presentación final de trabajo de inv operativa

Facultad de Ingeniería y Arquitectura

Investigación Operativa I

Catedrático:Ing. MBA José Alberto Villanueva Herrera

Trabajo final: Unidad II: Solución modelos de programación lineal de más de dos variables y

sensibilidad de resultados usando software aplicado.

Integrantes del equipo:Delgado Rivera, Jhon Osvaldo

Donayre Sosa, Luis AbelHernández Enríquez, Alma RosaYarleque Herrera, Luis Eduardo

La Molina, Lima Perú, 05/11/2011

Resumen

Objetivo de la programación lineal:

Comprender y construir modelos matemáticos para la optimización de recursos en

las áreas de producción, planeación, control, inversión, transporte y asignación.

Identificar las componentes de un modelo de optimización lineal.

La importancia de la programación lineal:

Ciertos problemas se describen fácilmente a través de la programación lineal.

Muchos problemas pueden aproximarse a modelos lineales.

La salida generada por el programa que resuelve el modelo de programación

lineal entrega información útil para responder nuevas condiciones sobre el “qué

pasa si”.

Objetivo del Análisis de Sensibilidad:

Comprender y aplicar técnicas de sensibilidad para mantener la estabilidad del

sistema base óptima e interpretar sus resultados.

Comprender y aplicar técnicas de sensibilidad para conocer el comportamiento de

la base óptima ante cambios en alguna de las componentes del modelo e

interpretar sus resultados.

Comprender y aplicar el algoritmo dual para tratamiento de la infactibilidad e


Utilizar paquetes computaciones en la solución de casos.

Descripción del tema:Solución de modelos de programación lineal de más de dos variables y

sensibilidad de resultados usando software aplicados.

Pregunta principal:

1 Solución de modelos de programación Lineal de más de dos variables.

¿Cuál sería la solución que se aplicaría en un proyecto realizado en la ciudad de

Lima, que tiene más de dos variables, para poder obtener un resultado óptimo en

un corto plazo?

Explicación del campo temático al que pertenece y la explicación de por

qué lo elegimos.

Enunciados de las preguntas secundarias que consideran relevantes. Ordenadas

respecto a la pregunta principal: ¿Qué? ¿Cómo? ¿Quién? ¿Cuándo? ¿Por qué?

¿Dónde?

Descripción breve respecto al tema y a las preguntas planteadas.

Modelos Matemáticos y sus Clasificaciones:

Modelos lineales

Modelos no lineales Programación Lineal

Generalidades del modelo de Programación Lineal


Contenido

Resumen............................................................................................................................................1

...........................................................................................................................................................3

Introducción.......................................................................................................................................4

Marco Teórico....................................................................................................................................5

Método............................................................................................................................................21

Resultados........................................................................................................................................25

Conclusiones....................................................................................................................................27

Referencias.......................................................................................................................................27

Apéndices.........................................................................................................................................28

.


.

.

Introducción

Muchas personas clasifican el desarrollo de la Programación Lineal (PL) entre los

avances científicos más importantes de mediados del siglo XX. En la actualidad es una

herramienta común que ha ahorrado miles o millones de dólares a muchas compañías y

negocios, incluyendo industrias medianas en distintos países del mundo. ¿Cuál es la

naturaleza de esta notable herramienta y qué tipo de problemas puede manejar?

Expresado brevemente, el tipo más común de aplicación abarca el problema general de

asignar recursos limitados entre actividades competitivas de la mejor manera posible (es

decir, en forma óptima). Este problema de asignación puede surgir cuando deba elegirse

el nivel de ciertas actividades que compiten por recursos escasos para realizarlas. La

variedad de situaciones a las que se puede aplicar esta descripción es sin duda muy

grande, y va desde la asignación de instalaciones productivas a los productos, hasta la

asignación de los recursos nacionales a las necesidades de un país; desde la planeación

agrícola, hasta el diseño de una terapia de radiación; etc. No obstante, el ingrediente

común de todas estas situaciones es la necesidad de asignar recursos a las actividades.

Con frecuencia, seleccionar una alternativa incluye satisfacer varios criterios al mismo

tiempo. Por ejemplo, cuando se compra una pieza de pan se tiene el criterio de frescura,

tamaño, tipo (blanco, integral u otro), costo y rebanado o sin rebanar. Se puede ir un paso

más adelante y dividir estos criterios en dos categorías: restricciones y el objetivo. Las

restricciones son las condiciones que debe satisfacer una solución que está bajo

consideración. Si más de una alternativa satisfacen todas las restricciones, el objetivo se

usa para seleccionar entre todas las alternativas factibles. Cuando se elige una pieza de

pan, pueden quererse 100 gr. de pan blanco rebanado y hecho no antes de ayer. Si varias


marcas satisfacen estas restricciones, puede aplicarse el objetivo de un costo mínimo y

escoger las más barata.

Existen muchos problemas administrativos que se ajustan a este molde de tratar de

minimizar o maximizar un objetivo que está sujeto a una lista de restricciones. un corredor

de inversiones, por ejemplo, trata de maximizar el rendimiento sobre los fondos invertidos

pero las posibles inversiones están restringidas por las leyes y las políticas bancarias. Un

hospital debe planear que las comidas para los pacientes satisfagan ciertas restricciones

sobre sabor, propiedades nutritivas, tipo y variedad, al mismo tiempo que se trata de

minimizar el costo. Un fabricante, al planear la producción futura, busca un costo mínimo

al mismo tiempo cómo cumplir restricciones sobre la demanda del producto, la capacidad

de producción, los inventarios, el nivel de empleados y la tecnología. La PL se ha aplicado

con éxito a estos y otros problemas.

La PL es una técnica determinista, no incluye probabilidades y utiliza un modelo

matemático para describir el problema. El adjetivo lineal significa que todas las funciones

matemáticas del modelo deben ser funciones lineales. En este caso, la palabra

programación no se refiere a programación en computadoras; en esencia es un sinónimo

de planeación. Así, la PL trata la planeación de las actividades para obtener un resultado

óptimo, esto es, el resultado que mejor alcance la meta especificada (según el modelo)

entre todas las opciones de solución. Aunque la asignación de recursos a las actividades

es la aplicación más frecuente, la PL tiene muchas otras posibilidades. De hecho,

cualquier problema cuyo modelo matemático se ajuste al formato general del modelo de

PL es un problema de PL.

Marco Teórico

Programación Lineal (PL)

Se llama programación lineal al conjunto de técnicas matemáticas que pretenden resolver

la siguiente situación.

El objetivo es Optimizar, una función objetivo, lo cual implica maximizar o minimizar una

función lineal de varias variables sujeta a: una serie de restricciones ó limitaciones,

expresadas por inecuaciones o ecuaciones lineales.


Se aplica a problemas de economía, administración, militares, agrícolas, alimenticios, de

transporte, de salud, etc., que están relacionados con la optimización, maximización ó

minimización de una función objetivo sujeta a un sistema de igualdades o desigualdades.

Las funciones de ganancia y de costo son ejemplos de funciones objetivos.

Como se mencionó anteriormente la Función Objetivo se encuentra sujeta a un conjunto

de restricciones o limitaciones como puede ser limitaciones al uso de un recurso, como

ejemplo podemos citar limitaciones a materia prima o materiales, horas de trabajo, mano

de obra, dinero disponible, etc. Este tipo de problemas se los conoce como problemas de

decisión que a la vez se pueden expresar en forma matemática, aquellos problemas

donde la función objetivo y las restricciones se expresan como ecuaciones o

desigualdades lineales se llaman problemas de programación lineal.

La programación lineal ofrece bases para desarrollar otros métodos de solución o técnicas

de Investigación Operativa como programación entera, estocástica y la no lineal.

Un problema es lineal porque su función objetivo y restricciones que se imponen al

sistema son lineales, quiere decir que cumplen con las propiedades de proporcionalidad y

Aditividad.

Proporcionalidad: El valor de cada variable, X1, X2……..Xn debe ser directamente

proporcional en la función objetivo y uso de los recursos, o sea que las variaciones de las

variables deben afectar en forma proporcional a la función objetivo y al conjunto de

restricciones.

Aditividad: Requiere que la función objetivo sea la suma directa de las contribuciones

de cada variable y las restricciones deben ser la suma de los usos individuales de cada

variable del recurso correspondiente. Como ejemplo podemos mencionar dos productos

que compiten en el mercado, si el aumento en la venta de uno de ellos hace que la venta

del otro sea menor, entonces ambos productos no satisfacen la condición de Aditividad.

Solución gráfica de problemas de PL

El análisis gráfico es eficiente para enfrentar la resolución de modelos de Programación

Lineal con 2 variables, donde el dominio de puntos factibles (en caso de existir) se

encontrará en el primer cuadrante (restricciones de no negatividad que se imponen al

modelo), como producto de la intersección de las distintas restricciones del problema


lineal. Para modelos con 3 ó más variables la solución gráfica es imposible de aplicar, por

lo cual resolvemos los mismos mediante cálculos analíticos.

Una de las propiedades básicas de un modelo de Programación Lineal que admite

solución, es que ésta se encontrará en el vértice o frontera (tramo) del dominio de puntos

factibles, a este espacio factible de soluciones se lo llama polígono de soluciones, todos

los puntos dentro de éste espacio gráfico, y sobre las líneas exteriores que lo forman son

puntos factibles de solución, la solución óptima se encontrará en un punto extremo del

polígono. Es decir, luego de graficar el dominio ó polígono, evaluamos los distintos

vértices de modo de elegir "el mejor" candidato según sea nuestro caso (el valor de la

función objetivo será la que nos permitirá discriminar cual es el mejor candidato

dependiendo si estamos maximizando o minimizando).

Ejemplo:

Disponemos de 210.000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de

acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos

invertir un máximo de 130.000 euros en las del tipo A y como mínimo 60.000 en las del

tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo A sea menor que el doble de la

inversión en B. ¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo

interés anual?

Para construir el modelo matemático de este problema debemos:

1) Determinar qué resultado buscamos, ¿Cuáles son las variables del problema?

2) ¿Qué restricciones ó limitaciones se imponen a las variables y a la función

objetivo?

3) ¿Cuál es el objetivo que debe alcanzarse para determinar la Solución óptima, de

entre todos los valores factibles de las variables?

Hacemos un resumen verbal del problema, en este caso debemos determinar cuánto

invertir en acciones de tipo A y en acciones de tipo B para maximizar el interés anual,

satisfaciendo las restricciones que se imponen en cuanto a la disponibilidad de dinero e

inversión máxima y mínima para cada acción.

1) Identificar las variables: Como necesitamos determinar las cantidades a invertir

para cada acción que cotiza en la bolsa. Llamamos x a la cantidad que invertimos

en acciones de tipo A Llamamos y a la cantidad que invertimos en acciones de tipo

B.


2) Determinamos todas las restricciones que se imponen al sistema: Existe una restricción en cuanto al dinero total a invertir en ambas acciones.

Una restricción de inversión máxima en acciones de tipo A.

Una restricción de inversión mínima en acciones de tipo B.

Una restricción que impone que lo invertido en A debe ser menor al doble de lo

invertido en B.

Debemos considerar en todos los casos las restricciones de no negatividad.

Restricciones:

1º x + y <=210000,00

2º x <=130000

3º y >=60000

4º x <=2y

5º x, y >=0

3) Determinación de la Función Objetivo

Como dato contamos con el rendimiento de la inversión para cada acción, por lo

tanto la función objetivo será la maximización total del rendimiento de lo invertido.

Si llamamos Z a la maximización total del rendimiento, F (Z) se define como

Max Z = 0,10 x + 0,08 y los valores de las variable x e y constituyen soluciones

factibles, se respetan todas la restricciones que se imponen al modelo.

Definimos el modelo matemático completo como:

Max Z = 0,10 x + 0,08 y (Sujeto a: un conjunto de restricciones)

1º x + y <=210000,00

2º x <=130000

3º y >=60000

4º x <=2y

5º x e y >=0


Un vez que construimos el modelo debemos solucionarlo, como se trata de un modelo

con 2 variables la solución se puede encontrar en forma gráfica.

Graficamos las rectas auxiliares asociadas a las restricciones para conseguir la región

factible o polígono de soluciones (conjunto de puntos que cumplen esas condiciones).

Para graficar las rectas convertimos las desigualdades en igualdades y damos valor cero

a una de las variables, obteniendo el valor de la otra, tomamos como ejemplo la

Restricción 1º:

1º x + y =210000,00 Si x=0 y=210000,00 Si y=0 x=210000,00

Para determinar el polígono de soluciones debemos identificar el área que abarca cada

desigualdad siguiendo el sentido de la misma, ya que el polígono está formado por el área

común a todas las restricciones, para esto analizamos un punto en el gráfico y

determinamos si cumple con la desigualdad, según se detalla:

1º x + y <=210000,00 podemos analizar el punto x=0, y=0 (origen) entonces si

reemplazamos en la desigualdad 0 + 0 <=210000, cumple con la desigualdad por lo tanto

el área que abarca la misma incorpora al origen (punto analizado). Cuando la recta

asociada a la desigualdad pasa por el origen como se observa en la

Restricción 4º

4º x <=2y analizamos un punto distinto al origen como puede ser x=40 (en miles),

y=0 entonces si reemplazamos en la desigualdad 40 <=0, en este caso no cumple con la

misma y por lo tanto abarca el área contraria al punto analizado.

9 Solución de modelos de programación Lineal de más de dos variables.Ilustración 1.- Grafica de la Restricciones.

Nota: La representación gráfica se realiza en programa Tora. Considere que los valores

tanto en la ordenada como en la abscisa deben tomarse en miles de unidades

monetarias.

Si dibujamos la curva de la función Z dando un valor arbitrario a la misma (en azul) y la

desplazamos se puede comprobar gráficamente que el vértice más alejado es el punto D

(130000, 80000), y por tanto es la solución óptima, porque estamos maximizando la

función Z, en este punto Z = 19400,00; llega a su máximo valor. Este resultado se puede

verificar en forma analítica resolviendo las intersecciones de los puntos A, B, C, D y E que

son los puntos extremos del polígono de soluciones.

Punto A: Definido por la ecuación 3 y la ordenada (y)

3º y =60000 x= 0 Z= 4.800,00

Punto B: Definido por las ecuaciones 3 y 4.

3º y =60000

4º x =2y x=120000 y=60000 Z= 16.800,00

Punto C: Definido por las ecuaciones 2 y 4.

2º x =130000

4º x =2y x=130000 y=65000 Z= 18.200,00

Punto D: Definido por las ecuaciones 1 y 2.

1º x + y =210000,00

2º x =130000 x=130000 y= 80000 Z= 19.400,00 Solución óptima.

Punto E: Definido por la ecuación 1 y la ordenada (y).

1º x + y =210000,00 x=0 y=210000 Z= 16.800,00

Respuesta: El problema pide

¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interés anual?

La distribución de la inversión debe ser de 130000,00 euros en acciones de tipo A y

80000 en acciones de tipo B, el máximo interés corresponde a Z=16800,00 euros.


Cuando la función objetivo es la Minimización la curva de Z se desplaza en este sentido,

el punto óptimo será el vértice del polígono o espacio no acotado más cercano al origen,

como se observa en el siguiente ejemplo.

Modelo de Programación Matemática lineal

La programación matemática es una potente técnica de modelado usada en el proceso de

toma de decisiones. Cuando se trata de resolver un problema de este tipo, la primera

etapa consiste en identificar las posibles decisiones que pueden tomarse; esto lleva a

identificar las variables del problema concreto. Normalmente, las variables son de carácter

cuantitativo y se buscan los valores que optimizan el objetivo. La segunda etapa supone

determinar qué decisiones resultan admisibles; esto conduce a un conjunto de

restricciones que se determinan teniendo presente la naturaleza del problema en

cuestión. En la tercera etapa, se calcula el coste/beneficio asociado a cada decisión

admisible; esto supone determinar una función objetivo que asigna, a cada conjunto

posible de valores para las variables que determinan una decisión, un valor de

coste/beneficio. El conjunto de todos estos elementos define el problema de optimización.

La programación lineal (PL), que trata exclusivamente con funciones objetivos y

restricciones lineales, es una parte de la programación matemática, y una de las áreas

más importantes de la matemática aplicada.

La programación lineal requiere identificar cuatro componentes básicos:

1. El conjunto de datos.2. El conjunto de variables involucradas en el problema, junto con sus dominios

respectivos de definición.

3. El conjunto de restricciones lineales del problema que definen el conjunto de

soluciones admisibles.

4. La función lineal que debe ser optimizada (minimizada o maximizada).

[1] Enrique Castillo, 20 de febrero de 2002, págs. 3 ,4

El objeto de la programación lineal, es optimizar (minimizar o maximizar) una función

lineal de n variables sujeto a restricciones lineales de igualdad o desigualdad. Más

formalmente, se dice que un problema de programación lineal consiste en encontrar el


óptimo (máximo o mínimo) de una función lineal en un conjunto que puede expresarse

como la intersección de un número finito de hiperplanos y semiespacios en Rn.

Partamos de las siguientes definiciones formales que Enrique Castillo nos menciona en su

libro: “Formulación y resolución de modelos de programación matemática en ingeniería y

ciencia” [1].

Definición 1.- (Problema de programación lineal). La forma más general de un problema

de programación lineal (PPL) cosiste en minimizar o maximizar

Z = f(x) = ∑n j=1

cj xj [1.1]

Sujeto a:

∑n j=1

aij xj = bi, i = 1, 2, … p-1

∑n j=1

aij xj >= bi, i = p,…,q-1 [1.2]

∑n j=1

aij xj <= bi, i = q,…,m

Lo que distingue un problema de programación lineal de cualquier otro problema de

optimización es que todas las funciones que en ´el intervienen son lineales. Una única

función no lineal hace que el problema no pueda clasificarse como problema de

programación lineal.

La función (lineal) en (1.1) se denomina función objetivo o función de coste, y es la

función de ha de optimizarse. Obsérvese que en (1.2) se presentan todas las posibles

alternativas en lo que se refiere a los operadores que relacionan los dos términos de las

restricciones (lineales), dependiendo de los valores p y q. Como casos especiales, el

problema puede tener exclusivamente restricciones de igualdad, de desigualdad de un

tipo, de desigualdad del otro tipo, desigualdades de ambos tipos, igualdades y

desigualdades, etc.

Definición 2.- (Solución factible). Un punto x = (x1, x2,..., xn) que satisface todas las

restricciones (1.2) se denomina solución factible. El conjunto de todas esas soluciones es

la región de factibilidad.


Definición 3.- (Solución óptima). Un punto factible ˜x tal que f(x) ≥ f(˜x) para cualquier

otro punto factible x se denomina una solución óptima del problema.

El objetivo de los problemas de optimización es encontrar un óptimo global. Sin embargo,

las condiciones de optimalidad sólo garantizan, en general, óptimos locales, si éstos

existen. Sin embargo, los problemas lineales presentan propiedades que hacen posible

garantizar el óptimo global.

Para la formulación del problema debemos considerar lo siguiente:

Si la región factible está acotada, el problema siempre tiene una solución (ésta es

una condición suficiente pero no necesaria para que exista una solución).

El óptimo de un problema de programación lineal es siempre un óptimo global.

Si x y y son soluciones óptimas de un problema de programación lineal, entonces

cualquier combinación (lineal) convexa de los mismos también es una solución

óptima. Obsérvese que las combinaciones convexas de puntos con el mismo valor

de la función de coste presentan el mismo valor de la función de coste.

La solución óptima se alcanza siempre, al menos, en un punto extremo de la

región factible.

[1] Enrique Castillo, 20 de febrero de 2002, págs. 75,76 y 77.

Análisis de sensibilidadAhora veamos lo que nos dice Jorge Álvarez, en su libro “Investigación de Operaciones”

[3], con respecto al Análisis de Sensibilidad

En aplicaciones prácticas a menudo ocurre que no solamente interesa la solución del

problema propuesto sino también se desea saber cómo cambia esa solución si las

condiciones iniciales del problema se modifican (por ejemplo si cambian los coeficientes

de la función objetivo, los recursos disponibles y la cantidad de recursos utilizada para

producir una unidad de un producto. Las investigaciones que tratan los cambios en la

solución óptima debido a cambios en los datos son llamadas análisis de sensibilidad. En

cierto sentido el análisis de sensibilidad convierte la solución estática de programación

lineal en un instrumento dinámico que evalúa las condiciones cambiantes. Por tanto

adquiere mayor utilidad como instrumento administrativo ya que los negocios y la industria

están sometidos a cambios continuos y a una subsiguiente revaluación.


Finalmente diremos que en el presente trabajo trataremos del análisis de

sensibilidad que determina los rangos de variación de la función objetivo, los

recursos disponibles y la cantidad de recursos utilizada para el cual la solución tal

como se enunció originalmente, permanece óptima.

Sensibilidad de los coeficientes objetivo

Gráficamente se mostrará en el siguiente ejemplo: los efectos de cambiar los

coeficientes de la función objetivo.

Ejemplo: Una fábrica de artículos para el hogar manufactura dos artefactos A y B.

Ambos sufren 3 procesos en el mismo orden que son:

-Maquinado

-Armado

-Montaje

La disponibilidad de minutos diarios de cada proceso son 480, 600 y 450

respectivamente.

El artefacto A deja un beneficio de S/.100/unidad en tanto que el B proporciona

S/.120/unidad.

El cuadro de coeficientes de transformación es el que se indica a continuación:

A B DisponibilidadMaquinado 4 8 480Armado 5 6 600Montaje 12 8 540Beneficio 100 120

Tabla 1.- Tabla de datos.

¿Cuántos artefactos de A y B debe producir para obtener el máximo de beneficio?

Solución:

max z= 100 +120

Sujeta a:

4 +8 480 (1)

+6 600 (2)


12 +8 540 (3)

, 0

Gráficamente se tiene:

.

Ilustración 2.- Grafica de las Restricciones, indicando la Función Objetivo


Ilustración 3.- Grafica correspondiente a la restricciones e indicando la solución Optima.

Ilustración 4.- Posibles soluciones Optimas


Efectos de los Coeficientes de la función objetivo

Interpretados gráficamente estos coeficientes determinan el pendiente de la función

objetivo la cual puede ser una línea (dos variables) un plano (tres variables) o un

hiperplano (cuatro o más variables).

En este ejemplo la función objetivo se representa gráficamente como una línea ya que

solo hay dos variables. La solución óptima da un valor de 7500 produciendo 15/2

unidades de y 225/4 unidades de .

Esta solución se muestra en el punto A de la figura (a). Un cambio del coeficiente de o

de daría una línea con diferente pendiente. La solución óptima puede situarse en un

punto determinado hasta que por alguna razón sea desviada hacia una intersección

diferente. Esta desviación puede ser ocasionada por un cambio de la pendiente de la

función objetivo.

La figura presenta la solución gráfica del ejemplo utilizando varias funciones objetivos

diferentes pero conservando el mismo conjunto de restricciones.

Con relación a la figura (b) se observa que un incremento del coeficiente de la variables

desde 129 hasta 150 no desplaza la solución óptima manteniéndose el punto A es decir

= 15/2, =225/4, aunque el valor de la función objetivo ha aumentado hasta 9187.5.

En forma semejante la figura (c) ilustra el efecto de un pequeño cambio del coeficiente de

la variable .

Cuando tiene lugar un cambio considerable en el coeficiente como para desplazar la

solución óptima hacia un nuevo punto. En la figura (d) cuando el coeficiente de costo de

disminuye hasta 60 la solución óptima se desplaza hasta el punto B donde = 45 y

=0; una combinación completamente diferente de producción y valor de la función

objetivo. Si el coeficiente de aumenta desde 120 hasta 230 figura (e) la solución se

desplaza al punto c donde =0 y =60. El análisis de sensibilidad responde la pregunta


de que tanto pueden variarse estos coeficientes antes que tenga lugar este

desplazamiento, esto es antes de que pueda obtenerse una nueva solución óptima.

[2] ALVAREZ, BETA ,2005.

Ahora veamos lo que nos dice Ángel Manuel Suarez, en su libro “Investigación Operativa

Operaciones” [6], con respecto al Análisis de Sensibilidad

Dentro del campo de la investigación de operaciones, cuyo desarrollo se ha basado en el

campo de las matemáticas, con infinidad de aplicaciones se encuentra una herramienta

fundamental, que nos permite establecer criterios para ajustar algún futuro de acción a los

resultados obtenidos a un modelo y así afinar los datos, para seleccionar mejores

alternativas, denominado análisis de sensibilidad, Esto significa, analizar en todas sus

dimensiones cada uno de los valores descubiertos en nuestra solución y llegar a inferir

supuestos comportamientos, examinando dichos resultados.

Capacidad que tiene un sistema u organización de reaccionar ante una serie de

estímulos. Es un análisis que se hace después de o a partir de la solución óptima.

Vale la pena recordar que con motivo de la apertura económica y la globalización de la

economía muchas empresas sucumbieron ante la arremetida de nuevos mercados, otras

escasamente sobrevivieron y finalmente otras se consolidaron.

La utilidad del análisis de sensibilidad en la programación lineal, consiste en que permite

una interpretación razonable de resultados obtenidos. En muchos casos la información

obtenida por la aplicación del análisis de sensibilidad, puede ser más importante y mucho

más informativa que el simple resultado obtenido en la solución óptima.

En cierto sentido, el análisis de sensibilidad convierte la solución estática de programación

lineal en un instrumento dinámico que evalúa las condiciones cambiantes. Por tanto,

adquiere mayor utilidad como instrumento administrativo ya que los negocios y la industria

están sometidos a cambios continuos y a una subsiguiente reevaluación.

Para el caso del modelo de programación lineal, analiza el efecto que se pueda generar

en la solución óptima del modelo a partir de cambios sobre sus parámetros (datos

numéricos de un modelo).

Para su estudio examinaremos dos tipos de situaciones:


Cambios en un solo parámetro a la vez. Función objetivo y mano derecha

El análisis de sensibilidad permite conocer los comportamientos del modelo ante cambios

infinitesimales en sus parámetros, sin cambiar la base óptima. Permite aplicar tolerancias

(intervalos) en los parámetros.

Como se lleva a cabo:

Cambiando un solo elemento o parámetro de una componente del modelo y manteniendo

los demás parámetros fijos. Este examen permite establecer intervalos, de tal manera que

las variables que constituyen la base óptima se sigan manteniendo esto es, que el

sistema permanezca estable.

Cambios en los recursos disponibles (bi) se consideran dos casos:

I. Caso Cuando los recursos se agotan.

II. Caso Cuando los recursos no se agotan.

Cambios en los costos (Cj) Se consideran dos casos:

I. Caso cuando los Cj que corresponden a variables no básicas en la tabla

inicial, finalizan básicas en la tabla óptima.

II. Caso cuando los Cj que corresponden a variables no básicas en la tabla

inicial, finalizan no básicas en la tabla óptima.

Un sistema es estable cuando permite variaciones en sus parámetros y la base óptima no

cambia.

Cambios simultáneos en varios parámetros a la vez. Función objetivo, mano derecha y coeficientes tecnológicos

Los modelos de programación lineal son modelos que atienden básicamente situaciones

estáticas. Esto es, que sus condiciones no cambian sustancialmente en periodos cortos y

por lo tanto su solución no cambia radicalmente durante el mismo.

Sin embargo, el análisis de sensibilidad permite conocer mediante la aplicación de reglas

de decisión (derivadas de la descomposición matricial del simplex) el comportamiento

inmediato de la solución ante cambios que puedan presentarse simultáneamente en cada

una de sus componentes:

Vector de disponibilidad de recursos o de requerimientos mínimos bi

Coeficientes de costos o de utilidades Cj


Coeficientes tecnológicos o técnicos aij

Adición de nuevas condiciones gi

Posibilidades de lanzamiento de nuevos productos. Xj

¿Cómo se lleva a cabo? Efectuando modificaciones sobre la totalidad, uno o algunos de

los parámetros de una componente del modelo (ejemplo bi,) y manteniendo constante los

demás parámetros. Este tipo de examen permite conocer los efectos directos sobre la

solución óptima con el riesgo de modificar la base óptima.

Veamos el comportamiento de la información original y su paso a la solución final.

Información original

VARIABLESno básicas

BASE INICIALVariables básicas

(-Z) bi

BASE D B b(-Z) CD CB (-1) -Zo

Información procesada por medio de las iteraciones

VARIABLES INTERVINIENTES (-Z) biBASE *D B-1 *b(-Z) *CD CB-1 (-1) (-Zi)

A partir de estas observaciones se determinaron las siguientes ecuaciones que pueden

emplear en cualquiera de las iteraciones.

Reglas de decisión:

1) *b = B-1.b

2) *D = B-1. D

3) *(-Z) = CB-1.b

4) *CD = CB-1 D + CD

Usos

Verificación que las iteraciones (manuales) del simplex están bien y aplicarlas en los

cambios que se den en varios parámetros de un mismo vector.

Interpretación


La primera indica que el vector solución *b es igual a la inversa de la base B-1 por el

vector b original.

La segunda indica que cualquier vector *D es igual a la inversa de la base B-1 por el

vector D original.

La tercera indica que la medida de efectividad *(-Z) es igual a los coeficientes de la

inversa de la base CB-1 por el vector b original.

La cuarta indica que un coeficiente en la función económica *CD es igual a los

coeficientes de la inversa de la base (CB-1) por el vector D original mas el coeficiente

original (CD).

Nota: * indica parámetro modificado, los demás son parámetros originales

[6] Suárez, Investigación de Operaciones. Notas y problemas. Escuela Colombiana de Carreras Industriales, 2006, págs. 74,75,76 y 77.

Método

Primera parte: El tema, las preguntas, los conocimientos previos y las dificultades.

1. Enuncien su tema y la pregunta principal (delimitada en espacio y tiempo)

Tema: Solución de modelos de programación lineal de más de dos variables y

sensibilidad de resultados usando software aplicados.

Pregunta principal:

¿Cuál sería la solución que se aplicaría en un proyecto realizado en la ciudad de Lima,

que tiene más de dos variables, para poder obtener un resultado óptimo en un corto

plazo?

2. Expliquen brevemente a que campo temático pertenece y por qué lo eligieron.


El tema elegido pertenece al campo temático de problemas de programación lineal

resueltos por el método simplex y análisis de sensibilidad.

En la vida diaria, las empresas invierten mucho esfuerzo, para realizar una buena toma de

decisiones, con respecto a la optimización de sus recursos, hablace de materia prima,

mano de obra o finanzas. Una forma de saber como administrar los recursos es

realizando un modelo matemático, por medio del cual se pueda maximizar utilidades y

minimizar costos. Dicho modelo matemático se puede resolver por diferentes métodos,

pero en este trabajo se abordará el Método Simplex y puesto que el modelo matemático

contiene varias variables, se resolverá por medio de un software aplicado.

En particular, usaremos dos software en específico, uno de ellos es WinQSB y el otro es

LINGO.

Dada la importancia que tiene la solución de problemas complejos de programación lineal

con un software aplicado, se eligió realizar este trabajo para mostrar la manera de como

solucionarlos y el material de investigación que existe al respecto.

La Programación lineal constituye un importante campo de la optimización por varias

razones, muchos problemas prácticos de la investigación de operaciones pueden

plantearse como problemas de programación lineal.

La Programación Lineal es un procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual

se resuelve un problema determinado, formulado a través de ecuaciones lineales,

optimizando la función objetivo. Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una

función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha

función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema

de inecuaciones lineales.

3. Enuncien las preguntas secundarias que consideren relevantes. Ordénelas respecto a la pregunta principal: ¿Qué? ¿Cómo? ¿Quién? ¿Cuándo? ¿Por qué? ¿Dónde?

¿Cómo Solucionar un problema de programación lineal de más de dos variables?

¿Por qué resolver estos problemas con un software aplicado?

¿Qué es un análisis de sensibilidad?

¿Cómo hacer el análisis de sensibilidad utilizando un software aplicado?

4. Describan brevemente lo que saben respecto al tema y la pregunta planteados.


La investigación de operaciones tiene su nacimiento en una serie de trabajos tendientes a

optimizar recursos destinados especialmente a acciones militares y es precisamente hacia

la década de los 40 que debido a la complejidad de los nuevos sistemas de defensa y

ataque que trae consigo la segunda guerra mundial, los aliados introducen equipos de

científicos quienes se dedicaron a estudiar la mejor utilización de los recursos bélicos y

quienes hicieron posible el marco conceptual que denominamos investigación de

operaciones.

Esta situación permite el desarrollo y auge de métodos en la solución de problemas que

junto con la aparición y desarrollo del computador soluciona situaciones de gran

envergadura, tal es el caso, del desarrollo del método simplex para el inicio y solución de

problemas de programación lineal.

Modelos Matemáticos y su Clasificación:

Desde el punto de vista de su finalidad.

De acuerdo a la estructura matemática.

Desde el punto de vista de su concepción.

De acuerdo a la naturaleza de la decisión y/o comportamiento.

Nosotros nos enfocaremos en los modelos de acuerdo a su estructura matemática.

Modelos lineales Todas las relaciones funcionales implican que la variable

dependiente es proporcional a las variables independientes.

7X1 + 3X2 + 5X3 + X4 ≤ 105

Modelos no lineales Utilizan ecuaciones curvilíneas o no proporcionales. Al igual

que en el caso de los modelos estocásticos, no es necesario que todas las

relaciones funcionales del modelo sean no lineales para clasificarlo como no lineal.

Si una o más de las relaciones son no lineales, se clasifica al modelo dentro de

esta categoría. Los procesos de solución (algoritmos) que se requieren para

resolver los modelos no lineales son mucho más complejos que los necesarios

para un modelo lineal.

X1 2 + X2 * X3 * X4. ≥ 500

Programación Lineal


Cuando las funciones F(X) y Gi(X) son funciones lineales (en particular ecuaciones

lineales), la programación matemática se denomina programación lineal.

Generalidades del modelo de Programación Lineal

Calcular XJ (1) Variables de decisión.

Opt (Z) = ∑Cj Xj (2) Función objetivo.

∑AXj ∆ bi, (3) Restricciones.

XJ ≥ 0 (4) Condición de no negatividad.

Es un instrumento que se ocupa de los problemas de asignación de recursos limitados a

actividades simultaneas que compiten por ellos entre si. Utiliza un modelo matemático

para describir los diferentes problemas. Lineal significa que se requiere que todas las

funciones matemáticas que intervienen en el modelo sean lineales. La palabra

programación se deriva del hecho de que se establece una serie de pasos lógicos que

permiten procesar diferentes problemas bajo un mismo principio o programa, para obtener

un óptimo. Esto es, un algoritmo o programa de proceso que determina los pasos para

llegar a un resultado que, en el caso de la programación lineal intenta ser un óptimo.

También se puede definir como un procedimiento de resolución de problemas

desarrollado para ayudar a los administradores a tomar decisiones.

Objetivo de la programación lineal:

Comprender y construir modelos matemáticos para la optimización de recursos en

las áreas de producción, planeación, control, inversión, transporte y asignación.

Identificar las componentes de un modelo de optimización lineal.

La importancia de la programación lineal:

Ciertos problemas se describen fácilmente a través de la programación lineal.

Muchos problemas pueden aproximarse a modelos lineales.

La salida generada por el programa que resuelve el modelo de programación

lineal entrega información útil para responder nuevas condiciones sobre el “qué

pasa si”.

(Suárez, Investigación de Operaciones. Notas y problemas., 2006, págs. 19-21 )


Objetivo del Análisis de Sensibilidad:

Comprender y aplicar técnicas de sensibilidad para mantener la estabilidad del

sistema base óptima e interpretar sus resultados.

Comprender y aplicar técnicas de sensibilidad para conocer el comportamiento de

la base óptima ante cambios en alguna de las componentes del modelo e


Comprender y aplicar el algoritmo dual para tratamiento de la infactibilidad e


Utilizar paquetes computaciones en la solución de casos.

[6] Suárez, Investigación de Operaciones, Notas y problemas., 2006, pág. 9.

ResultadosRespuestas a las preguntas plateadas

¿Cómo Solucionar un problema de programación lineal de más de dos variables?

Un problema de programación lineal de más de dos variables se debe resolver utilizando

software aplicados.

¿Por qué resolver estos problemas con un software aplicado?

Un problema de más de dos variables sería difícil resolver por el método gráfico dado que

no se podría visualizar de manera adecuada la solución del problema. Para lo cual existen


software de aplicación el cual nos ayuda a resolver dichos problemas entre estos

software tenemos al WINQSB, Y LINDO.

¿Qué es un análisis de sensibilidad?

El análisis de sensibilidad es el estudio de la forma en la que se afecta la solución óptima

al presentarse cambios en los coeficientes de un programa lineal.

En el momento de tomar decisiones sobre la herramienta financiera en la que debemos

invertir nuestros ahorros, es necesario conocer algunos métodos para obtener el grado de

riesgo que representa esa inversión.

Este análisis consiste en determinar qué tan sensible es la respuesta óptima del Método

Simplex, al cambio de algunos datos como las ganancias o costos unitarios (coeficientes

de la función objetivo) o la disponibilidad de los recursos (términos independientes de las

restricciones).

La variación en estos datos del problema se analizará individualmente, es decir, se

analiza la sensibilidad de la solución debido a la modificación de un dato a la vez,

asumiendo que todos los demás permanecen sin alteración alguna. Esto es importante

porque estamos hablando de que la sensibilidad es estática y no dinámica, pues solo

contempla el cambio de un dato a la vez y no el de varios.

¿Cómo hacer el análisis de sensibilidad utilizando un software aplicado?

Básicamente teniendo la solución dado por los software aplicados ya sea WINQSB o

LINDO, podemos analizar la variación que tiene cada variable o restricción del problema

y analizamos como este afecta a la solución óptima del problema.

Utilizando este análisis podemos responder a preguntas como las siguientes:

¿Cómo afectara en la solución óptima un cambio en uno de los coeficientes de la

función objetivo?

¿Cómo afectara en la solución óptima un cambio en el valor del segundo

elemento de una restricción?


5. Describan las principales dificultades que el tema y/o la pregunta les estén planteando. Ordénenlas según su importancia.

No existe una metodología muy concreta acerca de cómo se debe modelar matemática

mente un problema y el planteamiento de un determinado problema se puede tornar

oscuro si no se cuenta con un cierto grado de intuición y habilidad matemática.

Para realizar un análisis de sensibilidad adecuado, es necesario conocer a fondo las

características de las variables de decisión, las restricciones y el origen de la función

objetivo. Este preludio, nos da a conocer que el estudio de modelos de programación

lineal y los métodos de solución pertinentes, tanto desde el punto de vista conceptual

como desde el de las aplicaciones requieren de un nivel alto de habilidades matemáticas.

Por ende, en el presente trabajo pondremos mucho énfasis en cada detalle durante la

presentación de los problemas y así de forma pragmática concurrir en la enseñanza de

esta parte de la programación lineal.

Para realizar un análisis de sensibilidad adecuado también se debe realizar una correcta

captura de los requerimientos y/o información para realizar una optimo solución al

problema.

Conclusiones

La programación lineal constituye un importante campo de la optimización por varias

razones, muchos problemas prácticos de la investigación de operaciones pueden

plantearse como problemas de programación lineal. Algunos casos especiales de

programación lineal, tales como los problemas de flujo de redes y problemas de flujo de

mercancías se consideraron en el desarrollo de las matemáticas lo suficientemente

importantes como para generar por si mismos mucha investigación sobre algoritmos


especializados en su solución. Una serie de algoritmos diseñados para resolver otros

tipos de problemas de optimización constituyen casos particulares de la más amplia

técnica de la programación lineal. Históricamente, las ideas de programación lineal han

inspirado muchos de los conceptos centrales de la teoría de optimización tales como la

dualidad, la descomposición y la importancia de la convexidad y sus generalizaciones. Del

mismo modo, la programación lineal es muy usada en la microeconomía y la

administración de empresas, ya sea para aumentar al máximo los ingresos o reducir al

mínimo los costos de un sistema de producción. Algunos ejemplos son la mezcla de

alimentos, la gestión de inventarios, la cartera y la gestión de las finanzas, la asignación

de recursos humanos y recursos de máquinas, la planificación de campañas de

publicidad, etc.

Otros son:

Optimización de la combinación de cifras comerciales en una red lineal de

distribución de agua.

Aprovechamiento óptimo de los recursos de una cuenca hidrográfica, para un año

con afluencias caracterizadas por corresponder a una determinada frecuencia.

Soporte para toma de decisión en tiempo real, para operación de un sistema de

obras hidráulicas;

Solución de problemas de transporte.

Referencias

[1] CASTILLO, Enrique. “Formulación y resolución de modelos de programación

matemática en ingeniería y ciencia”, disponible en: http://www.investigacion-

operaciones.com/ARCHIVOS_LIBRO/LibroCompleto.pdf

[2] Un artículo de la base Informe Académico

http://admoperaciones.pe.tripod.com/flashadmope.htm


http://admoperaciones.pe.tripod.com/flashadmope.htm

http://www.alumnos.inf.utfsm.cl/~vpena/ramos/ili292/InformeT4.pdf

[3] ALVAREZ, Jorge, “Investigación de Operaciones”, 2da edición. Perú, Librería BETA,

2005.

[4] ALONSO, Gomollon, “Ejercicios de Investigación de” Operaciones: Madrid ESIC

Editorial, 1995.

[5] TORMOS, Pilar, ”Investigación Operativa para ingenieros”, Valencia, UPV, 2005.

[6] SUAREZ, Ángel Manuel, “Investigación Operaciones I, Notas y Problemas”, Bogotá

D.C., 2006” .

[7] ALONSO, Gomollon, “Ejercicios de Investigación de” Operaciones: Madrid ESIC

Editorial 1995.

[8] TORMOS, Pilar, ”Investigación Operativa para ingenieros”, Valencia, UPV, 2005.

[9] http://redalyc.uaemex.mx/src/inicio/ArtPdfRed.jsp?iCve=81690206

[10] COSIO JARA, Fernando. (1997). Comentarios a la Ley General de ADUANAS.

Librerías y Ediciones Jurídicas, Lima Perú. Primera edición.

[11] DOMÍNGUEZ MACHUCA, José; García, Santiago; Domínguez Machuca, Miguel;

Ruiz, Antonio; Álvarez, María. (1995). Dirección de Operaciones. Aspectos Tácticos y

Operativos en la Producción y los Servicios. McGraw-Hill, España. Primera.

[12] HILLIER, Frederick S., Lieberman, Gerald J. (1994). Introducción a la Investigación de

Operaciones. McGraw-Hill. México. Cuarta edición.

[13] WINSTON, Wayne L. (1994). Investigación de Operaciones. Aplicaciones y

Algoritmos. Grupo Editorial Iberoamérica. México. Primera edición.

Apéndices

Articulo realizado por:


http://redalyc.uaemex.mx/src/inicio/ArtPdfRed.jsp?iCve=81690206

http://www.alumnos.inf.utfsm.cl/~vpena/ramos/ili292/InformeT4.pdf

El artículo trata sobre la aplicación de la programación lineal entera mixta (PLEM) como

herramienta para la planificación de la importaciones en el contexto de una empresa

dedicada a la manufactura y venta de componentes de acero. Se construye un modelo

matemático que se adapte a las características de los procesos de importación de la

empresa, y cuyo objetivo será decidir cuál es el plan de importaciones con régimen

aduanero definitivo que tiene costos totales mínimos. En esta segunda parte, se

presentan los resultados del modelo matemático.

Resultados del modelo matemático

Continuando con el “Modelo de programación lineal entera mixta para el planeamiento de

las importaciones con régimen aduanero definitivo”, en esta ocasión se presentan los

resultados de las corridas del modelo, comparándolos con la metodología de importación

que actualmente aplica la empresa ABC S.A.

En adelante cada tabla muestra el rubro AHORRO TOTAL como la diferencia del importe

de los costos totales sin seguro y sin costo de adquisición de los escenarios

“RESULTADOS DEL MODELO” y “SITUACIÓN ACTUAL”. No se considera el costo de

adquisición porque los costos relevantes que generan diferencias significativas son flete,

ad/valór em y demás vinculados al desaduanaje.

Resultado 1: el proveedor 1 suministra las piezas de los productos 1 y 2

Los resultados del modelo indican que el 100% de las piezas del producto terminado 1, se

deben importar por vía marítima en contraste con la forma actual, donde el 40% de las

veces se efectúan por vía aérea y 60% por vía marítima. La empresa justifica las

importaciones por vía aérea cuando los lotes son pequeños, sin embargo, se puede lograr

un ahorro total de US$ 21,491 (ver Ilustración 5) debido a la elección del medio marítimo

como forma exclusiva de transporte, lo cual también genera un 21% de ahorro en

derechos arancelarios e impuestos. El modelo sugiere reemplazar la frecuencia trimestral

de importaciones, por una cuatrimestral.


Ilustración 5.- Costos anuales US$ asociados a las piezas abastecidas por el proveedor 1

Resultado 2: el proveedor 2 suministra las piezas de los productos 1 y 2

Los resultados del modelo indican que el 100% de las piezas del producto terminado 2, se

deben importar por vía marítima en contraste con la forma actual, el 80% de las veces por

vía aérea y 20% por vía marítima, con preferencia por la importación por vía aérea cuando

se tienen volúmenes de compra reducidos; empero, se puede lograr un ahorro total de

US$ 18,705 (ver Ilustración 6) debido a la elección del medio aéreo como forma exclusiva

de transporte, lo cual también genera un 55% de ahorro en derechos arancelarios e

impuestos.

Ilustración 6.-Costos anuales US$ asociados a las piezas abastecidas por el proveedor 2


Resultado 3: el proveedor 3 suministra las piezas de los productos 1 y 2 En este caso, hay un incremento de los costos de US$ 6,924 (ver Ilustración 7) con

respecto a la política de importación actual para el proveedor 3. La razón es la

reasignación de las piezas que antes se compraban al proveedor 2 y que ahora el modelo

sugiere adquirirlas al proveedor 3. La compra a este proveedor se incrementa en 34%,

pero a pesar del mayor volumen de adquisición, el flete es menor en 52% porque se

utiliza intensivamente la modalidad de transporte marítimo.


Según los resultados del modelo, el efecto total de las importaciones de las piezas

importadas de los productos terminados 1 y 2, desde los tres proveedores es favorable a

la empresa en US$ 32,272 (Ver Ilustración 8).

Ilustración 8.- Ahorro Total


Resultado 4: el proveedor 5 suministra las piezas de los productos 5 y 6 Actualmente, del proveedor 5, la empresa importa el 30% de las veces por vía aérea y

70% por vía marítima, cada dos meses. Con el modelo matemático se puede lograr un

ahorro total de US$ 9,445, (ver Ilustración 9) debido al uso intensivo de la modalidad de

transporte marítimo, decisión que reduce en 51% los costos por flete, y en 6% los costos

del ad/valórem.

Ilustración 9.-Costos anuales US$ asociados a las piezas abastecidas por el proveedor 5

Resultado 5: los proveedores 6 y 7 suministran las piezas del producto 6 Actualmente la importación se realiza de ambos proveedores 6 y 7 por vía aérea

exclusivamente y cada dos meses. Con el modelo matemático se obtiene un ahorro total

de US$ 498, (ver Ilustración 10) el costo del flete se reduce en 52% y los gastos de

desaduanaje y comisión de agencia en 50%, cada uno.


Ilustración 10.- Costos anuales US$ asociados a las piezas abastecidas por el proveedor 6,7

Resultado 6: el proveedor 9 suministra todas las piezas del producto 7 Actualmente la importación desde el proveedor 9, se efectúa el 50% de las veces vía

aérea y 50% vía marítima, cada trimestre. El costo del flete se reduce en un 82% por uso

del transporte marítimo. El ad/valórem se reduce en 32%, los gastos de desaduanaje en

40% y la comisión de agencia en 51%. Sin embargo, el costo de oportunidad se

incrementa fuertemente en 32% porque el período semestral prolongado eleva su importe,

a pesar que la modalidad de pago es con carta de crédito y pago diferido, lo cual no

genera costo de oportunidad de producción. Este incremento se compensa con la

reducción del costo del flete, con un saldo a favor de la empresa por US$ 69,473

(ver Ilustración 11).



Resultado 7: el proveedor 10 suministra todas las piezas del producto 4 Actualmente la importación desde el proveedor 10, se efectúa el 80% de las veces por vía

aérea y 20% vía marítima, cada trimestre. Con el modelo matemático se obtiene un

ahorro total de US$ 7,656 (ver Ilustración 12); el costo del flete se reduce en 18%, los

derechos arancelarios e impuestos en 25%, las gastos de desaduanaje en 50% y la

comisión de agencia en 44%.


Resultado 8: el proveedor 11 suministra todas las piezas del producto 3 Actualmente la importación desde el proveedor 11, se efectúa el 20% de las veces por vía

aérea y 80% vía marítima, cada trimestre. En este caso, el modelo rechaza al proveedor

11 para suministrar las piezas del producto terminado 3, y elige sólo al proveedor 1; de

esta forma se incluyen en los lotes de compra de las piezas del producto 1 y 2 que se

importan desde este proveedor 11 y se ahorra los gastos de desaduanaje y comisión de

agencia que son costos que se incurren cada vez que se efectúa una importación desde

otro proveedor. El ahorro total obtenido es US$ 15,148 (ver Ilustración13 ).



Conclusiones

La comparación de los resultados del modelo matemático y la forma que actualmente

trabaja ABC S.A. conduce a las siguientes conclusiones:

Con excepción de la mercadería del proveedor 10, para el resto de proveedores la

modalidad de transporte elegida es la marítima debido a que el valor de su flete es menor

al flete aéreo, y a pesar de que genera un mayor costo de oportunidad por los días que

permanece en travesía y por la duración del proceso de desaduanaje.

La modalidad de transporte aérea elegida para el proveedor 10, se justifica porque al ser

su modalidad de pago por adelantado, genera un alto costo de oportunidad de

producción. Si la modalidad de transporte hubiese sido marítima se hubiera incrementado

aún más el costo de oportunidad porque mayor sería la travesía, por tanto, la modalidad

de pago fue decisiva en la elección de la modalidad de transporte.

En la mayoría de los casos el período de importaciones que sugiere el modelo es

cuatrimestral, excepto para el caso de la mercadería importada desde el proveedor 9 que

es semestral. A pesar que el monto de adquisición aumenta, y también la comisión de

agencia porque en la mayoría de casos el valor de aduanas supera los US$ 10,000.00,

debido al mayor lote de compra, este incremento se compensa con la reducción de los

gastos de desaduanaje incurridos porque son menos las veces que se importa por año.


Para las piezas importadas que necesitan los productos terminados 1 y 2, el modelo

redefine totalmente la forma de importación. Actualmente, ABC S.A. reparte la compra

principalmente entre los tres proveedores 1 y 3 al 50%, y las piezas 1, 2, 8, 14 y 16 las

adquiere al proveedor 2.

El modelo redefine este proceso de compra de la forma siguiente:

• Al proveedor 1 le asigna el 31% de la compra

• Al proveedor 3 le asigna el 64% de la compra.

• Al proveedor 2 le asigna únicamente la pieza 13, que representa el 5% debido a que su

diseño especial, ocupa menos espacio, y genera un menor flete, incluso a pesar que sólo

es una pieza, el modelo elige la modalidad marítima. En este caso el flete y no el costo de

oportunidad fue la variable decisiva para la selección del proveedor y la modalidad de

transporte.

El ahorro total según el modelo asciende a US$ 135,490; equivalentes a un promedio de

US$ 11,290 mensuales. El modelo planteado finalmente aporta una metodología de

trabajo eficiente para las importaciones con el objetivo de obtener una reducción de

costos importante para ABC S.A.

Por cuanto el escenario de las ventas en esta empresa está definidas por licitaciones, las

ventas mensuales son prácticamente fijas. Esta situación de la empresa permite superar

la crítica frecuente a los modelos de programación lineal de adolecer de falta de dinámica

o aleatoriedad. En este caso, el tratamiento determinístico de la demanda está

plenamente justificado, porque la licitación define montos de ventas constantes mes a

mes.


presentación final de trabajo de inv operativa

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