Facultad de Ingenierıa UBA

Probabilidad y Estadıstica

Guıa de Ejercicios

Segundo Cuatrimestre del 2010

Version 1.1

Glosario de sımbolos

Ï : El ejercicio requiere simulacion con computadora.

! : Alto. Estos ejercicios son importantes, pudiendo ser o no difıciles de resolver.Se recomienda fuertemente resolverlos.

A : “Siga siga”. Lea detenidamente el enunciado. Si cree entender que es lo quehay que hacer (ya ha resuelto un ejercicio previamente de espıritu similar), pase alsiguiente. Ante la duda, resuelvalo.

: Curva peligrosa. Estos ejercicios pueden ser mas difıciles de lo que parecen

a simple vista, o por el contrario, si se miran bien resultan mas faciles de lo queparecen.

h : Ejercicios muy difıciles.

O : Solo para audaces. Viaje de ida al paraıso o al infierno.

Guıa 1

1.1 En una universidad se obtuvo la siguiente informacion: el 74% de las chicastienen cabello oscuro, ojos marrones o ambas cosas; el 60% tiene ojos marrones; yel 70% tiene cabello oscuro. ¿Que porcentaje de chicas tiene

(a) cabello oscuro y ojos marrones?

(b) solo cabello oscuro?

(c) solo ojos marrones?

(d) ninguna de las dos caracterısticas mencionadas?

1.2 Se hace una encuesta con un grupo de 1000 suscriptores a una revista. De lamisma resultan: 312 varones, 470 casados, 525 graduados universitarios, 42 varonesgraduados universitarios, 147 graduados universitarios casados, 86 varones casadosy 25 varones casados graduados universitarios. Mostrar que estos datos no sonconsistentes.

1.3 ! [DeGroot, pag. 42 ] En una ciudad se publican los periodicos A, B y C. El22% de la poblacion lee el periodico A, el 25% lee el B, y el 28% lee el C. El 11%de la poblacion lee los periodicos A y B, el 5% lee los periodicos A y C, y el 7%de la poblacion lee los periodicos B y C. Solo el 1% lee los tres periodicos. Hallarla probabilidad de que una persona de la poblacion (para cada caso representar loseventos en un diagrama de Venn)

(a) lea alguno de los periodicos A o B.

(b) no lea ni el periodico A ni el B.

(c) lea alguno de los tres periodicos.

(d) lea solo el periodico C.

(e) no lea ni el periodico A ni el B, o lea el C.

1.4 [Maronna, pag. 10 ]

(a) Una canasta roja contiene 5 botellas de champagne y 6 de vino comun, mientrasque una canasta blanca contiene 3 de champagne y 4 de vino. Se le ofrece a Ud.elegir una canasta y extraer al azar una botella de ella. ¿Cual canasta le convieneelegir si desea tomar champagne y no vino?

(b) Otra canasta roja contiene 6 botellas de champagne de primera y 3 de vino decuarta, mientras que otra canasta blanca tiene 9 de champagne y 5 de vino. ¿Decual le conviene extraer?

(c) Los contenidos de las dos canastas blancas se unen y lo mismo se hace con losde las dos rojas. ¿De cual le conviene extraer ahora? (el resultado es un ejemplo dela llamada paradoja de Simpson)

1.5! Sea Ω t1, 2, 3, 4, 5u. Definimos en los subconjuntos A Ω una probabilidadP mediante PpAq °iPA pi, donde p1 0.1, p2 0.2, p3 0.3, p4 0.05, p5 0.35.Sea A t1, 5u.(a) Calcular PpAq.(b) Hallar, si existe, un evento B Ω tal que A B y PpBq 0.65.

(c) Hallar todos los eventos C tales que PpAX Cq 0 y PpCq 0.3.

(d) Hallar todos los eventos D tales que AXD H y PpAYDq ¥ 0.6.

(e) Repetir los incisos anteriores si Ω t1, 2, 3, 4, 5, 6u, con p6 0, y A t1, 5, 6u.1.6 Se tienen dos urnas a y b. En a hay 3 bolas rojas y 2 blancas, y en b hay 2 rojasy 5 blancas. Si se extraen al azar una bola de cada urna, hallar la probabilidad deque

(a) ambas sean blancas.

(b) ambas sean del mismo color.

(c) sean de distinto color.

(d) la bola extraıda de la urna a sea blanca.

1.7 Cada noche despues de cenar, el matrimonio Galındez tira 4 dados. Si no saleningun 6, le toca al Sr. Galındez lavar los platos. En caso contrario, a su esposo.En promedio, ¿quien lava los platos mas seguido?

1.8 Un dado equilibrado se arroja dos veces. Hallar la probabilidad de que

(a) los dos resultados sean iguales.

(b) los dos resultados sean distintos y su suma no supere 9.

(c) la suma de los resultados sea 10.

(d) el primer resultado sea inferior a 4 y el segundo sea impar.

(e) el modulo de la diferencia de los resultados sea 1.

1.9 ! Sea Ω r0, 1s r0, 1s el cuadrado unitario. Consideraremos eventos a lossubconjuntos Λ Ω que admiten area |Λ|, y definimos PpΛq |Λ|.(a) Sea A tpx, yq P Ω : x y ¤ 1u. Hallar PpAq.(b) Sea B tpx, yq P Ω : x2 y2 ¤ 1u. Hallar PpBq.(c) Sean, para k 1, 2, . . ., Ck tpx, yq P Ω : x y ¤ 12 1ku. Hallar PpCkq yPp8

k1 Ckq.(d) Sean, para k 1, 2, . . ., Dk tpx, yq P Ω : px 12q2 py 12q2 ¤ 1k2u yD 8

k1Dk. Hallar PpDkq y PpDq.(e) Suponer que Ω modela un blanco cuadrado al que se dispara un dardo, y PpΛqes la probabilidad de que el dardo se clave en la zona del blanco descrita por Λ.¿Como se describirıan en terminos de lo que pasa con el dardo los eventos Dk y Ddel inciso anterior?

1.10 ! [Feller, pag. 18 y 24 ] Juan, Pedro y Marıa juegan al ping-pong. El quegana un partido sigue jugando, mientras que el que lo pierde es reemplazado porel que no jugaba. El primer partido es entre Juan y Marıa. Se gana una cerveza elprimero que gana dos partidos seguidos, completando ası un juego.

Para cada k, asignamos a cada juego posible que dura exactamente k partidos,la probabilidad 1

2k. Si describimos un juego indicando la secuencia de ganadores

mediante la de sus iniciales, el juego JPMM tendra probabilidad 116, el juegopMPJq6MPP (dejamos a cargo del lector la interpretacion de la notacion) proba-bilidad 1

221 .

(a) Describir un espacio muestral para los resultados del juego. (sugerencia: analizarlas secuencias posibles usando la notacion ya introducida)

(b) Hallar las probabilidades de que cada uno de los jugadores Juan, Marıa o Pedrose tome la cerveza.

(c) Hallar la probabilidad de que el juego dure para siempre sin que nadie se ganela cerveza.

1.11 Se sortea un numero al azar dentro del intervalo r0, 1s.(a) Hallar la probabilidad de que los primeros tres dıgitos sean 1, 2, 2 (es decir,0.122 . . .).

(b) Hallar la probabilidad de que el 8 no este entre los primeros 5 dıgitos.

(c) Hallar la probabilidad de que el 7 no sea uno de sus dıgitos.

1.12 Se tiene un naipe espanol de 40 cartas.

(a) Se extraen al azar con reposicion tres cartas. Hallar

1. la probabilidad de que las tres sean de oro.2. la probabilidad de que las tres sean del mismo palo.3. la probabilidad de que las tres sean iguales.4. la probabilidad de que las tres sean de palos diferentes.

(b) Hallar cada una de las probabilidades del inciso anterior, suponiendo que laextraccion se hace sin reposicion.

1.13 [Feller, pag. 56 ] La encargada del edificio donde viven otras 40 personas echaa rodar un rumor. A la manana temprano se lo dice a una vecina, quien a su vezlo repite a una tercera, etcetera. En cada paso el emisor del rumor elige al azar alreceptor entre los restantes 40 habitantes del edificio.

(a) Hallar la probabilidad de que el rumor se transmita 15 veces sin retornar a laencargada que lo origino.

(b) Hallar la probabilidad de que el rumor se transmita 15 veces sin que ningunapersona lo reciba mas de una vez.

1.14 Una planta de ensamblaje recibe una partida de 100 piezas de precision queincluye exactamente k defectuosas. La division de control de calidad elige 10 piezasal azar para controlarlas y rechaza la partida si encuentra al menos 2 defectuosas.

(a) Si k 8, ¿cual es la probabilidad de que la partida pase la inspeccion?

(b) ¿Como se comporta la probabilidad ppkq de que la partida pase la inspeccion?

(c) ¿Cual es la maxima probabilidad de aceptar una partida que contenga mas de20 piezas defectuosas?

1.15 ! [Feller, pag. 38-42 ] Se arrojaran 17 bolas en 20 urnas.

(a) [Maxwell-Boltzmann] Suponiendo que las bolas son distinguibles y que todaslas configuraciones diferentes son equiprobables.

Calcular la probabilidad de que las 17 bolas caigan en la primera urna.Calcular la probabilidad de que 10 bolas caigan en la primera urna y 7 en lasegunda. ¿Son iguales las probabilidades calculadas?Calcular la probabilidad de que 5 bolas caigan en la primer urna, 3 en lasegunda y 9 en la tercera.Calcular la probabilidad de que no caigan bolas en las tres ultimas urnas.

(b) [Bose-Einstein] Suponiendo que las bolas son indistinguibles y que todas lasconfiguraciones distintas son equiprobables.

Calcular la probabilidad de que las 17 bolas caigan en la primer urna. Cal-cular la probabilidad de que 10 bolas caigan en la primer urna y 7 en lasegunda. ¿Son iguales las probabilidades calculadas?Calcular la probabilidad de que 5 bolas caigan en la primer urna, 3 en lasegunda y 9 en la tercera.Calcular la probabilidad de que no caigan bolas en las tres ultimas urnas.

(c) [Fermi-Dirac] Suponiendo que las bolas son indistinguibles, que ninguna ur-na puede contener mas de una bola y que todas las configuraciones distintas sonequiprobables.

Calcular la probabilidad de que las 17 bolas caigan en la primer urna. Cal-cular la probabilidad de que 10 bolas caigan en la primer urna y 7 en lasegunda. ¿Son iguales las probabilidades calculadas?Calcular la probabilidad de que no caigan bolas en las tres ultimas urnas.

1.16 ! Ï Simulacion de experimentos aleatorios. Sea Ω tω1, ω2, . . . , ωnu elespacio muestral correspondiente a un experimento aleatorio. Suponga que cadapunto ωk P Ω tiene asignada la probabilidad pk. Definimos el siguiente mecanismopara simular el experimento.

Sean a0 0, ai °i

k1 pk. Subdividimos el intervalo p0, 1s en los n intervalosIi pai1, ais, i 1, , n. Observar que

ni1 Ii p0, 1s, y que la longitud

de Ii es pi.Dado un numero aleatorio U P p0, 1s, determinamos a cual de los intervalosIi pertenece, y consideramos que el resultado simulado de la realizacion delexperimento ha sido ωi.

Si queremos simular m realizaciones del experimento, usaremos m veces el meca-nismo anterior, cada vez con un nuevo numero aleatorio U .

(a) Dados los numeros aleatorios 0.2, 0.7, 0.9, 0.1, simular el resultado de 4 tiradassucesivas de un dado equilibrado.

(b) Mediante diez mil simulaciones estimar la probabilidad de que al arrojar 2 dadosequilibrados la suma de los resultados sea menor que 11. Comparar la estimacionobtenida con el valor verdadero de la probabilidad.

1.17Ï Mediante 20 simulaciones estimar las siguientes probabilidades

(a) Obtener al menos un as en seis tiros de un dado.

(b) Obtener al menos dos ases en doce tiros de un dado.

(c) De acuerdo con los resultados, si se quiere apostar a uno de los resultados, ¿cualde las dos apuestas es mas conveniente?

(d) Repetir los incisos anteriores mediante 10000 simulaciones.

1.18 Un dado equilibrado se arroja dos veces. Hallar la probabilidad de que la sumasupere 10 sabiendo que

(a) la primer tirada es un 5.

(b) la primer tirada es mayor a 3.

(c) la primer tirada es menor que 5.

(d) la suma de los resultados supera 9.

(e) el modulo de la diferencia de los resultados es 1.

1.19 En el contexto del Ejercicio 1.3, hallar la probabilidad de que (para cadacaso representar los eventos en un diagrama de Venn)

(a) si una persona lee el periodico B, no lea el A.

(b) si una persona lee el periodico C, lea ademas el A.

(c) una persona lea el periodico B, si no lee ni el A ni el C.

(d) una persona que lee el periodico C, no lea ninguno de los otros dos.

(e) si una persona lee solo un periodico, que sea el periodico A.

(f) una persona lea los periodicos A y C, si solo lee dos periodicos.

1.20 La figura siguiente representa el mapa de una localidad turıstica de 40 man-zanas situada en la costa atlantica.

Un paseo desde el hotel, situado en el punto H, hasta el puerto de pescadores,situado en el punto P , es una sucesion de 14 cuadras –dentro de la localidad–recorridas hacia la izquierda o hacia abajo (ver la figura). Se elige al azar un paseo

desde el hotel hasta el puerto de pescadores (esto es, todos los paseos tienen lamisma probabilidad de ser elegidos).

(a) Calcular la probabilidad de pasar por el quiosco de diarios y revistas situadoen el punto Q.

(b) Sabiendo que se paso por el cafe situado en el punto C, hallar la probabilidadde haber pasado por el quiosco de diarios y revistas.

1.21 Rodriguez y Rivas juegan una partida de truco. Se asume que el mazo seencuentra bien mezclado. Se reparte una mano de cartas (tres a cada uno).

(a) Hallar la probabilidad de que Rodriguez tenga flor (tres cartas del mismo palo).

(b) Mostrar que el resultado anterior no se ve afectado por la forma de repartir lascartas (una y una por vez, o tres para uno y luego tres para el otro).

(c) ¿Cual es la probabilidad de que Rivas tenga flor?

(d) Hallar la probabilidad de que ambos tengan flor.

(e) Comparar el valor de la probabilidad hallada en Inciso (a) con el de la proba-bilidad de que Rodriguez tenga flor si se sabe que Rivas la tiene.

1.22 En una urna hay una bola verde y dos bolas rojas. En cada paso se extraeuna bola al azar y se la repone junto con otra del mismo color.

(a) Calcular la probabilidad de que al finalizar el segundo paso la urna contengados bolas verdes y tres rojas.

(b) Si al finalizar el segundo paso la urna contiene dos bolas verdes y tres rojas,¿cual es la probabilidad de que en el primer paso se haya extraıdo una bola roja?

1.23 Harvey “dos caras” tiene dos monedas normales y una moneda de dos caras.

(a) Elige una moneda al azar y la arroja al aire dos veces consecutivas. Si el primerresultado fue cara, ¿cual es la probabilidad de que el segundo tambien sea cara?

(b) Elige una moneda al azar, la arroja al aire y sale cara. ¿Cual es la probabilidadde que sea una de las monedas normales?

(c) Harvey arroja la misma moneda por segunda vez y de nuevo sale cara. ¿Cuales la probabilidad de que sea una de las monedas normales?

(d) Harvey arroja la misma moneda por tercera vez y de nuevo sale cara. ¿Cual esla probabilidad de que sea una de las monedas normales?

1.24 Un canal de comunicacion binario simple transporta mensajes usando solodos senales (bits): 0 y 1. Supongamos que en un canal de comunicacion binariodado el 40% de las senales emitidas son 1, que si se emitio un 0 la probabilidad deque se reciba un 0 es 0.90, y que si se emitio un 1 la probabilidad de que se recibaun 1 es 0.95. Calcular

(a) la probabilidad de que una senal recibida sea 1.

(b) dado que se recibio un 1, la probabilidad de que se haya emitido un 1.

1.25 ! El 1% de los bits transmitidos por un canal de comunicacion binario es 0.El programa receptor indica que hay un 0 en el mensaje cuando efectivamente el0 ha sido emitido, con probabilidad 0.91. ¿Cual debe ser la probabilidad de que elreceptor indique que hay un 1 cuando efectivamente el 1 ha sido emitido, para quela probabilidad de que haya sido emitido un 0 cuando el receptor indica que hayun 0 sea 0.99?

1.26 ! Se tienen 3 urnas a, b, c. En a hay dos bolas rojas y una blanca, en b unaroja y dos blancas, en c tres rojas y cuatro blancas. Se extrae una bola de a: si esroja, se extrae una bola de b, en caso contrario se extrae una bola de c. IndiquemosRi, i 1, 2 el evento de que la bola en la extraccion i fue roja, y Bi, i 1, 2 elevento de que la bola en la extraccion i fue blanca.

(a) Calcular PpB1q.(b) Calcular PpB2q.(c) Describir mediante la notacion detallada antes y calcular la probabilidad de quela primer bola extraıda haya sido blanca sabiendo que la segunda fue roja.

(d) Calcular la probabilidad de que alguna de las bolas extraıdas sea roja.

(e) Suponiendo ahora que en a hay 2000 bolas rojas y 1000 blancas, en b 100 rojasy 200 blancas, y en c 9 rojas y 12 blancas, resolver en estas nuevas condiciones losincisos anteriores. Si se obtienen los mismos resultados, explicar por que.

1.27 Se elige al azar una permutacion de las letras C,H,Q, P . Mostrar que

(a) Los eventos “C precede a H” y “Q precede a P” son independientes.

(b) Los eventos “C precede inmediatamente a H” y “Q precede inmediatamente aP” no son independientes.

1.28 Se elige un numero al azar en el intervalo p0, 1q(a) Probar que los eventos “el primer dıgito es 1” y “el segundo dıgito es 2” sonindependientes.

(b) Probar que los eventos “el primer dıgito es 1” y “el segundo dıgito no es 2” sonindependientes.

1.29 Existen dos caminos de A hasta B y dos caminos de B hasta C. Cada unode estos caminos esta bloqueado con probabilidad 0.2 independientemente de losdemas. Hallar la probabilidad de que exista un camino abierto desde A hasta Bsabiendo que no hay ningun camino abierto desde A hasta C.

1.30 ! Un dado equilibrado se arroja dos veces. Sea A el evento “el primer resul-tado es par”, B el evento “el segundo resultado es par” y C el evento “la suma delos resultados es par”.

(a) Mostrar que los eventos A,B,C son dos a dos independientes.

(b) Mostrar que el conjunto de eventos tA,B,Cu no es independiente.

1.31 Se transmiten tres bits por un canal de comunicacion binario (ver Ejercicio1.24). Asumir que las ternas de bits son equiprobables. A1 es el evento “el primerbit es un 0”, A2 es “la suma de los tres bits es menor o igual a 1” y A3 es “setransmite p0, 0, 0q o p1, 0, 1q o p1, 1, 0q o p1, 1, 1q”. Mostrar que la probabilidad dela interseccion A1 X A2 X A3 es el producto de las probabilidades de cada evento,pero los eventos no son independientes.

1.32 El motor de un automovil consta de 300 componentes individuales. Cadauno de estos es entregado independientemente por un proveedor diferente. Los 300proveedores garantizan que la probabilidad de entregar un componente defectuo-so es 0.01 o menor. Se considera aceptable el motor solo cuando ninguno de suscomponentes es defectuoso.

(a) Calcular la probabilidad de que el motor sea aceptable.

(b) ¿Que nivel de calidad debe exigirse a cada proveedor (es decir, que probabilidadde componente defectuoso) si se desea que al menos el 98% de los motores armadossea aceptable?

1.33 Una empresa compra una gran de cantidad de bulones a un mismo proveedor.Cada vez que se recibe un envıo, se realiza un control de calidad por muestreo: seprueban 80 bulones seleccionados al azar del total; si se encuentra mas de un bulondefectuoso se rechaza el envıo. En caso contrario, se lo acepta. Sea p la probabilidadde producir un bulon defectuoso en el proceso de fabricacion. De acuerdo a losestandares de calidad, se desea satisfacer la condicion p 0.005. Los defectos delos bulones son independientes entre sı.

(a) Hallar la probabilidad de rechazar un lote fabricado bajo la condicion p 0.004.

(b) Hallar la probabilidad de aceptar un lote fabricado bajo la condicion p 0.05.

(c) Graficar la probabilidad de aceptar un envıo en funcion de p (Curva caracterısti-ca del plan de muestreo).

(d) Si se sabe que el lote cumple los estandares de calidad, ¿cual es la maximaprobabilidad de tomar una decision erronea sobre el mismo?

1.34 Una materia de la FIUBA se aprueba con un examen multiple choice de 10preguntas, con 5 opciones de respuesta en cada pregunta. Se asume que los eventosAi “el alumno contesta correctamente la pregunta i” son independientes y tienentodos la misma probabilidad p.

(a) ¿Como deberıa establecerse un criterio de aprobacion (cantidad de respuestascorrectas) para asegurar que sean reprobados al menos el 95% los alumnos que nosaben nada de la materia y responden totalmente al azar?

(b) Fijado el criterio anterior, si un alumno estudio lo suficiente como para quela probabilidad de responder bien cada una de las preguntas sea p 0.4, ¿conque probabilidad aprobara el examen?

(c) Graficar la probabilidad de aprobar en funcion de p. ¿Para que valor de p seaprueba el examen con probabilidad mayor a 0.95?

1.35 ! La urna a contiene 3 bolas blancas y 7 rojas. La urna b contiene 12 blancasy 8 rojas. Se elige una urna al azar y se extrae una bola; esta bola se reintegra a lamisma urna y se vuelve a extraer una bola de ella.

(a) Si la primer bola extraıda fue blanca, ¿cual es la probabilidad de que la segundatambien lo sea?

(b) ¿Son independientes los sucesos “primera bola es blanca” y “segunda bola esblanca” aun cuando hay reposicion?

1.36 En el contexto del Ejercicio 1.9, sean

A tpx, yq P Ω : |x 12| |y 12| ¤ 13u,B tpx, yq P Ω : maxt|x 12|, |y 12|u ¤ 13u,C tpx, yq P Ω : x ¤ 23u,D tpx, yq P Ω : y ¥ 23u.

(a) Dado A, ¿son C y D independientes?

(b) Dado B, ¿son C y D independientes?

Ejercicios Complementarios

1.37 Se hace un estudio sobre 900 graduados, despues de 25 anos de graduados,resultando que 300 se han destacado, 300 habıan estudiado probabilidades en laUniversidad y 100 cumplıan ambas condiciones. Hallar, para k 0, 1, 2, el numerode personas en el grupo que tiene de esas condiciones

(a) exactamente k.

(b) al menos k.

(c) a lo sumo k.

1.38 [Abramson] Dado un experimento aleatorio E con r1, r2, . . . , rn resultadosposibles, que tienen probabilidades respectivas p1, p2, . . . , pn, se llama entropıa delexperimento E al valor

HpEq n

i1

pi logppiq.

(a) Si n 2, mostrar que la entropıa es maxima cuando los resultados son equi-probables, es decir, cuando p1 p2 12.(b) ¿Como generalizarıa este resultado para cualquier n ¡ 2? ¿Puede usted pro-barlo?

1.39

Sea Ω r0, 100sr0, 100s. Supongamos que P es una probabilidad definidaen una familia de subconjuntos de Ω que incluye todos los rectangulos R, y satisfaceque si R es un rectangulo:

PpRq

$''&''%

|R| 630000 si R r0, 50s r0, 50s

|R| 130000 si R r0, 50s r50, 100s

|R| 530000 si R r50, 100s r0, 50s0 si R r50, 100s r50, 100s

(a) Comprobar que PpΩq 1.

(b) Calcular Ppr30, 60s r10, 40sq.(c) Calcular Ppr30, 60s r60, 70sq.(d) Calcular Pptpx, yq P Ω : x y ¤ 20uq.(e) Calcular Pptpx, yq P Ω : 20 ¤ x y ¤ 130uq.(f) Calcular Pptpx, yq P Ω : px 50q2 py 50q2 100uq.1.40 Se realiza el experimento de tirar un dado hasta que sale el primer as, ano-tando el numero K de tiradas necesarias.

(a) Describir un posible espacio muestral para este experimento.

(b) Sea Ak el evento descrito por K k. Hallar PpA1q,PpA7q,PpA1017q.(c) Sea Bk el evento descrito por K ¥ k. Hallar PpB1q,PpB5q. ¿Como se describirıaen terminos de lo que pasa con el dado el evento B1000?

(d) Mostrar que para cualquier k, Bk1 Bk.

(e) Sea B 8k1Bk. ¿Como se describirıa en terminos de lo que pasa con el dado

el evento B? Hallar PpBq.1.41 En el juego de poker son posibles las siguientes manos, que se listaran enorden creciente de conveniencia. En las definiciones la palabra valor se refiere aA,K,Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3 o 2. Esta sucesion tambien describe el rango relativode los naipes, con una excepcion: un as (A) puede verse como un 1 para usarlo enuna escalera.

(a) un par: dos naipes de igual valor mas tres naipes con diferentes valores.Por ej. J♠ J 9 Q♣ 3♠

(b) dos pares: dos pares mas un naipe de diferente valor.Por ej. J♠ J 9 9♣ 3♠

(c) terna: tres naipes del mismo valor y dos naipes de diferentes valores.Por ej. J♠ J J 9♣ 3♠

(d) escalera: cinco naipes con valores consecutivos.Por ej. 5 4♠ 3♠ 2 A♣

(e) color: cinco naipes del mismo palo.Por ej. K♣ 9♣ 7♣ 6♣ 3♣

(f) full: una terna y un par.Por ej. J♠ J J 9♣ 9♠

(g) poker: cuatro naipes del mismo valor y otro naipe.

Por ej. J♠ J J J♣ 9♠(h) escalera de color: cinco naipes del mismo palo con valores consecutivos.

Por ej. A♣ K♣ Q♣ J♣ 10♣ (a este ejemplo se lo llama escalera real).

Calcular las probabilidades de todas las manos de poker. Construir una tablacon los valores obtenidos. No olvidar la mano perdedora.

1.42 Se tienen dos monedas. Una moneda esta cargada con probabilidad p1 desalir cara y la otra con probabilidad p2. Se puede optar por una de las siguientesestrategias: la primera consiste en elegir una moneda al azar y arrojarla dos veces;la segunda consiste en arrojar ambas monedas. El juego se gana si salen dos caras,en caso contrario se pierde. ¿Cual de las dos estrategias es mas conveniente?

1.43

Se tienen dos bolas. Cada una se pinta de rojo o de verde, independiente-mente y con probabilidad 12 para cada color. Luego ambas son colocadas en unaurna.

(a) Si se extrae una bola de la urna y es roja, ¿cual es la probabilidad de que laotra bola sea roja?

(b) Si se sabe que en la urna hay una bola roja, ¿cual es la probabilidad de que laotra sea roja?

1.44h Juan y Marıa juegan a cara o ceca con una moneda equilibrada. InicialmenteJuan tiene cinco monedas y Marıa tres. Cuando sale cara Juan le da una monedaa Marıa, cuando sale ceca Marıa le da una moneda a Juan. Arrojan sucesivamentela moneda hasta que alguno se queda sin monedas. Hallar la probabilidad de queJuan sea el primero en quedarse sin monedas. (sugerencia: si entre los dos tienen8 monedas, sea pn la probabilidad de que Juan sea el primero en quedarse sinmonedas si inicialmente tiene n, con n 0, . . . , 8. Hallar p0 y p8. Mostrar quepn1 pn pn pn1 y resolver ecuaciones. Aplicar al caso n 5).

1.45 Pedro vive en Corrientes al 3400. Una noche de sabado, despues de tomaruna copa de mas con Juan en “La Giralda” (Corrientes 1453), trata de volvercaminando por Corrientes a su casa, pero elige la direccion al azar, y como sabeque esta borracho, en cada esquina vacila y vuelve a elegir la direccion al azar. Enun rapto de lucidez, decide que si llega antes a Alem que al Abasto, se echara adormir en La Recova.

(a) Hallar la probabilidad de que Pedro duerma en su cama. (sugerencia: compararcon Ejercicio 1.44)

(b)Ï Validar por simulacion el calculo hecho en el inciso anterior.

1.46 h En el contexto del Ejercicio 1.10:

(a) Hallar la probabilidad de que Juan gane la primera partida.

(b) Hallar la probabilidad de que Pedro gane la segunda partida.

(c) Hallar la probabilidad de que Pedro gane la duodecima partida.

(d) Hallar la probabilidad de que Marıa haya ganado la primera partida sabiendoque gano la cerveza.

(e) Hallar la probabilidad de que Juan haya ganado la cerveza sabiendo que el juegoduro 25 partidos.

1.47 h Capablanca y Lasker juegan un match de ajedrez a muerte subita. Cadapartida es ganada por Capablanca (con probabilidad p), por Lasker (con probabi-lidad q) o termina en tablas (empate). El match continua hasta que alguno ganeuna partida. Si la partida debe jugarse (aun no hay ganador), el resultado es in-dependiente de las anteriores y la distribucion de probabilidades con que cada unogana una partida no cambia.

(a) Hallar la probabilidad de que Capablanca gane el match.

(b) Dado que el match duro no mas de 3 partidas, calcular la probabilidad de queCapablanca haya ganado la primera partida.

(c) Dado que el match duro no mas de 3 partidas, calcular la probabilidad de queCapablanca sea el vencedor del match.

(d) Dado que Capablanca gano el match, hallar la probabilidad de que lo hayahecho en la 3a partida o antes.

(e) En cada uno de los siguientes casos, analizar la independencia de los even-tos: i) “Capablanca gana el match” y “el match duro no mas de k partidas”, ii)“Capablanca gano la partida j (j k)” y “el match duro no mas de k partidas”.

1.48Ï Mediante simulaciones, estimar el numero medio de la cantidad de tiradasde un dado equilibrado hasta que la suma de los resultados supera 100.

1.49 Ï Metodo de Monte Carlo. Sea f : R Ñ R una funcion continua y nonegativa. Sea M ¡ 0 el valor maximo de la funcion f sobre el intervalo ra, bs.(a) Se elige al azar un punto de coordenadas pX,Y q dentro del rectangulo de verticespa, 0q, pb, 0q, pb,Mq, pa,Mq. Relacionar la probabilidad del evento A tY ¤ fpXqucon el valor de la integral

³bafpxqdx.

(b) Si se conoce el valor de la probabilidad, PpAq, del evento A tY ¤ fpXqu,¿como se calcula la integral

³bafpxqdx?

(c) Obtener un metodo que permita estimar el valor de la integral³bafpxqdx en

base a los resultados de n simulaciones del experimento descrito en Inciso (a).

(d) Estimar el valor de la integral³20ex2

dx utilizando el metodo obtenido en Inciso(c) basandose en los resultados de 10000 simulaciones.

Guıa 2

2.1 Mostrar que cada una de las siguientes funciones son funciones de distribucionde variables aleatorias.

(a)

FXpxq 1

161t0 ¤ x 1u 5

161t1 ¤ x 2u 11

161t2 ¤ x 3u

15

161t3 ¤ x 4u 1t4 ¤ xu

(b)

FXpxq x3 1t0 ¤ x 1u 1t1 ¤ xu.(c)

FXpxq x3 1t0 ¤ x 12u 1t12 ¤ xu.

2.2! SeaX una variable aleatoria cuya funcion de distribucion FXpxq PpX ¤ xqtiene grafico de forma

−3 −2 −1 0 1 2 3

0

1/3

2/3

1

x

FX(x

)

(a) ¿En que puntos de R la variable X concentra masa positiva?

(b) Calcular Pp2 X ¤ 2q, Pp2 ¤ X ¤ 2q, Pp2 ¤ X 2q y Pp2 X 2q.(c) Calcular PpX P p2,1qq, Pp|X| ¤ 1q y PpX P p1, 2qq.(d) Calcular PpX ¤ 1.5|X 2q y PpX ¤ 1.5|X ¤ 2q.(e) Calcular PpX 2| |X| 2q.2.3 Sea X una variable aleatoria cuya funcion de distribucion es

FXpxq x

81t0 ¤ x 2u x2

161t2 ¤ x 4u 1tx ¥ 4u.

Hallar un valor a P R tal que

(a) FXpaq 0.

(b) FXpaq 0.1.

(c) FXpaq 0.25.

(d) FXpaq 0.5.

(e) FXpaq 1.

2.4 [Maronna, pag. 56 y 57 ] Para cada variable aleatoria X con funcion de distri-bucion FXpxq PpX ¤ xq dada en el Ejercicio 2.1 hacer lo siguiente:

(a) Para cada α P p0, 1q hallar todos los valores xα P R tales que

PpX xαq ¤ α y PpX ¤ xαq ¥ α.

(b) Para cada α P p0, 1q hallar todos los valores xα P R tales que

F pxαq α.

2.5 La demanda de aceite pesado en cientos de litros durante una temporada tienela siguiente funcion de densidad:

fXpxq 1

3p4x 1q1t0 ¤ x ¤ 1u.

(a) Hallar la funcion de distribucion de X.

(b) Calcular P13 X ¤ 2

3

y P

13 X ¤ 2

3 |X 12

.

(c) Hallar el valor de k tal que PpX ¤ kq 0.04.

(d)Ï Simular 1000 valores de la variable aleatoria X. Graficar la funcion dedistribucion empırica y construir un histograma.

2.6 Sea T la duracion del tiempo de trabajo sin fallas de un sistema electronicocuya funcion distribucion de probabilidad es FT ptq et 1tt ¡ 0u.(a) Hallar y graficar la funcion de distribucion de T mınpT, 1q.(b) Calcular PpT 1q.(c)Ï Mediante simulaciones estimar PpT 1q.2.7 Ï Construir una variable aleatoria X cuya funcion de distribucion sea ladel Ejercicio 2.2. Mediante simulaciones, estimar las probabilidades calculadasen dicho ejercicio. Simular la funcion de distribucion empırica y comparar con laoriginal.

2.8 En una urna hay 3 bolas blancas y 4 bolas negras.

(a) Se realizan 5 extracciones con reposicion. Hallar y graficar la funcion de proba-bilidad de la cantidad de bolas blancas observadas.

(b) Se realizan 5 extracciones sin reposicion. Hallar y graficar la funcion de proba-bilidad de la cantidad de bolas blancas observadas.

2.9 Se tiene una moneda cargada con probabilidad p 34 de salir “cara”.

(a) Hallar la funcion de probabilidad de la cantidad N de lanzamientos necesariosde dicha moneda hasta observar la primer cara.

(b) Calcular la probabilidad de que N sea impar.

2.10 ! Sea X una variable aleatoria cuya funcion de densidad esta descrita por:

fXpxq 2θx 1

21t1 ¤ x ¤ 1u.

(a) Describir los posibles valores de θ para que la densidad este bien definida.

(b) En cada uno de los siguientes casos hallar la mediana de X: θ 12, θ 0,θ 14.(c) Hallar la mediana de X como funcion de θ para los valores de θ obtenidos enInciso (a).

(d) Calcular PpX 1q, Pp0 X ¤ 1q y PpX 0| 12 X 12q.

2.11 Se elige un numero al azar X en el intervalo p2, 10q. Hallar la probabilidaddel evento X2 12X 35 ¡ 0.

2.12 Se quiebra una vara en un punto al azar. Calcular la probabilidad de que lalongitud de la pieza mas larga sea mayor que el doble de la longitud de la piezamas corta.

2.13 ! El diametro X (en mm.) de las arandelas fabricadas por una maquina tienecomo funcion de densidad a

fXpxq cxp20 xq1t0 x 20u.

Un sistema de control descarta las arandelas cuyo diametro es inferior a 3 o superiora 17.

(a) Hallar la densidad del diametro de las arandelas no descartadas.

(b) Hallar la densidad del diametro de las arandelas descartadas.

2.14 Sea X, la distancia (en decımetros) del punto de impacto al centro de unblanco circular, una variable aleatoria continua con funcion de densidad

fXpxq 2

71t0 ¤ x 2u 10 2x

211t2 ¤ x 5u.

(a) Hallar la funcion de densidad de las distancias de impacto menores que 30 cm.

(b) Hallar la funcion de densidad de las distancias de impacto mayores que 30 cm.

2.15! Sea T el tiempo hasta que ocurre la primera falla en un producto industrial,con funcion intensidad de fallas λptq de la forma

λptq β

α

t

α

β1

1tt ¡ 0u,

donde α, β ¡ 0.

(a) Hallar la funcion de distribucion y la funcion densidad de T .

(b) Si β 1 se dice que el producto tiene fallas tempranas, si β 1 se dice quetiene fallas casuales o con falta de memoria, y si β ¡ 1 se dice que tiene fallas pordesgaste. Indicar en cual de estas tres categorıas clasificarıa usted a los siguientesproductos segun su modo de falla

Producto: un neumatico; T : tiempo hasta una pinchadura causada por ob-jetos punzantes en las calles.Producto: un neumatico; T : tiempo hasta que se desgasta el surco y pierdeagarre.Producto: un neumatico; T : tiempo hasta que revienta como consecuenciade una falla de fabrica.Producto: un heladera; T : tiempo hasta que el usuario se da cuenta quesalio fallada de fabrica.Producto: un heladera; T : tiempo hasta que falla el sistema de enfriamiento.Producto: un heladera; T : tiempo hasta que el motor se quema por un bruscocambio de tension.

(c) Comparar e interpretar probabilısticamente los graficos de las densidades quese obtienen cuando α 1 y β 0.5, 1, 1.5.

(d) Para cada caso del Inciso (c), calcular PpT ¡ 1q y PpT ¡ 4|T ¡ 3q.(e)Ï Para cada caso del Inciso (c), simular 1000 valores de la variable aleatoriaT . Graficar la funcion de distribucion empırica y construir un histograma.

2.16 Una urna contiene 3 bolas blancas, 2 rojas y 3 negras.

(a) Se seleccionan 4 bolas al azar (sin reposicion). Sean X la cantidad de bolasblancas observadas e Y la cantidad de bolas rojas observadas. Hallar la funcionde probabilidad conjunta y las funciones de probabilidad marginales. ¿Cual es laprobabilidad de que la cantidad total de bolas blancas y rojas observadas no superea 2?

(b) Repetir el inciso anterior para extracciones con reposicion.

2.17 ! Sea pX,Y q un punto uniformemente distribuido sobre el semicırculo supe-rior de radio 1 centrado en el origen Λ tpx, yq P R2 : x2 y2 ¤ 1, y ¥ 0u.(a) Calcular Pp|X| Y q.(b) Hallar las densidades marginales de X y de Y .

(c) ¿X e Y son variables aleatorias independientes?

2.18 Sean X e Y dos variables aleatorias con funcion de densidad conjunta

fX,Y px, yq kxy 1t0 ¤ x ¤ y ¤ 1u.

(a) Calcular PpX 1 ¡ 2Y q.(b) Hallar las densidades marginales de X y de Y .

(c) ¿X e Y son variables aleatorias independientes?

2.19 ! Juan y Carlos quedaron en encontrarse en un lugar a las 12 del mediodıa.La hora de llegada de Juan, J , es uniforme entre las 12 y las 12:15. Juan espera 15min. a Carlos y si no llega se va. La hora de llegada de Carlos, C, es independiente dela de Juan y se distribuye uniformemente entre 12:05 y 12:20. Sin embargo, Carloses mas impaciente y solo espera 5 min antes de irse. Calcular la probabilidad deencuentro.

2.20 ! Sean A, B y C tres variables aleatorias independientes con distribucioncomun uniforme sobre el intervalo p0, 1q.(a) Hallar la probabilidad de que la ecuacion Ax2Bx pABq 0 tenga raıcesreales.

(b) Hallar la probabilidad de que la ecuacion Ax2 2Bx C 0 no tenga raıcesreales.

(c)

Hallar la probabilidad de que la ecuacion Ax2 Bx C 0 tenga raıcesreales.

2.21 ! Para ir todos los dıas al trabajo, Dana se dirige en auto hasta la estacionde tren y luego sigue su camino en tren. Dana sale de su casa en un intervalodistribuido uniformemente entre las 7:30 y las 7:50. El tiempo de viaje hasta laestacion es tambien uniforme entre 20 y 40 minutos. Hay un tren que sale a las 8:12y otro que sale a las 8:26.

(a) ¿Cual es la probabilidad de que Dana pierda ambos trenes?

(b) ¿Cual es la probabilidad de que tenga que esperar mas de 8 minutos en laestacion hasta que sale el tren?

(c) Si se sabe que salio de su casa despues de las 7:38 y que no llego a tomar el trende las 8:12, ¿cual es la probabilidad de que haya llegado al otro tren?

(d) Si se sabe que salio de su casa despues de las 7:38 y que logro tomar el tren delas 8:26, hallar y graficar la funcion densidad del tiempo de viaje hasta la estacion.

Ejercicios Complementarios

2.22 Mostrar que existe una variable aleatoria X tal que su funcion de distribuciones de la forma

Φpxq » x

8

1?2πet22dt.

(a) Consultar algun libro de Probabilidad y Estadıstica (o recurrir a un softwareadecuado) para construir una tabla de valores de Φpxq para x 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

(b) Hallar los cuantiles α para α 0.5; 0.75; 0.9; 0.95; 0.99; 0.995; 0.999.

2.23 [ver Ejercicio 2.15] Sea t0 ¡ 0. Mostrar que si λptq es la funcion de inten-

sidad de fallas de la variable aleatoria T , la variable aleatoria T pT |T ¡ t0q t0tendra una funcion de intensidad de fallas λptq λpt t0q, para t ¡ 0.

2.24 [ver Ejercicio 2.15] La cantidad de llamadas que llegan a un call center enuna hora es una variable aleatoria N . Calcular la funcion de probabilidad de lacantidad de llamadas recibidas si se sabe que llegaron al menos 2 llamadas, cuandoN esta descrita segun

(a) pN pnq 0.35 0.65n, n 0, 1, . . .

(b) pN pnq 1.25ne1.25n!, n 0, 1, . . .

(c) En cada caso, determinar si hay perdida de memoria.

2.25 Sea pX,Y q un vector aleatorio con funcion de densidad conjunta

fX,Y px, yq kxpx yq1t0 x 2, |y| xu.

(a) Hallar las densidades marginales de X y de Y .

(b) ¿X e Y son variables aleatorias independientes?

2.26 De un mazo de naipes de Poker se extraen repetidamente cartas con reposi-cion. Sean X e Y los numeros de extracciones en que salen el primer corazon y elprimer trebol.

(a) ¿X e Y , son variables aleatorias independientes?

(b) Hallar las distribuciones marginales de X e Y .

(c) Hallar la funcion de probabilidad conjunta de pX,Y q.2.27 Se arrojan dos dados piramidales equilibrados con los numeros 1, 2, 3, 4 ensus caras. Sea X el mayor de los resultados observados e Y la suma. Hallar ladistribucion conjunta de pX,Y q y las distribuciones marginales de X e Y . ¿X e Yson independientes?

2.28 [ver Ejercicio 1.28] Sean X1 y X2 variables aleatorias con distribucionBernoulli de parametros 12 y 13 respectivamente tales quePpX1 1, X2 1q 1

6 .Mostrar que las variables X1 y X2 son independientes.

2.29 Sean X e Y variables aleatorias independientes con distribucion uniformesobre el intervalo r0, 1s. Una vara de longitud 1 se quiebra en dos puntos cuyasdistancias a una de sus puntas son X e Y . Calcular la probabilidad que las trespiezas puedan usarse para construir un triangulo.

2.30 Las barras provenientes de un tren de laminacion tienen seccion rectangulary sus lados X e Y tienen longitudes variables con distribuciones uniformes inde-pendientes sobre los intervalos ra, p1.1qas y rb, p1.1qbs respectivamente. Calcular laprobabilidad de que el area de una barra sea superior a p1.1qab.

2.31 En una urna hay 3 bolas de distinto color. El experimento aleatorio consisteen lo siguiente: se extrae una bola, se registra el color observado y se repone la bolaen la urna. Se realizan 3 experimentos. Sean Xi, i 1, 2, 3 las variables aleatoriasdefinidas por

Xi 1t si el color i esta en la muestra observadau.

(a) Hallar la funcion de probabilidad conjunta de las variables X1 y X2 y lasfunciones de probabilidad marginales.

(b) ¿X1 y X2 son independientes?

(c) ¿Cual es el significado de la variable N X1 X2 X3?

(d) Hallar la funcion de probabilidad conjunta de las variables X1 y N .

(e) ¿X1 y N son independientes?

2.32 h Sea U 0.X1X2X3 . . . el desarrollo decimal de un numero al azar sobreel intervalo p0, 1s.(a) Para cada i 1, 2, . . . , hallar la distribucion del i-esimo dıgito de U .

(b) Mostrar que los dıgitos de U son independientes entre sı.

Guıa 3

3.1 Sea X un variable aleatoria con rango tx1, x2, x3u, tal que PpX xiq pi,i 1, 2, 3.

(a) Si x1 1, x2 1, x3 2 y p1 0.2, p2 0.3, p3 0.5, hallar ErXs.(b)Si x1 1, x2 1 y p1 0.2, p2 0.2, y se sabe que ErXs 0, hallar p3 y x3.

(c) Hallar ErX|X ¡ 1s con los datos del Inciso (a).

(d) Si se sabe que x1 1, p1 0.2, PpX ¡ 1q 0.8, y ErX|X ¡ 1s 3,hallar ErXs.3.2 Sea X un variable aleatoria con funcion de densidad fX : RÑ R.

(a) Si fXpxq 2x 1tx P p0, 1qu, hallar ErXs.(b) Si fXpxq9 1

px1q3 1tx ¡ 0u, hallar ErXs.(c) Hallar ErX|X ¡ 12s con los datos del Inciso (a).

(d) Si ErX|X 7s 4, PpX 7q 0.2, ErX|X ¡ 7s 8, hallar ErXs.

3.3 ! Sea X una variable aleatoria con la funcion densidad del Ejercicio 2.10.Hallar ErXs y compararla con la mediana.

3.4 ! Sea X un variable aleatoria con funcion de distribucion FX : RÑ R.

(a) Si FXpxq x2

3 1t0 ¤ x 1u x13 1t1 ¤ x 2u 1tx ¥ 2u, hallar ErXs.

(b) Con los mismos datos del Inciso (a), hallar ErX|X 1s y ErX|X ¤ 1s.(c) Con los mismos datos del Inciso (a), ¿es X|X ¡ 1 una variable aleatoriacontinua? En tal caso, hallar su funcion de densidad.

3.5 Sea X una variable aleatoria a valores en t1, 2, 3u tal que PpX iq pi,i P t1, 2, 3u, de media 2.

(a) Hallar p1, p2, p3 para que varrXs sea la maxima posible.

(b) Hallar p1, p2, p3 para que varrXs sea la mınima posible.

3.6 Se construye un cırculo uniendo los extremos de un alambre.

(a) Si la longitud del alambre fuese una variable aleatoria L con distribucion expo-nencial de media 60 cm., cuanto valdrıa ErAs, siendo A el area del cırculo obtenido.

(b) Si el area (en cm2) del cırculo obtenido fuese una variable aleatoria A condistribucion exponencial de parametro λ 1

15 , cuanto valdrıa ErLs, siendo L elperımetro del cırculo obtenido.

3.7 ! Sea X una variable aleatoria de media 2 y varianza 9.

(a) Calcular la media y la varianza de Y 2pX 1q.(b) Calcular la media de Y 2X2 1.

(c) Calcular la media de Y 2pX 1qpX 3q.(d) Hallar mıncPR ErpX cq2s.(e) Hallar a y b tales que aX b tenga media 0 y desvıo 1.

3.8 Sean X e Y variables aleatorias independientes con distribucion uniforme sobrep0, 2q y p1, 3q, respectivamente. Si hpx, yq x1tx ¡ 1.5upx2yq1tx ¤ 1.5u, hallarla media de Z hpX,Y q.

3.9 [ver Ejercicio 2.31] Se colocan 3 bolas en 3 urnas c1, c2, c3 eligiendo al azar,para cada bola, la urna en que se coloca. Sea Xi la cantidad de bolas en ci y seaN la cantidad de urnas que contienen alguna bola.

(a) Calcular ErN s, varrN s y covpN,X1q.(b) Mostrar que N y X1 no son independientes.

(c) Calcular covpXi, Xjq, 1 ¤ i ¤ j ¤ 3.

3.10 [ver Ejercicio 2.28] Sean X1 y X2 variables de Bernoulli, de parametros p1y p2.

(a) Mostrar que si covpX1, X2q 0, entonces X1 y X2 son independientes.

(b) Si p1 p2 0.7 y covpX1, X2q 0.1, hallar ρpY1, Y2q, siendo Y1 X1p1X2q,Y2 X2p1X1q.

3.11 ! En cada uno de los casos que se ilustran en las siguientes figuras se defineuna distribucion conjunta para las variables X e Y .

(a) (b) (c)

(a) La densidad vale 1 en la region blanca, 12 en la region grisclara y 32 en la region gris oscura. (b) y (c) La distribucion esuniforme en la region grisada.

Hallar en cada caso el signo de la covarianza sin escribir cuentas.

3.12 ! Sea pX,Y q una variable aleatoria bidimensional, uniforme en el triangulode vertices p0, 0q, p2, 2q, p0, 2q.(a) Calcular covpX,Y q.(b) Calcular varrX Y s

(c) Calcular covp3X Y 2, X Y q.

3.13 ! A y B hacen una prueba para comparar sus reflejos. Cada uno tiene unpulsador y, cuando una luz se enciende, el que presiona primero gana el duelo. Lostiempos de reaccion de cada uno son variables aleatorias Up0, 1q (en segundos), yson i.i.d. Sean las variables W : “tiempo de reaccion del ganador” y Z: “tiempo dereaccion del perdedor”.

(a) Hallar la esperanza y varianza de Z y W .

(b) Hallar el tiempo medio de reaccion del ganador si se sabe que el perdedorreacciono en mas de 1/2 segundo.

(c) Hallar la covarianza entre W y Z.

3.14 Sea X una variable aleatoria, µX 2, σ2X 9. Sea X1, X2, . . . una secuencia

independiente de replicas de X, y definamos, para n P N, Sn °n

m1Xm.

(a) Hallar ErSns y varrSns.(b) Hallar un n0 tal que si n ¡ n0 se verifica que PpSn ¡ 0q ¡ 0.9.

(c) Hallar un n0 tal que si n ¡ n0 se verifica que P 1

nSn 2 ¡ 0.1

¤ 0.01.

3.15 Se arroja un dado equilibrado. Sea X 1 si sale as, X 0 en caso contra-rio. Se arroja 12 veces ese mismo dado, registrando los resultados X1, , X12, ycalculando su promedio X 1

12

°12m1Xm.

(a) Calcular EX.

(b) Calcular Pp|X 16| ¡ 110q.3.16Ï Sea B una variable de Bernoulli con parametro p 0.01.

(a) Si B1, . . . , B100 son n 100 replicas independientes de B y B 1n

°nm1Bm

es su promedio. Estimar por simulacion Pp|B p| 0.03q y Pp|B p| 0.01q.(b) Lo mismo del inciso anterior pero con n 10000.

3.17 Ï Sea K el numero de tiradas de un dado equilibrado hasta obtener porprimera vez dos ases seguidos. Estimar por simulacion ErKs.

3.18 ! Sea X una variable aleatoria, µX µ, σ2X σ2. Sea X1, X2, . . . una

secuencia independiente de replicas de X, y se definen

X °n

m1Xm

n

W 2 °n

m1pXm µq2n

T 2 °n

m1pXm Xq2n

(a) Hallar EXy var

X, en funcion de µ y σ2.

(b) Hallar EW 2

, en funcion de µ y σ2.

(c) Mostrar que T 2 W 2 pX µq2.(d) Usar los incisos anteriores para mostrar que E

S2 σ2, donde S2 n

n1T2.

3.19 Sea X una variable aleatoria que representa la relacion de nıquel al resto delos metales en una aleacion. Los siguientes datos corresponden a 18 muestras deuna aleacion: 1.75, 1.80, 1.29, 1.58, 0.95, 1.87, 1.99, 1.49, 1.12, 0.39, 1.62, 1.41, 1.35,0.83, 0.71, 0.51, 1.19, 1.95.

(a) Calcular X y S2 (ver Ejercicio 3.18).

(b) Segun una publicacion, la concentracion de nıquel en dicha aleacion puede sermodelada a traves de la distribucion fXpxq x2 1t0 x 2u. Comparar losresultados obtenidos en Inciso (a) con los valores teoricos de media y varianzaasociados al modelo propuesto.

(c) Construir un histograma y explorar informalmente si el modelo propuesto podrıaconsiderarse correcto.

3.20Ï Sea X la duracion (en horas) del tiempo de trabajo sin fallas de un sistemamecanico con funcion intensidad de fallas de la forma λpxq x12 1tx ¡ 0u.Simular 100 valores X1, . . . , X100 de X y calcular X y S2 (ver Ejercicio 3.18).Comparar con ErXs y varrXs.

3.21 Sea pX,Y q una variable aleatoria bidimensional, tal que X e Y tienen mediay varianza finitas, y sea c covpX,Y q.(a) Si pX1, Y1q, . . . , pXn, Ynq son n replicas independientes de pX,Y q y definimos

A 1

n

¸n

i1pXi ErXsqpYi ErY sq

B 1

n

¸n

i1pXi XqpYi Y q

(b) Hallar (en terminos de c) ErAs.(c) Mostrar que B A pX ErXsqpY ErY sq(d) Hallar (en terminos de c) covpX, Y q.(e) Usando los incisos anteriores, hallar (en terminos de c) ErBs.3.22 Ï Se considera un sistema mecanico como el del Ejercicio 3.20. Cada vezque ocurre una falla el sistema se repara y sigue funcionando hasta que ocurre lasiguiente falla. Se consideran variables aleatorias N ra, bs que cuentan la cantidadde fallas sufridas por el sistema durante el intervalo de tiempo comprendido entrea y b. Simular 100 parejas de valores pN1r0, 3s, N1r2, 5sq, . . . pN100r0, 3s, N100r2, 5sqde pN r0, 3s, N r2, 5sq y calcular B (ver Ejercicio 3.21).

3.23 ! Ï Sea Sn n°

i1

Xi, donde las Xi son un conjunto de variables i.i.d.

Sea Sn su correspondiente variable estandarizada. En cada uno de los siguientescasos, simular 100000 valores de Sn ; computar y graficar la funcion de distribucionempırica. Comparar la grafica obtenida con la de la funcion de distribucion de unavariable Np0, 1q.

(a) Xi es uniforme entre 0 y 1. Analizar los casos de n 2, 5, 12.

(b) Xi es Bernoulli de parametro p 12. Analizar los casos de n 10, 30.

(c) Xi es Bernoulli de parametro p 0.001. Analizar los casos de n 30, 100, 500.

(d)Xi es geometrica de parametro p 0.001. Analizar los casos de n 30, 100, 500.

(e) Xi es exponencial de parametro λ 1. Analizar los casos de n 10, 30, 100.

(f) Xi es Poisson de parametro µ 0.01. Analizar los casos de n 30, 100, 500.

(g) Xi es Poisson de parametro µ 1. Analizar los casos de n 1, 5 (compararcon el inciso anterior).

Ejercicios Complementarios

3.24 La Gorda (80 kg.) y El Flaco (60 kg.) quieren poner un subibaja en su jardın.Tienen un tablon de tres metros, pero no se deciden acerca de en que punto apoyarlopara que resulte equilibrado cuando ambos se sientan, y ya se han golpeado bastantehaciendo pruebas. ¿Podrıa ayudarlos?

3.25 Sea X una variable normal estandar, φ su funcion de densidad (ver Ejercicio2.22), y sea x0 ¡ 0.

(a) Hallar la media de X|X ¡ x0 (en funcion de x0).

(b) Deducir que 1 Φpx0q ¤ φpx0qx0

.

(c) Comparar la estimacion que brinda el inciso anterior para PpX ¡ 4q con elvalor tabulado.

(d) Si Y σX µ y y0 ¡ µ, hallar la media de Y |Y ¡ y0 (en funcion de y0, µ yσ).

3.26 Sea X una variable aleatoria con distribucion uniforme sobre el intervalop0, 1q. Para cada n P N calcular ErXns y varrXns.

3.27 Sea T la variable aleatoria definida en Ejercicio 2.6. Calcular ErTs yvarrTs.

3.28 h El precio de uso de un telefono publico es de 20 centavos por pulso. Lospulsos se cuentan cada dos minutos o fraccion. Suponga que las llamadas tienenduracion exponencial de media 3 minutos. Hallar la media y la varianza del costode cada llamada.

3.29 Sean X e Y dos variables aleatorias discretas cuya funcion de probabilidadconjunta pX,Y px, yq se define por: pX,Y p2,8q pX,Y p1,1q pX,Y p0, 0q pX,Y p1, 1q pX,Y p2, 8q 15. Sin calcularla, indicar, justificando la respuesta,cual es el signo de la covarianza entre X e Y .

3.30 La figura representa un cuadrado de lado 2. La variable aleatoria pX,Y q esuniforme en la region sombreada. Mostrar, calculando la covarianza en funcion dea, que existe un unico a P p0, 1q tal que covpX,Y q 0.

(0,0)

a

a

3.31 Las variables X e Y tienen una distribucion conjunta uniforme en el recintoque se ilustra en la siguiente figura:

(a) ¿X e Y son independientes?

(b) Calcular ErX Y s y varrX Y s(c) Calcular ErX Y |X ¡ Y s.

3.32 Dado un vector x px1, . . . , xnq P Rn, consideramos x 1n

°ni1 xi. Notamos

e al vector de Rn cuyas coordenadas son todas 1.

(a) Mostrar que px xeq K e. ¿Que relacion geometrica hay entre x y xe?

(b) Dada cualquier constante c, xce px xeqpxcqe. Mostrar que la relaciondel Ejercicio 3.18 Inciso (c) es consecuencia del teorema de Pitagoras.

(c) ¿Cual es la relacion con el teorema de Steiner acerca del cambio paralelo de ejeen el momento de inercia?

(d) Deducir usando propiedades del producto escalar en Rn, la relacion del Ejer-cicio 3.21 Inciso (c).

Guıa 4

4.1! Sea X una variable aleatoria con densidad fXpxq 19 px1q2 1t1 ¤ x ¤ 2u.

En cada uno de los siguientes casos hallar y graficar:

(a) la densidad de Y aX b (a 0, b P R),

(b) la densidad de Y X3,

(c) la densidad de Y X2 X 2,

(d) la densidad de Y X2,

(e)

la funcion de distribucion de Y X 1t1 ¤ X 1u 1t1 ¤ Xu.4.2 Sea Θ el angulo de un pendulo medido desde la vertical cuyo extremo superiorse encuentra sostenido del punto p0, 1q. Sea pX, 0q el punto de interseccion de larecta que contiene al pendulo y el eje x. Hallar la funcion densidad de X cuando Θes una variable aleatoria con distribucion uniforme sobre el intervalo pπ2, π2q.

1

Θ

0 X

4.3 Sea ϕ la fase de un generador electrico, la cual varıa aleatoriamente segun unadistribucion Upπ, πq. Se define el factor de potencia del generador como C cosϕ.

(a) Hallar la funcion de densidad de C (recordar que arc cospxq1 1?1 x2).

(b) Calcular Pp|C| 0.5q.

4.4 En el contexto del Ejercicio 3.6 Inciso (b), hallar la funcion de distribuciony la funcion de densidad del perımetro del cırculo.

4.5 ! Un fabricante de canos posee una maquina que produce piezas de longitudaleatoria X (en metros) con densidad fXpxq ex 1tx ¥ 0u. Un cliente esta dis-puesto a pagar una gran suma de dinero por 100000 canos, pero impone comocondicion que la longitud Y (en metros) de los mismos debe estar distribuida deacuerdo con la densidad fY pyq 3 1t0 ¤ y ¤ 14u 13 1t14 y 1u. El cos-to que supondrıa apagar la maquina, recalibrarla, hacer los 100000 canos, y luegovolverla al estado original, es excesivo. Sin embargo, justo cuando estaba por recha-zar el trabajo, uno de sus empleados le dice: “Podemos hacerlo. Solo consiga unamaquina de precision para cortar 100000 canos de la produccion original”. Ası lo

hicieron y el jefe le dijo al empleado: “Todavıa no entiendo como hiciste para sa-tisfacer las especificaciones del cliente”. Hallar la funcion utilizada por el empleadopara cortar los canos.

4.6 Todas las mananas Lucas llega a la estacion del subte entre las 7:10 y las 7:30(con distribucion uniforme en dicho intervalo). El subte llega a la estacion cadaquince minutos comenzando a las 6:00. ¿Cual es la densidad de probabilidades deltiempo que tiene que esperar Lucas hasta subirse al subte?

4.7 ! Un voltaje aleatorio V1 –medido en voltios– con distribucion uniforme sobreel intervalo r180, 220s pasa por un limitador no lineal de la forma

gpv1q v1 190

201t190 ¤ v1 ¤ 210u 1t210 v1u.

Hallar la funcion de distribucion del voltaje de salida V2 gpV1q.

4.8 [ver Ejercicio 3.28] Sea T la duracion de una llamada telefonica (en minutos),con funcion de densidad fT ptq λeλt 1tt ¡ 0u, para cierto λ ¡ 0. Si se facturaun pulso por minuto o fraccion, hallar la funcion de probabilidad de la cantidadde pulsos facturados por llamada (la misma puede quedar en forma parametrica,dependiendo del valor de λ.)

4.9 Suponga que tiene dos numeros reales X1 y X2 que deben ser sumados por unacomputadora digital. Como la maquina tiene precision finita representa los numerosredondeados como Y1 y Y2. Luego, cada numero tiene un error Ui Xi Yi. Si lasUi son independientes y uniformes sobre el intervalo p12, 12q, hallar la funcionde densidad del error generado al sumar X1 X2.

4.10 ! Sea pX,Y q un punto aleatorio con distribucion uniforme sobre el recintoque aparece en la figura

12

1

12

1

0

(a) Hallar las densidades marginales de X e Y .

(b) Hallar la densidad de X Y .

4.11 Se tienen dos variables aleatorias independientes X e Y cuyas funciones dedensidad son fXpxq 3x2 1t0 x 1u y fY pyq 1t1 y 2u. Hallar la funcionde densidad de la variable Z XY .

4.12 Se desea medir el largo L de una pieza rectangular. Para eso se utilizaun instrumento que no puede alinearse perfectamente. La inclinacion del eje delinstrumento (X) respecto del largo de la pieza forma un angulo α cuya distribucionse supone Up0o, 5oq. El valor leıdo en el instrumento, en mm., tiene distribucionUp34.2, 34.3q. A partir de un simple analisis trigonometrico, esta claro que el largode la pieza es L X cosα. Determinar la funcion de densidad de L y calcular laprobabilidad de que la pieza mida menos de 34.2 mm.

4.13 La funcion de densidad conjunta de las variables X e Y se ilustra en lasiguiente figura. Hallar la funcion de densidad de U mınpX,Y q.

4.14 ! Las variables aleatorias X1 y X2 son independientes y sus distribucio-nes son exponenciales de intensidades λ1 y λ2, respectivamente. Se definen U mınpX1, X2q, J 1tU X1u 2 1tU X2u, V maxpX1, X2q y W V U .

(a) Hallar la densidad de U .

(b) Hallar la funcion de probabilidad de J .

(c) Hallar la densidad de W .

(d) Mostrar que U y J son independientes.

(e) Mostrar que U y W son independientes.

4.15 Juan y Pedro han conseguido trabajo en una central telefonica. Juan atiendeuna lınea en que los tiempos entre llamadas consecutivas son exponenciales inde-pendientes de intensidad 5 por hora, y Pedro una lınea en que los tiempos entrellamadas consecutivas son exponenciales independientes de intensidad 10 por hora.Ambos son fanaticos del ajedrez, y deciden arriesgar su empleo jugando entre lla-mada y llamada. Se ponen de acuerdo en dejar sin atender las llamadas que sucedenantes de los 5 minutos desde que iniciaron el juego o desde la ultima vez que lointerrumpieron para atender. Inician la partida a las 10.

(a) ¿Cual es la probabilidad de que la primer llamada despues de las 10 quede sinatender?

(b) ¿Cual es la probabilidad de que la primer llamada despues de las 10 sea en lalınea de Juan?

(c) ¿Cual es la probabilidad de que la primer llamada despues de las 10 quede sinatender sabiendo que fue en la lınea de Juan?

(d) ¿Cual es la probabilidad de que la primer llamada despues de las 10 fuera enla lınea de Juan sabiendo que fue atendida?

(e) ¿Cual es la probabilidad de que entre la primera y la segunda llamada despuesde las 10 medien mas de 5 minutos?

(f) ¿Cual es la probabilidad de que la segunda llamada quede sin atender sabiendoque la primera fue atendida?

(g) ¿Cual es la probabilidad de que la segunda llamada quede sin atender?

4.16 Unos circuitos electronicos estan formados por tres componentes. El tiempode vida de cada componente tiene una densidad fT ptq p11000q et1000 1tt ¡ 0usi es del proveedor A y fT ptq p11500q et1500 1tt ¡ 0u si es del proveedor B.Los circuitos fallan si falla alguno de los tres componentes, y se sabe que para cadacircuito los tres componentes son del mismo proveedor (el proveedor se elige al azar).Si un circuito esta funcionando desde hace 1200 horas, ¿cual es la probabilidad deque sus componentes sean del proveedor A?

4.17

Sean X e Y variables aleatorias independientes Up12, 12q. Hallar lafuncion de densidad de Z X2 Y 2, condicionada a Z 14.

4.18 ! Sean X e Y variables aleatorias i.i.d. con distribucion comun uniforme enp0, 12 q.(a) Hallar la funcion de densidad de X Y dado que X Y es negativo.

(b) En funcion del resultado del experimento aleatorio pX,Y q, se construira unanueva variable V . Si XY 0, entonces V X2, si no V 3Y . Hallar la funcionde densidad de V .

4.19 Se arrojan dos dados equilibrados e independientes y se observan sus valoresX1 y X2. Hallar la funcion de probabilidad conjunta de U y V cuando

(a) U es el menor valor observado y V es la suma de ambos.

(b) U es el valor que muestra el primer dado y V es el mayor valor observado.

(c) U es el menor valor observado y V es el maximo.

4.20 Sean X1 y X2 dos variables aleatorias independientes con distribucion comununiforme sobre el intervalo r0, 1s y sean U mınpX1, X2q y V maxpX1, X2q.(a) Hallar la densidad conjunta de U y V .

(b) Hallar la densidad de W V U .

4.21 Sean X e Y variables aleatorias independientes con distribucion comun ex-ponencial de intensidad λ ¡ 0. Sean U X Y y V X

XY .

(a) Hallar la densidad conjunta y las densidades marginales de U y V .

(b) ¿U y V son independientes?

4.22 En un experimento de tiro al blanco, sean X e Y las coordenadas carte-sianas del punto de impacto. Si dichas variables tienen distribucion Np0, 1q y sonindependientes, por lo que su densidad conjunta puede escribirse como

fX,Y px, yq 1

2πe

12 px2y2q,

describir conjuntamente el punto de impacto en coordenadas polares y hallar lasdistribuciones marginales del radio y angulo.

4.23 ! Sean U1 y U2 variables aleatorias independientes con distribucion comunUp0, 1q. Considerar el cambio de variables: pZ1, Z2q pR cosΘ, R senΘq, dondeR a2 logpU1q y Θ 2πU2.

(a) Hallar las densidades de R y Θ.

(b) Hallar la densidad conjunta de Z1 y Z2.

(c) ¿Z1 y Z2 son independientes? ¿Como se distribuyen?

(d)Ï Utilizar el cambio de variables para simular 10000 valores de la distribucionNp0, 1q.(e)Ï Usando los valores obtenidos en el inciso anterior estimar el valor de laintegral » 1

0

1?2πe

x2

2 dx.

Ejercicios Complementarios

4.24 Sea Θ una variable aleatoria con distribucion uniforme sobre el intervalop 3π

2 ,3π2 q. Hallar la densidad de X tanΘ.

4.25 Sea X una variable aleatoria con densidad doble exponencial de parametroλ ¡ 0:

fXpxq 1

2λeλ|x|, x P R.

Hallar la densidad de Y senX.

4.26 La ganancia anual de una empresa (en miles de $) es una variable aleatoria Xque se distribuye de acuerdo con la siguiente funcion de densidad de probabilidad:fXpxq px 150q1252 1t150 ¤ x 275u p400 xq1252 1t275 ¤ x 400u.Un cierto impuesto solo debe pagarse si X ¡ 170, debiendo abonarse el 10% delexcedente y siendo $18000 el monto maximo a pagar. Hallar

(a) la probabilidad de que no se abone el impuesto, ası como la de que se abone elmonto maximo.

(b) la funcion de distribucion del monto del impuesto abonado.

(c) la funcion de distribucion de la ganancia final.

4.27

(a) Sean X e Y dos variables aleatorias independientes con funciones densidadfXpxq 2x 1t0 ¤ x ¤ 1u y fY pyq p2 2yq1t0 ¤ y ¤ 1u. Hallar la funcion dedistribucion de la suma X Y .

(b) Sea U una variable aleatoria con distribucion uniforme sobre el intervalo p0, 1q.Se definen X ?

U e Y 1 ?U . Hallar las densidades marginales de X e Y y

la funcion de distribucion de la suma X Y .

4.28 La duracion (en horas) de ciertos componentes electricos sigue una distribu-cion exponencial de intensidad λ 0.01. Si los componentes se conectan en serie,la duracion del circuito es la del elemento de menor duracion; mientras que si seconectan en paralelo, es la del de mayor duracion. Dado el circuito de 5 compo-nentes conectados segun el esquema de la figura, calcular la probabilidad de que elcircuito dure mas de 80 horas.

4.29 Curly, Larry y Moe habıan quedado en encontrarse a ensayar un cierto dıaa las 10 AM. Moe, llega al azar entre las 9:55 y 10:10. Larry es un poco masdescuidado y arriba al azar entre las 10 y 10:15. Curly por su parte, aparece unacantidad de minutos TC luego de las 10, con fTC

ptq 2pt 5q225 1t5 t 20u.Si cada uno arriba en forma independiente y el ensayo no puede comenzar hastaque lleguen todos, hallar la funcion de densidad del tiempo de retraso del comienzodel ensayo.

4.30 Sean X e Y variables aleatorias i.i.d. con distribucion comun Np0, 1q. Mostrarque U XY?

2y V XY?

2tambien son independientes y Np0, 1q.

4.31 h Sean X e Y independientes con distribucion comun Np0, 1q. Mostrar queU X2 Y 2 y V XY son independientes y hallar sus distribuciones.

Guıa 5

5.1 La cantidad de querosene, en miles de litros, en un tanque al principio del dıaes una variable aleatoria X, de la cual una cantidad aleatoria Y se vende durante eldıa. Suponga que el tanque no se rellena durante el dıa, de tal forma que Y ¤ X, yque la funcion de densidad conjunta es fX,Y px, yq 2 1t0 y xu1t0 x 1u.(a) Hallar fY |X0.75pyq y fY |X0.4pyq.(b) ¿Que puede decirse respecto a la independencia de X e Y ?

(c) Calcular Pp14 Y 12|X 0.75q y Pp14 Y 12|X 0.4q.

5.2 Sea pX,Y q una variable bidimensional con la densidad conjunta del Ejercicio4.13.

(a) Hallar fY pyq y fY |Xxpyq para todos los posibles valores de x. ¿Que puede decirrespecto a la independencia de X e Y ?

(b) Calcular Pp3 16XY 9|X 0.75q.

5.3

[Grimmett, pag. 111 ] Sean X1 y X2 variables exponenciales independientescon intensidad λ. Sean Y1 X1 X2, Y2 X1X2 e Y3 X1 X2.

(a) Hallar la densidad conjunta de Y1 e Y2 y mostrar que son independientes.

(b) Hallar la densidad conjunta de Y1 e Y3. ¿Son Y1 e Y3 independientes?

(c) Hallar las densidades condicionales fY1|Y21py1q, fY1|Y30py1q.(d) Suponiendo que λ 1, calcular A PpY1 ¡ 1|Y2 1q y B PpY1 ¡ 1|Y3 0q.Observe que Y2 1 e Y3 0 son eventos equivalentes. ¿Como puede explicarseentonces que A ¡ B?

(e)Ï Estimar por simulacion las probabilidades del inciso anterior. Para ello tomarh 0.01, simular 100000 pares (X1,X2) y usarlos para estimar las probabilidadesPpY1 ¡ 1| |Y2 1| hq y PpY1 ¡ 1| |Y3| hq. Hacer un grafico representando lasdiversas zonas de integracion involucradas, y explicar por que la primer probabilidades aproximadamente el doble de la segunda.

5.4 ! Sea pX,Y q una variable bidimensional con la densidad conjunta del Ejer-cicio 3.11.

(a) Hallar y graficar la funcion de densidad de Y |X x.

(b)Ï Simular 100000 valores de pX,Y q, utilizarlos para estimar covpX,Y q (verEjercicio 3.21) y comparar con el resultado analıtico.

(c) Ï Utilizar los valores simulados en el inciso anterior para obtener 100000valores de la variable X Y . Con ellos estimar la media y varianza de la suma (verEjercicio 3.18) y comparar con los resultados analıticos.

5.5 ! El diametro de las ciruelas (en cm) tiene una funcion de densidad fXpxq x4 1t0 ¤ x 2u p4 xq4 1t2 ¤ x 4u. Las mismas son clasificadas pasandopor un tamiz de modo que

Calidad I si x 1Calidad II si x ¥ 1

Sin embargo, el 10% de las ciruelas caen por el costado del tamiz y resultan cla-sificadas de Calidad I independientemente de su diametro. Graficar la funcion dedensidad de las ciruelas clasificadas como de Calidad I.

5.6 ! Un viajante tiene tres alternativas de viaje a su trabajo: A, B y C. Se sabeque los porcentajes de veces que usa estos medios son respectivamente: 50%, 30% y20%. El tiempo de viaje con el transporte i es una variable aleatoria Ti (en horas).El medio A sigue la ley fTAptq 2 t 1t0 ¤ t ¤ 1u, el B, fTB ptq 0.5 t 1t0 ¤ t ¤ 2u,y el C, fTC

ptq 0.125 t 1t0 ¤ t ¤ 4u.(a) Si ha transcurrido media hora de viaje y aun no ha llegado al trabajo, hallar laprobabilidad de que llegue por el medio de transporte A.

(b) Si tardo exactamente media hora en llegar al trabajo, calcular la probabilidadde que lo haya hecho por el medio de transporte A.

5.7 Un emisor transmite un mensaje binario en la forma de una senal aleatoriaY que puede ser 1 con probabilidad 12 o 1 con probabilidad 12. El canal decomunicacion corrompe la transmision con un ruido normal aditivo N Np0, σ2qindependiente de Y . El receptor recibe la senal X N Y . Considere σ 15.(a) Graficar la funcion densidad de probabilidad de la senal recibida por el receptor.

(b) La pregunta del receptor es la siguiente: dado que recibı el valor x, ¿cual esentonces la probabilidad de que la senal emitida haya sido 1? Graficar la funcionψpxq PpY 1|X xq.(c) Repetir los incisos anteriores considerando σ 23.5.8 Sean X e Y variables aleatorias con densidad conjunta

fX,Y px, yq xexp1yq 1tx ¡ 0, y ¡ 0u.

(a) Hallar la distribucion de las variables condicionales Y |X x.

(b) Hallar y graficar la funcion de regresion φpxq ErY |X xs.(c) Hallar la esperanza condicional de Y dada X.

(d) Hallar y graficar la funcion de distribucion de la esperanza condicional de Ydada X.

(e) Calcular Pp12 ErY |Xs ¤ 3q.

5.9 ! Sean X e Y las variables aleatorias definidas en el Ejercicio 5.1.

(a) Hallar la distribucion de las variables condicionales Y |X x.

(b) Hallar y graficar la funcion de regresion φpxq ErY |X xs y la funcionϕpxq varrY |X xs.

(c) Hallar la esperanza y la varianza condicional de Y dada X.

(d) Calcular PpErY |Xs ¤ 14q y PpvarrY |Xs ¡ 364q.

5.10 A Sean X e Y variables aleatorias con distribucion uniforme sobre la regiontpx, yq P R2 : 0 x 34, 0 y 34u Y tpx, yq P R2 : 34 x 1, 34 y 1u.Hallar la funcion de distribucion de ErY |Xs y varrY |Xs. ¿Cual es la probabilidadde que la varianza condicional tome un valor inferior a 1/32?

5.11 En una urna hay 6 bolas rojas, 4 azules y 2 negras. Se extraen tres. Sean Xla cantidad de bolas rojas extraıdas e Y la cantidad de azules.

(a) Hallar las funciones de probabilidad de las variables condicionales Y |X x.

(b) Hallar y graficar la funcion de regresion φpxq ErY |X xs y la funcionϕpxq varrY |X xs.(c) Hallar la esperanza y varianza condicional de Y dada X.

5.12 En el contexto del Ejercicio 5.7, explicar como hace el receptor para “re-construir” la senal original Y a partir de la senal observada (corrupta) X. Hallarla expresion de la senal ası “reconstruida”.

5.13 Sean X e Y variables aleatorias con distribucion uniforme sobre la region delplano Λ. Hallar ErY |Xs cuando:(a) Λ es el cuadrado de vertices p1,1q, p1, 1q, p1, 1q y p1,1q.(b) Λ es el cuadrado de vertices p?2, 0q, p0,?2q, p?2, 0q y p0,?2q. HallarErY |Xs. ¿X e Y son independientes?

5.14 ! Una rata esta atrapada en un laberinto. Inicialmente puede elegir una detres direcciones. Si elige la primera se perdera en el laberinto y luego de 4 minutosvolvera a su posicion inicial; si elige la segunda volvera a su posicion inicial luegode 7 minutos; si elige la tercera saldra del laberinto luego de 3 minutos. Suponiendoque en cada intento, la rata elige con igual probabilidad cualquiera de las tresdirecciones, ¿cual es la esperanza del tiempo que demora en salir del laberinto?

5.15 ! Sea X una variable aleatoria con distribucion uniforme sobre el intervalop0, πq y sea Y una variable aleatoria tal que ErY |Xs X. Calcular covpsenpXq, Y q.

5.16 ! Se arroja un dado 100 veces. Sean X e Y las cantidades de resultados

pares e impares respectivamente. Hallar la esperanza condicional ErY |Xs y el valorde covpX,Y q.

5.17 ! Sea pX,Y q un vector aleatorio tal que X tiene distribucion exponencial demedia 1, ErY |Xs X y varrY |Xs X. Usando el Teorema de Pitagoras calcularel valor de varrY s.5.18 Una partıcula suspendida en agua es bombardeada por moleculas en movi-miento termico y recibe (por segundo) una cantidad de impactos cuya distribuciones Poisson de media 10. Por cada impacto la partıcula se mueve un milımetro hacia

la derecha con probabilidad 34 o un milımetro hacia la izquierda con probabilidad14. Hallar la posicion media de la partıcula al cabo de un segundo.

5.19 Un jugador de generala se tira a sacar generala de ases. Tira sus 5 dados,separa los ases, vuelve a tirar los restantes, vuelve a separar los ases, y vuelve atirar los restantes. Calcular el numero esperado de ases obtenidos en el tercer tiro.

5.20 ! El peso de ciertas bolsas de naranjas es una variable aleatoria uniformeentre 3 y 6 kilos. Se van agregando bolsas en una balanza hasta que el peso supere5 kilos. Hallar la media y la varianza del peso final ası obtenido.

5.21 Hallar la media y la varianza del tiempo de viaje al trabajo del ejercicioEjercicio 5.6.

5.22 ! La variable aleatoria bidimensional pX,Y q tiene distribucion uniforme enla region descrita por 0 x 2, 0 y x2.

(a) Hallar la funcion de regresion de Y dada X.

(b) Hallar una ecuacion para la recta de regresion de Y dado X.

5.23 La variable aleatoria bidimensional pX,Y q se describe por: X es exponencialcon media 5, Y X2.

(a) Hallar la funcion de regresion de Y dada X.

(b) Hallar una ecuacion para la recta de regresion de Y dado X.

5.24 !Ï La longitud de los rollos de tela producidos por cierta maquina sigueuna distribucion uniforme entre 20 y 30 (en metros). Un buen dıa un cliente requiereun rollo con por lo menos 28 metros, de los que no hay ninguno en stock.

(a) Calcular la cantidad media de rollos que sera necesario producir para satisfacerla demanda del cliente. Compare con la estimacion por simulacion.

(b) Calcular la longitud total media de tela producida para satisfacer esa demanda.Compare con la estimacion por simulacion.

(c) Calcular la longitud total media de tela de los rollos que iran a stock (es decirsin incluir el vendido al cliente). Compare con la estimacion por simulacion.

Ejercicios Complementarios

5.25 Sea pX,Y q una variable bidimensional con la densidad conjunta del Ejercicio4.10. Encuentrar la densidad de Z XY sabiendo que Y 0.25.

5.26

Sean X e Y variables aleatorias independientes tal que X Up0, 1q yfY pyq 2y 1t0 y 1u. Se desea calcular PpX Y 1|X Y q. Jekyll propone:

PpX Y 1|X Y q Pp2X 1q PpX 12q 12.

Pero Hyde no esta de acuerdo y dice:

PpX Y 1|X Y q Pp2Y 1q PpY 12q 14.Si ambos hubieran razonado correctamente, ¿convenimos que 1/2 = 1/4? Explicarlo sucedido.

5.27 En una urna hay 3 bolas rojas y 2 negras. Se extraen dos bolas sin reposicion.Sean X e Y la cantidad de bolas rojas y negras extraıdas, respectivamente. Hallaruna funcion de X, φpXq, tal que ErφpXqhpXqs ErY hpXqs para toda funcionacotada h : R Ñ R. (sugerencia: Para cada i P t0, 1, 2u considerar la funcionhi : R Ñ R definida por hipxq 1tx iu. Usar la ecuacion ErφpXqhipXqs ErY hipXqs para deducir la expresion de φpiq para cada i P t0, 1, 2u).5.28 Sea U una variable aleatoria con distribucion uniforme sobre el intervalop0, 1q. Sean X t3U u e Y U2. Encontrar una funcion de X, φpXq, que satisfagala igualdad ErφpXqhpXqs ErY hpXqs, para toda funcion acotada h : RÑ R.

5.29 Sean Xi las variables definidas en el Ejercicio 2.31. Hallar ErX2|X1s.

5.30 Sea arroja un dardo sobre el blanco circular Λ tpx, yq P R2 : x2 y2 ¤ 1u.(a) El dardo se clava en un punto de coordenadas pX,Y q uniformemente distribuidosobre ΛX tpx, yq P R2 : x ¥ 0u. Hallar la esperanza y la varianza condicional de Ydada X.

(b) El dardo se clava en un punto de coordenadas pX,Y q uniformemente distribuidosobre Λ. Hallar la esperanza y la varianza condicional de Y dada X.

5.31 Sean las variables aleatorias X, con media µ y desvıo σ, e Y , discreta conPpY 1q p y PpY 2q 1 p. Si X e Y son independientes, hallar E

XY

.

5.32 O [ver Ejercicio 3.17 y Ejercicio 5.14] Se arroja sucesivas veces un dadoequilibrado. Sea K el numero de tiradas hasta obtener por primera vez un resultadodistinto de as, y sea, para cada entero m ¡ 1, Xm el numero de tiradas hastaobtener por primera vez m ases seguidos (por ejemplo si las primeras 9 tiradasresultan 1, 1, 2, 1, 4, 5, 1, 1, 1 serıa K 3 X2 2, X3 9).

(a) ¿Que distribucion tiene K? Hallar ErKs.(b) Se sabe que ErX2s 42. Describir la variable aleatoria ErX2|Ks. Comprobarla consistencia de esta descripcion con el dato ErX2s 42.

(c) Describir la expresion general de ErXm|Ks en terminos de ErXms. Deducir unaexpresion general para ErXms.(d) Calcular ErX5s.(e) Si cada tirada del dado insumiera un segundo, estimar (en anos) el tiempomedio necesario hasta obtener 20 ases seguidos.

5.33 h Juan y Roberto concursan por un trabajo en IBM. Mientras esperan a seratendidos por el Examinador, Juan descubre desesperado que olvido su calculadora.Cuando el Examinador los atiende, Juan le pide una, pero el Examinador (que nocurso esta materia ni leyo la columna de Adrian Paenza en la contratapa de Pagina

12 del domingo 18 de julio del 2010), se la niega y le dice que piensa que no lesera necesaria.

Uno de los enunciados de la prueba dice: “Escriba una secuencia de 200 bitselegidos al azar en t0, 1u.”.

El Examinador saca copia de los examenes, identificando las copias, y se losentrega al Corrector (que curso esta materia el primer cuatrimestre del 2010) queno puede identificarlos, pero sabe que su amigo Juan olvido la calculadora. ElCorrector mira las pruebas y sin dudarlo sabe cual es la de su amigo Juan.

Uno:

01001110111001000011101010110010011110110101101110011010011001010110

00010011100001010111011010110001010010001100001110101011000011101100

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Otro:

01111001011010100110110111000011101110110010100001011001101011001101

10001001100011010111001101111011110111111101000111000101001000000000

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¿Podrıa, a la luz del Ejercicio 5.32, explicar como hizo, y cual de las dossecuencias pertenecıa a Juan?

5.34 Sea pX,Y q una variable aleatoria bidimensional. Sabiendo que X Np0, 2qy ErY |Xs 2X2 1.

(a) Hallar ErY s y covpX,Y q.(b) Hallar una ecuacion de la recta de regresion de Y dado X.

5.35 Para la variable aleatoria bidimensional pX,Y q del Ejercicio 3.11,

(a) hallar la funcion de regresion de Y dado X.

(b) hallar una ecuacion para la recta de regresion de Y dado X.

5.36 h Dado un vector px1, . . . , xnq P Rn, sea T px1, . . . , xnq la variable aleato-ria discreta con rango tx1, . . . , xnu definida por P pT xiq 1n. Consideramosademas n replicas independientesX1, . . . , Xn de una variable aleatoriaX con mediaµ y varianza σ2.

(a) Hallar ErT s.(b) Hallar varrT s.(c) Describir la variable aleatoria ErT pX1, . . . , Xnq|pX1, . . . , Xnqs. Comparar conEjercicio 3.18. Hallar ErT pX1, . . . , Xnqs (en terminos de µ).

(d) Describir la variable aleatoria varrT pX1, . . . , Xnq|pX1, . . . , Xnqs. Comparar conEjercicio 3.18. Hallar ErvarrT pX1, . . . , Xnqss (en terminos de σ2).

Guıa 6

6.1 La probabilidad de acertar a un blanco es 15. Se disparan 10 tiros indepen-dientemente.

(a) Calcular la probabilidad de que el blanco reciba al menos dos impactos.

(b) Calcular la probabilidad condicional de que el blanco reciba al menos dos im-pactos, suponiendo que recibio al menos uno.

6.2 Se tira un dado 6 veces. Calcular la probabilidad de obtener

(a) al menos un as.

(b) exactamente un as.

(c) exactamente dos ases.

6.3 La probabilidad de acertar a un blanco es 15.(a) Se disparan 9 tiros independientemente. Hallar la cantidad mas probable deimpactos recibidos por el blanco.

(b) Repetir el inciso anterior si se disparan 10 tiros.

(c)

Repetir el inciso anterior si se disparan n tiros.

6.4 El diametro de las arandelas (en mm.) producidas por una maquina es unavariable aleatoria cuya funcion de densidad es fXpxq px 6q4 1t6 ¤ x 8u p10 xq4 1t8 ¤ x ¤ 10u. Si se revisan 100 arandelas, ¿cual es la probabilidad deque mas de una tenga un diametro inferior a 6.5 mm.?

6.5 El 1% de los individuos de una poblacion es zurdo. Usando la distribucionde Poisson, calcular en forma aproximada la probabilidad de encontrar al menos 4zurdos entre 200 individuos.

6.6 ¿Que tan larga debe ser una sucesion de dıgitos aleatorios para que la proba-bilidad de que aparezca el dıgito 7 sea por lo menos 910?

6.7 El peso de una bolsa de cemento (en kg.) es una variable aleatoria uniforme enel intervalo p20, 30q. Si los pesos de las bolsas son independientes, calcular

(a) la probabilidad de que la primera bolsa con peso superior a 29 kg. sea la septimabolsa revisada.

(b) la probabilidad de necesitar revisar mas de 5 bolsas hasta encontrar una quesea inferior a 22.5 kg.

6.8 !Chocolatines Jack lanza una coleccion de munequitos con las figuras de

los personajes de Kung Fu Panda: Panda, Tigre, Mono, Grulla y Mantis. Cadavez que Lucas compra un chocolatın es igualmente probable que obtenga alguno delos personajes. Sea N la cantidad de chocolatines que Lucas debe comprar hastacompletar la coleccion, hallar ErN s y varpNq. Interpretar los resultados.

6.9 [ver Ejercicio 4.8] Una lampara tiene una vida (en horas) con distribucionexponencial de parametro 1. Un jugador enciende la lampara y, mientras la lamparaesta encendida, lanza un dado equilibrado de quince en quince segundos. Hallar elnumero esperado de 3’s observados hasta que la lampara se apague.

6.10 ! Se arroja repetidamente un dado. Calcular la probabilidad de que el terceras salga en el septimo tiro.

6.11 Monk y Lucas disputan la final de un Campeonato de Ajedrez. El primeroque gane 6 partidas (no hay tablas) resulta ganador. La duracion de cada partida(medida en horas) es una variable aleatoria cuya funcion de densidad es fT ptq pt 1q2 1t1 ¤ t ¤ 3u. La probabilidad de que Lucas gane cada partida dependede la duracion de la misma. Si dura menos de 2 horas, gana con probabilidad 34;si no, gana con probabilidad 12. ¿Cual es la probabilidad de que Lucas gane elCampeonato en la octava partida?

6.12 Sean N1 y N2 dos variables geometricas independientes donde PpNi 1q p.Sean N N1 y S N1 N2. Hallar

(a) la funcion de probabilidad conjunta de N y S. ¿Son N y S independientes?

(b) la distribucion de N |S k y calcular Pp2 ¤ N ¤ 4|S 7q.6.13 De los 25 jugadores de futbol de un club se elige al azar un equipo de 11. Si8 de los jugadores del club son federados, hallar la probabilidad de encontrar

(a) ningun jugador federado en el equipo.

(b) exactamente 2 jugadores federados en el equipo.

(c) al menos 4 jugadores federados en el equipo.

6.14 ! En una urna hay k bolas blancas y 5 bolas negras, donde 0 ¤ k ¤ 6. Elresultado de la extraccion de 2 bolas al azar sin reposicion fue de 1 blanca y 1 negra.Para cada k hallar la probabilidad de haber observado el mencionado resultado delas 2 extracciones. ¿Que valor de k da lugar a la mayor probabilidad?

6.15 ! El control de recepcion de piezas realizado a cada caja, que contiene 10unidades, consiste en elegir 2 piezas y rechazar la caja si alguna es defectuosa. El“honesto” proveedor coloca en cada caja un numero de defectuosas que dependedel resultado de arrojar un dado como sigue: Si sale un as, no pone ninguna; si elresultado es 2, 3, 4 o 5 pone 1; y si es 6, pone 2. Determinar

(a) la distribucion del numero de defectuosas que hay en las cajas.

(b) la distribucion del numero de defectuosas que se encuentran en cada muestrade 2 unidades.

(c) el porcentaje de cajas rechazadas.

6.16 Una cadena de supermercados compra un lote de 50000 bombitas electricas.Un lote se considera bueno cuando a lo sumo 500 bombitas estan quemadas, y seconsidera malo cuando al menos 1500 bombitas lo estan. Se elige una muestra de n

bombitas para ensayar. Si c o menos de ellas estan quemadas, se acepta el lote. Encaso contrario, se lo devuelve al proveedor. Se proponen tres planes de muestreo:

1. n 200; c 4.2. n 100; c 2.3. n 100; c 1.

(a) Expresar en palabras los riesgos del proveedor y del comprador.

(b) Graficar las curvas caracterısticas (ver Ejercicio 1.33) de los tres planes demuestreo (utilizar la aproximacion binomial de la hipergeometrica).

(c) ¿El plan 2 protege similarmente al proveedor que el plan 1? ¿Y al comprador?Justificar.

(d) ¿El plan 3 protege mas al comprador que el plan 1? ¿Y al proveedor? Justificar.

6.17 ! En una pieza fabricada existen dos tipos de falla, en forma independiente:por abolladura con una probabilidad de 0.1 y por rotura con una probabilidad de0.2. Hallar la probabilidad de que al tomar 8 piezas,

(a) mas de una sea defectuosa solo por abolladura.

(b) una resulte defectuosa solo por rotura.

(c) a lo sumo una tenga ambos defectos.

(d) menos de 2 tengan algun defecto.

(e) por lo menos una no tenga defectos.

(f) 2 esten abolladas solamente, 3 esten rotas solamente, 1 tenga ambos defectos yel resto sean buenas.

6.18 En una fabrica hay cuatro maquinas A, B, C y D que producen el 30%, 20%,10% y 40% de la produccion total, respectivamente. Si se sabe que en diez artıculostomados al azar de la produccion, exactamente dos provienen de la maquinaA, ¿cuales la probabilidad de que haya exactamente dos provenientes de la maquina B?

6.19

Se tienen siete dados equilibrados: uno normal y seis con seis ases. Serealizan los siguientes tres experimentos:E1: Se elige al azar uno de los siete dados y se lo arroja tres veces;E2: Tres veces se elige al azar uno de los siete dados, y se lo arroja (reponiendolo

luego entre los otros);E3: Se eligen al azar tres de los siete dados, y se los arroja.

Sea Ai el evento: “en el experimento Ei no se obtuvo ningun as”.

(a) Sin usar lapiz y papel, ¿podrıa Ud. determinar cual es la maxima de las proba-bilidades PpAiq? ¿Y la mınima?

(b) Calcular las tres probabilidades P pAiq. Si sus respuestas en Inciso (a) fueronincorrectas, trate de entender por que.

6.20

Se tirara un dado equilibrado hasta que salga el as. Sea N la cantidadde tiradas necesarias y sea M la cantidad de cuatros obtenidos. Calcular ErM s ycovpN,Mq.

6.21 ! Un motoquero transita por una avenida. Las probabilidades de que almomento de llegar a un semaforo se encuentre en rojo, amarillo o verde son 0.45,0.05 y 0.5 respectivamente. Los estados de los semaforos son independientes entresı y el motoquero solo se detiene al encontrar un semaforo en rojo. SeaX la cantidadde luces amarillas que atraveso hasta detenerse.

(a) Calcular la media y varianza de X.

(b) Hallar la funcion de probabilidad de X.

6.22 ! Un juego consiste en arrojar una moneda legal 5 veces y contar el numerode caras obtenidas (Fase I del juego). Luego, la Fase II consiste en:

arrojar la moneda tantas veces como cantidad de caras obtenidas en la FaseI, si el numero de caras obtenido en la Fase I es mayor que 3;arrojar la moneda hasta obtener un total de 4 caras (incluyendo las obtenidasen la fase I), si el numero de caras obtenido en la Fase I es a lo sumo 3.

Calcular el valor esperado de la cantidad de tiros efectuados en la Fase II.

Ejercicios Complementarios

6.23 Se trata de que un proceso de fabricacion no produzca mas del 5% de artıculosdefectuosos. A tal efecto se lo controla periodicamente examinando n artıculos y sialguno de ellos es defectuoso, se detiene el proceso para revisarlo.

(a) Si el proceso de fabricacion realmente esta trabajando al 5% de artıculos de-fectuosos y se examinan n 20 artıculos, ¿cual es la probabilidad de detener elproceso innecesariamente?

(b) Hallar la cantidad mınima de artıculos que deberan examinarse si se deseaque la probabilidad de detener el proceso cuando realmente esta trabajando al 6%de defectuosos sea por lo menos 0.99. Con ese tamano de muestra, ¿cual es laprobabilidad de detener el proceso innecesariamente?

6.24

En un tramo de una lınea de montaje se realizan las operaciones 1, a cargode Luis, y 2, a cargo de Jose. Ambos son especialistas y que producen un 5% dedefectos cada uno. Cuando falta alguno de ellos, y lo hacen aleatoria e indepen-dientemente el 8% de los dıas, son reemplazados por auxiliares no especializadosque trabajan con un 20% de defectos cada uno. Cada unidad es defectuosa si existedefecto en cualquiera de las operaciones del montaje, que son independientes. Siun dıa se toma una muestra de 20 unidades y resultan 2 defectuosas, ¿cual es laprobabilidad de que ese dıa haya faltado alguno de los especialistas?

6.25 La probabilidad de dar en el blanco de dos tiradores A y B es respectivamente0.4 y 0.7. Cada uno hace cinco disparos. Si se sabe que juntos acertaron 6 tiros,¿cual es la probabilidad de que A haya acertado dos?

6.26 En un proceso de produccion en serie las piezas tienen dos tipos de defectos:de forma o de color. La probabilidad de que una pieza tenga un defecto de formaes 0.1; la probabilidad de que tenga un defecto de color es de 0.72 si tiene defectode forma, y de 0.08 cuando no tiene defecto de forma. Cuando se detecta una piezacon ambos defectos se suspende la produccion formando un lote con las piezasproducidas hasta ese momento, incluyendo la pieza con ambos defectos. ¿Cual esla cantidad media de piezas defectuosas por lote?

6.27 h Sea X1, X2, . . . una secuencia de variables aleatorias, todas de media 2,y N una variable geometrica(p 23), independiente de las Xi. Calcular ErX1 XN |N ¥ 2s.6.28 Sea un dado de 4 caras a, b, c, d, con probabilidades pa, pb, pc, pd, respecti-vamente. El dado se lanza n veces, en forma independiente.

(a) Sean Xa, Xb, Xc, Xd la cantidad de lanzamientos en los que el dado cae en lacara a, b, c, d. ¿Cual es la distribucion de cada una de las Xi? Justificar.

(b) ¿Cual es la covarianza entre Xa y Xb si pi 14? Interpretar el signo delresultado.

(c) h ¿Cual es la covarianza entre Xa y Xb? Interpretar el signo del resultado.

6.29 h Un empresario de la industria del juego propone un nuevo entretenimientopara su casino: “Se le entrega un dado legal. Usted sigue tirando hasta que saque un6. Usted recibe una cantidad fija de $1 por cada tiro que realizo donde el resultadofue un numero impar.” Sea R la cantidad de dinero que recibe un jugador.

(a) Hallar el valor medio de R. Si se paga un monto fijo de $5 para poder jugar,¿es este juego conveniente para el casino?

(b) Hallar la varianza de R.

(c) Hallar la funcion de probabilidad de R.

Guıa 7

7.1 El numero de buques tanque que llegan en un dıa a una refinerıa tiene unadistribucion de Poisson de media µ 2. Si mas de tres buques llegan en un dıa, losque estan en exceso deben enviarse a otro puerto, pues las actuales instalacionesportuarias pueden despachar a lo sumo tres buques al dıa.

(a) ¿Cual es la probabilidad de tener que hacer salir buques en un dıa determinado?

(b) ¿Cual es el numero mas probable de buques que llegan en un dıa?

(c) ¿Cual es el numero esperado de buques atendidos diariamente?

(d) ¿Cual es el numero esperado de buques rechazados diariamente?

(e) ¿En cuanto deben aumentarse las instalaciones actuales para permitir la aten-cion a todos los buques el 90% de los dıas?

7.2 La cantidad de insectos que arriban a la mesa de un asado responde a unadistribucion Poisson de media µ 60. Cada insecto puede ser una mosca conprobabilidad p 23. La cantidad de insectos y la naturaleza de cada uno de ellosson independientes.

(a) Dado que arribaron 60 insectos, ¿cual es la distribucion de la cantidad de moscasen la mesa?

(b) Hallar la probabilidad de que arriben 50 insectos y 35 de ellos sean moscas.

(c) ¿Cual es la distribucion de la cantidad de moscas que arriban a la mesa?

7.3 Una fabrica textil produce rollos de tela con dos tipos de fallas: de tejido y detenido. En cada rollo, la cantidad de fallas de tejido tiene distribucion Poisson demedia µ1 2 y la cantidad de fallas de tenido tiene distribucion Poisson de mediaµ2 4. Ambas cantidades son independientes.

(a) ¿Cual es la probabilidad de que un rollo de tela no tenga fallas?

(b) ¿Cual es la probabilidad de que un rollo de tela tenga exactamente una falla?

(c) Dado que un rollo de tela tiene exactamente una falla, ¿cual es la probabilidadde que esta sea una falla de tejido?

7.4 La cantidad de relampagos durante una tormenta tiene una distribucion Poissonde media µ, donde µ es una variable aleatoria con distribucion uniforme sobre elintervalo r3, 8s. Calcular la probabilidad de que en un dıa de tormenta, se observeal menos un relampago.

7.5 La duracion de un cierto componente electrico es una variable aleatoria expo-nencial de media 1000 hrs.

(a) ¿Cual es la probabilidad de que dicho componente dure mas de 200 hrs.?

(b) Si se sabe que luego de 1200 hrs. estaba funcionando, ¿cual es la probabilidadde que dure mas de 1400 hrs.?

(c) Comparar las probabilidades obtenidas en ambos incisos y obtener una conclu-sion.

(d) Repetir los calculos si la duracion del componente fuese una variable con dis-tribucion gamma de media 4000 hrs. y desvıo 2000 hrs.

7.6 Sean X1 y X2 variables exponenciales independientes con intensidad λ. SeanX X1 y S X1 X2.

(a) Hallar la densidad conjunta de X y S. ¿Son X y S independientes?

(b) Calcular PpX P r0, 1s|S 3q.7.7 La cantidad de clientes que recibe un servidor en una hora obedece a unadistribucion Poisson de media µ 4. El tiempo de trabajo (en minutos) consumidoen cada servicio es una variable aleatoria con distribucion exponencial de media5. Sabiendo que durante la primera hora el servidor recibio menos de 3 clientes,hallar la funcion de distribucion del tiempo de trabajo consumido por el servidor yel valor medio de dicho tiempo.

7.8

La cantidad de relampagos durante una tormenta tiene una distribucionPoisson de media µ, donde µ es una variable aleatoria con distribucion exponencialde intensidad 3.

(a) Calcular la probabilidad de que en un dıa de tormenta no se observe ningunrelampago.

(b) ¿Cual es la distribucion de la cantidad de relampagos durante una tormenta?

7.9 ! Sea tNptq, t ¥ 0u el proceso de conteo asociado a un proceso de Poisson deintensidad 8. Calcular

(a) PpNp1q 2q.(b) PpNp2q Np1q 3q.(c) PpNp1q 2, Np2q Np1q 3, Np4q Np2q 5q.Sea T el tiempo de espera hasta que ocurre el cuarto evento del proceso de Poisson.Calcular

(d) ErT s.(e) ErT |Np1q 2s.7.10 A un quiosco llegan clientes de acuerdo con un proceso de Poisson de inten-sidad 30 por hora.

(a) Hallar la probabilidad de que en media hora lleguen exactamente 15 clientes.

(b) Hallar la probabilidad de que el tiempo de espera entre la octava y la decimallegada supere los 5 minutos.

7.11 ! Los colectivos de la lınea 61.09 llegan a la parada de Paseo Colon 850 segunun proceso Poisson de intensidad 12 por hora.

(a) Andres llega a la parada del 61.09 a las 19:30. Calcular la probabilidad de queAndres tenga que esperar mas de 5 minutos hasta que llegue el proximo colectivo.

(b) Jemina llega a la parada del 61.09 a las 19:31. Calcular la probabilidad de queJemina tenga que esperar mas de 5 minutos hasta que llegue el proximo colectivo.

(c) Martın llega a la parada del 61.09 en un horario aleatorio T cuya densidad deprobabilidades es fT ptq π

4 |senpπpt 19 : 30qq| 1t19 : 30 t 19 : 32u. Calcularla probabilidad de que Martın tenga que esperar mas de 5 minutos hasta que llegueel proximo colectivo.

7.12 ! A un banco llegan clientes de acuerdo con un proceso de Poisson de in-tensidad 10 por hora. Suponiendo que dos clientes llegaron durante la primer hora,¿cual es la probabilidad de que

(a) ambos lleguen durante los primeros 20 minutos?

(b) al menos uno llegue durante los primeros 20 minutos?

7.13

Los errores en un libro aparecen segun un proceso Poisson. Se sabe que enlas primeras 500 paginas hay un total de 500 errores. Hallar la probabilidad de quela pagina 1 contenga al menos tres errores.

7.14 Ocurren choques de acuerdo a un proceso de Poisson de intensidad 1 porsegundo. Independientemente, cada choque hace que un sistema falle con probabi-lidad 12. Sea T el tiempo en que falla el sistema. Hallar la distribucion de T , ErT sy varpT q.

7.15! Una maquina produce rollos de alambre. El alambre tiene fallas distribuidascomo un proceso de Poisson de intensidad 1 cada 25 metros. La maquina detectacada falla con probabilidad 0.9 y corta el alambre en la primer falla detectada antesde los 25 metros o a los 25 metros si no se detectan fallas antes.

(a) Hallar la media de la longitud de los rollos de alambre.

(b) Hallar la cantidad media de fallas en los rollos.

7.16 ! [ver Ejercicio 4.14]

(a) Sean A y B dos procesos de Poisson independientes de tasa 1. ¿Cual es la pro-babilidad de que al superponerlos, los dos primeros eventos observados provengandel proceso A?

(b) Sean X1, X2, X3 variables aleatorias independientes exponenciales de media1. Calcular la probabilidad de que X1 supere a X2 X3 (sugerencia: utilizandocorrectamente el resultado del inciso anterior, no es necesario hacer ninguna cuen-ta).

7.17 Familias de argentinos migran a Italia de acuerdo con un proceso de Poissonde tasa 4 por semana. Si el numero de integrantes de cada familia es independiente ypuede ser 2, 3, 4, 5 con probabilidades respectivas 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, ¿cual es el valoresperado del numero de argentinos que migran a Italia durante un perıodo fijo de15 semanas?

7.18 ! En un puesto de peaje se sabe que los vehıculos arriban con una tasa de10 por minuto. El 70% de las veces es un auto, el 10% de las veces es una moto, yel 20% de las veces es un camion. Los coches transportan en promedio una cargade 400 kg., las motos de 120 kg., y los camiones de 1300 kg.

(a) Encontrar la probabilidad de que en media hora crucen por el peaje a lo sumo2 autos.

(b) Hallar la probabilidad de que en 1 minuto pasen 7 autos, 2 camiones y 1 moto.

(c) Hallar la carga media que transporta un vehıculo que pasa por el peaje.

(d) Hallar la carga media total que atraviesa el peaje durante 1 hora.

7.19 !A una lınea de embalaje arriban en forma independiente piezas produci-

das por las maquinas A y B. Las piezas de la maquina A lo hacen segun un procesoPoisson de tasa 2 por minuto, mientras que las de la maquina B tambien lo hacenen forma Poisson pero con tasa 3 por minuto. Las piezas de ambas maquinas llegana la lınea de embalaje y por orden de arribo son embaladas de a pares. Hallar lamedia y la varianza del tiempo transcurrido hasta la aparicion de un par embaladoformado por una pieza proveniente de cada maquina.

7.20 ! Los mensajes que son spam arriban segun un proceso Poisson de tasaλs 8 mensajes por hora, mientras que los que no son spam (regulares) lo hacencon λr 2 mensajes por hora, e independientemente de los spam. De los mensajesregulares, con probabilidad p 0.05 y de manera independiente son invitacionespara salir con amigos.

(a) Se tardan 2 segs. en reconocer y borrar un mensaje de spam. El tiempo paraleer y contestar un mensaje regular es uniforme entre 60 y 120 segs. Encontrar lamedia y varianza del tiempo necesario para procesar todos los mensajes recibidosentre las 12 y 22 hrs.

(b) Si acaba de recibirse un mensaje nuevo, hallar la probabilidad de que sea unainvitacion para salir con amigos.

(c) La cuenta acaba de ser verificada. Encontrar la media del numero de mensajesde spam que se recibiran hasta la llegada del proximo mensaje regular.

(d) Entre las 10 y 14 hrs. arribaron 10 mensajes de spam. Calcular la probabilidadde que exactamente 3 de ellos hayan arribado entre las 11 y 12 hrs.

(e) Luego de chequear el correo, una persona se queda dormida durante un tiempoaleatorio con distribucion exponencial de media 1. Si al despertarse observa que norecibio mensajes nuevos, hallar la funcion de densidad condicional del tiempo queestuvo dormida (condicionada al hecho de que en ese tiempo no recibio mensajes).

Ejercicios Complementarios

7.21 Una fabrica textil produce rollos de tela para una camiserıa. La tela se tejeen una maquina que produce fallas de tejido de acuerdo con un proceso de Poissonde intensidad 2 cada 300 metros. La tela se corta en piezas de 100 metros de largoy cada pieza pasa a la maquina de tenido. Cuando una pieza de tela no tiene fallasde tejido la cantidad de fallas de tenido es una variable aleatoria con distribucionPoisson de media 1. En cambio, si la pieza tiene fallas de tejido la cantidad defallas de tenido una variable aleatoria con distribucion Poisson de media 2. Hallarla distribucion de la cantidad de fallas en una pieza enrollada.

7.22 h En el contexto del Ejercicio 7.11 Ignacio llega a la parada del 61.09 a

las 19:35 y se sube en el primer colectivo de dicha lınea que arribe a la parada.

(a) Calcular la probabilidad de que el ultimo colectivo haya pasado por lo menos 5minutos antes de la llegada de Ignacio a la parada y que el proximo tarde mas de5 minutos en llegar a la parada.

(b) Hallar la media del tiempo transcurrido entre el instante en que paso el ultimocolectivo antes de la llegada de Ignacio a la parada y el instante en que llego elcolectivo en que se subio Ignacio.

7.23 La llegada de aviones a un aeropuerto de una determinada ciudad respondea un proceso Poisson con una media de 12 aviones por hora. Un oficial de controlllega cada dıa de la semana y permanece en el aeropuerto el tiempo necesario has-ta que llega el decimo avion. Si al cabo de una semana (5 dıas habiles) el tiempoque permanecio el oficial en el aeropuerto supero las 4 horas, ¿cual es la probabi-lidad de que dicho tiempo haya excedido las 5 horas? Suponer que los tiempos depermanencia de dos dıas diferentes son independientes.

7.24 Un proceso de arribos comienza en t 0 y los tiempos entre arribos T1, T2, . . .son variables aleatorias independientes, cada una con funcion densidad dada porfTiptq p2et 3tetq5 1tt ¡ 0u.(a) Calcular la media de T1.

(b) Calcular la probabilidad de que no ocurran arribos entre t 0 y t 2.

7.25 O A una estacion de trenes llegan personas de acuerdo con un proceso dePoisson de intensidad 50 por minuto. El tren parte a los 20 minutos. Sea T lacantidad total de tiempo que esperaron todos aquellos que subieron al tren. HallarErT s y varpT q. (sugerencia: condicionar al valor de Np20q cantidad de llegadasen 20 minutos y usar la formula de probabilidad total.)

7.26

Clientes ingresan a un banco segun un proceso de Poisson de tasa 10 porhora. El 30 por ciento de los clientes son mujeres. ¿Cual es la probabilidad de que enel lapso hasta la llegada del sexto hombre hayan ingresado exactamente 2 mujeres?

7.27 A un hospital llegan personas de acuerdo con un proceso de Poisson de inten-sidad 1 cada hora. Cuando una persona ingresa al hospital, la probabilidad de queeste gravemente enferma es 0.4. (cada una en forma independiente de las otras). Lajornada de atencion del hospital es de 24 horas.

(a) El costo de atender a una persona que esta gravemente enferma es de $10 y elde atender a una persona que no este gravemente enferma es de $2. Hallar el costomedio de una jornada de atencion.

(b) Sabiendo que el costo de una jornada de atencion fue de $10, hallar la distri-bucion de la cantidad de personas que llegaron al hospital en esa misma jornada.

7.28h Una maquina produce rollos de alambre. El alambre tiene fallas distribuidascomo un proceso de Poisson de intensidad 1 cada 25 metros. La maquina corta elalambre en la primer falla detectada despues de los 50 metros, pero detecta las fallascon probabilidad 0.9. Si entre los 50 y los 150 metros no detecta ninguna falla, lamaquina corta el alambre a los 150 metros. Hallar la cantidad media de fallas enlos rollos.

7.29 [ver Ejercicio 7.16] Lucas entra en un banco que tiene dos cajas indepen-dientes. Pablo esta siendo atendido por el cajero 1 y Pedro por el cajero 2. Lucassera atendido tan pronto como Pedro o Pablo salgan de la caja. El tiempo, en mi-nutos, que demora el cajero i en completar un servicio es una variable aleatoriaexponencial de media 23i, i 1, 2. Hallar

(a) la probabilidad de que Pablo sea el primero en salir;

(b) la probabilidad de que Pablo sea el ultimo en salir.

7.30 Un contador recibe impulsos de dos fuentes independientes, A y B. La fuenteA genera impulsos de acuerdo con un proceso de Poisson de tasa 3, mientras que lafuente B genera impulsos siguiendo un proceso de Poisson de tasa 5. Suponer queel contador registra todo impulso generado por las dos fuentes.

(a) Hallar la probabilidad de que el primer impulso registrado sea de la fuente A.

(b) Dado que exactamente 100 impulsos fueron contados durante la primer unidadde tiempo, ¿cual es la distribucion de la cantidad emitida por la fuente A?

7.31 En hora pico, una autopista recibe trafico de 3 entradas, A, B y C, en formaindependiente, que tienen tasas de 30, 35 y 25 vehıculos por minuto, respectiva-mente. De los vehıculos que llegan por A o B, el 30% se desvıa por colectora (osea, no van por la autopista). En la autopista hay un puesto de peaje (luego de las3 entradas).

(a) ¿Cual es la probabilidad de que al peaje lleguen 3 autos en menos de 5 segundos?

(b) ¿Cual es la probabilidad de que pasen mas de 5 autos hasta que pasa unoproveniente de la entrada A?

(c) Se sabe que en un lapso de 15 segundos pasaron por el peaje 20 vehıculos. ¿Cuales la probabilidad de que la mitad de ellos haya pasado en los ultimos 5 segundos?

(d) En el peaje se instala un contador de vehıculos, pero el mismo funciona inter-mitentemente. Cada vez que funciona, el tiempo durante el cual lo hace no es fijosino que es una variable Ti Up10, 15q segundos. Sea Xi la cantidad de vehıculosregistrados la i-esima vez que funciona el dispositivo. La cantidad de veces que eldispositivo funciona durante un minuto es una variable Nj distribuida uniforme-mente a valores t1, 2, 3, 4u. Si cada una de las secuencias tTiu, tXiu y tNju son

i.i.d., hallar la cantidad media de vehıculos registrados por el dispositivo durante 1hora.

7.32 h [Ross, pag. 351 ] Sea Sptq el precio de un seguro a tiempo t. Un modelopara el proceso tSptq, t ¥ 0u supone que el precio se mantiene constante hastaque ocurre un “sobresalto”, en ese momento el precio se multiplica por un factoraleatorio. Sea Nptq la cantidad de “sobresaltos” a tiempo t, y sea Xi el i-esimofactor multiplicativo, entonces el modelo supone que

Sptq Sp0qNptq¹i1

Xi

donde si Nptq 0, se define±0

i1Xi 1. Suponer que los factores son variables ex-ponenciales independientes de tasa 12, que tNptq, t ¥ 0u es un proceso de Poissonde tasa 1, independiente de los Xi, y que Sp0q 1.

(a) Hallar ErSptqs (sugerencia: usar la formula de probabilidad total condicionandoa los posibles valores de Nptq y el desarrollo en serie de Taylor de la exponencial.)

(b) Hallar ErS2ptqs.

7.33 O En la fila de un cajero automatico hay personas que esperan realizar unaoperacion; cada vez que una persona termina su operacion, la siguiente comienzala suya. Las personas son impacientes, e independientemente de lo que hagan lasdemas, cada una espera solamente un tiempo exponencial de tasa 1; luego del cualsi no ha comenzado su operacion se retira de la fila. Por otra parte, los tiemposconsumidos en cada operacion son independientes y exponenciales de tasa 10. Si unapersona esta utilizando el cajero, hallar la probabilidad de que la octava personaen la fila realice su operacion.

Guıa 8

8.1 Sea X una variable aleatoria con distribucion normal estandar.

(a) Usando una tabla, calcular Pp0.43 X 1.32q, Pp1.28 X 1.64q yPp|X| 1.64q.(b) Usando una tabla, encontrar las constantes que satisfacen las siguientes ecua-ciones PpX aq 0.1, PpX ¡ bq 0.2, Pp|X| cq 0.95.

8.2! Para modelar el precio del kilo de asado se usa una variable aleatoria con dis-tribucion normal de media 3 dolares y varianza 4. ¿Que puede decirse de semejantemodelo? ¿Y si su media fuese 8 dolares? ¿Y si su media fuese 14 dolares?

8.3 [Control Estadıstico de Procesos] Sea X una variable observable de un procesoindustrial. Se dice que el proceso funciona bajo control cuando es estable, es decir,cuando la variacion aleatoria de X se corresponde con los valores historicos de sumedia µ y desvıo σ en todo momento. En caso contrario, se dice que el procesoesta fuera de control.

Para evaluar si se descontrola el proceso, se toman mediciones de la variable cada15 minutos y se definen las siguientes senales de descontrol, es decir, eventos muyimprobables cuando el proceso esta bajo control. De producirse alguno de estoseventos, se concluirıa que el proceso dejo de estar bajo control:

Un valor que satisfaga |X µ| ¡ 3σ Ñ un valor muestral esta fuertementefuera de control.Al menos dos de tres valores consecutivos son superiores a µ2σ (o inferioresa µ2σ)Ñ existe una tendencia moderada a que las muestras se encuentrenmoderadamente fuera de control.Al menos cuatro de cinco valores consecutivos son superiores a µ σ (oinferiores a µ σ) Ñ existe una tendencia fuerte a que las muestras seencuentren ligeramente fuera de control.Ocho o mas valores consecutivos superan a µ (o no lo superan) Ñ existe unsesgo prolongado.

La media y la dispersion historicas de X son µ 162.4 y σ 0.2.

(a) Encontrar cotas para la probabilidad de cada senal de descontrol sin importarcual sea la distribucion de probabilidad de X.

(b) Asumiendo ahora que la variable X tiene distribucion normal de media µ ydesvıo σ, calcular las probabilidades de cada senal de descontrol, y verificar quetodas son 0.005.

(c) Luego de un dıa de trabajo se tomaron 50 mediciones y se volcaron en el siguientegrafico (grafico de control). Analizarlo, y decir si aparecen senales de descontrol, osi, por el contrario, el proceso funciona controlado.Nota: De las senales de descontrol indicadas arriba se excluyo una de mas utiles enla practica real: “Seis o mas puntos consecutivos en tendencia creciente (o decre-ciente)”. La probabilidad de esta senal de descontrol en el caso normal es 0.0015,aunque su calculo es mas complejo que el de las otras.

161.8

162

162.2

162.4

162.6

162.8

163

8.4 ! Un distribuidor de arandelas cuenta con dos proveedores. De acuerdo a lasespecificaciones provistas, el proveedor A ofrece arandelas cuyo diametro (en mm.)se rige por una distribucion normal de media 15 y varianza 9; mientras que lasdel proveedor B tambien son normales con media 23 y desvıo 3. Lamentablementelas cajas de los proveedores se colocaron en el deposito sin ser etiquetadas. Paradecidir cada caja de que proveedor proviene, se mide una arandela y si su diametroes inferior a 19 mm. se decide que esa caja es del proveedor A.

Calcular la probabilidad asociada a los dos errores que pueden cometerse porusar dicha regla.

8.5 La vida en horas de una lampara tiene una distribucion normal de media100 horas. Si un comprador exige que por lo menos el 90% de ellas tenga unavida superior a las 80 horas, ¿cual es el valor maximo que puede tomar la varianzamanteniendo siempre satisfecho al cliente?

8.6 En un establecimiento agropecuario, el 10% de los novillos que salen a ventapesan mas de 500 kg. y el 7% pesa menos de 410 kg. Si la distribucion es normal,calcular

(a) el peso superado por el 15% de los novillos.

(b) un intervalo de confianza al 95% para el peso de los novillos.

(c) la probabilidad de que en una jaula de 25 novillos haya alguno con un pesoinferior a 400 kg.

8.7 Sea X Up3, 4q e Y |X x Npx, 1q. Usando la tabla de la funcion dedistribucion de la variable normal, calcular fY p5q y PpX ¡ 3.5|Y 5q.

8.8 ! [ver Ejercicio 4.30] Sean X e Y variables aleatorias Np0, 1q independien-tes. Hallar la funcion densidad conjunta y las funciones densidad marginales deW X Y y Z X Y . ¿Que se puede concluir sobre la covarianza y la inde-pendencia entre W y Z?

8.9 En una lınea de montaje se arma un mecanismo que tiene un eje que gira dentrode un buje. Un eje y un buje ajustan satisfactoriamente si el diametro del segundoexcede al del primero en no menos de 0.005 y no mas de 0.035. Los diametros de losejes y los bujes son variables aleatorias con distribuciones uniformes independientesen el intervalo p0.74, 0.76q para los ejes y p0.76, 0.78q para los bujes.

(a) ¿Cual es la probabilidad de que un eje y un buje tomados al azar ajustensatisfactoriamente?

(b) Considere ahora que las variables son normales con las mismas medias y desvıosque en el inciso anterior y recalcule la misma probabilidad.

8.10 ! Una conserva se vendera envasada en latas. Las distribuciones de los pesos(en gr.) y sus costos (en $ por gr.) son los siguientes:

Peso neto X es normal de media 49.8 y desvıo 1.2.Peso del envase Y es normal de media 8.2 y desvıo 0.6.Costo de la conserva CC 0.06.Costo del envase CE 0.008.

(a) Calcular la probabilidad de que una unidad terminada tenga un costo inferiora $3.

(b) Hallar la probabilidad de que el costo del producto terminado supere en masdel 2% al costo del peso neto.

8.11 La cantidad de artıculos vendidos por hora en un comercio obedece a unproceso de Poisson de intensidad 12. El precio de venta (en $) de un artıculocualquiera sigue una distribucion normal de media 240 y desvıo 70. Si en un lapsode 6 horas se vendieron 2, 3 o 4 artıculos, hallar la probabilidad de que se hayavendido un monto superior a $680.

8.12

Una carpinterıa recibe igual cantidad de tablas de dos aserraderos A y B.En el primero, la longitud (en mts.) de las mismas tiene distribucion normal conmedia 3.8 y desvıo estandar 0.3; en el segundo, la distribucion tambien es normal,pero con parametros 3.9 y 0.35 respectivamente. Una vez guardadas en deposito,no es posible saber de que aserradero proviene cada tabla. Si se toma una tabladel deposito cuya longitud es de 3.7 mts., ¿cual es la probabilidad de que la mismaprovenga del aserradero B?

8.13 Una empresa tiene 3 vendedores, A, B y C. Las ventas diarias de cada unoson sumamente variables y se conocen sus medias y desvıos pero no sus leyes dedistribucion. Dichos parametros valen 100 y 45 para A, 120 y 30 para B, y 94 y 15para C. Calcular

(a) la probabilidad de que en 60 dıas habiles las ventas de A superen los 6500.

(b) la probabilidad de que en 60 dıas habiles B venda al menos un 30% mas queC.

(c) la venta total mınima que, con 95% de confiabilidad podra obtenerse con los 3durante los proximos 60 dıas habiles.

8.14 Ï El Sr. Gomez sale de su trabajo a las 19:00 en punto y se dirige a laparada del colectivo 528 (posicion 1 en el mapa de la figura) para volver a su casa.Dicha lınea de colectivos tiene una frecuencia exacta de un coche cada 6 min. El Sr.Gomez ignora a que hora vendra el proximo coche, por lo que el tiempo de esperahasta su llegada es considerado uniforme. Una vez que Gomez subio, el colectivo

demora en llegar a la posicion 2 un tiempo aleatorio en minutos Up6, 9q. Allı hayun semaforo que se encuentra en verde el 40% de las veces. Si no esta verde, debeesperar 3 min. El tiempo (en minutos) que tarda el colectivo en recorrer el trayectode 2 a 3 es una variable aleatoria X con distribucion fXpxq9x 1t0 x 10u. Elsemaforo que esta en 3 lo pasa en verde con probabilidad 0.3. Si esta en rojo debeesperar un tiempo aleatorio en minutos Up0, 2q. Luego, se demora exactamente 12min. en llegar al paso a nivel en 4, donde la barrera esta baja con probabilidad0.8, en cuyo caso debe esperar 5 min. el paso del tren. La demora en minutos deltrayecto de 4 a 5 tiene distribucion Up15, 20q, mientras que la del trayecto de 5a 6 tiene distribucion fY pyq9 y2 1t0 y 5u. Gomez se baja en 6, y caminaexactamente 3 min. hasta llegar a su casa en 7. Sea T la variable aleatoria asociadaal tiempo que tarda el Sr. Gomez en llegar a su casa desde el trabajo.

(a) Simular el viaje n veces. Construir un histograma con los valores simulados y ex-plorar informalmente si la distribucion de T podrıa considerarse aproximadamentenormal.

(b) En caso afirmativo, simular la probabilidad de que Gomez llegue a tiempo asu casa para ver completa la telenovela de las 20:00 y compararla con el resultadoanalıtico aproximado.

8.15 La probabilidad de que un tirador haga impacto en el blanco en un disparoes 12.(a) Calcular en forma aproximada la probabilidad de que en 12 disparos el tiradorconsiga impactar exactamente 6 veces al blanco.

(b) Calcular en forma aproximada la probabilidad de que en 12 disparos el tiradorhaga impacto en el blanco por lo menos 6 veces.

(c) Comparar los resultados obtenidos con los resultados exactos.

(d) Repetir los incisos anteriores cuando la probabilidad de que el tirador hagaimpacto en el blanco en un disparo es 120.

8.16 !Ï Supongase que Sn tiene distribucion binomialpn, pq, cuyos parametrosn y p se describen mas abajo. Calcular PpSn kq, k 1, 2, . . . , 25 por la formulaexacta y por las siguientes aproximaciones

1. Aproximacion por la densidad normal:

PpSn kq 1anpp1 pq φ

k npanpp1 pq

2. Correccion por continuidad:

PpSn kq P

k 1

2 Sn k 1

2

Φ

k np 12anpp1 pq

Φ

k np 12anpp1 pq

Comparar (por graficos) cuan buenas son las aproximaciones y cuan necesaria es lacorreccion por continuidad de acuerdo con los valores de n y p.

Utilizar n 5, 8, 10, 15, 20, 25, 50, 100, 200 y p p0.05qs, s 1, 2, . . . , 10.

8.17 Tres numeros se redondean al entero mas cercano y se suman. Se asume quelos errores individuales de redondeo se distribuyen uniformemente sobre el intervalop0.5, 0.5q.(a) Calcular en forma aproximada la probabilidad de que la suma de los numerosredondeados difiera de la suma exacta en mas de 1.

(b) Ï Simular la probabilidad pedida y compararla con el resultado analıticoaproximado.

8.18Ï Sea X X1X2X3X4X5, con Xi Up0, 1q e independientes. Sedesea saber si la distribucion de X puede o no aproximarse por una normal.

(a) Generar 200 o mas copias simuladas de X, construir un histograma y explorarinformalmente si la aproximacion normal podrıa considerarse adecuada.

(b) Repetir lo anterior con X5 Up0, 20q y las demas condiciones inalteradas.¿Como explica los resultados?

8.19 En un sistema electronico se producen fallas de acuerdo con un proceso dePoisson de tasa 2.5 por mes. Por motivos de seguridad se ha decidido cambiarlocuando ocurran 196 fallas.

(a) Calcular (aproximadamente) la probabilidad de que el sistema sea cambiadoantes de los 67.2 meses.

(b) Ï Simular la probabilidad pedida y compararla con el resultado analıticoaproximado.

8.20 Una maquina selecciona ciruelas y las separa de acuerdo con el diametro x(medido en cm.) de cada una. Las de diametro superior a 4 cm. se consideran declase A y las otras de clase B. El diametro de cada ciruela es una variable aleatoriauniforme entre 3 y 5 cm. El peso (medido en gramos) de cada ciruela depende de sudiametro y es x3. Si las cajas vacıas pesan 100 gramos, hallar en forma aproximadala probabilidad de que una caja con 100 ciruelas de tipo A pese mas de 9.6 kilos.

8.21

En un taller de manufactura, la fraccion de unidades defectuosas varıadiariamente en forma aleatoria con media 0.1 y desvıo estandar 0.03. A su vez, laproduccion diaria es tambien variable e independiente de la anterior, con media500 unidades y desvıo 120 unidades. El costo total diario tiene una parte fija de$0.8 por unidad producida (buena o defectuosa) mas $3.4 por unidad defectuosa.Calcular el costo total para 90 dıas superado con 90% de probabilidad.

8.22! Una excursion dispone de 100 plazas. La experiencia indica que cada reservatiene una probabilidad 0.1 de ser cancelada a ultimo momento. No hay lista deespera. Se supone que los pasajeros hacen sus reservas individualmente, en formaindependiente. Se desea que la probabilidad de que queden clientes indignados porhaber hecho su reserva y no poder viajar sea ¤ 0.01. Calcular el numero maximode reservas que se pueden aceptar.

8.23 ! Lucas y Monk palean arena cargando un volquete. La probabilidad deque una palada sea de Monk es 0.4 y la probabilidad de que sea de Lucas es 0.6.El volumen en decımetros cubicos de la palada de Lucas es una variable aleatoriauniforme entre 1 y 3, y el de la palada de Monk es una variable aleatoria uniformeentre 2 y 4. ¿Cuantas paladas son necesarias para que la probabilidad de que elvolquete tenga mas de 4 metros cubicos de arena supere 0.9?

8.24 El pesoW (en toneladas) que puede resistir un puente sin sufrir danos estruc-turales es una variable aleatoria con distribucion normal de media 1400 y desvıo100. El peso (en toneladas) de cada camion de arena es una variable aleatoria de me-dia 20 y desvıo 0.25. ¿Cuantos camiones de arena debe haber, como mınimo, sobreel tablero del puente para que la probabilidad de que ocurran danos estructuralessupere 0.1?

Ejercicios Complementarios

8.25 [Capacidad de procesos] La calidad de un proceso industrial suele caracterizar-se por alguna variable aleatoria X, medible sobre dicho proceso o sobre el productofabricado por el (por ejemplo, X puede ser el diametro de piezas torneadas, la co-rriente electrica en un proceso de soldadura, el volumen de llenado de botellas, ladureza de comprimidos farmaceuticos o su concentracion de principio activo, etc).Se suelen definir lımites superior e inferior de especificacion (LSE y LIE) comoaquellos valores a partir de los cuales el producto resulta no conforme o defectuoso.Cuando X pertenece al intervalo rLIE,LSEs, el producto se considera aceptable.Los sucesivos productos son obtenidos con variaciones aleatorias en X, que se supo-nen normales. Cuando el proceso es centrado (el intervalo se encuentra centrado enµX), la capacidad del proceso de elaboracion se define como la aptitud para generarproductos dentro de los lımites, y se cuantifica a traves del ındice de capacidad

Cp LSE LIE

6σX.

(a) Interpretar el significado de Cp.

(b)Ï De un proceso centrado con lımites LIE 10.90 mm. y LSE 11.10 mm.se midieron n 15 piezas, obteniendo (en mm.): 10.98, 10.92, 11.01, 11.08, 11.07,11.10, 10.87, 10.99, 11.07, 10.93, 10.96, 10.90, 10.89, 10.94, 10.95. Estimar con estamuestra σX como

?S2 (ver Ejercicio 3.18). Luego, estimar Cp y el porcentaje de

productos defectuosos.

(c) Calcular el porcentaje de piezas no conformes para procesos centrados con Cp

iguales a 2/3, 1 y 4/3.

(d) Un proceso centrado trabaja con un 0.5% de piezas no conformes. ¿Cuanto valesu Cp?

8.26 Se decide instalar un aparato que clasifique automaticamente ciertas piezasen largas y cortas. La longitud (en cm.) de las piezas largas tiene distribucionnormal de parametros µL y σ2

L; mientras que la de las cortas tambien es normal deparametros µC y σ2

C . Sean pC y pL 1 pC las probabilidades de recibir piezascortas y largas. Si se denomina X a la longitud de una pieza cualquiera, calcularPpcometer errorq en cada uno de los siguientes casos:

(a) µL 35, σ2L 25, µC 25, σ2

C 25, pL pC . Regla: “Si X ¡ 30, la pieza seclasifica como larga”.

(b) µL 30, σ2L 4, µC 25, σ2

C 25, pL 3 pC . Regla: “Si 25.97 X 35.94,la pieza se clasifica como larga”.

8.27 En una maquina se bobinaran carreteles con hilo de tıtulo 40 g./1000 m. Elcarretel lleno no debe pesar mas de 500 g. y se quiere que la probabilidad de quesupere este valor sea a lo sumo 0,01. En el carretel se bobinaran en promedio 10000m. de hilo, pero debido a la variabilidad en el frenado de la maquina, dicha longitudvariara en 2,5% con probabilidad 0,99. Especificar el peso promedio de los carretelesvacıos de la maquina, sabiendo que por razones de tolerancias constructivas setendra un desvıo estandar de 3 g. Considerar que la longitud de hilo bobinada y elpeso del carretel vacıo siguen distribuciones normales independientes.

8.28 Chi-cuadrado. Sea Y X2, con X Np0, 1q.(a) Hallar la funcion densidad de Y .

(b) Probar que X e Y estan descorrelacionadas pero no son independientes.

8.29 h [ver Ejercicio 8.8] Sean X e Y variables aleatorias independientes condistribucion comun Np0, 1q. Calcular PpX ¤ 0|X Y 1q.8.30 En el contexto del Ejercicio 8.4, si la regla fuese decidir por el proveedorA cuando el promedio de 9 arandelas independientes de una caja sea inferior a 19mm., hallar la probabilidad asociada a los errores con esta nueva regla.

8.31 Sea n la cantidad de experimentos Bernoulli que se realizan para obtener unaestimacion del parametro p. Si se quiere que el error de la estimacion sea menorque 0.01 con probabilidad por lo menos igual a 0.95, hallar una condicion sobre losposibles valores de n utilizando

(a) la cota de Chebyshev.

(b) el TCL.

(c) Comparar los resultados y las hipotesis utilizadas.

8.32

Se lanza un dado hasta que la suma de los resultados observados sea mayorque 300. Calcular aproximadamente la probabilidad de que se necesiten al menos80 lanzamientos. Simular la probabilidad pedida y compararla con el resultadoanalıtico aproximado.

8.33 Ï En el contexto del ejercicio Ejercicio 6.7, si se acumulan bolsas hastaencontrar una con peso superior a 29 kg. (incluyendo la ultima), hallar en formaaproximada la probabilidad de que el peso total acumulado supere los 165 kg.Mediante simulaciones, estime la probabilidad pedida y compararla con el resultadoanalıtico aproximado.

8.34 Un camion transporta cajas cargadas de artıculos varios. El peso de estascajas es una variable muy asimetrica y dispersa con un valor medio de 25 kg yun desvıo estandar de 18 kg. De acuerdo con las reglamentaciones vigentes, lacarga maxima que puede llevar el camion es de 4000 kg, sin embargo, como el sitiode carga no dispone de bascula, existe el riesgo de superarla en caso de colocardemasiadas cajas. Calcular el numero maximo de cajas a cargar en el camion paraque la probabilidad de dicho evento sea a lo sumo del 5%.

8.35 Una persona usa diariamente su radio portatil un tiempo variable dıa a dıacon media 2.4 hrs. y desvıo 0.8 hrs. La radio usa una pila especial cuya duracion estambien variable con media 8 hrs. y desvıo 1.2 hrs. Esta persona va a efectuar unviaje de 30 dıas y si se le agotan las pilas no esta seguro de conseguirlas. Calcularcuantas pilas debe llevar para que la probabilidad de dicho evento valga 0.05.

Facultad de Ingenierıa UBA

Probabilidad y Estadıstica

Guıa de Ejercicios (2a Parte)

Segundo Cuatrimestre del 2010

Version 1.1

Guıa 9

9.1 Los valores muestrales 0.69, 0.21, 0.89, 0.79 y 0.46 se obtuvieron de una variablealeatoria cuya densidad es fX|θnpxq nxn1 1t0 x 1u. Suponiendo que ladistribucion a priori del parametro n es uniforme sobre el conjunto t1, 2, 3, 4, 5, 6u,hallar la funcion de probabilidad a posteriori de n y calcular su media y su moda.

9.2 La longitud (en cm.) de ciertas varillas es una variable aleatoria con distribucionnormal de media µ y desvıo estandar 2. La media µ es una variable aleatoria discretacuya funcion de probabilidad a priori es Ppµ 10q 0.25 y Ppµ 14q 0.75. Seobserva que la longitud de una varilla es 12.1 cm.

(a) Hallar la funcion de probabilidad a posteriori de µ.

(b) En virtud de la informacion muestral estimar la probabilidad de que al observarotra varilla, su longitud sea mayor que 13 cm.

9.3 En una urna hay 6 bolas. A priori se supone que la cantidad de bolas blancasen la urna se distribuye uniformemente entre 0 y 6 (incluidos los extremos). Seextraen dos bolas de la urna: una es blanca, la otra es negra.

(a) Hallar la distribucion a posteriori de la cantidad de bolas blancas que habıainicialmente en la urna.

(b) Estimar la cantidad de bolas blancas que habıa inicialmente en la urna.

9.4 El peso, W (en gramos), de ciertos objetos es una variable aleatoria cuyafuncion densidad es de la forma fW |θpwq 1

2 pw θq1tθ ¤ w ¤ θ 2u. A priori, θtiene distribucion uniforme sobre el intervalo r0, 10s. Se observa que el peso de unobjeto es 5 gramos. Hallar la distribucion a posteriori de θ.

9.5 Sea X una variable aleatoria con densidad fX|θapxq ax2 1t0 x bu.(a) Encontrar la relacion entre a y b.

(b) A priori, se supone que los valores de a estan distribuidos uniformemente sobreel intervalo p0, 2q. Si se obtuvieron los valores muestrales 0.2, 0.8 y 3 hallar la funcionde distribucion a posteriori de a y calcular su media y su moda.

9.6 Se consideran dos monedas, M1 y M2, con las siguientes caracterısticas:Ppcara|M1q 0.6 y Ppcara|M2q 0.4. Se elige una moneda al azar y se la ti-ra repetidas veces. Dado que los primeros dos tiros resultaron ceca, calcular lamedia de la cantidad adicional de tiros hasta que aparezca la cara.

9.7 Un proceso de produccion, produce con una calidad del 100 p% de artıculosdefectuosos. A priori se supone que la proporcion p de artıculos defectuosos sedistribuye uniformemente sobre el intervalo p0, 1q. De una partida se examina unamuestra de 6 artıculos y se encuentran 2 defectuosos. En una caja se ponen otros4 artıculos de la misma partida. En base a la informacion muestral, estimar laprobabilidad de que la caja contenga un solo artıculo defectuoso.

9.8 Sea X el numero de caras en n tiros de una moneda cuya probabilidad de salircara es p. A priori se asigna una distribucion Betapν1, ν2q para p y se observan xcaras en n tiros.

(a) Mostrar que la media a posteriori de p se encuentra entre la media a priori,ν1

ν1ν2, y la frecuencia relativa con que se observa cara, x

n .

(b) Mostrar que la varianza a posteriori de p se comporta asintoticamente de la

misma forma que xpnxqn3 .

(c) Mostrar que si la distribucion a priori para p tiene parametros ν1 ν2 1, lavarianza a posteriori de p es menor que su varianza a priori.

(d) Dar un ejemplo de parametros ν1, ν2 para la distribucion a priori y datos x yn, para los que la varianza a posteriori de p es mayor que la varianza a priori.

(e) Calcular la probabilidad a posteriori de que en el proximo tiro de la monedasalga cara.

(f) ¿Como deben ser los parametros ν1 y ν2 de la distribucion a priori para p si sequiere expresar que la moneda “parece ser honesta”?

(g) Si la moneda parece ser honesta y como resultado de los n tiros se observaron 1ceca y n1 caras, ¿como debe ser n para que en el siguiente tiro las probabilidadessean 2 a 1 a favor de cara?

9.9 El Gobierno de la Ciudad Autonoma de Buenos Aires contrata a una empresaencuestadora para “determinar” la proporcion, p, de la poblacion de la Ciudadirritada por las polemicas declaraciones de uno de sus flamantes ministros. Paraanalizar los datos la encuestadora cuenta con dos estadısticos bayesianos, el primeroopina que la densidad a priori para p es f1ppq 10p1 pq9 1t0 p 1u pero elsegundo opina que serıa mas apropiado usar una a priori de la forma f2ppq 10p9 1t0 p 1u.(a) ¿Analizar que significado tienen esas dos opiniones y que consecuencias tienensobre el analisis de los datos si se decide que para estimar p se utilizara la mediade la distribucion a posteriori basada en el resultado de una encuesta realizada a10 vecinos de la Ciudad?

(b) ¿Que cantidad de vecinos de la Ciudad deben encuestarse si se quiere garantizarque las medias de las dos distribuciones a posteriori de p difieran en menos de 0.001?

9.10 Sea θ una variable aleatoria con densidad fθptq9tν1eλt 1tt ¡ 0u, donde νes un numero natural y λ es un numero real positivo.

(a) Calcular la media y la moda de θ.

(b) Sean X1, . . . , Xn variables aleatorias que condicionadas a θ t son indepen-dientes y cada una tiene distribucion de Poisson de media t. Hallar la forma de ladensidad a posteriori de θ si los valores observados de X1, . . . , Xn son x1, . . . , xn.Calcular la media a posteriori y mostrar que se puede expresar en la forma de unpromedio ponderado γnx p1 γnqµ0, donde x 1

n

°nk1 xk, µ0 Erθs y γn Ñ 1

cuando nÑ8.

(c) Sean X1, . . . , Xn variables aleatorias que condicionadas a θ t son indepen-dientes y cada una tiene distribucion exponencial de intensidad t. Hallar la modade la distribucion a posteriori de θ si los valores observados de X1, . . . , Xn sonx1, . . . , xn.

9.11 El numero de accidentes que ocurren diariamente en una planta industrialtiene una distribucion Poisson de media λ desconocida. Sobre la base de experien-cias previas en plantas industriales similares un estadıstico afirma que los posiblesvalores de λ se distribuyen a priori como una variable exponencial de media 12.Durante los primeros 9 dıas de funcionamiento de la planta industrial ocurrieronun total de 45 accidentes.

(a) Hallar la distribucion a posteriori de λ y en base a la informacion suministradacalcular la probabilidad de que durante el decimo dıa ocurran dos o mas accidentes.

(b) Hallar un intervalo de confianza de nivel 0.95 para estimar λ.

9.12 Se toma una muestra de tamano 4 de una distribucion uniforme en el intervalor0, bs. La distribucion a priori de b es fpbq 6b2 1tb ¥ 6u. Hallar en cada caso ladistribucion a posteriori, su media y su moda, si los resultados muestrales fueron:

(a) 2, 5, 6, 9.

(b) 1, 3, 4, 5.

9.13 Se toma una muestra al azar de n estudiantes de una poblacion y se midensus alturas. La altura promedio resulta ser 1.77 m. Se supone que las alturas de lapoblacion estan distribuidas como una normal de media µ desconocida con desvıoestandar 5 cm. Se considera que la distribucion a priori de µ es una normal demedia 1.73 m. y desvıo estandar 2.5 cm.

(a) Hallar la distribucion a posteriori de µ.

(b) Mostrar que con los datos del problema, la media a posteriori puede expresar-se como un promedio ponderado de la forma γn1.77 p1 γnq1.73 y analizar elcomportamiento de γn cuando nÑ8.

(c) Se muestrea al azar un nuevo estudiante de la poblacion y mide x m. Hallar ladistribucion predictiva para x.

(d) Para n 10, dar un intervalo de confianza de nivel 0.95 para µ y un intervalopredictivo de nivel 0.95 para x.

(e) Hacer lo mismo para n 100.

Ejercicios Complementarios

9.14 El tiempo de funcionamiento en anos de cada chip de computadoras, produ-cido por una firma de semiconductores china, se distribuye como una exponencialde media 1λ. La distribucion a priori de λ es una Gamma con funcion de densidad

fpλq 1

2λ2eλ 1tλ ¡ 0u.

Sabiendo que el promedio del tiempo de funcionamiento de 20 chips examinados esde 4.5 anos, hallar la densidad a posteriori de λ y estimar puntualmente λ utilizandola moda.

9.15 En un maraton participan N personas, numeradas de 1 a N . Se elige unmaratonista al azar y tiene el numero 203. Se quiere estimar N .

(a) Si la distribucion a priori de N es una geometrica de media 100, ¿cual es ladistribucion a posteriori de N?

(b) Calcular la media y el desvıo estandar de N .

9.16 Sea X1, . . . , Xn una muestra aleatoria de una distribucion uniforme sobre elintervalo rθ 12, θ 12s. Se asume que θ se distribuye a priori uniformemente enel intervalo p10, 20q.(a) Si n 1 y se observo el valor 12, hallar la distribucion a posteriori de θ.

(b) Si n 6 y se observaron los valores 11, 11.5, 11.7, 11.1, 11.4, y 10.9, hallar ladistribucion a posteriori de θ.

(c) En cada caso, obtener estimadores puntuales.

9.17 SeaX una variable aleatoria con distribucion uniforme en el intervalo rθ1, θs.El parametro θ posee una distribucion a priori de la forma fpθq e2|θ|. Si seobserva un unico valor de dicha variable y resulta ser 0, estimar la probabilidad deque la variable X sea en modulo menor a 1/4.

Guıa 10

10.1 Sea X1, X2, X3, X4 una muestra aleatoria de una variable aleatoria tal queEθrXs θ y varθrXs 1. Comparar los siguientes estimadores para θ:

X 1

4

4

i1

Xi,X1 2X2 3X3 4X4

10,

X1 X2 X3

3.

10.2 Sea X una variable aleatoria con distribucion Bernoulli de parametro θ. Sean

θ1 X y θ2 12 dos estimadores para θ.

(a) Analizar si θ1 y θ2 son estimadores insesgados para θ.

(b) Comparar los errores cuadraticos medios (ECMs) de los dos estimadores ygraficarlos como funciones de θ.

10.3 En una serie de m experiencias Bernoulli se registran X exitos, y en una serieposterior de n experiencias Bernoulli se registran Y exitos (n m). Se proponenlos siguientes estimadores del parametro p:

p1 1

2

X

m Y

n

y p2 X Y

m n.

¿Cual es preferible? Justificar la respuesta.

10.4 Sea X1, . . . , Xn una muestra aleatoria de una variable aleatoria X Up0, θq.Se considera Xpnq maxpX1, . . . , Xnq como estimador para θ.

(a) Hallar la funcion densidad de Xpnq y mostrar que

EθrXpnqs n

n 1θ y varθrXpnqs

nθ2

pn 1q2pn 2q .

(b) Calcular el sesgo del estimador Xpnq y demostrar que se trata de un estimadorasintoticamente insesgado para θ.

(c) Usando la desigualdad de Chebyshev demostrar que Xpnq es un estimador debil-mente consistente.

(d) Mostrar que el estimador 2X para θ tiene mayor ECM que el estimador Xpnq.

10.5 Sea X1, X2, . . . , Xn una muestra de una variable con distribucion Np0, 1q. Sedefinen hpxq 1tx 0.44u, Y hpXq y p 1

n

°ni1 Yi. Si n 25, calcular

(a) PpX 0.25q.(b) PpS2 ¡ 0.577q.(c) Pp0.576 ¤ p ¤ 0.764q.(d) Repita el inciso anterior para n 4.

10.6 Hallar los estimadores de maxima verosimilitud (MV) para muestras aleato-rias X1, . . . , Xn de las siguientes distribuciones: Npµ, 1q, Bernoullippq, Up0, θq.

10.7 Una urna contiene bolas rojas y bolas negras. Se sabe que la proporcion p debolas rojas en la urna es 25 o 45. Usando el metodo de MV estimar p si en unamuestra aleatoria de n 5 bolas (con reposicion) se observaron 3 bolas rojas y 2negras.

10.8 Una planta de ensamblaje recibe un lote de 100 piezas de precision de lascuales una cantidad desconocida M son defectuosas. Para controlar el lote se eligeal azar una muestra (sin reposicion) de 10 piezas, se examinan y resulta que hayexactamente 2 defectuosas. Usar el metodo de MV para estimar M .

10.9 Sea X1, . . . , Xn una muestra aleatoria de tamano n de una variable aleatoriaX perteneciente a una familia exponencial uniparametrica con funcion de probabi-lidad o funcion densidad de la forma

fX|θpxq cpxq eapθqT pxqbpθq

donde a y b son funciones a valores reales de θ P Θ, y T y c son funciones a valoresreales de x que no dependen de θ.

(a) Mostrar que el EMV (estimador de MV) de θ basado en la muestra X1, . . . , Xn

es solucion de la ecuacion

b1pθqa1pθq 1

n

n

i1

T pXiq

siempre y cuando la solucion pertenezca al espacio parametrico, Θ, correspondienteal parametro θ.

(b) Mostrar que las siguientes familias de distribuciones son familias exponencialesuniparametricas y usando el resultado del Inciso (a) hallar el EMV del parame-tro θ basado en una muestra aleatoria de tamano n, X1, . . . , Xn: Bernoullipθq,binomialpm, θq, geometricapθq, Pascalpr, θq, Poissonpθtq, Betapθ, βq, Betapα, θq,exponencialpθq, Gammapν, θq, Gammapθ, λq, normalpθ, σ2q, normalpµ, θq.10.10 Hallar los estimadores de maxima verosimilitud de los parametros de lassiguientes distribuciones:

(a) Npµ, σ2q, donde µ P R y σ2 ¡ 0.

(b) Pareto:

fpx|α, βq α

β

x

β

pα1q1tx ¥ βu, donde α ¡ 0, β ¡ 0.

10.11 En una urna hay r bolas rojas y 5 bolas negras, donde 0 ¤ r ¤ 6. Se extraen2 bolas al azar sin reposicion, se las examina y se las repone en la urna. Sabiendoque las dos bolas examinadas resultaron rojas, estimar por MV la probabilidad deque al extraer nuevamente dos bolas al azar sin reposicion una sea roja y la otranegra.

10.12 Un buzo debe realizar una tarea en el oceano que le insumira 45 minutos.La duracion en minutos de cada tanque de oxıgeno es una variable aleatoria Xcon distribucion normal con desvıo σ 2 y media desconocida. En una muestra

aleatoria X1, . . . , X9 se observaron las siguientes duraciones para los tanques:

37.447, 51.101, 34.258, 38.401, 33.288, 45.971, 47.348, 36.241, 41.585

Estimar por MV la probabilidad de que el buzo pueda terminar su tarea si lleva unsolo tanque de oxıgeno, utilizando la siguiente informacion muestral:

(a) los valores observados X1, . . . , X9.

(b) los valores Y1, . . . , Y9, donde Yi 1tXi ¡ 45u.(c)ÏMostrar mediante simulaciones que aunque la estimacion del Inciso (a) pue-da ser sesgada, presenta menor ECM que la estimacion del Inciso (b). (Sugerencia:elegir un valor µ para la media de la normal y generar m muestras de tamano n 9para obtener m valores de cada estimador, evaluar el sesgo y el ECM; repetir elprocedimiento para distintos valores de µ en el intervalo 45 4σ y graficar el sesgoy el ECM en funcion de µ.)

10.13 Una maquina produce objetos de diametro aleatorio con distribucion normalde media 100 cm. y varianza desconocida. Los objetos de diametro inferior a 99 cm.se consideran defectuosos. Calcular el EMV para la varianza sabiendo que en unamuestra aleatoria de 10 objetos se encontraron exactamente

(a) 2 defectuosos.

(b) 7 defectuosos.

10.14 Los siguientes datos corresponden a los tiempos de funcionamiento (en dıas)hasta que ocurre la primer falla de una muestra de 10 lavarropas industriales:

359, 317, 2379, 53, 554, 536, 414, 122, 345, 739.

Suponiendo que los datos obedecen a una distribucion exponencial hallar los EMVspara su media, varianza y mediana.

10.15 La duracion (en horas) de ciertas baterıas es una variable aleatoria T condistribucion exponencial. Se pusieron a prueba 10 baterıas y solamente 7 superarondos horas de duracion. Estimar por MV la probabilidad de que una baterıa de esetipo dure mas de 2.5 horas.

10.16 Se tienen 3 observaciones normales con la misma media µ y desviaciones1, 2, 3. Calcular la varianza del EMV de µ y compararla con la del promedio X.

10.17 Sean X1, . . . , Xn e Y1, . . . , Ym dos muestras aleatorias independientes de dosdistribuciones normales de la misma media µ y varianzas 4 y 9, respectivamente.Hallar el EMV para µ.

10.18 Durante un horario pico el tiempo (en segundos) entre vehıculos que atra-viesan una cabina de peaje es una variable aleatoria T con distribucion exponencialde intensidad λ. Hallar el EMV de λ sabiendo que ErT s ¤ 15 y que 35 vehıculosdemoraron un total de 10 minutos en atravesar la cabina de peaje.

10.19 [Degroot, pag. 355 ] Lucas y Monk deben estimar un parametro θ ¡ 0. Lucaspuede observar el valor de una variable aleatoria X con distribucion Gamma de

parametros r 3 y λ θ. Monk puede observar el valor de una variable aleato-ria Y con distribucion Poisson de media 2θ. Lucas observa el valor 2 y Monk elvalor 3. Mostrar que las funciones de verosimilitud obtenidas Lucas y Monk seranproporcionales y encontrar el EMV de θ obtenido por cada uno.

10.20 [Degroot, pag. 379 ] Se realiza una encuesta sobre una cuestion “sensible”utilizando el siguiente metodo: Se elige una muestra representativa de n sujetos dela poblacion. A cada sujeto se le hace al azar y en forma independiente una pre-gunta “estandar” o la pregunta “sensible”. Ambas preguntas pueden tener respuestapositiva o negativa (por ej., le gusta o no le gusta, esta o no de acuerdo, etc.). Laprobabilidad de recibir una respuesta positiva para la pregunta “estandar” es 1/2,pero para la pregunta “sensible” es un valor p desconocido.Los n sujetos encuestados dieron un total de r respuestas positivas. Hallar el EMVde p.

Ejercicios Complementarios

10.21 Sea X1, . . . , Xn una muestra aleatoria de una variable aleatoria X.

(a) Calcular X y S para una muestra de volumen n 10 cuyos valores son:1, 2, . . . , 10.

(b) Suponer que por un error de tipeo, el “10” se transcribe como “100” ¿Como semodifican X y S?.

(c) Hacer lo mismo para la media podada X0.25 definida por

X0.25 1

n 2m

nm

im1

Xpiq,

donde Xp1q ¤ ¤ Xpnq son las observaciones ordenadas y m rp0.25qns.

10.22 Sea X1, . . . , Xn una muestra de una variable aleatoria X tal que EθrXs µpθq y varθrXs σ2, donde σ2 es conocido. Se consideran los siguientes estimadorespara µpθq

µw n

i1

wiXi,

donde wi ¥ 0, i 1, . . . , n son constantes conocidas y w pw1, . . . , wnq.(a) Hallar una condicion sobre las constantes wi, necesaria y suficiente, para quelos estimadores µw resulten insesgados para µpθq.(b) Entre todos los estimadores µw que resulten insesgados para µpθq hallar el queminimiza el ECM. (Sugerencia: utilizar multiplicadores de Lagrange.)

10.23 Sea X1, . . . , Xn una muestra aleatoria de tamano n de una variable aleatoriaX cuya funcion densidad es de la forma

fθpxq epxθq 1tx ¡ θu, θ ¡ 0.

Se proponen dos estimadores para θ: θ1 X y θ2 Xp1q. Analizar el sesgo de losestimadores propuestos; comparar sus ECMs y graficarlos como funciones de θ.

10.24 [ver Ejercicio 3.18] Sea X1, . . . , Xn una muestra de una variable aleatoriaX tal que ErX4s 8.

(a) Mostrar que cuando la media, µ, de X es conocida el estimador para la varianzade X, σ2 1

n

°ni1pXi µq2, es insesgado y debilmente consistente.

(b) Mostrar que cuando la media deX es desconocida, el estimador para la varianzade X, S2 1

n1

°ni1pXi Xq2, es insesgado. (Tambien es debilmente consistente

pero no es tan facil de mostrar.)

10.25 Se tienen n observaciones normales con la misma media µ desconocida ydesviaciones estandar σ1, . . . , σn conocidas pero no necesariamente iguales. Calcularla varianza del EMV de µ y compararla con la del promedio simple X. (Sugerencia:utilizar la desigualdad de Cauchy-Schwartz)

10.26 Sea X1, . . . , Xn una muestra aleatoria de una distribucion uniforme sobreel intervalo rθ 12, θ 12s. Hallar el EMV para θ.

10.27 En una fabrica hay dos maquinas: M1 y M2. El 20% de las piezas elabo-radas por M1 y el 40% de las elaboradas por M2 son defectuosas. De un lote de1000 piezas cuya procedencia se ignora, aunque se sabe que son todas de la mismamaquina, se extraen 10 piezas al azar y se encuentran 3 defectuosas. Estimar porMV la varianza de la cantidad de piezas defectuosas en el lote.

10.28 Jorge ingresa en un banco a las 11:30 para cobrar un cheque. Recibe elnumero 68 de la fila de espera y observa que esta siendo atendido el cliente numero61. El tiempo de atencion (en minutos) para cada cliente se distribuye como unavariable exponencial de intensidad λ. A las 11:45 comienza a ser atendido el clientecon el numero 66 y Jorge decide salir del banco a fumar un cigarrillo. Suponiendoque Jorge demora 6 minutos en volver a la fila de espera, estimar por MV laprobabilidad de que haya perdido su turno en la fila.

10.29 Ï Sea T una variable aleatoria con distribucion Gamma de parametrosν P R y λ P R cuya funcion densidad es

fpt|ν, λq λνtα1

Γpνq eλt 1tt ¡ 0u,

donde Γpνq ³80tν1etdt. En particular, Γpνq pν 1q! para todo ν P N

(a) Suponiendo que λ es conocido y ν P N, hallar el EMV para ν basado en unamuestra aleatoria de tamano n.

(b) Suponiendo que λ 1 y ν P R, hallar la ecuacion de verosimilitud para ν.¿Es posible obtener una expresion explıcita del EMV para ν? Si la respuesta esnegativa, realizar un programa que permita calcularlo usando una computadora.

(c) Se proponen los siguientes procedimientos para encontrar los EMVs para ν y λen el caso en que ν P N y λ P R:

1. Calcular la funcion de verosimilitud (funcion de NR Ñ R) y optimizarlagraficamente o con algun algoritmo.

2. Para cada ν P N, hallar una expresion del EMV de λ; reemplazarla en lafuncion de verosimilitud; analizar la monotonıa de la funcion de ν ası obte-nida y encontrar una expresion (o condicion) que permita computar el EMVpara ν.

En cada caso, elegir valores para lo parametros desconocidos, simular datos y com-probar que los procedimientos propuestos para hallar los estimadores sean satisfac-torios.

10.30Ï Sea T1, . . . , Tn un muestra aleatoria del tiempo de duracion sin fallas deuna maquina cuya funcion intensidad de fallas es λptq αβtβ1 1tt ¡ 0u.(a) Suponer que β es conocido y hallar el EMV para α.

(b) Suponer ahora que los dos parametros β y α son desconocidos. Hallar las ecua-ciones de verosimilitud para los dos parametros. Proponer un procedimiento parahallar los EMVs de los dos parametros e implementarlo en un computador.

(c) Generar una muestra con n 10 valores de la distribucion de T suponiendoque β α 1 y usar el procedimiento propuesto en el Inciso (b) para calcular losEMVs para β y α. Comparar las estimaciones con los valores usados para generarla muestra.

(d) Basandose en la siguiente muestra de valores:

2.30, 2.00, 2.87, 2.71, 5.48, 5.85, 1.58, 3.62, 1.90, 2.43,

hallar el EMV de PpT ¡ 2.5q.

Guıa 11

11.1 Sea X una variable aleatoria cuya funcion densidad es de la forma

fpx|θq 2x

θ21t0 ¤ x ¤ θu, θ ¡ 0.

Para cada 0 α 1, hallar un cota inferior de nivel 1 α para θ basada en unamuestra de X de tamano 1.

11.2 Sea X1, . . . , Xn una muestra aleatoria de tamano n de una distribucionU r0, θs.(a) Construir un pivote para θ a partir de su EMV.

(b) Para cada 0 α 1, hallar un intervalo de confianza de nivel 1 α para θ.

(c) [Soong, pag. 312 ] Hallar el valor de k para que el intervalo p0, kpX1X2qq tenganivel de confianza 0.95.

11.3 Un emisor transmite una senal de valor µ. Pero el canal de comunicacioncorrompe la transmision con un ruido normal aditivo N Np0, 1q y el receptorrecibe una senal de valor X µN . Como resultado de la transmision sucesiva eindependiente de la misma senal de valor µ se recibieron 9 senales de valores:

8.016, 8.488, 7.395, 9.011, 7.532, 7.841, 8.651, 6.917, 8.490.

(a) Hallar un intervalo de confianza de nivel 0.95 para µ.

(b) ¿Cuantas veces debe repetirse la transmision de la senal µ si se pretende que,con una confianza del 95%, el receptor pueda decodificarla con un error ¤ 0.01?

11.4 En la siguiente tabla se muestran las mediciones de la velocidad de la luzrealizadas por el fısico Albert Michelson entre el 5 de junio y el 5 de julio de 1879.Los valores dados + 299.000 son las mediciones de Michelson en km/s.

850 740 900 1070 930 850 950 980 980 8801000 980 930 650 760 810 1000 1000 960 960960 940 960 940 880 800 850 880 900 840830 790 810 880 880 830 800 790 760 800880 880 880 860 720 720 620 860 970 950880 910 850 870 840 840 850 840 840 840890 810 810 820 800 770 760 740 750 760910 920 890 860 880 720 840 850 850 780890 840 780 810 760 810 790 810 820 850870 870 810 740 810 940 950 800 810 870

Suponiendo que las mediciones de la velocidad de la luz obedecen a una distribucionnormal de media µ y desvıo estandar σ desconocidos,

(a) construir un intervalo de confianza del 95% para µ. ¿Se encuentra en ese inter-valo el “verdadero” valor de la velocidad de la luz?

(b) construir un intervalo de confianza del 95% para σ.

(c) Construir un histograma y explorar informalmente la hipotesis de que la distri-bucion de las mediciones es normal.

11.5 [Prediccion] Sean X1, . . . , Xn, Xn1 una muestra aleatoria de una poblacionnormal de media µ y varianza σ2. Sean Xn 1

n

°ni1Xi y S2

n 1n1

°ni1pXi

Xnq2.(a) Hallar la distribucion de Xn1 Xn.

(b) Sabiendo que σ2 1 y que se observo que X5 4, encontrar un intervalo detolerancia del 90% para X6.

(c) Si la varianza σ2 es desconocida y se observo que X5 4 y S25 1, encontrar

un intervalo de tolerancia del 90% para X6.

11.6 Se testea una muestra de 300 chips de memoria y resultan 30 defectuosos.

(a) Construir un intervalo de confianza de nivel 90% para la proporcion de chipsdefectuosos.

(b) Dar una cota inferior de nivel 90% para la proporcion de chips defectuosos.

(c) Repetir los incisos anteriores si al testear los 300 chips resulta 1 defectuoso.

11.7 Una empresa farmaceutica quiere estimar la proporcion de personas quesufriran reacciones adversas a cierta droga. La empresa quiere un intervalo bilateralcuyo margen de error sea de 0.01 con 95% de confianza. ¿De que tamano debe serla muestra?

11.8 Sea X una variable con distribucion exponencial de intensidad λ ¡ 0. Hallarun intervalo de confianza de nivel 0.90 para λ si

(a) en una muestra aleatoria de tamano 10 se observo que°10

i1Xi 2,

(b) en una muestra aleatoria de tamano 100 se observo que°100

i1Xi 25.

11.9 Los siguientes valores son las duraciones (en horas) de una muestra de 16lamparas:

2632, 1742, 667, 1184, 3896, 809, 1412, 1789,

2396, 3358, 9901, 1925, 2981, 1843, 8315, 1299.

Suponiendo que los datos obedecen a una distribucion exponencial de intensidad λ,calcular una cota inferior de nivel 0.95 para λ.

11.10 Se puede considerar que la emision de partıculas alfa obedece a un procesode Poisson de intensidad λ partıculas por segundo.

(a) Se observa una sustancia radiactiva durante 10 segundos y se registran 4 emi-siones. Hallar un intervalo de confianza para λ de nivel 0.95.

(b) Se observa la misma sustancia hasta que se emita la cuarta partıcula, lo quesucede a los 10 segundos. Hallar un intervalo de confianza para λ de nivel 0.95.

11.11 Los fabricantes A y B producen el mismo tipo de alambre de cobre. Losvalores de resistencia a la tension de dos muestras de cable (en libras) son

A : 5112, 5114, 5115, 5110, 5108, 5101, 5107, 5100, 5106, 5105,

B : 5075, 5072, 5083, 5087, 5074; 5091, 5074.

Suponiendo que las mediciones son normales NpµA, σ2Aq y NpµB , σ

2Bq, respectiva-

mente y que las muestras son independientes, hallar un intervalo de confianza del99% para µA µB si se sabe que

(a) σ2A 289 y σ2

B 625.

(b) σ2A 289 y σ2

B 289.

(c) σ2A σ2

B .

11.12 Lucas necesita un enlace satelital y esta considerando alquilarselo al pro-veedor 1. Durante una prueba del enlace el 1% de 200 mensajes transmitidos regis-traron error. Monk le presenta a Lucas al proveedor 2, que le ofrece otro enlace aun 20% menos de costo. Al probar este enlace el 3% de 250 mensajes transmitidosregistraron error. Si pi es la tasa de error del enlace ofrecido por el proveedor i,hallar un intervalo de confianza del 95% para la diferencia p1 p2. En el lugar deLucas, ¿a quien le alquila el enlace?

Ejercicios Complementarios

11.13 Sea X1, . . . , X10 una muestra aleatoria de una distribucion Upθ, θ 1q.Usando el estadıstico M mınpX1, . . . , X10q construir un intervalo de confianzadel 95% para θ.

11.14 La distribucion de las concentraciones de SO24 para una estacion de con-

taminacion es normal con un desvıo estandar de 4 p.p.m. (partes por millon). Cap-tando 16 muestras de una hora de duracion cada una, seleccionadas al azar en unperıodo de estudio, se obtuvo una media de 9 p.p.m.

(a) ¿Cual es el intervalo de confianza del 95% para estimar la concentracion media?

(b) ¿Cual debe ser el tamano de la muestra si se desea que el error sea igual oinferior a 0.25 p.p.m., con una confianza del 90%?

(c) ¿Cual es el intervalo de confianza del 95% para estimar la concentracion mediasi el desvıo fue estimado a partir de los datos de la muestra, dando como resultado4 p.p.m.?

11.15 Sea X una variable aleatoria de varianza 20 y con distribucion uniformesobre el intervalo pa, bq. Sea Y una variable aleatoria de varianza 10 con la mismadistribucion que la suma de dos variables aleatorias independientes cada una condistribucion uniforme sobre el intervalo pc, dq. En una muestra aleatoria de X seobtuvieron los valores: 14.88, 16.29, 4.22, 16.40, 12.05, 3.77, 6.57, 10.73, 17.09, 17.2;y en una muestra aleatoria de Y se obtuvieron los valores: 6.61, 15.07, 12.38, 10.05,

7.66. Hallar un intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre la media deX y la media de Y .

11.16 Se toman muestras de aire en dos sitios diferentes de una ciudad. Las mues-tras del sitio 1 arrojaron los siguientes valores: 0.46, 0.62, 0.37, 0.4, 0.44, 0.58, 0.48,0.53 y las muestras del sitio 2: 0.82, 0.61, 0.89, 0.51, 0.33, 0.48, 0.23, 0.25, 0.67,0.88. Suponiendo que las mediciones son normales Npµ1, σ

21q y Npµ2, σ

22q, respec-

tivamente y que las muestras son independientes, hallar un intervalo de confianzadel 95% de la forma σ2

1σ22 ¥ k en cada uno de los siguientes casos

(a) µ1 0.7 y µ2 0.6,

(b) µ1 0.485 y µ2 0.567,

(c) µ1 y µ2 son desconocidas.

Guıa 12

12.1 Se sabe que una caja contiene 3 bolas rojas y 4 negras o bien 4 bolas rojas y 3negras. Se tomara la decision relativa al contenido de la caja extrayendo 3 bolas. SiH0 corresponde a las 3 bolas rojas y 4 negras y si H0 sera rechazada si se observan3 rojas, ¿cuanto valen los errores de tipo I y tipo II?

12.2 Sea X una variable uniforme sobre el intervalo p0, θq. Se quiere verificarH0 : θ 3 frente a H1 : θ 2 por medio de un solo valor observado de X.

(a) Calcular las probabilidades de los errores de tipo I y de tipo II si se elige elintervalo x 1 como la region crıtica.

(b) Calcular las probabilidades de dichos errores si se elige el intervalo 1 x 2como region crıtica.

(c) Si la region crıtica es un intervalo, ¿como debe ser el intervalo para que conα 0.5 se minimice β?

12.3 Sea X1, . . . , Xn una muestra aleatoria de una distribucion uniforme sobreel intervalo p0, θq, donde θ ¡ 0. Se propone el siguiente criterio para testear lashipotesis H0 : θ P r3, 4s contra H1 : θ R p3, 4q:“Rechazar la hipotesis H0 cuando y solo cuando maxpX1, . . . , Xnq R r2.9 , 4s”.(a) Hallar y graficar la funcion de potencia del test.

(b) Determinar el nivel de significacion del test.

(c) Encontrar el mınimo n ¥ 1 tal que el nivel de significacion del test sea α 0.1.

12.4 Se dispone de una muestra de tamano 1 para decidir entre dos hipotesis sobrela media µ de una distribucion exponencial. La hipotesis H afirma que µ ¤ 1 y lahipotesis K afirma que µ ¡ 1. Disenar una regla de decision tal que la maximaprobabilidad de equivocarse al rechazar la hipotesis H cuando H es verdadera sea0.1. Calcular la probabilidad de decidir erroneamente cuando el verdadero valor dela media es µ 1.1.

12.5 TestearH0 : µ ¤ 5 contraH1 : µ ¡ 5 sobre la base de una muestra aleatoria detamano 4, extraıda de una poblacion que tiene una distribucion de Poisson. Usarun nivel de significacion del 5%. Si dicha muestra aleatoria arrojo los siguientesvalores: 3, 7, 2, y 4, ¿hay evidencia significativa para rechazar H0?

12.6 Verdadero o falso:

(a) El nivel de significacion de un test de hipotesis es igual a la probabilidad de quela hipotesis nula sea verdadera.

(b) La probabilidad de que la hipotesis nula sea rechazada es igual a la potenciadel test.

(c) Cuando se disminuye el nivel de significacion de un test, es esperable que lapotencia aumente.

(d) Si no se rechaza la hipotesis nula, debe decidirse aceptar la hipotesis alternativacomo cierta.

(e) Un error de tipo I ocurre cuando el estadıstico del test cae en la region derechazo del test.

(f) Un error de tipo II es mas grave que un error de tipo I.

(g) La region crıtica puede depender de los valores muestrales.

(h) El valor de los errores asociados a un test no puede depender de los valoresmuestrales.

12.7 Sea X1, . . . , Xn una muestra aleatoria de una distribucion normal de mediaµ P R (desconocida) y desvıo estandar σ conocido.

(a) Disenar un test de hipotesis de nivel 0.05 para H0 : µ ¤ µ0 contra H1 : µ ¡ µ0.

(b) Determinar la funcion de potencia del test y analizar sus propiedades.

12.8 En un proceso quımico es necesario que una solucion que se usa como reactivotenga pH 8.21. Se dispone de un metodo para determinar el pH que produce medi-ciones normalmente distribuidas con media igual al verdadero valor del pH y desvıo0.02. Disenar un test de hipotesis de manera que: si el pH es 8.21, se obtenga esaconclusion con probabilidad 0.95, y si el pH difiere de 8.21 en 0.03 (en cualquierade las direcciones), se descarta la solucion con probabilidad no inferior a 0.95.

(a) ¿Que se puede concluir si la media de las mediciones observadas fuese 8.32?

(b) Si el pH es 8.33, hallar la probabilidad de concluir que el pH no es 8.21.

12.9 Usando los datos de Michelson (ver Ejercicio 11.4) testear si la velocidadde la luz es mayor que 790+299000 km/s. al 0.05 de significacion.

12.10 En la siguiente tabla se muestran las mediciones de la densidad de la Tierrarelativa a la densidad del agua obtenidas por Henry Cavendish en 1789 medianteel experimento de la balanza de torsion

5.50 5.61 4.88 5.07 5.26 5.55 5.36 5.29 5.58 5.655.57 5.53 5.62 5.29 5.44 5.34 5.79 5.10 5.27 5.395.42 5.47 5.63 5.34 5.46 5.30 5.75 5.68 5.85

Asumir que las densidades de la Tierra medidas tienen distribucion normal de mediaµ y varianza σ2 ambas desconocidas y testear al 0.05 de significacion si la densidadde la Tierra es menor que 5.5 veces la densidad del agua.

12.11 Sea X1, . . . , X10 una muestra de aleatoria de una variable aleatoria X condistribucion uniforme sobre el intervalo r0, θs. Al nivel de significacion 0.05 disenarun test para H0 : ErXs 2 contra H1 : ErXs 2.

12.12 El diametro de las piezas de una maquina debe ser 10 cm. Debido a imper-fecciones del proceso de produccion de dichas piezas, el diametro es una variablealeatoria. El desvıo estandar depende de factores intrınsecos del proceso de pro-duccion y se mantiene constante. Por experiencia historica se sabe que el desvıo

estandar es 0.3. Por otra parte, la media µ depende del ajuste de varios parametrosinvolucrados en el proceso y su valor es desconocido.

(a) En una muestra de 100 piezas se obtuvo un diametro promedio de 10.1. Disenarun test del 0.1 de nivel de significacion.

(b) Calcular la potencia del test disenado en Inciso (a) en µ 10.05. .

(c) Calcular aproximadamente el tamano muestral necesario para un nivel de sig-nificacion del 0.1 y una potencia de 0.8 cuando µ 10.05.

12.13 Las cajas de leche en polvo de la marca Spiky Milk anuncian un peso neto deun kilo. En rigor, el peso neto (en gramos) es una variable aleatoria X de media µ ydesvıo estandar σ (ambos desconocidos). En una muestra aleatoria de 75 cajas, seobservaron los valores X 992 y S 10. Al 0.05 de nivel de significacion, realizarlos siguientes tests:

(a) H0 : µ ¥ 1000 contra H1 : µ 1000.

(b) H0 : σ ¥ 14 contra H1 : σ 14.

(c) Si los datos muestrales diesen lugar al rechazo de la H0 en los dos incisosanteriores, ¿es verdad que con 0.05 de significacion puede rechazarse la hipotesisµ ¥ 1000 y σ ¥ 14?

12.14 Una fabrica envio catalogos publicitarios a los posibles clientes. La expe-riencia mostro que la probabilidad de que la organizacion receptora del catalogopida el artıculo ofrecido es igual a 0.08. La fabrica envio 1000 catalogos nuevos deforma mejorada y recibio 100 pedidos. ¿Se puede considerar que la nueva forma depublicidad es significativamente mas eficaz que la primera?

12.15 Usando los resultados del Ejercicio 11.6 Inciso (c), mostrar que al 10%de significacion

(a) no puede rechazarse la hipotesis p 0.01.

(b) se rechaza la hipotesis p ¤ 0.0009.

12.16 [Maronna p.143-144] Una de las mas celebres “Leyes de Murphy” estableceque “si se deja caer al suelo una tostada untada con dulce, la probabilidad de quecaiga del lado del dulce es mayor que la de que caiga del lado del pan”.

(a) Para verificarla, se realizo un experimento en la University de SouthwesternLouisana, en el que se dejaron caer 1000 tostadas untadas con mermelada de gro-sellas, de las cuales cayeron 540 del lado del dulce. ¿Que se podrıa concluir?

(b) El comite de investigaciones de University of Southwestern Louisana decretaque, para que el experimento sea considerado concluyente, debera cumplir con (i)si la Ley de Murphy es falsa, la probabilidad de que el test la confirme debe ser¤ 0.01; (ii) si la Ley es cierta, y la probabilidad de caer del lado del dulce es ¡ 0.6,entonces la probabilidad de confirmarla debe ser ¥ 0.95. ¿Cuantas tostadas hayque arrojar para que se cumplan estas condiciones?

12.17 Usando los resultados del Ejercicio 11.9 decidir al 0.05 de significacion siλ ¤ 0.00019.

12.18 En vista de los resultados del Ejercicio 11.11, ¿puede decirse en cada casoque, con un nivel de significacion del 10%, las resistencias medias de los cablesproducidos por ambos fabricantes son iguales?

12.19 Considerense las siguientes longitudes de cables (en cm.) obtenidas al mues-trear los lotes independientes A y B:

Lote A: 134 146 105 119 124 161 107 83 113 129 97 123.

Lote B: 70 118 101 85 107 132 94.

Suponer que las longitudes de los cables en dichos lotes tienen una distribucionnormal con el mismo desvıo. ¿Puede afirmarse al 1% que las medias de los lotesson significativamente diferentes?

12.20 La siguiente tabla muestra para cada uno de 11 individuos, la proporcion(como porcentaje) de plaquetas sanguıneas aglutinadas antes y despues de fumarun cigarrillo.

Antes 25 25 27 44 30 67 53 53 52 60 28Despues 27 29 37 56 46 82 57 80 61 59 43

Las plaquetas tienen un rol importante en la formacion de coagulos. Suponiendonormalidad de los datos ¿que puede concluirse sobre los efectos del cigarrillo?

12.21 En un examen rindieron 100 alumnos del curso A y 80 del curso B. Del cursoA aprobaron 20 y del curso B lo hicieron 5. ¿Considera que los datos muestran, conun nivel de significacion del 10%, que la probabilidad de aprobacion depende delcurso?

12.22 En una sucesion de 100 lanzamientos independientes de una moneda seobservaron 59 caras y 41 cecas ¿Estos datos son conciliables con la hipotesis de quela moneda es honesta?

12.23 Considerar los primeros 1000 decimales del numero π:

3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164

0628620899862803482534211706798214808651328230664709384460955058223172

5359408128481117450284102701938521105559644622948954930381964428810975

6659334461284756482337867831652712019091456485669234603486104543266482

1339360726024914127372458700660631558817488152092096282925409171536436

7892590360011330530548820466521384146951941511609433057270365759591953

0921861173819326117931051185480744623799627495673518857527248912279381

8301194912983367336244065664308602139494639522473719070217986094370277

0539217176293176752384674818467669405132000568127145263560827785771342

7577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235

4201995611212902196086403441815981362977477130996051870721134999999837

2978049951059731732816096318595024459455346908302642522308253344685035

2619311881710100031378387528865875332083814206171776691473035982534904

2875546873115956286388235378759375195778185778053217122680661300192787

66111959092164201989...

Contar la cantidad de veces en que aparece cada dıgito y aplicar el test chi-cuadradoal 0.05 de significacion para ver si esas frecuencias son compatibles con la hipotesisde que los dıgitos son equiprobables.

12.24 Conseguir una computadora que tenga instalado el programa Excel y usandoese programa simular una muestra aleatoria de volumen 100000 de una poblacionnormal Np0, 1q. Aplicar el test chi-cuadrado para verificar si la muestra obtenidaes compatible con la hipotesis de que proviene de una distribucion normal Np0, 1q.12.25 La siguiente tabla muestra la distribucion de frecuencias de la duracion deciertas baterıas en anos:

Clase 1.45-1.95 1.95-2.45 2.45-2.95 2.95-3.45 3.45-3.95 3.95-4.45 4.45-4.95Frecuencia 2 1 4 15 10 5 3

¿Puede afirmarse a un nivel del 5% que la duracion de las baterıas se ajusta a unadistribucion normal con media 3.5 anos y desvıo estandar 0.7 anos?

12.26 Durante 100 intervalos de un segundo se registraron las cantidades de emisio-nes de una pieza de material radioactivo. La distribucion de frecuencias se muestraen la siguiente tabla:

Cantidad de emisiones 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11Frecuencia 3 1 2 12 23 13 20 9 6 6 4 1

(a) Testear a un nivel de 5% si los datos provienen de una distribucion Poisson demedia 5.

(b) Testear a un nivel de 5% si los datos provienen de una distribucion Poisson.¿Cual es la conclusion?

12.27 [ver Ejercicio 11.4] ¿A un nivel de 5%, puede afirmarse que las medicionesde la velocidad de la luz de Michelson se ajustan a una distribucion normal?

Ejercicios Complementarios

12.28 Se construye una maquina que controla automaticamente la cantidad decinta sobre un carrete. La maquina se considera eficaz si el desvıo estandar σ dela cantidad de cinta sobre el carrete no supera 0.15 cm. Si en una muestra de 20carretes se obtiene una estimacion de varianza S2 0.025, ¿estamos en condicionesde concluir que la maquina es ineficaz?

12.29 Un productor de una nueva lınea de neumaticos afirma que su utilidad mediaes mayor que 40000 km. Para verificar dicha afirmacion se sometieron a prueba 12neumaticos y sus utilidades (en miles de km.) resultaron las siguientes:

40.5 40.6 41.3 41.6 42.0 39.8

40.7 40.9 40.2 39.9 41.0 40.6

Suponiendo que la utilidad de los neumaticos tiene distribucion normal, verificar laafirmacion del productor a un 5% de nivel de significacion.

12.30 La duracion (en segundos) de las llamadas telefonicas para solicitar ungenerador de numeros aleatorios a la empresa “Random numbers? Llame Ya!” esuna variable aleatoria, X, de media µ y desvıo estandar σ (ambos desconocidos).En una muestra aleatoria de la duracion de 50 llamadas se observaron los valoresX 310 y S 25. Al 0.1 de nivel de significacion, se puede concluir que

(a) µ ¡ 300 ?

(b) σ ¡ 20 ?

12.31 Se debe comprar un producto cuyo peso obedece a una distribucion normal yse requiere que la varianza sea inferior a 4. Si el producto no cumple con el requisitose desea cometer un error en la decision que no supere el 5%. Por otro lado, si lavarianza fuese igual a 3, se desea que el error en la decision sea del 5%. Disenar untest de hipotesis para decidir si el producto cumple la especificacion.

119 172 264 4000.6

0.65

0.7

0.75

0.8

Grafico del cociente entre los fractiles χ2p0.05 y χ2

p0.95 en funcionde los grados de libertad.

(Sugerencia: Utilizar la informacion que aparece en la figura y recordar que si Qtiene distribucion χ2 con n grados de libertad, para valores grandes de n se cumplequeW ?

2Q se distribuye aproximadamente como una normal de media?2n 1

y desvıo estandar 1.)

12.32 Conseguir una moneda de 5 centavos. Lanzarla 100 veces y aplicar el testchi cuadrado para saber si la moneda es honesta.

12.33 De cierto generador de numeros aleatorios se afirma que los produce deacuerdo con la distribucion U r0, 1s. Para verificar esa hipotesis se producen 10000numeros con el mencionado generador. Para economizar espacio se registra la can-tidad de numeros de la forma 0. d..., donde d 0, 1, . . . , 9. Se obtuvieron los resul-tados siguientes:

d 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9#t0. d...u 977 1045 1017 1024 901 928 1045 984 1034 1045

¿Estos datos son conciliables con la afirmacion?

12.34 Paenza (Pagina 12, 3 de mayo de 2009, Contratapa) afirma que la distri-bucion del primer dıgito significativo, D, de los precios de los productos que se

ofrecen en un supermercado se rige por la ley de Benford: P pD dq log10d1d

,

d 1, . . . , 9. Se registraron los precios de 2500 productos ofrecidos por un super-mercado y se obtuvieron las siguientes frecuencias:

d 1 2 3 4 5 6 7 8 9nd 730 441 304 247 226 160 147 114 131

¿Estos datos son conciliables con la afirmacion de Paenza?

Referencias (por orden alfabetico)

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