Universidad Industrial de Santander Escuela de Fsica I Previo de Mecnica Cuntica II

Nombre Cdigo

Profesor Ilia Mikhailov Fecha 13.06.2013

2 2

22 2

00

22 2

,0 1 2 1 2 20 , 02 20 0

00

20 0 1 1

2 2 ; ; min; min;2

!; ; ; ; ; ; ;4

; 1 2 ; ;

n mn xn n n n n n n n n

m n n m

x ln

eH p m V m V p i E H H E Ry

a

V Ry ex e dx n H H V E E E E E V E E a e

n meE E

l m E n x C e x C

r r

2 20

2 2

1 4 1 4/2 2 6

0 1 1,0,0 3 20

2 30 2 0

1; ; 2 ; ;

; 4

r ax l

x x

xe C l C l ea

I e dx I I x e dx

1. Utilizando la funcin de prueba: 2 2 0A x para x y para x , encuntrese la

energa del estado base para una partcula en un campo elctrico 0V x

V xa

(15ptos).

Solucin:

20

2

1 32 2

03

0

1 31 32/3 2 22 20 0 0

2 20

55

168

55 40; ;

164

5 45 4 5

8 16 84

T V VE

am

dE V a

d a mVm

mV V VaE

m a mVa ma

(15ptos)

2. Utilizando funcin de prueba aAe , encuntrese la energa del estado base para de anlogo de tomo hidrogeno

bidimensional tomando como el potencial de atraccin entre ncleo y el electrn en coordenadas polares como 2 /V e .

Encuntrese el coeficiente A y . Comprese los resultados con el caso 3D (15ptos).

Solucin:

2 2 22 2 2

2 2

0 0

22 2 2 2 2 2 2 2 22

2

0 0 0

2 22

2 2 2 2 2

0 0

2 2 22 1

2 2

2

2 22

2 12 2 2 2

2

x

a x

a

C C aC e d xe dx ; C ;

a a

d a C a C aT d e d xe dx ;

m d m ma m

e aV Ce d C e e d e ae ;

a

E T V

2 2 2 2 22 2

02 2

0

2 2 2

02 2

0 0 0 0

2 2 00 32 2

0 00 0 0

2 22 2 0

2

2 4 2 84 2

8 8 22 2 4 2

24

d Ea a meae ; e ; a ; a

m da m a me

e eE Ry; exp a ;

ma a a a

a!d exp a d

a a / a

El radio medio en 2D dos veces ms pequeo y la energa 4 veces ms baja que en 3D (15ptos)

22 5 222 2 2 2 4 2 2 4 2 5

0 0 0

2 2 6 2 62 2 2 2 3 22 2 2 2 4 2 3 50 0 00

0 0 0

2 1 162 2 2 2 1 2! ;

3 5 15 2

2 22 1 2 12 ; 2 2

2 3 2 4 6 3

A dA x dx A x x dy A T dx

m dx

A V A V A VA A xx dx V A V x dx x x x dy

m m a a a a

3. El Hamiltoniano de tomo de hidrogeno en coordenadas esfricas en presencia de un campo externo B tiene la forma 0

H H V ,

donde 2 2

02

eH

m r es el Hamiltoniano del tomo sin perturbacin y 2 2V r sin cos es una perturbacin debido al campo

externo.. Encuntrese la energa del tomo de hidrogeno para el estado base en la primera orden de la teora de perturbaciones en

presencia del campo externo (10ptos) y condicin de la aplicabilidad de este resultado (5ptos)

Solucin:

02

0 1 0 0 03 200

1100 1

2

r / a

, ,

ea Estado base : e ; E Ry

aa

;

0

0

2

22 2 2

0 0 1 0 0 1 0 0 3

0 0 0 0

4

2 3 003 3

0 00

1

1 2 1 24

3 3 2

r / a

, , , , ,

r / a

b )Elemento matricial de la perturbacion : V V cos sin d cos d re r dra

ae r dr ! a

a a

10 0 0 0 02

0

0

1

2

,c Energia del estado base en la primera orden de la teoria de perturbaciones : E E V Ry a

ea ;

a

(10ptos)

2 2

0 0 1 0 2

0 0

3 3 3

4 4 2 8,

e ed Condicion de aplicabilidad : V E E Ry

a a (5ptos)

4. a) Escrbase el Hamiltoniano 0

H , la ecuacin de Schrdinger y sus soluciones para el estado base y primer estado excitado para un

oscilador circular con el potencial parablico 2 2 20 2V m x y considerando que ambas coordenadas pueden variarse desde menos infinito hasta ms infinito usando el proceso de separacin de variables (5ptos). Cuntos veces est degenerado cada de estos dos

niveles? B) Utilizando la teora de perturbaciones demustrese que la perturbacin V x y desacopla el primer estado excitado y

encuntrese las nuevas energas (10ptos).

Solucin:

a)

2 2 22 22

2 2

, ,, , ; ,

2 2

m x yx y x yx y E x y x y

m x y

b)

2

, , 2

00,0 0 00

1,0

1 1, ; 1 ; exp ; , 0,1, 2,

2 2 2

Estado base: 0, 0, ; , ;

Primer Estado excitado doblemente excitado:

1, 0,

n m n m n m n n n

x xx y x y E n m n m x C H n m

l l

n m E x y x y

n m x

2 2 2 2

01 0 0,1 0 1 1

1 4 1 42 2 2 6

0 0 1 1 0 1

, 0, 1, , , 2 ;

; ; ; 2x l x l

y x y n m x y x y E

x C e x C xe C l C l

(5ptos)

b) Para la perturbacin V x y elementos matriciales son:

2 2

1,1 1,0 1,0 1 1 0 0 2,2 0,1 0,1 0 0 1 1

21,2 1,0 0,1 1 0 0 1 1 0 0 1

1 2 1 22 6 2 2 2 6 2 6 6 2

0 1 0 1 0 1

21,2 2,1

0; 0;

; ;

4; 4 2 4 4 2;

4 2

x l

V x y x y V V x y

V x y x y I I x y

I C C x e dx C C l I C C l l l l l

V V l

;A

Ecuacin secular para calcular el desdoblamiento de los estados doblemente degenerados:

0 02

1 1,1 1,2 01 210 0

2,1 1 2,2 1

01,2 1

0 0 0

2 2 4 2;

E E V V E E AE E A

V E E V A E E

E E A m

(10ptos)