tema 1. estad´ıstica descriptiva pedro faraldo roca...

Estadıstica y Metodologıa de la Investigacion. Curso 2012-2013

Grado en Enfermerıa

Tema 1. Estadıstica descriptiva

Pedro Faraldo Roca, Beatriz Pateiro Lopez

1 IntroduccionConceptos generales

2 Tablas de frecuencias

3 Representaciones graficasVariables cualitativasVariables cuantitativas discretasVariables cuantitativas continuas

4 Medidas caracterısticasMedidas de posicion de tendencia centralMedidas de posicion de tendencia no centralMedidas de dispersion absolutasMedidas de dispersion relativaMedidas de formaRepresentacion de medidas: Diagramas de caja (Boxplot)

5 Recta de regresion

IntroduccionConceptos generales

Ejemplo. Con objeto de hacer un estudio sobre la salud de los habitantes deuna ciudad con edades entre 18 y 60 anos, se recogen en un centro medico datossobre analisis realizados a 100 pacientes mayores de 18 anos y menores de 60 queaparentemente no presentan problemas de salud graves.

De los analisis realizados se obtienen: el sexo del paciente, el antıgeno del gruposanguıneo (A, B, AB o 0), el pH de la sangre y el acido urico, ademas de la edad.

Estadıstica y Metodologıa de la Investigacion. P. Faraldo, B. Pateiro Tema 1. Estadıstica descriptiva


Poblacion

Colectivo de individuos sobre los que se quiere extraer alguna conclusion.

Individuo

Cada uno de los elementos de la poblacion (unidad estadıstica).

Muestra

Subconjunto (representativo) de la poblacion, que seleccionamos con el objetivode extraer informacion.



En el ejemplo, la poblacion esta formada por los habitantes de la ciudad quetienen entre 18 y 60 anos. Cada uno de ellos es un individuo de la poblacion. Los100 pacientes sobre los que se recoge la informacion forman la muestra.



Estadıstica descriptiva

Tecnicas para describir y analizar un grupo de datos, utilizando metodos numeri-cos y graficos, sin extraer conclusiones (inferencias) sobre la poblacion a la quepertenecen.

Estadıstica inferencial

Es la parte de la Estadıstica que trata las condiciones bajo las cuales las inferenciasextraıdas a partir de una muestra son validas.

Variable estadıstica

Cada una de las caracterısticas consideradas con el proposito de describir a cadaindividuo de la muestra.



Tipo Clases Ejemplo

Cualitativa Nominal Sexo, raza, color de ojos,...Ordinal Grado de contaminacion, calificacion,...

Cuantitativa Discreta No de hermanos, no de materias, ...Continua Peso, altura, ...

Cuadro: Tipos de variables estadısticas.



Clasificamos las variables del ejemplo de tema.

- El sexo y el antıgeno del grupo sanguıneo son variables estadısticas cualitativas(nominales).

- El pH en sangre y el acido urico son variables cuantitativas continuas y la edades cuantitativa discreta.

- La edad como puede presentar muchos valores (desde 18 a 60, si se mide enanos), por lo que para su tratamiento podrıan utilizarse tecnicas propias de lasvariables cuantitativas continuas.


Tablas de frecuencias


Las tablas de frecuencias se utilizan para representar la informacion contenida enuna muestra de tamano n extraida de una poblacion, (x1, . . . , xn).

Modalidades

Cada uno de los valores que puede tomar una variable (cualitativa o cuantitativadiscreta). Se denotan como: ci , i = 1, . . . , k. El numero de individuos de la muestraen cada modalidad ci se denota por ni .



Modalidad Frecuencia Frecuencia Fr. abs. Fr. rel.absoluta relativa acumulada acumulada

c1 n1 f1 N1 F1

c2 n2 f2 N2 F2

......

......

...ci ni fi Ni Fi

......

......

...ck nk fk Nk = n Fk = 1

TOTAL n 1

Cuadro: Ejemplo de tabla de frecuencias.



Frecuencia absoluta:para cada modalidad ci , la frecuencia absoluta es ni , i = 1, . . . , k.

Frecuencia relativa:para cada modalidad ci , la frecuencia relativa esfi = ni/n, i = 1, . . . , k.

Frecuencia absoluta acumulada:la frecuencia absoluta acumulada de una modalidad ci esNi =

∑i

j=1 nj = n1 + . . .+ ni , i = 1, . . . , k.

Frecuencia relativa acumulada:la frecuencia relativa acumulada de una modalidad ci esFi =

∑i

j=1 fj = f1 + . . .+ fi =Ni

n, i = 1, . . . , k.



Propiedades de las frecuencias

1. Las frecuencias absolutas: 0 ≤ ni ≤ n, i = 1, . . . , k.

2. Las frecuencias relativas: 0 ≤ fi ≤ 1, i = 1, . . . , k.

3. Las frecuencias absolutas acumuladas: Nk =∑k

j=1 nj = n1 + . . .+ nk = n.

4. Las frecuencias relativas acumuladas: Fk =∑k

j=1 fj = f1 + . . .+ fk = 1



Para un grupo de 21 pacientes de la muestra, se tienen los siguientes datos sobreel antıgeno del grupo sanguıneo.

Paciente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11Grupo AB 0 A B 0 0 B A B 0 B

Paciente 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21Grupo A 0 0 A B B 0 0 0 AB

Para estos datos, podemos construir una tabla de frecuencias, calculando frecuenciasabsolutas y relativas, ası como las respectivas acumuladas. ¿Cual es la proporcion deindividuos con grupo A en la muestra? ¿Y con grupo A o B?



Intervalos de clase: para variables cuantitativas continuas, se agrupan los distintosvalores obtenidos en la muestra en intervalos. Cada intervalo representara una mo-dalidad en el caso de variables cuantitativas continuas.

1. Denotamos por e0 < e1 < . . . < ek los extremos de los k intervalos de clase.Ejemplo de intervalo: (ei−1, ei ).

2. Amplitud del intervalo: ai = ei − ei−1.

3. Marca de clase: ci =ei−1 + ei

2.

4. Algunas cuestiones sobre los intervalos de clase: ¿Cuantos intervalos podemosconstruir? ¿Siempre de la misma amplitud? ¿Donde empezamos?


Representaciones graficas

Metodos graficos para variables cualitativas

- Diagrama de barras

- Diagrama de sectores

Metodos graficos para variables cuantitativas discretas

- Diagrama de barras

- Diagrama acumulativo de frecuencias

Metodos graficos para variables cuantitativas continuas

- Histograma

- Diagrama de tallo y hojas


Representaciones graficasVariables cualitativas

Tuenti Facebook Twitter MySpace Otros

010

2030

4050

6070

Figura: Ejemplo de diagrama de barras.

- Eje horizontal: modalidades ci- Eje vertical: barras con altura ni o fi


Representaciones graficasVariables cualitativas

Tuenti

Facebook

Twitter

MySpace

Otros

Figura: Ejemplo de diagrama de sectores.

- Se representa un cırculo- Sectores proporcionales a ni o fi


Representaciones graficasVariables cuantitativas discretas

0 1 2 3 4 5

010

2030

−1 0 1 2 3 4 5 60

2040

6080

100

Nº de hijos

Figura: Diagrama de barras y diagrama acumulativo de frecuencias para el numero de hijosde una familia.


Representaciones graficasVariables cuantitativas discretas

−1 0 1 2 3 4 5 6

020

4060

8010

0

Nº de hijos

Figura: Diagrama acumulativo defrecuencias para el numero de hijos deuna familia.

- Eje horizontal: modalidades ci- Se representan los puntos (ci ,Ni ) o

(ci ,Fi )- Se unen escalonadamente


Representaciones graficasVariables cuantitativas continuas

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Figura: Ejemplo de histograma.

- Eje horizontal: intervalos de clase- Barras contiguas- Altura hi = ni/ai o hi = fi/ai



Figura: Ejemplo de diagrama de tallo yhojas.

- Tallo: seleccionamos cifras significativas- Hojas: se escribe la siguiente cifra



Para representar las observaciones de las variables del ejemplo debemos tener encuenta si son cualitativas o cuantitativas.

- El sexo y el antıgeno del grupo sanguıneo pueden representarse utilizando undiagrama de barras o un diagrama de sectores.

- Para el pH en sangre y el acido urico se puede utilizar un histograma o undiagrama de tallo y hojas.

- La edad, cuantitativa discreta, puede representarse con un diagrama de barrassi no toma muchos valores distintos.


Medidas caracterısticasMedidas de posicion de tendencia central

Media aritmetica

x =x1 + . . .+ xn

n=

∑n

i=1 xi

n

Propiedades de la media:

1 Entre el mınimo y el maximo:

mın{x1, . . . , xn} ≤ x ≤ max{x1, . . . , xn}

2 Linealidad.



Mediana

Si los datos estan ordenados de menor a mayor, la mediana es el valor hasta el cualse encuentran el 50% de los casos.

- Si n es impar, la mediana sera el dato central.- Si n es par, entonces se tomara como mediana la media de los dos datos

centrales.

La mediana, a diferencia de la media, es una medida robusta ya que su valor se vepoco afectado por la presencia de datos atıpicos



Moda

Para variables discretas o cualitativas, la moda es el valor o valores que mas serepiten.

- La moda no tiene porque ser unica.- Si los datos se encuentran agrupados, se puede obtener el intervalo modal

como aquel que tiene una mayor frecuencia.


Medidas caracterısticasMedidas de posicion de tendencia no central

Cuartiles: los cuartiles Q1, Q2 y Q3 dividen la muestra en cuatro partes iguales.

Deciles: d1, . . . , d9 dividen la muestra el 10 partes iguales (intervalos del10%).

Percentiles: p1, . . . , p99 dividen la muestra el 100 partes iguales (intervalos del1%)

Cuantiles: en general, para cualquier 0 < p < 1.


Medidas caracterısticasMedidas de posicion de tendencia no central

De los datos de pH para 10 pacientes,

pH 7.29 7.36 7.40 7.41 7.347.36 7.36 7.40 7.46 7.43

obten medidas de centralizacion.


Medidas caracterısticasMedidas de dispersion absolutas

Varianza y desviacion tıpica

s2 =(x1 − x)2 + . . .+ (xn − x)2

n=

1

n

n∑

i=1

(xi − x)2

s =

√

(x1 − x)2 + . . .+ (xn − x)2

n=

√

√

√

√

1

n

n∑

i=1

(xi − x)2

Propiedades de la varianza:

1 Valores no negativos

2 No linealidad

3 Otra forma de calcular:

s2 =1

n

n∑

i=1

x2i − x2



Otras medidas de dispersion absolutas

Rango muestral: max{xi} − mın{xi}

Rango intercuartılico: Q3 − Q1



De los datos de pH para 10 pacientes,

pH 7.29 7.36 7.40 7.41 7.347.36 7.36 7.40 7.46 7.43

obten medidas de dispersion.


Medidas caracterısticasMedidas de dispersion relativa

Coeficiente de variacion

El coeficiente de variacion es una medida de dispersion relativa (no depende de lasunidades de los datos):

CV =s

x

Resulta adecuada para comparar variables o mediciones de una variable en distintosgrupos.



En un grupo de varones mayores de 65 anos, el acido urico medio es de 6.5mg/dly la varianza 9.2(mg2/dl2). Para un grupo de mujeres de esa edad, la media es de4.5mg/dl, con varianza 4.3 (mg2/dl2). ¿Cual de los grupos presenta una mayorvariacion?



Un matrimonio coincide en el estudio. Para el se registra una concentracion de acidourico de 7.2mg/dl, mientras que para ella es de 6.2mg/dl. ¿Cual de ellos presenta unvalor mas alto, dentro de su grupo?



Tipificacion de datos

Si tenemos una muestra x1, . . . , xn con media x y varianza s2, los datos tipificadosse construyen como:

zi =xi − x

s

La muestra resultante z1, . . . , zn tendra media 0 y varianza 1. La tipificacion dedatos permite comparar la posicion relativa de las observaciones dentro de cadagrupo.



En el grupo de los varones registrabamos una media de 6.5mg/dl con unadesviacion tıpica de 3.03mg/dl. ¿Entre que dos valores tenemos, al menos, el 75%de los individuos?

Desigualdad de Tchebychev

En el intervalo(x − ks, x + ks)

tenemos, al menos, el 100(1− 1/k2)% de los datos.


Medidas caracterısticasMedidas de forma

Medidas de forma

- Referencia: campana de Gauss- Asimetrıa y curtosis



Coeficiente de asimetrıa de Fisher

Toma valor 0 cuando la distribucion de los datos es simetrica con respecto a lamedia.

γF =1

s3(x1 − x)3 + . . .+ (xn − x)3

n=

1

s31

n

n∑

i=1

(xi − x)3.

- Valores positivos: asimetrıa positiva- Valores negativos: asimetrıa negativa



Coeficiente de curtosis

El coeficiente de curtosis mide el grado de apuntamiento de la distribucion.

γC =1

s4(x1 − x)4 + . . .+ (xn − x)4

n=

1

s41

n

n∑

i=1

(xi − x)4

- Valores > 3: distribucion leptocurtica (apuntada)- Valores < 3: distribucion platicurtica (achatada)


Medidas caracterısticasRepresentacion de medidas: Diagramas de caja (Boxplot)

El diagrama de caja se construye a partir de las siguientes medidas:

- El primer y el tercer cuartil, Q1 y Q3, que delimitan la caja central. La longitudde la caja viene dada por el RIC , que es una medida de dispersion absoluta.

- Los lımites inferior y superior se calculan como:

LI = max{mın{xi},Q1 − 1.5(Q3 − Q1)},

LS = mın{max{xi},Q3 + 1.5(Q3 − Q1)}.

- La mediana (Q2) se representa con una lınea horizontal en la caja central.


Medidas caracterısticasRepresentacion de medidas: Diagramas de caja (Boxplot)

−2

−1

01

23

−2 −1 0 1 2 30.

00.

10.

20.

30.

40.

5

Figura: Ejemplo de diagrama de caja e histograma correspondiente.


Recta de regresion

Ejemplo. Un grupo de cientıficos pretende estudiar el efecto de cierto antibioticosobre una especie de bacterias. Su objetivo final es describir el tiempo de super-vivencia de una colonia en funcion de la concentracion de antibiotico administrado(mg/l). Se probaron cinco concentraciones diferentes, midiendo despues el tiempo desupervivencia de las bacterias (min).

Concentracion Tiempo

7 1312 915 1018 825 6


Recta de regresion

¿Como describimos los datos del ejemplo?

i) Una representacion grafica.

ii) Un analisis descriptivo de cada variable.

¿Como cumplimos el objetivo?

i) Estudiando la relacion entre las variables.

ii) Construyendo una recta de regresion.


Recta de regresion

Las parejas de datos datos (xi , yi ) con i = 1, . . . , n, de las dos variables (X ,Y )(tambien llamada variable bidimensional), se pueden representar a partir de unanube de puntos o diagrama de dispersion.

10 15 20 25

67

89

1011

1213

Diagrama de dispersión

Concentración (mg/l)

Tie

mpo

(m

in)

¿Que podemos observar en el grafico?


Recta de regresion

Para cada variable tenemos una muestra de n = 5 datos:

x =

∑n

i=1 xi

n=

7 + 12 + 15 + 18 + 25

5= 15.4 mg/l , y = 9.2 min

Tambien calculamos la varianza de cada una:

s2x =

∑n

i=1 x2i

n− x2 = 273.4− 15.42 = 36.24, s2y = 5.36

Las desviaciones tıpicas valen:

sx = 6.02 mg/l , sy = 2.32 min


Recta de regresion

Covarianza

La covarianza entre dos variables Sxy es una medida que indica la variabilidadconjunta de X e Y y calcula como:

Sxy =1

n

n∑

i=1

(xi − x)(yi − y) =1

n

n∑

i=1

xiyi − x · y

En nuestro ejemplo:Sxy = −13.08 mg/l ·min


Recta de regresion

−3 −2 −1 0 1 2 3

−8

−6

−4

−2

02

46

Relación directa

−3 −2 −1 0 1 2 3−

8−

6−

4−

20

24

6

Relación inversa

Figura: Ejemplo de diagramas de dispersion. Relaciones directa e inversa.


Recta de regresion

Relacion entre variables y signo de la covarianza

a) Si la relacion entre las variables es directa, entonces Sxy > 0.

b) Si la relacion entre las variables es inversa, entonces Sxy < 0.

c) Si no hay relacion lineal entre las variables, entonces Sxy = 0.


Recta de regresion

Coeficiente de correlacion lineal

A partir de una muestra de datos {(xi , yi )}ni=1, el coeficiente de correlacion lineal

se calcula como:

r =Sxy

sxsy,

donde Sxy es la covarianza muestral y sx , sy son las respectivas desviaciones tıpicasmuestrales.

- No tiene dimensiones- Toma valores en [−1, 1]- Si no existe relacion lineal entre las variables, r = 0


Recta de regresion

En nuestro ejemplo:

r =−13.08

6.02 · 2.32= −0.94


Recta de regresion

Recta de regresion

La recta de regresion de Y sobre X tendra la siguiente expresion:

y = a+ bx ,

donde a representa la ordenada en el origen o intercepto y b es la pendiente. Xse denomina variable explicativa o independiente e Y sera la variable respuesta, ovariable dependiente.

En nuestro ejemplo, vamos a buscar una formula que nos permita calcular eltiempo de supervivencia a partir de la concentracion de antibiotico:

Tiempo = a + b · Conc ⇔ y = a+ bx


Recta de regresion

10 15 20 25

67

89

1011

1213

¿Recta?


Tie

mpo

(m

in)

Figura: ¿Que recta escogerıas?


Recta de regresion

10 15 20 25

67

89

1011

1213

¿Recta?


Tie

mpo

(m

in)

10 15 20 256

78

910

1112

13

¿Recta?


Tie

mpo

(m

in)

Figura: Recta ajustada.


Recta de regresion

10 15 20 25

67

89

1011

1213

Residuos


Tie

mpo

(m

in)

Figura: Recta ajustada y residuos.


Recta de regresion

Idea

En la practica, a partir de los datos {(xi , yi )}ni=1 podremos calcular los valores de

a y b. El objetivo sera obtener los valores a y b que nos proporcionen los residuosmas pequenos.

Residuos

Los residuos son las diferencias entre los valores observados de la variable respuestayi y los valores que proporciona el ajuste yi = a + bxi y vienen dados por:

ei = yi − yi = yi − a − bxi , i = 1, . . . , n


Recta de regresion

Metodo de Mınimos Cuadrados

Consiste en minimizar la suma de los cuadrados de los residuos, por lo que sebuscan los valores a y b que minimizan:

n∑

i=1

e2i =n

∑

i=1

(yi − a− bxi )2

A partir del Metodo de Mınimos Cuadrados, se obtienen los valores para a y b:

b =Sxy

s2x, a = y − bx


Recta de regresion

En nuestro ejemplo:

b =−13.08

36.24= −0.36, a = 9.2− 0.36 · 15.4 = 14.76

Entonces, la recta ajustada sera:

Tiempo = 14.76− 0.36 · Conc ⇔ y = 14.76− 0.36x


Recta de regresion

Coeficiente de regresion

Se denomina coeficiente de regresion a la pendiente (parametro b) de la recta deregresion de Y sobre X .

a) Si b > 0, al aumentar los valores de X tambien aumentan los valores de Y .

b) Si b < 0, al aumentar X , los valores de Y disminuyen.


Recta de regresion

¿Que podemos decir del ejemplo?

a) Covarianza: Sxy = −13.08 mg/l ·min. Tenemos una relacion inversa entrelas variables.

b) Correlacion lineal: r = −0.94. Existe una relacion lineal inversa.

c) La recta ajustada es:y = 14.76− 0.36x

d) Coeficiente de regresion: b = −0.36. Al aumentar la concentracion,disminuye el tiempo de supervivencia de las bacterias.

e) ¿Y el ajuste es bueno?


Recta de regresion

Coeficiente de determinacion

Una medida para el ajuste del modelo es el coeficiente de determinacion (r 2) quemide la proporcion de variabilidad de Y que explica X a traves de la recta deregresion.

Es el cuadrado del coeficiente de correlacion.

Toma valores entre 0 y 1.

Valores cercanos a 1 indican un buen ajuste.

En nuestro ejemplo:r 2 = 0.88.


Recta de regresion

¿Para que podemos utilizarlo?

Concentracion 7 12 15 18 25Tiempo 13 9 10 8 6

i) ¿Podemos pensar, a partir de los resultados anteriores, que el tiempo desupervivencia de las bacterias disminuye al aumentar la concentracion deantibiotico?

ii) Si repetimos el experimento con una concentracion de 20 mg/l,¿que prediccion podemos hacer sobre el tiempo de supervivencia?Respuesta: y = 14.76− 0.36 · 20 = 7.54 min


Recta de regresion

Recta de regresion de X sobre Y

La recta de regresion de X sobre Y se calcula como:

X = c + dY , d =Sxy

s2y, c = x − dy

- Si conocemos el valor de Y , para hacer predicciones sobre X utilizamos estarecta.

- La variabilidad explicada (r 2) es la misma para ambas rectas.- Pasa por el vector de medias (y , x).


tema 1. estad´ıstica descriptiva pedro faraldo roca...

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