vii circuitos de segundo orden · o definir y analizar la respuesta natural de un circuito rlc ......

Circuitos Eléctricos I Circuitos de Segundo Orden

C.R. Lindo Carrión 195

VII Circuitos de Segundo Orden Objetivos:

o Definir y analizar la respuesta natural de un circuito RLC o Identificar y reconocer el tipo de respuesta del circuito RLC a través de las

raíces de la ecuación característica de la red o Definir y analizar la respuesta completa de un circuito de segundo orden o Discutir la respuesta de un circuito de segundo orden a una función exponencial

y senoidal Introducción En este capítulo estudiaremos los circuitos que contiene dos elemento almacenadores de energía diferentes, como son una bobina y un capacitor y veremos que estos circuitos son descritos por una ecuación diferencial de segundo orden, también encontraremos la respuesta natural, forzada y completa de éstos circuitos. Comenzaremos nuestro estudio con dos ejemplos clásicos, para llegar obtener la ecuación básica del circuito. 7.1 Ecuación del circuito básico de los circuitos de segundo orden Para comenzar nuestro desarrollo, los dos circuitos básicos que se muestran en la Figura 7.1.1 Para comenzar nuestro análisis vamos a suponer que la energía puede ser almacenada inicialmente en la bobina y en el capacitor. La ecuación para el circuito RLC paralelo se obtiene de aplicar LKC al nodo de arriba:

iR + iL+iC = is(t), es decir: )()()()(1)(0

0

tidt

tdvCtidxxvLR

tvsL

t

t=+++ ∫

De manera similar, la ecuación para el circuito RLC serie se puede obtener aplicando LKV a la malla existente:

vR + vC+vL = vs(t), es decir: )()()()(10

0

tvdt

tdiLtvdxxiC

iR sC

t

t=+++ ∫

Note que la ecuación para el voltaje nodal del circuito RLC paralelo es de la forma que la de la corriente de malla del circuito RLC serie. Por tanto la solución de esos circuitos

is(t) R L C

v(t)

iL(t0)

vs(t)

LR

C

vC(t0) i(t) + -

Figura 7.1.1 (a) (b)



depende de que se resuelva una ecuación. Si ambas ecuaciones anteriores se derivan con respecto al tiempo, obtenemos:

dttdi

Ltv

dttdv

RdttvdC s )()()(1)(

2

2

=++ , que podemos expresarla como:

dttdi

CLCtv

dttdv

RCdttvd s )(1)()(1)(

2

2

=++ y

dttdv

Cti

dttdiR

dttidL s )()()()(

2

2

=++ , que podemos expresarla como:

dttdv

LLCti

dttdi

LR

dttid s )(1)()()(

2

2

=++

Como ambos circuitos conducen a una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes, vamos a concentrar nuestro análisis en este tipo de ecuación. 7.2 Solución a la ecuación diferencial de segundo orden Vamos a emplear el mismo método que hicimos con los circuitos de primer orden para obtener la solución de la ecuación diferencial de segundo orden que resulta del análisis de los circuitos RLC. De manera general, en este caso tenemos una ecuación de la forma:

)()()()(212

2

tftxadt

tdxadt

txd=++

Para f(t) ≠ 0 vamos a tener dos respuestas: la respuesta forzada xf(t) y la respuesta natural xn(t), entonces la solución completa de la ecuación original es: x(t) = xf(t) + xn(t) Si, por el momento nos limitamos a una función de forzamiento constante (es decir, f(t) = A), entonces la respuesta forzada se puede calcular sustituyendo xf(t) = K (donde K es una constante) en la ecuación diferencial de segundo orden, obtenemos el valor de la respuesta forzada como sigue:

AKadtdKa

dtKd

=++ 212

2

, se obtiene K = A/a2 = xf(t), por tanto la solución total será:

x(t) = A/a2 + xn(t) Ahora para encontrar la respuesta natural, hacemos la ecuación diferencial de segundo orden igual cero:



0)()()(

212

2

=++ txadt

tdxa

dttxd

nnn , donde a1 y a2 son constantes. Por conveniencia y

simplicidad rescribimos la ecuación diferencial de la siguiente forma:

0)()(

2)( 2

2

2

=++ txdt

tdxdt

txdnn

nn

n ωζω , donde hemos hechos las siguientes sustituciones

simples para las constantes a1 = 2ζω y a2 = ωn2.

Haciendo las mismas consideraciones hechas en el caso de la ecuación de primer orden, la solución de la ecuación homogénea debe ser una función cuyas derivadas de primero y segundo orden tienen la misma forma, de modo que el lado izquierdo de la ecuación homogénea se hará idénticamente cero para todo t. Suponemos una solución exponencial para la respuesta natural, xn(t) = Kst y sustituimos está expresión en la ecuación homogénea, para obtener: s2Kst + 2ζωnsKst + ωn

2Kst = 0, Dividiendo ambos lados de la ecuación entre Kst se obtiene: s2 + 2ζωns + ωn

2 = 0 Esta ecuación comúnmente se llama ecuación característica; ζ se llama razón o coeficiente de amortiguamiento y a ωn se le llama frecuencia resonante no amortiguada. La importancia de ésta terminología se hará clara conforme avancemos con el desarrollo de este análisis. Si ésta ecuación se satisface, nuestra solución supuesta xn(t) = Kst es correcta. Empleando la fórmula cuadrática, encontraremos que la ecuación característica se satisface si:

12

442 2222

−±−=−±−

= ζωζωωωζζω

nnnnns

Por lo tanto hay dos valores de s, s1 y s2 que satisfacen la ecuación característica

121 −+−= ζωζω nns y 12

2 −−−= ζωζω nns Esto significa que ts

c eKtx 111 )( = es una solución de la ecuación homogénea y que

tsc eKtx 2

22 )( = también es una solución a la ecuación homogénea; es decir,

0)(2)( 1111

211

2

=++ tsn

tsn

ts eKeKdtdeK

dtd ωζω y

0)(2)( 2222

222

2

=++ tsn

tsn

ts eKeKdtdeK

dtd ωζω



La suma de estas dos ecuaciones produce la igualdad

0)()(2)( 21212121

22121

2

=+++++ tstsn

tstsn

tsts eKeKeKeKdtdeKeK

dtd ωζω

Es importante advertir que la suma de las dos soluciones también es una solución. Por lo tanto, en general, la solución complementaria de la ecuación homogénea es de la forma:

tstsn eKeKtx 21

21)( += Donde K1 y K2 son constantes que pueden ser evaluadas vía las condiciones iniciales x(0) y dx(0)/dt. Por ejemplo ya que:

tsts eKeKtx 2121)( += , entonces, x(0) = K1 + K2 y 2211

0

)0()( KsKsdt

dxdt

tdxt

+===

De aquí, x(0) y dx(0)/dt producen dos ecuaciones simultáneas, que cuando se resuelven dan las constantes K1 y K2. 7.3 Respuesta natural de los circuitos de segundo orden Un examen minucioso de las ecuaciones s1 y s2 indica que la forma de la solución de la ecuación homogénea depende del valor de ζ. Por ejemplo, si ζ > 1, las raíces de la ecuación característica s1 y s2, también llamadas frecuencias naturales debido a que determinan la respuesta natural de la red, son reales y diferentes; si ζ < 1, las raíces son números complejos; y finalmente, si ζ = 1,, las raíces son reales e iguales. Cada uno de esos casos es muy importante; por lo tanto, examinaremos ahora cada uno con algún detalle. 7.3.1 Respuesta sobre amortiguada Veamos el caso, donde ζ > 1, en este caso a la solución se le llama respuesta sobre amortiguada. Las frecuencias naturales s1 y s2 son reales y diferentes, por tanto, la respuesta natural de la red descrita por la ecuación diferencial de segundo orden es de la forma:

tstsn eKeKtx 21

21)( += , donde s1 y s2 toman los valores:

121 −+−= ζωζω nns y 12

2 −−−= ζωζω nns Donde K1 y K2 se encuentran de las condiciones iniciales. Esto indica que la respuesta natural es la suma de dos exponenciales decrecientes. 7.3.2 Respuesta Subamortiguada



Ahora consideremos el caso en que ζ < 1, en este caso a la solución se le llama respuesta subamortiguada. Como ζ < 1, las raíces de la ecuación característica dada pueden escribirse como:

dnn jjs ωσζωζω +−=−+−= 21 1

dnn jjs ωσζωζω −−=−−−= 21 1

Donde 1−=j , nζωσ = y 21 ζωω −= nd . Así las frecuencias naturales son números complejos. La respuesta natural es entonces:

tjtjn

dd eKeKtx )(2

)(1)( ωσωσ +−−− += , que se puede escribir como:

)()( 21

tjtjtn

dd eKeKetx ωωσ −− += Utilizando las identidades de Euler

θθθ jsene j ±=± cos , obtenemos:

)(cos)(cos[)( 21 tjsentKtjsentKetx ddddt

n ωωωωσ −++= − , reduciendo esto tenemos:

])(cos)[()( 2121 tsenjKjKtKKetx ddt

n ωωσ −++= − , que lo podemos escribir como:

)cos()( 21 tsenAtAetx ddt

n ωωσ += − Donde A1 y A2 como K1 y K2 son constantes que se evalúan usando las condiciones iniciales x(0) y dx(0)/dt. Si xn(t) es real, K1 y K2 serán complejos y K2 = K1

*. A1 = K1 +

K2 es, por tanto, dos veces la parte real de K1 y A2 = jK1 - jK2, es dos veces la parte imaginaria de K1. A1 y A2 son números reales. Esto ilustra que la respuesta natural es una respuesta oscilatoria exponencialmente amortiguada. 7.3.3 Respuesta críticamente amortiguada Por último el caso en que ζ = 1, en este caso a la solución se le llama respuesta críticamente amortiguada. Como ζ = 1, la parte del radical de las raíces s1 y s2 se hacen cero y esto genera: s1 = s2 = -ζωn. Por consiguiente 3( ) nt

nx t K e ζω−= donde K3 = K1 + K2. Sin embargo esta no puede ser una solución a la ecuación diferencial de segundo orden, debido a que en general no es posible satisfacer las dos condiciones iniciales x(0) y dx(0)/dt con la única constante K3. En el caso donde la ecuación característica tiene raíces repetidas, puede obtenerse una solución de la siguiente manera. Si se sabe que x1(t) es una solución de la ecuación homogénea de segundo orden, entonces vía la sustitución x(t) = x1(t)y(t) podemos



transformar la ecuación diferencial dada en una ecuación de primer orden en dy(t)/dt. Como esta ecuación resultante es sólo una función de y(t), puede resolverse para encontrar la solución general x(t) = x1(t)y(t) Para nuestro caso, s1 = s2 = - ζωn. Por simplicidad hacemos α = ζωn, y, de aquí, la ecuación básica es:

0)()(

2)( 2

2

2

=++ txdt

tdxdt

txdn

nn αα y una solución conocida es teKtx α−= 31 )(

Empleando la sustitución x2(t) = x1(t)y(t) = K3-αty(t), la ecuación cuadrática se convierte en

0)()]([2)]([ 32

332

2

=++ −−− tyeKtyeKtyeKdtd ttt ααα αα

Evaluando las derivadas obtenemos:

dttdyeKtyeKtyeK

dtd ttt )()()]([ 333

ααα α −−− +−=

2

2

3332

32

2 )()(2)]([)]([dt

tydeKdt

tdyeKtyeKtyeKdtd tttt αααα αα −−−− +−=

Si sustituimos esas expresiones en la ecuación precedente se obtiene:

0)(2

2

3 =−

dttydeK tα . Por lo tanto 0)(

2

2

=dt

tyd , y de aquí,

y(t) = A1 + A2t. Por ende la solución general es: x2(t) = x1(t)y(t) = K3-αt(A1 + A2t), la cual puede escribirse como:

ttn

nn teBeBtxtx ζωζω −− +== 212 )()( , donde B1 + B2 son constantes derivadas de las condiciones iniciales. La Figura 7.3.1 ilustra gráficamente los tres casos para las situaciones en las que xn(0) = 0. Advertimos que la respuesta críticamente amortiguada tiene un pico y decae más rápido que la respuesta sobre amortiguada. La respuesta subamortiguada es una senoide exponencialmente amortiguada cuya velocidad de decaimiento depende del factor ζ. En realidad los términos nte ζω−±

0

Críticamente amortiguado

xn(t)

Sobre amortiguado

t

0

-αt

Subamortiguado xn(t)

t

Figura 7.3.1



definen lo que se llama la envolvente de la respuesta, y las oscilaciones amortiguadas (es decir, las oscilaciones de amplitud decreciente) exhibidas por la forma de onda de la figura se llaman oscilaciones amortiguadas. Analizaremos ahora una serie de ejemplos de circuitos RLC simples que contienen condiciones iniciales diferentes de cero y funciones forzantes constantes, considerando circuitos que exhiben respuestas sobre amortiguadas, subamortiguadas y críticamente amortiguada. Ejemplo 7.3.1 Considere el circuito paralelo de la Figura 7.3.2, con R = 2Ω, C =1/5 F, y L = 5H, con condiciones iniciales iL(0) = -1A y vC(0) = 4V. Encuentre el voltaje v(t). Solución: Primero tenemos que obtener la ecuación diferencial de segundo orden, en este caso aplicando LKC. iR + iL + iC = 0, sustituyendo por la ley del elemento de cada uno de ellos, obtenemos:

0)()()(1)(0

0

=+++ ∫ dttdvCtidxxv

LRtv

L

t

t, derivando esta expresión con respecto al

tiempo y reacomodando la expresión, se obtiene:

0)()(1)(2

2

=++LC

tvdt

tdvRCdt

tvd

Sustituyendo los valores de R, L y C en la ecuación diferencial, obtenemos:

0)()(5.2)(2

2

=++ tvdt

tdvdt

tvd

Entonces la ecuación característica será: s2 + 2.5s + 1 = 0 y aplicando la fórmula cuadrática obtenemos las raíces: s1 = -2 y s2 = -0.5 Como las raíces son reales y diferentes la respuesta del circuito es sobre amortiguado y v(t) será de la forma: v(t) = K1-2t + K2-0.5t Sin embargo otra alternativa para llegar a concluir el tipo de respuesta es: comparamos la expresión:

RL C

iL(0)

vC(0)

v(t)

+

-

Figura 7.3.2



0)()(1)(2

2

=++LC

tvdt

tdvRCdt

tvd , con la expresión:

0)()(

2)( 2

2

2

=++ txdt

tdxdt

txdnn

nn

n ωζω , y quitando la variable v(t) que buscamos,

obtenemos la ecuación característica del circuito: s2 + 2ζωns + ωn

2 = 0, donde 2ζωn = 1/RC y ωn2 = 1/LC, se obtiene que el coeficiente de

amortiguamiento es CL

R21

=ζ y la frecuencia resonante es LCn1

=ω

y sustituyendo los valores de los componentes obtenemos: ζ = 1.25 y ωn = 1 rad/s Como: ζ > 1 entonces la respuesta será sobre amortiguada. Procedemos a encontrar las raíces usando la fórmula cuadrática, de la ecuación característica, como fue encontrado anteriormente s1 = -2 y s2 = -0.5, y la solución toma la forma: v(t) = K1-2t + K2-0.5t Las condiciones iniciales se emplean ahora para determinar las constantes K1 y K2. Como v(t) = vC(t) entonces: vC(0) = v(0) = K10 + K20 = K1 + K2 = 4. La segunda ecuación necesaria para determinar = K1 y K2 normalmente se obtiene de la expresión:

tt eKeKdt

tdv 5.02

21 5.02)( −− −−=

Sin embargo, la segunda condición inicial es dv(0)/dt. Tenemos que encontrar esta derivada y evaluarla en t(0), no obstante podemos notar que de la ecuación nodal inicial podemos despejar dicha derivada, así:

0)()()(=++

dttdvCti

Rtv

L , que al despejar tenemos: C

titvRCdt

tdv L )()(1)(−−=

Y evaluándola para t = 0, obtenemos: 5)1(5)4(5.2)0()0(1)0(−=−−−=−−=

Civ

RCdtdv L ,

entonces formamos la otra ecuación que nos hacia falta

55.02)0( 02

01 −=−−= eKeK

dtdv . El sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

formado es:

55.02 21 −=−− KK K1 + K2 = 4. Multiplicando ésta ecuación por 2 y efectuando la resta de ambas se obtiene:



-2K1 – 0.5K2 = -5 2K1 + 2K2 = 8 (3/2) K2 = 3 así K2 = 2 y K1 = 4 - K2 = 4, entonces K1 =2 Por lo tanto v(t) es: v(t) = 2-2t + 2-0.5t La gráfica del voltaje con respecto al tiempo se muestra en la Figura 7.3.3 y La corriente n la bobina se relaciona con v(t) mediante la ecuación

∫+= dttvL

iti LL )(1)0()( , entonces sustituyendo el valor de v(t) obtenemos:

dteeti ttL ]22[

511)( 5.02 −−∫ ++−= ,

por lo tanto la corriente en la bobina será:

Aeeti ttL

5.02

54

511)( −− −−−=

Ejemplo 7.3.2 El circuito RLC serie que se muestra en la Figura 7.3.4 tiene los siguientes parámetros: C = 0.04F, L = 1H, R = 6Ω, iL(0) = 4A y vC(0) = -4V. Determinemos la expresión para la corriente en la bobina y el voltaje en el capacitor. Solución: Primero tenemos que obtener la ecuación diferencial de segundo orden, en este caso aplicando LKV. vR + vL + vC = 0, sustituyendo por la ley del elemento de cada uno de ellos, obtenemos:

0)()(1)()( 00

=+++ ∫ tvdxxiCdt

tdiLtiR C

t

t, derivando esta expresión con respecto al

tiempo y reacomodando la expresión, se obtiene:

0)()()(2

2

=++LC

tidt

tdiLR

dttid

Sustituyendo los valores de R, L y C en la ecuación diferencial, obtenemos:

0)(25)(6)(2

2

=++ tidt

tdidt

tid

Entonces la ecuación característica será:

0

4

t (s)

v(t) (V)

1 2 3

0.6

Figura 7.3.3

RL

vC(0)C

iL(0)

R

i(t)

Figura 7.3.4



s2 + 6s + 25 = 0 y aplicando la fórmula cuadrática obtenemos las raíces: s1 = -3 +j4 y s2 = -3 – j4 Como las raíces son complejas conjugadas entonces la respuesta del circuito es submortiguada e i(t) será de la forma: i(t) = A1-3tcos4t + A2-3tsen4t Sin embargo otra alternativa para llegar a concluir el tipo de respuesta es: comparamos la expresión:

0)()()(2

2

=++LC

tidt

tdiLR

dttid , con la expresión:

0)()(

2)( 2

2

2

=++ txdt

tdxdt

txdnn

nn

n ωζω , y quitando la variable i(t) que buscamos,

obtenemos la ecuación característica del circuito: s2 + 2ζωns + ωn

2 = 0, donde 2ζωn = R/L y ωn2 = 1/LC, se obtiene que el coeficiente de

amortiguamiento es LCR

2=ζ y la frecuencia resonante es

LCn1

=ω

y sustituyendo los valores de los componentes obtenemos: ζ = 0.6 y ωn = 5 rad/s Como: ζ < 1 entonces la respuesta será subamortiguada. Procedemos a encontrar las raíces usando la fórmula cuadrática, de la ecuación característica, como fue encontrado anteriormente s1 = -3 + j4 y s2 = -3 – j4, Y la solución toma la forma: i(t) = A1-3tcos4t + A2-3tsen4t Empleamos ahora las condiciones iniciales para encontrar los valores de A1 y A2. Como i(t) = iL(t) entonces: iL(0) = i(0) = A10cos0 + A20sen0 = 4, entonces obtenemos A1 = 4 La segunda ecuación necesaria para determinar = A1 y A2 normalmente se obtiene de la expresión:

3 3 3 31 1 2 2

( ) 4 4 3 cos 4 4 cos 4 3 4t t t tdi t Ae sen t Ae t A e t A e sen tdt

− − − −= − − + − Y así

0 0 0 0

1 1 2 2(0) 4 0 3 cos 0 4 cos 0 3 0di Ae sen Ae A e A e sendt

= − − + −



21 43)0( AAdt

di+−=

Sin embargo, la segunda condición inicial es di(0)/dt. Tenemos que encontrar esta derivada y evaluarla en t(0), no obstante podemos notar que de la ecuación de malla inicial podemos despejar dicha derivada, así:

0)()()( =++ tvdt

tdiLtiR C , que al despejar obtenemos:

)()()( ti

LR

Ltv

dttdi C −−= , que evaluado en t = 0 se obtiene:

20416

14)0(

)0()0(−=−=−−= i

LR

Lv

dtdi C

Por lo tanto 2043 21 −=+− AA y como A1 = 4, entonces A2 = -2, así la expresión para i(t) es: i(t) = 4-3tcos4t - 2-3tsen4t A Ahora el voltaje en el capacitor puede determinarse vía la LKV usando la corriente encontrada:

dttdiLtiRtvC)()()( −−= , entonces

sustituimos el valor de i(t) y obtenemos: vC(t) = -24-3tcos4t + 12-3tsen4t +16-3tsen4t + 12-3tcos4t + 8-3tcos4t - 6-3tsen4t vC(t) = -4-3tcos4t + 22-3tsen4t V. La gráfica del voltaje se muestra en la Figura 7.3.5 Ejemplo 7.3.3 Para el circuito mostrado en la Figura 7.3.6 se pide encontrar el valor de v(t) e i(t), sabiendo que: R1 = 10Ω, R2 = 8Ω, C = 1/8F, L = 2H, vC(0) = 1V, iL(0) = 1/2A Solución: Primero encontraremos v(t) y luego i(t). Para v(t), necesitamos encontrar la ecuación diferencial que describe al circuito, para ello es necesario aplicar una combinación de leyes para encontrarla. Primero usaremos la LKV a la malla de la izquierda, así:

0

-4

t (s)

vC (V)

0.3 0.5 1 1.5

8

Figura 7.3.5

R1

R2C

L

i(t)

v(t) +

iL(0)

- vC(0)

Figura 7.3.6



vL + vR1 + v(t) = 0 y sustituyendo obtenemos:

0)()()(1 =++ tvtiR

dttdiL (1)

Ahora aplicamos LKC al nodo entre R1 y R2, para obtener:

i(t) = iC + iR2 y sustituyendo obtenemos: 2

)()()(R

tvdt

tdvCti += (2)

Sustituyendo la ecuación (2) en la ecuación (1) y reacomodando, obtenemos:

0)()(1)(

2

211

22

2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++ tv

LCRRR

dttdv

LR

CRdttvd

Sustituyendo por los valores de los componentes, se obtiene:

0)(9)(6)/2

2

=++ tvdt

tdvdt

tvd

Entonces la ecuación característica será: s2 + 6s + 9 = 0 y aplicando la fórmula cuadrática obtenemos las raíces: s1 = s2 = -3 Como las raíces son reales e iguales entonces la respuesta del circuito es críticamente amortiguada y v(t) será de la forma: v(t) = B1-3t + B2t-3t Empleamos ahora las condiciones iniciales para encontrar los valores de B1 y B2. Como v(t) = vC(t) entonces: vC(0) = v(0) = B10 + B2(0)0 = 1, entonces obtenemos B1 = 1 La segunda ecuación necesaria para determinar = B1 y B2 normalmente se obtiene de la expresión:

3 3 31 2 2

( ) 3 3t t tdv t B e B e B tedt

− − −= − + − , y evaluándola en t = 0, se obtiene:

0 0 0

1 2 2(0) 3 3 (0)dv B e B e B e

dt= − + −

213)0( BBdt

dv+−=



Sin embargo, la segunda condición inicial es dv(0)/dt. Tenemos que encontrar esta derivada y evaluarla en t(0), no obstante podemos notar que de la ecuación (2) que del análisis nodal inicial podemos despejar dicha derivada, así:

CRtv

Cti

dttdv

2

)()()(−= , evaluando para t = 0,

38/8

18/12/1)0()0()0(

2

=−=−=CR

vC

idt

dv

Por lo tanto -3B1 + B2 = 3 y como B1 = 1, entonces B2 = 6, así la expresión para v(t) es: v(t) = -3t + 6t-3t V. La gráfica del voltaje se muestra en la Figura 7.3.7 Entonces la corriente i(t) puede determinarse de la ecuación (2) del análisis nodal inicial, así:

2

)()()(R

tvdt

tdvCti += , sustituyendo el valor de v(t) en dicha ecuación, obtenemos:

i(t) = (1/8)(-3-3t + 6-3t – 18t-3t) + (1/8)( -3t + 6t-3t) i(t) = (1/2)-3t – (3/2)t-3t A 7.4 Respuesta Forzada y Completa de Circuitos de Segundo Orden Una vez obtenida la ecuación diferencial de segundo orden que describe el circuito, que de forma general es:

)()()()(212

2

tftxadt

tdxadt

txd=++

La respuesta forzada xp(t) debe satisfacer dicha ecuación. Por tanto, al sustituir xp(t) en la ecuación se tiene:

)()()()(

212

2

tftxadt

tdxa

dttxd

ppp =++

Se necesita determinar una xp(t) tal que ésta y sus primera y segunda derivadas satisfagan la ecuación anterior. Si la función forzada es una constante, es de esperarse que la respuesta forzada sea también una constante, dado que las derivadas de una constante son cero. Si la función

0

0.2

t (s)

vC (V)

0.3 0.5 1 3

1

2

1.3

Figura 7.3.7



forzada es de la forma exponencial como f(t) = B-at , entonces las derivadas de f(t) son todas exponenciales de la forma Q-at y se espera que xp(t) = D-at. Si la función forzada es una función senoidal, puede esperarse que la respuesta forzada sea una función senoidal. Si f(t) = Asenωot, se intentará con: xp(t) = Msenωot + Ncosωot = Qsen(ωot + θ) A continuación presentamos algunas funciones forzadas y su supuesta solución

Funciones Forzadas Solución supuesta

K A Kt At +B Kt2 At2 + Bt + C

Ksenωt Asenωt + Bcosωt K-at A-at

Ahora veamos algunos ejemplos. Ejemplo 7.4.1 Determine la respuesta forzada de la corriente del inductor ip(t) en el circuito RLC paralelo mostrado en la Figura 7.4.1 cuando if = 8-2t, R = 6Ω, L = 7H y C = (1/42)F. Solución: Primero necesitamos encontrar la ecuación diferencial que describe el circuito, para ello aplicaremos LKC al nodo superior: iR + i(t) + iC = if , entonces, v(t) / R + i(t) + Cdv(t)/dt = if, pero como el voltaje del capacitor es el mismo que el voltaje del inductor por estar en paralelo, hacemos uso de v(t) = Ldi(t)/dt, sustituyendo esto en la ecuación nodal obtenida y reacomodando, tenemos:

LCi

tiLCdt

tdiRCdt

tid f=++ )(1)(1)(2

2

, sustituyendo los valores obtenemos:

teti

dttdi

dttid 2

2

2

48)(6)(7)( −=++

Como la única respuesta solicitada es la respuesta forzada, entonces suponemos que ip(t) será de la forma:

if u(t) R L C

v(t)

i(t)

Figura 7.4.1



ip(t) = A-2t, entonces la sustituimos en la ecuación diferencial para encontrar el valor de A, así: 4A-2t + 7(-2A-2t) + 6A-2t = 48-2t, entonces, (4 – 14 + 6)A-2t = 48-2t, entonces A = -12 por lo tanto la respuesta forzada será: ip(t) = -12-2t A Ejemplo 7.4.2 Determinemos el voltaje de salida v(t) para t > 0, en el circuito mostrado en la Figura 7.4.2 El circuito para t < 0 esta en estado estable. Los valores son: R1 = 10Ω, R2 = 2Ω, L = 2H, C = (1/4)F. Solución: Primero debemos redibujar nuestro circuito para t > 0, como es mostrado en la Figura 7.4.3. Ahora tenemos que encontrar la ecuación diferencial que describe el circuito, para ello hay que utilizar las herramientas de análisis de circuitos. En este caso, haremos una combinación de dos leyes para poder obtener la ecuación diferencial. Primero aplicaremos LKV a la malla de la izquierda del circuito, así obtenemos:

24)()()(1 =++ tvtiR

dttdiL (1) y aplicando LKC al nodo de salida obtenemos otra

ecuación,

2

)()()(R

tvdt

tdvCti += (2), como buscamos v(t), entonces sustituimos la ecuación (2) en

la ecuación (1) para obtener la ecuación diferencial en función de v(t), y reacomodando se obtiene:

LCtv

LCRRR

dttdv

LR

CRdttvd 24)()(1)/

2

211

22

2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

Sustituyendo los valores de los componentes en la ecuación diferencial se obtiene:

24V

12V

L R1

C R2 v(t)

+

-

t = 0i(t)

Figura 7.4.2

24V

12V

L R1

C R2 v(t)

+

-

i(t)

Figura 7.4.3



48)(12)(7)/2

2

=++ tvdt

tdvdt

tvd

De aquí, la ecuación característica es: s2 + 7s + 12 = 0 y aplicando la fórmula cuadrática obtenemos las raíces: s1 = -3 y s2 = -4 Entonces la respuesta natural del circuito es sobre amortiguada, y por lo tanto toma la forma: vn(t) = K1-3t + K2-4t Para obtener la respuesta forzada, como f(t) es una constante, entonces suponemos que la respuesta forzada también es constante, así vp(t) = K3, por lo tanto la solución general es: v(t) = K1-3t + K2-4t + K3 Para obtener el valor de K3, lo sustituimos en la ecuación diferencial y obtenemos que: K3 = 48/2 = 4, Otra forma de encontrar el valor de K3, es considerando el circuito para t > 0 en estado estable, como se muestra en la Figura 7.4.4 y así encontrar v(t) en estado estable, a través de un divisor de voltaje, v(t) = (2/12)24 = 4V, entonces K3 = 4 Ahora para encontrar los valores de K1 y K2 haremos uso de las condiciones iniciales, para ello necesitamos redibujar el circuito para t < 0, como se muestra en la figura 7.4.5 Entonces iL(0-) =12/12 = 1A y vC(0-) = (2/12)12 = 2V, así como iL(0-) = iL(0) = iL(0+) = i(0+) y vC(0-) = vC(0) = vC(0+) = v(0+), entonces podemos evaluar v(t) en t = 0 y obtener la primera ecuación, así: v(0) = K1 + K2 + 4 = 2, reduciendo se tiene: K1 + K2 = -2 La segunda ecuación la obtenemos de derivar la respuesta v(t), así: dv(t)/dt = -3K1-3t - 4K2-4t y evaluándola para t = 0 obtenemos: dv(0)/dt = -3K1 - 4K2

10Ω

2Ω 24V v(t)

+

-

Figura 7.4.4

10ΩiL(0-)

+

2Ω 12V vC(0-)-

v(0-)

+

-

Figura 7.4.5



De la ecuación nodal (2) que utilizamos para obtener la ecuación diferencial podemos despejar la primera derivada de v(t), evaluarla en t = 0 y encontrar su valor para utilizarlo en la ecuación anterior, así

CRtv

Cti

dttdv

2

)()()(−= y al evaluarla en t = 0, tenemos:

04/2

24/1

1)0()0()0(

2

=−=−=CR

vC

idt

dv , así la segunda ecuación es:

dv(0)/dt = -3K1 - 4K2 = 0, Resolviendo para K1 y K2 obtenemos: K1 = -8 y K2 = 6, por lo tanto la respuesta completa del circuito es: v(t) = -8-3t + 6-4t + 4 V 7.5 Problemas Resueltos Ejemplo 7.5.1 Encuentre io(t) para t > 0 en el circuito que se muestra en la figura 7.5.1 y grafique la respuesta incluyendo el intervalo de tiempo justo antes de abrir el interruptor. Solución: Para encontrar io(t) para t > 0, es necesario redibujar nuestro circuito para t > 0 y encontrar luego el voltaje del capacitor que es igual al voltaje v(t) ya que todos los elementos se encuentran en paralelo, para luego aplicar la ley de Ohm y encontrar io(t) como: io(t) = v(t)/5 El circuito para t > 0, se muestra en la figura 7.5.2. Para encontrar v(t) aplicamos la LKV al nodo superior, así:

1Ω 5Ω 1H1A iL(t)2

2/5 F t = 0

v(t)io(t)

Figura 7.5.1

1Ω 5Ω 1H1A iL(t)2

2/5 F

v(t)io(t)

Figura 7.5.2



⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++++=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ++ ∫∫ )()(1)(

5)(

1)()()(1

211 oL

t

toL

t

ttidxxv

LdttdvCtvtvtidxxv

L oo

Esta expresión integro-diferencial la debemos derivar con respecto al tiempo, para obtener la ecuación diferencial de segundo orden, característica del circuito, así:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+++=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ )(1)(

5)(

1)()(

21

2

2

tvLdt

tvdCdttdv

dttdvtv

L, reacomodando y sustituyendo valores

de L y C, obtenemos:

0)(45)(3)(

2

2

=++ tvdt

tdvdt

tvd ,

Como podemos observar ésta ecuación es igual a cero, entonces solo tendremos solución natural y tendremos que encontrar a cual respuesta natural obedece, en dependencia de los valores de las raíces de la ecuación característica. La ecuación característica es entonces: s2 + 3s + 5/4 = 0 y aplicando la fórmula cuadrática obtenemos las raíces s1 = -1/2 y s2 = -5/2 Entonces la respuesta natural del circuito es sobre amortiguada, y por lo tanto toma la forma: v(t) = K1-t/2 + K2-5t/2 Ahora para encontrar los valores de K1 y K2 haremos uso de las condiciones iniciales, para ello necesitamos redibujar el circuito para t < 0, como se muestra en la figura 7.5.3. Como podemos observar del circuito iL(0-) = 0A y vC(0-) = 0V Y como vC(0-) = vC(0) = vC(0+) = v(0) = 0V, entonces evaluándola en la ecuación general de v(t), obtenemos: v(0) = K1 + K2 = 0, que es la primera ecuación, La segunda ecuación la obtenemos de derivar la respuesta v(t), así: dv(t)/dt = -(1/2)K1-t/2 – (5/2)K2-5t/2 y evaluándola para t = 0 obtenemos: dv(0)/dt = -(1/2)K1 – (5/2)K2

1Ω1A 5ΩiL(0-)2

iL(0-) +vC(0-) -

Figura 7.5.3



Ahora regresamos a la ecuación integro-diferencial que utilizamos para obtener la ecuación diferencial y despejamos la primera derivada de v(t), para evaluarla en t = 0 y encontrar su valor que será utilizado en la ecuación anterior, así:

)(3)(45

25)( tvti

dttdv

L −−= y al evaluarla en t = 0, tenemos:

2500

25)0(3)0(

45

25)0(

=−−=−−= vidt

dvL , así la segunda ecuación es:

dv(0)/dt = -(1/2)K1 – (5/2)K2 = 5/2, Resolviendo para K1 y K2 obtenemos: K1 = 5/4 y K2 = -(5/4), entonces el voltaje v(t) es: v(t) = (5/4)-t/2 – (5/4)-5t/2 V, por lo tanto la corriente io(t) será: io(t) = v(t)/5 = (1/4)-t/2 – (1/4)-5t/2 A La figura 7.5.4 muestra io(t) Ejemplo 7.5.2 Encuentre vo(t) para t > 0 para el circuito que se muestra en la figura 7.5.5 y grafique la respuesta incluyendo el intervalo de tiempo justo antes de abrir el interruptor. Solución: Para encontrar vo(t) para t > 0, es necesario redibujar nuestro circuito para t > 0 y encontrar luego la corriente del inductor, para luego aplicar la ley de Ohm y encontrar vo(t) como: vo(t) = iL(t)*3K El circuito para t > 0, se muestra en la figura 7.5.6. Para encontrar iL(t) haremos uso del análisis de malla como es mostrado en la figura arriba. Aplicando LKV a la malla 1 tenemos: 24 = (12K + 6K)i1 - 6Ki2 (1)

0 5 t (s)

io(t) (mA)

1 2 3 4

140

Figura 7.5.4

24V

12KΩ

6KΩ

1KΩ

3KΩ

2mH

250pF

250pF t = 0

vo(t)+

-

Figura 7.5.5

3KΩ

1KΩ 12KΩ

6KΩ24V

2mH

125pF

vo(t)+

-iL(t)

i1i2

Figura 7.5.6



06)()(1)631( 12

22 =−+++++ ∫ KidtdiLtvdxxi

CiKKK

t

t oo

(2)

De la ecuación 1 podemos despejar i1 en función de i2, así:

KKii

18624 2

1+

= , e introducirla en la ecuación 2 para obtener:

028)()(1)10( 22

22 =−−+++ ∫ Kidtdi

LtvdxxiC

iKt

t oo

(3)

Ahora como la corriente de malla i2 coincide con la corriente del inductor iL(t) y derivando la ecuación integro-diferencial de arriba, obtenemos la ecuación diferencial de segundo orden, característica del circuito:

0)(

2)(

)(1)()10( 2

2

2=−++

dttdi

Kdt

tidLti

Cdttdi

K LLL

L

Sustituyendo valores y reacomodando se tiene:

0)(4)(4)(2

2

=++ tTidt

tdiMdt

tidL

LL ,

Como podemos observar ésta ecuación es igual a cero, entonces solo tendremos solución natural y tendremos que encontrar a cual respuesta natural obedece, en dependencia de los valores de las raíces de la ecuación característica. La ecuación característica es entonces: s2 + 4Ms + 4T = 0 y aplicando la fórmula cuadrática obtenemos las raíces s1 = s2 = -2M Entonces la respuesta natural del circuito es críticamente amortiguada, y por lo tanto toma la forma: v(t) = K1-2Mt + K2t-2Mt Ahora para encontrar los valores de K1 y K2 haremos uso de las condiciones iniciales, para ello necesitamos redibujar el circuito para t < 0, como se muestra en la figura 7.5.7. Como podemos observar del circuito iL(0-) = 0A y vC(0-) = 0V Y como iL(0-) = iL(0) = iL(0+) = 0A, entonces evaluándola en la ecuación general de iL(t), obtenemos:

1KΩ

3KΩ

12KΩ

6KΩ24V

vC(0-) +

iL(0-)

-

Figura 7.5.7



iL(0) = K1 = 0 La segunda ecuación la obtenemos de derivar la respuesta iL(t), así: diL(t)/dt = -2MK2t-2Mt + K2-2Mt y evaluándola para t = 0 obtenemos: diL(0)/dt = K2 Ahora regresamos a la ecuación integro-diferencial (3) que obtuvimos de insertar la ecuación 1 en la ecuación 2 y despejamos la primera derivada de i2(t) (que es iL(t)), para evaluarla en t = 0 y encontrar su valor que será utilizado en la ecuación anterior, así:

)(500)(44)(

tvtMiKdt

tdiCL

L −−= y al evaluarla en t = 0, tenemos:

KKvMiKdt

diCL

L 4004)0(500)0(44)0(

=−−=−−= , así la segunda ecuación es:

diL(0)/dt = K2 = 4K, entonces la corriente iL(t) es: iL(t) = 4Kt-2Mt A, por lo tanto el voltaje vo(t) será: vo(t) = iL(t)*3K = 12Mt-2Mt V La figura 7.5.8 muestra vo(t) Ejemplo 7.5.3 Encuentre vo(t) para t > 0 para el circuito que se muestra en la figura 7.5.9 y grafique la respuestaincluyendo el intervalo de tiempo justo antes de abrir el interruptor. Solución: Para encontrar vo(t) para t > 0, es necesario redibujar nuestro circuito para t > 0 y vo(t) será igual al voltaje del capacitor vC(t), ya que ambos comparten el mismo par de nodos: El circuito para t > 0, se mue

0 t (s)

vo(t) (V)

1M 2M 3M

2

Figura 7.5.8

10mV

4KΩ

4KΩ 30KΩ 15KΩ v(t)25 8mH 100pFv(t)

++

- - vo(t)

t = 0

Figura 7.5.9

10mV

4KΩ

4KΩ 30KΩ 15KΩ v(t)25 8mH 100pFv(t)

+ +

- - vo(t)

Figura 7.5.10



stra en la figura 7.5.10. Ahora procederemos a encontrar la ecuación diferencial de segundo que define el circuito, para ello aplicaremos la LKC al nodo superior del capacitor, así:

0)0()(1)(15

)(30

)(0

=++++ −∫ L

t

CCCC idxxv

Ldttdv

CKtv

Ktv

Como podemos observar de la ecuación anterior, no aparece la fuente dependiente ya que v(t) = 0, porque el interruptor se encuentra abierto. Ahora ésta expresión integro-diferencial la debemos derivar con respecto al tiempo, para obtener la ecuación diferencial de segundo orden, característica del circuito, así:

0)(1)(15

)(30

)(2

2

=+++ tvLdt

tvdC

Kdttdv

Kdttdv

CCCC , sustituyendo los valores de L y C y

reacomodando obtenemos:

0)(25.1)(

1)(

2

2

=++ tTvdt

tdvM

dttvd

CCC

Como podemos observar ésta ecuación es igual a cero, entonces solo tendremos solución natural y tendremos que encontrar a cual respuesta natural obedece, en dependencia de los valores de las raíces de la ecuación característica. La ecuación característica es entonces: s2 + 1Ms + 1.25T = 0 y aplicando la fórmula cuadrática obtenemos las raíces s1,2 = -(1/2)M ± j1M Entonces la respuesta natural del circuito es subamortiguada, y por lo tanto toma la forma: vC(t) = -500Kt[K1cos(1Mt) + K2sen(1Mt)] Ahora para encontrar los valores de K1 y K2 haremos uso de las condiciones iniciales, para ello necesitamos redibujar el circuito para t < 0, como se muestra en la figura 7.5.11.

10mV

4KΩ

4KΩ 30KΩ 15KΩ v(t)25

v(t)+ +

- - vo(0-) vC(0-)

+

-iL(0-)

Figura 7.5.11



Como podemos observar del circuito vC(0-) = 0V, pero iL(0-) = -v(t)/25, pero v(t) es: v(t) = (4K/8K)*10m = 5mV, entonces iL(0-) = -0.2mA Y como vC(0-) = vC(0) = vC(0+) = 0V, entonces evaluándola en la ecuación general de vC(t), obtenemos: vC(0) = K1 = 0 La segunda ecuación la obtenemos de derivar la respuesta vC(t), así: dvC(t)/dt = -500K-500Kt[K2sen(1Mt)] + -500Kt[1MK2cos(1Mt)] y evaluándola para t = 0 obtenemos: dvC(0)/dt = 1MK2 Ahora regresamos a la ecuación integro-diferencial que obtuvimos de aplicar la LKC al nodo superior del capacitor y despejamos la primera derivada de vC(t), para evaluarla en t = 0 y encontrar su valor que será utilizado en la ecuación anterior, así:

)(1)(10)(

tMvtGidt

tdvCL

C −−= y al evaluarla en t = 0, tenemos:

MMMvGidt

dvCL

C 202)0(1)0(10)0(

=−−=−−=

, así la segunda ecuación es: dvC(0)/dt = 1MK2 = 2M, de donde obtenemos K2 = 2, entonces el voltaje vo(t) es: vo(t) = vC(t) = 2-500Kt[sen(1Mt)] V La Figura 7.5.12 muestra vo(t) Ejemplo 7.5.4 Determine v(t) para t > 0 en el circuito que se muestra en la figura 7.5.13. Suponga que existen condiciones de estado estable cuando t = 0-. Solución: Para encontrar v(t) para t > 0, es necesario redibujar nuestro circuito para t > 0, y el voltaje v(t) debe encontrarse en función del voltaje del capacitor o en función de la corriente del inductor. El circuito para t > 0 se muestra en la figura 7.5.14:

0 t (s)

vo(t) (V)

2M 6M4M

1

Figura 7.5.12

6Ω

2Ω

5/2 A 1/8 F

2H

t = 0

2Ω

5/2 A 1/8 F

2Hv+

-

Figura 7.5.13

6Ω

2Ω

5/2 A 1/8 F

2Hv+

-iC iL

Figura 7.5.14



Ahora procederemos a encontrar el voltaje v(t) como una función del voltaje del capacitor (se le deja al lector, encontrar el voltaje v(t) en función de la corriente del inductor) para ello aplicaremos la LKV a ambas mallas del circuito y la LKC al nodo superior de la fuente independiente de corriente. Aplicando la LKC al nodo superior de la fuente, tenemos: 5/2 = iC + iL (1) Ahora aplicaremos la LKV a la malla de la izquierda del circuito, para obtener v(t), así: v = v6Ω + vC = 6iC + vC (2) Pero también podemos aplicar la LKV a la malla derecha del circuito para obtener v(t), así: v = v2Ω + vL = 2iL + vL = 2iL + LdiL/dt (3) De la ecuación (1) podemos despejar iL en función de iC, así: iL = 5/2 - iC e insertándola en la ecuación (3) obtenemos:

dtdi

LiidtdLiv C

CCC −−=−+−= 25)25()

25(2 (4), ésta expresión la igualamos a la

expresión de la ecuación (2) para obtener la ecuación diferencial de segundo orden característica del circuito

dtdi

Livi CCCC −−=+ 256 , sustituyendo iC = CdvC/dt y reacomodando el circuito

tenemos:

582

2

=++ CCC v

dtdv

Cdt

vdLC , sustituyendo los valores de L y C y reacomodando

obtenemos:

20442

2

=++ CCC v

dtdv

dtvd

Como podemos observar ésta ecuación no es igual a cero, entonces tendremos solución natural y solución particular. La solución total será: vC(t) = vCn(t) + vCf(t) Para obtener la respuesta forzada, como f(t) es una constante, entonces suponemos que la respuesta forzada también es constante, así vCf(t) = K3, ésta solución se sustituye en la ecuación diferencial de segundo orden y se encuentra el valor de K3, así:



2044 33

23

2

=++ Kdt

dKdt

Kd, de aquí que K3 = 20/4 = 5

Para obtener la respuesta natural, hacemos uso de la ecuación característica, para obtener las raíces, así: s2 + 4s + 4 = 0 y aplicando la fórmula cuadrática obtenemos las raíces s1 = s2 = -2 Entonces la respuesta natural del circuito es críticamente amortiguada, y por lo tanto toma la forma: vCn(t) = K1-2t + K2t-2t, entonces la solución total será: vC(t) = K1-2t + K2t-2t + 5 Ahora para encontrar los valores de K1 y K2 haremos uso de las condiciones iniciales, para ello necesitamos redibujar el circuito para t < 0, como se muestra en la figura 7.5.15. Como podemos observar del circuito vC(0-) = 0V, pero iL(0-) = 5/2 A, Y como vC(0-) = vC(0) = vC(0+) = 0V, entonces evaluándola en la ecuación general de vC(t), obtenemos: vC(0) = 5 + K1 = 0, entonces K1 = -5 La segunda ecuación la obtenemos de derivar la respuesta vC(t), así: dvC(t)/dt = 10-2t - 2K2t-2t + K2-2t y evaluándola para t = 0 obtenemos: dvC(0)/dt = 10 + K2 Ahora regresamos a la ecuación (1) que obtuvimos de aplicar la LKC al nodo superior de la fuente de 5/2 A y despejamos la primera derivada de vC(t), para evaluarla en t = 0 y encontrar su valor que será utilizado en la ecuación anterior, así:

Cti

Cdttdv LC )(2/5)(

−= y al evaluarla en t = 0, tenemos:

08/12/5

8/12/5)0(

=−=dt

dvC , así la segunda ecuación es:

dvC(0)/dt = 10 + K2 = 0, de donde obtenemos K2 = -10, entonces el voltaje vC(t) es: vC(t) = -5-2t - 10t-2t + 5, pero como estamos interesados en encontrar v(t) haremos uso de la ecuación (2):

v +

- vC(0-) iL(0-)+

-

2Ω

6Ω5/2 A

Figura 7.5.15



v = 6iC + vC = 6CdvC/dt + vC, sustituyendo vC(t), tenemos:

ttttt eeeteetv 22222 1055)102010(43)( −−−−− −−+−+=

v(t) = 15t-2t +5 - 5-2t - 10t-2t , por lo tanto será: v(t) = 5 - 5-2t + 5t-2t V Ejemplo 7.5.5 Determine v(t) para t > 0 en el circuito que se muestra en la figura 7.5.16. Suponga que existen condiciones de estado estable cuando t = 0-. Solución: Para encontrar v(t) para t > 0, es necesario redibujar nuestro circuito para t > 0 y v(t) será igual al voltaje del capacitor vC(t), ya que v(t) se encuentra entre las terminales del capacitor: El circuito para t > 0, se muestra en la figura 7.5.17. Ahora procederemos a encontrar el voltaje v(t) = vC(t) utilizando una combinación de la LKC y la LKV para obtener la ecuación diferencial de segundo orden característica del circuito. Primero aplicaremos la LKV a la malla derecha del circuito, así: v = vL + v6Ω = LdiL/dt + 6iL (1) Ahora aplicaremos la LKC al nodo superior del capacitor, así: i4Ω = iL + iC , entonces despejando iL obtenemos:

dtdv

Cv

i CCL −

−=

44

(2) y sustituyendo ésta en la ecuación (1) se tiene:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−==

dtdv

Cv

dtdv

Cv

dtdLvv CCCC

C 44

64

4, efectuando operaciones, tenemos:

dtdv

Cv

dtvd

LCdt

dvLv CCCCC 6

23

64 2

2

−−+−−= , sustituyendo los valores de L y C y

reacomodando obtenemos:

241072

2

=++ CCC v

dtdv

dtvd

10V

4Ω

6Ω

1H ¼ F 4u(t) V v

+

-

t = 0

Figura 7.5.16

10V

4Ω

6Ω

1H ¼ F 4V v

+

-

iCiL

Figura 7.5.17



Como podemos observar ésta ecuación no es igual a cero, entonces tendremos solución natural y solución particular. La solución total será: vC(t) = vCn(t) + vCf(t) Para obtener la respuesta forzada, como f(t) es una constante, entonces suponemos que la respuesta forzada también es constante, así vCf(t) = K3, ésta solución se sustituye en la ecuación diferencial de segundo orden y se encuentra el valor de K3, así:

24107 33

23

2

=++ Kdt

dKdt

Kd, de aquí que K3 = 24/10 = 2.4

Para obtener la respuesta natural, hacemos uso de la ecuación característica, para obtener las raíces, así: s2 + 7s + 10 = 0 y aplicando la fórmula cuadrática obtenemos las raíces s1 = -2 y s2 = -5 Entonces la respuesta natural del circuito es sobre amortiguada, y por lo tanto toma la forma: vCn(t) = K1-2t + K2-5t , entonces la solución total será: vC(t) = K1-2t + K2-5t + 2.4 Ahora para encontrar los valores de K1 y K2 haremos uso de las condiciones iniciales, para ello necesitamos redibujar el circuito para t < 0, como se muestra en la figura 7.5.18. Del circuito obtenemos vC(0-) haciendo un divisor de voltaje, así: vC(0-) = (6/10)*10 = 6V y para obtener iL(0-) aplicaremos la ley de Ohm, así: iL(0-) = 6/6 = 1A Y como vC(0-) = vC(0) = vC(0+) = 0V, entonces evaluándola en la ecuación general de vC(t), obtenemos: vC(0) = K1 + K2 + 2.4 = 6, Y La segunda ecuación la obtenemos de derivar la respuesta vC(t), así: dvC(t)/dt = -2K1-2t - 5K2-5t y evaluándola para t = 0 obtenemos: dvC(0)/dt = -2K1 -5K2

10V

4Ω

6Ω

0V+

-vC(0-)

iL(0-)

Figura 7.5.18



Ahora regresamos a la ecuación (2) que obtuvimos de aplicar la LKC al nodo superior del capacitor y despejamos la primera derivada de vC(t), para evaluarla en t = 0 y encontrar su valor que será utilizado en la ecuación anterior, así:

Cti

Ctv

Cdttdv LCC )(

4)(1)(−−= y al evaluarla en t = 0, tenemos:

64/1

1)4/1(4

64/1

1)0(−=−−=

dtdvC , así la segunda ecuación es:

dvC(0)/dt = -2K1 - 5K2 = -6, Resolviendo las dos ecuaciones para K1 y K2 obtenemos K1 = 4, y K2 = -0.4, entonces el voltaje vC(t) es: vC(t) = v(t) = 4-2t – 0.4-5t + 2.4 V Ejemplo 7.5.6 Determine v(t) para t > 0 en el circuito que se muestra en la figura 7.5.19, si vf = 8-

4tu(t). Suponga que existen condiciones de estado estable cuando t = 0-. Solución: Para encontrar v(t) para t > 0, es necesario redibujar nuestro circuito para t > 0 y v(t) será igual al voltaje del capacitor vC(t), ya que v(t) se encuentra entre las terminales del capacitor: El circuito para t > 0, se muestra en la figura 7.5.20. Ahora procederemos a encontrar el voltaje v(t) = vC(t) utilizando una combinación de la LKC y la LKV para obtener la ecuación diferencial de segundo orden característica del circuito. Primero aplicaremos la LKV a la malla derecha del circuito, así: v = v6Ω + vL = 6iL + LdiL/dt (1) Ahora aplicaremos la LKC al nodo superior del capacitor, así: i4Ω = iL + iC , entonces despejando iL obtenemos:

dtdv

Cvv

i CCfL −

−=

4 (2) y sustituyendo ésta en la ecuación (1) se tiene:

vf

4Ω 6Ω

1H ¼ F 20V v+

-

t = 0

Figura 7.5.19

vf

4Ω 6Ω

1H ¼ F 20V v+

-

iLiC i4Ω

Figura 7.5.20



⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−==

dtdv

Cvv

dtdL

dtdv

Cvv

vv CCfCCfC 44

6 , efectuando operaciones,

tenemos:

2

2

446

23

23

dtvd

LCdt

dvLdt

dvLdt

dvC

vvv CCfCCf

C −−+−−= , sustituyendo los valores de L.

C y vf y reacomodando obtenemos:

tttC

CC eeevdt

dvdt

vd 4442

2

164832107 −−− =+−=++

Como podemos observar ésta ecuación no es igual a cero, entonces tendremos solución natural y solución particular. La solución total será: vC(t) = vCn(t) + vCf(t) Para obtener la respuesta forzada, como f(t) es una señal exponencial, entonces suponemos que la respuesta forzada también será exponencial, así vCf(t) = K3-4t, ésta solución se sustituye en la ecuación diferencial de segundo orden y se encuentra el valor de K3, así:

tttt

eeKdteKd

dteKd 44

3

43

2

43

2

16)(10)(7)( −−−−

=++ , efectuando las derivadas tenemos:

tttt eeKeKeK 44

34

34

3 16102816 −−−− =+− , de aquí que K3 = -16/2 = -8, así: vCf(t) = -8-4t Para obtener la respuesta natural, hacemos uso de la ecuación característica, para obtener las raíces, así: s2 + 7s + 10 = 0 y aplicando la fórmula cuadrática obtenemos las raíces s1 = -2 y s2 = -5 Entonces la respuesta natural del circuito es sobre amortiguada, y por lo tanto toma la forma: vCn(t) = K1-2t + K2-5t , entonces la solución total será: vC(t) = K1-2t + K2-5t - 8-4t Ahora para encontrar los valores de K1 y K2 haremos uso de las condiciones iniciales, para ello necesitamos redibujar el circuito para t < 0, como se muestra en la figura 7.5.21.

0V

4Ω 6Ω

20V+

-

iL(0-)

vC(0-)

Figura 7.5.21



Del circuito obtenemos vC(0-) haciendo un divisor de voltaje, así: vC(0-) = (6/10)*20 = 12V y para obtener iL(0-) aplicaremos la ley de Ohm, así: iL(0-) = 12/6 = 2A Y como vC(0-) = vC(0) = vC(0+) = 0V, entonces evaluándola en la ecuación general de vC(t), obtenemos: vC(0) = K1 + K2 - 8 = 12, Y La segunda ecuación la obtenemos de derivar la respuesta vC(t), así: dvC(t)/dt = -2K1-2t - 5K2-5t + 32-4t y evaluándola para t = 0 obtenemos: dvC(0)/dt = -2K1 -5K2 + 32 Ahora regresamos a la ecuación (2) que obtuvimos de aplicar la LKC al nodo superior del capacitor y despejamos la primera derivada de vC(t), para evaluarla en t = 0 y encontrar su valor que será utilizado en la ecuación anterior, así:

Cti

Ctv

Cv

dttdv LCfC )(

4)(

4)(

−−= y al evaluarla en t = 0, tenemos:

124/1

2)4/1(4

12)4/1(4

8)0(−=−−=

dtdvC , así la segunda ecuación es:

dvC(0)/dt = -2K1 - 5K2 + 32 = -12, Resolviendo las dos ecuaciones para K1 y K2 obtenemos K1 = 56/3, y K2 = 4/3, entonces el voltaje vC(t) es: vC(t) = v(t) = (56/3)-2t + (4/3)-5t - 8-4t V 7.6 Problemas propuestos 7.6.1 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.1, encuentre vC(t) para t > 0. Suponga estado estable en t = 0-.

7.6.2 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.2, encuentre iL(t) para t > 0. Suponga estado estable en t = 0-.

20KΩ 5nF

1.6H

10mA vC

+

-t = 0

Figura 7.6.1

1Ω 2mF

1/45 H

12V

iL

t = 0

5Ω

Figura 7.6.2

3/8 F 1/3 H

12V

i(t)

3Ω

t = 0

Figura 7.6.3



7.6.3 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.3, encuentre i(t) para t > 0. Suponga estado estable en t = 0-. 7.6.4 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.4, el circuito ha alcanzado el estado estable en t = 0-. En t = 0 el interruptor se abre. Encuentre v(t) para t > 0. Respuesta: iL(t) = 66.67(e-10t - e-2.5t) V

7.6.5 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.5, el circuito ha alcanzado el estado estable en t = 0-. En t = 0 el interruptor se mueve de la posición 1 a la posición 2. Encuentre iL(t) para t > 0. Respuesta: iL(t) = e-2.5t(5cos1.6583t + 7.5378sen1.6583t) A

7.6.6 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.6 el interruptor ha estado cerrado por largo rato, en t = 0 se abre, encuentre i(t) para t > 0. Respuesta:

7.6.7 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.7 el interruptor ha estado cerrado por largo rato, en t = 0 se abre, encuentre i(t) para t > 0. Respuesta:

7.6.8 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.8 el interruptor a ha estado en la posición 1 y el interruptor b en la posición 2 por largo rato, en t = 0 los interruptores se mueven a la posición alternativa (el interruptor a pasa a la posición 2 y el interruptor

2A

-

20Ω 10H

t = 0

v

Figura 7.6.4

4mF

+

+

-

50V 5Ω

10Ω

1H

t = 0

iL

Figura 7.6.5

(1/9)F 1 2

+ -

12V

2Ω

t = 0 i

Figura 7.6.6

(1/2)H

(1/4)F

+

-30V

t = 0

i

Figura 7.6.7

2.5H

1mF

40Ω

10Ω 60Ω

+

-

100Ω1H

t = 0

-

Figura 7.6.8

62.5nF

12

vo

+1.6KΩ

1KΩ

t = 0

1 2

60V 45mA

a b



b pasa a la posición 1). Encuentre el voltaje vo(t) para t > 0. Respuesta: 7.6.9 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.9 el interruptor ha estado cerrado por largo rato, abriéndose a t = 0, Encuentre el voltaje vo(t) para t > 0. Respuesta:

7.6.10 El circuito que se muestra en la figura 7.6.10, es un circuito de suministro de potencia de 240W. Encuentre iL(t) para t > 0. Suponga estado estable en t = 0-.

7.6.11 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.11 el interruptor ha estado cerrado por largo rato, abriéndose a t = 0, Encuentre el voltaje vo(t) para t > 0. Respuesta:

7.6.12 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.12 el interruptor ha estado cerrado por largo rato, en t = 0 se abre, encuentre v(t) para t > 0. Respuesta:

7.6.13 El circuito que se muestra en la figura 7.6.13, es un circuito transmisor de un sistema de comunicación de una estación espacial que usa pulsos cortos para a un autómata que opera

+

-120V vo

Figura 7.6.9

1H 250nF

5KΩ

3KΩ t = 0

+

-

100V8Ω

30Ω

2H

t = 0

Figura 7.6.11

10mF +

-vo

+

-

10Ω 10Ω

+

-24V

6Ωt = 0

v

Figura 7.6.12

3H

(1/27)F

15Ω

25Ω

12Ω

60Ω

-

+

5µF

0.8H

vC(t) 250Ω250Ω

t = 0 -

+

6V

Figura 7.6.13

¼ F

4H iL(t)

4Ω

2Ω

t = 0

7A

8Ω

Figura 7.6.10



en el espacio. Encuentre vC(t) para t > 0. Suponga estado estable en t = 0-. 7.6.14 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.14, encuentre vC(t) para t > 0. Suponga estado estable en t = 0-.

7.6.15 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.15, encuentre vo(t) para t > 0. Suponga estado estable en t = 0-.

7.6.16 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.16 el circuito ha permanecido en la posición 1 por largo rato. En t = 0 el interruptor se mueve a la posición 2. Encuentre v(t) para t > 0. Respuesta: iL(t) = 10 - e-2t(1.1547sin3.464t + 2cos3.464t) V

7.6.17 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.17 la corriente inicial en el inductor es de -30mA y el voltaje inicial en el capacitor es de 40V (positivo en el Terminal superior). Encuentre la corriente iL(t) para t > 0. Respuesta:

7.6.18 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.18, encuentre i(t) para t > 0. Suponga estado estable en t = 0-.

2 F

0.5 H

12V vC

1Ω

5Ω

+

-

t = 0

Figura 7.6.14

¼ F

½ H 12V

vo(t)

3Ω t = 0

8Ω

t = 0

-+

6V

Figura 7.6.15

+

-

+

-10V

10Ω 2.5H

t = 0

-

Figura 7.6.16

(1/40)F

1 2

12V

1Ω

2Ωv+

15mA 800Ω20H

iL

Figura 7.6.17

5µF

1/12 µF2/5 µHi(t)

2KΩt = 0 10mA

2KΩ

8V

6KΩ

Figura 7.6.18



7.6.19 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.19 el circuito ha alcanzado el estado estable en t = 0-. En t = 0 el interruptor se cierra. Encuentre i(t) y v(t) para t > 0. Respuesta: v(t) = 8(1 - e-5t) V, i(t) = 2(1 - e-5t)

7.6.20 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.20 el interruptor ha estado abierto por largo rato, cerrándose a t = 0, Encuentre el voltaje vo(t) para t > 0. Respuesta:



7.6.23 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.23 el interruptor ha estado abierto por largo rato, cerrándose a t = 0, Encuentre la corriente iL(t) para t > 0. Respuesta:

2A4Ω 10Ω

2H t = 0

i

Figura 7.6.19

(1/20)F +

- v

+

-30V

t = 0

vo

Figura 7.6.20

25H6.25µF +

-

800Ω

+

-12V

t = 0

vo

Figura 7.6.21

1.25H+

-

400Ω

1.25µF

+

-25V

t = 0

vo

Figura 7.6.22

1.6H10µF +

-

250Ω

1KΩ

3V

t = 0

iL

Figura 7.6.23

31.25mH 500nF

150Ω

300Ω+

-120mA



7.6.24 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.24 el interruptor 1 ha estado abierto y el interruptor 2 ha estado cerrado, ambos por largo rato, en t = 0, el interruptor 1 se cierra y el interruptor 2 se abre. Encuentre la corriente iL(t) para t > 0. Respuesta: 7.6.25 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.25 el interruptor ha estado cerrado por largo rato, abriéndose a t = 0, Encuentre el voltaje i(t) para t > 0. Respuesta:

7.6.26 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.26, encuentre v(t) para t > 0. Suponga estado estable en t = 0-.

7.6.27 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.27, encuentre v(t) para t > 0. Suponga estado estable en t = 0-. 7.6.28 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.28 el interruptor ha estado en la posición 1 por largo rato, en t = 0 el interruptor se mueve a la posición 2. Encuentre vo(t) para t > 0. Respuesta:

+

-240V

t = 0

iL

Figura 7.6.24

80H5µF 60mA5KΩ 1KΩ

5KΩ t = 0

1 2

+

-

+

-10V

6Ω

30V

(1/2)H t = 0

Figura 7.6.25

(1/8)Fi

6Ω

6Ω

0.2µF100µH

v(t)

10V

3Ω t = 0200mA 17Ω-

+

Figura 7.6.26

1/8 F

2Hv(t)

2Ω

t = 0

5/2 A 6Ω

-

+

Figura 7.6.27

+ -

+

-

150KΩ 8H

t = 0

-

Figura 7.6.28

1.25nF

1 2

75V 6KΩ vo

+

104io io

60KΩ

4KΩ



7.6.29 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.29 encuentre v(t) e i(t) para t > 0. Respuesta: v(t) = 100sent V, i(t) = 20(1 - cost) A

7.6.30 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.30, encuentre iC(t) para t > 0. Suponga estado estable en t = 0-.

7.6.31 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.31, encuentre iL(t) para t > 0. Suponga estado estable en t = 0-.

7.6.32 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.32, encuentre vC(t) para t > 0. Suponga estado estable en t = 0-.

7.6.33 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.33, encuentre vC(t) para t > 0, cuando a) C = (1/10)F, b) C = (1/18)F y c) C = (1/20)F. Suponga estado estable en t = 0-.

7.6.34 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.34, encuentre vC(t) para t > 0. Suponga estado estable en t = 0-.

7.6.35 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.35 encuentre vo(t) para t > 0. Respuesta: vo(t) = 2(e-t - e-6t) V

2.5µF 20mH2u(-t) A iC

50Ω

Figura 7.6.30

¼ F2/13 H 4u(-t) AiL

2Ω

Figura 7.6.31

0.2F 0.25 H 10u(-t) A

iL

2Ω

Figura 7.6.32

C

2H

vC(t) 8Ω 1u(t) A

4Ω

-

+

Figura 7.6.33

20u(t) A

-

5H v

Figura 7.6.29

0.2F +i

1/5 F 1H

vC(t)4u(t) A -

+

6Ω

Figura 7.6.34

+

-5u(t) V

- vo

Figura 7.6.35

(1/3)F

+

1Ω 1Ω

(1/2)F




7.6.37 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.37. Encuentre el voltaje vo(t) para t > 0. Respuesta:


7.6.39 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.39. Encuentre el voltaje vL(t) para t > 0. Respuesta:

7.6.40 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.40. Encuentre el voltaje vL(t) para t > 0. Respuesta:

7.6.41 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.41. Encuentre la corriente i(t) para t > 0.

+

-25u(-t) V vo

Figura 7.6.36

0.1H 1mF

5Ω

+

- + -

2u(-t) A

vo

Figura 7.6.37

1H 0.04F

2Ω + -

50u(t) V 4Ω

vo

Figura 7.6.38

1H

4F 5Ω

t = 0

+

-4u(t) A3A 10Ω

+

-

+

-50VvL

Figura 7.6.39

0.5H 1F +

-

2u(t) V

40Ω40Ω

+

-

+

-

vo

Figura 7.6.40

0.25H 0.5F

+ - 30u(t) V20Ω

30Ω

60u(t) V

+ -

i

Figura 7.6.41

5H

0.2F20V

1Ω

5Ω 3u(t) A

2Ω



Respuesta: 7.6.42 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.42, encuentre iL(t) para t > 0. Suponga estado estable en t = 0-.

7.6.43 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.43, encuentre vC(t) para t > 0, cuando vC(0-) = 1V e iL (0-) = 0A.

7.6.44 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.44, encuentre iC(t) para t > 0, considere if = -tu(t) A. Suponga estado estable en t = 0-.

7.6.45 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.45, encuentre vC(t) para t > 0, considere if =9 + 3-2tu(t) A. Suponga estado estable en t = 0-.

7.6.46 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.46, encuentre vC(t) para t > 0, cuando a) vf = 2u(t) V, b) vf = 0.2tu(t) V y vf = 1-30tu(t) V. Suponga estado estable en t = 0-.

1/12 F0.5H vC(t)

1Ω

5cost V

1Ω

-

+

Figura 7.6.43

1F 0.5H

iC(t)

3Ω

if 1Ω

Figura 7.6.44

½ F 5H

vC(t)

1.5Ω

if 0.5Ω

- +

1Ω

Figura 7.6.45

833.3µF

0.1H

vC(t)vf -

+

7Ω

Figura 7.6.46

20mF0.2H

iL(t)

-3u(t) A 3A 0.5Ω

Figura 7.6.42

vii circuitos de segundo orden · o definir y analizar la respuesta natural de un circuito rlc ......

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