SISTEMAS DE MEDICIÓN

Problemas capítulo 4

4.1 Un sistema medidor de temperatura consiste en elementos lineales y tiene una sensibilidad en estado estable de una unidad. La dinámica del sistema está determinada por la función de transferencia de primer orden del elemento de detección. En un tiempo t = 0, el elemento de detección es repentinamente transferido desde el aire a 20°C a agua hirviendo. Un minuto después el elemento es llevado repentinamente de vuelta al aire a 20°C. Con los datos siguientes encuentre el error dinámico del sistema en los siguientes momentos: t = 10, 20, 50, 120 y 300 seg.

Datos del sensor:Masa = 5 x 10-2 kgÁrea = 10-3 m2Calor especifico = 0.2 JKg-1 °C-1Coeficiente de transferencia de calor del aire = 0.2 Wm-2 °C-1Coeficiente de transferencia de calor del agua = 1.0 Wm-2 °C-1

Solución: Ya que se encuentra en estado estable:K1, K2 K3…… Kn = 0

El error dinámico será entonces:E(t) = ΔTM(t) – ΔTT(t)

La diferencia de temperaturas es igual a:ΔT = temperatura final – temperatura inicialΔT = 100 – 20 = 80 °C

Entonces:ΔTT(t) = 80 u(t)

Aplicando fracciones parciales tenemos:

Suponemos a B = 1; por lo que:

Dando como resultado:

Aplicando la transformada inversa de Laplace tenemos:

Entonces, el error dinámico para este sistema estará dado por la ecuación:

Nota: Esta ecuación solo será válida únicamente en los incisos a), b) y c), en donde el sistema de medición pasa solo del aire al agua.

En donde:

Entonces para los incisos a, b y c:

Ahora, para los incisos d) y e), en donde el sistema regresa nuevamente al aire después de permanecer dentro de agua hirviendo durante 60 segundos:

La diferencia de temperaturas en este caso es igual a:

ΔT = temperatura final – temperatura inicialΔT = 100 – 20 = 80 °C

Cuando el sistema permanece en el agua, y:ΔT = 20 – 100 = - 80 °C

Cuando el sistema regresa de nueva cuenta a la superficie, a 20 °C

Entonces:ΔTT(t) = 80 u(t) + (- 80 u(t) ) = 0

Por lo que, repitiendo el procedimiento anterior tenemos que:

Entonces, el error dinámico para el sistema estará dado por la ecuación:

En donde:

Entonces, para los incisos faltantes:

Se puede observar que en cada caso el tiempo es dividido entre el tiempo que el sistema permanece en el agua, el cual es de 60 segundos como lo dice el problema, y el restante es el tiempo en el que el sistema permanece fuera del agua después de ser sumergido.

PROBLEMA 4.5Un sensor de fuerza elástica tiene una masa de 0.1 kg, con una rigidez de resorte de 10 Nm-1 y una constante de amortiguamiento de 14 Nsm-1.a) Calcular las siguientes cantidades:

i) Frecuencia natural del sensorii) Razón del sensor de amortiguamientoiii) Función de transferencia que relaciona el desplazamiento y la

fuerzab) El sensor es incorporado a un acelerómetro de fuerzas balanceadas de lazo cerrado. Los siguientes componentes también están presentes:Potenciómetro sensor de desplazamiento: sensibilidad 1.0 Vm-1Amplificador: voltaje de entrada, corriente de salida, sensibilidad 40 AV-1Bobina e imán: corriente de entrada, fuerza de salida, sensibilidad 25 NA-1Resistencia: 250 Ω

i) Dibujar diagrama de bloques del acelerómetroii) Calcular la función de transferencia

a) i) Frecuencia natural del sensor

ec 4.16

ii) Razón del sensor de amortiguamiento

ec 4.17

iii) Función de transferencia que relaciona el desplazamiento y la fuerzaec. 4.20 y 4.21

b) i) Dibujar diagrama de bloques del acelerómetro

ii) Calcular la función de transferenciaec.. 4.62

4.7 Un sistema de medición de fuerza consta de un cristal piezoeléctrico, un amplificador y grabadora como se muestra en la Figura 7. (A) Calcular el error del sistema dinámico correspondiente a la señal de entrada de fuerza: F (t) = 50 (sin 10t + 1/3sin30t + 1/5 sin 50t) (B) Explique brevemente las modificaciones necesarias para reducir el error en (a)

Como Nuestro sistema es basado en funciones periódicas entonces el cálculo del Error dinámico esta dado por:

Para sacar el error dinámico de la entrada se utilizaran los armónicos con las formulas anteriores podemos calcular los desfases de cada armónico y sus amplitudes usando series de Fourier.

b) En gran parte estas desventajas se superan mediante la introducción de un amplificador de carga en el sistema. Este es un integrador que da idealmente una salida proporcional a ∫ iN dt, es decir, una salida proporcional a la carga Q, ya que iN = dq / dt. Así, el sistema da una salida distinta de cero para una entrada constante de fuerza.

Responsable de elaboración: Bernardo Agustín Pérez Núñez

Se agradecen comentarios y retroalimentación a odranreb@ugto.mx

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