8/8/2019 problema4p1

1/7

Problema 4.1

Balance de energia del primer tanque:

Entrada de energia:

w Cp

Ti

t( )

Salida de energia

w Cp T1 t( )

Acumulacin de energia:

t V Cv T1 t( )( )

d

d

Por la expresin del balance de energia se tiene:

8/8/2019 problema4p1

2/7

t V Cv T1 t( )( )

d

dw Cp Ti t( ) w Cp T1 t( )

Suponiendo que la capacidad calorifica a volumen constante es igual de la capacidad

calorifica a presin constante, que la densidad no varia con el tiempo y que el volumen del

tanque es constante, se tiene

V CpdT1 t( )

dt w Cp Ti t( ) w Cp. T1 t( )

dT1 t( )

dt

w Cp

V CpTi t( )

w Cp.

V CpT1 t( )

Y al simplificar se tiene

dT1 t( )

dt

w

VTi t( )

w

VT1 t( )

Ecuacin I

Balance de materia para el segundo tanque:

Entrada de energia:

w Cp T1 t( ) q t( )+

Salida de energia

w Cp T2 t( )

Acumulacin de energia:

t V Cv T2 t( )( )

d

d

Por la expresin del balance de energia se tiene:

t V Cv T2 t( )( )

d

dw Cp T1 t( ) q t( )+ w Cp T2 t( )

Luego

V CpdT2 t( )

dt w Cp T1 t( ) q t( )+ w Cp. T2 t( )

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3/7

dT2 t( )

dt

w Cp

V CpT1 t( )

q t( )

V Cp+

w Cp.

V CpT2 t( )

Y al simplificar se tiene

dT2 t( )

dt

w

VT1 t( )

q t( )

V Cp+

w

VT2 t( )

Ecuacion II

De igual manera se tiene la ecuacion para el tercer tanque:

dT3 t( )

dt

w

VT2 t( )

w

VT3 t( )

Ecuacin III

En resumen se tiene:

dT1 t( )

dt

w

VTi t( )

w

VT1 t( )

Ecuacin I

dT2 t( )

dt

w

VT1 t( )

q t( )

V Cp+

w

VT2 t( )

Ecuacion II

dT3 t( )

dt

w

VT2 t( )

w

VT3 t( )

Ecuacin III

Cada ecuacin es lineal, es decir, no se requiere la linealizacin

Planteando la ecuacin de balance en estado estacionario para cada ecuacin

dT1 t( )

dt

w

VTi t( )

w

VT1 t( )

0w

VTi

w

VT1

Y al restar esta ecuacin de la ecuacin diferencial

dT1 t( )

dt

w

VTi t( ) Ti( )

w

VT1 t( ) T1( )

definiendo las variables de desviacin:

i t( ) Ti t( ) Ti

1 t( ) T1 t( ) T1

se tiene entonces

8/8/2019 problema4p1

4/7

d1 t( )

dt

w

Vi t( )

w

V1 t( )

Ecuacion IV

Para el segundo tanque:

dT2 t( )

dt

w

VT1 t( )

q t( )

V Cp+

w

VT2 t( )

0w

VT1

q

V Cp+

w

VT2

Al restar, y definiendo

2 t( ) T2 t( ) T2

Q t( ) q t( ) q

Se obtiene:

d2 t( )

dt

w

V1 t( )

Q t( )

V Cp+

w

V2 t( )

Ecuacin V

Para el tercer tanque

dT3 t( )

dt

w

V T2 t( )

w

V T3 t( )

0w

VT2

w

VT3

Y al restar y definiendo

3 t( ) T3 t( ) T3

Se llega a:

d

3

t( )

dtw

V2 t( ) w

V3 t( )

Ecuacin VI

En resumen, se tienen las ecuaciones en variable de desviacin:

d1 t( )

dt

w

Vi t( )

w

V1 t( )

d2 t( )

dt

w

V1 t( )

Q t( )

V Cp+

w

V2 t( )

8/8/2019 problema4p1

5/7

d3 t( )

dt

w

V2 t( )

w

V3 t( )

Aplicando la transformada de laplace al sistema de ecuaciones diferenciales, y definiendo

L i t( )( ) s( ) Ti s( )

L 1 t( )( ) s( ) T1 s( )

L 2 t( )( ) s( ) T2 s( )

L 3 t( )( ) s( ) T3 s( )

L Q t ( )( ) s( ) Q s( )

s T1 s( )w

VTi s( )

w

VT1 s( )

de donde:

T1 s( )

w

V

sw

V+

Ti s( )

T1 s( ) 1 V

ws 1+

Ti s( )

Sea

V

w

T1 s( )1

s 1+Ti s( )

Ecuacion VII

Para la ecuacin 5 al aplicar la transformada de laplace

s T2 s( )w

VT1 s( )

Q s( )

V Cp+

w

VT2 s( )

Y al despejar

8/8/2019 problema4p1

6/7

T2 s( )

w

V

s w V

+

T1 s( )Q s( )

V Cp s w V

+

+

Simplificando

T2 s( )1

V

ws 1+

T1 s( )Q s( )

w Cp V

ws 1+

+

Es decir

T2 s( )1

s 1+T1 s( )

1

w Cp

s 1+( )Q s( )+ Ecuacion VIII

De la misma manera, para el tercer tanque

T3 s( )1

s 1+T2 s( )

Ecuacin IX

Para los valores dados:

w 250 lbmin

:=

50lb

ft3

:=

Cp 1.3BTU

lb R:=

V 10 ft 3

:=

Vw

:=

2min=

1

w Cp3.077 10

3

R min

BTU=

En resumen, y sustituyendo los valores, se tiene:

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T1 s( )1

2 s 1+Ti s( )

T2 s( )1

2 s 1+T1 s( )

3.077 103

2 s 1+( )Q s( )+

T 3( )1

2 s 1+T2 s( )