Area de un círculo:

Corresponde a la medida de la superficie que encierra este, definiéndose para todo círculo radio "r":

Longitud de una circunferencia:

Corresponde a la medida de esta línea, definiéndose para toda circunferencia radio "r":

Notas:

i) La longitud de una circunferencia equivale al perímetro de un círculo.

ii) El número = 3,1415... (número irracional) indica las veces que el diámetro está contenido en la circunferencia; se le aproxima a 3,14 o a 22/7 o bien se indica sólo por su símbolo .Ejercicios:

1) Calcular área y perímetro del anillo circular con OA = AB = 3cm.

3 3·62

Area achurada = A. r = 6 - A. r = 3· ·

= - ·32

= 36 9-

= 27cm2

Perímetro región achurada = P. r = 6 + P. r = 3· ·2··6 2··3

= 12 6+

= 18cm

= +

Restamos las áreas de los circulos

Sumamos ambos perimetros

2) Si ABCD cuadrado lado 14cm. el área y perímetro región achurada: Usaremos =22/7 como un valor numerico

7

7

77Los arcos se intersectan en los puntos medios de los lados del cuadrado, luego se obtienen 4 cuartos de circulo radio 7cm.

Area achurada = Area cuadrado - Area circulo r = 7

= 142 - ·72

= 196 - 497221

7

= 196 - 154

= 42cm2

7

7

77

El perímetro de la región achurada, queda determinado por la suma de las medidas de los cuatro arcos que la forman; arcos que completan una circunferencia de radio 7cm; luego:

Perímetro región achurada = longitud r = 7cm.

= 2 · · 7

7722

2 1

1

= 44cm.

Sector circular:Es la superficie de un círculo comprendida entre dos radios y un arco.

Segmento circular:Es la superficie de un círculo comprendida entre una cuerda y un arco.

Medida de un arco de circunferencia:

Siendo "b" la medida de un arco, "r" la del radio y la medida del ángulo del centro que lo determina ; se tiene que:

Area de un sector circular:

Siendo "b" la medida del arco y "r" la del radio que lo determina, el área del sector circular queda determinada por:

Area de un segmento circular:

queda determinada por la diferencia entre el área del sector circular y el triángulo determinado por los radios que determinan el sector.

Ejemplo:Si = 60o y r = 6cm; con "b" medida AB ; calcular aproximando = 3,14:

b = Area Sector = Area Segmento =

180r

b

18060614,3

b

1

3

2

1b = 3,14 · 2

b = 6,28cm

2rb

A

2628,6

A

1

3

A = 6,28 · 3

A = 18,84cm2

Area Segmento =

60º

6

6

O

B

A

h60

60

AOB es equilátero lado 6cm; luego:

cm33236

h

2cm392

3182

336 Area AOB

Area segmento = Area sector AOB - Area AOB

18,84 39_=

2cm)3328,6(3

1

9

6

1) Determine el área y perímetro de la siguiente región determinada por dos diámetros de 20cm y que forman un ángulo de 72º.

72ºO

A B

C D

Ejercicios:

b

b

diámetro = 20cm radio = 10cm

10

10

10

10

180r

b

1807210

b

1

4= 4cm.

Longitud arco:

Area sector :

2rb

A

Area achurada =

2104

A

5

1

= 20cm2.

2·Area sector = 2 ·20cm2 = 40cm2

Perímetro región ach. =OA + AB + BO + OD + DC + CO

= 10 + 4 + 10 + 10 + 4 + 10

= 40 + 8= 8(5 + )cm

284

sA

2) Calcular el área y perímetro del segmento circular determinado por la hipotenusa de un triángulo rectángulo con cateto de medida 8cm.

O

A

B

8cmb

180r

b

180908

b

2

1= 4cm.

4

1

4

1

= 16cm2.8cm

288

tA

2rb

sA

Area segmento = A. Sector - A. triángulo1

4= 32cm

= 16 - 32 = 16( - 2)cm2

Perímetro segmento =AB + AB = 428

cm)22(4

180606

3) Hallar el área y perímetro del segmento circular determinado por el lado del hexágono regular inscrito a una circunferencia de 6cm de radio.

60º6 Longitud BC =

1

3

2

1

= 2cm

Area sector BOC =

1

3= 6cm2

2cm392

3182

336 Area BOC

1

9

6

BOC equilátero lado 6cm.

262

Area segmento = Area sector BOC - Area BOC

6 39_=

Perímetro segmento = BC + BC

= 6 + 2

= 2(3+)cm.

60º6 6

2cm)332(3

Nota Final: En general para calcular el área de la intersección de dos figuras (el área achurada) quedará determinada por la diferencia de las dos áreas, por otro lado el perímetro de estas quedara determinado dependiendo el contorno de la figura.