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Problemario de cálculodiferencial e integral
Parte I
Alfonso C. Becerril Espinosa
BásicasUNIVERSIDAD
AUTÓNOMAMETROPOLITANA
Casa abierta al tiempo Azcapotzalco
DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]
Problemario de cálculodiferencial e integral
Parte I
Alfonso C. Becerril Espinosa
División de Ciencias Básicas e IngenieríaDepartamento de Ciencias Básicas
UNIVERSIDADAUTÓNOMA
METROPOLITANA
Casa abierta al tiempo Azcapotzalco
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UAM-AZCAPOTZALCORECTOR
Mtro. Víctor Manuel Sosa GodínezSECRETARIO
Mtro. Cristian Eduardo Leriche GuzmánCOORDINADORA GENERAL DE DESARROLLO ACADÉMICO
Mtra. María Aguirre TamezCOORDINADORA DE EXTENSIÓN UNIVERSITARIA
DCG Ma. Teresa Olalde Ramos
JEFA DE LA SECCIÓN DE PRODUCCIÓN Y DISTRIBUCIÓN EDITORIALES
DCG Silvia Guzmán Bofill
ISBN: En trámite
© UAM-AzcapotzalcoAlfonso C. Becerril Espinosa
Diseño de Portada:Modesto Serrano Ramírez
Universidad Autónoma MetropolitanaUnidad AzcapotzalcoAv. San Pablo 180Col. Reynosa TamaulipasDelegación AzcapotzalcoC.P. 02200México, D.F.
Sección de produccióny distribución editorialesTel. 5318-9222/9223Fax. 5318-9222
2a. edición, aumentada y corregida, 19883a. edición, 2003
Impreso en México.
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AGRADECIMIENTOS.
Hago un profundo agradecimiento a Jaime Grabinsky Steider que
siendo jefe del Departamento de Ciencias Básicas me ofreció todo el
apoyo y más importante, estímulo para que diera inicio a esta serie
de problemarios de cálculo.
No puedo dejar de reconocer a Carlos Zubieta, como Jefe del Area
de Matemática Educativa, su constante preocupación y colaboración pa-
ra la buena marcha de este proyecto.
Han sido importantes las revisiones y sugerencias que Raúl Amez-
cua aportó para mejorar el texto.
Consejos y amable compañía de Viney Badel han coadyuvado al
estado de ánimo requerido para un desempeño productivo.
La supervisión de Carlos Ulín Jiménez contribuyó a mejorar la
edición de este problemario.
El eficiente mecanografiado de Teresa Rangel y la siempre diligente
asistencia de Norma Caballero han permitido ver la conclusión de este
trabajo.
Finalmente, agradezco la meticulosa labor de los dibujos realizados
por Sergio Guerra Aguayo y la participación profesional de la Comisión
editorial de la División de Ciencias Básicas e Ingeniería.
EL AUTOR
ALFONSO C. BECERRIL, E.
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ALFONSO JORGE BECERRIL C
ARACELI JAZMÍN BECERRIL C.
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Í N D I C E
INTRODUCCIÓN.
PARTE I.
1) CÁLCULO APROXIMADO DEL ÁREA BAJO UNA CURVA 11
A) POR MEDIO DE UNA CUADRÍCULA.B) POR MEDIO DE RECTÁNGULOS.
2) ÁREA BAJO UNA CURVA (INTEGRAL). 19
3) TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO (INSTRUMENTO MATEMÁTICO),,ÚTIL EN LA DERIVACIÓN DE FUNCIONES DADAS POR INTEGRAL, YPARA EL CÁLCULO DE INTEGRALES). 33
4) INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLES, 63
5) INTEGRACIÓN POR PARTES. 79
6) APLICACIONES DE LA INTEGRAL A: 93
A) CÁLCULO DE ÁREAS DE FIGURAS PLANAS. 95
B) CÁLCULO DE VOLUMEN DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN: 128
ROTACIÓN RESPECTO DEL EJE X, ROTACIÓN RESPECTO DE UNEJE PARALELO AL EJE X, ROTACIÓN RESPECTO DEL EJE Y.
c) CÁLCULO DE VOLUMEN DE SÓLIDOS CON ÁREA TRANSVERSAL DETERMINADA POR UNA FUNCIÓN. 164
D) LONGITUD DE ARCO. jggE) INTEGRAL IMPROPIA.
7) EJERCICIOS ADICIONALES 213
BIBLIOGRAFÍA 241
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1NTR0VUCCT0N
El presente trabajo tiene como principal objetivopresentar problemas resueltos de Calculo Diferen-cial e Integral (C.P. I )
En cada ¿ccc¿6n de z&tz pKobltmaKÍo ¿<¿ da ana bKz_\)Z ^introducción tzóK^ca, pn<¿¿>untando alguno* K<¿-¿ultadoA dzl C .P . I . quz ¿e tmplzaián an QX dn¿a-suiollo dd la m¿¿ma. S¿n mbaügo, z^tt trabajoptiz&uponz que e£ Itcton, ha estado familiarizadocon lo¿ Kd¿ultado.i> teóricos del C .P . I . que ¿>e em-plean en cada sección.
Al filnal de cada sección ¿e presentarán problemasa resolver y su solución está, dada al ^Inal delproblemarlo .
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1CALCULO APROXIMADODEL ÁREA BAJO UNA CURVA
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Cuando queremos calcular el área de una figura geométrica tal como: rectángulo,
triángulo, paral elogramo etc., lo que prácticamente hacemos es aplicar alguna fórmu-
la algebraica que nos permita realizar el cálculo del área de la figura geométrica
correspondiente, pero si deseamos calcular el área A bajo la gráfica de una fun-
ción continua no negativa f(x) sobre un intervalo [a;bj, tal como la que se demue£
tra en la siguiente figura,
entonces el problema resulta algo más complicado; en un principio, algo que se nos
puede ocurrir es que, si en lugar de calcular el área A en forma exacta aproxima-
rnos el valor de A, entonces este nuevo problema pudiera ser mas fácil de resolver,
Una manera de aproximar el área A es mediante el trazo de una cuadrícula sobre el
plano donde se encuentra el gráfico de f(.x) como se muestra en la siguiente figura
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a i
después de dibujar la cuadrícula realizamos la suma del área de los cuadrados que
quedan "dentro11 de la gráfica y entre los tres segmentos a los lados del área por
calcular, una mejor aproximación al valor de A la obtendremos si hacemos una cuadrí-
cula más "fina11 que la cuadrícula anterior, es decir, una nueva cuadrícula donde los
cuadrados tengan lado menor que el lado de un cuadrado en la cuadrícula anterior y
nuevamente sumaríamos las áreas de los cuadrados que quedan dentro de la gráfica y
los tres segmentos a los lados del área A por calcular, desde luego el proceso de
la cuadricula podría continuar para seguir obteniendo una mejor aproximación al área
exacta A, aunque como vemos, este proceso es tedioso.
Otra menera de realizar la aproximación al área A será mediante la formación de
rectángulos inscritos y circunscritos sobre la gráfica de f(x) tal como se muestra
en la siguiente figura.
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h
estos rectángulos se forman de la siguiente manera, se divide el intervalo Ca;b] en
n subintervalos de extremos
x0 = a, , x2,...,xn = b con xo < < . . .< X.
éstos intervalos no necesariamente de igual longitud, posteriormente la altura de los
rectángulos superiores se obtienen del mayor valor adquirido por f(x) sobre el inter-
valo xi+rJ
Similarmente la altura de los rectángulos inferiores se obtienen del menor valor ad-
quirido por f(x) sobre el intervalo £xit xi+fj posteriormente procedemos a calcular,-
por ejemplo, la suma de las áreas de los rectángulos inferiores (o superiores); de
esta manera tenemos un valor aproximado al área A. Indudablemente, una mejor aproxi-
mación al área A se obtendrá si el intervalo Ca;b] es dividido en un número N ma-
yor de subintervalos porque de esta manera tendríamos más rectángulos inscritos y
circunscritos sobre la gráfica de f(x), como puede verse en la siguiente figura:
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Claramente la suma de las áreas de los rectángulos inferiores (o superiores) será
más próximo al área A, de esta manera podríamos continuar con el proceso de aproxi-
mar el área A.
Es importante tener en cuenta que en el caso de aproximación al área A por medio de
rectángulos se aprovecha la función para calcular sus alturas lo cual posiblemente
pueda hacer más práctico y rápido este método de aproximación que el método de
aproximación por cuadrados.
En la aproximación al valor del área A por medio de rectángulos, cabe destacar que
la diferencia entre la suma de las áreas de los rectángulos superiores con los infe-
riores se tiene una área que se considera como el error que se comete al aproximar
el área A por medio de las áreas de los rectángulos inferiores (o superiores), de
hecho, para funciones f(x) crecientes (o decrecientes) podemos obtener una fórmula -
para calcular este error, por ejemplo, si la función f(x), es creciente sobre el in-
tervalo a;b , y deseamos aproximar el valor de A, entonces podemos dividir dicho
intervalo en N subintervalos de igual longitud 1
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1 = b - a
para formar los rectángulos superiores e inferiores cuyas bases están determinadas
por los puntos
x0 = a, xi = a + 1, x2 = a + 21,..., xn = a + ni.
como se muestra en la siguiente figura
Asi tenemos
At | A •
i i i_ á
fc»H •-Y»
suma de áreasde rectángulosinferiores
(^-)f(a) + (^)f(a +n n+...+ (^)f(a + i ^n n
n-1i: fíai=0
. A
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suma de áreas . a . . . a • . a . ade rectángulos « (^)f(a + ii) + (^)f(a + 2^-) +.. . + (5ii)f(a +superiores, r " n
b a ba k a n f(a + i^a , A.
11 •_ i
En primer lugar tenemos las siguientes desigualdades
F > a + i^5-) <- A <nn i=0
Donde los valores de los sumatorios en los extremos son valores aproximados a A,
en segundo lugar, la diferencia de la suma de las áreas de los rectángulos superio
res con la de los inferiores dá:
;—)> f(a + i^±) - ±'} f(a + i^-) = (—)(f(b) - f(a))
el valor de la igualdad en 3 es precisamente el valor de la suma de las áreas de los
rectángulos rayados de la figura anterior, este valor será el error cometido al cal-
cular el valor de A por medio de la suma de las áreas de los rectángulos inferiores
o superiores.
OBSERVACIÓN: Respecto de la igualdad en 3, el segundo miembro se puede reducir con-
forme n es cada vez más grande, esto significará que la suma de las áreas de los rec
tángulos inferiores (o superiores) se aproximan más al área exacta A, desde luego
cuando n-> + oo se tiene que la suma de las áreas de los rectángulos inferiores (o su[
periores) dan el valor exacto A.
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2ÁREA BAJO UNA CURVA(INTEGRAL)
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Podemos decir qué el método de aproximación al área A bajo el gráfico de una función
f(x) sobre el intervalo [a;bl mediante rectángulos inscritos y circunscritos no sola_
mente es práctico sino que cuando dicho intervalo lo dividimos en un numero "infini-
to" (n-^ + oo) de subintervalos la sumatoria infinita de áreas de rectángulos nos da
el valor exacto de A, esta idea la podemos aprovechar de la siguiente manera:
Para calcular el área debajo de la gráfica de una función f(x) sobre un intervalo
Ca;bl primeramente dividimos este intervalo en n subintervalos de igual longitud L.
L = b-a
posteriormente formamos los rectángulos inscritos y circunscritos a la gráfica de
la función f ( x ) , en seguida efectuamos la suma de las áreas de los rectángulos infe-
riores (o superiores) y este valor será próximo al valor de A y para calcular el va-
lor exacto de A se procederá a hacer n•* + <»., para formar una "infinidad" de rectán-
gulos inscritos y circunscritos a la gráfica sobre el intervalo Ea;bl y la sumatoria
común * resultante será el valor exacto de A; al valor común de las sumatorias i n f i -
nitas se les llama la integral de la función f (x) sobre el intervalo [ a ; b l y se deno
ta por el símbolo
f(x)dx.
de esta manera tenemos
A = f(x)dx,
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es decir, el área bajo la gráfica de una función continua f(x) > 0 sobre el interva-
lo Ca;bl es la integral de la función
NOTA: Para funciones negativas la integral se define en la misma forma que para fun
ciones positivas excepto que el valor resultante es negativo, y para funcio-
nes que toman valores positivos y negativos el área encerrada, por la gráfica
ca de la función es la suma algebraica de las áreas encerradas por su parte
negativa.
* EL VALOR RESULTANTE NO SIEMPRE ES FÁCIL DE OBTENERLO.
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A continuación ilustramos la aproximación al área bajo la gráfica de una función
f(x) > 0 mediante rectángulos.
Consideremos la función f(x) = x sobre el intervalo £l;4l, su gráfica se muestra en
la siguiente figura
í
podemos aproximar el área A por medio de rectángulos formados con la función
f ( x ) = x.
Al d i v i d i r el intervalo [ l ; 4 l en n subintervalos ' X ^
mos que la longitud de cada subintervalo es:
de igual longitud L, teñe
L =4-1 3n n
y los extremos de dichos subintervalos son:
x =1, x = l + | , x = - ,..., x. = -| ,.,-, xn = -¿ = 4
3cuya longitud de cada subintervalo es — , con estos extremos podemos formar los rec
n —
tángulos inscritos y circunscritos a la gráfica de la función f(x) como se muestra
en la siguiente figura
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t
Consecuentemente tenemos:
suma de las áreasde los rectángulos =inferiores.
2¿) + (¿)n n
base rectánguloinferior
altura re£tángulo i]iferior.
(1) n.
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NOTA: 1 + 2 + 3 + 4 +...+ n =
demostrar por inducción.
n^ *'- es válida para todo natural N y se puede
Suma de las áreas \de los rectángu- = ( )los superiores. n
base rectájigulo supe--rior 1.
altura rec^tángulo su-perior 1.
base rectájiguio supe--rior 2.
altura rec-tángulo su-perior 2.
>
base rectá£gulo supe--rior n.
altura rec-tángulo su-.perior n.
(f) (1 + f)+ ( 1 + 2 | ) + ( 1 + 3 | ) + . . . + ( 1 + n ^ )
= ( £ ) n - 1 + ~ 1 + 2 + 3 + . . . + n
( 1 , n + 1 nín^t
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- 3 • f (1 • I)
por tanto el área A bajo la gráfica de la función f(x) = x sobre el intervalosatisface la dobre desigualdad.
Suma de las áreas de losrectángulos inferiores. < A < Suma de las áreas de los
rectángulos superiores.
| (1 - < A < 3 + £ (1 + 1 )
de esta doble desigualdad observamos que conforme el numero n crece; es decir , con-
forme el intervalo JjU^l se divide en un número n más grande de subintervalos el la-
do izquierdo y derecho en la doble desigualdad se acercan al número
3 +
por lo tanto
A = f ( x ) d x = 3 + |
el valor de A también puede ser calculado fácilmente de la figura anterior, cuandog
ésta es dividida en un cierto triángulo y rectángulo, el valor obtenido es 3 + -
como se esperaba.
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Para calcular el área encerrada por la función f(x) = x2 sobre el intervalo [a;b]
le podemos aplicar el método de aproximación de área por medio de rectángulos inscr^
tos y circunscritos a su gráfica. La gráfica de la función f(x) = x2 sobre el in-
tervalo [a;b3con 0 < a < b> se muestra en la siguiente figura.
Al d i v i d i r el i n t e r v a l o [a; fcf j en n sub in te r va los £ * ;
tenemos
de igua l l o n g i t u d L
= x i + i - x. , i = 0, 1, . . . , n-1— = x i + i - x.
y los extremos de dichos subintervalos son
5 x2~a+21, x 3= a + 3 1 , . , . ,x.¡=a-Hl, .
en los que al sustituir el valor de L = se tiene
xo=a,
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con ellos podemos formar los rectángulos, Inscritos y, circunscritos a la gráfica de
la función f(x) = x2 como se muestra en. la siguiente figura
La suma de las áreas de los rectángulos inferiores es:
Suma de las áreas . a . _ . .de los rectángulos = (°ri).f(a) + (°r*).f(a+&=*inferiores. n n n
base del área altura base del rectángulode rectángulo inferior 2,inferior 1.
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NOTA
) ( )
= (b-a)a +a(b-a) ( i - i - )+ ie2 l I ( 1 _ i ) ( 2 . ¿ ]no n n
: l2+22+32+...+n2 = -n(2n + * H n - + - H
=1Suma de las áreas K a • k a k ,de los rectángulos = ( a-)f(a+ a-)+ {2=1)f(atosuperiores
- (-~
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l2+22+...+n
- ba2-a3+2a(b-a)
2(^+ ^
Por lo tanto el área A bajo la gráfica de la función f(x) = x2
sobre el intervalo 1;4 satisface la doble desigualdad
(b-a)a2+a(b-a)2(l - I ) + ¿)(2 - i ) < A < (b-a)
a +2a(b-a) (-¿-+-¿)
nuevamente, al igual que en el ejemplo anterior, observamos que conforme el número
n crece, es decir, conforme el intervalo [a;b] se divide en un número n grande de
subintervalos, el lado izquierdo y derecho de la doble desigualdad se acercan al nú-
mero
a2(b-a) + a(b-a)= ja2(b-a) + 3a(b-a)
2
por tanto A = x2dx = -^— 4 - es el área bajo la gráfica de la función f (x) = x5
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sobre el intervalo [a;b]
Como vimos en los ejemplos anteriores, aproximar el área bajo el gráfico de una fun-
ción f (x) definida sobre un intervalo £a;b] por medio de rectángulos resulta un pro-
ceso bastante laborioso, la verdad es que si se nos pidiera aproximar el área bajo
el gráfico de la función
f(x) = x ( x - + l ) 3 / 2 ,
por medio de rectángulos como en los ejemplos anteriores el problema sería bastante
más laborioso y complicado. Más todavía, si se nos pidiera calcular el área exacta
bajo el gráfico de cualquier función continua, el problema sería difícil de resolver.
Es este tipo de problemas el que nos obliga a buscar métodos o fórmulas matemáticas
que nos permitan obtener valores aproximados o exactos al área bajo la gráfica de
la función que se esté tratando. Afortunadamente para nuestro problema inicial de
calcular el área bajo la gráfica de la función f(x), contamos con cierto tipo de fun
ciones conocidas como funciones primitivas o antiderivadas, que junto con un resulta_
do matemático conocido como teorema fundamental del cálculo nos ayudan a calcular
áreas exactas bajo el gráfico de funciones continuas.
Antes de ilustrar la manera en cómo calcular el área exacta, bajo el gráfico de una
función continua, por medio de funciones primitivas, vale la pena mencionar qué
entenderemos por función primitiva y enunciar algunas de sus propiedades. Una fun-
ción F(x) es una función primitiva de la función f(x) si aquella es derivable y su
derivada es:
F(x) = f(x),
algunas propiedades de las funciones primitivas son:
a) Si Fi(x) es una primitiva de f(x), entonces F2(x) = Fi(x)+C es también una
primitiva de f(x), donde C es una constante cualquiera.
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b) Si Fi(x) y F2(x) son dos primitivas de la misma función f(x), entonces ambas
difieren por una constante C, es decir
F2(x) = Fx(x) + C
c) Si F(x) y G(x) son primitivas de f(x) y g(x), respectivamente, entonces
f(x) + 6(x) es primitiva de f(x) + g(x).
d) Si F(x) es primitiva de f(x) y C es una constante cualquiera, entonces la función
CF(x) es primitiva de cf(x).
OBSERVACIÓN: Los puntos a y b caracterizan completamente a todas las primitivas de
una función dada; si se tiene una primitiva F(x) de f(x), pueden obte
nerse infinidad de primitivas adicionando a aquella una constante, y
se asegura que éstas son todas las primitivas de f(x).
De los resultados de derivación que tenemos para funciones algebraicas podemos for-
mar la siguiente tabla, en la que se presenta la función f(x) junto con sus funcio-
nes primitivas
función f(x) primitiva F(x)
1 x + C
x2 x rx T"
xn+l
Ahora que ya tenemos establecido el concepto de función primitiva podemos formular
el enunciado del teorema fundamental del cálculo (TFC).
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3TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO(INSTRUMENTO MATEMÁTICO),ÚTIL EN LA DERIVACIÓN DE FUNCIONESDADAS POR INTEGRAL Y PARAEL CALCULO DE INTEGRALES
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TEOREMA: Sea f:fa;b]-> R función acotada y sectoriaimente continua, entonces la fun
ción
F(x) = f(t)dt,
satisface lo siguiente
a) F(x) es continua en cada x del intervalo
b) Si f(x) es continua en x, entonces
F(x) = f(x),
es decir
dx f(t)dt =
COMENTARIO:
Acerca del punto b en el T.F.C., notamos que F(x) es primitiva de
f(x), también, como F(x) es la integral de f(t) y al derivarse y dar-
nos el integrando, se acostumbra pensar que la derivada y la integral
operan en forma inversa.
A pesar de que el teorema (T.F.C.) nos garantiza que F(x) es función
primitiva de f(x), éste no nos proporciona una expresión explícita de
F(x) a no ser que sea la propia integral, sin embargo este teorema nos
proporciona un método sencillo ara calcular el área bajo la gráfica de
f(x).
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Hagamos la siguiente consideración. Sea G(x) otra función primitiva de f(t), enton-
ces las funciones
F(x) = f(t)dt y 6(x) difieren por una constante C,
entonces
f(t)dt = G(x) + C,
al evaluar ambos miembros en x = a.
Obtenemos
0 = f(t)dt = G(a) + C
C = - G(a)
luego entonces
f(t)dt = G(x) - G(a),
nuevamente, al evaluar ambos miembros en x = b obtenemos
fb
f(t)dt = G(b) - G(a)
esta ultima igualdad nos indica que si conocemos otra primitiva G(x) de f(t), enton-
ces podemos calcular la integral de f(t) sobre el intervalo [a;b], basta evaluar la
primitiva G én b y en a y obtener una diferencia entre estos valores para así calcu^
lar dicha integral.
36
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APLICACIÓN DEL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO
a) Cálculo de derivadas de funciones dadas en forma de integral
Ejemplo: Derivar l a función
f(x) = t/TTF dt
Solución:
d f(x)dx
á_dx
t / 1 + t2 dt teorema fundamental
del cálculo
= x/ 1 + x2
Ejemplo: Derivar la función
•s(x) = / 1 + 4tf dt
Solución:
ds(x) _ jj_dx " dx / 1 + 4t2 dt teorema fundamental
del cálculo.
= / 1 + 4x2
37
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Ejemplo: Derivar la función
J.8X
f(x) = •t* + 2t dt
Solución: Observemos que.la función f e s la composición de las siguientes funcio_
nes
g(x) = 8x
h(y) = t2 + 2t dt, las cuales son derivables.
Asi tenemos
f(x) = h o g(x)
f8X
2t dt
aplicando la regla de la cadena para derivar, tenemos
d f(x) = djTÍxI . d g(x)dx áy dx
• t* + 2t dt •d 8xdx
es decir
íí
2y • 8
= 8/ 64x2 + 16x
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Ejemplo : Derivar la función
f(x) = /~3x" / l + jz dx
Solución:
¿ f(x) - jjL derivado de un producto
de funciones.
= /3x 4+1 dt + ( / l + -k dt ) • -&- /33T
rX
= /3x" ( + TT dt ) • i
= /3x" / l + 4- +12/3x
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Ejemplo: Derivar la función
f(x) =
J o
• 1 + 4t* dt
Solución: f(x) es la composición de las funciones
g(x) = 3x
h(y) = / 1 + 4t2 dt , las cuales son derivables
por la regla de la cadena tenemos
d f (x) _ d . , > . d g(x)dx dy h(y) dx
= ( / 1 + 4t* dt ) • -£-
1 + 4yz • 3, con y = g(x) = 3x
= 3/ 1 +
es decir
d f(x)dx = 3/ 1 + 36x2
¿10
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Ejemplo: Derivar la función
£(x) =
r 3x2+2x
/l+5t dt.
Solución: Observemos que £ es la composición de las siguientes funciones:
g(x) = 3x2+2x
h(y) = L+5t dt, las cuales son derivables,
así tenemos r 3x2+2x
f(x) = hog(x) = h(g(x)) = h(3x2+2x) = dt
aplicando la regla de la cadena para derivar f(x) obtenemos
/l+5tdt • -$- (3x2+2x) (teorema fundamental)
= /l+5y • (6x+2) , con y = 3xz+2x
= Vl+5(3x2+2x) • (6x+2)
= /Ibx2+lüx+l (6x+2),
es decir,
3x^+2x
dt = (6x+2)/15x2+10x+l
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Ejemplo: Comprobar que la derivada de la función
f(x) = x- - dt
satisface la igualdad
dt
(1)
Solución: Como
f(x) = x. /t+ - dt
entonces
f' (x]dx
't+ -L diderivada de un productode funciones.
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x. A+ i dt + dx
r X
~ X * ]_X
i dt
s u s t i t u y e n d o e s t e " v a l o r 1 1 d e f ' ( x ) e n ( 1 ) , o b t e n e r n o s
x/x+
rx
' t + 1 dt- /t+ 1 dt x /x+ 1
x + x
lo cual es una identidad con (1), por tanto, f(x) satisface la igual
dad en (1).
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b) Cálculo de área de funciones que tienen primitivas conocidas.
Ejemplo: Calcular el área del gráfico de la función f(x) = vx sobre el inter^
valo [1 ;9 ] .
Solución: El gráfico de la función f(x) = /x - xL sobre el intervalo [1;9] se
muestra en la siguiente figura
AA = í f(x)dx = Y
Una función primitiva para f(x) es la función
i * 1
entonces
A = í f(x)dx
dx
= F(9) - F Teorema fundamental del cálculo.
Por tanto
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E j e m p l o : C a l c u l a r el á r e a b a j o el g r á f i c o d e la f u n c i ó n f(x) =5
-x5
+ 3x. Sobre el intervalo [ 1; 7 ] .
S o l u c i ó n : El g r á f i c o d e l a f u n c i ó n f ( x ) = . - x 2 + 3x s o b r e el i n t e r v a
lo [ 1 ; f- ] se m u e s t r a e n la s i g u i e n t e f i g u r a
u n a f u n c i ó n p r i m i t i v a p a r a
- x 2 e s G x ( x ) = - ^
3x e s G 2 ( x ) = 3
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x 3 3e n t o n c e s G ( x ) = G i ( x ) + G a ( x ) = - - y + j x 2 e s f u n c i ó n
p r i m i t i v a p a r a f ( x ) = - x z + 3 x
l u e g o
A =
5/2
f ( x ) d x
125 + ZI24 8
I + h3 2>
-125 + 2 2 5 + 8 - 3 624
108 - 3624
1124
= 3
por tanto A =
5/2
f ( x ) d x - 3
i
¿16
| ( I ) 2 )
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Ejemplo: Calcular el área A bajo el gráfico de la función f(x) = x sobre
el intervalo [1 ;3 ] .
Solución: El gráfico de la función f(x) = x~2 sobre el intervalo [1;3] se mues_
tra en la siguiente figura
-2Una función primitiva para f(x) = x" es F(x) = - x" , entonces
A = f(t)dt
t"2 dt
— +•
2.3
¿17
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Ejemplo: Calcular el área A encerrada por la gráfica de la función
f(x) - x3^2 + x3 y el eje T sobre el intervalo [1;4].-
Solución: Una primitiva para
3/2 r- / X 2 5/2
x es i-iix] 5 x
x3 es F (x) = \
luego entonces F(x) = Fx(x) + F2(x) es una primitiva de f y así tenemos
A = | f(t)dt = F(4) - F(l)i
J4) + F2(4) - (Fj
i A3 U _ 15235 * " 20 " 20
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C) Cálculo de área de funciones sectorialmente continuas
Ejemplo: Calcular la integral
/Fdx
Solución: La siguiente figura muestra la gráfica de la función f(x) = /2~ sobre
el intervalo [0; 3]
luego entonces
A = /Fdx
dx
= /Tx
= 3/T mDERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]
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Ejemplo: Calcular la integral
|x - l|dx
Solución: La siguiente figura muestra la gráfica de la función integrandof(x) = |x - 1| sobre el intervalo [-1; 2]
-1
Como f(x) * |x—1| entonces f(x) = <1-x si x < 1
x-1 si x > 1
Para facilitar la integración, dividimos el intervalo de integración en
en los siguientes dos [-1; 1], [1, 2].
Así tenemos
|x-l|dx =
-i
(l-x)dx
-i
(x-l)dx
es decir,
- u - f>
5
+ (
-1
|x-l|dx = j
50
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Ejemplo: Calcular la integral g(x)dx, con g(x) =-2
rx2 si -2 < x < 0
x + 1 si 0 < x < 3
Solución: La siguiente figura muestra la gráfica de la función g(x) sobre el in
tervalo [-2;3]
Para facilitar la integración dividamos el intervalo de integración en los siguier^
tes dos intervalos (-2;0) y (0;3), asi tenemos que:
í g(x)dx = í x2dx + í (x-2 •'-2 ' O
61
es decirg(x)dx
-2
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5 " * i l -O ^ A i -L
Ejemplo: Calcular la integral h(x)dx, con h(x) = ^ -x2 + 2 si -2 < x < .2* .r i ^ . . • _ ' • •
-1. si -6 < x < -2
-x2 + 2 si -2 < x < 2
3-x si 2 < x < 5
solución: La siguiente figura muestra la gráfica de la función h(x)
Para facilitar la integración dividimos el intervalo de integración en los siguierv
tes tres intervalos: [-6;-2], [-2;2] y [2;5].
Asi tenemos
5 -2 Z 5
f h(x)dx = f-ldx+.f (-X2 + 2)dx + í (3 - ;x)dx
= - x + (--2
(3x - f
17.6
es
5
decir, h(x)dx = - unidades cuadradas,
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APROXIMACIÓN DE ÁREA
1) Empleando la idea de aproximación de área por medio de rectángulos, aproxime
las integrales con un error no mayor del indicado en cada caso. Bosqueje la
gráfica de la función integrando
i
a) (x2 + l)dx con error no mayor que 0.1
•2
b) í t2dt.0
con error no mayor que .002
c)
d)3/-
2x~ ^ ,
con error no mayor que -r
1dx con error no mayor que TQ~
e) f(x)dx con error no mayor que 2.5' si f(x) =<
-x si 0 < x i 1
1+x2 si x > 1
r3/2
f) f(z)dz, con error no mayor que 1 si f(z) =-i
si z < 1
si z > 1
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PROPIEDADES DE LA INTEGRAL
Empleando propiedades de la integral, resuelva los siguientes problemas.
1) Calcule las siguientes integrales
-1 -3 2 -2
a) i 2dx b) f xdx c) í x M x + f x^dx0 -1 «-2
2) Encuentre un número a tal que 2dx = 5'2-a.
fb-i3) Encuentre un número b tal que xdx = 6
fX i4) Encuentre un número x tal que tdt.= x - -j-
J rt
5) Encuentre un número c tal que 0 < c < 3 para el cual
se cumpla la igualdad.
fc Í31tdt = c h ^ d t
o •'o
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6) Encuentre un número te tal que
k i 2dt = f tdto - i
7) Dé un ejemplo de una función f(x) no continua en.[-1;1] para la cual
f f(x)dx = 0-i
8) Si f(x) es continua en [a;b] y además existe un número M tal que f(x) <. M
para todo xe[a;b], entonces pruebe que:
bf(x)dx ¿M(b-a)
a
9) Si f(x) es continua en [a;b] y además existe un número m tal que m <. f(x)
para todo xe[a;b], entonces pruebe que:
btn(b-a) <, | f(x)dx.
10) Sea f(x) una función continua, acotada y no negativa en el intervalo [a;b]
pruebe que
f(x)dx > Oa
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11) Sea f(x) como en el ejercicio 10 y c un número tal que a < c < b» Demués,
tre que
f(x)dx > \ f(x)dx
12) Demuestre que
i
2 < [ (l+x22)dx < 4.
13) Sea f(x) función continua sobre [-a;a] . Si f es función par pruebe que
a a
f(x)dx = 2 f(x)dx.-a o
e interprete el resultado geométricamente.
14) Sea f(x) continua sobre el intervalo [-a;a]. Si f es función impar demues
tre que
f(x)dx = .0.
e interprete este resultado geométricamente.
15) Empleando 13 y 14, calcule las siguientes integrales
2 3 1
a) f |x|dx b) í xdx c) í x2dx
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5
d) i 3dx e) ( x3dx f ) f x5dx
16) Calcular la integral f(x)dx con f(x) = g(x) - g(-x) y g continua,JA
'-apuede probar que g es impar y luego emplear 14.
f5
17) Graficar la función f(x)=x^ -5x y calcular f(x)dx.
1 f8
Graficar la función g(x)=x+ —= y calcular g{x)dx.18)
19) Graficar la función f(x)=x*+2x y calcular f(x)dx y representarlo en'-2
la gráfica de f(x).
1 1 fl+
20) Graficar la función lix)=x + — y calcular Ux)dx y representarlo enx .5
la gráfica.
21) Encuentre el valor Q^ la cual hace que la función
\ 2x+5 para x<3?4
para x>3
fsea continua en x =3. Calcular f(x)dx y representar este valor en la-3
gráfica de f(x).
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22) Encuentre el valor de a para el cual la función
g(x)=«
para x<2
20-ax2 para x>2
r10
sea continua en xQ=2. Calcular g(x)dx.
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TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO (leparte)
Derivar cada una de las siguientes funciones con respecto a su variable.
fx1) f(x) = vHTdt 2) [X(s+l)3/2ds
3) 4) tz+2t dt
5)2X
t dt 6) dt2X+3
3X+1
7) g(x) = j / t2+i tdt 8) t3/2dt
,-3x2+2x9) V s2+5 sds
- i
f2x+x:
10)
11) — dt si |x |< |
r2x+x2
12) dt
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13) Calcular d2
dx2
x2+lt/ t+2 dt
14) Calculardxs y2+3 dy
-x2+3
rS*H-25
15) Calcular
y evaluarla en 0.
16) Graficar la función f(x)=
culo diferencial.
1+t 2 dt, empleando los conceptos de cál-
17) Graficar la función g(x) = % fát.
18) Graficar la función l(x)= T dt (esta función se llama logaritmo) em-
pleando los conceptos de Cáldulo Diferencial.
19) Pruebe que la derivada de la función f(x)=
igualdad.
satisface, la
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TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO (2a. Parte)
Calcular las siguientes integrales :
1) xdx 2) (2x+l)dx^ o
3) |x-l|dx 4) ^ )dxr
5) 6) \f
7) 8)o
|;t3(?rT"-/T" )dt
9) í ir -i)-2
-1
10)x3 + 8x + 2 dx
11)f 2x9/2 - 4x2 + 5 12) | s(4s
13) [(y+y'Vdy 14) + 2 y 3 / 2 ) 2
61
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4INTEGRACIÓN POR CAMBIODE VARIABLES
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PRIMERA PARTE
Muchas integrales
A(t)dt
no son directas de calcular pero su integrando puede ser descompuesto en la forma
A(t) -fCg(t)).g'(t)
donde f y g' son funciones continuas, entonces
A(t)dt = fog(t)-g'(t)dt
al hacer
tenemos
u = g(t) para a < t ^ b
du = g'(t)dt
— " " " • " " O
. _ _ - 4
- - 5
para t = a se tiene ua = g(a)
y para t = b se tiene u^ = g(b) 7
luego por 4, 5, 6 y 7 tenemos
(fog)(t)g'(t)dt =
g(b)
f(u)du
g(a)
8
en muchos casos la segunda integral en 8 es más "fácil" de calcular que la inte-
gral en 1. _
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SEGUNDA PARTE
Si la integral
f(x)dx
resulta "difícil11 de calcular, muchas veces es posible que exista una función $
uno a uno, sobre y derivable de un intervalo I de extremos a y 3 en intervalo j
de extremos a y b tal que para cada u de I se tenga
x = $ ( u ) - - - 2
dx = *'(u)du - . • - . ^ - - 3
a = $(a) - 4
b = ».(B) - - ~ - - - - 5
con lo que al sustituir 2, 3, 4 y 5 en 1 obtenemos
f(x)dx =
tal que la última integral de la derecha en 6 es más fácil de calcular que la integral en 1.
NOTA: Las expresiones 4 de la PRIMERA PARTE y 2 de la SEGUNDA PARTE se les co-noce como cambió dé variable para las integrales en 1.
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Ejemplo: Calcular la integral
+4 dz.
Solución: Al inspeccionar el integrando
h(z) = z/2z2 +4
Observamos que z es la derivada de 2z 2 +4 salvo por un factor constante,
de hecho si hacemos
g(z)= 2z 2 +4 obtenemos g'(z)=4z
y la integral quedará en la forma 3
+4 dz= / 2z2+4 4zdz=
al aplicar 4 y 5 con u=g(z) y du=gl(z)clz
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obtenemos
z /2z+4 dz=
12
du
14"
12
1 u12
12
Nota: Cuando se hace el cambio de variable también se deberán hacer los
respectivos cambios de los limites de integración en la nueva variable.
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Ejemplo: Calcular la integral
, 2
(2z + 2) • z2 +. 'Lz dz
Solución: Al inspeccionar el integrando
h(z) = (2z + 2) / z* + lz
observamos que 2z + 2 es la derivada de z2 + 2z, de este hecho, si
hacemos
g(z) = z2 + 2z obtenemos g'(z) = 2z + 2,
y la integral quedará en la forma 3
(2z + 2) • z + '¿z dz = g(z) g'(z)dz
al aplicar 4 y 5 con u = g(z) y du = g'(z)dz obtenemos
(2z + 2) / z2 + 2z dz = g'(z)dz
r 8
u du
2u3/2 - I -83/2
NOTA: A veces es práctico que, mediante observación del integrando sabemos quien
es g(t) y quien g1(t).
69
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Ejemplo: Calcular la integral
5z dz
S o l u c i ó n : hagamos g ( z ) = z 2 + 3 , e n t o n c e s g ' ( z ) = 2z l u e g o
5z
/ z•dz
2z/ z 2 + 3
dz
5 g ' ( z ) dz
sea u = g(z) entonces du = g'(z) y u = 3 cuando z = 0
u = 4 cuando z = 1
así tenemos que
i
5z•z + 3
dz = 5 g'(z) dz
5 du1T 2
52
du
i y:2 %
= 5 [2 -3^]
70
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Ejemplo 4: Calcular la integral
(l-2y) dy
Solución: Hagamos g(y) = 1 + {l-Zy? , entonces g'(y) = -8(l-2y)3 luego
U-2y)H dy = / gíy)
sea u = g(y) entonces du .= g'(y)dyy u = 1 si y = \
u = 2 si y = 1
así tenemos que:
(l-2y)V 1 + (l-2yr dy =-8
u du
1 u3
8 3
7112 - 1),
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Ejemplo 5 : Calcular la integral
7u2du(2+4u3)3 U/2
Solución : Hagamos g(u) = 2 + 4u 3 , entonces g'(u) = 12 u2.
Luego
7u2du(2+4u3)1 / 2
7 12 u2du(2+4u3)1 / 2 12
7 g'(u)du(g(u))V2 — T I
sea w = g(u) entonces dw = g'(u)du. y w = 2 para u = 0
w = 6 para u = 1
así tenemos que:
7 u2 du(2 + 4 u 3 ) 1 / 2
7 g'(u)duu ) ) 1 / 2 .12
dwÑ7172"
1 2 ¿W
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CAMBIO DE VARIABLE 2^ PARTE
Ejemplo: Calcular la integral
x dx/ x +4
o
(1)
Solución: Hagamos w = / x + 4
entonces w2 = x + 4
x = w2- 4 y dx = 2wdw
(2)
(3)
y los nuevos límites son:
cuando x = 0 tenemos w = 2
cuando x = 1 tenemos w = 75*
(4)
(5)
sustituyendo (2), (3), (4) y (5) en (1) tenemos:
x dx/ X + 4
w2 - 4w 2wdw
- 8 dw
V?
- 8w
12. 143 " 3
73
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Ejemplo: Calcular la integral
/x JVx+1 dx (1)
S o l u c i ó n ; H a g a m o s w = / x + i - - - - - - - - - -
W - l =v/X
x = (w-1)2 y dx = 2(w-l)dvr
y los nuevos límites son
cuando x = 0 w = 1
x = 1 w - 2
sustituyendo (2), (3), (4), (5) en (1) tenemos
(2)
(3)
/x^x + 1 dx = i (w-l)^w 2(w-l)dw0 . 1
dw = t\ (w2-2w+l)v/w dwi
5/ 3 / 1/•al (w 2-2w 2+w 2)dw
5 / 2 3 / 2
-. 2w "
16
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Ejemplo: Calcular la integral
dx (1)
Solución; Hagamos w = /x* (2)
entonces w2= x y dx > 2wdw (3)
y los nuevos límites son
para x = 1, tenemos w = 1 (4)
para x = 4, tenemos w = 2 (5)
sustituyendo (2), (3), (4) y (5) en (1) tenemos
dx = 2wdw =
(w+l)~3dw
•= -(w+1)- 2
9 4 36
75
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CAMBIO DE VARIABLE
Empleando cambio de var iab le , calcular las integrales
(2x-3)3dx 2)3+5t
dt
3) (l-2y)V 4) dz
5) T\T dx 6)3u2du(2-u3)3
7)z+1
(z2+2z+3)2'3 dz 8)/2+VY
7Jdy
9) (2s - pr)(s2 + i ) * ds 10)
5/9
dw
76
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11)( t l / 3 - 2 ) 6
£2/3 dt 12)/ v2 + 4
dv
13)/ - 3 / 5 l / 5 N
(y + y )3/2
>
15)3/2
-ds 16) 6x2 + 2+ x + 5
dx
17) /x~ / l + x / x dx 18) /x / 1 + / x dx
puede hacer u = /~x~
19) du
uVl
20) du
u /3u 2 +u
21)1 + S 2 2/3 ,
s s2 22)
77
dx
+x
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5INTEGRACIÓNPOR PARTES
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Otro método de Integración llamado integración por partes surge con la necesidad de
calcular integrales
f(x)dx
que nos son d i rec tas de ca lcu la r pero su integrando f ( x ) puede ser descompuesto como
el producto de dos funciones u(x) y v ' ( x ) para las que u ' ( x ) es más "sencil la1 1 que
u(x) y v ( x ) es " f á c i l " de ca lcu lar de ta l manera que v (x ) u ' ( x ) es más f á c i l de i n t e
grar quef ( x ) = u ( x ) v ' ( x ) - - 2
El método de integración por partes se puede obtener de observar el siguiente desa-
rrollo, al derivar el producto de dos funciones u(x)v(x), obtenemos
(u(x)v(x))1 = u(x)v'(x) + v(x)u'(x)
integrando ambos miembros de 3 se tiene
u(x)v(x) (u(t)v(t)ldt
u(t)v'(t)dt +
despejando la integral por calcular en 4 se tiene
u(t)v'(t)dt = uCx)v(x) v(t)u'(t)dt 5
la fórmula en 5 es conocida como fórmula de integración por partes y se aplica a in-
tegrales cuyo integrando es dado como en 2, para los que la integral del segundo
miembro en 5 es más "fácil11 de calcular que la integral inicial.
81
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Nota 1: Existen integrales para las que (en el proceso para calcularlas) es ne
cesario aplicar dos o mas veces el método de integración por partes.
Nota 2: Existen integrales en las que después de aplicar el método de integra-
ción por partes se vuelve a obtener la integral inicial, salvo por un
factor constante diferente de 1, en tal caso se deberán agrupar las in-
tegrales para asi calcular la integral inicial.
Nota 3: En la aplicación de la fórmula 5, conviene elegir como v'(x) la función
de apariencia más "complicada" en la descomposición de f(x). En caso
de que la integral del segundo miembro se complique, será conveniente
hacer otra descomposición de f(x) para elegir u(x) y v'(x) y asi apli-
car la fórmula 5. Sin embargo, si esta otra descomposición de f(x) co-
mo producto de u(x)v'(x) nos complica la integral del segundo miembro,
y si después de hacer todas las posibles descomposiciones de f(x) como
producto u{x)v'(x), la integral del segundo miembro de 5 se complica p£
ra calcularla, más que la primera integral, entonces será necesario em-
plear otro método para calcular la integral inicial, aunque, posiblemer^
te en el transcurso de la aplicación de otro método se tenga que em-
plear el método de integración por partes.
Nota 4: Existen integrales que se pueden resolver por el método de cambio de v¿
riable o por el método de integración por partes. Indistintivamente
82
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En los siguientes ejemplos aplicaremos los métodos de integración por partes e inte
gración por cambio de variable.
Ejemplo 1 : Calcular la integral
x(x + l)2 / 3dx
Solución: Para calcular esta integral aplicaremos el método de integración por
partes, elegimos
u(x) = x3 dv(x)dx = (x + 1)2/3dx,
entonces
du(x) = dx f v(x) = dv(t)dt = (t+l)2/3dt =
de acuerdo a la fórmula de integración por partes tenemos
x(x + l)2 / 3dx =
'1
| (x + l ) 5 / 3d x
x . ( f (x
83
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- & ti*•-•;*.
Í o2/3
" 5 C
36 fh 9_40 L 40
65 10 V - .«.
3H6 4.0
40
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Ejemplo 2: Calcular la integral
dx
Solución: Para ca l cu la r esta i n teg ra l apl icaremos el método de integra_
ción por pa r tes , elegimos
ux = x 2 , d v ( x ) d x = L • d x = ( x + l ) ~ 2 d x .• x +. 1
e n t o n c e s
d u ( x ) = 2 x d x , v ( x ) = d v ( t ) d t = ( t + l ) " 2 d x
de acuerdo a la fórmula de integración por partes tenemos
2
/TT dx = 1x +
dx
= x2(2(x+l)l/2)
r i
2(x+l)l/22x dx
, i
= zrz~ - 4 dx
85
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pero esta última integral también la resolveremos por método de integra-
ción por partes quedando
con u(x) = x; v = dv(t)dt = (t+l) l / 2dt
du(x) = dx = | (x+l) 3 / 2 .
x(x+l)l/2dx fx(x+l)3/2(x+l)3/2dx
_ 2 93/2 4 95/2 4" 3 ¿ " TS 2 + 15
43
1615
115
±15
al susti tuir el valor de la integral de 2 en 1 tenemos
= znr - 4
J o
x(x+l)l/2dx
J o
¿/ ¿ 4^15 1 5
16 «i/2. 16 _ 14_^ .2 - ^ - ^
16
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Ejemplo: Calcular la integral:
x V x* + 3 dx
Solución: Al inspeccionar el integrando, podemos aplicar integración por partes
haciendo la siguiente elección:
u = x2 ; v'dx = x/ x2 + 3
entonces
du = 2xdx ; v = T (*2 +.3)"*
así tenemos
x3/ x2 + 3 dx = T x2(x2 + 3)~2_3
x(x 3)3/2dx
o 'o
I V2/V2X2(x2 + 3)3/2 i.i
5.3
15 ( 32O5/2 K
- 3 . )
3 " 15 15
87
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Ejemplo 4; Calcular la integral
i
dZ.
Solución; Aplicando la propiedad distributiva y la propiedad de
aditivilidad de la integral sobre suma de funciones tenemos:
i -1 -1
r (3-3Z)/I+TdZ - 3 Í Z+2 dZ - 3 z/z+2 1
la primera integral del segundo miembro en 1 la resolvemos por canw
bio de variable quedando:
/Z+T dZ = |(Z+2)2o 3/ ~ 3/ ,H 254
V " 3 " "
la segunda integral del segundo miembro la resolvemos por integra-
ción por partes
i i i
o 3/ • • r 3 /
-|| (Z+2) 2dZr z/z+T dz = -z. (z+2)
con u(Z)=Z;dv(Z)dZ=/Z+2 dZ = jZ.(Z+2)
luego ií , ! 2 3/2 4 5/2du(Z)=dZ; v(Z) = Kt+2 dt ' = 4 3 - -^-3 +j i J
2 23 5
(Z+2)
2| = 23
15
12.
15 *
4 .5/2
por tantoi
(3-3Z)/Z+2 dZ = 3 /Z+2 dZ-3 Z/Z+2 dZ0 • . • • " ' • 0 . • ' 0
= 3(2.3 *- 1^-3(2.3 2- 12
V2 V3 V2 12= 23 2-2 3-23 2+ i=-
4+-¿-2
12^2 9— 3 2- |2
3 6 3 \ 36. (3 ¿-2 ¿)
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Ejemplo 5; Calcular la integral
2
dx(x+1)3/2
Solución; Para calcular esta integral aplicaremos el método de
integración por partes.
elegimos
u(x) = x2 ; dv(x)dx =
entonces(x+1)3/2
dx = (1+x) dx
-1/2<" -3/2 ~x/^du(x) = 2x dx ; v (x) = (l+t)J/ dt =--2 (x+1)
de acuerdo a la fórmula de integración por partes tenemos.
2
í -(X+1)3/2-1/2
dx • x2(-2 (x+1) ){ "1/2
+ 4 I x(x+l) dx
pero la integral en el segundo miembro de 1 también la resolve-
mos por el método de integración por partes
f -1/2 1/2I x(x+l) dx = 2x(x+l)
1-2J
-1/2con u(x)=x;dv(x)dx= (x+2) dx
du (x) =dx v (x) =2 (x+2)1/2
1/2(x+1) dx
1/22x(x+l)
sustituyendo 3 en 1 obtenemos
3/2
1 - - -• - 3
-1/2
(x+1)3/2dx = x2(-2(x+l)
1/22x(x+l)
-8_T
- 8/ 3 ~
- 8 • 2_
/T V2
•£> + 4Ü4/T- - 2
- 8/2~ -
/2~
3/2
1
3/2+ ±2^3
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Ejemplo 6: Calcular la integral
6x dx
J (X2 + 2)
Solución:
/2~ . VT( x3+ 6x f x2
x + b x dx = x-I (x2+ 2 ) 3 J (x2+
sr2)
dx + 6L (x2+
dx.(x2+ 2)
ahora, usando cambio de variable tenemos
/2f — ^ — dx -fj (x2+ 2 ) 3 J
12" do)
O ) 3
1 ü)-22)
1
S e a
X
U)=X2H
dcu=2x
dx=|dü
i- 2
dx
= - 1(Í2_ 3-2, .4(144)
aplicando integración por partes a la primera integral del según
do miembro tenemos
( —2L! dx = f x2. -5
J (x2+ 2 ) 3 J (x2+-dx = -
2)
/2~J_f/T~ 1 dx
u(x) = x ; dv(x) =x dx
(x2+ 2) 3 (x2+ 2)-dx
1 • — 2
du(x) = 2xdx; u(x)=-j(x2 2) 2+ 2T2J - - £xz(x2+ 2)
-JL288
Sustituyendo 2 y 3 en 1 obtenemos
6x 6. -JLLdx 6.(x2+ 2) 3 Z88 4(144)
90
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INTEGRACIÓN POR PARTES
Empleando el método de integración por partes, calcular las siguientes integrales
1) (l+x)Vdx 2) (l+x)5/3x2dx
3) x2(3-2x)15dx
i
4)/ x + 4
dx
5)3t+2 dt 6)
s2+ s(s + 2 ) 5 d s
7)(v+1(v-1 dv 8) dx
15
9) wdwxV 2 + x dx
11) (x+1)2/ 1 + 2x dx 12) (3x+l)3(x2+/lT )dx
91
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6APLICACIONESDE LA INTEGRAL
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A) CALCULO DE ÁREAS DE FIGURAS PLANAS.
Considerando que la integral de una función f(x) continua y no negativa
sobre un intervalo [a;b] es el área encerrada por la gráfica de la
función, el intervalo [a;b] y segmentos de recta que pasan por x=a,
x=b, como se muestra en la siguiente figura
i
entonces, y si a su vez f(x) y g(x) son funciones continuas no negati-
vas definidas sobre el intervalo Ca;b^ en e^ °lue
f(x)>g(x) para todo x de dicho intervalo,
tenemos que h(x)=f(x)-g(x)> 0 será una función continua no negativa y
por tanto la integral de h(x)
h{x)dx= (f(x)-g(x)dx.
95
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Casa abierta al tiempo
f(x) dx- g(x)dx, (1)
será el área comprendida por las gráficas de la funciones f(x) y g(x)
Concretamente tenernos:
Si f(x) y g(x) son funciones continuas no negativas sobre el intervalo
| a;b | entonces el área A encerrada encerrada entre las dos gráficas
es:
f(x)dx- g(x)dx. (2)
la siguiente figura muestra dos gráficas la de f(x) y g(x) y el área en-
cerrada por ellas, dada por 2,
96
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La formula 2 es válida aún si las funciones f(x) y g(x) satisfacen las condicio__
nes:
a) "f(x), g(x) negativas y continuas sobre el intervalo [a;b]
b) f(x) > g(x) para todo x en el intervalo
NOTA: Si f(x) y g(x) son continuas y se intersectan en un número f ini to de pun_
tos { x l f x 2 . . , xn } entonces el área encerrada entre las gráficas de f(x)
y g(x) es igual a la suma de cada una de las áreas entre las gráficas
sobre cada subintervalo [a;xv] , [x l t x 2 ] . . . , [xn-i » x j ' v [*n;b]
97
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ÁREA
Ejemplo: Determinar el área encerrada por las siguientes tres rectas
yi = 3x - 2, y2 = - y x + 2, y3 = - I x + 1.
Solución: La siguiente figura muestra el área encerrada por las tres rectas
Los puntos de intersección entre las rectas se obtienen de igualar su?
respectivas ecuaciones una con otra. Así por ejemplo al igualar yi
con y2 se obtieneyi * yz
3 x - 2 = - j X + 2
3x + |x = 4
10
Tx= 4
x = - y por tanto yi = y2 ( F ) = F#3 3 3
consecuentemente Q = ( F > F ) es £1 punto de intersección entre las3 D
rectas yi con y2 . . '
98
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Similarmente al igualar yx con y3 obtnemos
3x - 2 = - g- x + 1
3x + I- x = 3
fx .3
x -X 25 '
al sustituir este valor de x en cualquiera de las dos expresiones para22yi o y3 tenemos yx = y3 = -^ y consecuentemente el punto de inter
24 22 ~sección entre yx , y3 es p = ( » 25" ) •
De igual manera se obtiene que el punto de intersección entre las rec
5 ' 524 2
t a s y 2 , 7 3 en R = ( T > F ) • En tonces e l á r e a e n c e r r a d a por l a s
tres rectas es:
A =
2*»5
L(t)dt con L(t)
yi(t) - y3(t) para IIN< t « |
yz(t) - y3(t) para ^ < t <2 5
A =
2**25
( 3 t - 2 - . • ( - £ t + l ) ) d t l ) ) d t
,« /*
4M - 3) dt +
2h25.
J e/s
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Ejemplo: Determinar el área encerrada por las curvas cuyas ecuaciones son:
x+y = 3 y y+x2= 3.
Solución: La siguiente figura muestra el área encerrada por las curvas dadasá
los puntos de intersección entre las curvas dadas lo podemos obtener el igualar sus
ecuaciones
y = 3-x = 3-x2= y
así tenemos x2- x = 0
x(x-l) = 0
Xi= 0 y x2= 1
al sustituir cada uno de estos valores de x en cualesquiera de las ecuaciones de las
curvas obtenemos
y = 3-0 = 3
7 = 3-1 = 2 ,
luego P = (0,3) y Q = (1,2) son los puntos de intersección entre ambas curvas, y el
área A encerrada por ellas es:
(i
A • = • dt
(i ri
t2dt t3tdt = - ^ 1 + 1 _ 1
3 2 ^ F
es decir, A --^ unidades cuadradas,
100
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Ejemplo: Determinar el área encerrada por las curvas cuyas ecuaciones son:
. y = x3+2, x = 1, y = -6-
Solución: La siguiente figura muestra el área encerrada por las curvas dadas.
claramente la curva y = x3+2 intersecta a la recta x = 1 en P = (1,3) e intersec-
ta a la recta y = -6 en Q = (-2,-6) y por tanto el área encerrada por las curvas
dadas es:
A l(t)dt =ri
(t3+2-(-6))dt-2
(t3+8)dt
t3dt+S
-2
dt = £-2
+8t
81es decir, ' A - -j- unidades cuadradas.
101
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Ejemplo: Determine el área encerrada por las curvas cuyas ecuaciones son:
y = -x2 + 10, y = 1.
Solución: La siguiente figura muestra el área encerrada por las curvas dadas
los puntos de intersección entre las curvas dadas lo podemos obtener al
igualar sus ecuaciones
y = -x2 + 10 = 1 = y
asi obtenemos
x2 = 9
xi = 3, x2 = -3
al sustituir cada uno de estos valores de x en cualesquiera de las ecua-
ciones de las curvas obtenemos,
y = -(3)2 + 10 = 1
y = -(-3)2 + 10 = 1,
luego P = (-3,1) y Q = (3,1) son los puntos de intersección entre am-
bas curvas, y el área A encerrada por ellas es;
202
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A = l(t)dt
-3
(-t2 + 10 - l)dt
-3
(-t2 + 9)dt
-3
3 3
t2dt + 9
-3
dt
-3
3 3
+ 9t
-3 -3
= - i (33 + 33) +9(3 + 3)
= -18 + 54
= 36
es decir, A = 36 unidades cuadradas.
103
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Ejemplo: Determinar el área A comprendida por alguna de las siguientes rectas
Xi = - 5 6 x2 = 5 y las dos curvas f(x) = x3 + 1, g(x) = -x2 + 1
Solución: La gráfica de las curvas se muestra en la siguiente figura junto con el
área por calcular.
los puntos de intersección entre f(x) y g(x) se obtienen de igualar
sus ecuaciones
x3 + 1 =
f(x) =g(x)
-x2 + 1
x2(x •+ 1) = 0
x3+x2
luegox = 0, x = -1
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son las coordenadas de los puntos donde se cortan las curvas,
Para -1 < x < 0 tenemos que -x2 < x3 < 0.
luego entonces g(x) < f(x) en el intervalo -1,0
y f(x) < g(x) en -5;-lg(x) < f(x) en 0;5
luego entonces el área A es:
A = (-t2 + i - t3 - l)dt + (t3 +.1
J-c
375112
- l)dt
-5
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Ejemplo: Determinar el área encerrada por las gráficas de las funciones
z£2(x) =
Solución: La siguiente figura muestra la gráfica de las funciones fx(x), f2 (x) y el
área encerrada por ellas.
X
la gráfica de la función f2(x) se puede obtener empleando los resultados de derivación,
y los puntos de intersección entre las funciones fx, f2 se obtienen al igualar las
ecuaciones de ambas funciones, así tenemos
x _ 1¿
2x =
=0
= 0 = 0
= 0 , x2= +/5 ,
es decir, las curvas de fi(x), f2(x) se intersectan en los puntos
P = r' TJ ' R = (0,0) , Q = \-/5, - ^
así que el área encerrada entre las curvas es:
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A = L(t)dt con L(t) =
/t2+l
/t2+l
~bsi -
SI
L(t)dt + L(t)dt
tdt - tdtf/3"
tdt 1
A2+ltdt
1 1 2
.2 2 + /t2+l2 2
/3
- (1-2) + (2-1) -¿3
es decir
A = -j unidades cuadradas,
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Ejemplo: Determinar el área encerrada por la parábola y = - x* +
y las rectas tangentes a ella que pasan por el punto P = (0r4)
Solución: La siguiente figura muestra la gráfica de la parábola
junto con sus rectas tangentes, que pasan porP= (0,4).
la pendiente mt de las rectas tangentes es;
t = f • (xo) = - 2xo,
con xo la abscisa del punto de tangencia Q = (xo, f(x0)), emplean
do la fórmula de la pendiente cuando se tienen dos puntos, en
este caso P = (0,4) y Q = (xo, f (xo)) -(xo / 1 -• xj), tenemos
- 2xo= m. =-x2 + 1 - 4 -x* - 3
2x2o = - x* - 3
xo = -
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y las ecuaciones de la recta tangente R. (x) = f(xo) + f'(xo)<
(x - xo) son
R1 (x) = - 2 + (- 2/T~) (x - VT~)
= - 2 /T~ x + 4
R2 (x) = - 2 + 2/T"(x
= 2 /T~ x + 4 .
así, el área encerrada por las rectas tangentes y la parábola
es:
A = i (2/T~ x + 4 - (-x2+ l))dx +• [(- 2 /3~x + 4 - / (-. x2+ l))dx.
- VT~ 0
0 0 (
íxdx + |x2dx + 3 fe/T"
f= 2 /T~ lxdx + !x2dx •+; 3 |dx - 2 /T~ I xdx .+ jx2dx + 3 ídx
-/T~ -/T~ -vT" O O O
2/3- § 3x0- 2 2
/T"+ 3
/T"+ 3x
vT"
= - 3 3/T~ - 3/3" 3/T~ = 2/3~
A - 2/T~ unidades Cuadradas .
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Ejemplo: Determinar el área acotada encerrada entre la gráfica de la función f(x) =9-^x
la recta tangente a f(x) en Xo^l y el eje X-
Solución: La siguiente figura muestra la gráfica de f(x) y su recta tangente a ella en
xo=l.
foo-1-tx*
Sabemos que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto xo
es del tipo
como
= fCxo)+f'(xo)Cx-Xo)
f(x) = 9- -x2, entonces f'(x) ^-
luego
y así, la ecuación de la recta tangente es:
se puede comprobar fácilmente que la recta Rt(x) intersecta al eje X en x=41 y la grá-
fica de f(x) intersecta al eje X. en x=9.
Entonces el área encerrada por la función f(x) la recta tangente Rt(x) en Xo=l y el
eje X es:
A L(t)dt con L(t)Rt(t)-f(t) si j tjc
Rt(t) si 9<t<41
rL(t)dt+ L(t)dt1 J 9
110
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. 82- 9-±t2l!dt+
2^82t+
9 1 2
i" 9"1 3
i + 27*.
9
1
1 2
ym9 9
= § - |(80)+ (728)- i(1600)+ ^
= 24 - 240 + 728 - 4800 + 7872
27
_ 3584
"ir.unidades cuadradas.
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Ejemplo: Determinar el área comprendida entre las siguientes curvas,
y = x3, y - - 7 x , y * x + 6 , x = - 2.
Solución: La siguiente figura muestra la gráfica de las funciones junto con
el área por calcular
los puntos de intersección fueron calculados al igualar las ecuaciones de las
respectivas curvas intersectadas, entonces el área encerrada por las curvasdadas es:
.0 2
A = (t + 6 + ~ t)dt +
• - 2
(t + 6.- t )dt
o
# t + 6 dt +
-2
(-t + t + 6)dt
1 ¿2 2
• +' 6t
-2 -2
+ '•£• + 6t
(4) + 12 -^- + 1 + 12 = t9.
112
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Ej emplo: Determinar el área encerrada por las parábolas
y1(x) = -x2+2, -. y2(x) = -x
2+ 8x - 10
y la recta que une sus vértices
Solución: La siguiente figura muestra la gráfica de las parábolas, la recta que une
sus vértices y el área encerrada por ellas.
completando cuadrado para y2(x) tenemos que:
y2(x) - -(x-4)2+6,
y los vértices de las parábolas son: el de yx es Vi=(0¿2), el de y2(x).es v2=(4,6),
empleando los vértices podemos obtener que la ecuación de la recta que une los vérti-
ces de las parábolas es
R(x) = x+2.
Como observamos de la gráfica, la recta R(x) = x+2 toca otro punto de la parábola
y2(x) antes de tocar al vértice, este punto se puede deteminar al igualar la ecuación
de la recta y la parábola y2(x), así que de la igualdad
tenemos
al aplicar la fórmula
x+2 = -x2+8x-l0
x2-7x+12 - 0
con
2a
a - . 1 , - b - - 7 , c •« 1 2 ,
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obtenemos los valores
. xi= 4, x2= 3,
entonces la recta R corta a la parábola y2 en el punto P = (3,5), también, las parábo-
las yx(x), y2(x) se intersectan en el punto Q = -r » "T el c u a l s e 0 D t i e n e de igua-
lar las ecuaciones de las parábolas.
Con los datos anteriores podemos calcular el área pedida A.
(3
A L(t)dt donde L(t) =
R(t)-yi(t) si 0<t<|
R(t)-y2(t) si |<t<3
L(t)dt + L(t)dt
y 3/
'2
f3
(t+2+t2-2)dt + (t+2-(-t2+8t^l0))dt
(t+t2)dt + (t2-7t+12)dt
+12t
2
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Ejemplo: Deteminar el área encerrada por las siguientes curvas
f(x) = x2 , g(x) = (x-2)2 -2, R(x) = x-4, x = 0.
Solución: En la siguiente figura se muestran las curvas dadas junto con el área
p©r co.1 cu lar +•
Como observamos, las curvas f(x) y g(x) se intersectan en el punto
P=(y > •%)> mientras que la recta R(x) intersecta a g(x) en el punto
V=(2,-2), los puntos P y V se obtuvieron de igualar las respectivas ecua
ciones, la de f(x) con g(x) paraobtener P y la R(x) con g(x) para obte-
ner V.
Como f(x)>R(x) sobre el intervalo[b;f]y g(x)>R(x) sobre el intervalo
;2Ju,entonces el área encerrada por las cuatro curvas es:
A = (x2-(x-4))dx+ ((x-2)2-2-(x-4))dx
x2dx- xdx+4 dx+ (x-2)2dx- xdx+2 dx
-
0
X2
T
12
0
+4x (x -2)3
32
1
X 2
T
2
i
T"
\
2x 256"
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Ejemplo: Determinar el área encerrada por las gráficas de las siguientes funcio-nes:
f v (x) = 10x\ f 2 (x) = ( x - e f - 4 , f 3 (x) = | | x - ^
Solución: La gráfica de las funciones f i, f2, f3 se muestra en la siguiente figu.ra
Como observamos, las funciones fi(x) y f3(x) se intersectan en los
puntos P = \JQ , YQ y Q' s (3,5), y las funciones fi(x), f2(x) se
intersectan en el punto R = ^ , ~gr » dichos puntos se obtuvieron de
igualar las respectivas ecuaciones de las funciones y posteriormente de-1 41
terminar los valores de x. Como en el intervalo j o ; 3* s e t i e n e c l u e
f i (x)>f3(x) y en el intervalo U- ; 3 tenemos que f2(x)>f3(x), enton-
ces el área encerrada por las tres curvas es:
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A = (Mx) - f3(x))dx
1/10
(fz(x) - f3(x))dx
l/lO
= 10 x dx - ^4929
J 1/10
xdx + 29
l/lO
dx +
1/10
(x-6) dx - 4929 xdx - 114
~29~ dx
= 10 49 xf_29 2
í/io
t / 3
l/lO l/lO
492 9 X
1 1 4
- 10 í í i } 3 1 1 ü ÍÍ4]2 J M . 2 (43 {{3} " lOOOj " 58 [|3J " lOOj 29 [ I "
49 [ i 16] 114 f,- 4]" 58 (2 " 18] " 2 9 ¡ / " 3j
= 41.38
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Ejemplo: Determinar el área encerrada por las siguientes curvasf(x) = x2, g(x)V(x-6)2-4, R(x) = x-10, x = 0
Solución: En la siguiente figura se muestran las curvas dadas junto con el áreapor calcular
Como observamos, las curvas f(x) y g(x) se intersectan en el punto
P = U" , -gpl, mientras que ía recta R(x) ínter secta a g(x) en el punto
v = (6,-4), estos puntos P y V se pueden obtener de igualar las respectavas ecuaciones, la de f(x) con g(x) para obtener P y la de R(x)con g(x) para obtener V.
Como f(x) > R(x) sobre el intervalo 0;3 y g(x) > R(x) sobre el in-tervalo 3;6 , entonces el área encerrada por las cuatro curvas es:
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8/3
A = (t2-(t-10))dt + ((t-6)2 - 4 - (t-10))dt
8/3
8/3 ,8/3
t2dt - tdt + io dt + (t-6)2dt -
8/3
tdt + 6 dt
8/3 8/3
8/3
-
0
t 2
2
e/3
+
0
lOt
8/3
+ (t-6)3 _ t i
6
-
8/3
t 2
2
6
8/3
6t
8/3
= 4907162
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Ejemplo: Determinar el área encerrada por las parábolas
4y2 = -5y2+ 9
Solución: La siguiente figura muestra la gráfica de las parábolas y el área encerrada
por ellas.
la ecuación de la rama superior de la parábola x -4y2 y x2=-52+9 son respectiva-
mente
3.2
y las ecuaciones de las ramas inferiores son respectivamente
12
los puntos de intersección entre las parábolas sé obtienen de igualar sus ecuaciones,
es decir, de la igualdad
4y2= -5y2+9
9y2= 9
se tiene y =±1 y los respectivos valores de x son xxM, x2=4 es decir las pará-
bolas xx, x2 se intersectan en los puntos P=(4,l), Q=(4,4) entonces el área ence-
rrada por ambas parábolas es:
120
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A = L(t)dt con L(t) =/ t si 0<t<4
si 0<t<9.
("9
L(t)dt + L(t)dt
/tdt + dt
o 3/5
16 + 4 3/ _ 3 63 + _ 5 --3-
121
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x3 - 12xEjemplo: Determinar el área entre las curvas f(x) = -—~2 y g(x) = ^-
Solución: La siguiente figura muestra las curvas dadas junto con el área entreellas.
Como observamos, las curvas f(x) = x2 - 12x _ xy g(x) = - se intersec-tan en los puntos P = (-3,9), Q = (0,0), R -' (4,16) los cuales se obtu-vieron después de igualar las ecuaciones de f(x) con la de g(x), esdecir, después de resolver la igualada
1 / V 3 i o v \ . 1 V 2ij\A " ICX) - -y X
Como f(x) s g(x) sobre el intervalo -3;0 y g(x) 2: f(x) sobre elintervalo 0;4 , entonces el área encerrada por las curvas es:
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A =t3 - 12t
-3
(ti (t3 - 12t))dt
j,2 t3dt-12
-3
tdt-
• ' - 3 J
t2dt+
- 3
t2dt-
0
t3dt+12
0
tdt
0 -
12
t1*4
-6t2
- 3
t3
" 3- 3 - 3
" 4
0
+ 6t
0 0 -
+ 54 _ 9 + M. _ 64 + 96 937
es decir,
A = ~ UNIDADES CUADRADAS
NOTA: La gráfica de f(x) = x3 - 12x se obtuvo por medio de los resulta-
dos de la primera y segunda derivada de la función f(x).
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Ejemplo: Determinar m de tal manera que la región sobre la recta R=mx y bajo la parábcD
la y=2x-x2 tenga área de 36 unidades cuadradas.
Solución: La siguiente figura muestra la gráfica de la parábola y posibles posiciones
de la recta R(x)=mx.
Como por hipótesis la recta está por debajo de la parábola, entonces
R(x)<y(x) para 0<x<xo
Como la recta y la parábola se intersectan en algún punto XoC^O) entonces para ese pun
to debemos tener igualdad de ecuaciones
m Y •_. 9 Y - Y 2 - - - - - - - - - - - - - - - - ----- - ---'1
luego x.o+.(m-2)xo = 0 2
es válida para xo = 0 y xo = 2-m — •- — =.--- — --._-«-. — „-;--. .3
por otro lado, el área entre la recta R y la parábola es 36, entonces se tiene la
rxoigualdad
36 = (y-R)dx:= (2x-x2-mx)dx
= j x i? "m -o-
X o
~Xo" T ~ "ñrXo
-ti- JXO-.-J
sustituyendo (3) en (4) obtenemos
36 - (2-m) (2-m) 00 2 3
entonces 63= (2-m)3 y luego 2-m = 6
luego entonces m = -4 y xo = 6 deben ser los valores que satisfacen lo indicado.
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ÁREAS DE FIGURAS PLANAS.
En cada caso, calcular el área encerrada por las curvas dadas
1) f(x) = x2 , y = 1
2) f(x) = -x2 + 4 , y = 2
3) f(x) = x2 , y = x + 1
4) y = JT » y = -x2, x = 1 , x = 2
5) y = x2 + 1 , y = 5
6) x + y = 3 , y + x2 = 3
7) y = x3 y la recta y = x
8) x + y = 1, x + y = -1, x - y = 1, x - y = -1
9) y = / x ~ V y = 4^ y la normal ay - /x~ en ( 1 , 1)
10) y = x3 - 12x, y = x2
11) y = x3 - x y la tangente a esta curva en x - -1.
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12) x2 - y + 1 = O ; x - y + 1 = O
13} y = 2x3 - 3x2 - 9x ; y = x3 - 2x2 - 3x
14) x = 4 - y2 ; x = 4 - 4y.
15) y = x2 , y = 8 - x2 , y 4x - y + 12 = O
16) y = / T , y = 2/xPT y = 0
17) y = x2 + 1 , y =-4x + 2 x = 0 , y = 0
18) y = -x2 +'1 • y sus rectas tangentes que pasan por p = (0,2)
19) Encerrados por los segmentos que unen los puntos p = (-1, -1)
Q = (2,2), R = (6, 2), S = (7,-1)
20) y = 2x - x2 y la línea y = - 3
21) El área acotada por la curva y = x2 y la línea y = 4 es dividida en dos
porciones iguales por la línea y - c. Encuentre c.
22) Encuentre m(> 0) para lo cual la parábola y = mx2 y la recta y = m
encierran un área de 10 unidades cuadradas.
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23) Calcular el área encerrada por y = -x3 + 2, su recta tangente en (1,1)
y y = o.
24) y = x2 , y = -lxl + 1
25)
26) y = x3 - 12x , y = x:
27) y = x2 , y = -x2 + 4x.
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B) CALCULO DE VOLUMEN DE SOLIDOS DE REVOLUCIÓN: ROTACIÓNRESPECTO DEL EJE X, ROTACIÓN RESPECTO DE EJES PARALELOSAL EJE X.
Cuando la gráfica de una función f(x) continua definida sobre un intervalo
(figura 1) se rota alrededor del eje X, esta produce un sólido limitado por la re
gión generada por la curva, dicho sólido es llamado sólido de revolución.
1
i
i
128
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En esta sección estamos interesados en calcular el volumen de sólido de revolución
como el que se muestra en la figura 2. Se puede observar que el volumen del sol i_
do de revolución será igual a la "Suma continua" de las áreas transversales del
sólido sobre el intervalo Ca^3> n0 es d i f í c i l probar que la fórmula
V = A(t)dt
nos permite calcular el volumen de dicho sólido, en tal fórmula A(t) es la fun-
ción del área transversal del sólido perpendicular al eje de rotación X > con
te[a:b j Como cada punto de la gráfica describe un circulo cuando ésta se rota,
entonces debe ser claro que la función de área transversal es el área de un circulo,
lo cual da A(t) = n ( f ( t ) ) 2 , por lo tanto el volumen del sólido de revolución se
puede calcular con la fórmula
v = n ( f ( t ) ) M t - . - - - - - - - - - - - - - ~ - 2
La gráfica de una función f(x) continua sobre el intervalo Caí^l también se puederotar alrededor de un eje paralelo al eje X y es posible calcular el volumen derevolución del sólido obtenido.
129
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Por ejemplo, si f(x)>0 para todo xe[a;iTj e y=c<0, es el eje al re-
dedor del cual la región comprendida por la gráfica de la función y el
eje X es rotada, entonces el volumen del sólido generado es:
V = dx-
rb
ir c*" dx
a
esta fórmula se puede interpretar como sigue: el primer sumando corre¿
ponde al cálculo del volumen de revolución obtenido de girar el área ba
jo f(x) hasta el eje y=c y el segundo sumando corresponde al cálculo
del volumen de revolución obtenido de girar el área bajo el segmento
[a;b] y el eje y=c, y la diferencia dá el volumen de revolución obteni-
do al girar el área bajo f(x) y el eje X entre [a;b] , alrededor del
eje y=c.
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Un caso importante, respecto de volumen de revolución, es cuando se de-
sea calcular el volumen de revolución generado al rotar.el área eneerra
da entre dos curvas, cuando esta es rotada alrededor del eje X. Gráfi-
camente tenemos, que si
0< g(x) < f{x) para a< x< b
como se muestra en la siguiente figura
41
y rotamos el área encerrada entre las curvas alrededor del eje X, obte-
nemos el siguiente sólido
1
131
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Casa abierta al tiempo
De la figura vemos que el volumen del sólido de revolución obtenido por
el área entre las curvas lo podemos calcular, calculando el volumen derb
revo luc ión e x t e r i o r por l a fórmula f 2 ( x )dx , obtenido de g i r a r e l
área ba jo la curva de f ( x ) , a l rededor del e je X y r e s t a r l e e l volumen
de revo luc ión i n t e r i o r obtenido de g i r a r e l área bajo la curva de g ( x ) ,
íb
a l rededor del e je X. Con la fórmula 77 g 2 ( x )dx . Asi tenemos que el
volumen V obtenido de g i r a r el área en t re las curvas f ( x ) y g(x) se cal
cu!a con la fórmula
V = 7T g 2 (x)dx
132
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Observación: Para el caso de las funciones anteriores
0 < g(x) < f(x) con a < x < b
si el área entre ellas es rotada alrededor de un eje, paralelo al eje
X, y=c <0, entonces el volumen V de revolución obtenido deberá ser cal
culado por la fórmula
b rb
V= (f(x)-c)2 dx- (g(x)-c)2 dx.
La fórmula anterior deberá interpretarse como el volumen exterior gene-
rado por el área bajo la gráfica de f(x) y limitada por el eje y=c <0
entre a< x< b cuando esta es rotada alrededor del eje y=c< 0, y el se-
gundo sumando deberá interpretarse como el volumen interior generado
por el área bajo g(x) limitada por el eje y=c< 0 entre a < x < b cuando
esta es rotada alrededor del eje y=c< 0. La diferencia de estos volüme
nes el exterior menor el interior nos da el volumen generado por el
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Ejemplo: Determinar el volumen del sólido de revolución al rotar la región ence
rrada por la función f(x) = 4 - x2 entre x• = 0 y x = 2, alrededor
del eje Y .
Solución: La siguiente figura muestra la región del enunciado.
entonces
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Volumen de revolución
al rotar alrededor --
del eje Kv = n f2(t)dt
= n (4-t2)2dt
= n( 16dt - 8 t2dt + t*dt)
= ni6t + n-•T
= 32n -
256 = 17n UNIDADES CUBICAS.
135
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Ejemplo: Hallar el volumen del sólido de revolución obtenido de rotar el área encerra
da por las curvas y1= x2 , y2= 3-2x, alrededor del eje X.
Solución: Las siguientes figuras muestran el área encerrada por las funciones ylf y2
el volumen de revolución alrededor del eje X.i
al igualar las ecuaciones de dichas curvas.
x2= 3-2x
obtenemos xx= , x2= -3 y con ellos obtenemos los puntos de intersección entre las cur-
vas P = (1,1), Q = (-3,9) respectivamente. Como y2 _yi para -3<x<L, entonces el volu
men V del sólido generado es:
V = TT(1
= irj1 (S-Zt^t-TrfVdt
= - |IT[1-729]- I (1+243)
= +J728- |(244)
|364- f (244) = TT1820 - 732
15
(1088)
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Ejemplo: Calcular el volumen de revolución que se obtiene de girar el área entrela gráfica de la funciónf(x) = x3 - 4x2 + 3x en el intervalo [0;3}, cuando ésta se rota alrededor del eje Y .
Solución: La siguiente figura muestra la gráfica de la función f(x) sobre el inter.valo \0i
y su volumen generado cuando ésta se rota alrededor del eje X es:
V = n f2(x)dx
= n (x3 - 4x2 + 3x)2dx
= n (x6 - 8x5 + 22X1* - 24x3 + 9x2)dx
137DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]
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= n x6dx - 8n x5dx + 2211 x"dx - 2411 x3dx + 911 x2dx
= n - 8n - 24n T
V = 7 * 3 ? " 3 R 3 6 "* "5"- 6n 31* + 3n33
h
La siguiente figura muestra el sólido de revolución obtenido al gifár é lárea anterior alrededor del eje X. .
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Ejemplo: La región acotada por las curvas y = x2 + 2, y .= x +. 1, x = 0 y
x = 1 es girada alrededor del eje 1 . Determinar el volumen del
do de revolución obtenido.
Solución: Las siguientes figuras nos muestran la región junto con el sólido obte
nido :
De acuerdo a la fórmula :
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v = ni f 2 ( t ) d t - n i gz(t)dt
tenemos que el volumen del sólido obtenido es:
v = n (t + 2)2dt - n (t + l)2dt
= n (t* + 4t2 + 4)dt - n
' o
(t2 + 2t + l)dt
' o
= n 4n
Jo
= n±
t2dt + 4n dt - n t2dt - 2n tdt - n dt
* o ' o ' o . ' o
1 1 1 1 1
+
0
1 n t 3 +
0
4nt n t 3
n 30
-
0
nt2- •
0
nt :
= n( | + | + 4 ) - n( |
_ 16 UNIDADES CUBICAS.
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Ejemplo: Hallar el volumen del sólido de revolución, obtenido de rotar el área
encerrada por las curvas ya (x)=x2+4, y2'(x) = l, alrededor del _e_je_X.
Sobre el intervalo 0 < x < 2.
Solución: Las siguientes figuras muestran el área encerrada por las curvas yi, y2
y el volumen de revolución obtenido de rotar ésta alrededor del eje X.
Así tenemos que el volumen generado por el área, entre las curvas yl5
y2, cuando esta se rota alrededor del eje X es:
V - Vtotal exterior
y 1 2 (x)dx-
0
r 2
(x)dx
(x I 2 dx
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, 2
= TT dx
71 5- T T X
896TT - 2 TT
866 Unidades cúbicas
142
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área entre las curvas fíx) y g(x), cuando esta es rotada alrededor del
eje y=c < 0.
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Ejemplo: Determinar el volumen de una esfera metálica de radio r=10 mm que es per_
forada por uno de sus diámetros con una hora de diámetro 1 rnrn.
Solución: La esfera perforada se puede obtener de rotar, alrededor del eje X, el
encerrada por la curva y^/lOO-x2 y la recta y=l mm, el área porárea
rotar está mostrada on l«i siguiente figura.
JsíiÍH1
10
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La siguiente figura nos muestra la esfera perforada por uno de sus diá-
metros.
115
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Las coordenadas de los puntos P = ( ~ ' / W " , 1) , Q'=. ( . V W , 1 ) se
obtuvieron después de igualar la ecuación y = /100-x* con y = 1.
con los datos anteriores podemos calcular el volumen pedido:
Volúmen de es-
fera ferforada
Volumen obtenido
al rotar la cur-
_ va ^lüü-x2 alre-
dedor del eje I
desde -99 hasta
99
Volumen obtenido
al rotar la rec-
ta y = 1 mm
alrededor del
eje X , desde -99
hasta 99.
= n
r/9"9~
(/ lUU-xz)2dx - II "dx
= n (100-x2)dx - E
-/59"
dx
n(100 x - Y
/gg
-/g?
= 2n(99/w} - 1 n = 211(99/9?) - 1 n(99/9?)
Volumen de esfera perforada = y H(/9"9~ );
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Ejemplo: Hallar el volumen del sólido de revolución generado cuando la región en-
cerrada por las curvas yx = x 2 , y2 = H- , Xi = -3 , x2 = 3, y = 0,A
es girada alrededor del eje X •
Solución: La siguiente f igura muestra el área encerrada por las curvas dadas, jun-
to con el sólido obtenido.
Las curvas y i s y2 se intersectan en los puntos P = ( -2,4) , Q = (2,4)
y la curva y se intersecta con las rectas X i , x2 en los puntos
R = ( -3, -g-), S = (3, -g-), con estos datos tenemos que el volumen de el
el sólido obtenido es:
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v = n f2(t)dt
J-3
r -2
= n y|(t)dt + n yi(t)dt + n yHt)dt
-3
= n ( | l ) 2 d t
- 3 •1-2
f -3
= nie2 ^ I 6 2 n ^
- 2
UNIDADES CUBICAS.
148
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Ejemplo: Determinar el volumen del sólido obtenido de rotar la región encerradapor las gráficas de y = x2 y y = 4, alrededor de la recta y = -1.
Solución: Las siguientes figuras muestran el área encerrada por las curvas y elvolumen del sólido obtenido
Puesto qué el área es rotada alrededor de la recta y = -1 entonces elvolumen obtenido lo calculamos por medio de 1 a siguiente fórmula
v = n g2(t)dt - n f2(t)dt
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donde
f (x) = 1 + x2 y g(x) = 5
asi tenemos:
V = 25dt -
- 2 - 2
= 25n dt - n
- 2
(l+2t2+t")dt
- 2
= 25nt
2 2
- nt
- 2 - 2
2 2
4-5
U T- 2 - 2
= íoon - 4n - ^ n - -^ n
= íoon - n60+160+192
15
= íoon - n412
-72.5H
150
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Ejemplo (teórico práctico): Determinar uña función continua f(x) > Ó definida
en el intervalo !0;+°°) cuyo volumen de revolución
obtenido al rotar el área entre su gráfica f el eje
X sobre el intervalo 0;x, alrededor del eje X es
x2 + 2x
Solución: La formula para el volumen de revolución cuando se rota la gráfica de
f(x) alrededor del eje J_ es:
V = n f2(t)dt
pero
V = x2 + 2x
entonces
f2(t)dt = x2 + 2x
x2 -t- 2x
n
derivando ambos miembros de esta igualdad tenemos:
151
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Casa abierta al tiempo
dx f2(t)dt =-£-d x2 + 2xdx E
luego
2x + 2
n
f'U) - H
f(x) -
/2= /i
es la función pedida, la gráfica del sólido de revolución está mostrada
en la siguiente figura. "
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ROTACIÓN RESPECTO DEL EJE Y
Si la función y=f(x) con xe[a;b] (0<a< b) es no negativa y el área
bajo la gráfica es rotada alrededor del eje Y, entonces podemos calcu-
lar el volumen del sólido de revolución generado por esta área, median-
te la fórmula siguiente.
V = 2TÍ xf(x)dx.
La gráfica de f(x) y el volumen de revolución se muestran en las si
guientes figuras
Nota: Otra forma de calcular el volumen de revolución obtenido al girar el
área bajo la gráfica de f(x), alrededor del eje Y, es "despejando" j ^ en
función de y de la igualdad
"" 153
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y = f(x)
y ver el volumen como obtenido de girar el área alrededor del eje hori
zonta! como se hace para calcular el volumen de revolución alrededor
del eje X.
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Nota: Si f ( x ) y g(x) son funciones continuas no negat ivas de f i n idas sobre el
i n t e r v a l o Z^'^l ( 0 < a < b ) y además 0 < g (x ) < f ( x ) , no es d i f í c i l cosí
vencerse de que el volumen de revo luc ión obten ido de r o t a r el área en-
t r e estas curvas , a l rededor del e je Y, se c a l c u l a con la fórmula s i -
guiente
V = 2 TT xf (x)dx-2 * xg(x)dx
esta fórmula se peude interpretar como sigue: el primer sumando calcu-
la el volumen de revolución obtenido al girar el área encerrada por la
gráfica de f(x) y el eje X, y el segundo sumando calcula el volumen de
revolución obtenido de girar el área encerrada por la gráfica de g(x) y
el eje X, la diferencia dá el volumen de revolución obtenido de girar
el área comprendida entre las curvas alrededor eje Y.
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Ejemplo: Determinar el volumen del solido de revolución obtenido de rotar la
gión encerrada por la función f(x) = 4-x2 y las rectas x = 0, x = 2
y y = 0, alrededor del eje Y.
Solución: Las siguientes figuras muestran la región y el volumen
de acuerdo a la fórmula para calcular el volumen de revolución de regiones gira__
das alrededor del eje Y, tenemos para f(x) que el volumen del sólido obtenido
es:
r ¿
V = 2TT I tf(t)dt
í 2TT f t(4-t2)dt
= BTT i tdt-2TT t 3 dt
4iT2
es decir
= 8TT
V = 8ir unidades cúbicas
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Ejemplo: Determinar el volumen del solido de revolución obtenido al rotar la
región encerrada por la función f(x) = x~x2, el eje X, entre x = 0
y x = 1, al rededor del eje Y.
Solución: Las siguientes figuras muestran la región y el volumen obtenido
El volumen del sólido obtenido es:
V = 2TT t ( t - t 2 ) d to
= 2TT| t2dt-2iT t 3 d tO J O
1 1r= v
es decir
V = gir unidades cúbicas,
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Ejemplo: Calcular el volumen del sólido de revolución obtenido de rotar, la re-
gión encerrada por la curva y (x)=(x-4)2 +4 para 2 < x < 6, alrede-
dor del eje Y.
Solución: La siguiente figura muestra la región a rotar junto con el sólido de re
volución obtenido
El volumen del sólido obtenido es:
V - 2 TT t((t-4) 2+4)dt
' 2
.6
= 2 7T t(t 2 -8t+16+4)dt
J 2
.6
= 2TT -8t2 +20t)dt
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= 2 7T t 3 d t - 1 6 TI t 2 d t+40 ir td t
2 J 2 ] 2
~ 7T t16 . 3 + 20-TT t 2
J (1296-16) - ^ TT ( 2 1 6 - 8 ) + 2 0 1 T (36-4:
i d 2 8 0 ) - ¿2. TT 208+20 TT 32
= 1280 1328
5123 unidades cúbicas
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Ejemplo: Determinar el volumen del solido generado al rotar alrededor del eje Y
la región "fuera" de la curva y 2 (x)=x2 y entre las rectas R2 (x)=2x-l,
R2 (x)=x+2.
Solución: Los siguientes figuras muestran la gráfica del área ecerrada por la para
bola y(x)=x2 y las rectas Ra (x), R 2 (x) y el volumen abtenido cuando
dicha área es rotada alrededor de eje Y.
4% *
La parábola se intersecta con la recta R1 (x) en el punto P=(l,l) y con
la recta R2 (x) en el punto Q=(2,4), mientras que las rectas se inter-
sectan en el punto R=(3,5). Calculamos el volumen generado por la cur-
va compuesta por y1 con R£ sobre el intervalo [l,3] rotada alrede-
dor del eje Y, luego calculamos el volumen generado por R sobre el in-
tervalo [l:3] y por tanto el volumen deseado lo obtenemos con la fór-
mula, como sigue:
160
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Casa abierta al tiempo
V = 2 TT tf(t)dt-2 TT tq(t)dt
donde f representa la curva y1 (x) seguida con R 2(x) y gíx) representa
la recta RA (x) desde x=l hasta x=3. Así cenemos que el volumen es:
V = 2 T xx 2 dx+2 TT
1 i
.2
x(x+2)dx-2 TT
= 2 7T
' 2
.3
x(2x-l)dx
X 3 dx+2 ir
' 1
77 1+
x2 dx+4 TT
+ 23 3
-i
' 1
3 ,-3
xdx-4 iT x 2 dx+2 xdx
- l T r X - + TTX
TT(27-8)+2 TT (9-4)- ^Tr(27-l) + ir (9-1)
38
TT unidades cubicas.
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VOLUMEN DE REVOLUCIÓN
En cada caso calcule el valor del volumen de revolución, cuando la región en cues
tión es rotada alrededor del respectivo eje.
1) Región encerrada por las curvas y = 1 - x2, y = 0, x = 0, x = 1, rota
da alrededor del eje X .
2) Región encerrada por las curvas y = x3, x = 1, x = 2, y = 0, rotada
alrededor del eje X •
3) Región encerrada por las curvas y = x2 + 1, y = /T* , x = G, y =• 2,
rotada alrededor del eje X .
4} Región encerrada por las curvas y = x2 + 1, x = 0, y la recta tangente
a }a primera en x > 1, rotada alrededor del eje X .
S) Región etícérrada por las curvas y = 4 - K2 y y'= 3, rotada alrededor
del eje y = -l
6} Reglón encerrada por las curvas y = x2, y = 1 9 rotada alrededor del eje
• . y = 2 V • ' / • • • '
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Casa abierta al tiempo
7) Región encerrada por las curvas y = |x - 1|, y = t x + 1, rotada alrede
dor del eje >[ •
8) Región encerrada por las curvas y'= / 2x + 4 , y = 0, y x = c (c > 0 ) ,
rotada alrededor del eje J_ . ¿ Con qué valor de c el volumen es .12 II uni
dades cubicas ?.
9) Región encerrada por las curvas y• - x2, y = 1 + x - x25 rotada alrededor
del eje y = -3.
10) Región encerrada por las curvas y = 1 - x2, x - y = 1, rotada alrededor
del eje y = 3.
11) Región encerrada por las curvas y = /x~ + 1, y = /x-1 , y = 0, x - 0
y = 3 rotada alrededor del eje J_ .
12) La región en 11 rotada alrededor del eje y = -1
13) Calcular el volumen de revolución obtenido de girar el área bajo la gráfica
y(x) = 3x+l (0 < x < 5) alrededor del eje Y,
14) Calcular el volumen de revolución obtenido de girar el área bajo la gráfica
y(x) = x 2 +1 (0 < x < 3) alrededor del eje Y por dos métodos.
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Casa abierta al tiempo
C) CALCULO DE VOLUMEN DE SOLIDOS CON ÁREA TRANSVERSAL DETERMINADA POR
UNA FUNCIÓN A(t).
En esta sección presentarnos ejemplos de cálculo de volumen de sólidos
que tienen un área transversal determinada A(t). Claramente el volumen
del solido es igual a la "suma continua11 de las áreas transversales
A(t) del sólido. Por tanto, no es difícil comprobar que el volumen V
del sólido, como el que se muestra en la siguiente figura, se puede caj^
cu.lar por la fórmula.
V = A(t)dt
donde a y b son números realess
que "encierran" al sólido.^ «*M
por donde pasan planos TT y
t
Nota: Los sólidos de revolución son un caso particular de los sólidos en gene
ral, en el caso de sólidos de revolución A(t) es el área de circuios.
164
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Ejemplo: La base.de un sólido es la región del plano H. encerrada por las cur-
vas x = y2, x = 4. Cada sección transversal del sólido perpendicular
al eje X es un triángulo isósceles, cuyos vértices que unen los la -
dos iguales del triángulo están sobre la gráfica de la función 4 / T
sobre el plano XZ. . Hallar el volumen del sólido.
Solución: Las siguientes figuras muestran la base del sólido encerrado por las
curvas y las secciones de área transversal del sólido.
Como cada sección del área transversal es un triángulo, entonces su
área es:
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Casa abierta al tiempo
y puesto que la base del SA(t) es 2
y la altura del i.A(t) es 4 7F
entonces
A(t) = j base.altura
1 2 /I .4 /t
= 4í
y por tanto el volumen del sólido es:
V = A(t)d1
4tdt
o
= 2t2
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Casa abierta al tiempo
= 32
es decir, el volumen del sólido es:
V = 32 unidades cubicas.
167
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Ejemplo: La basé de un sólido en él plano % Y és el triánguloT = {(x,y)jO < y < x, 0 < y < 1}. Cada sección de área transversaldel sólido perpendicular al eje X es un semicírculo-Determinar el volumen del sólido.
Solución: En la siguiente figura se muestra la base del sólido y secciones deárea transversal
Para cada x se tiene un semicírculo de radio 4 y además el área dedicho semicírculo es
A(x) = | n (|)
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y el volumen es
V = A(x)dx
\ ir(£ )2dx
n8
x2dx
_ n UNIDADES CUBICAS.
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Ejemplo: La base de un sólido es la región encerrada por un círculo con centro
(0,0) en el plano X. Y. y radio 10 cm. Determinar el volumen del sólido
sabiendo de antemano que las secciones transversales perpendiculares al
eje X. son triángulos equiláteros
Solución: La siguiente figura muestra la base del sólido cuya ecuación es:
.=. 10x2.+
e yi .=../ lü - x2 , y2 = - / lü - x con -10 < x < 10, las ecuacio-
nes de los semicírculos superior e inferior, respectivamente, en el pla-
no 1 1 V
Como cada sección transversal es un triángulo equilátero, entonces elárea transversal A(x) es:
170
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A'.(x) - ¿ base.altura , ton base = Zyx = 2/ 102 :r~xT
y altura = / J / 102 - x r
asi tenemos
A(x) = -»(2/102 - x2)(/~r /102 -
y por lo tanto el volumen V del sólido es:
10
V = A(x)dx
-10
10
/T (1 .0 2 - x2)dx
- 1 0
= 7T W M-
102x
10
- 1 0
10
¿-10
10
x2dx
- 1 0
= 20/TlO2 - | / T 103
| / T 103 UNIDADES CUBICAS.
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Ejemplo: La base de un sólido en el plano X Y. , está l imitada por la$ curvas
y "- 3x + 4, y = x 2 , x = 0 , x = 4. Si cada sección transversal del
sólido perpendicular al eje X. es un cuadrado. Determinar e l volumen del
sol ido.
Solución: En las siguientes f iguras se muestran el sólido y su base
£omo cada sección transversal es un cuadrado y cada lado mide
l ( x ) - 3x + 4x2 ehtohces el área de cada sección e$:
A ( x ) > ( 3 x > 4 - x 2 ) 2
y el volumen de l sólido es:
V = A(x)dx =
o
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f¡ (3x + 4 - x2jfiix
- 6x3 + x2 + 24x + 16)dx
- 6 x3dx +
jo Jo
x2dx + 24 xdx + 16 dx
5Y1*
" 6 T + 24 ?j- + 16x
- 6.43 + ~ + 3.43 + 43 + 4 3
A3f 1 64 ( T "
1
f + 3
= 4 3 í ^ + i - 2 )
- / j 3 ( 48 + 5 - 3 0
15
= 43{.||. ) UNIDADES CUBICAS
es decirV = | i . 43 UNIDADES CUBICAS.
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Ejemplo: La base de un solido es la región encerrada por la elipse que tiene
ecuación
4x2 + 9y2 = 36,
determinar el volumen del sólido si todas sus secciones transversales
perpendicular al eje J_ son cuadrados.
Solución: Las siguientes figuras muestran la base y el sólido
Como el área transversal del sólido es un cuadrado y cada lado del cuadrado es:
L{t) . 2
entonces el volumen del sólido es;
= í L2(
= 16x
t)dt
(9i
dx
3
- 3
- x2)dx.
-3
16 x2
T ' T
3
-3
=16(6) - ^y(2:27) = 6 4 unidades cúbicas.
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Ejemplo: la base de un sol ido es la región encerrada por las parábolas
xi > 4y2 y X2 ~ 36-Sy2 en eí plano XY. . Determinar el volumendel. s51 ido., sabiendo que las secciones transversales del sólido, per-pendiculares al eje X.» son cuadrados.
Solución: Las siguientes figuras muestran la base del sólido en el plano XI y
las secciones transversales del sólido.
Al igualar las ecuaciones de las parábolas» encontramos que los puntos(le intersección entre ellas son: P=(16,2) y Q=(165-2). Como cadasección transversal del sólido perpendicular al eje X. es un cuadrado,entonces el área A(x) de cada una de las secciones transversales es:
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Donde L(x) es el lado cuadrado perpendicular al eje 1 en el punto x.
Es importante notar que hay cuadrados producidos por la parábola xi y
otros producidos por la parábola x2, entonces:
cuadrado producido por la parábola xx tiene lado
Li(x) = 2y'|- , con 0 < x^ 16
cuadrado producido por la parábola Xz tiene lado
L2(x) = 2 / ^ ~ - V con 16<x<36
Y por lo tanto el volumen del sólido es:
16 36
V = A(x)dx = A(x)dx +
o
A(x)dx
' 16
36
0
2 / X dx +
16
2 / 36-x dx
16
xdx'+ J
36
(36 - x)dx
16
16
16
36
16
- (16)2 ,2
Es decir, V = 288 UNIDADES CUBICAS.
176
- 288
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Cjempio: Los ejes de dos cilindros iguales en diámetro se cortan formando ángu-
lo recto. Determinar el volumen del solido que se forma de la inter-
sección entre dichos cilindros.
Solución: La siguiente figura muestra ^ de la intersección de los cilindros
La ecuación de la base del cilindro vertical es:
x2•+ y2 = r2
y la ecuación de la base del ci l indro horizontal es:
x2 •+ z2 = r2
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entonces:
y =
z = / r2 - x2
de éstas dos igualdades notamos que para una misma x_, y y L toma el
mismo valor, de lo cual se desprende que el área transversal g- de la
intersección de los cilindros, cuando se corta por un plano perpendicir
lar al plano IX y que pasa por el eje X. es un cuadrado, entonces, el
volumen es:
,r
V = A(t)dt
donde A(x) - yz = / r2 - x2 / r2 - x2 = r2 - x
Asi tenemos
V = A(t}dt
(r2 - t 2 )d t = t3
T
luego entonces el volumen de la intersección de los cilindros es:
Vt = 8V = -Y- r3 UNIDADES CUBICAS.
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Ejemplo: Determinar él volumen de una cuña, cortada de un cilindro Circular por
. . un plano, que pasando por él diámetro de la base está inc.1 inado respecto
a ella, formando un ángulo x = 45°, El radio de la base es R = 80 cm.
Solución: La siguiente figura muestra la cuña del cilindro
Considerando el eje Ü como el eje que contiene un diámetro de la circun-
ferencia de basé de la cuña y £ otro diámetro de la base perpendicular
al eje X 9 -S.é tiene que la ecuación de la circunferencia de la base será
; '•;••••;..,. x 2 + y 2 = l í 2 . • - . • : " • . • ' ". . / ' • / ' " •-' '-,
Como cada sección transversal de la cuña perpendicular al eje X es un
triángulo A cuya área é$:
a A = | AB. BC.
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con AB = y = V R2 - x2 y BC = AB tan a
es decir a A = yy tan a = | y2 tan a
entonces el volumen de la cuña:
V = 1 oj y2tana dx
-R
= 2 ¿ tana y2dx
= tana
R
(R2 - x2)dx
' o
=tana*R2x - tana • ~
R
• " • • • ' ;
' R3 ' • • • •
RHana - - j - tana
= # RHana
= 4 (80cm):
1024 UNIDADES CUBICAS.
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Volumen de sólido: Área de sección transversal conocida
Ejemplo: Determinar el volumen de una pirámide triangular
cuya base está limitada por los lados del triángulo cuya
vértices son los puntos P = (0,0,0), Q = (4,4,0) = (4,8,0)
y su punto "más alto" está a una 1atura a = 10 sobre el pun
to donde se intersectan las medianas del triángulo.
Solución: La siguiente figura nos muestra la figura piramidal
y algunas de sus secciones transversales.
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Observemos que los triángulos ALST, AQSM son congruentes, y ALTN, AQMR son con_
gruentes, de 1 a congruenc f a se ótít i ene que sus réspect i vos latios san proporciona
Tes, por ejemplo de la congruencia en ALST y AQSM %e tiene la igualdad
h ~ QM
De la congruencia entre ALTN y AQMR se tiene la igualdad
De 1 y 2 tenemos
entonces
LT Vz
2
h
= •(£ )V - - . - . . . , . _ . . _ . - . 4
pero
T"
-/ ifl i.••
h h
| ) 2por tanto área ARLN = (área APQR){ ,|- )
por lo tanto el volumen de la pirámide es
V - A(Z)dZ
h(área ñPQR)( | )2dz
o • • • ' • ' ' . ' • • • • ' . • '
(área APQR) pr í z2dz = (área APQR) p- • |-
(área APQR) |
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Ejemplo: La base de un sólido es el cuadrado {.(x,y) 0 < x < 1, () < y < 1} en
el plano X. V. . Cada sección perpendicular al eje X. es un triángulo,
tales que los vértices superiores de estos triángulos, están en la rec
ta que une los puntos P = (0, |, 2 ) , Q = {1, |, 1). Calcular el vo1t£
men del sólido.
Solución: La siguiente figura nos muestra la base del sólido y sus secciones
transversales,
Como la sección transversal del sólido respecto del eje X son trian
gulos, entonces su área A(x) es:
basé, a l t u r a , con base > 1
y la altura la podemos determinar de la siguiente ínanera.
Observemos que todos los vértices están sobre una misma recta de tal
manera que pasando un plano n perpendicular al eje I y que contenga
a los puntos P, Q, y R obtenemos la siguiente figura, con la que se
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podrá describir la altura de los triángulos
Como la ecuación de la recta que pasa por P' y Q1 es
z - - x + 2,
entonces con esta ecuación podemos describir la altura de cada triángulo transver
sal y por tanto al sustituir la ecuación de la altura z = - x + 2 en 1, obtene
mos
A(X) = \ (D(- x + 2) = - y 2
y por tanto, el volumen V del sólido lo calculamos así:
V = í A(x)dxo
)dx
••+ 2 ) d x
~ 1 xdx.f dxo /o
2 2 + x
='j » unidades cúbicas,
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EJERCICIOS DE VOLUMEN DE SOLIDOS QUE TIENEN ÁREA TRANSVERSAL A(t) DETER
MINADA.
1. Calcular el volumen del solido cuya base en el plano XY está limitada
por las curvas |x| e y=2, y cada sección transversal AfyO es un cua
drado.
2. Calcular el volumen del sólido cuya base en el plano XY está limitada
por las curvas
f x (x) - x2 si -2 < x < 0
f 9 (x) = 2x S? 0 < x < 2
y cada sección cransversal A(x) es un cuadrado.
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3. Calcular el volumen del sólido cuya base en el plano XY está limitada
oor las curvas
f1 (x) = |x[
f 2 (x) = - jx| +1
y cada seccción transversal A(x) es un triángulo equilátero. Considén?
se las igualdades siguientes:
x = -x+1 X > o
2x =
X —
-x =
12x =
x =
1
1
x+1
1
- 12
X<0
4. Calcular el volumen del sólido, cuya base en el plano XY está limitada
por las curvas
x (x) = /7 , f2 (x) = -x , x = 4
y cada sección transversal A(x) es un cuadrado.
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5. Calculo*- el volumen del sólido, cuya base en el plano XY está limitada
por las curvas
(x) = x , f 2 (x) = -x , x=4
y cada sección transversal A(x) es un triángulo isósceles cuyos lados
iguales tienen su vértice sobre la curva z(,x)= /x~~~ .
6. Calcular el volumen del sólido, cuya base en el plano XY, está limitada
por las curvas
f! (x) = x , f2 (x) - -2x , x=2
y_cada sección transversal A(x) es un círculo.
7. La base de un sólido sobre el plano XYes la región encerrada por la
elipse cuya ecuación es
x 2 +4y 2 =
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Determine el volumen del solido si todas sus secciones transversales
A(x) son cuadradas.
8. Calcular el volumen del sólido, cuya base está limitada por las curvas
x = -y2 +1, x = 0, y = 0 sabiendo que cada sección transversal A(x)
es un triángulo rectángulo isósceles cuyos lados iguales hacen vértice
sobre el eje X.
9. La base de un sólido es el rectángulo R = {(x,y) | 0 < x < | , 0 < < 5 7
en el plano XY. Cada sección perpendicular al eje Y es un triángulo
A(y) tal que los vértices superiores de estos triángulos están en la
recta que une los puntos P = ( p O J ) , Q = (y,2,2). Calcular el volu-
men del sólido.
10. Calcular el volumen del sólido cuya base en el plano XY está limitada
por las curvas
x i = ° > yi = x + 1 > y 2 = "x-2 , x 2 = 3
y cada sección transversal A(x) es un cuadrado.
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D) LONGITUD DE ARCO
La integral puede utilizarse para •...calcular longitudes de curvas
tales como la longitud de un círculo, elipse etc.;de hecho, si
consideramos que f(x) es una función con derivada continua so-
bre un intervalo [a;b~|, es posible calcular la longitud L de
su gráfica sobre dicho intervalo, por medio de la fórmula
L = 'l +. íf'(t))2 dt,
lo cual es conocida como fórmula de longitud de arco.
Nota: La fórmula de la longitud de arco también puede ser apli-
cado a funciones cuya función derivada sea acotada y sec-
torialmente continua sobre el intervalo [a;b ] •
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LONGITUD DE ARCO
x3 . 1Ejemplo: Determinar la longitud de la gráfica de la función f (x ) = ~? + e n e1
t —i í¿ x
1;4J
Solución: La siguiente figura muestra la gráfica de f(x)
t
•3-
La gráfica de f (x) $0 obtuvo empleando los conceptos y resultados de de-
rivácidn de cálculo diferencial.
Como L = V i + ( f ' ( t ) ) 2 dt y f ' ( t ) = 1 J4 " x2
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entonces
L = rr)2 dt
/8t" + t8 +/ 16t.<»
16 dt
Ht1* + 4 ) 2
dt
-f 44t2 dt
dt _ et2 12
J,t
1 ,' r\ _ 21 A 3 _ 24= 6
es decir, la longitud de f(x) en el intervalo 1;4 es L = 6
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• • - • . — . ' • • • • : • • • • • • • • • • • . • • : • • . - : • • . . . . • . . , . . • • • • • • . . • •
Ejemplo : D e t e r m i n a r l a l o n g i t u d de g r á f i c a de l a f u n c i ó n f ( x ) ~en el intervoilo £0;4}
Solución: La siguiente figura muestra la gráfica de f(x)
Como I = / I + ; ; . { f l . ( t } ) 2 . d t y f 4 ( x ) = x ( x z + 2 ) 1 / 2
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Casa abierta al tiempo
entonces
L =?. ( t ( t +2)V2)2
o
/ 1 + t 2 ( t 2 +2) dt
• t- •+. 2t2 + 1 dt
o
V ( t 2 + l ) z dt
( t 2 + l )d t
t 2 d t ••+ dt
+ t
o o
76es decir, la longitud de f (x) en el intervalo Q0;4]]es L = ~ ~
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Ejemplo: Determinar la longitud de la gráfica de la función f(x) =en el intervalo
V~T~. dt
Solución: Como L = V 1 + (f (t))2 dt y f'(x) = -/"T
entonces
V 1 + (/T)2 dt
I + t dt
• f 4>/2)
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Casa abierta al tiempo
L - f (27-8)
383
La gráfica de f(x) es mostrada en la siguiente figura
La figura anterior muestra la gráfica de f(x)
curva en el intervalo 3;8 cuya longitud es
195
2 3/2=• x ' y la parte de
i _ 38L - - y
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Longitud de arco
Ejemplo: Determinar la tongirud de la gráfica de la función
f(x) = V t'¿ + 2t dt en el intervalo
o
Solución: Como L -
entonces
L =
/ 1 > { f ' í t } } 2 dt y f ! ( x ) > / x2 + 2x
/ 1 + (/t2 + 2t2)dt
/ 1 + t2 + 2t
/ ( t + I)2 dt
( t + l)dt
tdt + dt = = I (9 - 1) + (3 - 1) = 6
es decir, la longitud de f(x) en el intervalo |1;3] es L = 6.
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Casa abierta al tiempo
LONGITUD DE ARCO
En cada uno de los siguientes casos, calcular la longitud de la curva dada, sobre
el intervalo dado.
1) y = x2/3 desde x = 1 hasta x = 8
2) 8y = x1* + 2x"2 desde x = 1 hasta x = 2.
3) y = |-(x2+ 2 ) 3 / 2 desde x = 0 hasta x = 3.
4) y = / F dt desde x = 0 hasta x = 2.
5) f(x) = / t2-.l dt desde x = l hasta x = 3,
S(x) 4 < í " * / 5 * D 3 / 2 desde x = hasta x = 148 32
7) h(x) = I x5/5 - | x"/5 desde x = 1 hasta x = 32,
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8) T(x) = (t + 7- + 1)^ desde x = 1 hasta x = 4
9) y(x) = J2" + ~ desde x = 1 hasta x = 2
(•X
10) s(x) = / 4t2 - 4t dt desde x = 1 hasta x = 2
11) f(x) = / 2t - 1 dt desde x = 1 hasta x = 2
i
12) h(x) = / t2 + 6t + 8 dt desde x = 0 hasta x = 1
13) f(x) = -i/x (x-3) desde x - 0 hasta x = 3.
14) f(x) = | (x-l)3 / 2 desde x = 1 hasta x = 5.
15) f(x) = yL (3x-l) desde x = 1 hasta x = 4.
16) f(x) = x3/2+l desde x = 1 hasta x = 4.
graficar esta función y representar en ella la longitud del arco cuya longi_
tud es claculada. igo
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E) INTEGRAL IMPROPIA
Dentro de las integrales impropias se consideran la integral de funciones continuas
definidas sobre intervalos del tipo a; + «>), (-°°; b . Se considera la integral
f(t)dt con x > a,
esta integral siempre existirá y si 1ím f(t)dt existe, entonces
f(t)dt « 1 ím f(t)dt existe y será el área encerrada
por el eje X y la gráfica de la función f(t) sobre el intervalo a; + °°), como se
muestra en la siguiente figurar
i
NOTA: Un resultado similar se tiene cuando se desea calcular la integral de una
función g(x) de a -
199
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Casa abierta al tiempo
Un caso que se considera integrales impropias es: cuando la función por integrar
f(x) no es acotada cerca de un punto C sobre el ó los intervalos de integración, co
•o se muestra con la función
f(x) =
si x
0 , si x = 0 ,
definida sobre el intervalo (-1;1). La integral
f(x)dx
existirá * si para números arbitrarios e i , ez > 0, con 0 < ei < 1» 0 < ei < 1» se
tiene que los siguientes limites
y en tal caso
reí
1 Im f(t)dt f(t)dt existen,
f(t)dt = Hm f(t)dt + Hm f(t)dt 1
será el área debajo el gráf ico de f ( x ) y el in terva lo (~1;1) .
NOTA: Si alguno de los l im i tes en 2 no existe entonces la in tegra l por calcular no
está def in ida.
* En general para el cálculo de la in tegra l de funciones no acotadas cerca de un
punto se sigue un aná l i s is s imi lar al del ejemplo an te r io r .
200
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Integral Impropia
Integral impropia (Cambio de variable) intervalo finito
r 2
Ejemplo: Calcular el valor de la integral dx
Solución: Como la función integrando f(x) = — no está acotada en el interva_v¿ ~ X
lo 1;2 y no está definida en 2, entonces no podemos aplicar el método
anterior para calcular integrales de funciones acotadas en intervalos de
longitud finita, por lo que es conveniente considerar la siguiente igual_
dad
dx = 1ím
n - xdx con £ > 0
Como f(x) es continua y acotada sobre el intervalo l;2-e , entonces
dx =;
2G
201
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entonces
f2
» dx
(-2(e* -
= 2.
por tanto
dx = 2.
La siguiente figura muestra la gráfica de f(x) y el área abajo de el1 isobre el intervalo Q;2)
202
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Integral impropia (Cambio ele Variable) intervalo f i n i t o .
Ejemplo: Calcular el valor de la integral (x - " ! ) *dx
Solución: Como la función integrando f(x) = -? JJ 2 no está acotada en el ínter
valo (1;2 , entonces no podemos aplicar fórmulas o métodos para calcular
integrales de funciones acotadas en este caso, por lo que es conveniente
considerar la siguiente igualdad.
i T~vr dx = 1 irn~.(x - I) 2 z -> 0+
Como f(x) = -, -ry2 es continua y acotada sobre el intervalo 1 + e;2
entonces
dx =
i +e
(x - 1)" dx
= - (x - 1)
203
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pa sándo a l 1m i t e , tenemo s
dx > e -> 01
(x -
í+e
dx
( 1 - 1 )
por tanto
1(x - 1)
T dx = + oo .
La siguiente figura muestra la gráfica de f(x) y el área abajo de ellasobre el intervalo {1;
204
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Integral Impropia (Cambio de variable} intervalo infinito
Ejemplo: Calcular el valor de la integral 9x23 + 1)
,-dx
Solución: Como el intervalo de integración no es acotado, entonces podemos considj?
rar la siguiente igualdad
9x2 9x2dx+ 1) e > 0
9xComo f(x) = f 3 ^ >v? es continua y acotada en el intervalo 0;e
entonces tenemos
9x2 dx = 9
93
3x dx
205
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Como
3 x 2 ( x 3 > l ) " 7 dx
Jo
(x3 + 1)15
- 6
-f((e3 -M)-6
2 v (e 2 + 1T6 1)
_ I2 2(e3 + I H
9x2
l i raí
9x2
dx
= l ím2 2(e
por tantof+00
9x2
+ I)
_ I~ 2
206
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Integral Impropia (por partes) intervalo finito
Ejemplo: Calcular el valor de la integralx +' 3
dx.
J-3
Solución: Como la función integrando f(x) = 1 no está acotada sobre el
intervalo (-3;1 , entonces no podemos aplicar en este caso formulas o me
todos para calcular integrales de funciones acotadas, por lo que es cón_
veniente considerar la siguiente igualdad
dx •= 1 im,e + 0"1
dx con e > 0 1
-3
como la función f (x) es continua y acotada en el intervalo -3+s;l , en_
tonces podemos aplicar en este caso el método de integración por partes
asi tenemos
du = dx ; v = 2{x+3)l/2
dx =/ x + 3
= dx
207
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= 2x(x+3)l/2 - 2 (x + 3)l/2dx
J-3+e
= 2x(x+3)l/2 - | ( x + 3 ) 3 / 2
-3+e «3+e
| ( £ ) 3 / 2
= 4-2{-3+e)el/2 - f + i
Al sustituir 2 en 1 obtenemos
dx =
- 3
/ X + Sdx
m3
esdecir
x d x • • - - M
• ' -3
208
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integración Impropia (por partes) intervalo "(0;+°°.)
Ejemplo: Calcular el valor de la integral
+ oo
2x( x • IV
Solución: Como el intervalo de integración no es acotado, entonces no podemos
car formulas o métodos para calcular integrales de funciones definidas
sobre intervalos no acotados, por lo que es conveniente considerar la
siguiente igualdad
+00
2x
(xV8 3
dx = 1ím 2x(x + iy™
dx con e > O - - - 1
2xcomo f ( x ) - • • 8 3 es continua y acotada en el intervalo 0;e
entonces podemos api icar a la integral del segundo miembro de 1 el méto-
do de integración por partes, a s i tenemos
= dx ' • ; V . v = | (x + 1 ) " 5 / 3
2x( x + I ) 8 3* dx = 2 ___
(x + 1)8 3 dx
209
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INTEGRAL IMPROPIA
Calcular cada una de las siguientes integrales
1) dx 2) dx
3) dx 4) dx
/ir
5)-1/3 ,
x dx 6)(s+1)1 ds
-i
7) dv 8)
•9) 5/2 ds 10) xdxx2-9
-5
11) xdx.cD
12) (x+2)6 dx
13)(x2+2)! dx 14)
210
dx
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= 2
£ re
o ^ o
6 / 3 -5 (" 2]
al sustituir 2 en 1 obtenemos
+00
2x(x \Q 3
dx = lím 2x(x + I ) 8 3 dx
= 1 Im f (e+l)-2/3+f
por tantor+00
95
2x(x + I ) 8 3 dx = 9
5
211
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7EJERCICIOS
ADICIONALES
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EJERCICIOS ADICIONALES.
CALCULO DE INTEGRALES DE FUNCIONES SECTORIALMENTE CONTINUAS.
r
1) Ca lcu la r f ( x ) d x con f (x )=<
- 7
x 2 - l
4ipara
para
para
-¿<x<0
x > 0 .
, 7
2) Calcular g ( x ) d x c o n g ( x ) =
- 5
! - 2 x
UI+2
| x - 3 |
si
si
- 5<
1<
4<
x<4
x<7
3) Calcular
x -1
g(x)dx con g(x)=
- 2
si -2<x<2
si
si
2<x<3
3<x<4
4) Calcular h(x)dx con h(x)=
- 3
l - 2 x si
| x - 2 | * x si
n - x l si
5) Calcular
' 5 \ | X | + X SI
f ( x ) d x con f ( x ) = -| ¡ x - 3 | + x s i
- x 2
l < x < 2
2<x<4
-5<x<2
2<x<3
3<x<5
215
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TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO (la. PARTE)
1) Derivar y evaluar en x =1; la función
t /2t+l dt,
1
2) Derivar y evaluar en z o = l ; la función
g(z) = z3/2 dt.
/z
3) Derivar y evaluar en w o = l ; la función
w
/t2+l dt
h(w) ='w
4) Derivar y evaluar en t=l, la función
•t
dz
g(t) =
1 +
ft
' i
dz
217
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5) Dada la func ión f ( x ) = l + t x d í
o
Pruebe que
[ f ' ( x ) ] 2 - 3 ( x 2 + x 6 ) = x 3 + x 6
6) Derivar la función
g(x) = x1
r/x"
. / t 2+ l dt.
' 1
7) Pruebe que la función g(x) = t"2+l dt
satisface la igualdad
Lg'(x)]2 - x 2 = l .
r/w
8) Sea h(w) = /1+ ~ dt. Calcular h"(w)
218
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9) Usando el teorema fundamental del cálculo, obtenga un valor de a que
tisfaga la igualdad
U 2 +x) dx = 2a
-1+a -
R 2
10) Calcular f'(2), si f es continua y satisface la fórmula para todo x
f(x)
tdt = x 2 (1+x 2 )
219
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APLICANDO EL TEOREMA DE CAMBIO DE VARIABLE: CALCULAR LAS INTEGRALES
1) x1/3dx
2) /x /l+x /x dx4 f?3/2
3) dv
/v 2 +4
R /v 2- +4 +C
4) du
u /u 2 -u
factorizar u 2 del radical
5) (H3x2/3)T7T"
4/5
dx
6) dx. -1/2
((x+1)3 +1) +C
221
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7),
,_ 3/2 5/2( v;x +7) . D i- ( /x+7) +Cdx
8)
3
21(1+i) ^
1
9) dx
10)1 " 3 1
( u 2 + 1) (2u- —)du.u u2
11)
j /x2+l /íl+x2 )3
12)x2
Sugerencia: Haga x = —^
xdx 1/2 1/2+C
222
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APLICANDO INTEGRACIÓN POR PARTES, CALCULAR LAS INTEGRALES
X 3— r-T r dx
2)
i
x
3) x2 (1-5x)100dx
4)(H3x)4 7 3
' Q
dx
5)
o
2
(l+2x)2
6) dx
7)
j.
/I x3 dx
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CALCULO DE ÁREAS DE FIGURAS PLANAS
1. Calcular el área encerrada entre la parábola y=(x+l)2 +1, su recta tan-
gente en P=(-2,2) y el eje Y.
R 8/3 unidades cuadradas.
2. Calcular el área comprendida por las curvas
y x (x) = -x+1 y la parábola y 2 (x) = -x2 +2,
3, Calcular el área encerrada por las curvas
y (x) = x 2 , x = -1 y la recta tangente a y 2 (x) en P=(2,4)
R 27/3 unidades cuadradas.
4. Calcular el área comprendida por las curvas
x -2, y 2 (x) = / F T , y = 0, x = 0.
225
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5. Calcular el área comprendida por las curvas
y i (x) = |2x-l| e y 2 (x) = 3.
6. Determinar el área encerrada por la función f(x)=4-x2 y las tangentes
a ellas, quepasan por el punto P=(0,5).
2R ~ unidades cuadradas.
7. Calcular el área encerrada por la recta y=- ^-x+1, la parábola y=_(x-2)2+4
y la recta tangente está en x=4.
8. Ca l cu la r e l área de l a reg ión encerrada por l as curvas y 1 (x)= /x+4 ,
y= / 2x -2 y l os e jes X5Y.
2 n n 3 / 2 R) 32T " ; T~ unidades cuadradas.
Ca lcu la r e l área comprendida por las curvas
y x (x) = x 2 -4 e y 2 (x) = - 1 .
226
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10. Calcular el área comprendida por las curvas
y l (x) = |3x-3 | e y 2 = x+3*
11. Calcular el área comprendida por las curvas
y ! (x) - -x2 +1 e y 2 (x)= |x| -3.
12. Calcular el área comprendida por las curvas
2 (x) = /x-1 y su recta tangente en x o = 4, la recta x = 0
y la recta y (x) = x- .
13. Calcular el área comprendida por las curvas
y 1 (x) = jx-11 e y 2 (x) - - |x-l| +2.
14. Determinar m >0 tal que el área comprendida por la Recta R(x)=mx y la
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parábola y(x)=x2 encierren un área de 1 unidad cuadrada.
15. Calcular K tal que las curvas y (x)=K( >0) y y (x)= |x-l | encie-
rren un área de 10 unidades cuadradas.
16. Calcular L > 0 tal que la recta y(x)=L y la curva ya (x)=x2 (x>0)
encierren una área de 2 unidades cuadradas.
17. Calcular m( >0) t a l que el área encerrada por las curvas y 2 (x)=mx y
3=4 e y 2
2y2 (x)=x2 sea - del área encerrada por las curvas y 3 =4 e y,
y2 (x) = x 2 .
18. Calcular b(b> 0) tal que el área encerrada por las curvas por la curva
Z
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VOLUMEN DE REVOLUCIÓN:
1. Calcular el volumen del sólido de revolución, obtenido de rotar la re-
gión limitada por las curvas
y = 4-x2 y y =3, alrededor del eje y =-1
176 . . ,R T5~ unidades cubicas
2. Calcular el volumen del sólido de revolución obtenido de rotar la re-
gión limitada por las curvas
y1 (x) = ] - x 2 , x-y = 1, alrededor de la recta y = 3
486-TET- IT unidades cúbicas.
3. Calcular el volumen del sólido de revolución, obtenido de rotar la re-
gión limitada por las curvas y-x2 , x=0 y la recta tangente a y en
P= (1,1), alrededor del eje y=-2.
4. Calcular el volumen del sólido de revolución, obtenido de rotar la re-
gión limitada por las curvas y1 =5, y¿ (x)=x3+l, x=l, alrededor de
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la recta y=-l .
5. Calcular el volumen de revolución, obtenido de rotar la región limitada
por las curvas y (x) 3
y = 2, x1 = -20, x2 - 20, y = 0, alrededor del eje X.
6. Calcular el volumen del sólido de revolución, obtenido de girar o rotar
la región limitada por las curvas
y 1 (x) = 4- | x | ; y = 0, entre -2 < x < 2, alrededor del ejey=-l.
7. Calcular el volumen del sólido de revolución, obtenido de girar la re-
gión limitada por las curvas
g(x) = -x2+6 ; y = x+4 , alrededor del eje y = 8 •
8. Calcular el volumen del sólido de revolución, obtenido de girar la re-
gión limitada por las curvas
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h(x) - |x-l | +1 ; x = O , y = 4 , rotada alrededor del eje y =-1
9. Calcular el volumen del sólido de revolución, obtenido de girar la re-
gión limitada por las curvas
T(x) = x 2 +1 ; y(x) = x+4 , alrededor del eje y = 2 .
10. Calcular el volumen del sólido de revolución, obtenido de girar la re-
gión limitada por las curvas
x = y 2 +1 ; y = x-1 , alrededor del eje y = -4 .
231
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CALCULO DE VOLUMEN DE SOLIDOS CON ÁREA TRANSVERSAL DETERMINADA POR UNA FUNCIÓN A ( t ) .
1 . Ca lcu la r e l volumen del s o l i d o cuya base en e l p lano XY es tá l i m i t a d a
por las curvas
X 2
y cada sección transversal A(x) es un circulo.
2. Calcular el volumen del sólido cuya base en el plano XY está limitada
por el círculo
x 2 +y 2 = 4
y cada sección A(x) es un semicírculo.
3. Calcular el volumen del sólido cuya base en el plano XY está limitada
por el círculo
x 2 + y 2 - 9
y cada sección perpendicular A(y) es un cuadrado.
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4. Calcular el volumen del solido cuya base en el plano XY está limitada
por las curvas
ix I y 2 = - |x-i| + 3
y cada sección perpendicular A(x) es un cuadrado.
5. Calcular el volumen del solido cuya base en el plano XY está limitada
por las curvas
y\ (x) = /x" +1 , y 2 (x) = /x-1 , x = 0 , y = 0 , ' y = 3.
y cada sección perpendicular A(x) es un cuadrado.
6. Calcular el volumen del sólido cuya base es el rectángulo
R = í(x,y) | 0 < x < 2 , 0 < y < 1} , y tiene una tapa inclinada cu-
ya inclinación es dada por la recta que une los puntos P = (1,0,1,),
Q = (0,0,2).
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LONGITUD DE ARCO
1. Calcular la longitud de la curva
3/2f(x) = -j (x2 +2) entre *l = /2 y x2 = /7
2. Calcular la longitud de la curva
5 4/5 3/2 1f(x) = -ro (4x +1) entre x = -^ y x = 1
3. Calcular la longitud de la curva
f(x) = /(3+4t)2 -1 dt entre x, = 1ir 'i y x2 = 2
4. Calcular la longitud de arco de la curva
x3 1 13y(x) - yy + - entre A = (1, T 7 ) y B = (2,
5. Calcular la longitud de la curva
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CU) = entre x 2]_
8
236
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INTEGRALES IMPROPIAS.
CALCULAR LAS SIGUIENTES INTEGRALES:
dx
( 1 - x ) 2
dx
2.
' o
xdx
/ 1 - x 2
3.( 2 + 5 x 2 ) 7 / 3
o— dx
4. xdx
(2+3x)3
5.(1+x2 )2
dx
6. 3x2
(2+3x)8 T 3~ dx
237
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7. (S+ir5/4ds
— 1
8. Pruebe que(Hy2 f'
9. Pruebe que
,i
ái
t+ /t"< 2
10. Pruebe que dx
— 1
= 4
11. Evalué {si existe) dx
(x-1)Sol: 3
12. xdx2 -25;
13.x 2 dx
( H 8 x 3 ) 1 / 4
238
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14 — dx donde r > 1, a > 0
15. dx
16.dt
17. , r > 1, a > 0
18.(x+Z)273 dx.
- 2
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B I B L I O G R A F Í A
Lipman Bers. Cálculo Diferencial e Integral, Vol. I. la. Edición
Nueva Editorial Interamericana, 1972.
Louis Leithold. El Cálculo con Geometría Analítica. 4a. Edición
Editorial Haría, 1982.
Earl W. Swokowski. Cálculo con Geometría Analítica. Editorial
Wadsworth Internacional Iberoamericana, 1982.
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La edición estuvo a cargode la Sección de Produccióny Distribución Editoriales
Se imprimieron 300 ejemplaresmás sobrantes para reposición.
Problemario de cálculodiferencial e integral
Parte ISe terminó de imprimir
en el mes de noviembre de! año 2003en los talleres de la Sección
de Impresión y Reproducción de laUniversidad Autónoma Metropolitana
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METROPOLITANA
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División de Ciencias Básicas e IngenieríaDepartamento de Ciencias BásicasCoordinación de Extensión UniversitariaSección de Producción y Distribución Editoriales CienciasAzcapotzalco
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PROBLEMARIO DE CALCULO DIF. E INT. PARTE I
BECERRIL
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