INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA UNIDAD ZACATENCO

INGENIERÍA EN CONTROL Y AUTOMATIZACIÓN

PROFESOR: RICARDO HURTADO RANGEL

29/Octubre/2015

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Practica No. 3 “RESPUESTA DE SISTEMAS DE 2do.

ORDEN”TEORÍA DEL CONTROL I

Grupo 5AM4Equipo 3

Integrantes:Martínez García Abner JoséOrtiz Mena DanielOrtiz Ortiz Daniel

OBJETIVOEl alumno resolverá sistemas de segundo orden y analizara sus graficara ante una entrada de prueba, practicara los comandos para las funciones de transferencias, resolverá lazos de control abiertos y cerrados a través de simulink y comparara las gráficas de los sistemas realizados.

MARCO TEÓRICORespuesta escalón de sistemas de segundo orden. La función de transferencia en lazo cerrado es:

C ( s )R (s)

= KJs2+Bs+K

(3-1)

Que puede reescribirse como

C ( s)R (s)

=

KJ

⌊s+ B2J +√( B2J )2

−KJ ⌋ [s+ B2 J +√( B2 J )

2

−KJ ] (3-2)

Los polos en lazo cerrado son complejos si B2 – 4JK<0, y son reales si B2 – 4JK ≥ 0. En el análisis de la respuesta transitoria, es conveniente escribir

KJ

=ωn2 BJ=2 λωn=2σ

Donde σ se denomina atenuación; wn, frecuencia natural no amortiguada, y λ, factor de amortiguamiento relativo del sistema. El factor de amortiguamiento relativo ℒ es el cociente entre el amortiguamiento real B y el amortiguamiento crítico Bc =2 √JK o bien

ζ= BBc

= B2√JK

Sistema de Segundo Orden.

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Curvas de respuesta a escalón unitario de un sistema de segundo orden variandoζ .

Definiciones de las especificaciones de respuesta transitoria. En muchos casos prácticos, las características de desempeño deseadas del sistema de control se especifican en términos de cantidades en el dominio del tiempo. Los sistemas que pueden almacenar energía no responden instantáneamente y exhiben respuestas transitorias cada vez que están sujetos a entradas o perturbaciones.

Con frecuencia, las características de desempeño de un sistema de control se especifican en términos de la respuesta transitoria para una entrada escalón unitario, dado que ésta es fácil de generar y es suficientemente drástica. (Si se conoce la respuesta a una entrada escalón, es matemáticamente posible calcular la respuesta para cualquier entrada.)

La respuesta transitoria de un sistema para una entrada escalón unitario depende de las condiciones iniciales. Por conveniencia al comparar respuestas transitorias de varios sistemas, es una práctica común usar la condición inicial estándar de que el sistema está en reposo al inicio, por lo cual la salida y todas las derivadas con respecto al tiempo son cero. De este modo, las características de respuesta se comparan con facilidad.

La respuesta transitoria de un sistema de control práctico exhibe con frecuencia oscilaciones amortiguadas antes de alcanzar el estado estable. Al especificar las características de la respuesta transitoria de un sistema de control para una entrada escalón unitario, es común especificar lo siguiente:

1. Tiempo de retardo, td2. Tiempo de levantamiento, tr3. Tiempo pico, tp4. Sobrepaso máximo, Mp5. Tiempo de asentamiento, ts

Estas especificaciones se definen enseguida y aparecen en forma gráfica en la figura 3-1.1. Tiempo de retardo, td: el tiempo de retardo es el tiempo requerido para que la

respuesta alcance la primera vez la mitad del valor final.

2. Tiempo de levantamiento, tr: el tiempo de levantamiento es el tiempo requerido para que la respuesta pase del 10 al 90%, del 5 al 95% o del 0 al 100% de su valor

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final. Para sistemas subamortiguados de segundo orden, por lo común se usa el tiempo de levantamiento de 0 a 100%. Para sistemas sobreamortiguados, suele usarse el tiempo de levantamiento de 10 a 90%.

Figura 3-1. Curva de respuesta escalón unitario en la que se muestran td,tr,tp,mp,ts.

3. Tiempo pico, tp: el tiempo pico es el tiempo requerido para que la respuesta alcance el primer pico del sobrepaso.

4. Sobrepaso máximo (porcentaje), Mp el sobrepaso máximo es el valor pico máximo de la curva de respuesta, medido a partir de la unidad. Si el valor final en estado estable de la respuesta es diferente de la unidad, es común usar el porcentaje de sobrepaso máximo. Se define mediante

Porcentaje de sobrepaso máximo =c ( tp )−c (∞)c (∞ ) x 100%

La cantidad de sobrepaso máximo (en porcentaje) indica de manera directa la estabilidad relativa del sistema.

5. Tiempo de asentamiento, ts: el tiempo de asentamiento es el tiempo que se requiere para que la curva de respuesta alcance un rango alrededor del valor final del tamaño especificado por el porcentaje absoluto del valor final (por lo general, de 2 a 5%) y permanezca dentro de él. El tiempo de asentamiento se relaciona con la mayor constante de tiempo del sistema de control. Los objetivos del diseño del sistema en cuestión determinan cuál criterio de error en porcentaje usar.

Los sistemas de segundo orden continuos son aquellos que responden a una ecuación diferencial línea de segundo orden

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a0d2c ( t )dt 2

+a1dc ( t )dt

+a2c ( t )=b0d2r ( t )dt 2

+b1dr ( t )dt

+b2r ( t )

Sin pérdida de generalidad se analizará un caso muy común donde:

Que corresponde al siguiente sistema de segundo orden

Donde

K es una constante que representa una ganancia. P es una constante real que representa al polo del sistema

Su función de transferencia de lazo cerrado es

Como se aprecia, los polos de lazo cerrado pueden ser de tres tipos

Reales diferentes si , 2. Reales iguales si: Complejos si

Para facilitar el análisis se realiza el siguiente cambio de variables

Forma estándar del sistema de segundo orden.

donde es la frecuencia natural no amortiguada, se denomina atenuación, es el factor de amortiguamiento. Ahora el comportamiento dinámico del sistema de segundo orden se describe en términos de los parámetros y

Se analizará la respuesta transitoria ante una entrada escalón unitario:

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a0=1, a1=p , a2=b2=K , b0=b1=0 .

C( s )R( s)

= Ks2+ps+K

C( s )R( s)

= K

(s+ p2 +√ p2

4−K )(s+ p2 −√ p2

4−K )

p2

4>K p2

4<K

p2

4=K

p=2ζωn=2σK=ωn2

C( s )R( s)

=ωn

2

s2+2 ζωns+ωn2

(1) Caso subamortiguado : en este caso se escribe

donde se denomina fracuencia natural amortiguada. Si es una entrada escalón, entonces

Se obtiene la salida en el tiempo

2) Caso de amortiguamiento crítico

en este caso se tienen dos polos reales iguales y C(s) ante un escalón es

(3) Caso sobreamortiguado :

en este caso se tienen dos polos reales negativos y diferentes. Para una entrada escalón, es

La transformada inversa de Laplace de la ecuación anterior es

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C( s )R( s)

=ωn

2

(s+ζωn+ jωd)( s+ζωn− jωd )

C (s )/R( s )(0<ζ<1)

R( s )ωd=ωn√1−ζ 2

C (s )=ωn

2

( s2+2ζωns+ωn2 )s

c ( t ) =1− e−ζωn t

√1−ζ 2sen(ωd t+tan−1 √1−ζ 2

ζ ) ( t≥0 )

(ζ=1)

C (s )=ωn

2

( s+ωn )2 s

c ( t )=1−e−ωn t (1+ωn t ) ( t≥0)

(ζ>1 )

C (s )=ωn

2

( s+ζωn+ωn√ζ2−1)( s+ζωn−ωn √ζ 2−1 )s

c ( t )=1+12√ζ2−1(ζ+√ζ 2−1 )

e−( ζ+√ζ 2−1)ωn t

−12√ζ2−1(ζ−√ζ2−1)

e−( ζ+√ ζ2−1 )ωn t

Figura. Respuesta al impulso de diferentes sistemas de segundo orden.

Sistemas de Orden superiorRespuesta transitoria de los sistemas de orden superior. La función de transferencia en lazo cerrado es

C(s)R(s)

=G(s)

1+G8 s¿H (S)¿ (5-1)

En general, G(s) y H(s) se obtienen como cocientes de polinomios en s, o bien,

G(s) =P (s )q (s)

H(s) =n(s)d (s )

en dondep(s), q(s),n(s) y d(s) son polinomios en s. A continuación, la función de transferenciaen lazo cerrado obtenida con la ecuación (5-1) se escribe como

figura 5-22 sistema de control

Si todos los polos en lazo cerrado se encuentran en el semiplano izquierdo del plano s, las magnitudes relativas de los residuos determinan la importancia relativa de los componentes en la forma expandida de C(s). Si hay un cero en lazo cerrado cerca de un polo en lazo cerrado, el residuo en este polo es pequeño y el

sa1

ca1

02.0

4.0

7.0

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coeficiente del término de respuesta transitoria que corresponde a este polo se vuelve pequeño. Un par polo-cero

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