4. Función compuesta
Una vez que ya comprendemos lo que es una función, como la podemos identificar en
una gráfica, y la forma en la que se establece su dominio y su rango, estamos en
condiciones para efectuar operaciones llamadas composición de funciones.
Para realizar este tipo de operaciones, simplemente tenemos que sustituir el valor
propuesto de “ ” en nuestra función dada, como se muestra a continuación
EJERCICIOS RESUELTOS.
Ejercicio 1
Encontrar :
Para se sustituye el “1” en “ ”. Este mismo procedimiento se sigue en los
demás ejercicios
-2+2 0, y al realizar la multiplicación todo se vuelve cero.
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Como podemos observar tenemos dos binomios,
mismos que se tienen que desarrollar utilizando la regla ya conocida.
Para realizar esta operación primero debemos de resolver como se
muestra a continuación.
Ahora sustituimos el resultado de en nuestra función original.
Ejercicio 2
Encontrar:
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Se recomienda al estudiante realizar esta multiplicación
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Cuadrado de un binomio
Como ya se sabe primero resolvemos y el resultado obtenido lo
sustituimos en la función original.
EJERCICIOS PROPUESTOS 1.4.
a) Encontrar:
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b) Encontrar:
c) Encontrar:
d) Encontrar:
1.5. OPERACIONES BASICAS CON FUNCIONES
En las funciones se pueden aplicar las operaciones aritméticas básicas, tales como son
la suma, resta, multiplicación y la división, las cuales quedan definidas de la siguiente
manera:
EJERCICIOS RESUELTOS
En los siguientes ejemplos se muestra cómo se lleva a cabo la suma, resta,
multiplicación y división de funciones.
Ejercicio 1
Si
Sumando términos semejantes
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Ejercicio 2
Si entonces:
Suma fraccionaria
Común denominador
Ley del sándwich
Ejercicio 3
entonces:
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Ejercicio 4
Si
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En este tipo de ejercicios como en muchos otros es indispensable conocer las leyes de los exponentes
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EJERCICIOS PROPUESTOS 1.5.
Determinar la suma, resta, multiplicación y división de las siguientes funciones.
1.6. COMPOSICION DE FUNCIONES
La composición de funciones es otra forma de realizar operaciones con funciones, la
cual queda definida de la siguiente manera:
EJERCICIOS RESUELTOS
A continuación se muestra la forma en la cual podemos sustituir una función en otra.
Esto se torna en ocasiones un tanto confuso, pero con la práctica de los ejercicios
anteriores no se tendrá mayor problema
Ejercicio1
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Se sustituye la función en donde corresponde.
Ejercicio 2
encontrar
Sustitución
Sustitución
Sustitución
Sustitución Binomio cuadrado perfecto
Ejercicio 3
encontrar:
El cuadrado con la raíz, se elimina
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EJERCICIOS PROPUESTOS 1.6.
Para las siguientes funciones encontrar:
1.7. FUNCIÓN INVERSA
Las funciones inversas quedan definidas de la siguiente manera:
En este caso:
Dominio de Rango de f
Rango de Dominio de f
EJERCICIOS RESUELTOS
Nota: En esta ocasión le corresponde al alumno realizar la graficas
Ejercicio 1
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La sustituimos por “ y”
Como se trata de encontrar la función inversa debemos de
despejar “x”
Ejercicio 2
Ejercicio 3
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Problemario de cálculo diferencial
EJERCICIOS PROPUESTOS
UNIDAD 2
LIMITES
En esta unidad veremos cómo se realizan algunos límites de una manera directa
empleando simplemente la sustitución del valor correspondiente, así también algunos
en los cuales tendremos que llevar a cabo una factorización algebraica para que el
limite correspondiente tenga un cierto valor, es decir para que el limite exista.
Existen distintos tipos de límites como son, los límites finitos, infinitos o impropios,
trascendentales y aquellos que tienden a la derecha o la izquierda, el profesor a cargo
es el encargado de darte cada uno de estos conceptos, asi que comencemos con los
límites finitos.
2.1. LIMITES FINITOS
EJERCICIOS RESUELTOS
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En este tipo de operaciones lo que se tiene que hacer es sustituir el valor del limite
dado, pero en muchas ocasiones no es posible sustituirlo de manera directa ya que el
limite no existiría, asi que se debe de factorizar la función a fin de obtener un
resultado, especificando el valor que no se puede sustituir, es importante aclarar que
no siempre existirá el limite
Ejercicio1
Factorización Sustitución
Ejercicio 2
Ejercicio 3
Factorizacion
Ejercicio 4
Se eliminan las “x” que están fuera del paréntesis y el límite existe.
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EJERCICIOS PROPUESTOS
Determinar el límite de las siguientes funciones
TEMA 7.2
LIMITES TRASCENDENTES
Este tipo de limites se refieren principalmente a las funciones trigonometricas como
veremos a continuación.
EJERCICIOS RESUELTOS
* Tenemos algunos límites ya establecidos cuya comprobación corresponde al profesor
de la asignatura, como son:
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* De igual manera tenemos algunos límites muy sencillos como los son:
“Simplemente se sustituye el valor del limite en la “x”
* Y algunos otros en los que se necesita realizar un cambio de variable.
“1”
Si Cambio de variable
“1”
Si
5yx Cambio de variable
1 0
Estos límites aparecen al principio del tema
EJERCICIOS PROPUESTOS
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TEMA 7.3
LIMITES INFINITOS O IMPROPIOS
En este tipo de límite utilizaremos los conceptos de los límites cuando tienden ala
derecha
0
limxx
y los limites que tienden hacia la izquierda
EJERCICIOS RESUELTOS
Ejercicio 1
El numero “3” es una cantidad positiva y el cero tiende a la derecha, por
lo que también es positivo
Ejercicio 2
El numero “3” es una cantidad positiva y el cero tiende a la izquierda,
por lo que es un numero negativo
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Ejercicio 3
El numero “- 2” es una cantidad negativa y el cero tiende a la
izquierda, por lo que es un numero negativo
Ejercicio 4
Si sustituimos el limite cuando tiende a la derecha, podremos observar
que siempre obtendremos un valor mayor a “- 1”, por lo que tendremos
un valor positivo
1 1.3 1.5……
Ejercicio 5
Si sustituimos el limite cuando tiende a la derecha, podremos observar
que siempre obtendremos un valor menor a “- 1”, por lo que
tendremos un valor negativo
-1 -0.9 -0.5 -0.3….
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EJERCICIOS PROPUESTOS
Obtener los límites correspondientes de las siguientes funciones.
TEMA 8
DERIVADAS
Reglas de derivación
Algunas de las reglas de derivación básicas que utilizaremos son las siguientes:
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EJERCICIOS RESUELTOS
Los ejercicios de calculo diferencial, no son tan complicados como parece siempre y
cuando se tengan bien establecidas las reglas de derivación y los principios básicos de
algebra, ya que es uno de los principales problemas al resolver este tipo de ejercicios.
Ejercicio 1
Regla 1, derivada de una constante.
Ejercicio 2
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Regla 2, derivada de una variable
Ejercicio 3
Regla 3, una constante por una variable
Regla 2
“Como se puede observar en ocasiones se deben de aplicar varias reglas de derivación
en un solo ejercicio”
Ejercicio 4
Regla 4
* En los siguientes ejercicios, ubica las reglas que se estan utilizando.
Ejercicio 5
Ejercicio 6
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Ejercicio 7
Ejercicio 8
Cuadrado de un binomio
Ejercicio 9
Ejercicio 10
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Ejercicio 11
EJERCICIOS PROPUESTOS:
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TEMA 9
REGLA DE LA CADENA
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La gran mayoría de la funciones que se estudian en calculo estan construidas por una
composición de funciones, de aquí la importancia de conocer un método sencillo para
diferenciar dichas funciones, el cual es conocido como “Regla de la cadena”. La cual
queda representada de la siguiente manera.
EJEMPLOS RESUELTOS
Ejercicio 1
“Recuerda el tema composición de funciones”
El primer paso es identificar El segundo paso es determinar la derivada de
a .
El tercer paso es sustituir estos valores en la regla de la cadena
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Ejercicio 2
Ejercicio 3
Ejercicio 4
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EJERCICIOS PROPUESTOS
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