cálculo diferencial e integral i -...

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Cálculo I3ª Lista de Exercícios – Limites

1) Calcule os limites:

2) Calcule os limites abaixo:

3) Calcule:

) ) ) ))))):.Resp

11 lim)

11 lim)

321 lim)

24 lim) 253 lim)

)1(31

lim) )1(32

lim ) )2(43

lim)

1 1

3 2 2

2

0

21 21 22

hgfedcba

xh

xg

xxf

xxe

xxxd

xx

cxx

bxx

a

xx

xxx

xxx

www.matematiques.com.br4) Calcule os limites:

5) Calcule os limites:


Exercícios Complementares

1. Calculando-se , obtém-se

a) 0.b) 1.c) 2.d) 4.e) 6.

2. O é igual a

a) 1/9.b) 1/27.c) 1/243.d) 1/243.e) 1/54.

3. O valor de é

a) 0.b) 1.c) 2.d) 3.e) ∞.

4. vale

a) 7eb) e7

c) 7 – ed) 7 + ee) 7e

5. Julgue as afirmações abaixo e marque a alternativa correta.

a) I, II e III são falsas.b) Apenas as afirmações I e II são falsas.c) I, II e III são verdadeiras.d) Apenas as afirmações I e III são falsas.e) Apenas as afirmações II e III são falsas.

www.matematiques.com.br6. Calculando-se , obtém-se

a) 1/4.b) 1/5.c) 1/6.d) 1/7.e) 1/8.

7. Seja . O valor de k para oqual f(x) é contínua em x = 4 é

a) 2.b) 4.c) 6.d) 8.e) 10.

8. Sobre a função foram feitas as afirmações abaixo, sendo apenas uma verdadeira.

Assinale-a:

a) Seu gráfico tem a reta x = 4 como uma assíntota vertical.b) Seu gráfico tem a reta y = 0 como uma assíntota vertical.c) Seu gráfico passa pelo ponto (0,0).

d)

e)

9. é igual a

a) .b) 0.c) 1.d) - .e) 4.

10. Observando o gráfico correspondente à função f(x), assinale a única alternativa incorreta:

a)

b)

c)

d)

e) f(1) = 2

Gabarito1 2 3 4 5 6 7 8 9 10E E B D E C D C A C

www.matematiques.com.brEXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

1) 2)

3) 4) Não existe pois e

5) 6) 7)

EXERCÍCIOS ESPECIAIS

a) RESP 0 b) RESP -2

c) RESP 1/3 d) RESP 1/2

e) RESP f) RESP 3X2

g) RESP 1 h) RESP 1/2

i) RESP 3 j) RESP 1

k) RESP -1/56 l) RESP 12

m) RESP 3/2 n) RESP -1/3

o) RESP 1 p) RESP : x

q) RESP r) RESP -1/3

LIMITES ENVOLVENDO INFINITOS

www.matematiques.com.brSeja a função polinomial f(x) = an xn + na-1xn-1 + ... + a2 x2 + a1x + a0

Para o cálculo de limite com toma-se o termo de maior grau da função e aplica-se o limite .

Exemplos :

Exercícios complementares:

1) R 0

2) R 4/3

3) R

4) R ½

LIMITES DE FUNÇÕES

www.matematiques.com.brSeja uma função definida sobre algum intervalo aberto que contém o número , exceto possivelmente no próprio . Então, diz-se que o limite de quando tende a é , e representa-se por

se para todo há um número correspondente tal que sempre que , isto é, se .

Exemplo: Provar que Solução:

(a) Encontrar um valor para :

Uma análise preliminar do problema indica que se , deve encontrar-se um tal que sempre que ,

mas sempre que ,

isto é,

sempre que , logo .

(b) Prova:

Por tanto, dado , escolhe-se , e se , então,

Assim sempre que ,

por tanto

Na prática é suficiente substituir a variável pelo valor ao qual ela tende, isto é,

donde

Exemplos:

a)

b)c)

Em alguns exemplos o limite não é tão evidente. Seja a função

, com , isto é,


Indeterminação,

estudando-se esta função, tem-se que o domínio de abrange todos os números reais, com exceção de que anula o denominador e o numerador. O que significa que a função é indefinida neste ponto. Porém, ao se utilizar “Baskara” no numerador, ou seja,

.

Assim,

Desta forma, tem-se que

,

Exercícios:

Indeterminação,

onde substituição direta novamente anula o denominador e o numerador, e a função é indefinida neste ponto. Porém, obtendo-se as raízes do numerador, ou seja,

O gráfico mostra que para aproximando de , se aproxima de , mas se substituir-se na 1a expressão, não está definida naquele ponto.

Ponto deve ser excluído do gráfico, pois naquele ponto a função é indefinida.

X2

8 Y


Em , o ponto deve ser excluído do gráfico, pois , pois o domínio de é: e tem como imagem

.

3.1 - Propriedades dos Limites

1)

2) e é uma constante

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9) e

10) Indeterminações de limites:

Exemplos:

1)


2) Indeterminação

Como toda indeterminação deve ser levantada, tem-se

Solução: Deve-se, primeiramente, encontrar as raízes do polinômio superior, isto é, (Baskara)

donde,

Então, deve-se encontrar as raízes do polinômio inferior, isto é,

assim,

3)

4) Indeterminação

Neste caso, para eliminar a indeterminação , se deve racionalizar o numerador , isto é, .

Desta forma, tem-se:

3.2 - Limites NotáveisUm limite considerado notável é o do seno, que ocorre porque quando o ângulo (ou arco) tende a diminuir, o valor do tende a ficar igual a este arco, em valor, de forma que o seu quociente tenda para , e o limite notável no caso é

3.2.1 - Limite do seno s

sen

, se


6) Calcular

faz-se , para

7)

8)

Limite que define o número “e ”

O número "e" , usado como base do logaritmo natural é obtido pela expressão abaixo.

1 2 10 100 1000 10000

Exemplo:

põe-se para


Limites infinitos de funções racionais

Se a função for do tipo , isto é,

,

que é uma indeterminação. E para resolver esta indeterminação, basta dividir o numerador e o denominador pela variável independente elevada à maior potência que aparecer na fração. Assim, se , tem-se:

,

,

,

e passando ao limite, tem-se:

.

Se , tem-se: ,


,

,

e passando ao limite, tem-se:

.

Se , tem-se:

,

,

,

,

e passando ao limite, tem-se: .

Desta forma, pode colocar-se a regra geral: Independente de qual dos três casos for considerado, todos os limites menos os de maior expoente, tanto no dividendo quanto no divisor irão anular-se, ou seja,


.

Assim, se , se e se .

Exemplos:

1) , o resultado daria (indeterminação)

Aplicando a técnica exposta anteriormente se tem:

,

ou simplesmente

2) Calcular o limite

ou


ou



ou simplesmente

Limites Laterais

a) Definição: Diz-se que o limite esquerdo de quando tende a (ou que o limite de quando tende a pela esquerda) é e representa-se por

se for considerado que tende a pela esquerda, isto é,

Exemplo:

b) Definição: Diz-se que o limite direito de quando tende a (ou que o limite de quando tende a pela direita) é e representa-se por

se for considerado que tende a pela esquerda, isto é,

Exemplo:

EXERCÍCIOS:

www.matematiques.com.br2) Resolver os limites abaixo:

14.

11.

12.

13.

16.

17.

18.

19.

15. 20)

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