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DÍA 4
Estimada y estimado estudiante, te invitamos a dar solución a la siguiente situación para que continúes
desarrollando tus aprendizajes
Rodrigo va a sustentar su tesis de Matemática en la Universidad, ha
olvidado un archivo importante en la computadora de su casa. Llama a su
hermano para que ingrese a su computadora y le envíe el archivo por
correo electrónico.
Después de unos minutos, el hermano le pide la clave de su computadora.
Rodrigo escribe en el WhatsApp: “secuencia creciente de los divisores
primos de 1260” y se apaga el celular por tener la batería baja.
1. ¿Cuál es la clave de la computadora de Rodrigo? 2. Busca dos formas diferentes para descifrar la clave.
• Para poder responder los desafíos de la situación, necesito recordar sobre los múltiplos, divisores, números primos y el teorema fundamental de la Aritmética.
1. Múltiplos
Los múltiplos de un número natural cualquiera, se
obtienen multiplicando dicho número por un
número natural.
El conjunto de los múltiplos de 2 es
M2 = {0; 2; 4; 6; 8; 10; 12;…} porque: • 2 ∙ 0 = 0, entonces 0 es múltiplo de 2.
• 2 ∙ 1 = 2, entonces 2 es múltiplo de 2.
• 2 ∙ 2 = 4, entonces 4 es múltiplo de 2.
• 2 ∙ 3 = 6, entonces 6 es múltiplo de 2.
y así, sucesivamente.
Ejemplo:
• El cero es múltiplo de cualquier
número.
• Todo número es múltiplo de la
unidad.
• Todo número diferente de 0, tiene
infinitos múltiplos.
2. Divisores
Los divisores de un número natural son aquellos
números que lo dividen exactamente.
El conjunto de los divisores de 8 es D8 = {1; 2; 4; 8}
porque:
• 8 ÷ 1 = 8, entonces 1 es divisor de 8.
• 8 ÷ 2 = 4, entonces 2 es divisor de 8.
• 8 ÷ 4 = 2, entonces 4 es divisor de 8.
• 8 ÷ 8 = 1, entonces 8 es divisor de 8.
De esta forma, 8 es divisible por 1; 2; 4 y 8.
Ejemplo:
• Todo número distinto de 0 es divisor de si
mismo. Por ejemplo, 8 es divisor de si mismo
ya que 8 ÷ 8 = 1.
• El número 1 es divisor de cualquier número.
• Todo número diferente de 0 tiene una
cantidad finita de divisores.
3. Criterios de divisibilidad
Para hallar los divisores de un número n debo
dividir dicho número por 1; 2; 3; …; n. Si la
división es exacta el número por el que se ha
dividido es un divisor de n.
Si el número es grande, hacer todas estas
divisiones puede llevar mucho tiempo. Además,
no interesa el cociente de la división en sí, sino
solo determinar si es exacta.
• Divisibilidad por 2
Un número es divisible por 2, si la cifra de
las unidades es par. Quiere decir, que los
números que terminan en 0; 2; 4; 6 y 8 se
pueden dividir entre 2.
Los números 44; 56; 328 y 5130 son divisibles
por 2, porque:
• En 44 la cifra de las unidades es 4, es par.
Entonces, 44 es divisible por 2.
• En 56 la cifra de las unidades es 6, es par.
Entonces, 56 es divisible por 2.
• En 328 la cifra de la unidades es 8, es par.
Entonces, 328 es divisible por 2.
• En 5130 la cifra de las unidades es 0, es par.
Entonces, 5130 es divisible por 2.
Ejemplos
• Divisibilidad por 3
Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras
es múltiplo de 3.
Recuerda que el conjunto de los múltiplos de 3 es:
M3 = {0; 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27; 30; 33; 36; …}.
Los números 120 y 1233 son divisibles por 3,
porque:
• En 120 al sumar sus cifras: 1 + 2 + 0 = 3, 3 es
múltiplo de 3, entonces 120 es divisible por 3.
• En 1233 al sumar las cifras: 1 + 2 + 3 + 3 = 9, 9 es
múltiplo de 3, entonces 1233 es divisible por 3.
• Divisibilidad por 4
Un número es divisible por 4 cuando los
dígitos ubicados en las posiciones de las
decenas y unidades forman un múltiplo
de 4 o ambos son 0.
• El número 1528 es divisible por 4
porque termina en 28, que es
múltiplo de 4, pues 7 ∙ 4 = 28.
• El número 1300 es divisible por 4
porque sus dos últimas cifras son
ceros.
Ejemplos:Ejemplos:
• Divisibilidad por 5Un número es divisible por 5 si la cifra de las
unidades es 0 o 5.
Los números 55 y 100 son divisibles por 5 porque:
• En 55 la cifra de las unidades es 5.
• En 100 la cifra de las unidades es 0.
• Divisibilidad por 6
Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y
por 3 a la vez.
Ejemplos:
El número 2456 no es divisible por 6, porque:
• Es divisible por 2, porque termina en 6.
• No es divisible por 3, porque sus cifras suman 17
que no es múltiplo de 3.
Por lo tanto, el número 2456 no es divisible por 6.
• Divisibilidad por 10
Un número es divisible por 10 si la cifra de las
unidades es 0.
Los números 24560 y 345700 son divisibles por 10,
porque la cifra de las unidades es 0. El número 5532 es divisible por 6 porque:
• Es divisible por 2, porque termina en 2.
• Es divisible por 3, porque sus cifras suman 15 que
es múltiplo de 3.
Por lo tanto, el número 5532 es divisible por 6.
Ejemplos:
Ejemplos:
4. Factores de un número
Factores de 27 son:
• 27 = 1 ∙ 27, se descompone en dos factores 1 y 27.
• 27 = 3 ∙ 9, se descompone en dos factores 3 y 9.
• 27 = 3 ∙ 3 ∙ 3, se descompone en tres factores 3; 3 y 3.
Los factores de un número son
términos en los que se puede
descomponer multiplicativamente el
número.
Son factores de 27: 1 y 27; 3 y 9; 3, 3 y 3.
Dividen en forma exacta al número 27.
Los divisores de 27 son: D27 = {1; 3; 9; 27}.
Ejemplo:
5. Número primo
Es aquel número que tiene únicamente 2 divisores:
el 1 y el propio número.
Determina si 1; 2; 3; 4 y 5 son números primos.
• El 1 tiene solo un divisor, D1 = {1}, no es un
número primo.
• El 2 tiene dos divisores, D2 = {1; 2}, es un número
primo.
• El 3 tiene dos divisores, D3 = {1; 3}, es un número
primo.
• El 4 tiene tres divisores, D4 = {1; 2; 4}, no es un
número primo.
• El 5 tiene dos divisores, D5 = {1; 5}, es un número
primo.
6. Número compuesto
Es aquel número que tiene más de dos divisores.
Determina si 1; 4 y 6 son números compuestos.
• El 1 tiene solo un divisor, D1 = {1}, no es un
número compuesto.
• El 4 tiene tres divisores, D4 = {1; 2; 4}, es un
número compuesto.
• El 6 tiene cuatro divisores, D6 = {1; 2; 3; 6}, es un
número compuesto.
Ejemplos:
Ejemplos:
• Un número primo es mayor que 1.
• El número 1 no es primo ni compuesto, ya que
tiene solo un divisor, que es el mismo número.
• El cero no es primo ni compuesto.
Es una técnica para obtener los números primos
sucesivos menores que uno dado.
Determina los primeros números primos menores que
100 desarrollando los siguientes pasos:
• Escribe la secuencia de números del 1 al 100.
• Sombrea el número 1, porque no es un número primo.
• El 2 es un número primo, queda sin sombrear. Luego,
sombrea todos los múltiplos de dos (es decir, todos
los números pares posterior a 2).
• El 3 es un número primo, queda sin sombrear. Luego,
sombrea todos los múltiplos de 3 (posterior a 3).
• El 5 es un número primo, queda sin sombrear. Luego,
sombrea todos los múltiplos de 5 (posterior a 5).
7. Criba de Eratóstenes • El 7 es un número primo, queda sin sombrear. Luego,
sombrea todos los múltiplos de 7 (posterior a 7).
• El 11 es un número primo, queda sin sombrear.
Luego, sombrea todos los múltiplos de 11 (posterior
a 11).
• Los números primos menores que 100 son todos
aquellos números que quedaron sin sombrear.
Ejemplo:
8. Teorema fundamental de la aritmética: descomposición en factores primos
El teorema fundamental de la aritmética
garantiza que todo número compuesto se puede
descomponer de forma única (salvo el orden de
los factores) en un producto de números primos.
Esto fue demostrado por Gauss (1777-1855).
Para descomponer un número compuesto, por
ejemplo 180, como el producto de factores primos
se sigue el siguiente procedimiento:
1. Escribir el número compuesto.
A su derecha se traza una línea
vertical.
2. Dividir el número por el menor
primo que sea posible: 2; 3; 5;...
Colocar el número primo arriba a
la derecha de la línea vertical y el
cociente debajo del primer
número.
3. Repetir el proceso hasta que en la
parte izquierda aparezca un 1.
Esto indica que la
descomposición habrá
terminado.
4. La descomposición de 180 en factores primos es:
180 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5
180 = 22 ∙ 32 ∙ 5
180
90
45
15
5
1
2
2
3
3
5
180
90
2
180
1. ¿Cuál es la clave de la computadora de Rodrigo?
Resolución
• Analizo la expresión “secuencia creciente de los divisores primos de 1260”. Para descifrar la clave de la computadora de
Rodrigo debo determinar los divisores primos
de 1260.
• Descompongo 1260 como producto de sus factores primos.
1. Escribo el número 1260. A
su derecha trazo una línea
vertical.
1260
2. Divido 1260 por el número
primo 2. Coloco el número
primo arriba a la derecha de
la línea vertical y el cociente
(630) debajo del primer
número.
3. Continuo el proceso dividiendo
1260 con los números primos 2;
3; 5 y 7 hasta que en la parte
izquierda aparezca un 1. Esto me
indica que la descomposición ha
terminado.
4. La descomposición de 1260 en factores primos es:
1260 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7
1260 = 22 ∙ 32 ∙ 5 ∙ 7
1260
630
315
105
35
7
1
2
2
3
3
5
7
1260
630
2
Respuesta: La clave de la computadora de Rodrigo es 2; 3; 5 y 7.
Los divisores primos de 1260 son 2; 3; 5 y 7.
Resolución
2. Busca dos formas diferentes para descifrar la clave.
Primera forma:
• Para descifrar la clave de la computadora de
Rodrigo debo determinar los divisores primos
de 1260. Además, recuerdo los primeros 6
números primos: 2; 3; 5; 7; 11 y 13.
• Verifico si 1260 es divisible por los 6 primeros
números primos.
1260 es divisible por 2, porque termina en
2. Entonces, 2 es divisor primo de 1260.
1260 es divisible por 3, porque la suma de
sus cifras 1 + 2 + 6 + 0 = 9, 9 es múltiplo de
3, así 1260 es divisible por 3. Entonces, 3 es
divisor primo de 1260.
1260 es divisible por 5, porque termina en
5. Entonces, 5 es divisor primo de 1260.
1260 es divisible por 7, porque 1260 ÷ 7 = 180, la
división es exacta. Entonces, 7 es divisor primo de
1260.
1260 no es divisible por 11, porque 1260 ÷ 11 =
114, 54, la división es inexacta. Entonces, 11 no es
divisor primo de 1260.
1260 no es divisible por 13, porque 1260 ÷ 13 =
96,92, la división es inexacta. Entonces, 13 no es
divisor primo de 1260.
Los números primos que dividen exactamente a 1260
son 2; 3; 5 y 7.
Entonces, los divisores primos de 1260 son 2; 3; 5 y 7.
La clave de la computadora de Rodrigo es 2; 3; 5 y 7.
Segunda forma:
1260
30
6 5 6 7
2 3 5 2 3 7
42
• Para descifrar la clave de la computadora de
Rodrigo utilizaré el diagrama del árbol.
• Descompongo 1260 en dos factores: 30 y 42.
• Descompongo 30 y 42 en dos factores: 6 y 5, 6 y 7,
respectivamente. El 6; 5; 6 y 7 también son factores de 1260.
• Descompongo 6 en dos factores: 2 y 3.
• Los números 2; 3; 5; 2; 3 y 7 son factores de 1260.
1260 = 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7
1260 = 22 ∙ 32 ∙ 5 ∙ 7
Los divisores primos de 1260 son 2; 3; 5 y 7. Entonces, la
clave de la computadora de Rodrigo es 2; 3; 5 y 7.
Gracias