métodos estad´ısticos de la ingenier´ıa tema 11: contrastes de

Metodos Estadısticos de la Ingenierıa

Tema 11: Contrastes de Hipotesis

Grupo B

Area de Estadıstica e Investigacion OperativaLicesio J. Rodrıguez-Aragon

Abril 2010

Contenidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Conceptos Generales 3

Contrastes de Hipotesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Pruebas relacionadas con la Media de una Poblacion 6

Prueba para µ = µ0 cuando σ es Conocida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Prueba para µ ≤ µ0 cuando σ es Conocida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Prueba para µ = µ0 cuando σ es Desconocida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Ejemplo de contraste de hipotesis con R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Prueba para µ ≤ µ0 cuando σ es Desconocida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Ejemplo de contraste de hipotesis con R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Pruebas relacionadas con las Medias de dos Poblaciones Independientes 15

Prueba para µ1 = µ2 cuando σ1 y σ2 son Conocidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Prueba para µ1 ≤ µ2 cuando σ1 y σ2 son Conocidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Prueba para µ1 = µ2 cuando σ1 y σ2 son Desconocidas pero Iguales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Prueba para µ1 ≤ µ2 cuando σ1 y σ2 son Desconocidas pero Iguales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Prueba para µ1 = µ2 cuando σ1 y σ2 son Desconocidas y Distintas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Prueba para µ1 ≤ µ2 cuando σ1 y σ2 son Desconocidas y Distintas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Pruebas relacionadas con las Medias de dos Poblaciones Relacionadas 22

Prueba para µ1 = µ2 cuando σ1, σ2 y ρ son Desconocidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Prueba para µ1 ≤ µ2 cuando σ1, σ2 y ρ son Desconocidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Pruebas relacionadas con las Varianzas de dos Poblaciones 25

Prueba para σ21 = σ2

2 con µ1 y µ2 Desconocidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Prueba para σ2

1 ≤ σ22 con µ1 y µ2 Desconocidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Pruebas relacionadas con Proporciones 28

Prueba para p = p0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Prueba para p ≤ p0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Contrastes de Hipotesis: p-valor 31

p-valor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1

Contenidos

� Conceptos Generales.

� Pruebas relacionadas con la media de una poblacion.

� Pruebas relacionadas con la igualdad de medias de dos poblaciones.

� Pruebas para datos relacionados.

� Pruebas para las varianzas.

� Pruebas para proporciones.

Los contrastes de hipotesis permitiran decidirnos entre dos hipotesis formuladas

previamente con un determinado nivel de error.

Licesio J. Rodrıguez-Aragon Tema 11, M.E.I. – 2 / 32

2

Conceptos Generales 3 / 32

Contrastes de Hipotesis

Una Hipotesis Estadıstica es una proposicion que se establece acerca de una o mas poblaciones:

� Acerca de los parametros de una distribucion.

� Acerca de el tipo y forma de la distribucion.

Los contrastes de hipotesis se basan en la informacion proporcionada por una muestra.

La terminologıa estadıstica habla de Aceptar o Rechazar una hipotesis:

� Rechazar, significa que la hipotesis es falsa.

� Aceptar, solamente implica que no se tiene suficiente informacion para rechazarla.

Las Hipotesis se plantean sobre los posibles valores que puede tomar un parametro poblacional.

� Hipotesis Simples, son aquellas que solo plantean un valor posible para el parametro.

� Hipotesis Compuestas, establecen un rango de valores que puede tomar el parametropoblacional.

Se plantea en el contraste dos Hipotesis excluyentes y complementarias:

� Hipotesis Nula, H0: Suele ser la mas concreta, la que contenga el signo de igualdad, sueleser simple.

� Hipotesis Alternativa, H1: Complementaria a la Nula, suele ser compuesta.

El planteamiento de H0 permite elaborar un modelo probabilıstico a partir del cual podemosllegar a la decision final.

El Contraste de Hipotesis conlleva establecer dos zonas disjuntas y complementarias, Zona deRechazo de H0 (Region Crıtica) y la Zona de Aceptacion de H0.

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Z

Den

sida

d γ

1 − α

Z((1 − γ) 2) Z((1 + γ) 2)

α 2α 2


3

Contrastes de Hipotesis

La decision de aceptar o rechazar H0 se basa en probabilidades, no en certezas, al tomar ladecision podemos cometer dos tipo de errores.

� Error Tipo I: Rechazar la Hipotesis Nula, H0 siendo verdadera.

� Error Tipo II: Aceptar la Hipotesis Nula, H0 siendo falsa.

H0 Verdadera H0 Falsa

Aceptar H0 Decision Correcta Error Tipo II1 − α β

Rechazar H0 Error Tipo I Decision Correctaα 1 − β

Las probabilidades de los Errores de tipo I y II son probabilidades condicionadas:

Nivel de Significacion, α:

α = P(Error I) = P(Rechazar H0|H0 Verdadera)

Nivel de Confianza, 1 − α = γ:

γ = 1 − P(Error I) = P(Aceptar H0|H0 Verdadera)

β = P(Error II) = P(Aceptar H0|H0 Falsa)

Al valor complementario de β se le denomina Potencia del Contraste, 1 − β

1 − β = P(Rechazar H0|H0 Falsa)

El objetivo serıa disponer de un contraste que maximicen la Confianza (γ = 1 − α) y laPotencia (1 − β) y minimizen los Errores de tipo I y II, esto se logra aumentando el tamanode la muestra n, hasta un cierto valor.

El nivel de Significacion α es normalmente controlado por el experimentador mientras que β escontrolado mediante la eleccion correcta del tamano de la muestra.


4

Pruebas relacionadas con la Media de una Poblacion 6 / 32

Prueba para µ = µ0 cuando σ es Conocida

Consideremos el problema de probar la hipotesis de que la media de una poblacion, con varianzaσ2 conocida, sea igual a un valor concreto µ0, en contra de una hipotesis alternativa bilateral deque la media sea diferente.

H0 : µ = µ0

H1 : µ 6= µ0

Sea X1,X2, . . . ,Xn una m.a.s., el estadıstico apropiado para este caso esta basado en la mediamuestral X .

El Teorema Central del Limite nos asegura que X ≡ N (µ, σ/√

n).

Para un nivel de Significacion α = 1 − γ se establecen valores crıticos a y b, tales que elintervalo a < X < b defina la Region de Aceptacion y la Region Crıtica.

Definamos,Z = (X − µ0)/(σ/

√n) ≡ N (0, 1) bajo H0.

Los valores crıticos se obtienen,

(a − µ0)/(σ/√

n) = zα2

= z 1−γ

2

⇒ a = µ0 + (σ/√

n)zα2

(b − µ0)/(σ/√

n) = z1−α2

= z 1+γ

2

⇒ b = µ0 + (σ/√

n)z1−α2

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Z

Den

sida

d γ

1 − α

Z(α 2) Z(1 − α 2)

α 2α 2

Ası pues, de la poblacion, se elige una muestra de tamano n y se calcula la media de la muestra X .

Si X cae en la Region de Aceptacion, a < X < b, entonces, el estadıstico Z = (X − µ0)/(σ/√

n)caera en la Region de Aceptacion,

|Z| < z1−α2,

y se aceptara H0; en caso contrario, Region de Rechazo,

|Z| ≥ z1−α2,

se rechazara H0.

Los Coeficientes de Confianza o Niveles de Significacion mas usuales son:γ = 0.95, α = 0.05 ⇒ z 1+γ

2

= z1−α2

= z0.975 = 1.96,

γ = 0.99, α = 0.01 ⇒ z 1+γ

2

= z1−α2

= z0.995 = 2.58.


5

Prueba para µ ≤ µ0 cuando σ es Conocida

En este caso consideremos la hipotesis de que la media de una poblacion, con varianza σ2

conocida, sea menor o igual a un valor concreto µ0, en contra de una hipotesis alternativaunilateral de que la media sea mayor.

H0 : µ ≤ µ0

H1 : µ > µ0

Para un nivel de Significacion α = 1 − γ se establecen un valor crıtico a, tal que el intervaloX < a defina la Region de Aceptacion y la Region Crıtica.

Definamos,Z = (X − µ0)/(σ/

√n) ≡ N (0, 1) bajo H0.

El valor crıtico se obtiene,

(a − µ0)/(σ/√

n) = z1−α = zγ ⇒ a = µ0 + (σ/√

n)z1−α

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Z

Den

sida

d γ

1 − α

Z(1 − α)

α


Si X cae en la Region de Aceptacion, X < a, entonces, el estadıstico Z = (X − µ0)/(σ/√

n) caeraen la Region de Aceptacion,

Z < z1−α,


Z ≥ z1−α,

se rechazara H0.

Los Coeficientes de Confianza o Niveles de Significacion mas usuales son:γ = 0.95, α = 0.05 ⇒ zγ = z1−α = z0.95 = 1.65,γ = 0.99, α = 0.01 ⇒ zγ = z1−α = z0.99 = 2.33.


6

Prueba para µ = µ0 cuando σ es Desconocida

Consideremos el problema de probar la hipotesis de que la media de una poblacion, con varianzaσ2 desconocida, sea igual a un valor concreto µ0, en contra de una hipotesis alternativa bilateral

de que la media sea diferente.

H0 : µ = µ0

H1 : µ 6= µ0

Sea X1,X2, . . . ,Xn una m.a.s., el estadıstico apropiado para este caso esta basado en la mediamuestral X .

Para un nivel de Significacion α = 1 − γ se establecen valores crıticos a y b, tales que elintervalo a < X < b defina la Region de Aceptacion y la Region Crıtica.

Definamos,T = (X − µ0)/(Sc/

√n) ≡ tn−1 bajo H0.

Los valores crıticos se obtienen,

a = µ0 + (Sc/√

n)tn−1, α2

b = µ0 + (Sc/√

n)tn−1,1−α2

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

T

Den

sida

d γ

1 − α

t(α 2) t(1 − α 2)

α 2α 2


Si X cae en la Region de Aceptacion, a < X < b, entonces, el estadıstico T = (X − µ0)/(Sc/√


|T | < tn−1,1−α2,


|T | ≥ tn−1,1−α2,

se rechazara H0.

Los Coeficientes de Confianza o Niveles de Significacion usuales, eg. n = 20:γ = 0.95, α = 0.05 ⇒ t19, 1+γ

2

= t19,1−α2

= t19,0.975 = 2.09,

γ = 0.99, α = 0.01 ⇒ t19, 1+γ

2

= t19,1−α2

= t19,0.995 = 2.86.


7

Ejemplo de contraste de hipotesis con R

> x <- c(17.7, 17.3, 13.6, 12.3, 14, 13.1, 13, 15.4, 19.7, 19.5)

> t.test(x, mu = 15, alt = "two.sided", conf.level = 0.95)

One Sample t-test

data: x

t = 0.6359, df = 9, p-value = 0.5407

alternative hypothesis: true mean is not equal to 15

95 percent confidence interval:

13.56776 17.55224

sample estimates:

mean of x

15.56

> pt(0.6359, df = 9)

[1] 0.7296637



> x <- c(17.7, 17.3, 13.6, 12.3, 14, 13.1, 13, 15.4, 19.7, 19.5)

> t.test(x, mu = 18, alt = "two.sided", conf.level = 0.95)

One Sample t-test

data: x

t = -2.7706, df = 9, p-value = 0.02173

alternative hypothesis: true mean is not equal to 18


13.56776 17.55224

sample estimates:

mean of x

15.56

> pt(-2.7706, df = 9)

[1] 0.01086609


8

Prueba para µ ≤ µ0 cuando σ es Desconocida

En este caso consideremos la hipotesis de que la media de una poblacion, con varianza σ2

desconocida, sea menor o igual a un valor concreto µ0, en contra de una hipotesis alternativaunilateral de que la media sea mayor.

H0 : µ ≤ µ0

H1 : µ > µ0

Para un nivel de Significacion α = 1 − γ se establecen un valor crıtico a, tal que el intervaloX < a defina la Region de Aceptacion y la Region Crıtica.

Definamos,T = (X − µ0)/(Sc/

√n) ≡ tn−1 bajo H0.

El valor crıtico se obtiene,

(a − µ0)/(Sc/√

n) = tn−1,1−α = tn−1,γ ⇒ a = µ0 + (Sc/√

n)tn−1,1−α

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

T

Den

sida

d γ

1 − α

t(1 − α)

α


Si X cae en la Region de Aceptacion, X < a, entonces, el estadıstico T = (X − µ0)/(Sc/√


T < tn−1,1−α,


T ≥ tn−1,1−α,

se rechazara H0.

Los Coeficientes de Confianza o Niveles de Significacion usuales, eg. n = 20:γ = 0.95, α = 0.05 ⇒ tn−1,γ = tn−1,1−α = t19,0.95 = 1.73,γ = 0.99, α = 0.01 ⇒ tn−1,γ = tn−1,1−α = t19,0.99 = 2.54.


9


> x <- c(17.7, 17.3, 13.6, 12.3, 14, 13.1, 13, 15.4, 19.7, 19.5)

> t.test(x, mu = 15, alt = "greater", conf.level = 0.95)

One Sample t-test

data: x

t = 0.6359, df = 9, p-value = 0.2703

alternative hypothesis: true mean is greater than 15


13.94561 Inf

sample estimates:

mean of x

15.56

> pt(0.6359, df = 9)

[1] 0.7296637


10


> x <- c(17.7, 17.3, 13.6, 12.3, 14, 13.1, 13, 15.4, 19.7, 19.5)

> t.test(x, mu = 12, alt = "greater", conf.level = 0.95)

One Sample t-test

data: x

t = 4.0423, df = 9, p-value = 0.001459

alternative hypothesis: true mean is greater than 12


13.94561 Inf

sample estimates:

mean of x

15.56

> pt(4.0423, df = 9)

[1] 0.9985408


11

Pruebas relacionadas con las Medias de dos Poblaciones Independi-

entes 15 / 32

Prueba para µ1 = µ2 cuando σ1 y σ2 son Conocidas

Consideremos el problema de probar la hipotesis de que las medias de dos poblaciones normales eindependientes, con varianzas σ2

1 y σ22 conocidas, sean iguales, en contra de una hipotesis

alternativa bilateral de que las medias sean diferentes.

H0 : µ1 = µ2

H1 : µ1 6= µ2

El estadıstico apropiado para este caso esta basado en la diferencia de las medias muestralesX1 − X2.

Para un nivel de Significacion α = 1 − γ se establecen valores crıticos a y b, tales que elintervalo a < X1 − X2 < b defina la Region de Aceptacion y la Region Crıtica.

Definamos,

Z =(X1 − X2)

√

σ21/n1 + σ2

2/n2

≡ N (0, 1) bajo H0.

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Z

Den

sida

d γ

1 − α

Z(α 2) Z(1 − α 2)

α 2α 2

Ası pues, de las poblaciones, se eligen muestras de tamano n1 y n2 respectivamente y se calculanlas medias muestrales X1 y X2, obteniendose Z.

La Region de Aceptacion vendra definida por,

|Z| < z1−α2,

y se aceptara H0.

Mientras que en caso contrario, se define la Region de Rechazo,

|Z| ≥ z1−α2,

y se rechazara H0.


12

Prueba para µ1 ≤ µ2 cuando σ1 y σ2 son Conocidas


1 y σ22 conocidas, sean µ1 ≤ µ2, en contra de una hipotesis

alternativa unilateral de que sean µ1 > µ2.

H0 : µ1 ≤ µ2

H1 : µ1 > µ2

Para un nivel de Significacion α = 1 − γ se establecen un valor crıtico a, tal que el intervaloX1 − X2 < a defina la Region de Aceptacion y la Region Crıtica.

Definamos,

Z =(X1 − X2)

√

σ21/n1 + σ2

2/n2

≡ N (0, 1) bajo H0.

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Z

Den

sida

d γ

1 − α

Z(1 − α)

α

Ası pues, de las poblaciones, se eligen muestras de tamano n1 y n2 respectivamente y se calculanlas medias muestrales X1 y X2, obteniendose T .


Z < z1−α,

y se aceptara H0.


Z ≥ z1−α,

y se rechazara H0.


13

Prueba para µ1 = µ2 cuando σ1 y σ2 son Desconocidas pero Iguales


1 y σ22 desconocidas e iguales, sean iguales, en contra de una

hipotesis alternativa bilateral de que las medias sean diferentes.

H0 : µ1 = µ2

H1 : µ1 6= µ2



Definamos,

T =(X1 − X2)

√

n1S21+n2S2

2

n1+n2−2 ( 1n1

+ 1n2

)≡ tn1+n2−2 bajo H0.

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

T

Den

sida

d γ

1 − α

t(α 2) t(1 − α 2)

α 2α 2



|T | < tn−1,1−α2,

y se aceptara H0.


|T | ≥ tn−1,1−α2,

y se rechazara H0.


14

Prueba para µ1 ≤ µ2 cuando σ1 y σ2 son Desconocidas pero Iguales


1 y σ22 desconocidas e iguales, sean µ1 ≤ µ2, en contra de una

hipotesis alternativa unilateral de que sean µ1 > µ2.

H0 : µ1 ≤ µ2

H1 : µ1 > µ2


Definamos,

T =(X1 − X2)

√

n1S21+n2S2

2

n1+n2−2 ( 1n1

+ 1n2

)≡ tn1+n2−2 bajo H0.

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

T

Den

sida

d γ

1 − α

t(1 − α)

α



T < tn1+n2−2,1−α,

y se aceptara H0.


T ≥ tn1+n2−2,1−α,

y se rechazara H0.


15

Prueba para µ1 = µ2 cuando σ1 y σ2 son Desconocidas y Distintas


1 y σ22 desconocidas y distintas, sean iguales, en contra de una

hipotesis alternativa bilateral de que las medias sean diferentes.

H0 : µ1 = µ2

H1 : µ1 6= µ2



Definamos,

T =(X1 − X2)√

S2c1

n1+

S2c2

n2

≡ tg bajo H0, con g =

(

S2c1

n1+

S2c2

n2

)2

(S2c1

/n1)2

n1−1 +(S2

c2/n2)2

n2−1

.

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

T

Den

sida

d γ

1 − α

t(α 2) t(1 − α 2)

α 2α 2



|T | < tg,1−α2,

y se aceptara H0.


|T | ≥ tg,1−α2,

y se rechazara H0.


16

Prueba para µ1 ≤ µ2 cuando σ1 y σ2 son Desconocidas y Distintas


1 y σ22 desconocidas y distintas, sean µ1 ≤ µ2, en contra de una

hipotesis alternativa unilateral de que sean µ1 > µ2.

H0 : µ1 ≤ µ2

H1 : µ1 > µ2


Definamos,

T =(X1 − X2)√

S2c1

n1+

S2c2

n2

≡ tg bajo H0, con g =

(

S2c1

n1+

S2c2

n2

)2

(S2c1

/n1)2

n1−1 +(S2

c2/n2)2

n2−1

.

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

T

Den

sida

d γ

1 − α

t(1 − α)

α



T < tg,1−α,

y se aceptara H0.


T ≥ tg,1−α,

y se rechazara H0.


17

Pruebas relacionadas con las Medias de dos Poblaciones Relacionadas

22 / 32

Prueba para µ1 = µ2 cuando σ1, σ2 y ρ son Desconocidos

Consideremos el problema de probar la hipotesis de que las medias de dos poblaciones normales yapareadas, con σ2

1 , σ22 y ρ desconocidos, sean iguales, en contra de una hipotesis alternativa

bilateral de que las medias sean diferentes.

H0 : µ1 = µ2

H1 : µ1 6= µ2

Sean (X11 ,X1

2 ), (X21 ,X2

2 ), . . . , (Xn1 ,Xn

2 ) n pares de muestras aleatorias simples. El estadısticoapropiado para este caso esta basado en la diferencia de las medias muestrales D = X1 − X2, conDi = Xi

1 − Xi2.


Definamos,

T =(X1 − X2)

ScD√

n

≡ tn−1 bajo H0, con ScD =

∑ni (Di − D)2

n − 1.

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

T

Den

sida

d γ

1 − α

t(α 2) t(1 − α 2)

α 2α 2



|T | < tn−1,1−α2,

y se aceptara H0.


|T | ≥ tn−1,1−α2,

y se rechazara H0.


18

Prueba para µ1 ≤ µ2 cuando σ1, σ2 y ρ son Desconocidos

Consideremos el problema de probar la hipotesis de que las medias de dos poblaciones normales eindependientes, con σ2

1 , σ22 y ρ desconocidos, sean µ1 ≤ µ2, en contra de una hipotesis alternativa

unilateral de que sean µ1 > µ2.

H0 : µ1 ≤ µ2

H1 : µ1 > µ2

Sean (X11 ,X1

2 ), (X21 ,X2

2 ), . . . , (Xn1 ,Xn

2 ) n pares de muestras aleatorias simples. El estadısticoapropiado para este caso esta basado en la diferencia de las medias muestrales D = X1 − X2, conDi = Xi

1 − Xi2.


Definamos,

T =(X1 − X2)

ScD√

n

≡ tn−1 bajo H0, con ScD =

∑ni (Di − D)2

n − 1.

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

T

Den

sida

d γ

1 − α

t(1 − α)

α



T < tn−1,1−α,

y se aceptara H0.


T ≥ tn−1,1−α,

y se rechazara H0.


19

Pruebas relacionadas con las Varianzas de dos Poblaciones 25 / 32

Prueba para σ21 = σ

22 con µ1 y µ2 Desconocidas

Consideremos el problema de probar la hipotesis de la igualdad de las varianzas σ21 y σ2

2 de dospoblaciones, en contra de una hipotesis alternativa bilateral de que sean diferentes.

H0 : σ1 = σ2

H1 : σ1 6= σ2

El estadıstico apropiado para este caso esta basado en el cociente de las Cuasivarianzasmuestrales S2

c1/S2c2.

Para un nivel de Significacion α = 1 − γ se establecen valores crıticos a y b, tales que elintervalo a < S2

c1/S2c2 < b defina la Region de Aceptacion y la Region Crıtica.

Definamos,

F =S2

c1

S2c2

≡ Fn1−1,n2−1 bajo H0.

0 1 2 3 4 5 6

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

F

Den

sida

d

γ

1 − α

F(α 2) F(1 − α 2)

α 2α 2

Ası pues, de las poblaciones, se eligen muestras de tamano n1 y n2 respectivamente y se calcula elestadıstico de contraste F .


Fn1−1,n2−2, α2

< F < Fn1−1,n2−1,1−α2

y se aceptara H0.


F ≤ Fn1−1,n2−2, α2

o Fn1−1,n2−1,1−α2≤ F

y se rechazara H0.


20

Prueba para σ21 ≤ σ

22 con µ1 y µ2 Desconocidas

Consideremos el problema de probar la hipotesis de que las varianzas de dos poblaciones, seanσ2

1 ≤ σ22, en contra de una hipotesis alternativa unilateral de que sean σ2

1 > σ22.

H0 : σ21 ≤ σ2

2

H1 : σ21 > σ2

2

El estadıstico apropiado para este caso esta basado en el cociente de las Cuasivarianzasmuestrales S2

c1/S2c2.

Para un nivel de Significacion α = 1 − γ se establecen valores crıticos a y b, tales que elintervalo S2

c1/S2c2 < a defina la Region de Aceptacion y la Region Crıtica.

Definamos,

F =S2

c1

S2c2

≡ Fn1−1,n2−1 bajo H0.

0 1 2 3 4 5 6

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

F

Den

sida

d

γ

1 − α

F(1 − α)

α

Ası pues, de las poblaciones, se eligen muestras de tamano n1 y n2 respectivamente y se calcula elestadıstico de contraste F .


F < Fn1−1,n2−1,1−α

y se aceptara H0.


F ≥ Fn1−1,n2−1,1−α

y se rechazara H0.


21

Pruebas relacionadas con Proporciones 28 / 32

Prueba para p = p0

Consideremos el problema de probar la hipotesis de que la proporcion de elementos con unatributo en una poblacion, sea igual a un valor concreto p0, en contra de una hipotesis alternativabilateral de que sea diferente.

H0 : p = p0

H1 : p 6= p0

El estadıstico apropiado para este caso esta basado en p = X/n, siendo X el numero de elementoscon el atributo y n el tamano de la muestra.

Para un nivel de Significacion α = 1 − γ se establecen valores crıticos a y b, tales que elintervalo a < p < b defina la Region de Aceptacion y la Region Crıtica.

Definamos,

Z =(p − p0)

√

pqn

≡ N (0, 1) bajo H0.

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Z

Den

sida

d γ

1 − α

Z(α 2) Z(1 − α 2)

α 2α 2

Ası pues, de la poblacion, se elige una muestra de tamano n y se calcula p = X/n.

Si p cae en la Region de Aceptacion, a < p < b, entonces, el estadıstico Z caera en la Region de

Aceptacion,|Z| < z1−α

2,


|Z| ≥ z1−α2,

se rechazara H0.


22

Prueba para p ≤ p0

Consideremos el problema de probar la hipotesis de que la proporcion de elementos con unatributo en una poblacion, sea menor o igual a un valor concreto p0, en contra de una hipotesisalternativa unilateral de que sea mayor.

H0 : p ≤ p0

H1 : p > p0

Para un nivel de Significacion α = 1 − γ se establecen un valor crıtico a, tal que el intervalop < a defina la Region de Aceptacion y la Region Crıtica.

Definamos,

Z =(p − p0)

√

pqn

≡ N (0, 1) bajo H0.

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Z

Den

sida

d γ

1 − α

Z(1 − α)

α

Ası pues, de la poblacion, se elige una muestra de tamano n y se calcula p = X/n.

Si p cae en la Region de Aceptacion, p < a, entonces, el estadıstico Z caera en la Region de

Aceptacion,Z < z1−α,


Z ≥ z1−α,

se rechazara H0.


23

Contrastes de Hipotesis: p-valor 31 / 32

p-valor

En contrastes de hipotesis, en Estadıstica, el p-valor esta definido como la probabilidad deobtener un resultado al menos tan extremo como el que realmente se ha obtenido, suponiendoque la hipotesis nula es cierta.

p = P(|Z| > Zobs|H0)

Si el p-valor es inferior a α lo mas probable es que la hipotesis H0 sea falsa.

Sin embargo, tambien es posible que estemos ante una observacion atıpica, por lo que estarıamoscometiendo el error estadıstico de rechazar la hipotesis nula cuando esta es cierta basandonos enque hemos tenido la mala suerte de encontrar una observacion atıpica.

Este tipo de errores se puede subsanar rebajando el nivel de significacion, un nivel de 0.05 esusado en investigaciones habituales sociologicas mientras que niveles de 0.01 se utilizan eninvestigaciones medicas, en las que cometer un error puede acarrear consecuencias mas graves.

Tambien se puede tratar de subsanar dicho error aumentando el tamano de la muestra obtenida,esto reduce la posibilidad de que el dato obtenido sea casualmente raro.


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métodos estad´ısticos de la ingenier´ıa tema 11: contrastes de

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