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FÍSICA2º CURSO

BLOQUE 5: FÍSICA DEL SIGLO XX

La Teoría Especial de la Relatividad y la Física Cuántica se presentan comoalternativas necesarias a la insuficiencia de la Física Clásica para resolverdeterminados hechos experimentales.

Rafael Artacho Cañadas

FÍSICA CUÁNTICA

FÍSICA2º

Rafael Artacho Cañadas 2 de 48

Bloque 5: FÍSICA DEL SIGLO XXFÍSICA CUÁNTICA ÍNDICE

1. La crisis de la física clásica.2. Antecedentes de la mecánica cuántica.3. Principios de la mecánica cuántica.4. Consecuencias de la mecánica cuántica.

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Bloque 5: FÍSICA DEL SIGLO XXFÍSICA CUÁNTICA 1. La crisis de la física clásica

F m a

MECANICA

Newton 1686

Ec. del movimiento

ELECTROMAGNETISMO

Maxwell 1865

TERMODINÁMICA

Clausius 1822

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Triple_expansion_engine_animation.gifhttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Clausius.jpg

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Bloque 5: FÍSICA DEL SIGLO XXFÍSICA CUÁNTICA

Cuerpo negro Espectros

Cuantos de energía(1900)Max Planck

Efecto fotoeléctrico (1905)Albert Einstein

Mecánica cuántica (años 20 siglo XX)Louis de Broglie, Heisemberg, Schorödinger y otros

1. La crisis de la física clásica

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Bloque 5: FÍSICA DEL SIGLO XXFÍSICA CUÁNTICA 2. Antecedentes de la mecánica cuántica

2.1. Radiación del cuerpo negro e hipótesis de Planck

• La frecuencia de la radiación que emiteun cuerpo caliente aumenta con latemperatura.

• La potencia irradiada depende de lascaracterísticas del material.

• La máxima potencia irradiada seconsigue con el llamado cuerpo negro.

• Kirchhoff: Cuando un cuerpo está en equilibriotérmico, la energía que absorbe es igual a laque emite (un buen absorbente es también unbuen emisor).

Un cuerpo negro es aquel que absorbe todaslas radiaciones, en consecuencia es también unemisor ideal.

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• Kirchoff demostró que el espectro deemisión de un cuerpo negro dependesolo de la temperatura.

• La gráfica de emisión de un cuerpo negro(distribución espectral) nos indica ladistribución de la energía en las distintaslongitudes de onda para unadeterminada temperatura.

La intensidad de la radiación térmica de un cuerpo negro es proporcional ala cuarta potencia de la temperatura absoluta:

Ley del desplazamiento de Wien:

El producto de la longitud de onda correspondiente al máximo de emisiónpor la temperatura absoluta es constante:

Ley de Stefan-Boltzmann:

𝐼 = 𝜎𝑇4

𝜎 = 5,67 · 10−8𝑊

𝑚2𝐾4(𝑐𝑡𝑒. 𝑑𝑒 𝑆𝑡𝑒𝑓𝑎𝑛)

𝜆𝑚á𝑥 · 𝑇 = 0,0028976 𝑚 · 𝐾

2. Antecedentes de la mecánica cuántica

https://phet.colorado.edu/sims/blackbody-spectrum/blackbody-spectrum_es.html

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ACTIVIDADES1. Dada la temperatura superficial de nuestro cuerpo, ¿qué tipo de radiación emiten

los seres humanos?2. La temperatura superficial del Sol es de unos 6000 𝐾. ¿A qué longitud de onda y a

qué color corresponde el pico de emisión?Sol: 𝜆 = 482 𝑛𝑚, azul

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La forma de las gráficas de emisión y la teoría clásica

U.V

catástrofe del ultravioleta

Ley Rayleigh-Jeans

en nm

Propuesta de Rayleigh-Jeans:

Para longitudes de ondagrandes reproduce losresultados experimentales.

Para 0 fracasa,prediciendo en conjuntoenergía total por unidad devolumen infinita: catástrofeultravioleta.

𝐼 𝜆, 𝑇 ∝𝑇

𝜆4


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La energía emitida (cuanto de energía) por los osciladores atómicos no puedetomar cualquier valor sino que es múltiplo entero de una constante hmultiplicada por la frecuencia del oscilador:

donde n es un número entero, h una constante denominada constante dePlanck y f la frecuencia del oscilador:

El número de osciladores de baja frecuencia es muy superior al de osciladoresde alta frecuencia.

𝐸 = 𝑛ℎ𝑓

𝐼 𝜆, 𝑇 =8𝜋ℎ𝑐

𝜆51

𝑒ℎ𝑐𝜆𝐾𝑇 − 1

𝐼 𝜆, 𝑇 =8𝜋𝐾𝑇

𝜆4

𝐼 𝜆, 𝑇 → 0

Para 𝜆 grande

Para 𝜆 0

De acuerdo con la ley de Rayleigh-Jeans

Se evita la catástrofe del ultravioleta

Hipótesis de Planck

ℎ = 6,63 · 10−34 𝐽 𝑠


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2.2. El efecto fotoeléctrico y la explicación de Einstein

• El efecto fotoeléctrico consiste enla emisión de electrones por unmaterial metálico cuando se iluminacon radiación electromagnética.

• Fue descubierto y descrito porHeinrich Hertz en 1887.

• Albert Einstein utilizó la teoríacuántica para resolver este misteriode la física.Ec

ff0


https://phet.colorado.edu/sims/photoelectric/photoelectric_es.jnlphttp://es.wikipedia.org/wiki/Heinrich_Rudolf_Hertzhttp://es.wikipedia.org/wiki/1887

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Explicación de Einstein del efecto fotoeléctrico

• Einstein pensó que cada paquete de energía se comporta como unapartícula de luz pequeña a la que llamó fotón.

• El dedujo que cada fotón debía tener una energía proporcional a lafrecuencia de la luz,

• Por lo tanto, la luz debe tener una frecuencia suficientemente alta parasuperar la fuerza que mantiene unidos a los electrones en el metal

• Si la frecuencia de los fotones es mayor que entonces los electrones no sóloserán emitidos, sino también adquieren una cierta cantidad de energíacinética, tal que,

• Por otra parte, considere dos haces de luz que tienen la misma frecuenciapero difieren en intensidades. La frecuencia de ellos es mayor a lafrecuencia característica. El rayo de luz más intenso tiene más fotones, porlo tanto, emite una mayor cantidad de electrones de la superficie metálica.

𝐸 = ℎ𝑓

ℎ𝑓 = 𝑊𝑒𝑥𝑡 +1

2𝑚𝑒𝑣𝑚á𝑥

2 𝑊𝑒𝑥𝑡 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛 = ℎ𝑓0


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ACTIVIDADES3. Cuando una superficie de cobre es irradiada con luz procedente de un arco de

mercurio cuya longitud de onda es 2 537 Å, el valor del potencial necesario parafrenar la emisión de electrones es 0,24 𝑉. ¿Cuál es la máxima longitud de onda queproducirá emisión de electrones en el cobre?Datos: ℎ = 6,63 · 10−34 𝐽 𝑠; 𝑐 = 3 · 108 𝑚 𝑠−1; 𝑒 = 1,6 · 10−19 𝐶Sol: 𝜆0 = 2679 Å

4. Una lámina metálica comienza a emitir electrones al incidir sobre ella radiación delongitud de onda 2,5 · 10−7 𝑚. Calcule la velocidad máxima de los fotoelectronesemitidos si la radiación que incide sobre la lámina tiene una longitud de onda de 5 ·10−8 𝑚.Datos: ℎ = 6,63 · 10−34 𝐽 𝑠; 𝑐 = 3 · 108 𝑚 𝑠−1 ; 𝑚𝑒 = 9,1 · 10−31 𝑘𝑔Sol: 2, 64 · 106𝑚 𝑠−1

5. Al iluminar la superficie de un cierto metal con un haz de luz de longitud de onda2 · 10−8 𝑚, la energía cinética máxima de los fotoelectrones emitidos es de 3 𝑒𝑉.Determine el trabajo de extracción del metal y la frecuencia umbral.Datos: ℎ = 6,63 · 10−34 𝐽 𝑠; 𝑐 = 3 · 108 𝑚 𝑠−1 ; 𝑒 = 1,6 · 10−19 𝐶Sol: 𝑊𝑒𝑥𝑡 = 9,47 · 10−18 𝐽 ; 𝑓0 = 1,43 · 1016 𝐻𝑧

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ACTIVIDADES6. Al iluminar un fotocátodo de sodio con haces de luz monocromáticas de longitudes

de onda 300 𝑛𝑚 y 400 𝑛𝑚, se observa que la energía cinética máxima de losfotoelectrones emitidos es de 1,85 𝑒𝑉 y 0,82 𝑒𝑉, respectivamente. Determine elvalor máximo de la velocidad de los electrones emitidos con la primera radiación ydetermine la constante de Planck y la energía de extracción del metal.Datos: 𝑐 = 3 · 108 𝑚 𝑠−1; 𝑚𝑒 = 9,1 · 10−31 𝑘𝑔; 𝑒 = 1,6 · 10−19 𝐶Sol: 𝑣 = 806 567 𝑚 𝑠−1; ℎ = 6,59 · 10−34 𝐽 𝑠; 𝑊𝑒𝑥𝑡 = 3,67 · 10−19 𝐽

7. Sobre una superficie de potasio, cuyo trabajo de extracción es 2,29 𝑒𝑉, incide unaradiación de 0,2 · 10−6 𝑚 de longitud de onda. i) Razone si se produce efectofotoeléctrico y, en caso afirmativo, calcule la velocidad de los electrones emitidos yla frecuencia umbral del material. ii) Se coloca una placa metálica frente al cátodo.¿Cuál debe ser la diferencia de potencial entre ella y el cátodo para que no lleguenelectrones a la placa?Datos: ℎ = 6,63 · 10−34 𝐽 𝑠; 𝑐 = 3 · 108 𝑚 𝑠−1; 𝑚𝑒 = 9,1 · 10−31 𝑘𝑔;𝑒 = 1,6 · 10−19 𝐶Sol: i) 𝑣 = 1,18 · 106 𝑚 𝑠−1; 𝑓0 = 5,53 · 1014𝐻𝑧; ii) 𝑉𝑒 = 3,93 𝑉

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2.3. Los espectros atómicos y el átomo de Bohr

Newton demostró que la luz blanca podía descomponerse en sus coloresdando lugar al espectro continuo


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Espectros de emisiónSe obtienen al descomponer lasradiaciones de un cuerpopreviamente excitado.

Espectros de absorciónResultan de intercalar unadeterminada sustancia entre unafuente de luz y un prisma.


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El primer espectro que se analizó fue el del átomo de Hidrógeno.

En 1885 Balmer estudiando la zona visible del espectro de emisión del átomode hidrógeno, encontró una expresión que permitía predecir dónde salen lasrayas.

Espectro de emisión del Hidrógeno

Espectro de absorción del Hidrógeno

R es la constante de Rydberg y vale 1,097·107 m-1

n es un número entero mayor que 2

es la longitud de onda de la raya

Espectros del hidrógeno

1

𝜆= 𝑅

1

22−

1

𝑛2


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Posteriormente Rydberg y Ritz descubrieron que el hidrógeno presentarayas en el ultravioleta y el infrarrojo, por lo que obtuvieron una expresión másgeneral

Serie n1 n2 ZonaLyman 1 2, 3, 4, … UltravioletaBalmer 2 3, 4, 5, … VisiblePaschen 3 4, 5, 6, … InfrarrojoBrackett 4 5, 6, 7, … InfrarrojoPfund 5 6, 7, 8, … InfrarrojoHumphreys 6 7, 8, … Infrarrojo

¿A qué se deben estas líneas que aparecen en los espectros? ¿Por qué las series espectrales convergen?

1

𝜆= 𝑅

1

𝑛12 −

1

𝑛22


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En 1911 Rutherford estableció el siguiente modelo de átomo:

• Todo átomo está formado por un núcleo y corteza.

• El núcleo, muy pesado, y de muy pequeño volumen, formado por unnúmero de protones igual al número atómico y de neutrones igual a ladiferencia entre la masa atómica y el número atómico, donde se concentratoda la masa atómica.

• Existiendo un gran espacio vacío entre el núcleo y la corteza.

• Los electrones giran a grandes distancias del núcleo de modo que lafuerza electrostática hace el papel de fuerza centrípeta.

El modelo de Rutherford


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El modelo atómico de Rutherfordpresenta dos inconvenientes notables.

a) Contradice las leyes delelectromagnetismo ya que elelectrón debería emitir energíaradiante al girar, perdiendo energíay cayendo finalmente sobre elnúcleo.

b) No explica los espectrosdiscontinuos formados por rayasde frecuencias determinadas.


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El átomo de Bohr

Niels Bohr modifica el modelo de Rutherfordrespetando la idea de orbitas circulares de loselectrones, pero aplica la teoría cuántica de MaxPlanck, según ésta, la emisión de energíaradiante no se hace de forma continua sino enforma de cantidades discretas, cuantos deenergía según la ecuación:

Su estudio se basó en el átomo de H y en el deiones hidrogenoides, con un solo electrón.

Niels Bohr 1885-1962

∆𝐸 = ℎ𝑓


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Primer postulado

Segundo postulado

Tercer Postulado

El electrón gira alrededor del núcleo en órbitas circulares sin emitir ni absorberenergía radiante.

Sólo son posibles aquellas órbitas en las que el electrón tiene un momentoangular que es múltiplo entero de h/2.

Cuando el electrón pasa de una órbita a otra, absorbe o emite energía enforma de fotones cuya cantidad es:

n es el número cuántico principal𝐿 = 𝑚𝑒𝑣𝑟 = 𝑛ℎ

2𝜋

∆𝐸 = 𝐸2 − 𝐸1 = ℎ𝑓


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FotónE=hfn = 1

n = 2

n = 3n = 4

aumento de la energía de órbita

protones

neutrones


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Órbitas permitidas

+Teniendo en cuenta el 2º postulado:

+

n=1 n=2n=3

𝑘𝑒2

𝑟2= 𝑚

𝑣2

𝑟

1

4𝜋𝜀0

𝑒2

𝑟2= 𝑚

𝑣2

𝑟⟹ 𝑟 =

1

4𝜋𝜀0

𝑒2

𝑚𝑒𝑣2

𝑣 =𝑛ℎ

2𝜋𝑚𝑒𝑟

𝑟 = 𝑛2𝜀0ℎ

2

𝜋𝑚𝑒𝑒2

𝑟 = 0,53 · 𝑛2 Å


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Energía de las órbitas permitidas

De acuerdo con el 2º postulado y la expresión para el radio de una órbita, laenergía cinética se escribe:

Igualmente, la energía potencial:

Por lo que la energía total de un electrón en una órbita de Bohr:

𝐸𝑇 = 𝐸𝐶 + 𝐸𝑃 =1

2𝑚𝑒𝑣

2 −𝑒2

4𝜋𝜀0𝑟

1

2𝑚𝑒𝑣

2 =1

8·𝑛2ℎ2

𝜋2𝑚𝑒𝑟2

𝑟 = 𝑛2𝜀0ℎ

2

𝜋𝑚𝑒𝑒2

𝐸𝐶 =1

8·𝑚𝑒𝑒

4

𝜀02𝑛2ℎ2

𝐸𝑃 = −1

4·𝑚𝑒𝑒

4

𝜀02𝑛2ℎ2

𝐸𝑇 =1

8·𝑚𝑒𝑒

4

𝜀02𝑛2ℎ2

−1

4·𝑚𝑒𝑒

4

𝜀02𝑛2ℎ2

= −1

8·𝑚𝑒𝑒

4

𝜀02𝑛2ℎ2

𝐸𝑇 = −13,6

𝑛2𝑒𝑉


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Energía de las órbitas permitidas

La diferencia de energías entreórbitas tiende a disminuir conformeaumenta n.

E (eV)

-13,6

-3,40

-1,51

n = 1

n = 2

0

𝐸𝑇 = −13,6

𝑛2𝑒𝑉


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Energía que emite un electrón al caer a un nivel inferior

E=hf n2, E2

n1, E1

De acuerdo con el 3er postulado de Bohr, la energía emitida en forma decuantos (hf) será:

Al sustituir los valores de las constantes, se obtiene la constante de Rydberg.

𝐸2 = −1

8·

𝑚𝑒𝑒4

𝜀02𝑛2

2ℎ2𝐸1 = −

1

8·

𝑚𝑒𝑒4

𝜀02𝑛1

2ℎ2

𝐸𝑒𝑚𝑖𝑡𝑖𝑑𝑎 = 𝐸2 − 𝐸1 = −𝑚𝑒𝑒

4

8𝜀02𝑛2

2ℎ2− −

𝑚𝑒𝑒4

8𝜀02𝑛1

2ℎ2

𝐸𝑒𝑚𝑖𝑡𝑖𝑑𝑎 =𝑚𝑒𝑒

4

8𝜀02ℎ2

1

𝑛12 −

1

𝑛22

ℎ𝑓 = ℎ𝑐

𝜆=

𝑚𝑒𝑒4

8𝜀02ℎ2

1

𝑛12 −

1

𝑛22

1

𝜆=

𝑚𝑒𝑒4

8𝜀02ℎ3𝑐

1

𝑛12 −

1

𝑛22


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Producción de los espectros

• Al suministrar energía de excitación, los electrones de los átomos pasan aniveles superiores, no todos los electrones al mismo nivel.

• Los electrones volverán a caer directamente al nivel inferior, sino que,podrán producirse transiciones intermedias.

• Los átomos solo emitirán energías correspondientes a las diferencia deenergía entre las distintas órbitas.

• Cada una de estas energías corresponden a determinados valores defrecuencia que pueden caer dentro del espectro ultravioleta (serie deLyman), visible (serie de Balmer) o infrarrojo (los demás).


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Producción de los espectros

n = 1

n = 2

n = 3

n = 4

n = 5

n =

Lyman

Balmer

Paschen

BrackettPfund

Ultravioleta Visible Infrarrojo

SERIES ESPECTRALES

E=hf


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Modelo vectorial del átomo

Zeeman 1865-1943

Foto obtenida por Zeeman

• El modelo atómico de Bohr consigue buenosresultados para el átomo de hidrógeno e ioneshidrogenoides pero no sirve para átomospolielectrónicos. Además tiene el inconveniente deestar basado en postulados empíricos de difíciljustificación teórica.

• Cuando se construyeron espectroscopios con mayorpoder de resolución, se observó que algunas rayasgruesas se desdoblaban en otras más finas delongitudes de ondas muy próximas.

• Zeeman aplicando campos magnéticos a los átomos,consiguió la aparición de nuevas rayas lo que seconoce como efecto Zeeman.

• Aplicando campos eléctricos ocurre lo mismo (efectoSbeck).


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Sommerfeld para explicar estos fenómenos introduce una serie deparámetros en el modelo de Bohr a los que llamó números cuánticos eintroduce la idea de que las órbitas electrónicas no tienen que ser circulares:

n número cuántico principal. Toma valoresde 1 en adelante.

l número cuántico azimutal o secundario.Toma valores de 0 a n-1. Es una medida dela excentricidad de la órbita, y lasdiferencias justifican el desdoblamiento delas rayas.

m número cuántico magnético. Toma valoresde -1 a +1. Explica el efecto Zeeman.

s número cuántico spin. Toma los valores de+ ½ y – ½ . Especifica el giro del electrónsobre sí mismo.


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ACTIVIDADES8. Al excitar el átomo de hidrógeno, su electrón pasa a otro nivel energético y

absorbe 12,089 𝑒𝑉. Calcular la frecuencia y la longitud de onda de la radiaciónemitida cuando vuelve a su estado fundamental.Datos: ℎ = 6,63 · 10−34 𝐽 𝑠; 𝑐 = 3 · 108 𝑚 𝑠−1; 𝑒 = 1,6 · 10−19 𝐶Sol:𝑓 = 2,92 · 1015 𝐻𝑧; 𝜆 = 1,03 · 10−7 𝑚

9. Con respecto a un átomo de hidrógeno, calcula: i) La energía necesaria para excitarelectrón hasta el nivel 5; ii) La longitud de onda de la radiación emitida al volver asus estado fundamental; iii) La energía necesaria si se quiere excitar todos loselectrones de 1 𝑚𝑜𝑙 de átomos hasta el nivel 5. Exprésala en 𝐽 𝑚𝑜𝑙−1.Datos: ℎ = 6,63 · 10−34 𝐽 𝑠; 𝑐 = 3 · 108 𝑚 𝑠−1; 𝑒 = 1,6 · 10−19 𝐶; 𝑁𝐴 = 6,022 · 1023Sol: i) 13,056 𝑒𝑉; ii) 95 𝑛𝑚; iii) 1,252 · 106 𝐽 𝑚𝑜𝑙−1

10. Cuál es la longitud de onda más corta de la serie de Lyman? ¿Y la de Balmer?Dato: 𝑅 = 1,097 · 107 𝑚−1Sol: 91,1 𝑛𝑚; 364 𝑛𝑚

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Bloque 5: FÍSICA DEL SIGLO XXFÍSICA CUÁNTICA 3. Nacimiento de la mecánica cuántica

Situación de partida (principios de los años 20):

• La luz, en los fenómenos de difracción, interferencia y polarización, muestrauna naturaleza ondulatoria.

• La luz, en los fenómenos de emisión del cuerpo negro, el efecto fotoeléctrico yla formación de espectros y otros, muestra una naturaleza corpuscular(fotones).

Síntesis

• Louis de Broglie (1924).

Bases de la Mecánica Cuántica

• Hipótesis de Louis de Broglie (1924).

• El principio de indeterminación de Heisenberg.

• La función de probabilidad de Schrödinger.

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3.1. Dualidad onda-corpúsculo. Hipótesis de De Broglie

En 1919, Einstein sugirió que los fotones viajaban a la velocidad de la luz conuna cantidad de movimiento de valor ℎ/𝜆, basándose en la expresión de laenergía de Planck y la relativista:

𝐸 = 𝑚 · 𝑐2

𝐸 = ℎ · 𝑓𝑚 · 𝑐2 = ℎ · 𝑓 → 𝑝 = 𝑚 · 𝑐 =

ℎ · 𝑓

𝑐=ℎ

𝜆

Esta expresión relaciona una propiedad corpuscular (momento lineal) con unapropiedad ondulatoria (longitud de onda).

𝒑 =𝒉

𝝀

3. Nacimiento de la mecánica cuántica

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Louis de Broglie

1892 -1987

En 1924, el físico francés Louis de Broglie hizo el siguiente razonamiento:• La naturaleza es sorprendentemente simétrica de muchas

maneras.

• Nuestro universo observable está compuesto totalmentede luz y de materia.

• Teniendo en cuenta la dualidad onda-corpúsculo de la luz(Young-Einstein), quizás también la materia goce de estacualidad.

Toda partícula material en movimiento tiene uncomportamiento ondulatorio.

• De Broglie supuso que la longitud de onda de las ondas de materia predichasdebía estar dada por la misma relación aplicable a la luz, o sea:

𝜆 =ℎ

𝑝=

ℎ

𝑚𝑣


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La hipótesis de De Broglie permite afrontar el 2º postulados de Bohr desde unpunto de vista ondulatorio:

Una órbita estacionaria permitida es aquella que corresponde alestablecimiento en su seno de una onda estacionaria del electrón.

Una órbita será estacionaria cuando:

2𝜋𝑟 = 𝑛𝜆 = 𝑛ℎ

𝑚𝑣𝑚𝑣𝑟 = 𝑛

ℎ

2𝜋

¿Qué evidencias tenemos de la certeza dela proposición de De Broglie?

¿Se difractan e interfieren los electronesentre sí?


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En 1927, C.J. Davisson y L.H. Germer, descubrieron el fenómeno de ladifracción de electrones.Al hacer pasar chorros de electrones por orificios circulares y rendijas se observa:• Existen zonas de la placa fotográfica donde nunca

llegan electrones (zonas prohibidas).• Las zonas de incidencia de los electrones forman

anillos concéntricos o bandas alternados con laszonas prohibidas, lo que acaba produciendo unaimagen de difracción similar a la de la luz.

La difracción e interferencia de los electrones

Podemos extraer las siguiente conclusiones:• Un electrón incide en un punto y lo ennegrece, comportamiento que pone de

manifiesto un carácter corpuscular.• Los puntos ennegrecidos permitidos están determinados, sin embargo, por

propiedades ondulatorias.No podemos predecir en qué punto impactará un electrón: solo podemoshablar en términos de probabilidad e indicar en qué zonas podrá impactar yen qué zonas no lo hará.


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La difracción e interferencia de los electrones: experimento de la doble rendija


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ACTIVIDADES11. Calcule la energía cinética de un electrón cuya longitud de onda de De Broglie es

5 · 10−10 𝑚. Razone si un protón con la misma longitud de onda asociada tendría lamisma energía cinética.Datos: ℎ = 6,63 · 10−34 𝐽 𝑠; 𝑚𝑒 = 9,1 · 10−31 𝑘𝑔;𝑚𝑝 = 1,67 · 10−27 𝑘𝑔Sol: 𝐸𝐶= 9,66 · 10−19 𝐽

12. Un haz de electrones se acelera desde el reposo con una diferencia de potencial.Tras ese proceso la longitud de onda asociada a los electrones es de 8 · 10−11 𝑚.Haga un análisis energético del proceso y determine la diferencia de potencialaplicada a los electrones. Si un haz de protones se acelera con esa diferencia depotencial determine la longitud de onda asociada a los protones.Datos: ℎ = 6,63 · 10−34 𝐽 𝑠; 𝑐 = 3 · 108 𝑚 𝑠−1; 𝑒 = 1,6 · 10−19 𝐶;𝑚𝑒 = 9,1 · 10

−31 𝑘𝑔;𝑚𝑝 = 1840 𝑚𝑒Sol: Δ𝑉 = 235,63 𝑉; 𝜆 = 1,87 · 10−12 𝑚

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ACTIVIDADES13. Un haz de electrones se acelera bajo la acción de un campo eléctrico hasta una

velocidad de 6 · 105 𝑚 𝑠−1. Haciendo uso de la hipótesis de De Broglie calcule lalongitud de onda asociada a los electrones. La masa del protón esaproximadamente 1800 veces la del electrón. Calcule la relación entre laslongitudes de onda de De Broglie de protones y electrones suponiendo que semueven con la misma energía cinética.Datos: ℎ = 6,63 · 10−34 𝐽 𝑠; 𝑚𝑒 = 9,1 · 10−31 𝑘𝑔Sol: 𝜆 = 1,21 · 10−9 𝑚; Τ𝜆𝑒 𝜆𝑝 ≈ 43

14. En un microscopio electrónico se aplica una diferencia de potencial de 20 𝑘𝑉 paraacelerar los electrones. Determine la longitud de onda de los fotones de rayos X deigual energía que dichos electrones. Un electrón y un neutrón tienen igual longitudde onda de De Broglie. Razone cuál de ellos tiene mayor energía.Datos: ℎ = 6,63 · 10−34 𝐽 𝑠; 𝑐 = 3 · 108 𝑚 𝑠−1; 𝑒 = 1,6 · 10−19 𝐶;𝑚𝑒 = 9,1 · 10

−31 𝑘𝑔;𝑚𝑛 = 1,67 · 10−27 𝑘𝑔

Sol: 𝜆 = 6,22 · 10−11 𝑚; Τ𝐸𝑒 𝐸𝑛 = 1835

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3.2. Principio de indeterminación de Heisemberg

Werner Heisenberg 1901-1976

Es imposible en un instante dado, determinarsimultáneamente la posición y la cantidad demovimiento de una partícula (el momento lineal deésta).

Δ𝑥Δ𝑝 ≥ℎ

2𝜋

• Sólo podemos esperar "ver" al electrón si ledirigimos luz, u otra partícula, para que nos larefleje. En este caso, el retroceso queexperimenta el electrón cuando la luz (el fotón)rebota en él, altera por completo el movimientodel electrón de una manera tal que no puedeevitarse y ni siquiera puede tomarse en cuentapara reconstruir el movimiento del electrón.


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Principio de indeterminación y relación con la mecánica clásica

• En el caso de partículas o cuerpos de masa m que se mueven con velocidadv, el principio de indeterminación se escribe:

• En el caso de que aumente la masa, el producto de las indeterminacionestiende a disminuir y se acerca a cero. De esta manera ambas magnitudes sepueden determinar con gran precisión: principio de correlación.

Δ𝑥 · 𝑚Δ𝑣 ≥ℎ

2𝜋Δ𝑥 · Δ𝑣 ≥

ℎ

2𝜋𝑚


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ACTIVIDADES15. El diámetro nuclear de un átomo es de 10−14 𝑚; ¿cuál es la energía cinética mínima

que puede tener un protón que se encuentre en su interior?Datos: ℎ = 6,63 · 10−34 𝐽 𝑠; 𝑚𝑝 = 1,67 · 10−27 𝑘𝑔Sol: 𝐸𝐶 = 3,43 · 10−14 𝐽

16. Una partícula de 2 𝜇𝑔 se mueve a 5 𝑐𝑚 𝑠−1. Calcula la indeterminación mínima desu posición sabiendo que la indeterminación de su velocidad es de un 0,002 %.Dato: ℎ = 6,63 · 10−34 𝐽 𝑠Sol: Δ𝑥 = 5,28 · 10−20 𝑚

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3.3. La función de probabilidad de Schrödinger

¿Por qué los electrones se mueven en órbitasestacionarias de energía? ¿Por qué tienencomportamiento de onda? ¿Cómo conocer la energía queposee un electrón y la posición de éste si según elprincipio de incertidumbre nunca lograremos medirlo?

La mecánica clásica no puede dar respuesta a estos interrogantes

Erwin Schrödinger 1887-

1962• En 1926, Erwin Schrödinger desarrolla una teoría

según la cual las propiedades corpusculares yondulatorias de la materia no son mas que aspectosdistintos de una misma realidad.


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3.3. La función de probabilidad de Schrödinger

• La ecuación de onda de Schrödinger, describe el comportamiento y laenergía de las partículas submicroscópicas. Es una función análoga a lasleyes de Newton para los sólidos macroscópicos que incorpora tanto elcarácter de partícula (en función de la masa) como el carácter de onda entérminos de una función de onda 𝝍 (psi).

• Schrödinger definió la función de onda 𝝍 como una función matemática quesirve para caracterizar a un sistema dado en función de las variables que lodefinen.


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Max Born 1882-1970

• Max Born sugirió que lo que tenía sentido físico realno era la función de onda, sino su cuadrado.

• Según esta interpretación, la probabilidad deencontrar un electrón en un elemento de volumendV viene dada por:

• La función de onda debe cumplir:

𝜓 2𝑑𝑉

න𝑉

𝜓 2𝑑𝑉 = 1

• Cuando se cumple esta condición se dice que la función de onda seencuentra “normalizada”.

• A la región del espacio donde es más probable que se encuentre el electrónse denomina orbital y viene expresado por una función de onda.


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• La función de onda debe satisfacer además la ecuación de Schrödinger quepermite calcular la energía del electrón:

• 𝑼 representa la energía potencial asociada a la función de onda y 𝑬 es laenergía total del electrón con dicha función de onda.

• Escrita de otra forma (haciendo ℏ = Τℎ 2𝜋):

• Donde H recibe el nombre de Hamiltoniano.

• Heisemberg desarrolla otra formulación alternativa conocida como mecánicamatricial que conducía a los mismos resultados.

−ℎ2

8𝜋2𝑚

𝜕2𝜓

𝜕𝑥2+𝜕2𝜓

𝜕𝑦2+𝜕2𝜓

𝜕𝑧2+ 𝑈𝜓 = 𝐸𝜓

−ℏ2

2𝑚

𝜕2

𝜕𝑥2+

𝜕2

𝜕𝑦2+

𝜕2

𝜕𝑧2+ 𝑈 𝜓 = 𝐸𝜓 ⟹ 𝐻𝜓 = 𝐸𝜓


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Bloque 5: FÍSICA DEL SIGLO XXFÍSICA CUÁNTICA 4. Consecuencias de la mecánica cuántica

• Se sustituye la idea de trayectorias precisas (órbitas) de Bohr por zonas demáxima probabilidad de hallar el electrón (orbital).

• Se modifica el concepto de electrón como “partícula cargada negativamente”,que carece de sentido.

• Debemos acostumbrarnos a hablar de rastro electrónico más que deelectrón.

Reflexión y "tunelado" de un electrón dirigidohacia una barrera potencial. El puntoresplandeciente moviéndose de derecha aizquierda es la sección reflejada del wavepacket.Un vislumbre puede observarse a la derecha dela barrera. Esta pequeña fracción delwavepacket atraviesa el túnel de una formaimposible para los sistemas clásicos. También esnotable la interferencia de los contornos entrelas ondas de emisión y de reflexión.

Efecto túnel

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Rafael Artacho CañadasDpto. de Física y QuímicaI.E.S. Padre Manjón

Gonzalo Gallas, s/n18003 · Granada

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