practica 8 respuesta frecuencial

Profesor Sebastián Marcos LópezDepartamento de Informática y Automática / Universidad de Salamanca

PRACTICAS

REGULACION AUTOMATICA

8. 1

8.1. Respuesta en frecuencia de sistemas LIT

8.2. Diagrama de Bode

8.3. Diagrama de Nyquist

8.4. Estabilidad absoluta: criterio de Nyquist

8.5. Estabilidad relativa: margen de ganancia y margen de fase

8.6. Respuesta en frecuencia utilizando LTI Viewer

PRACTICA NPRACTICA Nºº 8 :8 :

RESPUESTA FRECUENCIAL DE SISTEMASRESPUESTA FRECUENCIAL DE SISTEMAS


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8. 2

8.1. RESPUESTA FRECUENCIAL DE SISTEMAS LINEALES.

Respuesta frecuencial de sistemas lineales :

Si un sistema lineal, invariante y estable, de función de transferencia G(s) , se excita con una entrada senoidal r(t) = A sen ωt , su respuesta en régimen permanente viene dada por una señal senoidal de la misma frecuencia css(t) = B sen ( ωt + ϕ ) ,

)(con amplitud: ωϕ jG = ∠)( ωjGA = B

La respuesta en frecuencia de un sistema se define como la respuesta en régimen permanente a una entrada senoidal de amplitud constante y frecuencia variable

y desfase:

Por tanto, la respuesta en frecuencia queda determinada si se conoce la función de transferencia compleja, )()()()( ωωω

ωjG jGsG= jG js ∠=

= en el rango de frecuencias de interés :

G(s)tsenA = tr ω)( )()( ϕω +tsenB=tcss

)( ωjGA = B)( ωϕ jG= ∠

jG )( ω indicará el factor de amplificación (o atenuación) y el ángulo de desfase)( ωjG∠


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8. 3


Respuesta en frecuencia con MATLAB :

Comando MATLAB Descripciónfreqs(num,den)

freqs(num,den,w)

[G,w]=freqs(num,den)

[G,w]=freqs(num,den,w)

Dibuja la respuesta en frecuencia de un sistema con numerador num y denominador den. Presenta 2 gráficas: la magnitud ( ) frente a la frecuencia en escala logarítmica y otra con el ángulo de desfase( ) en grados frente a la frecuencia también en escala logarítmica

Dibuja la respuesta en frecuencia en el rango de frecuencias especificado en w

Devuelve en una columna la respuesta en frecuencia en forma binómica y en la segunda un conjunto de 200 valores de frecuencia en los que MATLAB computa la respuesta en frecuencia de manera automática

Devuelve la respuesta en frecuencia en forma binómica en el conjunto de frecuencias predefinidas en la variable w

La respuesta en frecuencia se puede obtener mediante el comando freqs.

jG )( ω)( ωjG∠

jG )( ω

jG )( ω


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8. 4


Ejemplo 8.1: Se hace oscilar un motor de cc cuya función de transferencia es

aplicando una entrada senoidal de amplitud 5 Voltios y frecuencia 10 rad/seg en su armadura. Utilizando MATLAB, representar gráficamente la velocidad del motor en el intervalo de tiempo de 0 a 6 segundos, observando la respuesta estacionaria.

12.010)(

+=

ssG


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8. 5


Ejemplo 8.2: Obtener la respuesta en frecuencia del motor de cc del ejemplo 8.1 cuya función de transferencia es

en el intervalo de frecuencias entre 0.1 rad/seg y 1000 rad/seg

12.010)(

+=

ssG

AYUDA: Recordar que la instrucción variable=logspace(a,b,n) define un vector fila de nelementos logarítmicamente espaciados entre 10a y 10b


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8. 6


Ejemplo 8.2: Solución

FACTOR DE AMPLIFICACION

DESFASE


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8. 7


Ejemplo 8.3: La resonancia es el efecto que presentan ciertos sistemas de amplificar notablemente la señal senoidal de entrada, cuando la frecuencia de esta señal de entrada se acerca a la frecuencia resonante propia del sistema.

Dado el sistema de segundo orden:

12.01)( 2 ++

=ss

sG

que presenta una frecuencia de resonancia ω r = 0.99 rad/seg ,

visualizar gráficamente la respuesta del sistema a una entrada senoidal de distintas frecuencias: ω =0.1 rad/seg ; ω=0.8 rad/seg ; ω = 0.99 rad/seg ; ω =3 rad/seg , razonando los resultados obtenidos


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8. 8


Ejemplo 8.3: Solución

ω = 0.1 rad/s

ω = 0.8 rad/s

ω = 0.99 rad/s

ω = 3 rad/s


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8. 9

8.2. DIAGRAMA DE BODE

Consiste en representar dos curvas independientes: en una el módulo , y en otra la fase , en función de la frecuencia.

Diagrama de Bode o logarítmico. Definición:

- Diagrama de módulos : En abcisas se representa la frecuencia en escala logarítmica (en rad/seg). En ordenadas se representa el módulo en decibelios.

Esto tiene la ventaja de transformar productos y divisiones de módulos en sumas y restas.

- Diagrama de fases : En abcisas se representa la frecuencia en escala logarítmica. En ordenadas se representa la fase en grados.

)( ωjG ∠ jG )( ω

jGdB jG )(log20)()( ωω =

Para expresar bandas de frecuencias, utilizaremos la década. Se dice que dos frecuencias yestán separadas una década cuando y n décadas cuando

1ω2ω 12 10ωω = 12 10 ωω n=

1 década 1 década 1 década


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8. 10


Diagrama de Bode :

Comando MATLAB Descripciónbode(num,den)

bode(num,den,w)

bode(sys)

bode(sys,w)

[mag,fase,w]=bode(num,den,w)

Dibuja el diagrama de Bode de un sistema con numerador numy denominador den. Presenta en pantalla un gráfico con la magnitud en decibelios (dB) y la fase en grados frente a la frecuencia en escala logarítmica.

Dibuja el diagrama de Bode en el rango de frecuencias especificado manualmente en w

Dibuja el diagrama de Bode del sistema sys (definido como sys=tf(num,den) )

Dibuja el diagrama de Bode del sistema sys en el rango de frecuencias especificado manualmente en w

No muestra ninguna gráfica en pantalla, sino que devuelve la respuesta en frecuencia del sistema en tres columnas mag, fasey w. Estas matrices contienen las magnitudes y los ángulos de fase de la respuesta en frecuencia del sistema, evaluados en lospuntos de frecuencia w especificados por el usuario. El ángulo de fase se devuelve en grados. La magnitud se puede convertir en decibelios mediante la orden magdB=20*log10(mag)

El diagrama de Bode se puede obtener mediante el comando bode.


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8. 11

8.2. DIAGRAMA DE BODEEjemplo 8.4: Dado el sistema de segundo orden del Ej. 8.2

12.01)( 2 ++

=ss

sGObtener e interpretar el diagrama de Bode


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8. 12


Ejemplo 8.5: Obtener el diagrama de Bode del sistema de función de transferencia

11)( 2 +

=s

sG

Observar que este sistema no tiene amortiguamiento (ξ=0) y su frecuencia natural (y de resonancia) es ωn= 1 rad/s . Puede utilizarse en electrónica como amplificador selectivo, para amplificar una frecuencia determinada


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8. 13


Ejemplo 8.6 : Considérese el sistema de control de nivel de la Figura, representado por el diagrama de bloques:

+

-

CONTROL PID ACTUADOR+PROCESO

sss 12.02 ++

R(s)

2.0

92.145

2 + ss

+

C(s)

Obtener el diagrama de Bode de la función de transferencia en lazo abierto en el rango de frecuencias entre ω=0.01 rad/seg y ω=1000 rad/seg


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8. 14


Ejemplo 8.6 : Solución


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8. 15

Es el lugar geométrico del extremo del vector G(jω) en el plano complejo (parte real en abcisas y

parte imaginaria en ordenadas ), cuando la frecuencia varía desde ω = 0 hasta ω =∞ . Estos

vectores tendrán de módulo y de fase .

Diagrama polar. Definición :

)( ωjG∠ jG )( ω

Re

Im

)( ωjG∠ jG )( ω

8.3. DIAGRAMA POLAR O DE NYQUIST

Se utiliza para el estudio de la estabilidad de

los sistemas realimentados, aplicando el

criterio de Nyquist.

Para ello, debe dibujarse el Trazado de

Nyquist, que es la representación polar de

G(jw)H(jw) incluyendo frecuencias

negativas.


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8. 16


Diagrama de Nyquist :

Comando MATLAB Descripciónnyquist(num,den)

nyquist(num,den,w)

nyquist(sys)

nyquist(sys,w)

[re,im,w]=nyquist(num,den,w)

Dibuja el diagrama de Nyquist del sistema de función de transferencia G(s)=num/den.

Dibuja el diagrama de Nyquist del sistema de función de transferencia G(s)=num/den en el rango de frecuencias especificado en w

Dibuja el diagrama de Nyquist del sistema sys (definido como sys=tf(num,den) )

Dibuja el diagrama de Nyquist del sistema sys (definido como sys=tf(num,den) ) en el rango de frecuencias especificado en w

Devuelve la respuesta en frecuencia del sistema en las columnas re, im y w, pero no muestra ningún gráfico en pantalla. Los vectores columna re y im contienen las partes real e imaginaria de la respuesta en frecuencia del sistema, evaluado en los puntos de frecuencia especificados en el vector w.

El diagrama de Nyquist se puede obtener mediante el comando nyquist.


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8. 17

8.3. DIAGRAMA POLAR O DE NYQUISTEjemplo 8.7 : Considérese el sistema cuya función de transferencia en lazo abierto es

18.01)( 2 ++

=ss

sGObtener el trazado de Nyquist

NOTA: Si se quiere observar únicamente el diagrama polar, deshabilitar la opción Show/NegativeFrequencies en el menú emergente con el botón derecho sobre la figura


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8. 18

Ejemplo 8.8 : Dado el sistema de control de posición, representado por el diagrama de bloques

a) Representar la respuesta en frecuencia en lazo abiertob) Representar el diagrama de Bode en lazo abiertoc) Representar el diagrama polar en lazo abierto

)1(1)()(+

=ss

sHsG

+

-

CONTROL MOTOR CC

)(10

1 + ss 10

101θi θo

REDUCTOR

1.0

en el intervalo de frecuencia entre ω=0.01 rad/seg y ω=10 rad/seg :



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8. 19




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8. 20

8.4. ESTABILIDAD ABSOLUTA: CRITERIO DE NYQUIST

Un sistema en lazo cerrado M(s), de función de transferencia en lazo abierto G(s)H(s), es estable si el número de vueltas N que efectúa el trazado de G(s)H(s) alrededor del punto (-1,0) cuando s describe el contorno de Nyquist es igual a menos el número de polos de G(s)H(s), P, con parte real positiva.

Enunciado del criterio de Nyquist :

Método de aplicación del criterio de Nyquist con MATLAB:

R(s)G(s)

H(s)

+-

C(s)

B(s)

E(s)

1) Dibujar el trazado de Nyquist de la función de transferencia en lazo abierto G(s)H(s) mediante la instrucción nyquist. 2) Contabilizar el número de vueltas que da el trazado al punto (-1+j0) , así como el sentido en que se realizan. Se tomarán de signo positivo si se realizan en sentido horario y de signonegativo en sentido antihorario.3) Aplicar la expresión: Z=N+P , siendo:

Z= número de polos inestables en lazo cerradoN= número total de vueltas del trazado de Nyquist al punto (-1+j0)P= número de polos inestables en lazo abierto

El sistema será estable en lazo cerrado si Z=0 (N=-P)En particular, si el sistema es estable en lazo abierto (P=0), entonces el sistema será estable en lazo cerrado si N=0, es decir si el diagrama polar no rodea al punto (-1+j0)


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8. 21

Ejemplo 8.9 : Sea un sistema con realimentación unitaria con la siguiente función de transferencia en lazo abierto:

Estudiar la estabilidad del sistema en lazo cerrado a partir del criterio de Nyquist


12.01)( 23 +++

=sss

sG


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8. 22

Ejemplo 8.10 : En la figura se muestra un sistema de control de nivel simplificado.

Crear un fichero .m que represente el trazado de Nyquist. Estudiar la estabilidad del sistema en lazo cerrado para K=5 y para K=12


+

-

CONTROL P VALVULA

KR C

DEPOSITO

1 + s 2

11 + s

3

1

1 + s 1

estabnyq.m


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8. 23

Ejemplo 8.10 : Solución para K=5



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8. 24




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8. 25

8.5. ESTABILIDAD RELATIVA: MARGENES DE GANANCIA Y FASE

Al estudiar los sistemas control, no sólo interesa saber si el sistema es o no estable (estabilidad absoluta) sino también hasta qué punto es estable el sistema (estabilidad relativa).Para expresar la proximidad del lugar G(jω)H(jω) al punto -1+j0 se definen 2 índices que miden la distancia de 2 puntos característicos del mencionado lugar al punto crítico: el margen de ganancia y el margen de fase (válidos para sistemas estables en lazo abierto).

El margen de ganancia Mg es el factor en el que es posible aumentar la ganancia del sistema antes de que el sistema en bucle cerrado se haga inestable (el trazado pase por -1+j0 ).

Margen de ganancia

ωf se llama frecuencia de cruce de fase y es la frecuencia de corte del trazado de Nyquist conel eje real negativo, donde Arg(G(jω)H(jω)) = - 180º

:

)()(1

ffg jHjG

Mωω

=

donde :ωf

)()( ff jHjG ωω

-180º

)()( ωω jHjG


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8. 26


ωg se llama frecuencia de cruce de ganancia y es la frecuencia de corte del trazado de Nyquist conla circunferencia de radio unidad en la que se cumple que CG(jω)H(jω)C=1

El margen de fase Mf es el ángulo en grados que puede girar el trazado de Nyquist antes de que el punto de ganancia crítica, en el que CG(jω)H(jω)C=1 , pase por -1+j0.

Margen de fase :

donde :

ωg

)()(º180 ggf jHjG M ωω∠+=

)()( gg jHjG ωω∠f M

R=1

)()( ωω jHjG


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8. 27


Margen de ganancia y margen de fase con MATLAB :

Comando MATLAB Descripciónmargin(num,den)

margin(sys)

[Gm,Pm,wcg,wcf]=margin(sys)

Dibuja la representación del diagrama de Bode del sistema con función de transferencia en lazo abierto G(s)H(s)=num/den, calcula los valores de los márgenes de ganancia (Gm) y fase (Pm) y proporciona una indicación, mediante líneas verticales de las frecuencias donde se obtiene cada uno de los márgenes. Estas son las llamadas frecuencias de cruce de ganancia y de fase.

Dibuja el diagrama de Bode, calcula los márgenes de ganancia (Gm) y de fase (Pm) e indica las frecuencia de cruce de ganancia y fase del sistema en lazo abierto sys (definido como sys=tf(num,den) )

Proporciona los valores del margen de ganancia Gm, margen de fase Pm y las frecuencias de cruce de ganancia wcg y de fase wcf, para el sistema en lazo abierto sys

Los márgenes de ganancia y fase se pueden obtener mediante el comando margin.


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8. 28

Ejemplo 8.11 : Sea un sistema con realimentación unitaria con la siguiente función de transferencia en lazo abierto:

Estudiar la estabilidad relativa del sistema en lazo cerrado calculando los márgenes de ganancia y fase

)15.025.0)(110(1)( 2 +++

=ssss

sG



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8. 29




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8. 30

Ejemplo 8.12 : Estudiar la estabilidad relativa del sistema de control de la Figura en función de la ganancia K. Particularizar para K=2 y K=10

Crear un fichero .m que calcule el margen de ganancia y el margen de fase

+

-

CONTROL P ACTUADOR

KR C

PLANTA

1 + s

5.01

)2.0(1

1 + ss

margengf.m



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8. 31




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8. 32




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8. 33

8.6. RESPUESTA EN FRECUENCIA UTILIZANDO LTI VIEWER

El LTI Viewer (ver práctica 6.5) es una interfaz gráfica de usuario (GUI) incluida en el Control System Toolbox para analizar la respuesta de sistemas LTI, ya sea de forma temporal o frecuencial. Permite representar hasta 6 tipos diferentes de gráficos a la vez:

En el dominio del tiempo, incluye respuestas ante escalón unitario (step), impulso (impulse) y cualquier entrada arbitraria con lsim. Además, proporciona el mapa de polos y ceros(pzmap).

En el dominio de la frecuencia, dibuja diagramas de Bode, Nyquist y Nichols.

Para cargar el LTI Viewer se escribe:>> ltiviewen la línea de comandos de Matlab


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8. 34

8.6. RESPUESTA EN FRECUENCIA UTILIZANDO LTI VIEWER

Ejemplo 8.13 : Dado el sistema de control de la figura, dibujar el diagrama polar yel diagrama de Bode en lazo abierto simultáneamente utilizando el LTI Viewer

+

-

CONTROL P ACTUADOR

10R C

SISTEMA

5.01 + s

1.0

1 + s

21.0 + s

Se puede resolver de 2 maneras:

1) Utilizando el comando >> ltiview ({‘tipo de gráfica1’,’tipo de gráfica2’,…} ,sys)

2) Utilizando la interfaz del LTI Viewer. Para ello hay que seguir los siguientes pasos:- cargar el LTI Viewer, con el comando MATLAB >> ltiview- importar el sistema a representar (función de transferencia en lazo abierto) mediante

la opción de menú File/Import…- configurar el número de gráficos a representar y su tipo mediante la opción de menúEdit/Plot Configurations … seleccionando Nyquist y Bode


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8. 35

8.6. RESPUESTA EN FRECUENCIA UTILIZANDO LTI VIEWEREjemplo 8.13 : Solución

NOTA: Pulsando con el botón derecho sobre cada figura se obtiene un menúemergente en el que se pueden seleccionar diferentes opciones

practica 8 respuesta frecuencial

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