probl. calculo dif. e int

PROBLEMARIO DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

ELABORO: DR. MARIO CERVANTES DICIEMBRE DE 2007

1

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

UNIDAD PROFESIONAL INTERDISCIPLINARIA DE BIOTECNOLOGIA

PROBLEMARIO DE CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

ELABORO: PROF. MARIO CERVANTES CONTRERAS



2

)

EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS II. UPIBI-IPN REALIZÓ: PROF. MARIO CERVANTES CONTRERAS 1.- Determine las siguientes composiciones

a) si ( )( xff ( )x

xf−

=1

1 , ¿Para qué valores de x tiene sentido esta

composición? b) si y ( )( )xgf ( ) 4ln22 ++= xxxf ( ) 4−= xxg 2.- Encuentre el dominio y contradominio de las funciones siguientes

a) ( )216 x

xxf−

= b) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

=xxxf

22log c) ( )

512 3

1

++= −

xxf xx d) ( ) xxf tan=

e) ( ) 2−= xxf f) ( ) g) ( )xxf ln=x

xfln1

= h) ( ) xexf =

i) ( ) 11+−

= xexf j) ( ) ( )π−= xxf 2tan k) l) ( )⎩⎨⎧

=xx

xf2

22−<≥

xx ( ) senxxf =

m) n) ( ) ( ) xsenxf 4=⎩⎨⎧

−=

π2xx

xfπππ2

0<<<<

xx

3.- Dadas las funciones y , encuentra las funciones e i dadas por , . Esboza las gráficas de

f g h( ) ( )( )xgfxh = ( ) ( )( xfgxi = ) ( )xf , , e ( )xg ( )xh ( )xi .

Finalmente determine el dominio y contradominio en cada caso.

a) y b) ( ) ( ) 22 += xxf ( ) 2−= xxg⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

102

xfx

xx

≤<<

≤

221

1 y ( ) 1+= xxg

c) y ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

102

xfx

xx

≤<<

≤

221

1( ) 1+= xxg

4.- Determine la paridad de las funciones siguientes. Si alguna de ellas no tiene paridad escríbala como la suma de una función par más una impar.

a) e) xx 6cos2 2−xsenx

47cos3

i) m) xx cos xxsen3

b) f) xx tan5 + ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

xxx

11ln3 j) n) xx cos2 xxsensen 34

c) g) k) o) xsec xsenx 42 senxx 2 xx 5cos6cosd) ( )21cos xx − h) ( ) 311+x l) p) xsenx 56 xxsen 7cos2



3

5.- a) Sea . Encuentre los límites siguientes: , ( )⎩⎨⎧

= 2

2xx

xf00

>≤

xx ( )xf

x −→0lim ( )xf

x +→0lim

y ( )xfx 0lim→

b) Resuelva los ejercicios 1, 2, 3, y 4 de la pagina 65 del libro: Swokowski, E. (1989). Cálculo con Geometría Analítica. Grupo Editorial Iberoamérica. Segunda Edición.

6.-.- Encontrar los siguientes límites

a) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

→1

111lim

0 xxx c)

22lim

2

2 −−−

→ sss

s e) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

−→ 31 13

11lim

xxx

b) 4

13lim 2

2

2 −−−

→ mm

m d)

416lim

16 −−

→ rr

r f)

x

xxx 164lim

3

4

32

−

+→

7.- Encuentre los límites de las funciones siguientes:

a) θθ

sen0

lim→

e) 23

385lim 2

2

+−+

∞→ xxx

x

b) θθ

coslim0→

f) 12211lim 3 −

+−∞→ x

xx

c) x

senxx 0lim→

g) 4732lim

2

+−

−∞→ xx

x

d) xx

x

1coslim0

−→

h) 1032

74lim 2

3

−−+−

−∞→ xxxx

x

8.- Encuentre todos los números en los que la función es contínua. f

a) ( )32

532 −−

−=

xxxxf b) ( )

4259 22

−−−

=x

xxxf c) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

+−

=7

11 2

xx

xf 1

1

−=

−≠

x

x

9.- Derivar las funciones siguientes

a) e) ( )[ xxy 3tan= ] ( ) xxf −= 1cos2 i) ( ) ( )memk mm

−= − 1ln2 1

b) ( ) xexf x tan3−= f) 21ln

xxy

+= j) ( ) ( )23 8354ln +−= xxxg

c) x

xy−

+=

1

1 g) ( )senxxy 21+= k) xxy1

−=

d) ( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

tttttf 122 h) ( ) ssssen

sesr

s

ln3cos1

22

+−+

=

10.- Use derivación implícita para encontrar y ′ si



4

)a) c) e) ( ) ( 3242 1349 −+=− xxy 2244 yxyx =+ yxey += 1b) d) ( ) 31ln2 =+−+ yxxe y ( ) ( ) ( )yxxyxysen +=+ tancos 11.- Use la regla de L’Hôpital para encontrar los límites siguientes:

a) x

senxx 0lim→

e) 20

211

limx

xx

x

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−+

→ i) xx

xcotlim

0+→

b) xsenxx

x

−→

3lim0

f) 20lim

xsenx

x→ j) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

→ xsenxx

11lim0

c) xx

x

11lim0

−+→

g) ( ) xxx

11lim

0+

+→

d) 30lim

xsenxx

x

−→

h) xxx

1lim∞→

12.- Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la ecuación en el punto P

a) 12 2 += xy , ( )3,1−P c) senxxy 2tan −= , ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −2,

43πP

b) , 52ln 33 +=+− xyyxx ( )1,2P 13.-Se dispara un proyectil verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de . Su altura sobre el suelo sft /144 ( )ts (en pies) a los segundos está dada por . ¿Cuál es su velocidad y cuál es su aceleración a los t segundos? ¿Cuáles son a los 3 ? ¿Cuál es la altura máxima? ¿Cuándo llega al suelo?

t( ) 216144 ttts −=

s

14.- Un automovil viaja por un plano inclinado. El número de pies recorrido a los segundos está dado por

( )tst ( ) 25 2 += tts . ¿Cuál es la velocidad en ? ¿En

? ¿Cuándo alcanza una velocidad de ? st 1=

st 2= sft /28 15.- Sean y ( ) 723 23 −+−= xxxxf ( )xfw = . Encuentre y úselo para estimar el incremento de cuando varía de 4 a 3.95

dww x

16.- La obstrucción de las arteriolas es una de las causas de hipertensión sanguínea. Se ha comprobado experimentalmente que cuando la sangre fluye por una arteriola de longitud dada, la diferencia de presión en los dos extremos de la arteriola es inversamente proporcional a la cuarta potencia del radio. Suponga que el radio de una arteriola disminuye en 10%. Use diferenciales para calcular el cambio porcentual en la diferencia de presión. 17.- La magnitud de la fuerza de atracción gravitacional que siente un cuerpo, sobre la superficie de la tierra, se sabe que es inversamente proporcional al



5

cuadrado de la distancia desde el centro de la tierra a dicho cuerpo. Si el radio de la tierra disminuye un 10% a) ¿Cuál es el cambio porcentual en la magnitud de la fuerza? b) ¿Aumentó o disminuyó la magnitud de la fuerza? 18.- Sean , y p q r funciones tales que ( ) ( )( )zrqzp = . Suponiendo que ( ) 33 =r ,

, y , calcule ( ) 23 −=q ( ) 43 =′r ( ) 63 =′q ( )3p y ( )3p′ 19.- Una niña comienza a correr a partir de un punto A hacia el este, a . Un minuto después, otra niña sale corriendo desde A hacia el norte a . ¿Cuál es la rapidez de variación de la distancia entre las niñas un minuto más tarde?

sm /3sm /2

20.- Un niño que hace volar una cometa, sostiene el cordel a del suelo y lo va soltando a razón de , mientras la cometa se mueve horizontalmente a una altura de . Suponiendo que el hilo se mantiene recto, encuentre la rapidez con la que se mueve la cometa cuando se han soltado de hilo.

ft5sft /2

ft105ft125

21.- El gas contenido en un globo esférico escapa a razón de (litros por hora). ¿A razón de cuántos centímetros por hora disminuye el radio del globo en el momento en que el volúmen es de ?

hL /10

L400 22.- La parte inferior de una escalera de longitud mL 5= resbala de tal forma que la distancia desde esta parte inferior a la pared aumenta a razón de . ¿Cuál es la rapidez de variación del ángulo que hace la escalera con el piso cuando ? ¿Aumenta o disminuye este ángulo conforme transcurre el tiempo?

scm /8

mx 3=

23.- Calcule el máximo y mínimo absolutos para ( ) 32 265 xxxf −−= en el intervalo [ ] 1,3− 24.- Encuentre los máximos y minimos, determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento, discuta la concavidad, encuentre los puntos de inflexión y trace la gráfica de fa) d) ( ) 12 23 ++−= xxxxf ( ) ( )2ln1 xxf −= g) ( ) xxexf −=

b) ( )12 +

=x

xxf e) ( ) ,senxexf x−= ( )π40 ≤≤ x

c) f) ( ) 52 24 +−= xxxf ( ) ( )senxxxf cos1+= , ( )π40 ≤≤ x 25.- Trace una posible gráfica de una función contínua y que satisfaga las condiciones indicadas a) ; ; ( ) 10 =f ( ) 32 =f ( ) ( ) 020 =′=′ ff ; ( ) 0<′ xf si o ; si

; si ; 2>x 0<x ( ) 0>′ xf

20 << x ( ) 0>′′ xf 1<x ( ) 0<′′ xf si . 1>x



6

b) ; ; ( ) 20 =f ( ) ( ) 122 =−= ff ( ) 00 =′f ; ( ) 0>′ xf si 0<x ; si ; si ;

( ) 0<′ xf 0>x( ) 0<′′ xf 22 <<− x ( ) 0>′′ xf si o 2>x 2−<x

26.- Un veterinario cuenta con 30m de tela de alambre y quiere construir 6 jaulas para perros levantando primero una cerca alrededor de una región rectangular, y dividiendo luego la región en seis rectángulos iguales mediante cinco rejas paralelas a uno de los lados. ¿Cuáles son las dimensiones de la zona rectangular para las que el área total es máxima? 27.- Se desea que las páginas de un libro tengan un área de 900 cm2 con márgenes de 2.5 cm abajo y a los lados, y de 1.5 cm arriba. Determine las dimensiones de la página que darán la mayor área posible para el texto. 28.- Dos postes verticales de 3.4m se hallan clavados en un suelo a nivel y sus bases distan 5m. Calcule la longitud mínima de cable que se necesita para tener dos tramos rectos: desde la punta de uno de los postes hasta un punto en el suelo, y de ahí hasta la punta del otro poste. 29.- Un medicamento se inyecta en la corriente sanguínea, su concentración t minutos después está dada por

( ) ( )atbt eeba

ktC −− −−

=

donde , b , y k son constantes positivas. aa) ¿En que momento se alcanza la concentración máxima? b) ¿Que se puede decir de la concentración cuando ha transcurrido un tiempo largo? 30.- El modelo de Jenss está considerado como la fórmula más precisa para predecir la estatura de niños en edad preescolar. Si es la altura (en cm) y la edad (en años), entonces

h x

para xexh 993.0261.339.6041.79 −−+= 641

≤≤ x

a) Calcule la altura y la rapidez (o tasa) de crecimiento de un niño típico de un año de edad.

b) ¿A qué edad es mayor la rapidez de crecimiento? ¿A qué edad es menor? 31.- La rapidez R con la que un tumor crece está relacionada con su tamaño

por la ecuación

x

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

xKrxR ln , donde r y K son constantes positivas. Demuestre

que el tumor crece más rápidamente cuando Kex 1−=


ELABORO: DR. MARI DICIEMBRE DE 2007

32.- Calcule las integrales siguientes, integrando directamente.

( )( )( )

( )

( )( )( )( )( )dx

xxx

dxxxx

dxxa

xdx

dxpx

dxx

dxxxx

dxxx

dxxa

n

∫

∫∫

∫

∫∫∫∫∫

−+

+−+

−

+

−+

++

3 2

22

3

25

2

62

21

11

2

21

32

386

5

32

32

dxx

xx

x

dxx

dxxdx

xdx

xdx

dxe xx

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

−

−−+

−

+

+

−

+

4

22

2

2

2

2

2

4

22

8

4

73

10

7

3

33.- Calcule las integrales siguientes por un cambio de variable dx dxx +13

( )( )

( )

( )dxbax

xdxsen

dxx

dxe

ex

dxxxxdx

dxxx

dxxx

x

x

∫∫∫∫

∫

∫

∫∫

+

−

+

+

−

+

cos

4

3cos1

2

1

35

1

23

3

2

2

72

52cos x

O CERVANTES

( )

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

−

−

−

+

−

−

ydy

xdx

xx

dxx

arcsenx

dxx

arcsenx

dxxe

bxadx

xdx

x

x

1

4ln2ln1

1

3

3

2

2

2

2

1

xxx

dxxx

dxx

xbxa

xdx

dxxxedx

xx

xxdx

edx

xxdx

x

x

x

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

+++

−++

+

++−

+++

+

+

+

375

112

12321

11

1

1

2

1

2

2

2

2

2

2

( )

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

+

+

+

+

2

6cos6

ln

cos

2cos

1cos

cos1

1

3

2

xdx

dxxxsenx

dxxsen

xdxx

dxx

dxxsen

x

dxx

senx

dxsenx

7

dx

1,

ln,

1,

+=

−=

=

xu

uxu

x



8

34.- Resuelva las integrales siguientes usando identidades trigonométricas.

∫∫∫∫∫∫∫∫

xdx

xdxsen

xdxsen

xdx

xdxsen

xdx

xdx

xdx

6

4

5

3

2

2

2

2

cos

cos

cos

cot

tan

∫

∫

∫

∫

∫

∫∫

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

xdxxsen

dxxxsen

xdxxsen

dxxxsen

dxxx

xdx

xdx

42

53

32

3

43

4

2

cos

2cos

2

coscos

4tan

3tan

cot

5tan

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2cos

2

cos

cos

coscos

cos

3

35

42

6

2

6

4

53

xxsen

dxxxsen

dxxxsen

dx

dxxsenxx

dxxsen

dx

xdxsenx

( )

dxxsenx

xsenxdx

dxxxsenx

dx

dxxsenx

xsen

∫

∫

∫

∫

∫⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

4

2

3

22

coscos

tan

cos4π

dxxx

xdxxsensen

xdxxsen

∫

∫∫

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

3cos

2cos

1510

5cos3

( ) ( )

∫∫∫ −+

xdxxsensenxsen

xdxx

dxbaxbax

32

3coscos

coscos2

35.- Resuelva las integrales siguientes por el método de sustitución trigonométrica

∫

∫

∫

−

−

−

2

3

2

2

2

2

2

53

1

xdxx

xdxxx

dxx

∫

∫

∫

+

−

−

dxx

x

xxdx

dxx

ax

1

12

2

22

∫

∫

∫

−

−

−

67

1

4

2

2

22

xxdx

dxx

xxdx

36.- Resuelva las integrales siguientes por el método de integración por partes

∫∫∫

arcsenxdx

xdx

xdx

arctan

ln

dxex

dxx

dxex

x

x

x

32

2

∫∫

∫−

( )

dxxx

dxex

dxexxx

x

∫∫

∫−

−+−

ln

52

2

33

2

dxxx

dxx

x

xdx

∫

∫

∫

ln

ln

ln

3

2

( )dxxx

xarcsenxdx

xdxx

∫∫∫

++ 21ln

arctan



9

∫∫

∫

senxdxe

dxxsenxx

xsenxdx

x

2

2

cos ( )

∫∫∫

senbxdxe

dxxsen

xdx

ax

x

ln

cos3

∫∫∫

xdxx

xdxx

xsenxdx

5cos

3cos2

37.- Resuelva las integrales siguientes por el método de fracciones parciales

( )( )

( )

( )( )dx

xxx

dxxx

dxxx

x

∫

∫

∫

−++−

++

−+−

22

2

1142

276

3135

( )( )( )

( )dx

xx

dxxxx

x

dxxxx

x

∫

∫

∫

+−

−++

−−−+

3

23

2

11

1034

3211

( )( )

dxxxx

xx

dxxx

xxx

dxxxx

xx

∫

∫

∫

−+−−−

−+−+−

−+−+

48221

21429183

329134

23

2

3

23

23

2

( )dx

xxx

dxx

xxx

∫

∫

+−+

+

−+−

541

13735

2

22

23

( ) dxxxxx

dxxxx

xx

∫

∫

+−

−+−+−

−+

22

3

23

2

54235

3440713

( )∫ +−

+++ dxxx

xxx22

23

3461

38.- Resuelva las integrales siguientes

( ) xdxxx

dxe

dxex

xdx

x

x

ln32

tanh

2

3

2

2

∫∫∫∫

+−

−

( )dxx

x

dxx

x

dxxxx

∫

∫

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

lnln

ln11ln

2

2

( )

( )

dxx

arcsenx

dxarcsenx

dxxx

xdxx

∫

∫∫∫

2

2

2

2

arctan

3arctan

∫

∫

∫ −

dxe

xsen

xdxx

dxx

xarcsen

x

2

2 2tan1

( )

( ) dxx

x

dxx

∫

∫

+22

2

2

1

lncos

dxxsen

dx

dxx

x

∫

∫−

5

2

2

9 dx

xsenx

xdx

∫

∫

3

5

5

cos

4sec

39.- Calcule las integrales definidas siguientes

( )

( )∫

∫

∫

− −

+

−

0

1

4

13

2

0

34

54

1

2

xdx

xx

dx

dwww

∫

∫+

2

0

3

4

2

cos

cos1

π

π

π

xdx

dxx

senx

si ( )∫π2

0

dxxf ( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

<<−

<<−

<<

=

πππ

πππ

π

22

3,22

32

,2

0,

xx

xx

xx

xf



10

40.- ¿Es cierto que ∫−

−=1

12 21 dx

x?

41.- Evalúe las integrales siguientes

a) d) ∫ g) ∫ ∫−

π

π

xdxx cos−

π

π

xdxsenx 56

−

π

π

xdxx 5cos6cos

b) e) ∫ h) ∫−

π

π

xdxx cos2

−

π

π

xdxxsen3 ( ) ( )( )∫

− −−

=1

121

112π

ππn

sennxdxsenxsennn

c) f) ∫ ∫−

π

π

senxdxx2

−

π

π

xdxxsensen 34

42.- La función Gamma se define por

, para ( ) ∫∞

−=+Γ0

1 dxxen nx 1−>n . O bien por , para . ( ) ∫∞

−−=Γ0

1dxxen nx 0>n

a) Demuestre que ( ) 11 =Γ b) Demuestre que ( ) ( )nnn Γ=+Γ 1 c) De los incisos anteriores se observa que si n es un entero no negativo

. Verifique esto para ( ) !1 nn =+Γ 6,...,2,1,0=n .

d) Del hecho de que ∫∞

− =−

0

21 πdxxe x , haga una tabla donde muestre los

valores de para ( 1+Γ n )2

11,,25,

23,

21,

21

⋅⋅⋅−=n .

43.- Represente la región R acotada por las gráficas de las ecuaciones y calcule el área de la misma

a) , d) 12 += xy 5=y1

13 +

=x

y , 0=y , 0=x , 1=x

b) , e) 3=+ yx 32 =+ xy senxy = , xy cos= , 2π

−=x , 6π

=x

c) , , xey 2−= 0=x 2=x 44.- Calcule el volumen del sólido generado al girar la región acotada por las gráficas de y 2xy = 4=ya) alrededor del eje d) alrededor de la recta x 5=y b) alrededor del eje y e) alrededor de la recta 2=x c) alrededor de la recta 4=y 45.- La región limitada por las gráficas de ,

2xey = 0=y , , gira alrededor del eje

0=x 1=xy . Calcule el volumen del sólido resultante.

probl. calculo dif. e int

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