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8/8/2019 problema4p1
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Problema 4.1
Balance de energia del primer tanque:
Entrada de energia:
w Cp
Ti
t( )
Salida de energia
w Cp T1 t( )
Acumulacin de energia:
t V Cv T1 t( )( )
d
d
Por la expresin del balance de energia se tiene:
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t V Cv T1 t( )( )
d
dw Cp Ti t( ) w Cp T1 t( )
Suponiendo que la capacidad calorifica a volumen constante es igual de la capacidad
calorifica a presin constante, que la densidad no varia con el tiempo y que el volumen del
tanque es constante, se tiene
V CpdT1 t( )
dt w Cp Ti t( ) w Cp. T1 t( )
dT1 t( )
dt
w Cp
V CpTi t( )
w Cp.
V CpT1 t( )
Y al simplificar se tiene
dT1 t( )
dt
w
VTi t( )
w
VT1 t( )
Ecuacin I
Balance de materia para el segundo tanque:
Entrada de energia:
w Cp T1 t( ) q t( )+
Salida de energia
w Cp T2 t( )
Acumulacin de energia:
t V Cv T2 t( )( )
d
d
Por la expresin del balance de energia se tiene:
t V Cv T2 t( )( )
d
dw Cp T1 t( ) q t( )+ w Cp T2 t( )
Luego
V CpdT2 t( )
dt w Cp T1 t( ) q t( )+ w Cp. T2 t( )
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dT2 t( )
dt
w Cp
V CpT1 t( )
q t( )
V Cp+
w Cp.
V CpT2 t( )
Y al simplificar se tiene
dT2 t( )
dt
w
VT1 t( )
q t( )
V Cp+
w
VT2 t( )
Ecuacion II
De igual manera se tiene la ecuacion para el tercer tanque:
dT3 t( )
dt
w
VT2 t( )
w
VT3 t( )
Ecuacin III
En resumen se tiene:
dT1 t( )
dt
w
VTi t( )
w
VT1 t( )
Ecuacin I
dT2 t( )
dt
w
VT1 t( )
q t( )
V Cp+
w
VT2 t( )
Ecuacion II
dT3 t( )
dt
w
VT2 t( )
w
VT3 t( )
Ecuacin III
Cada ecuacin es lineal, es decir, no se requiere la linealizacin
Planteando la ecuacin de balance en estado estacionario para cada ecuacin
dT1 t( )
dt
w
VTi t( )
w
VT1 t( )
0w
VTi
w
VT1
Y al restar esta ecuacin de la ecuacin diferencial
dT1 t( )
dt
w
VTi t( ) Ti( )
w
VT1 t( ) T1( )
definiendo las variables de desviacin:
i t( ) Ti t( ) Ti
1 t( ) T1 t( ) T1
se tiene entonces
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d1 t( )
dt
w
Vi t( )
w
V1 t( )
Ecuacion IV
Para el segundo tanque:
dT2 t( )
dt
w
VT1 t( )
q t( )
V Cp+
w
VT2 t( )
0w
VT1
q
V Cp+
w
VT2
Al restar, y definiendo
2 t( ) T2 t( ) T2
Q t( ) q t( ) q
Se obtiene:
d2 t( )
dt
w
V1 t( )
Q t( )
V Cp+
w
V2 t( )
Ecuacin V
Para el tercer tanque
dT3 t( )
dt
w
V T2 t( )
w
V T3 t( )
0w
VT2
w
VT3
Y al restar y definiendo
3 t( ) T3 t( ) T3
Se llega a:
d
3
t( )
dtw
V2 t( ) w
V3 t( )
Ecuacin VI
En resumen, se tienen las ecuaciones en variable de desviacin:
d1 t( )
dt
w
Vi t( )
w
V1 t( )
d2 t( )
dt
w
V1 t( )
Q t( )
V Cp+
w
V2 t( )
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d3 t( )
dt
w
V2 t( )
w
V3 t( )
Aplicando la transformada de laplace al sistema de ecuaciones diferenciales, y definiendo
L i t( )( ) s( ) Ti s( )
L 1 t( )( ) s( ) T1 s( )
L 2 t( )( ) s( ) T2 s( )
L 3 t( )( ) s( ) T3 s( )
L Q t ( )( ) s( ) Q s( )
s T1 s( )w
VTi s( )
w
VT1 s( )
de donde:
T1 s( )
w
V
sw
V+
Ti s( )
T1 s( ) 1 V
ws 1+
Ti s( )
Sea
V
w
T1 s( )1
s 1+Ti s( )
Ecuacion VII
Para la ecuacin 5 al aplicar la transformada de laplace
s T2 s( )w
VT1 s( )
Q s( )
V Cp+
w
VT2 s( )
Y al despejar
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T2 s( )
w
V
s w V
+
T1 s( )Q s( )
V Cp s w V
+
+
Simplificando
T2 s( )1
V
ws 1+
T1 s( )Q s( )
w Cp V
ws 1+
+
Es decir
T2 s( )1
s 1+T1 s( )
1
w Cp
s 1+( )Q s( )+ Ecuacion VIII
De la misma manera, para el tercer tanque
T3 s( )1
s 1+T2 s( )
Ecuacin IX
Para los valores dados:
w 250 lbmin
:=
50lb
ft3
:=
Cp 1.3BTU
lb R:=
V 10 ft 3
:=
Vw
:=
2min=
1
w Cp3.077 10
3
R min
BTU=
En resumen, y sustituyendo los valores, se tiene:
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T1 s( )1
2 s 1+Ti s( )
T2 s( )1
2 s 1+T1 s( )
3.077 103
2 s 1+( )Q s( )+
T 3( )1
2 s 1+T2 s( )