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Probabilidad y Estadıstica

Coloquios 2008

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Probabilidad y Estadıstica 61.06, Industriales, 10/VII/2008.

1. En una urna hay una bola blanca y dos bolas negras. En cada paso se extrae una bola alazar y se la repone junto con otra del mismo color.

(a) Calcular la probabilidad de que al finalizar el segundo paso la urna contenga dos bolasblancas y tres negras.

(b) Si al finalizar el segundo paso la urna contiene dos bolas blancas y tres negras, ¿cual esla probabilidad de que en el primer paso se haya extraıdo una bola negra?

2. Pedro y Pablo quedaron en encontrarse entre las 20 y las 21 hs. en un sitio determinado. Lostiempos de llegada de cada uno al lugar de la cita son variables independientes uniformementedistribuidas en el intervalo convenido. Pedro es ingles y Pablo brasilero. Fieles a sus orıgenes,si Pedro llega primero no esperara a Pablo mas de 5 minutos y si Pablo llega primero noesperara a Pedro mas de 15 minutos.

(a) Hallar la probabilidad de que Pedro y Pablo se encuentren.

(b) Se sabe que Pedro y Pablo se encontraron y que Pedro llego a las 20:35 al lugar de la cita.¿Como se distribuye el tiempo de llegada de Pablo?

3. Midiendo actividad de uranio a un contador Geiger arriban pulsos de acuerdo con unproceso de Poisson a tasa de 3 arribos por segundo. Cada partıcula que arriba al contadortiene una probabilidad 2/3 de ser registrada. Sea X(t) el numero de pulsos registrados en tsegundos.

(a) P(X(t) = 0) = ?

(b) E[X(t)] = ?

(c) Si se midiera plutonio la tasa serıa de 6 arribos por segundo. Si durante 0.2 segundos nose registraron arribos, ¿cual es la probabilidad de que se estuviera midiendo uranio?

4. Sea X una variable aleatoria con distribucion normal N (0, 1). Hallar la funcion densidadde probabilidad de Y = X2.

5. El valor de las facturas en un supermercado se redondea descontandole los decimales. Sise realizan 500 facturas, ¿cual es la probabilidad de que el monto de descuentos sea superiora 240 pesos?


1. Una caja contiene dos monedas normales y una moneda que tiene dos cecas. Se elige unamoneda al azar y se lanza al aire dos veces. Si el primer tiro fue ceca, ¿Cual es la probabilidadde que el segundo tambien lo sea?

2. El diametro en cm. de ciertos ejes es una variable aleatoria con funcion densidad deprobabilidad

f(x) =

x − 1 si 1 < x ≤ 2,3 − x si 2 < x < 3,0 en otro caso

Una maquina esta disenada para descartar ejes cuyos diametros son inferiores a 1, 5 cm. Peroa veces falla y con una probabilidad de 0.1 no descarta un eje de diametro inferior a 1.5cm. Ningun eje cuyo diametro sea superior a 1.5 cm. es descartado. Hallar la funcion dedistribucion de los ejes no descartados.

3. Se arroja un dado 100 veces. Sean X e Y las cantidades de resultados pares e imparesrespectivamente. Hallar la lınea de regresion E[Y |X] y el valor de Cov(X, Y ).

4. Decida si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas justificando adecuadamentesu respuesta.

(a) Sea X1, X2, . . . una sucesion de variables aleatorias independientes e identicamente dis-tribuidas con distribucion exponencial de intensidad λ. Si Yk es el promedio de las primerask variables de la sucesion, entonces la varianza de Yk es 1/λ2.

(b) Si X1 y X2 son v. a. independientes con distribuciones exponenciales de intensidadesλ1 y λ2, respectivamente, entonces mın(X1, X2) tiene distribucion exponencial de intensidadmın(λ1, λ2).

(c) Sea X1, X2, . . . una sucesion de variables aleatorias, todas de media 2. Si N es una v.a.con distribucion geometrica de parametro p = 2/3, entonces la esperanza de X1 + · · · + XN

condicionada a que N ≥ 2 es 5.

5. En un sistema electronico se producen fallas de acuerdo con un proceso de Poisson de tasa2.5 por ano. Por motivos de seguridad se ha decidido cambiarlo cuando ocurran 196 fallas.Calcular (aproximadamente) la probabilidad de que el sistema sea cambiado antes de los 67.2anos.


1. Sea X una variable aleatoria cuya funcion de distribucion FX(x) = P(X ≤ x) es de laforma

−3 −2 −1 0 1 2 3

0

1/3

2/3

1

x

FX(x

)

(a) Calcular P(−1 ≤ X ≤ 1), P(1 ≤ X < 2), P(1 ≤ X ≤ 2). (b) Calcular la esperanza y lavarianza de X.

2. En una caja hay 4 bolas negras y 6 bolas rojas. El peso de las bolas negras tiene distribucionexponencial de media 25 gramos, y la de las rojas exponencial de media 35 gramos. Sea X elpeso de una bola elegida al azar de la caja.

(a) Hallar la funcion de distribucion de X.

(b) Sabiendo la bola elegida pesa 30 gramos, hallar la probabilidad de que la bola elegida searoja.

3. Dada la funcion densidad conjunta

f(x, y) =

ky si 0 < x < 2, 0 < y < 1,0 en otro caso

(a) ¿X e Y son variables aleatorias independientes? (b) Calcular la varianza de 3X − 2Y .

4. A un banco llegan clientes de acuerdo con un proceso de Poisson de intensidad 20 porhora.

(a) ¿Cual es la probabilidad de que en 30 minutos lleguen exactamente 10 clientes?

(b) ¿Cual es la probabilidad de que el lapso entre la octava y la decima llegada supere los 15minutos? (Debe obtener un resultado numerico)

(c) Entre las 10:00 y las 11:00 llegaron 4 clientes. ¿Cual es la probabilidad de que exactamente2 de ellos lleguen entre las 10:10 y las 10:25?

5. Dos aerolıneas ofrecen identico servicio para viajar de Buenos Aires a San Pablo. Supongaque compiten por la misma poblacion de 400 clientes, cada uno de los cuales elige una aerolıneaal azar. ¿Cual es la probabilidad que la lınea A tenga mas clientes que sus 230 asientos?


1. Se lanzan dos dados. Hallar la distribucion de probabilidades y el valor esperado delmınimo de los dos numeros observados.

2. Hallar la probabilidad de que x2 − 2ax + b no tenga raıces reales si los coeficientes a y bson variables aleatorias independientes con distribucion comun U[0, 1].

3. Un programa televisivo ofrece premios de hasta 30.000 pesos para quien consiga comuni-carse telefonicamente. Una televidente quiere participar del concurso y realiza llamadas cadatiempos exponenciales de media 10 segundos. Por cada llamada la probabilidad de comu-nicarse con el programa es 1/5. Hallar la esperanza y la distribucion de probabilidades deltiempo que tiene que esperar la televidente para comunicarse con el programa.

4. En un control de calidad de hormigon se extraen 3 probetas al azar de 15 cm. de diametroy cada una de ellas es ensayada para su resistencia a la compresion. Una probeta pasara laprueba (sera aceptada) si resiste por lo menos una carga axial de 5500 kg. De registrosprevios se sabe que la resistencia a la rotura de probetas similares puede ser modelada comouna distribucion normal de media µ = 7340 y desvıo σ = 1050 kg. La especificacon requiereque las 3 probetas pasen el test para que el lote sea aceptado. El contratista prepara un lotetodos los dıas.

(a) ¿Cual es la probabilidad de que el quinto dıa le sea rechazado el primer lote?

(b) El contratista puede mejorar la mezcla y llevar la media de la distribucion anterior a 8250kg. y reduciendo el coeficiente de variacion (σ/µ) al 90 %. ¿Cual es la probabilidad de que lesea rechazado ahora por lo menos un lote en 10 dıas?

5. Una persona le apuesta que en 100 lanzamientos de una moneda honesta la cantidad decaras observadas diferira de 50 en 4 o mas. ¿Cual es la probabilidad de que usted resulteganador?

Probabilidad y Estadıstica 61.06, Industriales, 6/VIII/2008.

1. Un dado tiene sus caras pintadas de la siguiente manera 1, 1, 2, 2, 3, 3. El dado se lanzaseis veces. Sean Xi, i = 1, 2, 3, las variables aleatorias definidas por

Xi =

1 si en algun lanzamiento se observo el numero i,0 en otro caso .

(a) ¿Las variables X1, X2, X3 son independientes? (Sugerencia: calcular Cov(Xi, Xj))

(b) Sea N la cantidad de numeros distintos observados. Hallar E[N ] y V ar(N).

2. Lucas y Pablo disputan la final de un Campeonato de Ajedrez en el planeta Zorg. Elprimero que gane 6 partidas (no hay tablas) resulta ganador. La duracion de cada partida(medida en horas) es una variable aleatoria cuya funcion densidad de probabilidad es

f(t) =

k(t − 1) si 1 ≤ t < 3,k(5 − t) si 3 ≤ t < 5,0 en otro caso.

La probabilidad de que Lucas gane cada partida depende de la duracion de la misma. Si duramenos de 2 horas, lo hace con probabilidad 3/4; si no, con probabilidad 1/2.

Sabiendo que ninguna partida duro mas de 4 horas. ¿Cual es la probabilidad de que Lucasgane el campeonato al cabo de 8 partidas?

3. Sean X1 y X2 variables aleatorias independientes con distribucion uniforme sobre [0, 1].Una vara de longitud 1 se quiebra en dos puntos cuyas distancias a una de sus puntas son X1

y X2. Calcular la probabilidad que las tres piezas puedan usarse para construir un triangulo.

4. Familias de mexicanos migran a EE.UU. de acuerdo con un proceso de Poisson de tasaλ = 2 por semana. Si el numero de integrantes de cada familia es independiente y puede ser1, 2, 3, 4 con probabilidades respectivas 1

6, 1

3, 1

3, 1

6. ¿Cual es el valor esperado y la varianza del

numero de mexicanos que migran a EE.UU. durante un perıodo fijo de 5 semanas?

5. Se lanza un dado hasta que la suma de los resultados observados sea mayor que 300.Aproximar la probabilidad de que se necesiten al menos 80 lanzamientos.

Probabilidad y Estadıstica 61.06, Industriales, 10/XII/2008.

1. Lucas tiene 3 sacos identicos, cada uno con dos bolsillos. Todos los sacos salvo uno tienenun paquete de cigarillos en cada bolsillo. El saco restante tiene un paquete de cigarrillos enun bolsillo y una cajita de fosforos en el otro. Lucas elige un saco al azar y sale a trabajar.En la parada del colectivo mete la mano en un bolsillo y saca un paquete de cigarrillos. Cuales la probabilidad de que pueda fumar mientras espera el colectivo?

2. Sean X1 y X2 variables aleatorias con distribucion Bernoulli de parametros 1/2 y 1/3respectivamente tales que Cov(X1, X2) = 0.

(a) Mostrar que los eventos A = X1 = 1 y B = X2 = 1 son independientes.

(b) Mostrar que las variables X1 y X2 son independientes.

3. Se tirara un dado equilibrado hasta que salga el as. Sea M la cantidad de cincos obtenidos.Calcular E[M ].

4. Una maquina produce rollos de alambre. El alambre tiene fallas distribuidas como unproceso de Poisson de intensidad 1 cada 20 metros. La maquina deberıa cortar el rollo encada falla pero solo detecta 9 de cada 10. Hallar la cantidad media de fallas de los rollos quetienen por lo menos una falla.

5. Un astronauta debe permanecer 435 dıas en el espacio y tiene que optar entre dos alternati-vas. Utilizar 36 tanques de oxıgeno de tipo A o 49 tanques de oxigeno de tipo B. Cada tanquede oxıgeno de tipo A tiene un rendimiento de media 12 dıas y desvıo 1/4. Cada tanque deoxıgeno de tipo B tiene un rendimiento de media de 8, 75 dıas y desvıo 25/28. Que alternativaes la mas conveniente?

Probabilidad y Estadıstica 61.06, Industriales, 17/XII/2008.

1. Dos bolas se pintan de rojo o de negro, independientemente y con probabilidad 1/2 paracada color, y se colocan en una urna.

(a) Si se extrae una bola de la urna y es roja, cual es la probabilidad de que la otra bola searoja?

(b) Si se sabe que en la urna hay una bola roja, cual es la probabilidad de que la otra searoja?

2. Un tirador arroja un dardo a un blanco circular de radio 3. En cada tiro tiene probabilidad1/5 de errar al blanco. Cuando acierta al blanco, el dardo se clava en un punto uniformementedistribuıdo en el cırculo. Si acierta al blanco se le asigna un puntaje igual a la distancia entreel punto donde se clavo el dardo y el centro del blanco. Si le erra, el puntaje asignado es 4.Hallar la funcion de distribucion del puntaje asignado.

3. Sea X una variable aleatoria a valores en el conjunto 1, 2, 3 tal que E[X] = 2. Hallar losvalores de pi = P(X = i), i = 1, 2, 3 que maximizan la varianza de X.

4. Sean X e Y variables aleatorias N (0, 1) independientes. Hallar la funcion de densidadconjunta y las funciones de densidad marginales de W = 2X − 3Y y Z = 3X + 2Y y mostrarque W y Z son independientes.

5. 432 numeros se redondean al entero mas cercano y se suman. Suponiendo que los erroresindividuales de redondeo se distribuyen uniformemente sobre el intervalo (−0.5, 0.5), aproxi-mar la probabilidad de que la suma de los numeros redondeados difiera de la suma exacta enmas de 6.

Probabilidad y Estadıstica 61.06, Industriales, 11/II/2009.

1. Lucas y Monk juegan un campeonato de ajedrez que ganara el primero que obtenga dostriunfos de ventaja. Cada partida es ganada por Lucas con probabilidad 0.55 y por Monk conprobabilidad 0.45 (no hay tablas). Hallar la probabilidad de que Lucas gane el campeonatoen la segunda partida sabiendo que lo ganara en 4 o menos partidas.

2. El tiempo disponible para efectuar un disparo es una variable aleatoria con distribucionexponencial de media 5 segundos. La probabilidad de acertar al blanco depende del tiempot que se tarda en efectuar el disparo y vale p(t) = 0.7(1 − e−2t). Hallar la probabilidad deacertar exactamente tres de diez disparos.

3. Se quiebra una vara en un punto al azar. Calcular la probabilidad de que la longitud dela pieza mas larga sea mayor que el doble de la longitud de la pieza mas corta.

4. Los accidentes en una fabrica industrial se rigen por un proceso de Poisson de intensidad 4por mes. La cantidad de trabajadores danados en cada accidente es una variable aleatoria quevale 1, 2 o 3 con equiprobabilidad. Hallar la media de la cantidad anual de danos accidentalesen la fabrica.

5. Una maquina selecciona ciruelas y las separa de acuerdo con el diametro x (medido encm.) de cada una. Las de diametro superior a 4 cm. se consideran de clase A y las otras declase B. El diametro de cada ciruela es una variable aleatoria uniforme entre 3 y 5 cm. Elpeso (medido en gramos) de cada ciruela depende de su diametro y es x3. Si las cajas pesan100 gramos, estimar la probabilidad de que una caja con 100 ciruelas de tipo A pese mas de9.6 kilos.


1. Existen dos caminos de A hasta B (que no pasan por C) y dos caminos de B hastaC (que no pasan por A). Cada uno de estos caminos esta bloqueado con probabilidad 0.2independientemente de los demas. Hallar la probabilidad de que no exista ningun caminoabierto desde A hasta B sabiendo que no hay ningun camino abierto desde A hasta C.

A B C

2. Dadas dos variables aleatorias X1, X2, uniformes e independientes sobre el intervalo [3, 4],se construyen un cuadrado de lado X1 y un cırculo de radio X2. Calcular la probabilidad deque el area del cuadrado supere el area del cırculo.

3. Se arroja un dado equilibrado 3 veces y se cuenta la cantidad, N , de cincos observa-dos. Luego se arroja una moneda equilibrada N veces y se cuenta la cantidad, M , de carasobservadas. Hallar la funcion de probabilidad conjunta de N y M y calcular Cov(N, M).

4. Una maquina produce rollos de alambre. El alambre tiene fallas distribuidas como unproceso de Poisson de intensidad 1 cada 60 metros. La maquina corta el alambre en la primerfalla antes de los 180 metros o a los 180 metros si no hay fallas. Hallar la funcion de distribucionde la longitud de los rollos de alambre.

5. Lucas y Monk palean arena cargando un volquete. La probabilidad de que una paladasea de Monk es 0.4 y la probabilidad de que sea de Lucas es 0.6. El volumen en decımetroscubicos de la palada de Lucas es una variable aleatoria uniforme entre 1 y 3, y el de la paladade Monk es una variable aleatoria uniforme entre 2 y 4. ¿Cuantas paladas son necesarias paraque la probabilidad de que el volquete tenga mas de 4 metros cubicos de arena supere 0.9?


1. La figura siguiente representa el mapa de una localidad turıstica de 40 manzanas situadaen la costa atlantica.

H

P

Q

Un paseo desde el hotel, situado en el punto H, hasta el puerto de pescadores, situado enel punto P , es una sucesion de 14 cuadras -dentro de la localidad- recorridas hacia la izquierdao hacia abajo (ver la figura). Si se elige al azar un paseo desde el hotel hasta el puerto depescadores (esto es, todos los paseos tienen la misma probabilidad de ser elegidos), cual es laprobabilidad de que se pase por el quiosco de diarios y revistas situado en el punto Q?

2. El peso de ciertas bolsas de naranjas es una variable aleatoria uniforme entre 2 y 6 kilos.Se van agregando bolsas en una balanza hasta que el peso supere tres kilos y medio. Hallarla media de peso final ası obtenido.

3. Lucas esta completamente borracho y perdido en Parque Chas. Con probabilidad 1/5 eligeun camino que lo lleva a su casa en 45 minutos y con probabilidad 4/5 elige un camino circulary vuelve a su punto de partida en 20 minutos. Cada vez que retorna al punto de partida vuelvea elegir uno de los dos caminos con las mismas probabilidades dadas anteriormente. Hallar laesperanza del tiempo que demora Lucas en llegar a su casa.

4. Una maquina produce rollos de alambre. El alambre tiene fallas distribuidas como unproceso de Poisson de intensidad 1 cada 50 metros. La maquina corta el alambre en la primerfalla antes de los 150 metros o a los 150 metros si no hay fallas antes. Hallar la media de lalongitud de los rollos de alambre.

5. El peso W (en toneladas) que puede resistir un puente sin sufrir danos estructurales es unavariable aleatoria con distribucion normal de media 1400 y desvıo 100. El peso (en toneladas)de cada camion de soja es una variable aleatoria de media 12 y desvıo 0.25. ¿Cuantos camionesde soja debe haber, como mınimo, sobre el tablero del puente para que la probabilidad deque ocurran danos estructurales supere 0.1?

Probabilidad y Estadıstica 61.06, No industriales, 10/VII/2008.

1. Sea (X, Y ) un punto aleatorio con distribucion uniforme en el cuarto del cırculo de radio1 centrado en (0, 0) contenido en primer cuadrante.

(a) Hallar la densidad marginal de X.

(b) Hallar la densidad condicional de Y dado que X = 1/2.

(c) Hallar la funcion distribucion de Z =√

X2 + Y 2.

2. A un contador Geiger arriban pulsos de acuerdo con un proceso de Poisson a tasa de 3arribos por segundo. Cada partıcula que arriba al contador tiene una probabilidad 2/3 de serregistrada. Sea X(t) el numero de pulsos registrados en t segundos.

(a) P(X(t) = 0) = ?

(b) E[X(t)] = ?

3. El valor de las facturas en un supermercado se redondea descontandole los decimales. Sise realizan 500 facturas, ¿cual es la probabilidad de que el monto de descuentos sea superiora 240 pesos?

4. Sea X una variable aleatoria con funcion densidad f(x) = ax2 para 0 < x < b. Encontrarla relacion entre a y b. A priori, los valores de a estan distribuidos uniformemente entre 0y 2. Si se obtuvieron los valores muestrales 0.2, 0.8 y 3 hallar la funcion de distribucion aposteriori de a.

5. Los siguientes datos, en cientos de millones de pesos, corresponden a la facturacion totaldel ano 2007 de 10 empresas de productos alimenticios:

5.15, 5.04, 4.60, 3.42, 3.36, 3.14, 2.84, 2.65, 2.50, 2.34

(a) Construya intervalos de confianza de nivel 0.95 para la media y la varianza, suponiendoque las ventas anuales de las empresas del sector se distribuyen con una ley normal.

(b) ¿Rechazarıa la siguiente afirmacion: “En media, las ventas anuales de cada empresa del

sector son de 425 millones de pesos”?, ¿Que riesgo corre de haberse equivocado?


1. Inicialmente, un tirador tiene una probabilidad de acertar a un blanco del 0.6. En cadatiro mejora su punterıa, aumentando en un 10 % la probabilidad de acertar al blanco conrespecto al tiro anterior. Si disparo tres tiros y acerto una vez, cual es la probabilidad de quehaya sido en el ultimo tiro.

2. El diametro en cm. de ciertos ejes es una variable aleatoria con funcion densidad deprobabilidad

f(x) =

x − 1 si 1 < x ≤ 2,3 − x si 2 < x < 3,0 en otro caso

Una maquina esta disenada para descartar ejes cuyos diametros son inferiores a 1, 5 cm. osuperiores a 2, 5 cm. Pero a veces falla y un 10 % de las veces no descarta los que tienendiametros inferiores a 1, 5 cm, y un 5 % de las veces no descarta los que superan 2, 5 cm.Ningun eje cuyo diametro este comprendido entre 1, 5 y 2, 5 cm. es descartado. Hallar lafuncion densidad y la funcion de distribucion de los ejes no descartados.

3. Sea Ω la region del plano definida por el cuadrilatero de vertices (0, 0), (1/2, 0), (1, 1/2),(1, 1) y el triangulo de vertices (0, 1/2), (0, 1), (1/2, 1). Sea (X, Y ) un punto aleatorio condistribucion uniforme en la region Ω.

(a) Hallar las distribuciones marginales de X y de Y .

(b) Hallar la funcion densidad de probabilidades de X − Y .

4. Un comprador desea adquirir lotes de pilas cuya vida media sea mayor que 235 horas deuso. Esta dispuesto a correr los siguientes riesgos: no mas del 1 % de adquirir un lote si lavida media de sus pilas fuese de 233 horas; no mas del 5 % de rechazarlo si la vida media fuesede 240 horas. Suponiendo que el tiempo de vida de las pilas tiene una distribucion normalde varianza 100, construya una regla de decision que verifique las normativas estipuladas porel comprador. Grafique su curva caracterıstica operativa y analice que sucede cuando la vidamedia de las pilas es de 235 horas.

5. En un bolillero hay 5 bolitas. Se extraen dos: una es blanca, la otra es negra. Estimar lacantidad de bolitas blancas en el bolillero.


1. Se tienen dos urnas. Cada una contiene dos monedas cargadas. Las monedas de la urna1 estan cargadas con una probabilidad p1 para el lado de la cara, las de la urna 2 conprobabilidad p2 (p2 6= p1). Puede optar por una de las siguientes estrategias: (E1) Elegir unaurna al azar y lanzar ambas monedas. (E2) Elegir una moneda de cada urna y lanzar ambasmonedas. El juego se gana si ambas monedas salen cara; en caso contrario se pierde. ¿Cualde las dos estrategias es mas conveniente?.

2. Sea X una variable aleatoria cuya funcion de distribucion FX(x) = P(X ≤ x) es de laforma

−3 −2 −1 0 1 2 3

0

1/3

2/3

1

x

FX(x

)

(a) Calcular P(−1 ≤ X ≤ 1), P(1 ≤ X < 2), P(1 ≤ X ≤ 2). (b) Calcular la esperanza y lavarianza de X.

3. El precio por llamada desde un telefono publico es de 20 centavos por pulso, contabilizadosdesde que se inicia la llamada. Suponiendo que la duracion de cada pulso es de dos minutosy las llamadas tienen duracion exponencial de media 3 minutos.

(a) Hallar la funcion de probabilidad de la duracion en pulsos de la llamada. (b) ¿Cual es elcosto medio y la varianza de cada llamada?

4. Se sabe que la cantidad de litros de vino consumidos anualmente por cada cliente deuna tradicional bodega mendozina se rige por una distribucion normal con desvıo igual a18 litros. La bodega planea innovar su lınea de vinos siempre y cuando pueda asegurarseuna venta media de no menos de 100 litros por cliente. Envıa algunas botellas “gratis” a 16clientes de confianza, quienes despues de haber degustado la noble bebida, deberan contestarcuantos litros estarıan dispuestos a consumir. En base a esos resultados decidira que hacer.Si el consumo medio fuese de 105 litros per capita, esta dispuesta a correr un riesgo del 5 %de no innovar.

Construya la regla de decision y grafique su curva caracterıstica operativa. Si la bodegadecidiese no innovar, cual serıa la maxima probabilidad de haberse equivocado.

5. Se tienen solo dos tipos de dado. Uno honesto y otro con probabilidad de as 0.2. Se elige undado y se lo lanza 10 veces. Se observan 3 ases. Hallar el estimador de maxima verosimilitudde la probabilidad de as (o el modo de la estimacion bayesiana).


1. En un control de calidad de hormigon se extraen 3 probetas al azar de 15 cm. de diametro ycada una de ellas es ensayada en su resistencia a la compresion. Una probeta pasara la prueba(sera aceptada) si resiste por lo menos una carga axial de 5500 kg. La especificacon requiereque las 3 probetas pasen el test para que el lote sea aceptado. Suponga que la resistencia sedistribuye como una normal de desvıo σ = 500 kg.

(a) ¿Cual debe ser la resistencia media de las probetas para que la probabilidad de aceptarel lote supere 0.995? El contratista prepara un lote todos los dıas.

(b) ¿Cual es la probabilidad de que el quinto dıa le sea rechazado el primer lote?


3. Una persona le apuesta que en 100 lanzamientos de una moneda honesta la cantidad decaras observadas diferira de 50 en 4 o mas. ¿Cual es la probabilidad de que usted resulteganador? ¿Es cierto que la probabilidad de que ocurran un 50 % de caras aumenta a medidaque aumenta la cantidad de tiros?

4. Se tiene una poblacion con distribucion U(θ, θ +1). Basandose en una muestra de tamano1, X1, disenar una regla de decision de nivel de significacion 0.1, para verificar H0 : θ ≤ 5contra H1 : θ > 5. Grafique la curva caracterıstica operativa.

5. En una bodega se desea conocer la proporcion p de barriles existentes con el vino yaestacionado y listo para la distribucion. En base a estudios previos, se le asigna a p la siguientedistribucion: f(p) = c(1 − p), 0 < p < 1. Por otro lado, a un empleado de la bodega se leencomienda la tarea de probar un vaso de cada uno de los 800 barriles existentes, para poderdeterminar p en forma exacta. El empleado empieza a probar un vaso de cada barril, y vaanotando en su cuaderno “LISTO” o “NO LISTO”, de acuerdo a lo que prueba. Sin embargo,luego de probar el noveno vaso, se olvida de que era lo que estaba haciendo, y se quedadormido entre dos barriles. Otro empleado recoge el cuaderno, donde encuentra 5 veces lapalabra “LISTO” y 4 veces “NO LISTO”.

(a) Actualizar en forma bayesiana la distribucion de p, en base a los 9 resultados que llego aobtener el primer empleado. Hallar la media y el maximo de la distribucion a posteriori de pcondicional a dichos resultados.

(b) Encontrar el estimador de maxima verosimilitud, que no tiene en cuenta la distribuciona priori, y comparar con el maximo encontrado en (a).

Probabilidad y Estadıstica 61.06, No industriales, 6/VIII/2008.

1. Sea (X, Y ) con distribucion uniforme en el triangulo de vertices (0, 0), (2, 0), (1, 1). Hallarla funcion de distribucion de Z = mın(X, Y ).

2. Lucas y Pablo disputan la final de un Campeonato de Ajedrez en el planeta Zorg. Elprimero que gane 6 partidas (no hay tablas) resulta ganador. La duracion de cada partida(medida en horas) es una variable aleatoria cuya funcion densidad de probabilidad es

f(t) =

k(t − 1) si 1 ≤ t < 3,k(5 − t) si 3 ≤ t < 5,0 en otro caso.

La probabilidad de que Lucas gane cada partida depende de la duracion de la misma. Si duramenos de 2 horas, lo hace con probabilidad 3/4; si no, con probabilidad 1/2.

Sabiendo que ninguna partida duro mas de 4 horas. ¿Cual es la probabilidad de que Lucasgane el campeonato al cabo de 8 partidas?


6, 1

3, 1

3, 1



4. Una especificacion de compras de una empresa requiere, para una materia prima compradaen grandes lotes, que el porcentaje de unidades defectuosas sea no mayor del 2 %. Para verificarsi un lote entregado cumple el requerimiento se extrae una muestra de n unidades, a las quese somete a inspeccion.

(a) Suponiendo que n = 80 y solo una pieza inspeccionada es no conforme, ¿recomendarıaaceptar el lote? Justificar detalladamente y mencionar los criterios tenidos en cuenta

(b) Para otra materia prima diferente de la anterior, una instruccion establece la aceptacionde lotes cada vez que, en una muestra de tamano 150 aparezcan 0 o 1 unidades defectuosas,¿cual debera ser la calidad de un lote para tener una probabilidad de aceptacion del 90 %?(calidad de lote: porcentaje de unidades defectuosas en el lote)

5. Un proceso de produccion, produce con una calidad del 100 p % de artıculos defectuosos.A priori se supone que la proporcion p de artıculos defectuosos se distribuye uniformementeen el intervalo (0, 1). De una partida se examina una muestra de 10 artıculos y se encuen-tran 2 defectuosos. Se arma una caja con otros 4 artıculos de la misma partida ¿cual es laprobabilidad de que tenga solo un artıculo defectuoso?

Probabilidad y Estadıstica 61.06, No Industriales, 10/XII/2008.


2. Sea (X, Y ) un punto aleatorio con distribucion uniforme en el triangulo de vertices(0, 0), (2, 0), (2, 2). Hallar la recta de regresion de Y basada en X.

3. Se tirara un dado equilibrado hasta que salga el as. Sea M la cantidad de cuatros obtenidos.Calcular E[M ].

4. El tiempo de funcionamiento en anos de cada chip de computadoras, producido poruna firma de semiconductores china, se distribuye como una exponencial de media 1/λ. Ladistribucion a priori de λ es una Gamma con funcion de densidad

f(λ) =λ2e−λ

2, λ > 0.

Sabiendo que el promedio del tiempo de funcionamiento de 20 chips examinados es de 4.5anos: hallar la densidad a posteriori de λ y estimar puntualmente λ utilizando su maximo.(Sugerencia: si le parece conveniente puede usar la siguiente formula

∫

∞

0xne−axdx = n!

an+1 .)

5. Un productor de una nueva lınea de neumaticos afirma que su utilidad media es mayorque 40000 km. Para verificar dicha afirmacion se sometieron a prueba 12 neumaticos y susutilidades (en miles de km.) resultaron las siguientes:

40.5 40.6 41.3 41.6 42.0 39.8 40.7 40.9 40.2 39.9 41.0 40.6

Suponiendo que la utilidad de los neumaticos se distribuye como una normal N (µ, σ2), veri-ficar la afirmacion del productor a un 5 % de nivel de significacion.

Probabilidad y Estadıstica 61.06, No Industriales, 17/XII/2008.

1. Dos bolas se pintan de rojo o de negro, independientemente y con probabilidad 1/2 paracada color, y se colocan en una urna.

(a) Si se extrae una bola de la urna y es roja, cual es la probabilidad de que la otra bola searoja?

(b) Si se sabe que en la urna hay una bola roja, cual es la probabilidad de que la otra searoja?

2. Un tirador arroja un dardo a un blanco circular de radio 3. En cada tiro tiene probabilidad1/5 de errar al blanco. Cuando acierta al blanco, el dardo se clava en un punto uniformementedistribuıdo en el cırculo. Si acierta al blanco se le asigna un puntaje igual a la distancia entreel punto donde se clavo el dardo y el centro del blanco. Si le erra, el puntaje asignado es 4.Hallar la funcion de distribucion del puntaje asignado.

3. Sean X e Y variables aleatorias N (0, 1) independientes. Hallar la funcion de densidadconjunta y las funciones de densidad marginales de W = 2X − 3Y y Z = 3X + 2Y y mostrarque W y Z son independientes.

4. Un buzo debe realizar una tarea en el oceano que le insumira 45 minutos. Sabien-do que la duracion en minutos de cada tanque de oxıgeno tiene una distribucion normalcon desvıo 2 y que en una muestra aleatoria de 9 tanques se observaron las duraciones:37.447, 51.101, 34.258, 38.401, 33.288, 45.971, 47.348, 36.241, 41.585, estimar por maxima verosimil-itud la probabilidad de que el buzo pueda terminar su tarea si lleva un solo tanque de oxıgeno.

5. En un proceso quımico es necesario que una solucion que se usa como reactivo tenga pH8.21. Se dispone de un metodo para determinar el pH que produce mediciones normalmentedistribuidas con media igual al verdadero valor del pH y desvıo 0.02. Disenar un test dehipotesis de manera que: si el pH es 8.21, se obtenga esa conclusion con probabilidad 0.95 ysi el pH difiere de 8.21 en 0.03 (en cualquiera de las direcciones) se detecte esa diferencia conprobabilidad no inferior a 0.95.

(a) Que concluirıa si la media de las mediciones observadas fuese 8.32?

(b) Si el verdadero pH es 8.33, cual es la probabilidad de concluir que el pH no es 8.21?

Probabilidad y Estadıstica 61.06, No Industriales, 11/II/2009.


2. Una maquina selecciona ciruelas clasificandolas segun su diametro. Las de diametro supe-rior a los 4 cm. se consideran de clase A y las otras de clase B. El diametro de cada ciruelaes una variable aleatoria uniforme entre 3 y 5 cm. Hallar la probabilidad de que en una bolsade 20 ciruelas de tipo A exactamente 3 tengan diametro superior a los 4.5 cm.

3. Una maquina produce rollos de alambre. El alambre tiene fallas distribuidas como unproceso de Poisson de intensidad 1 cada 35 metros. La maquina corta el alambre en la primerfalla detectada despues de los 50 metros, pero detecta las fallas con probabilidad 0.9. Hallarla cantidad media de fallas en los rollos.

4. Clientes llegan a un banco de acuerdo con un proceso de Poisson de intensidad λ porhora. Sabiendo que en los primeros 10 minutos llegaron exactamente 5 clientes, estimar pormaxima verosimilitud la probabilidad de que en los siguientes cinco minutos arriben mas de3 clientes.

5. En una eleccion se presentan dos candidatos: el verde y el rojo. Disenar un test de hipotesisbasado en una encuesta entre 1000 votantes para verificar si el candidato rojo obtendra masdel 20 % de los votos, con un nivel de significacion del 10 %. Graficar la curva caracterısticaoperativa calculando por lo menos tres de sus puntos. Que decidirıa si la encuesta arroja 190votos a favor del candidato rojo?


1. Existen dos caminos de A hasta B (que no pasan por C) y dos caminos de B hastaC (que no pasan por A). Cada uno de estos caminos esta bloqueado con probabilidad 0.3independientemente de los demas. Hallar la probabilidad de que no exista ningun caminoabierto desde A hasta B sabiendo que no hay ningun camino abierto desde A hasta C.

A B C

2. Un dado equilibrado se arrojara sucesivamente hasta que la suma de los resultadosobtenidos supere 2. Hallar la probabilidad de que la suma sea igual a 4.

3. Una maquina produce rollos de alambre. El alambre tiene fallas distribuidas como unproceso de Poisson de intensidad 1 cada 35 metros. La maquina detecta cada falla con prob-abilidad 0.9 y corta el alambre en la primer falla detectada antes de los 140 metros o a los140 metros si no se detectan fallas. Hallar la cantidad media de fallas en los rollos.

4. El numero de accidentes que ocurren diariamente en una planta industrial tiene unadistribucion Poisson de media λ desconocida. Sobre la base de experiencias previas en plantasindustriales similares un estadıstico afirma que los posibles valores de λ se distribuyen a

priori como una variable exponencial de media 1/3. Sabiendo que durante los primeros 9dıas de funcionamiento de la planta industrial ocurrieron un total de 45 accidentes hallar ladistribucion a posteriori de λ y calcular la probabilidad de que durante el decimo dıa ocurrandos o mas accidentes. Sugerencia: si le parece conveniente puede usar la siguiente formula∫

∞

0xne−axdx = n!

an+1 .

5. Un informe oficial afirma que el consumo medio de agua en los hogares de la Ciudad deBuenos Aires es de 750 litros diarios. Se realizo una investigacion sobre 20 hogares elegidosal azar y los resultados sobre el consumo diario de litros de agua en cada uno de esos hogaresfueron los siguientes:

601 872 926 768 726 707 898 912 765 858

826 778 745 830 866 850 700 832 930 860

Suponiendo que el consumo diario de litros de agua en los hogares de la Ciudad de BuenosAires tiene distribucion normal, disenar un test de hipotesis de nivel de significacion 0.05 pararefutar la afirmacion oficial. ¿Que puede concluirse a partir de los datos observados?



H

P

Q

Un paseo desde el hotel, situado en el punto H, hasta el puerto de pescadores, situado enel punto P , es una sucesion de 14 cuadras -dentro de la localidad- recorridas hacia la izquierdao hacia abajo (ver la figura). Si se elige al azar un paseo desde el hotel hasta el puerto depescadores (esto es, todos los paseos tienen la misma probabilidad de ser elegidos), cual es laprobabilidad de que se pase por el quiosco de diarios y revistas situado en el punto Q?

2. El peso de ciertas bolsas de naranjas es una variable aleatoria uniforme entre 2 y 6 kilos.Se van agregando bolsas en una balanza hasta que el peso supere 5 kilos. Hallar la media dela cantidad final de bolsas en la balanza.

3. Una maquina produce rollos de alambre. El alambre tiene fallas distribuidas como unproceso de Poisson de intensidad 1 cada 25 metros. La maquina detecta cada falla con proba-bilidad 0.9 y corta el alambre en la primer falla detectada antes de los 100 metros o a los 100metros si no se detectan fallas antes. Hallar la media de la longitud de los rollos de alambre.

4. En una urna hay k bolas blancas y 5 bolas negras, donde 0 ≤ k ≤ 6. Se extraen 2bolas al azar sin reposicion, se las examina y se las repone en la urna. Sabiendo que las dosbolas examinadas resultaron blancas y usando el metodo de maxima verosimilitud estimar laprobabilidad de que al extraer nuevamente dos bolas al azar sin reposicion una sea blanca yla otra negra.

5. Una empresa de cervezas afirma que el 40 % de las botellas de cerveza de un litro que sevenden en el mercado son de su marca. Disenar un test de hipotesis tal que: si la afirmacion dela empresa es verdadera, se la confirme con probabilidad 0.95; y si el porcentaje verdadero deventas de dichas botellas fuera del 30 % la probabilidad de refutar la afirmacion de la empresasea 0.9. (a) Cual es la probabilidad de concluir que la afirmacion de la empresa es verdadera,cuando en verdad el porcentaje de ventas de dichas botellas es del 45 %? (b) Que concluirıasi al realizar una encuesta sobre ventas, conforme al test de hipotesis disenado previamente,el porcentaje observado de ventas de dichas botellas fuera del 47 %?

Probabilidad y Estadıstica 61.09, 10/VII/2008.

1. En una urna hay 2 bolas rojas y 2 bolas negras. En cada paso se extrae una bola al azary si es negra se la reemplaza en la urna por una roja. Encontrar la funcion de probabilidadde la cantidad de pasos necesarios para sacar una bola roja.

2. Sea (X, Y ) un punto aleatorio con distribucion uniforme en el cuarto del cırculo de radio1 centrado en (0, 0) contenido en primer cuadrante.

(a) Hallar las densidades marginales de X.

(b) Hallar la densidad condicional de Y dado que X = 1/2.

(c) Hallar la funcion distribucion de Z =√

X2 + Y 2.

3. A un contador Geiger arriban pulsos de acuerdo con un proceso de Poisson a tasa de 3arribos por segundo. Cada partıcula que arriba al contador tiene una probabilidad 2/3 de serregistrada. Sea X(t) el numero de pulsos registrados en t segundos.

(a) P(X(t) = 0) = ?

(b) E[X(t)] = ?

4. Sea X una variable aleatoria con funcion densidad f(x) = ax2 para 0 < x < b. Encontrarla relacion entre a y b. A priori, los valores de a estan distribuidos uniformemente entre 0y 2. Si se obtuvieron los valores muestrales 0.2, 0.8 y 3 hallar la funcion de distribucion aposteriori de a.

5. Los siguientes datos, en cientos de millones de pesos, corresponden a la facturacion totaldel ano 2007 de 10 empresas de productos alimenticios:

5.15, 5.04, 4.60, 3.42, 3.36, 3.14, 2.84, 2.65, 2.50, 2.34

(a) Construya intervalos de confianza de nivel 0.95 para la media y la varianza, suponiendoque las ventas anuales de las empresas del sector se distribuyen con una ley normal.

(b) ¿Rechazarıa la siguiente afirmacion: “En media, las ventas anuales de cada empresa del

sector son de 430 millones de pesos”?, ¿Que riesgo corre de haberse equivocado?


1. Inicialmente, un tirador tiene una probabilidad de acertar a un blanco de 0.6. En cadatiro mejora su punterıa, aumentando en un 10 % la probabilidad de acertar al blanco respectoal tiro anterior. Si disparo tres tiros y acerto exactamente una vez, cual es la probabilidad deque haya sido en el ultimo tiro?

2. Sea Ω la region del plano limitada por el cuadrilatero de vertices (0, 0), (1/2, 0), (1, 1/2),(1, 1). Sea (X, Y ) un punto aleatorio con distribucion uniforme en la region Ω.

(a) Hallar la distribucion marginal de X.

(b) Hallar la funcion densidad de probabilidades de X − Y .

3. Un comprador desea adquirir lotes de pilas cuya duracion media sea mayor que 233 horas.Esta dispuesto a correr los siguientes riesgos: no mas del 1 % de adquirir un lote si la duracionmedia de sus pilas fuese de 233 horas; no mas del 5 % de descartarlo si la duracion mediafuese de 240 horas. Suponiendo que la duracion de las pilas tiene una distribucion normal dedesvıo 10 horas, disenar un test y construir una regla de decision que verifique las normativasestipuladas por el comprador. Graficar la curva caracterıstica operativa y analizar el riesgode descartar el lote si la duracion media de sus pilas fuese de 235 horas.

4. En un bolillero hay 6 bolitas. Se extraen dos: una es blanca, la otra es negra. Estimar lacantidad de bolitas blancas en el bolillero.

5. Decida si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas justificando adecuadamentesu respuesta.

(a) Sea X1, X2, . . . una sucesion de variables aleatorias independientes e identicamente dis-tribuidas con distribucion exponencial de intensidad λ. Si Yk es el promedio de las primerask variables de la sucesion, entonces la varianza de Yk es 1/λ2.

(b) Si X1 y X2 son v. a. independientes con distribuciones exponenciales de intensidadesλ1 y λ2, respectivamente, entonces mın(X1, X2) tiene distribucion exponencial de intensidadmın(λ1, λ2).

(c) Sea X1, X2, . . . una sucesion de variables aleatorias, todas de media 2. Si N es una v.a.con distribucion geometrica de parametro p = 2/3, entonces la esperanza de X1 + · · · + XN

condicionada a que N ≥ 2 es 5.


1. Se tienen dos urnas. Cada una contiene dos monedas cargadas. Las monedas de la urna1 estan cargadas con una probabilidad p1 para el lado de la cara, las de la urna 2 conprobabilidad p2 (p2 6= p1). Puede optar por una de las siguientes estrategias: (E1) Elegir unaurna al azar y lanzar ambas monedas. (E2) Elegir una moneda de cada urna y lanzar ambasmonedas. El juego se gana si ambas monedas salen cara; en caso contrario se pierde. ¿Cualde las dos estrategias es mas conveniente?.

2. Sea (X, Y ) con distribucion uniforme en el cuadrado de vertices (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1).Sea ϕ(x) = e−x. Se define U := 1Y ≤ ϕ(X). Calcular E[U ] y V(U).

3. El precio por llamada desde un telefono publico es de 20 centavos por pulso, contabilizadosdesde que se inicia la llamada. Suponiendo que la duracion de cada pulso es de dos minutosy las llamadas tienen duracion exponencial de media 3 minutos.

(a) Hallar la funcion de probabilidad de la duracion en pulsos de la llamada

(b) ¿Cual es el costo medio y la varianza de cada llamada?

4. Se sabe que la cantidad de litros de vino consumidos anualmente por cada cliente deuna tradicional bodega mendozina se rige por una distribucion normal con desvıo igual a18 litros. La bodega planea innovar su lınea de vinos siempre y cuando pueda asegurarseuna venta media de no menos de 100 litros por cliente. Envıa algunas botellas “gratis” a 16clientes de confianza, quienes despues de haber degustado la noble bebida, deberan contestarcuantos litros estarıan dispuestos a consumir. En base a esos resultados decidira que hacer.Si el consumo medio fuese de 105 litros per capita, esta dispuesta a correr un riesgo del 5 %de no innovar.

Construya la regla de decision y grafique su curva caracterıstica operativa. Si la bodegadecidiese no innovar, cual serıa la maxima probabilidad de haberse equivocado.

5. Se tienen solo dos tipos de dado. Uno honesto y otro con probabilidad de as 0.2. Se elige undado y se lo lanza 10 veces. Se observan 3 ases. Hallar el estimador de maxima verosimilitudde la probabilidad de as (o el modo de la estimacion bayesiana).



2. Para viajar de A a B se puede ir en taxi o colectivo. Los tiempos de llegada entre taxis (enminutos) son exponenciales independientes de parametro λT mientras que los de los colectivosson exponenciales independientes pero de parametro λC . Usted se encuentra en A a las 7 AM.

(a) Halle el tiempo medio hasta la llegada del primer vehıculo.

(b) Calcule la probabilidad de que el primer vehıculo que llega sea un taxi.

(c) De hecho hay colectivos comunes (con probabilidad p) y rapidos (con probabilidad 1− p)que arriban en forma independiente. Si se queda en A durante r minutos, que cantidad mediade colectivos rapidos que vera.

3. Una persona le apuesta que en 100 lanzamientos de una moneda honesta la cantidad decaras observadas diferira de 50 en 4 o mas. ¿Cual es la probabilidad de que usted resulteganador? ¿Es cierto que la probabilidad de que ocurran un 50 % de caras aumenta a medidaque aumenta la cantidad de tiros?

4. Se tiene una poblacion con distribucion U(θ, θ +1). Basandose en una muestra de tamano1, X1, disenar una regla de decision de nivel de significacion 0.1, para verificar H0 : θ ≤ 5contra H1 : θ > 5. Grafique la curva caracterıstica operativa.

5. En una bodega se desea conocer la proporcion p de barriles existentes con el vino yaestacionado y listo para la distribucion. En base a estudios previos, se le asigna a p la siguientedistribucion: f(p) = c(1 − p), 0 < p < 1. Por otro lado, a un empleado de la bodega se leencomienda la tarea de probar un vaso de cada uno de los 800 barriles existentes, para poderdeterminar p en forma exacta. El empleado empieza a probar un vaso de cada barril, y vaanotando en su cuaderno “LISTO” o “NO LISTO”, de acuerdo a lo que prueba. Sin embargo,luego de probar el noveno vaso, se olvida de que era lo que estaba haciendo, y se quedadormido entre dos barriles. Otro empleado recoge el cuaderno, donde encuentra 5 veces lapalabra “LISTO” y 4 veces “NO LISTO”.

(a) Actualizar en forma bayesiana la distribucion de p, en base a los 9 resultados que llego aobtener el primer empleado. Hallar la media y el maximo de la distribucion a posteriori de pcondicional a dichos resultados.

(b) Encontrar el estimador de maxima verosimilitud, que no tiene en cuenta la distribuciona priori, y comparar con el maximo encontrado en (a).

Probabilidad y Estadıstica 61.09, 6/VIII/2008.

1. Sea (X, Y ) con distribucion uniforme en el triangulo de vertices (0, 0), (2, 0), (1, 1). Hallarla funcion de distribucion de Z = mın(X, Y ).

2. Un proceso de llegadas comienza en t = 0 y los tiempos entre llegadas son i.i.d condistribucion:

fX(x) =1

2

(

λe−λx + λ2xe−λx)

, x ≥ 0 (λ > 0)

(a) Hallar la media y la varianza de X (no es necesario calcular integrales).

(b) Sea N10 la cantidad de arribos desde t = 0 hasta t = 10. Calcule P(N10 = 0) (Debe llegar

a un resultado numerico).

(c) Graficar f(x) y encontrar el valor de x que la maximiza.


6, 1

3, 1

3, 1



4. Una especificacion de compras de una empresa requiere, para una materia prima compradaen grandes lotes, que el porcentaje de unidades defectuosas sea no mayor del 2 %. Para verificarsi un lote entregado cumple el requerimiento se extrae una muestra de n unidades, a las quese somete a inspeccion.

(a) Suponiendo que n = 80 y solo una pieza inspeccionada es no conforme, ¿recomendarıaaceptar el lote? Justificar detalladamente y mencionar los criterios tenidos en cuenta

(b) Para otra materia prima diferente de la anterior, una instruccion establece la aceptacionde lotes cada vez que, en una muestra de tamano 150 aparezcan 0 o 1 unidades defectuosas,¿cual debera ser la calidad de un lote para tener una probabilidad de aceptacion del 90 %?(calidad de lote: porcentaje de unidades defectuosas en el lote)

5. Un proceso de produccion, produce con una calidad del 100 p % de artıculos defectuosos.A priori se supone que la proporcion p de artıculos defectuosos se distribuye uniformementeen el intervalo (0, 1). De una partida se examina una muestra de 10 artıculos y se encuen-tran 2 defectuosos. Se arma una caja con otros 4 artıculos de la misma partida ¿cual es laprobabilidad de que tenga solo un artıculo defectuoso?

Probabilidad y Estadıstica 61.09, 10/XII/2008.


2. Sea (X, Y ) un punto aleatorio con distribucion uniforme en el triangulo de vertices(0, 0), (2, 0), (2, 2). Hallar la recta de regresion de Y basada en X.

3. Se tirara un dado equilibrado hasta que salga el as. Sea N la cantidad de tiradas necesariasy sea M la cantidad de cuatros obtenidos. Calcular Cov(N, M).

4. El tiempo de funcionamiento en anos de cada chip de computadoras, producido poruna firma de semiconductores china, se distribuye como una exponencial de media 1/λ. Ladistribucion a priori de λ es una Gamma con funcion de densidad

f(λ) =λ2e−λ

2, λ > 0.

Sabiendo que el promedio del tiempo de funcionamiento de 20 chips examinados es de 4.5anos: hallar la densidad a posteriori de λ y estimar puntualmente λ utilizando su maximo.(Sugerencia: si le parece conveniente puede usar la siguiente formula

∫

∞

0xne−axdx = n!

an+1 .)

5. Para identificar las obras de su serie titulada Los paisajes binarios el artista digital Nelolas firma con una imagen aleatoria de 10×10 pixels producida con el siguiente procedimiento:por cada pixel se lanza un dado equilibrado: si sale 1, 2 o 3 se pinta de rojo; si sale 4 o 5 sepinta de verde y si sale 6 se pinta de azul. Se somete a examen la firma de una obra digitaltitulada Cordillera binaria y se obtienen los siguientes resultados: 46 pixels rojos, 37 verdes y17 azules. Se puede concluir a un nivel del 5 % que Cordillera binaria no pertenece a la serieLos paisajes binarios?

Probabilidad y Estadıstica 61.09, 17/XII/2008.

1. Un libro sobre juegos recomienda la siguiente estrategia para ganar en la ruleta. Se juegaun peso al rojo. Si sale rojo (cuya probabilidad es 18/37), el jugador debe tomar su gananciay retirarse de la mesa. Si no sale rojo (cuya probabilidad es 19/37), debe apostar un pesoal rojo en cada uno de las dos tiradas siguientes y abandonar la mesa. Sea X la “ganancia”del jugador cuando abandona la mesa. Hallar P(X > 0) y E[X]. Que opina de la estrategiarecomendada?

2. El tiempo, t, en horas, que se tarda en reparar una PC es una variable aleatoria condistribucion uniforme sobre el intervalo (0, 4). El costo en mano de obra de reparacion dependedel tiempo utilizado y es igual a 120 + 90

√t. Hallar la funcion de distribucion del costo en

mano de obra de reparar una PC y calcular su media.

3. Una maquina produce rollos de alambre. El alambre tiene fallas distribuidas como unproceso de Poisson de intensidad 1 cada 25 metros. La maquina deberıa cortar el rollo encada falla pero solo detecta el 90 %. Hallar la cantidad media de fallas en los rollos que midenmas de 200 metros.

4. Lucas ingresa en un banco a las 11:30 para cobrar un cheque y le dan el numero 68 de lafila de espera. Mientras se sienta a esperar observa que esta siendo atendido el cliente numero61. El tiempo de atencion (en minutos) para cada cliente se distribuye como una variableexponencial. A las 11:45 comienza a ser atendido el cliente numero 66 y Lucas decide salir delbanco a fumar un cigarrillo. Suponiendo que Lucas demora 6 minutos en volver a la fila deespera, estimar por maxima verosimilitud la probabilidad de que haya perdido su turno en lafila.

5. Una propaganda afirma que el uso del complejo vitamınico “jirafol” favorece el crecimientoanual de los ninos. Medido en centımetros, el crecimiento anual en la poblacion infantil es unavariable aleatoria normal de media 3 y desvıo 1. Un estudio realizado sobre 2500 ninos queconsumieron “jirafol” arrojo un promedio de crecimiento de 3.05 cm. por nino. Suponiendoque el desvıo se mantuvo igual a 1, recomendarıa el uso de “jirafol”? Describa los riesgosestadısticos involucrados.

Probabilidad y Estadıstica 61.09, 11/II/2009.


2. Una maquina selecciona ciruelas clasificandolas segun su diametro. Las de diametro supe-rior a los 4 cm. se consideran de clase A y las otras de clase B. El diametro de cada ciruelaes una variable aleatoria uniforme entre 3 y 5 cm. Hallar la probabilidad de que en una bolsade 20 ciruelas de tipo A exactamente 3 tengan diametro superior a los 4.5 cm.

3. Una maquina produce rollos de alambre. El alambre tiene fallas distribuidas como unproceso de Poisson de intensidad 1 cada 35 metros. La maquina corta el alambre en la primerfalla detectada despues de los 50 metros, pero detecta las fallas con probabilidad 0.9. Hallarla cantidad media de fallas en los rollos que miden mas de 100 metros.

4. Los tiempos de atencion de clientes en un banco son variables aleatorias exponenciales deintensidad λ e independientes entre sı. Sabiendo que en 10 minutos fueron atendidos exacta-mente 5 clientes, estimar por maxima verosimilitud la probabilidad de que en los siguientescinco minutos sean atendidos mas de 3.

5. En una eleccion se presentan dos candidatos: el verde y el rojo. Disenar un test de hipotesisbasado en una encuesta entre 1000 votantes para verificar si el candidato rojo obtendra masdel 20 % de los votos, con un nivel de significacion del 10 %. Graficar la curva caracterısticaoperativa calculando por lo menos tres de sus puntos. Que decidirıa si la encuesta arroja 190votos a favor del candidato rojo?


1. Existen dos caminos de A hasta B (que no pasan por C) y dos caminos de B hastaC (que no pasan por A). Cada uno de estos caminos esta bloqueado con probabilidad 0.2independientemente de los demas. Hallar la probabilidad de que exista un camino abiertodesde A hasta B sabiendo que no hay ningun camino abierto desde A hasta C.

A B C

2. El peso de ciertas bolsas de naranjas es una variable aleatoria uniforme entre 1 y 3kilos. Se ponen bolsas en una balanza hasta reunir mas de 2 kilos. Hallar la media del pesoası obtenido.

3. Una maquina produce rollos de alambre. El alambre tiene fallas distribuidas como unproceso de Poisson de intensidad 1 cada 30 metros. La maquina detecta cada falla con prob-abilidad 0.9 y corta el alambre en la primer falla detectada antes de los 120 metros o a los120 metros si no se detectan fallas. Hallar la cantidad media de fallas en los rollos.

4. El numero de accidentes que ocurren diariamente en una planta industrial tiene unadistribucion Poisson de media λ desconocida. Sobre la base de experiencias previas en plantasindustriales similares un estadıstico afirma que los posibles valores de λ se distribuyen a

priori como una variable exponencial de media 1/2. Sabiendo que durante los primeros 9dıas de funcionamiento de la planta industrial ocurrieron un total de 45 accidentes hallar ladistribucion a posteriori de λ y calcular la probabilidad de que durante el decimo dıa ocurrandos o mas accidentes. Sugerencia: si le parece conveniente puede usar la siguiente formula∫

∞

0xne−axdx = n!

an+1 .

5. Un informe oficial afirma que el consumo medio de agua en los hogares de la Ciudad deBuenos Aires es de 850 litros diarios. Se realizo una investigacion sobre 20 hogares elegidosal azar y los resultados sobre el consumo diario de litros de agua en cada uno de esos hogaresfueron los siguientes:

701 972 1026 868 826 807 998 1012 965 958

926 878 845 930 966 950 800 932 1030 960

Suponiendo que el consumo diario de litros de agua en los hogares de la Ciudad de BuenosAires tiene distribucion normal, disenar un test de hipotesis de nivel de significacion 0.05 pararefutar la afirmacion oficial. ¿Que puede concluirse a partir de los datos observados?



H

P

Q

C

Un paseo desde el hotel, situado en el punto H, hasta el puerto de pescadores, situado en elpunto P , es una sucesion de 14 cuadras -dentro de la localidad- recorridas hacia la izquierdao hacia abajo (ver la figura). Se elige al azar un paseo desde el hotel hasta el puerto depescadores (esto es, todos los paseos tienen la misma probabilidad de ser elegidos). Sabiendoque se paso por el cafe situado en el punto C, hallar la probabilidad de haber pasado por elquiosco de diarios y revistas situado en el punto Q.

2. Una maquina produce rollos de alambre. El alambre tiene fallas distribuidas como unproceso de Poisson de intensidad 1 cada 20 metros. La maquina corta el alambre en la primerfalla detectada despues de los 40 metros, pero detecta las fallas con probabilidad 0.9. Si entrelos 40 y los 100 metros no detecta ninguna falla, la maquina corta el alambre a los 100 metros.Hallar la cantidad media de fallas en los rollos.

3. El peso W (en toneladas) que puede resistir un puente sin sufrir danos estructuraleses una variable aleatoria con distribucion normal de media 1400 y desvıo 100. El peso (entoneladas) de cada camion de arena es una variable aleatoria de media 20 y desvıo 0.25.¿Cuantos camiones de arena debe haber, como mınimo, sobre el tablero del puente para quela probabilidad de que ocurran danos estructurales supere 0.1?

4. En una urna hay k bolas blancas y 5 bolas negras, donde 0 ≤ k ≤ 6. Se extraen 2bolas al azar sin reposicion, se las examina y se las repone en la urna. Sabiendo que las dosbolas examinadas resultaron blancas y usando el metodo de maxima verosimilitud estimar laprobabilidad de que al extraer nuevamente dos bolas al azar sin reposicion una sea blanca yla otra negra.

5. Se tiene una poblacion con distribucion U(θ, θ + 1). Basandose en el maximo de unamuestra de tamano 3, M := max(X1, X2, X3), disenar una regla de decision de nivel designificacion 0.1, para verificar la hipotesis H0 : θ ≤ 5 contra H1 : θ > 5. Graficar la curvacaracterıstica operativa correspondiente. ¿Que debe concluirse si en una muestra de tamano3 el valor maximo observado es igual a 5.5?

probabilidad y estad´ıstica coloquios 2008web.fi.uba.ar/~sebgryn/coloquios2008.pdfel valor de las...

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