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Universidad Industrial de Santander Escuela de Fsica I Previo de Mecnica Cuntica II
Nombre Cdigo
Profesor Ilia Mikhailov Fecha 13.06.2013
2 2
22 2
00
22 2
,0 1 2 1 2 20 , 02 20 0
00
20 0 1 1
2 2 ; ; min; min;2
!; ; ; ; ; ; ;4
; 1 2 ; ;
n mn xn n n n n n n n n
m n n m
x ln
eH p m V m V p i E H H E Ry
a
V Ry ex e dx n H H V E E E E E V E E a e
n meE E
l m E n x C e x C
r r
2 20
2 2
1 4 1 4/2 2 6
0 1 1,0,0 3 20
2 30 2 0
1; ; 2 ; ;
; 4
r ax l
x x
xe C l C l ea
I e dx I I x e dx
1. Utilizando la funcin de prueba: 2 2 0A x para x y para x , encuntrese la
energa del estado base para una partcula en un campo elctrico 0V x
V xa
(15ptos).
Solucin:
20
2
1 32 2
03
0
1 31 32/3 2 22 20 0 0
2 20
55
168
55 40; ;
164
5 45 4 5
8 16 84
T V VE
am
dE V a
d a mVm
mV V VaE
m a mVa ma
(15ptos)
2. Utilizando funcin de prueba aAe , encuntrese la energa del estado base para de anlogo de tomo hidrogeno
bidimensional tomando como el potencial de atraccin entre ncleo y el electrn en coordenadas polares como 2 /V e .
Encuntrese el coeficiente A y . Comprese los resultados con el caso 3D (15ptos).
Solucin:
2 2 22 2 2
2 2
0 0
22 2 2 2 2 2 2 2 22
2
0 0 0
2 22
2 2 2 2 2
0 0
2 2 22 1
2 2
2
2 22
2 12 2 2 2
2
x
a x
a
C C aC e d xe dx ; C ;
a a
d a C a C aT d e d xe dx ;
m d m ma m
e aV Ce d C e e d e ae ;
a
E T V
2 2 2 2 22 2
02 2
0
2 2 2
02 2
0 0 0 0
2 2 00 32 2
0 00 0 0
2 22 2 0
2
2 4 2 84 2
8 8 22 2 4 2
24
d Ea a meae ; e ; a ; a
m da m a me
e eE Ry; exp a ;
ma a a a
a!d exp a d
a a / a
El radio medio en 2D dos veces ms pequeo y la energa 4 veces ms baja que en 3D (15ptos)
22 5 222 2 2 2 4 2 2 4 2 5
0 0 0
2 2 6 2 62 2 2 2 3 22 2 2 2 4 2 3 50 0 00
0 0 0
2 1 162 2 2 2 1 2! ;
3 5 15 2
2 22 1 2 12 ; 2 2
2 3 2 4 6 3
A dA x dx A x x dy A T dx
m dx
A V A V A VA A xx dx V A V x dx x x x dy
m m a a a a
-
3. El Hamiltoniano de tomo de hidrogeno en coordenadas esfricas en presencia de un campo externo B tiene la forma 0
H H V ,
donde 2 2
02
eH
m r es el Hamiltoniano del tomo sin perturbacin y 2 2V r sin cos es una perturbacin debido al campo
externo.. Encuntrese la energa del tomo de hidrogeno para el estado base en la primera orden de la teora de perturbaciones en
presencia del campo externo (10ptos) y condicin de la aplicabilidad de este resultado (5ptos)
Solucin:
02
0 1 0 0 03 200
1100 1
2
r / a
, ,
ea Estado base : e ; E Ry
aa
;
0
0
2
22 2 2
0 0 1 0 0 1 0 0 3
0 0 0 0
4
2 3 003 3
0 00
1
1 2 1 24
3 3 2
r / a
, , , , ,
r / a
b )Elemento matricial de la perturbacion : V V cos sin d cos d re r dra
ae r dr ! a
a a
10 0 0 0 02
0
0
1
2
,c Energia del estado base en la primera orden de la teoria de perturbaciones : E E V Ry a
ea ;
a
(10ptos)
2 2
0 0 1 0 2
0 0
3 3 3
4 4 2 8,
e ed Condicion de aplicabilidad : V E E Ry
a a (5ptos)
4. a) Escrbase el Hamiltoniano 0
H , la ecuacin de Schrdinger y sus soluciones para el estado base y primer estado excitado para un
oscilador circular con el potencial parablico 2 2 20 2V m x y considerando que ambas coordenadas pueden variarse desde menos infinito hasta ms infinito usando el proceso de separacin de variables (5ptos). Cuntos veces est degenerado cada de estos dos
niveles? B) Utilizando la teora de perturbaciones demustrese que la perturbacin V x y desacopla el primer estado excitado y
encuntrese las nuevas energas (10ptos).
Solucin:
a)
2 2 22 22
2 2
, ,, , ; ,
2 2
m x yx y x yx y E x y x y
m x y
b)
2
, , 2
00,0 0 00
1,0
1 1, ; 1 ; exp ; , 0,1, 2,
2 2 2
Estado base: 0, 0, ; , ;
Primer Estado excitado doblemente excitado:
1, 0,
n m n m n m n n n
x xx y x y E n m n m x C H n m
l l
n m E x y x y
n m x
2 2 2 2
01 0 0,1 0 1 1
1 4 1 42 2 2 6
0 0 1 1 0 1
, 0, 1, , , 2 ;
; ; ; 2x l x l
y x y n m x y x y E
x C e x C xe C l C l
(5ptos)
b) Para la perturbacin V x y elementos matriciales son:
2 2
1,1 1,0 1,0 1 1 0 0 2,2 0,1 0,1 0 0 1 1
21,2 1,0 0,1 1 0 0 1 1 0 0 1
1 2 1 22 6 2 2 2 6 2 6 6 2
0 1 0 1 0 1
21,2 2,1
0; 0;
; ;
4; 4 2 4 4 2;
4 2
x l
V x y x y V V x y
V x y x y I I x y
I C C x e dx C C l I C C l l l l l
V V l
;A
Ecuacin secular para calcular el desdoblamiento de los estados doblemente degenerados:
0 02
1 1,1 1,2 01 210 0
2,1 1 2,2 1
01,2 1
0 0 0
2 2 4 2;
E E V V E E AE E A
V E E V A E E
E E A m
(10ptos)