principios geodesicos teoria

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Principios Geodsicos

PRINCIPIOS DE SIG

Tema:

PRINCIPIOS GEODSICOS APLICADOS EN SIG

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CONTENIDO

1. REFERENCIACIN ESPACIAL. .............................................................................................3

1.1. Marcos y sistemas de referenciacin espacial. ...................................................4 1.2. Datums y superficies de Referencia Espacial. .....................................................6

El Geoide y el Datum Vertical ...............................................................................7 El elipsoide y el datum horizontal .........................................................................8 Datums globales y locales ...................................................................................10

1.3. Transformacin de Datums..............................................................................11 1.4. Proyecciones de mapas. ..................................................................................14

Clasificacin de las proyecciones de mapas.........................................................15 Ecuaciones para la obtencin de mapas. .............................................................18 Cambio de proyeccin de un mapa. ....................................................................18

REFERENCIA BIBLIOGRFICA...............................................................................................19

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Principios geodsicos aplicados en SIG

1. Referenciacin espacial.

En los inicios de los SIG los usuarios manejaban los datos referenciados espacialmente en un solo pas. Los datos fueron derivados de mapas de papel publicados o impresos por organizaciones especializadas en mapas de cada pas. Hoy en da, los usuarios de SIG combinan datos espaciales de un determinado pas con el conjunto de datos espaciales globales, (re)conciliando los datos espaciales provenientes de un mapa impreso con las coordenadas establecidas con tcnicas de posicionamiento satelital adems de integrar datos espaciales de pases vecinos. Para realizar estas tareas exitosamente, los usuarios SIG necesitan un cierto nivel de apreciacin de los conceptos bsicos de referenciacin espacial relacionados a mapas impresos y a datos espaciales.

La referenciacin espacial comprende las definiciones, la construccin fsica/ geomtrica y las herramientas requeridas para describir la geometra y movimiento de los objetos cercanos y sobre la superficie terrestre. Algunas de estas construcciones y herramientas son usualmente listadas en la leyenda de los mapas impresos (Figura 1.). Por ejemplo, un usuario de SIG puede encontrar los siguientes tems en la leyenda de un mapa topogrfico impreso convencional: el nombre del Datum Vertical Local (ej. Normalnull); el nombre del Datum Horizontal Local (ej. Postdam Datum); el nombre del elipsoide de referencia y el punto fundamental (ej. Bessel Ellipsoid y Rauenberg); el tipo de coordenadas asociadas con las lneas de la grilla del mapa (ej. coordenadas geogrficas, coordenadas planas); la proyeccin del mapa (ej. proyeccin Gauss-Krueger); la escala del mapa (ej. 1:25.000); los parmetros de transformacin desde un datum global (ej. Marco de Referencia Terrestre Europeo 1989) al datum horizontal local e informacin acerca del campo magntico.

En los siguientes acpites explicaremos el significado de estos elementos, con la excepcin del campo magntico. Una apreciacin de los conceptos bsicos de referenciacin espacial ayudar al lector a identificar los problemas potenciales asociados con datos referenciados espacialmente incompatibles.

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Figura 1. Leyenda de un mapa topogrfico Alemn

1.1. Marcos y sistemas de referenciacin espacial.

La geometra y el movimiento de los objetos en el espacio Euclidiano 3D son descritos en un sistema de coordenadas de referencia. Un sistema de coordenadas de referencia es un sistema de coordenadas con el origen bien definido y la orientacin en los tres ejes ortogonales. Nos referiremos a tal sistema como un Sistema de Referencia Espacial (SRE).

Un sistema de referencia espacial es una abstraccin matemtica. Este es obtenido (o materializado) por medio de un Marco de Referencia Espacial (MRE). Podemos visualizar un MRE como un catalogo de coordenadas de objetos puntuales especficos e identificables, los cuales implcitamente materializan los ejes de coordenadas del SRE. La geometra de los objetos puede entonces ser descrita mediante coordenadas con respecto al MRE. Un MRE puede ser hecho accesible a los usuarios, lo que no sucede con un SRE. La materializacin de un SRE est lejos de ser trivial. Los modelos fsicos y supuestos en fenmenos geofsicos complejos estn implcitos en la materializacin de un sistema de referencia. Afortunadamente estos tecnicismos son transparentes a los usuarios de un MRE.

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Muchos sistemas de referencia espacial son usados en las ciencias terrestres. Uno de los ms importantes para la comunidad de usuarios SIG es el International Terrestrial Reference System (ITRS, Sistema Internacional de Referencia Terrestre). El ITRS tiene su origen en el centro de masa de la Tierra. El eje Z apunta hacia un Polo Norte promedio. El eje X esta orientado hacia el meridiano de Greenwich promedio y es ortogonal al eje Z. El eje Y completa el sistema de coordenadas de referencia ortogonal (Figura 2(a)).

Figura 2. (a) El Sistema Internacional de Referencia Terrestre (ITRS) y (b) el Marco Internacional de Referencia Terrestre (ITRF) visualizados como un poliedro

fundamental

El ITRS esta materializado a travs del International Terrestrial Reference Frame (ITRF, Marco Internacional de Referencia Terrestre), un catalogo de coordenadas estimadas (y velocidades) de una poca particular de varios puntos especficos e identificables (o estaciones). Estas estaciones estn ms o menos homogneamente distribuidas sobre la superficie de la Tierra. Pueden ser concebidas como la definicin de los vrtices de un poliedro fundamental (inicial), una abstraccin geomtrica de la forma de la Tierra en una poca inicial1.(Figura 2(b)). El mantenimiento del marco de referencia espacial conlleva relacionar la rotacin, traslacin y deformacin del poliedro a una poca posterior al poliedro fundamental (inicial). El mantenimiento del marco es necesario debido a procesos geofsicos (principalmente a movimientos de las placas tectnicas) que deforman la corteza de la Tierra a escalas medibles de manera global, regional y local. El ITRF es apropiado idealmente para describir la geometra y comportamiento de objetos en movimiento y estacionarios sobre y cerca a la superficie terrestre.

Los sistemas de referencia espacial geocntricos, globales, tales como el ITRS, se volvieron disponibles recientemente con los avances en tcnicas de posicionamiento extra-terrestre2. Puesto que el centro de masa de la Tierra est directamente relacionado al tamao y la forma de la orbita de los satlites,

1 Para el propsito de este texto, una poca es una fecha calendario especfica 2 Tcnicas de posicionamiento extra-terrestre incluye los Sistema de Posicionamiento Global (GPS)

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observando un satlite (natural o artificial) se puede estimar de manera precisa el centro de masa de la tierra, y he aqu el origen del ITRS. Antes de la era espacial aproximadamente antes de los 60s fue imposible materializar sistemas de referencia geocntricos a nivel de precisin requeridos para la obtencin de mapas a gran escala.

Si el ITRF es implementado en una regin de una forma moderna, aplicaciones de SIG pueden ser concebidas de una forma que antes hubiera sido impensable. Tales aplicaciones permiten la referenciacin espacial en tiempo real y la produccin de informacin espacial tambin en tiempo de real, e incluyen grficos y mapas electrnicos, agricultura de precisin, administracin de fletes, despacho de vehculos y manejo de desastres. Qu es lo que queremos decir por implementacin del ITRF en una regin de una forma moderna?. Primero una densificacin del poliedro ITRF, a travs de vrtices adicionales para asegurar que haya en la regin unos cuantos puntos de referencia con coordenadas. Luego la instalacin de estos puntos con vnculos permanentes a equipos de posicionamiento satelital (ejemplo receptores GPS y equipo auxiliar) y equipos de comunicacin. Ejemplo de tales estaciones de rastreo permanente son los AGRS en Holanda y los SAPOS en Alemania.

El ITRF continuamente despliega nuevas estaciones al poliedro inicial. Como resultado tenemos diferentes versiones del mismo ITRS, en consecuencia diferentes ITRFs. Por lo tanto, un ITRF especfico es codificado por un cdigo anual. Un ejemplo es el ITRF96. ITRF96 es una lista de coordenadas geocntricas (X, Y, Z en metros) y velocidades en (X/t, Y/t y Z/t en metros por ao) para todas las estaciones, juntamente con el error estimado. Las coordenadas de la estacin estn relacionadas a una poca especfica ej. la poca 1996.0. Para obtener las coordenadas de una estacin en cualquier otra poca (Ej. Para la poca 2000.0) la velocidad de la estacin tiene que ser aplicada apropiadamente.

1.2. Datums y superficies de Referencia Espacial.

Parecera un ITRF especfico es suficiente para describir la geometra y el comportamiento temporal de los objetos cerca y sobre la superficie de la tierra, en trminos de un trada de coordenadas, coordenadas cartesianas X, Y, Z y sus velocidades geocntricas. Por qu entonces necesitamos tambin introducir superficies de referencia espacial?.

La divisin de la descripcin de ubicaciones 3D en 2D (horizontal) y 1D (altura) tiene una larga tradicin en las ciencias de la tierra. Con la mayor parte de nuestras actividades cotidianas se llevan a cabo sobre la topografa terrestre, una superficie curva compleja y en 2D, los humanos somos esencialmente habitantes del espacio en dos dimensiones 2D. En primer lugar, hemos buscado intuitivamente describir nuestro ambiente en dos dimensiones. Por tanto, necesitamos una superficie de referencia simple curva en 2D sobre la cual la topografa compleja en 2D de la tierra pueda ser proyectada para que ms fcilmente puedan ser llevados a cabo los clculos y la referenciacin espacial en 2D. Los seres humanos, tambin consideramos la altura como coordenada adicional y le damos un significado fsico. Establecemos que el punto A se encuentra ms alto que el punto B, si el agua

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puede fluir desde A a B. Por tanto, seria ideal si esta simple superficie de referencia curva en 2D podra tambin servir como una superficie de referencia para alturas con un significado fsico.

El Geoide y el Datum Vertical

Para describir alturas, necesitamos una superficie imaginaria de altura cero. Esta superficie debe tambin poseer un significado fsico, de otra forma no podra ser medida por instrumentos. Una superficie donde el agua no fluya, una superficie nivelada, es una buena opcin. Cualquier sensor equipado con una burbuja pueda medirla. Cada nivel de la superficie es una superficie de altura constante. Sin embargo, existen muchos niveles de superficie. Cul deberamos elegir como la superficie de referencia para las alturas?. La eleccin ms obvia seria elegir la superficie de nivel que ms se aproxime a todos los ocanos de la tierra. Llamamos a esta superficie el Geoide (Figura 3). Cada punto sobre el geoide tiene la misma altura cero alrededor del mundo. Esto lo convierte en una superficie de referencia ideal para las alturas. Cmo el geoide es implementado o concebido sobre la superficie de la tierra para permitir mediciones de altura?

Figura 3. El geoide, exagerado para ilustrar la complejidad de su superficie

Histricamente, el geoide ha sido concebido solo localmente, no globalmente. Un nivel local de superficie promedio del mar es adoptada como superficie de altura cero de dicha localidad. Cmo puede ser registrado localmente o el nivel promedio del mar?. A travs de las lecturas, promediadas sobre un periodo suficiente de tiempo, del registro automtico llevado a cabo por un equipo que mide la fluctuacin de las mareas (maregrafo) ubicado en una ubicacin deseada. Para Holanda y Alemania, el nivel promedio del mar local est materializado a travs del maregrafo de msterdam (altura cero). Podemos determinar la altura de un punto en Enschede (ciudad al este de Holanda) con respecto al maregrafo de msterdam usando la tcnica conocida como nivelacin geodsica. El resultado de este proceso, ser la determinacin de la altura por encima del nivel promedio del mar para el punto en Enschede.

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A nivel mundial obviamente hay varias realizaciones locales del nivel medio del mar, tambin llamados Datums Verticales Locales. Ellos son paralelos al geoide pero desplazados por unos cuantos metros. Este desplazamiento es debido a fenmenos locales tales como corrientes del ocano, mareas, vientos de costa, temperatura del agua y salinidad en las ubicaciones de los maregrafos.

El Datum Vertical Local es implementado a travs de una red de nivelacin (Figura 4 (a)). Una red de nivelacin consiste de benchmarks BM (puntos de referencia), cuyas alturas por encima del nivel promedio del mar han sido determinadas a travs de una nivelacin geodsica. La implementacin del Datum permite un acceso fcil a los usuarios. El topgrafo no necesita empezar desde el origen, (es decir, desde el maregrafo de msterdam) cada vez que se requiere determinar la altura de un nuevo punto. Ellos pueden usar un benchmark de la red de nivelacin que esta ms cerca del punto de inters. (Figura 4(b)).

Figura 4. (a) Una red de nivelacin implementa un datum local vertical (a) lneas de la red de nivelacin empezando del maregrafo de msterdam mostrando

algunos de los benchmarks; (b) como la altitud es determinada para un punto en funcin del benchmark ms cercano

El elipsoide y el datum horizontal

Hemos definido una construccin fsica, el geoide, que puede servir como una superficie de referencia para las altitudes. Tambin necesitamos una superficie de referencia para la descripcin de las coordenadas horizontales de los puntos de inters. Ya que posteriormente proyectaremos estas coordenadas horizontales en un mapa plano, la superficie de referencia para las coordenadas horizontales requiere una definicin matemtica y su descripcin. Puesto que el geoide es una definicin fsica y no matemtica, este no puede ser utilizado como una superficie de referencia para las coordenadas horizontales. Entonces cul superficie de referencia matemtica es ms apropiada?. La superficie matemtica que es lo suficientemente simple y que ms se aproxima al nivel medio del mar local es la superficie de un elipsoide oblato. Cmo es implementada esta superficie matemtica?.

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Histricamente, la superficie elipsoidal ha sido implementada localmente no globalmente. Un elipsoide con dimensiones especficas - a y b como la mitad de la longitud del eje mayor y menor respectivamente es elegido el que mejor se ajusta al nivel medio del mar. Posteriormente el elipsoide es situado y orientado con

respecto al nivel medio del mar local adoptando una latitud (), una longitud () y una altura (h) del denominado punto fundamental y un azimuth a un punto adicional. Sealamos que un datum horizontal local es definido por:

a) Las dimensiones (a y b) del elipsoide, b) Las coordenadas geogrficas adoptadas, latitud, longitud y altura del punto fundamental. c) El azimut desde este punto a otro.

Hay unos pocos cientos de datos locales horizontales en el mundo. La razn es obvia. Diferentes elipsoides locales, con posicin y orientacin variada tuvieron que ser adoptados para ajustarse de mejor manera al nivel medio del mar en los diferentes pases y regiones (Figura 5).

Figura 5. El geoide, un elipsoide global que mejor se ajusta al mismo, y un elipsoide que regionalmente mejor se ajusta a una regin dada.

Un ejemplo es el Datum Postdam, el Datum Horizontal Local usado en Alemania. El punto fundamental est en Rauenberg y el elipsoide de referencia es el Elipsoide Bessel (a=6.377.397,156 metros, b=6.356.079,175 metros). Podemos determinar la

latitud y longitud ( y ) de cualquier otro punto en Alemania con respecto a este Datum Horizontal Local usando tcnicas de posicionamiento geodsico tales como triangulacin y trilateracin. El resultado de este proceso sern las coordenadas geogrficas (latitud y longitud) del nuevo punto en el Datum Postdam.

El Datum Local Horizontal es implementado a travs de la denominada red de triangulacin. Una red de triangulacin consiste de puntos monumentados

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formando una malla de elementos triangulares. Los ngulos en cada tringulo son medidos desde al menos un lado de un tringulo; el punto fundamental es tambin un punto en la red de triangulacin. Las mediciones angulares y las coordenadas adoptadas del punto fundamental son luego usadas para derivar coordenadas geogrficas (latitud y longitud) para todos los puntos monumentados de la red de triangulacin. La implementacin del datum permite a los usuarios un fcil acceso. Los usuarios no necesitan empezar desde el origen, es decir, desde el punto fundamental Rauenberg para determinar las coordenadas geogrficas del nuevo punto. Ellos pueden utilizar un punto monumentado de la red de triangulacin que esta ms cerca al nuevo punto.

Datums globales y locales

Describimos la necesidad de definir superficies de referencia adicionales e introdujimos dos construcciones, el nivel del mar local promedio y el elipsoide. Tambin vimos como pueden ser implementados como Datums verticales y Horizontales. Mencionamos como pueden ellos ser implementados para referenciacin altitudinal y horizontal. Lo ms importante, vimos que las realizaciones de estas superficies fueron hechas localmente y han resultado en cientos de Datums verticales y horizontales en todo el mundo. Son posibles un Datum Horizontal y un Datum Vertical Globales?

La buena noticia es que un elipsoide geocntrico, conocido como el Sistema Geodsico de Referencia, elipsoide (GRS 80), puede ahora ser implementado gracias a los avances en las tcnicas de posicionamiento extra-terrestre. Una de estas implementaciones es el elipsoide asociado con el Sistema Geodsico Mundial (WGS84). Los elipsoides WGS84 y GRS80 pueden ser considerados como idnticos para todos los procesos prcticos. La tendencia es la de utilizar el Datum Horizontal Global en cualquier parte del mundo por razones de compatibilidad. Pronto tambin lo mismo ser posible para el Geoide. Las misiones de gravitacionales satelitales, bajo el auspicio de agencias espaciales Europeas y Americanas, estn actualmente trabajando en esta temtica. Estas misiones, determinaran un Geoide global preciso. Por qu estamos en la bsqueda de un Geoide global preciso?.

En la actualidad somos capaces de determinar una trada de coordenadas cartesianas geocntricas (X, Y, Z) de un punto con respecto al ITRF con una precisin de pocos centmetros. Podemos fcilmente transformar esta trada cartesiana en coordenada geogrficas (,,h) con respecto al datum horizontal global geocntrico sin perdida de precisin. Sin embargo, la altura h, obtenido a travs de esta transformacin directa, se encuentra desprovista de un significado fsico y contrario a nuestra percepcin intuitiva de la altura. Mas an, la altura H, por encima del geoide es menos precisa con una magnitud de segundo orden. Las misiones gravitacionales satelitales en su etapa inicial, permitirn la determinacin de la altura H, por encima el geoide con un nivel de precisin centimtrica. Es previsible que la referenciacin espacial global en 3D, en trminos de (,,H), llegar a ser imprescindible en los prximos 10-15 aos. Si tambin todos los mapas impresos se encuentran referenciados globalmente para este tiempo, los subyacentes conceptos de referenciacin espacial, sern transparentes e irrelevantes para los usuarios de los SIG.

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Figura 6. Altura h arriba del elipsoide geocntrico y altura H arriba del geoide. La primera es una medida ortogonal al elipsoide, la segunda ortogonal al geoide

La mala noticia es que los cientos de Datums existentes, locales horizontales y verticales, son aun relevantes porque ellos estn implcitos en los mapas resultantes alrededor del mundo. Para los prximos aos, trataremos con ambos, datums locales y globales, hasta que los primeros sean eventualmente sobrepasados. Durante el periodo de transicin, necesitaremos herramientas para transformar coordenadas desde Datums horizontales locales a Datums horizontales globales y viceversa. Las organizaciones que usualmente desarrollan estas herramientas de transformacin y ponen las mismas a disponibilidad de la comunidad de usuarios, son organizaciones nacionales o locales responsables del proceso de obtencin de mapas y autoridades de catastro.

1.3. Transformacin de Datums.

El motivo para adoptar un datum global geocntrico es la necesidad del cumplimiento de estndares y practicas internacionales. El posicionamiento satelital y la tecnologa de navegacin, hoy en da ampliamente usada alrededor del mundo para referenciacin espacial, implica un datum geocntrico global. Tambin, la complejidad del procesamiento de los datos espaciales, recae de gran manera sobre los software que han sido diseados para el efecto y vendidos en mercados globales. Como ms pases van hacia lo global el costo de mantener un datum local se incrementar. Finalmente, hoy en da el conjunto de datos globales y regionales (por ej. Monitoreo ambiental global), est referido casi siempre a un datum global geocntrico, y es til para naciones individuales, solo si estas pueden ser compatibilizadas con el datum local.

Cmo las organizaciones responsables de la obtencin de mapas estn reaccionando ante este desafi? Demos un vistazo de cerca a estas tpicas reacciones. El Sistema de Informacin de Nueva Zelanda (LINZ) recientemente ha adoptado el Sistema de referencia terrestre Internacional (ITRS) y un datum horizontal geocntrico, basado en el elipsoide GRS80. El ITRS ser implementado en Nueva Zelanda a travs de ITRF96 en la poca 2000.0. LINZ ha lanzado una campana de publicidad intensiva para ayudar a sus clientes a dar el paso hacia el nuevo datum geocntrico. LINZ aconseja a su comunidad de usuarios desarrollar e

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implementar estrategias que encaren el cambio, y propone diferentes enfoques (ej, realizar el cambio total de una vez, cambios por producto / regin, cambios en funcin a la demanda). Tambin aconsejan a los usuarios examinar sus fuentes y datos existentes, para establecer procedimientos de conversin al nuevo datum y para tratar con dualidad de coordenadas durante la transicin, y adoptar procedimientos para cambiar la legislacin.

Las organizaciones responsables de producir mapas no solo adiestran a la comunidad de usuarios con respecto a las implicaciones del datum geocntrico. Ellos tambin desarrollan herramientas para permitir que los usuarios transformen las coordenadas de objetos espaciales desde el nuevo datum al antiguo. Este proceso es conocido como transformacin de datum. Las herramientas son conocidas como parmetros de transformacin de datums. Por qu los usuarios necesitan estos parmetros de transformacin?. Porque a que ellos estn colectando datos en el campo usando la tecnologa de navegacin satelital. Tambin necesitan representar estos datos sobre mapas impresos basados en el datum local horizontal.

La buena noticia es que la transformacin del datum A al datum B es un proceso matemtico directo. Esencialmente, esta es una transformacin entre dos marcos de referencia espacial cartesiana ortogonales junto a algunas herramientas elementales de teora de ajuste. En 3D, la transformacin es expresada con siete

parmetros: tres rotaciones de ngulo (, , ), tres desplazamientos del origen (Xo,

Yo, Zo), y un factor de escala s. Las entradas al proceso son las coordenadas de

puntos en el Datum A y coordenadas de los mismos puntos en el Datum B. El resultado es un estimado de los parmetros de transformacin y una medida del error estimado. Note que en el ejemplo de la leyenda de un mapa mostrado en la figura 1, dos constantes de desplazamiento en latitud y longitud son dados, como una aproximacin para la transformacin de Datums. Las dos constantes de desplazamiento solo son validas para la hoja del mapa especifico. Ellos varan de una hoja de mapa a otra.

He aqu una ilustracin de lo que nosotros podemos esperar. El ejemplo lineas abajo tiene que ver con la transformacin de coordenadas cartesianas de un puntos en el estado de Baden-Wurttemberg, Alemania, desde el ITRF a coordenadas cartesianas en el Datum Postdam. Conjunto de valores numricos para los parmetros de transformacin estn disponibles desde tres organizaciones:

La mala noticia es que los parmetros estimados pueden ser imprecisos si las coordenadas de los puntos comunes son errneas. Este es a menudo el caso cuando nosotros transformamos coordenadas desde un datum horizontal local a un datum geocntrico. Las coordenadas en el datum horizontal local pueden estar distorsionadas por algunas decenas de metros debido a imprecisiones inherentes en el proceso de medicin usada en la red de triangulacin. Estas imprecisiones inherentes son tambin responsable de otra complicacin: los parmetros de transformacin no son nicos. Sus estimaciones dependern de que puntos comunes en particular fueron elegidos y tambin dependern de si son estimados todos los siete parmetros, o solo un subconjunto de los mismos.

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He aqu una ilustracin de que podemos esperar. El ejemplo dado abajo tiene que ver con la transformacin de coordenadas cartesianas de un punto en el estado de Baden-Wurttemberg, Alemania, desde el ITRF a coordenadas cartesianas en el Datum Postdam. Estn disponibles desde tres organizaciones un conjunto de valores numricos para los parmetros de transformacin:

El conjunto provisto por la organizacin alemana responsable de la

elaboracin de mapas (denominada Conjunto Nacional en la tabla 1) fue calculado usando puntos comunes distribuidos a travs de Alemania. Este conjunto contiene los siete parmetros y esta disponible para toda Alemania.

El conjunto provisto por la organizacin responsable de la elaboracin de mapas de Baden- Wuttemberg (Denominado Conjunto Provincial, en la tabla 1) ha sido calculado usando puntos comunes distribuidos a travs de la provincia de Baden-Wurttemberg. Este conjunto contiene los siete parmetros y es valido solo dentro de los lmites de esa provincia.

El conjunto provisto por la Agencia Nacional de Imgenes y obtencin de mapas (NIMA) de los Estados Unidos (Denominado Conjunto NIMA en la tabla 1) ha sido calculado usando puntos comunes distribuidos a lo largo de Alemania. Este conjunto solamente contiene coordenadas de desplazamiento (no rotaciones y unidad de escala equivalente). Esto es valido para toda Alemania.

Los tres conjuntos de parmetros de transformacin varan por varios metros, por las razones antes mencionadas. Este conjunto de parmetros de transformacin han sido usados para transformar las coordenadas cartesianas ITRF de un punto en el estado de Baden-Wurttemberg. Las coordenadas ITRF (X, Y, Z) son:

(4,156,939.96 m, 671,428.74 m, 4,774,958.21 m).

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Tabla 1. Transformacin de coordenadas cartesianas; esta transformacin 3D provee los siete parmetros, factor de escala s, los ngulos de rotacin (, , )

y los desplazamientos del origen (Xo, Yo, Zo).

Los tres conjuntos de parmetros de transformacin en el Datum Postdam son:

Es obvio que los tres conjuntos de coordenadas transformadas concuerdan al nivel de unos pocos metros. En un pas diferente, la concordancia podra ser al nivel de centmetros, o en decenas de metros y esto depende principalmente de la calidad de la implementacin del datum horizontal local. Es aconsejable que los usuarios de SIG acten con precaucin cuando realizan una transformacin de datum y que consulten con sus organizaciones nacionales responsables de la obtencin de mapas, cuando sea esto apropiado.

1.4. Proyecciones de mapas.

Los mapas son uno de los documentos ms viejos del mundo. El hombre no conoca desde los inicios la forma de la tierra, l la pensaba plana, y durante aquellos das, un mapa fue una representacin en miniatura de una parte del mundo. Ahora que nosotros sabemos que la forma de la tierra es curveada de una manera especfica, nosotros sabemos que un mapa (plano) es una representacin aplanada de alguna parte del planeta. El cmo uno aplana la tierra es el rea de las proyecciones de los mapas.

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Una proyeccin de mapa es una tcnica matemtica para representar la

superficie curveada del planeta en un mapa plano

Para representar partes de la superficie de la tierra en un mapa plano, o sobre la pantalla de una computadora, la superficie curva de referencia horizontal debe ser transformada en un mapa sobre un plano en 2D. La superficie de referencia es usualmente un elipsoide oblato para obtener mapas a gran escala, y una esfera para obtener mapas a pequea escala. Obtener mapas sobre un plano de 2D significa asignar coordenadas cartesianas planas (x,y) a cada punto de la superficie de referencia con coordenadas geogrficas (,) ver figura 7.

Figura 7. Dos aproximaciones de referenciacin espacial 2D: (a) a travs de

coordenadas geogrficas (,) tambin conocidas como latitud y longitud; (b) a travs del plano cartesiano, coordenadas rectangulares (x,y).

Clasificacin de las proyecciones de mapas.

Cualquier proyeccin de mapa est asociada con distorsiones. Simplemente no existe la manera de aplanar un pedazo de superficie esfrica o elipsoidal sin estirar alguna parte de la superficie ms que la otra. Algunas proyecciones de mapas pueden ser visualizadas como proyecciones geomtricas verdaderas directamente sobre el plano o sobre una superficie intermedia, la cual es luego desenvuelta dentro el plano. Elecciones tpicas para tales superficies intermedias son conos y cilindros. Tales proyecciones de mapas, son llamadas cnica y cilndrica respectivamente. La figura 8 muestra las superficies involucradas en estas tres clases de proyecciones.

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Figura 8. Clases de proyecciones de mapa

Las superficies plana, cnica y cilndrica de la figura 8 son todas superficies tangentes; ellas tocan la superficie de referencia horizontal en un punto (plano) o solamente a lo largo de una lnea cerrada (cono y cilindro). Otras clases de proyecciones son obtenidas si las superficies elegidas son secantes (para intersectar) con referencia a la superficie de referencia horizontal; Ilustraciones se encuentran en la figura 9. Entonces, la superficie de referencia es intersectada a lo largo de una lnea cerrada (plano) o dos lneas cerradas (cono y cilindro).

Figura 9. Tres clases de proyecciones secantes.

En una descripcin geomtrica de las proyecciones de mapas en la figuras 8 y 9, los ejes simtricos del plano, cono y cilindro coinciden con los ejes de rotacin del elipsoide o esfera. En este caso a la proyeccin se la llama proyeccin normal. Los otros casos son proyecciones transversas (los ejes simtricos en el ecuador) y proyecciones oblicuas (ejes simtricos en algn lugar entre el eje de rotacin y el ecuador del elipsoide o esfera). Estos casos son ilustrados en la figura 10.

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Figura 10. Una proyeccin trasversal y oblicua.

Hasta ahora no hemos especificado cmo la superficie curva de referencia horizontal es proyectada sobre un plano, cono o cilindro. Este cmo determina que tipo de distorsiones tendr el mapa, comparado con la superficie de referencia curva original. Las propiedades de distorsin de un mapa son tpicamente clasificadas de acuerdo a lo que no se encuentra distorsionado en el mapa:

En una proyeccin de mapa conforme los ngulos entre las lneas de la

superficie curva de referencia son idnticos a los ngulos entre las imgenes de estas lneas en el mapa.

En una proyeccin de mapa de reas-equivalentes, el rea encerrada por las lneas en el mapa es representativo - tomando en cuenta las escala de mapa del rea encerrada por las lneas originales de la superficie curva de referencia.

En una proyeccin de mapa equidistante, la longitud de lneas particulares en el mapa es representativo de tomando en cuenta la escala del mapa la longitud de las lneas originales sobre la superficie curva de referencia.

Una proyeccin de mapa en particular puede tener cualquiera de estas tres propiedades. Conformidad y equivalencia son mutuamente excluyentes.

Basado en estas discusiones, una particular proyeccin de mapa puede entonces ser clasificada. Un ejemplo sera ser la clasificacin proyeccin cnica conforme con dos paralelos estndar, lo cual significa que la proyeccin es una proyeccin de mapa conforme, que la superficie intermedia es un cono, y que el cono intersecta al elipsoide (o esfera) a lo largo de sus paralelos; es decir, el cono es secante y los ejes simtricos del cono son paralelos al eje de rotacin.(Este ejemplo representa el grafico del medio de la figura 9).

A menudo, un tipo particular de proyeccin de mapa es tambin nombrada despus de su inventor (o el primero en publicarlo). Por ejemplo, la proyeccin cnica conforme con dos paralelos estndar es tambin llamada como Proyeccin Cnica de Lambert.

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Ecuaciones para la obtencin de mapas.

El real proceso de obtencin de mapas no es efectuado a travs de las proyecciones geomtricas antes mencionadas, sino a travs de ecuaciones para la obtencin de mapas. (Algunas de las ecuaciones en uso no pueden ser visualizadas como proyecciones geomtricas). Una ecuacin directa asocia matemticamente las coordenadas cartesianas planas (x, y) de un punto a las coordenadas geogrficas (,), tambin conocidas como (latitud, longitud), del mismo punto en la superficie de referencia curva:

(x,y) = f(,)

La ecuacin inversa asocia matemticamente las coordenadas geogrficas (,) de un punto sobre la superficie de referencia curva a las coordenadas cartesianas planas (x, y) del mismo punto:

(,) = f-1(x,y)

Ecuaciones como estas pueden ser especificadas para todas las proyecciones de mapas discutidas en la seccin previa. Ms aun, ellas tambin pueden ser especificadas para un nmero de `proyecciones` de mapa que no tienen la clase de interpretacin geomtrica discutida anteriormente, es decir, ellas son denominadas proyecciones Gauss-Krger.

Cambio de proyeccin de un mapa.

Las ecuaciones directa e inversa son normalmente usadas para transformar datos desde una proyeccin a otra. La ecuacin inversa de la proyeccin fuente es usada, primero, para transformar coordenadas de la proyeccin fuente (x, y) a las coordenadas geogrficas (,). Seguidamente, en la ecuacin directa la proyeccin objetivo es usada para transformar las coordenadas geogrficas (,) a las coordenadas de la proyeccin objetivo (x, y).

La primera ecuacin nos lleva desde una proyeccin A hacia las coordenadas geogrficas. La segunda nos lleva desde las coordenadas geogrficas (, ) a l otra proyeccin B. El principio es ilustrado en la figura 11.

Histricamente, un SIG ha manipulado datos espacialmente referenciados con respecto a las coordenadas (x, y) de una proyeccin de especifica mapa. Para aplicaciones SIG que requieren referenciacin espacial 3D, una coordenada de altura debe ser adicionada a las coordenadas (x, y) del punto. La coordenada adicional de altura puede ser una altura H por encima del nivel promedio del mar, la cual es una altura que posee un significado fsico. Estas coordenadas (x, y, H) pueden ser usadas para representar objetos en un SIG 3D.

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Figura 11. El principio de transformar desde una proyeccin a otra

Referencia bibliogrfica.

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principios geodesicos teoria

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