Introducao a probabilidade e estatıstica I

Nocoes de Conjuntos e Contagem

Prof. Alexandre G PatriotaSala: 298A

Email: patriota@ime.usp.brSite: www.ime.usp.br/∼patriota

Topicos estudados

I Tipos de variaveis (qualitativas, quantitativas);

I Medidas resumo para dados qualitativos (tabelas defrequencias e graficos de barras) ;

I Medidas resumo para dados quantitativos (media, mediana,quantis, variancia, assimetria, histograma) ;

I Analise bivariada para dados qualitativos e quantitativos(estatıstica χ2, graficos de dispersao, regressao, correlacao)

A seguir estudaremos:

I Notacao preeliminar, nocoes de conjuntos e contagem

I Probabilidade

Nocoes de conjuntos

Informalmente, um conjunto e uma lista de elementos quepossuem alguma caracterıstica em comum.

Por exemplo,

1. A = 1, 2, 3, 4, 5;

2. B = x ∈ N; x e par;

3. C = x ∈ N; x e ımpar.

Os elementos dos conjuntos nao precisam ser necessariamentenumeros reais.

Notacao

Utilizaremos Ω para representar o conjunto universal em umadeterminada situacao. Ou seja, o conjunto que contem todos oselementos de interesse.

A ⊆ B significa que todos os elementos de A tambem saoelementos de B. Diremos que A e um subconjunto de B.

Todos os subconjuntos de Ω podem ser escritos da seguinte forma

A = x ∈ Ω; x tem a propriedade π

Em probabilidade diremos que Ω e o espaco amostral (o conjuntoque contem todos os possıveis resultados de um experimento).Exemplo, na jogada de uma moeda temos Ω = cara, coroa. Umsubconjunto de Ω e dito ser um evento.

Notacao

Sejam A e B dois subconjuntos quaisquer de Ω, A,B ⊂ Ω.

I x ∈ A significa “x e um elemento de A”;

I #A denotara o numero de elementos de A;

I x 6∈ A significa “x NAO e um elemento de A”;

I Ac = x ∈ Ω; x 6∈ A e o conjunto de elementos que naoestao em A, mas estao no conjunto universal Ω. Diremos: Ac

e o complementar de A.

I ∅ representa o conjunto que nao tem elementos, ∅ = .

Notacao

I A ∪ B = x ∈ Ω; x ∈ A ou x ∈ B e o conjunto de elementosque estao em A ou em B.

I A ∩ B = x ∈ Ω; x ∈ A e x ∈ B e o conjunto de elementosque estao em A e em B simultaneamente.

I A ∩ Bc = x ∈ Ω; x ∈ A e x 6∈ B e o conjunto de elementosque estao em A e nao estao em B. Tambem conhecido comoconjunto diferenca: A ∩ Bc = A− B.

I A diferenca simetrica entre A e B e definida porA4 B = (A− B) ∪ (B − A)

PropriedadesSeja A,B ⊆ Ω, entao

I A ∩ Ac = ∅,

I Se C ⊆ Ac , entao A ∩ C = ∅,

I Se C ⊆ A, entao A ∩ C = C e A ∪ C = A,

I A ∪ Ac = Ω,

I A ∩∅ = ∅,

I A ∪∅ = A,

I (A ∩ B) ∩ (B − A) = ∅I (A ∩ B) ∩ (A− B) = ∅I (A− B) ∩ (B − A) = ∅.

I (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc

I (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc

Ver o diagrama de Venn. Mostre essas proproedades utilizando asobservacoes do proximo slide.

Observacoes

I Para mostrar que A ⊆ B, deve-se mostrar que

x ∈ A⇒ x ∈ B,

ou seja, se um elemento x pertence ao conjunto A, entao estemesmo elemento deve pertencer ao conjunto B.

I Para mostrar que A = B, deve-se mostrar que A ⊆ B e B ⊆ A

I Para mostrar que A ∩ B = ∅ basta mostrar que A ⊆ Bc ouque B ⊆ Ac .

Notacao

Considere os n seguintes conjuntos A1,A2,A3, . . . ,An.

A uniao e interseccao destes conjuntos serao representadas,respectivamente, por

n⋃i=1

Ai = A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An

en⋂

i=1

Ai = A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An

Conjuntos disjuntos

Diremos que A e B sao disjuntos se A ∩ B = ∅.

De forma geral, diremos que A1,A2, . . . ,An sao disjuntosdois-a-dois se Ai ∩ Aj = ∅ para todo i 6= j .

Particao: diremos que A1,A2, . . . ,An formam uma particao de Ase forem disjuntos dois-a-dois e

n⋃i=1

Ai = A.

Tambem diremos que A foi particionado por A1,A2, . . . ,An.

(sera utilizado no principio aditivo da contagem)

Produto cartesiano

O produto cartesiano entre dois conjuntos A e B e definido por

A× B = (a, b); a ∈ A, b ∈ B

Por exemplo, se A = 1, 2, 3, 4, 5 e B = 0, 2, entao o produtocartesiano e

A×B = (1, 0), (1, 2), (2, 0), (2, 2), (3, 0), (3, 2), (4, 0), (4, 2), (5, 0), (5, 2)

De maneira geral, o produto cartesiano de n conjuntosA1,A2, . . . ,An e definido por

A1×A2×. . .×An = (a1, a2, . . . , an); a1 ∈ A1, a2 ∈ A2, . . . , an ∈ An

(sera utilizado no principio multiplicativo da contagem)

Plano cartesiano

O plano cartesiano e formado pelo conjunto

R2 = R× R = (x , y); x ∈ R, y ∈ R.

Contagem

Nas proximas exposicoes estaremos interessados em calcular #A (onumero de elementos do conjunto A), sendo:

A = x ∈ Ω; x tem a propriedade π.

Sabendo o numero de elementos do conjunto A nos auxiliara acalcular a probabilidade de ocorrencia de um evento. Aprobabilidade de um evento e inicialmente definida por

P(A) =#A

#Ω,

ou seja, saber tecnicas de contagem e fundamental para calcularprobabilidades de eventos.

Tecnicas de contagem

Basicamente as tecnicas de contagem se baseiam em doisprincıpios:

I Princıpio aditivo

I Princıpio multiplicativo

Porem o princıpio multiplicativo pode ser obtido a partir doprincıpio additivo.

Princıpio aditivo

Se A e B sao disjuntos tais que A tem p elementos e B tem qelementos.

O princıpio aditivo nos diz que o numero de elementos de A ∪ B ep + q, ou seja,

#(A ∪ B) = #A + #B = p + q.

De maneira geral, se A1,A2, . . . ,An sao disjuntos dois-a-dois taisque #Ai = pi para todo i = 1, . . . , n, entao o princıpio da adicaodiz que

#

( n⋃i=1

Ai

)=

n∑i=1

pi .

Exemplo

Sejam A = 1, 2, 3, B = 7, 10, 15 e C = 2, 3, 4, 5, 8, entao

A ∪ B = 1, 2, 3, 7, 10, 15, A ∪ C = 1, 2, 3, 4, 5, 8

B ∪ C = 2, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 15

Como A e B sao disjuntos podemos aplicar o princıpio aditivo:#A = 3 e #B = 3, entao #(A ∪ B) = 6.

Como B e C sao disjuntos podemos aplicar o princıpio aditivo:#B = 3 e #C = 5, entao #(B ∪ C ) = 8.

Note que o princıpio aditivo nao pode ser aplicado paracalcular #(A ∪ C ) e #(A ∪ B ∪ C ). Veremos adiante uma formade contornar este problema.

Princıpio da inclusao-Exclusao

Sejam A ⊂ Ω e B ⊂ Ω dois conjuntos quaisquer, entao

#(A ∪ B) = #(A) + #(B)−#(A ∩ B)

Prove utilizando o princıpio aditivo e propriedades de particoes.

Princıpio multiplicativoSejam A = a1, . . . , ap e B = b1, . . . , bq, observe que

#(A× B) = pq,

pois para cada elemento de A temos associados q elementos doconjunto B.

De maneira similar, para cada elemento de B temos associados pelementos de A, portanto

#(B × A) = qp,

De maneira geral, se #Ai = pi para i = 1, . . . , n, entao

#(A1 × . . .× An) =n∏

i=1

pi

Relacao entre os princıpios

Note que e possıvel provar a igualdade #(A× B) = pq utilizandoo princıpio aditivo.

Podemos escrever o produto carteriano de A e B como a uniao deconjuntos disjuntos (ver o grafico)

A× B =

p⋃i=1

(ai × B),

Observe que (a1 × B), (a2 × B), . . ., (an × B) saoconjuntos disjuntos (ver o grafico). Agora podemos utilizar oprincıpio aditivo:

#(A× B) =

p∑i=1

#(ai × B) =

p∑i=1

q = pq

ExemploNuma sala ha 10 homens e 15 mulheres. De quantas formaspodemos formar um casal Homem-Mulher?

R: 10 vezes 15 = 150. A justificativa esta abaixo:

Seja o conjunto dos homens H = h1, . . . , h10 e o conjuto dasmulheres M = m1,m2, . . . ,m15, o conjunto que descreve todosos casais possıveis e o produto cartesiano

H ×M =10⋃i=1

hi ×M

ou seja, hi ×M = (hi ,m1), (hi ,m2), . . . , (hi ,m15) e oconjunto de casais formado pelo homem hi com todas as mulheres.Note que

#(hi ×M) = 15

logo#(H ×M) = 10 · 15 = 150

Exercıcios

Se eu moro na cidade A e gostaria de chegar a cidade E , porempara chegar em E temos que passar necessariamente por B, C e Dnessa ordem.

De A para B existem p1 caminhos possıveis, de B a C existem p2caminhos possıveis, de C a D existem p3 caminhos possıveis, de Da E existem p4 caminhos.

Quantos caminhos existem de A a E? justifique utilizando osprincipios basicos.

Exercıcios

1. Quantos subconjuntos possui um conjunto que tem pelementos?

2. De quantos modos podemos arrumar 8 torres iguais em umtabuleiro de xadrez 8 por 8 de modo que nao haja duas torresna mesma linha nem na mesma coluna?

Justifique a resposta utilizando os principios basicos.

Permutacao

Dados n objetos distintos, de quantas formas podemosordena-los? n!

Cada ordenacao destes n objetos e chamada de “permutacaosimples”.

Exemplos:

1. Quantos sao os anagramas da palavra RAQUEL? 6!

2. Que comecam e terminam com vogais: 3x2x4!;

3. Que tenham as letras UEL juntas nessa ordem? 4!;

4. Que tenham as letras UEL juntas em qualquer ordem? 3!x4!

Permutacoes de elementos nem todos distintos

Quantos anagramas possui a palavra “ALA”? 3!/2!

Quantos anagramas possui a palavra “ESTATISTICA”?11!/(3!2!2!2!)

De forma geral se temos n objetos dos quais α1 sao iguais a a1, α2

sao iguais a a2, e assim por diantes ate αk sao iguais a ak , entao onumero de permutacoes sera(

n

α1, α2, . . . , αk

)=

n!

α1!α2! . . . αk !

Combinacoes simples

De quantos modos podemos escolher p objetos distintos entre nobjetos distintos dados?

Ou, se forma equivalente: quantos subconjuntos de p elementospodemos podemos fazer com o conjunto a1, a2, . . . , an, p ≤ n.

Note que a ordem dos elementos dentro do conjunto nao importa,ou seja a1, a2 e o mesmo conjunto que a2, a1.

Exemplo: Seja o conjunto a1, a2, a3, a4, quantos subconjuntos dedois elementos podemos fazer?

Combinacoes simples

De forma geral:

Do conjunto a1, a2, . . . , an podemos fazern(n − 1)(n − 2) . . . (n − p + 1) anagramas.

Precisamos dividir agora por p! para retirar as permutacoes dasletras.

Cn,p =

(n

p

)=

n(n − 1)(n − 2) . . . (n − p + 1)

p!=

n!

p!(n − p)!