4.respuesta de un circuito de segundo orden (1)

Circuitos Elctricos

Gustavo Mesones Mlaga 1

Captulo 8

Respuesta Completa de Circuitos con dos elementos de almacenamiento de

energa En este captulo cuando planteamos ecuaciones diferenciales ahora debemos tener en cuenta que se va agregar un elemento de almacenamiento de energa, provocando que la ecuacin diferencial sea de segundo orden. La solucin de una ecuacin diferencial de segundo orden implica respetar estrictamente el mtodo matemtico, puesto que parte de la solucin implica encontrar dos condiciones iniciales para la variable a estudiar, sea de voltaje o de corriente. Nosotros vamos a proponer el planteamiento matemtico de dos formas, tal como se vio en el captulo anterior. Uno es el planteamiento en el dominio del tiempo y otro en el dominio de la frecuencia. Ambas formas nos deben de llevar a la misma solucin, luego para que ello se cumpla, es muy importante saber plantear la ecuacin diferencial de segundo orden Se proponen varios mtodos, pero en cualquiera de los casos tiene que esta bien hecho. No necesariamente hay que usar todos, sino que el alumno decide segn la caracterstica del circuito elctrico para establecer el planteamiento apropiado. Hay modelos circuitales, el cual uno se limita a escribir la solucin sin plantear nada, pero implica un relativo dominio de la teora para que ahorre tiempo. Adems la solucin de una ecuacin diferencial puede tener slo respuesta natural cuando el circuito elctrico no tiene fuentes externas independientes; y respuesta completa cuando los haya. Insistimos: para encontrar los coeficientes de la solucin natural hay que aplicar el concepto de condicin inicial. En algunos casos es simple de encontrar pero en otros puede tomar tiempo. Dado el siguiente modelo circuital: Vamos a encontrar la ecuacin diferencial para la variable de voltaje en el condensador C.

R L C

i

if

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Sabemos que:

Esto es por la aplicacin de la LKC en el nodo correspondiente, y derivando con respecto del tiempo para eliminar la integral obtenemos:

Es la forma tpica de una ecuacin diferencial (ED) de segundo orden. Note que el miembro derecho de la ED contiene la derivada de la funcin de la fuente externa if. Al dividir por C ambos miembros, obtenemos estrictamente la ecuacin diferencial para el voltaje V en el capacitor.

Las unidades es voltios por segundo al cuadrado (V / s2) 7.1 Mtodos para la obtencin de la ecuacin diferencial de segundo orden Tenemos tres modelos: Mtodo de sustitucin Mtodo del operador y el Mtodo de la variable de estado. Antes de comentar cada mtodo podemos adelantar que para nuestro nivel usaremos cualquiera de los dos primeros mtodos, el mtodo de la variable de estado se usa en cursos ms avanzados como la Ingeniera de Control, puesto que la solucin se usa software porque usa mucho el concepto de matrices. 7.1.1 Mtodo de sustitucin Pasos del mtodo de sustitucin: 1.- Identificamos la variable x1 para la cual se desea la solucin. 2.- Escribimos la ecuacin diferencial en trminos de la variable utilizada x1 y de

una segunda variable x2.

fidtdVCiVdt

LRV =+++ ])0(1[

dtdi

LV

dtdV

RdtVdC f=++ 12

2

dtdi

CLCV

dtdV

RCdtVd f112

2

=++

Circuitos Elctricos


3.- Obtenemos una segunda ecuacin adicional para la segunda variable en trminos de la variable deseada x1 como x2=f(x1).

4.- Sustituimos x2=f(x1) en la ecuacin segn el paso 2. 5.- Si se incluye el trmino integral que proviene del paso 4, derivamos la ecuacin

para obtener una ecuacin diferencial de segundo orden. Ejemplo 7.1 Considerando un circuito RLC en serie, encuentre la ecuacin diferencial para la variable i: Solucin: Usamos x1 = V x2 = i La relacin entre V e i est dado por:

Se cumple que x2 = f(x1) Aplicando la LKV en la malla correspondiente podemos escribir la siguiente ecuacin de Kirchhoff:

Pero las variables de voltaje y corrientes estn mezcladas, entonces hacemos la siguiente por sustitucin:

RL C

i

Vf

+ V -

+

-

dtdVCi =

fVRiVdtdiL =++

fVRiidtCdtdiL =++ 1

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Ordenando:

Esta es la ecuacin diferencial para la variable i del circuito. Note que las unidades estn en amperio por segundo cuadrado (A / s2) Tambin se pudo haber escrito la ecuacin diferencial en funcin del voltaje en el capacitor para este circuito RLC serie:

7.1.2 Mtodo del operador (s) Pasos del mtodo del operador:

1.- Identificamos la variable x1 para la cual se desea la solucin. 2.- Escribimos la ecuacin diferencial en trminos de la variable utilizada x1 y de

una segunda variable x2. 3.- Obtenemos una segunda ecuacin adicional en trminos de la segunda

variable y primera variable.

4.- Usamos el operador dtds = y = dts1 para obtener dos ecuaciones

algebraicas en trminos de s y de las variables x1 y x2. 5.- Usamos la regla de Cramer, despejamos la variable deseada de forma que

x = f(s, fuentes) = )()(sQsP

donde P(s) y Q(s) son polinomios en s.

6.- Reordenamos la ecuacin del paso 5 para que Q(s)x1=P(s). 7.- Convertimos los operadores de nuevo en derivadas en la ecuacin del paso 6

para obtener la ecuacin diferencial de 2do orden.

dtdV

dtdiRi

CdtidL f=++ 12

2

dtdV

Li

LCdtdi

LR

dtid f112

2

=++

fVVdtdVRC

dtVdLC =++2

2

fVLCV

LCdtdV

LR

dtVd 112

2

=++

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Ejemplo 7.2 Para el circuito mostrado halle la ecuacin diferencial para la corriente i2 Para el modelo L1 = 1H L2 = 2H R = 1 Solucin Obtenemos la ecuacin diferencial para i1 e i2. Las ecuaciones de malla son: Ordenando las ecuaciones tenemos y usando s: Tenga en cuenta que al momento de usar s las ecuaciones son polinomios ms simples de manipular. factorizando las ecuaciones:

R L2iVf

L1

+

-i1 i2

fViiRdtdiL =+ )( 2111

0)( 2212 =+ dtdiLiiR

fViidtdi =+ )( 211

02)( 212 =+ dtdiii

fViidtdi =+ 211

02 221 =++ dtdiii

fViisi =+ 211

02 221 =++ siii

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De la ecuacin (2), se tiene que: i1= (2s+1)i2 En la Ecuacin (1):

La ecuacin diferencial para la corriente i2 finalmente es:

7.2 Solucin de la Ecuacin Diferencial de 2do orden - Respuesta Natural Dado la forma de la ecuacin:

donde a2, a1 y a0 se conocen y f(t) es una funcin forzada. La respuesta completa es x(t): x = xn + xfo Donde x es de la forma Aest reemplazando en la ecuacin (a) se tiene:

La solucin natural xn ser:

fViisi =+ 21102 221 =++ siii

fViis =+ 21)1(0)12( 21 =++ isi

(1)

(2)

fViss =++ 2]1)12)(1[(

fViss =+ 22 )32(fVdt

didtid =+ 222

2

32

)(122

2 tfxadtdxa

dtxda o =++ ()

)(012

2 tfAeaAseaeAsaststst =++

0012

2 =++ nnn xasxaxsa

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Es necesario que:

Esta ecuacin ltima se le llama ECUACIN CARACTERSTICA La ecuacin caracterstica se obtiene de la ecuacin diferencial dominante de un circuito, asignando a todas las fuentes independientes el valor CERO y suponiendo una solucin exponencial. Al ser una ecuacin de segundo grado puesto que es un polinomio, la solucin es esta ecuacin est dado por:

La solucin natural es:

Note que como existen dos races, luego en la solucin xn aparecen dos exponenciales. Estos valores de las races de la ecuacin caracterstica contienen toda la informacin necesaria para determinar el carcter de la respuesta natural. Como en las races s1 y s2 puede contener cualquier naturaleza en su valor real, es decir puede ser real o complejo y dependiendo de sus valores numricos existen slo tres posibilidades como respuesta natural. Esto lo abarcaremos debidamente. Si la ecuacin diferencial fuera de orden 3 por ejemplo entonces la forma general de la solucin sera:

Y as por el estilo. Lo complicado ser encontrar los valores de A1, A2, A3, ...

0)( 012

2 =++ nxasasa

0)( 012

2 =++ asasa

2

02211

1 24

aaaaa

s+=

2

02211

2 24

aaaaa

s=

tstsn eAeAx 21 21 +=

tststsn eAeAeAx 321 321 ++=

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Ejemplo 7.3 Hallar la respuesta natural de la corriente i2. Use operadores s. Solucin Aplicando LKV Por mallas

Usando operadores: dtds =

Tenemos que por la ecuacin (2):

Reemplazando en (1)

De esta ecuacin, obtenemos la ecuacin caracterstica:

4 1HiVf

+

-i1 i2

8 2H

fVidtdii =+ 211 4212

0144 221 =++ dtdiii

fVisii =+ 211 4212044 221 =++ siii

fViis =+ 21 4)212(0)4(4 21 =++ isi

(1)

(2)

21 )4(41 isi +=

fViss =++ 2]44

)4)(212([ fViss 2]8)4)(6[( 2 =++

fViss 2)1610( 22 =++

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La ecuacin caracterstica es:

Las races son: s1 = -2 s2= -8 La solucin natural ser:

Esta es la caracterstica de respuesta natural, esto es de acuerdo a los resultados de la obtencin de las races de la ecuacin caracterstica. Observacin: Las constantes de tiempo valen 1/2 y 1/8 s. 7.3 Respuesta Natural del circuito RLC en paralelo no forzado Tomaremos el circuito RLC paralelo puesto que los planteamientos en la ecuacin diferencial y clculo de las condiciones iniciales son simples. Tenemos que: Aplicando la LKC en el nodo V

Un circuito de segundo orden tiene una ecuacin diferencial homognea que contiene un trmino de segundo grado, debido a la presencia de dos elementos independientes de almacenamiento de energa.

016102 =++ ss

ttn eAeAx

82

21

+=

R L C

i

v

0)0(10

=+++ dtdVCiVdtLRVt

01122

=++ VLdt

dVRdt

VdC

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Usando el operador s, se tiene la ecuacin caracterstica:

Las races son:

De acuerdo a las expresiones de las races, definimos:

Donde o se le denomina frecuencia natural de oscilacin o frecuencia resonante. Reemplazando y O

Note la caracterstica algebraica de las races, luego se definen tres situaciones: 1. > o Respuesta sobre amortiguada 2. = o Respuesta crticamente amortiguada 3. < o Respuesta sub-amortiguada Analizaremos cada una de las respuestas para saber sobretodo cmo son las grficas tpicas y cmo se interpretan. Luego la respuesta natural:

adicionalmente,

0112 =++LC

sRC

s

LCRCRCs 1)

21(

21 2

1 += LCRCRCs1)

21(

21 2

2 =

RC21=

LC12

0 =y

20

21 +=s 2022 =s

tstsn eAeAV 21 21 += (1)

tstsn esAesAdtdV

212211 += (2)

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La razn de la ecuacin (2) es porque por el mtodo matemtico para la solucin de la ecuacin diferencial, es necesario evaluar la derivada de la funcin V en este caso. No se puede obviar estas ecuaciones porque sirven para encontrar las constantes A1 y A2. 7.3.1 Analizando la Respuesta Natural de un Circuito RLC no forzado en paralelo Sobre amortiguado. Para t = 0

Como la variable es V debemos encontrar V(0 y V(0) Por lo general i(0) y V(0) son conocidos. Por la ecuacin (4) despejamos la derivada de V con respecto al tiempo:

Por (2) sabemos que:

De (3), () y () obtenemos las dos ecuaciones para obtener A1 y A2 Ejemplo 7.4 Para el circuito RLC paralelo mostrado en la figura, halle la respuesta natural v(t) para t > 0.

21)0( AAVn += (3) Por la ecuacin (1)

0)0()0()0( =++dt

dVCiR

V nn(4) Por la LKC en el circuito

)0()0()0( iR

Vdt

dVC nn =Ci

RCV

dtdV nn )0()0()0( =

2211)0( sAsA

dtdVn += ()

()

R = 2/3 L = 1H C = 0.5F V(0) = 10V i(0) = 2A

R L C

i

v

Ecuacin tpica RLC //

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Solucin: La ecuacin caracterstica es:

Reemplazamos en la ecuacin caracterstica y resulta lo siguiente:

Resolviendo el polinomio, tenemos: s1 = -1 y s2 = -2 La respuesta natural:

como en t = 0

Usamos la condicin de la derivada de Vn para encontrar la otra ecuacin para A1 y A2.

Si derivamos la ecuacin (1) y lo evaluamos en cero

Las ecuaciones () y () son permiten encontrar las constantes A1 y A2

Luego:

Graficando esta seal se observa l siguiente.

0112 =++LC

sRC

s

Con RC = y LC = 31

21

0232 =++ ss

ttn eAeAtV

221)(

+=

2110)0( AAVn +==

344302

12

3110)0()0()0(' 2211 ====+= C

iRCVAsAsVn

342)0(' 21 == AAVn

(1)

()

()

1021 =+ AA342 21 = AA

141 =A 242 =A

VeetV ttn )2414()(2 +=

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7.3.2 Analizando la Respuesta Natural de un Circuito RLC no forzado en paralelo Crticamente amortiguado. Un detalle particular es que la parte del radicar se anula, es decir

Luego las races s1 = s2 Supuestamente la solucin sera:

Sin embargo la solucin propuesta no cumple las expectativas desde el punto de vista matemtico. Entonces proponemos una solucin para este caso: Asumamos que la forma de la funcin Vn(t) es:

donde g(t) es un polinomio en t es: B2 + B1t. Y s es la raz de la ecuacin caracterstica.

La forma de solucin ya es conocida. Como comentario, una solucin propuesta para una ecuacin diferencial debe cumplir a dicha ecuacin, si no es as debe de proponerse otra opcin. En nuestro estudio particular no hay mucha complicacin al adoptar una forma de solucin u otra por las condiciones circuitales.

Vn(t)

t1 2 3

10

o =LCRC1

21 =

tststsn eAeAeAtV 1321 21)( =+=

213 AAA +=

tsn etgtV 1)()( =

tsn eBtBtV 1)()( 21 +=

Circuitos Elctricos


Ejemplo 7.5 Para el circuito RLC paralelo mostrado en la figura, halle la respuesta natural v(t) para t > 0. Solucin: La ecuacin caracterstica es:

Al tener races iguales, entonces la solucin natural es:

En t = 0 Sabemos por la condicin inicial que Vn(0) = 5. Y por la ecuacin (1), se deduce que B2 = 5 Fjese que para encontrar B2 no fue necesario sacar primero el par ecuaciones con las constante B1 y B2, sino que se obtuvo directamente. Para este tipo de respuesta siempre ser as. Para hallar la otra constante B1, determinamos Funcin derivada en t =0:

Para ello, hay que hallar la funcin Vn(t) a partir de la ecuacin (1) porque es la forma encontrada a partir del valor de las races en la ecuacin caracterstica.

R = 1 L = 1H C = F V(0) = 5V i(0) = -6A

R L C

i

v

0112 =++LC

sRC

s

Con RC = y LC = 41

41

0442 =++ ss 221 == ss

tn eBtBtV

221 )()(

+= (1)

dtdVn )0(

Circuitos Elctricos


En t = 0:

Resolviendo:

Y finalmente

La grfica para esta solucin natural para Vn(t) se da: 7.3.3 Analizando la Respuesta Natural de un Circuito RLC no forzado en paralelo Subamortiguado. Sabemos que O < , es decir

o tambin: L < 4R2C

tttn eBeBteBdtdV 2

22

12

1 22 +=

44

16

415)0()0(2)0( 21 ==== C

iRCVBB

dtdV nn

42 21 = BB

141 =B

VtetV tn )514()(2 +=

Vn(t)

t

5

2.

1 2

2)2( RCLC

Circuitos Elctricos


La solucin Vn(t) es de la forma:

Tal como se escribe en forma general Donde el valor de las races s1 y s2 son respectivamente:

Podemos escribirlo en forma conjunta las races como:

Donde representa el coeficiente de amortiguamiento, que determinar qu tan rpido declinan las oscilaciones. Veremos oportunamente el por qu de esta afirmacin. Llamamos:

Y se le llama a frecuencia resonante de amortiguamiento, rescribiendo las races tenemos:

Reemplazando s1 y s2 en la expresin de Vn(t)

Por la identidad de Euler:

Luego, reemplazando en la ecuacin (a):

Ordenando las funciones seno y coseno se tiene lo siguiente:

tsts eAeA 21 21 +

221 os += y 222 os =

222,1 = ojs donde j = 1

22 = oa

ajs +=2,1

tjttjtn

aa eeAeeAtV += 21)()()( 21tjtjt

naa eAeAetV +=

tjte tj sencos =

(a)

]sencossencos[)( 2211 tjAtAtjAtAetV aaaat

n ++=

Circuitos Elctricos


Llamaremos B1 = A1 + A2 B2 = j (A1 - A2)

Esta expresin es general para este tipo de respuesta subamortiguada, note la componente exponencial negativa te que nos indica la duracin de las oscilaciones expresadas con los trminos (B1cosat + B2senat). Ahora bien para encontrar los coeficientes B1 y B2 recuerde el procedimiento general matemtico, tal como se explica a continuacin. Para t = 0 Al evaluar Vn(t) resulta que:

Encontramos la derivada de Vn(t) con respecto al tiempo, encontraremos necesariamente la otra ecuacin que nos permite encontrar B2. Entonces al derivar la funcin Vn(t)

y al evaluar en t = 0:

]sen)(cos)[()( 2121 tAAjtAAetV aat

n ++=

)sencos()( 21 tBtBetV aat

n +=

1)0( BVn =

]sen)(cos)[()( 2112 tBBtBBedttdV

aaaatn =

Ci

RCVBB

dtdV n

an )0()0()0(

12 ==

Debido al modelo RLC paralelo debidamente demostrado

Circuitos Elctricos


Ejemplo 7.6 Considere el circuito RLC en paralelo Hallar la respuesta natural Vn(t), t > 0 Solucin . Tenemos que:

Observacin: la unidad de y a es tambin radianes por segundo (rad/s) Como O < , la respuesta es subamortiguada. Luego:

Entonces las races s1 y s2 son numricamente

Ahora nos toca evaluar las condiciones iniciales en t = 0: En t = 0

Para obtener B2, tenemos que:

R = 25/3 L = 0.1H C = 1m F V(0) = 10V i(0) = -0.6A

R L C

i

v

6050

31000101)3/25(2

12

13 ==== xxxxRC

42 101 ==LCo

segrado /100102 ==

segradoa /80601002222 ===

80601 jjs a +=+= 80602 jjs a ==

teBteBtV ttn 80sen80cos)(60

260

1 +=

110)0( BVn ==

Circuitos Elctricos


Al reemplazar el resto de datos conocidos ya se obtiene que:

Finalmente la solucin

El perodo de la oscilacin amortiguada

y la frecuencia fa:

Observacin general. Para encontrar los coeficientes A1 y A2 o B1 y B2 segn el tipo de respuesta natural, siempre se calculan al final de la solucin total. 7.4 Respuesta Forzada de un circuito RLC La ecuacin diferencial para el circuito RLC est dado por:

Donde xfo es la respuesta forzada y debe de satisfacer la ecuacin (1). La ecuacin diferencial de la ecuacin (1) interviene el trmino f(t) que es la funcin que representa una o ms fuentes independientes externas, esto quiere decir que la solucin forzada xfo es de la misma naturaleza que f(t). Dada la funcin forzada f(t), la solucin supuesta xfo(t) ser:

Ci

RCVBBa

)0()0(12 =

Ci

RCVBB

aaa )0()0(

12 =

05.7155.71080

6.0)3000/25(80

1080

106032 =+== xx

xB

tetV tn 80cos10)(60=

msTa

a 798022 ===

HzT

f aa

a 73.12280

21 ====

)(12

2tfxa

dtdxa

dtxd

o =++ (1)

Circuitos Elctricos


f(t) xfo(t)

1) K A 2) Kt At + B 3) Kt2 At2 + Bt + C 4) Ksent Asent + Bcost 5) Ke-at Ae-at Como se puede observar, las cantidad de formas de onda son concretos y suficientes para analizar en los circuitos elctricos correspondientes. Ejemplo 7.7 Dado el circuito mostrado, determinar la ifo(t) si: Solucin. En el nodo V aplicamos la LKV

Donde:

- Note que estamos planteando la LKC en el dominio del tiempo, queda para el alumno resolver este ejercicio por el mtodo de los operadores s Como la variable es ifo, luego debemos de despejar V en funcin de i, por la ecuacin (2):

Y lo reemplazamos en (1)

If = 8e-2t R = 6 L = 7 H C = 1/42 F

v

R L C

i

ifu(t)

dtdVC

RVii f ++=

dtdiLV =

(1)

(2)

2

2

dtidL

dtdV =

Circuitos Elctricos


Reemplazando valores diversos R, L y C: Entonces:

La respuesta forzada ifo(t) ser de la forma: ifo = Be-2t y reemplazando en ()

como observamos, se eliminan las exponenciales en la ecuacin ()

Ejemplo 7.8 Dado la ecuacin diferencial para t > 0

Determine la respuesta forzada Vfo para t > 0 si a) Vf = 8V b) Vf = 3e-4t c) Vf = 2e-2t Solucin: a) para Vf = 8V (es una DC o seal constante) las derivadas correspondientes valen cero:

fiLCi

LCdtdi

RCdtid 1112

2

=++ Ecuacin diferencial para i en el dominio del tiempo

71 =RC 6

1 =LC

)7)42/1(6

1( =x

y )6)42/1(7

1( =x

teidtdi

dtid 22

2

4867 =++ ()

tttt eBeBeBe 2222 486)2(74 =++ ()

tt eBe 22 484 = 12=BAeti tfo

212)( =Luego

fVVdtdV

dtVd =++ 652

2

Circuitos Elctricos


La ecuacin diferencial queda reducida a:

b) Para Vf =3e-4t, se tiene que Vfo = Be-4t como no es una seal constante, entonces encontraremos las respectivas derivadas:

Reemplazando las derivadas en la ecuacin diferencial resulta que:

La respuesta forzada es:

c) para Vf= 2e-2t, se asume que Vfo = Ae-2t las derivadas correspondientes son:

Reemplazando las derivadas en la ecuacin diferencial, resulta:

Se anula la parte izquierda de la igualdad, y resulta una inconsistencia.

022

==dtVd

dtdV

86 =foV VVfo 68=

tfo BedtdV 44 = tfo Be

dtVd 4

2

2

16 =y

tttt eBeBeBe 4444 36)4(516 =++tt eBe 44 32 =

23=B

tfo eV

4

23 = V

tfo AedtdV 22 = tfo Ae

dtVd 2

2

2

4 =y

tttt eAeAeAe 2222 26)2(54 =++

Circuitos Elctricos


La solucin propuesta no cumple la ecuacin diferencial. Luego tomamos Vfo = Ate-2t Las derivadas en este caso no son tan triviales:

Reemplazando las derivadas en la ecuacin diferencial:

Finalmente la respuesta forzada Vfo resulta:

7.5 Respuesta Completa de un circuito RLC La respuesta completa es la suma de las respuestas natural y la forzada, es decir:

Nada ms que el procedimiento es ms extenso en los circuitos de segundo orden que en los sistemas de primer orden. Como casa procedimiento ya es conocido, pasamos a completar este tpico con un ejemplo completo. Las condiciones iniciales para este tipo de respuestas completas siempre de aplican al final de la solucin total de x(t), recuerde que las constantes de la

)21()2( 222 tAeetAAedtdV ttt ==

)44()2(22 222222

teteeAAedtVd tttt +==

tttt eAtetAetAe 2222 26)21(5)44( =+++tt etttAe 22 2)610544( =+++

2=A

tfo teV

22 =

fon xxx +=

Circuitos Elctricos


solucin natural no se conocen cuando se hallan las respuestas naturales y forzadas. Ejemplo 7.9 Dado un circuito RLC en paralelo y su ecuacin diferencial est dado por:

Con las siguientes condiciones:

Determinar V(t) Solucin: a) encontramos la solucin natural:

b) La solucin forzada Vfo = Be-t Tenemos que las derivadas de Vfo son:

reemplazando las derivadas en la ecuacin diferencial, resulta:

Luego la solucin forzada es:

fVVdtdV

dtVd =++ 652

2

sV

dtdV 2)0( =

VV 10)0( =t

f eV= 4

0652 =++ ss0)3)(2( =++ ss

ttn eAeAtV

32

21)(

+=

tfo BedtdV = tfo Be

dtVd =2

2

y

tttt eBeBeBe =++ 46)(5tt eBe = 42 2=B

Circuitos Elctricos


c) la respuesta completa es:

d) Aplicacin de las condiciones iniciales en t = 0 en t = 0 V(0) se tiene la siguiente relacin: Para V(0) tenemos lo siguiente: De () y (): A1 = -16 y A2 = 24 Finalmente:

7.6 Mtodo de la Variable de Estado en el Anlisis de Circuitos para encontrar la solucin a una variable x(t) existe un mtodo alternativo que se denomina Variable de Estado. Las Variables de Estado de un circuito son el conjunto de variables asociadas con la energa de los elementos de almacenamiento de energa del circuito. La palabra estado significa condicin. El mtodo de la variable de estado utiliza una ecuacin diferencial de primer orden por cada variable de estado, para determinar la respuesta completa del circuito.

tfo eV

= 2

fon VVV +=ttt eeAeAtV ++= 2)( 3221

210 21 ++= AA

2232)0( 21 == AAdtdV

821 =+ AA ()

032 21 =+ AA ()

ttt eeetV += 21624)( 32

Circuitos Elctricos


7.6.1 Mtodo de la Variable de Estado en el Anlisis de Circuitos. 1. Identificamos las variables de estado como los voltajes del capacitor y las

corrientes del inductor. 2. Determinamos las condiciones iniciales en t = 0 de los voltajes del capacitor y

las corrientes del inductor. 3. Obtenemos una ecuacin diferencial de primer orden para cada variable de

estado por medio de la LKC o LKV.

4. Usamos los operadores para sustituir dtd

5. Obtenemos la ecuacin caracterstica del circuito, observando que puede hacerse igualando a cero el determinante de la regla de Cramer.

6. Determinamos las races de la ecuacin caracterstica, que a su vez determi-nan la forma de la respuesta natural.

7. Obtenemos la ecuacin diferencial de segundo orden (o mayor) para la variable x seleccionada por la regla de Cramer.

8. Determinamos la respuesta forzada Xfo suponiendo una forma apropiada de la misma y hallando la constante sustituyendo la solucin supuesta en la ecuacin diferencial de segundo orden.

9. Obtenemos la solucin completa x = xn + xfo. 10. Usamos las condiciones iniciales de las variables de estado junto con la serie

de ecuaciones diferenciales de primer orden (paso 3) para obtener. dtdx )0(

11.-Usando x(0) y dtdx )0( para cada variable de estado, hallamos las constantes

arbitrarias A1, A2,.. An para obtener la solucin completa x(t) Ejemplo 7.10 para el modelo, y bajo las siguientes condiciones: Va = 10V Vb = 6V V1(0) = 5V V2(0) = 10V Adems: R1C1 = 1, R2C1 = 1, C2R3 = 1 y C2R2 = 1/2 Halle V1(t) para t > 0

Vau(t) Vbu(t)

R1 R2 R3

C1 C2V1 V2

1 2

+ + + +

- - - -

Circuitos Elctricos


Solucin: Aplicando la LKC en el nodo 1 y en el nodo 2 tenemos el de ecuaciones:

Rescribiendo las ecuaciones, tenemos:

Reemplazando los productos R1C1, R2C1, R2C2, R3C2 en las ecuaciones:

Note que las ecuaciones diferenciales son de primer orden y segn el mtodo de variable de estado, es ms apropiado dejarlos bajo esta forma, puesto que para el clculo de las condiciones iniciales para la derivada del voltaje V1(t) o V2(t) en t = 0 es ms simple de evaluar tal como se observan en las ecuaciones (1) y (2). Usando operadores matemticos

Tenga en cuenta que los valores de Va y Vb son han sido reemplazados, para que cuando se obtenga la respuesta forzada, no cometamos error en calcular otro valor numrico para el voltaje V1fo o V2fo . tenga en cuenta que stos voltajes son DC.

2

12

1

111 R

VVRVV

dtdVC a +=

2

21

3

222 R

VVRVV

dtdVC b +=

Nodo 1:

Nodo 2:

1121

2

21

1

11

11

RCV

RCV

RCV

RCV

dtdV a=++

3222

1

22

2

32

22

RCV

RCV

RCV

RCV

dtdV b=++

aVVVdtdV =+ 211 2

bVVdtdVV =++ 221 32

(1)

(2)

aVVVs =+ 21)2(bVVsV =++ 21 )3(2

Circuitos Elctricos


Como vamos a encontrar el voltaje V1(t), escribimos la ecuacin diferencial en s

Tambin lo escribimos en el dominio del tiempo:

Teniendo definido la ecuacin diferencial para V1(t), encontramos la ecuacin caracterstica para encontrar las races y escribir la solucin natural para V1(t). La ecuacin caracterstica: s2+5s+4=0 La respuesta natural es:

Ahora encontraremos V2fo, note por la ecuacin (5) (6) que las fuentes externas

Va y Vb son constantes, entonces la derivada para Va , dtdVa

valdr CERO .

)3(21)2()3(

1

1

+++

=s

ssV

V

V ba

)3(21)2(

2)2(

2

++

+

=s

sVVs

V ba

45)3(

2 ++++=ssVVs ba

452)2(

2 ++++=ss

VVs ab

(3)

(4)

ba VVsVss ++=++ )3()45( 12

baa VVdtdVV

dtdV

dtVd ++=++ 345 1121

2

41 =s12 =s

ttn eAeAV

4211

+=

(5)

(6)

Circuitos Elctricos


V2fo = K (constante) luego las derivadas dt

dVfo2

y 22

2

dt

Vdfo

valdrn CERO

Reemplazando en (6):

Luego:

Aplicamos condiciones iniciales para V1 Para t = 0

Adems, por la ecuacin (1):

Por la ecuacin (7):

Comparando las expresiones de la derivada en t = 0 sale la otra expresin de la relacin de los coeficientes A1 y A2 10 = -A1-4A2 () Resolviendo () y () A1 = -2 y A2 = -2 finalmente:

VVVK ba 36)6()10(303400 =++=+=++ VK 9=

9421111 ++=+= ttfon eAeAVVV (7)

95)0( 211 ++== AAV 421 =+ AA ()

aVVVdtdV =+ 211 2 211 2 VVVdt

dVa +=

VVVVdt

dVa 1010)5(210)0()0(2)0(

)0(21

1 =+=+=

tt eAeAdttdV 4

211 4)( =

922)( 41 += tt eetV

4.respuesta de un circuito de segundo orden (1)

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