diseÑo frecuencial de controladores pid

Fundamentos de

Control Automático

2º G. Ing. Tecn. Industrial

Tema 9Diseño frecuencial de

controladores PID

Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind.

Desarrollo del tema

Diseño de controladores en el dominio de la frecuencia Control proporcional (P) Control proporcional derivativo (PD) Control proporcional integral (PI) Control proporcional integral derivativo (PID)

Elección del controlador

2

Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind. 3

Diseño frecuencial de controladores Ya sabemos cómo

El diseño de controladores en el DF consiste en modificar la respuestafrecuencial de Gba(s) para que cumpla las especificaciones

Moldeo de lazo (Loop shaping)

Importante: El moldeo de lazo sólo se puede aplicar sobre sistemas estables(con integradores en serie)Esta limitación no se da en el método del lugar de las raíces

Especificaciones de Gbc(s)en el dominio del tiempo

Especificaciones de Gba(s)en el dominio de la frecuencia


Ejemplo motivadorVamos a usar como ejemplo articulador del tema el motor DCMCT(ver tema 7) El bode de la función de transferencia que relaciona la posición angular con la tensión de dicho motor es:

-150

-100

-50

0

50

100

Mag

nitu

de (d

B)

10-1

100

101

102

103

104

-270

-225

-180

-135

-90

Phas

e (d

eg)

Bode DiagramGm = 15.7 dB (at 31.6 rad/sec) , Pm = 34 deg (at 11.6 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

Mf=34º

wc=11.6


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

System: sysclTime (sec): 0.26Amplitude: 1.36

System: sysclTime (sec): 0.159Amplitude: 1


Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

5

Ejemplo motivadorDCMCT controlado por un control P con ganancia Kc=1

Trataremos mediante dististintas técnicas de control de mejorar estos resultados


Desarrollo del tema



6


Control proporcional (P)

Ley de Control

Función de transferencia

Modifica la ganancia de bode de G(s)C(s) Frecuencia de corte Estabilidad Rapidez Error en rp

19

19.2

19.4

19.6

19.8

20

20.2

20.4

20.6

20.8

21

Mag

nitu

de (

dB)

100

101

−1

−0.5

0

0.5

1

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)


Control proporcional (P)Efecto sobre el sistema

Puede subir o bajar el módulo

No afecta a la fase

-200

-150

-100

-50

0

50

100

Mag

nitu

de (d

B)

10-1

100

101

102

103

104

-270

-225

-180

-135

-90

Phas

e (d

eg)

Bode DiagramGm = -4.28 dB (at 31.6 rad/sec) , Pm = -7.98 deg (at 40.3 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

Kc=10, wc=40.3 ,Mf=-7.98º

Kc=0.1, wc=1.77 ,Mf=79ºKc=1, wc=11.6 ,Mf=34º

Para la mayoría de los sistemas (y para este en concreto) si



Baja frecuencia

Régimen permanente: mejora

Menor error en régimenpermanente Mejores propiedades de seguimiento

Frecuencia de corte

Estabilidad: empeora(Disminuyen los márgenes)

Rapidez del transitorio: mejora

Sobreoscilación: empeora

Análisis según la forma de lazo

- 1 5 0

- 1 0 0

- 5 0

0

5 0

1 0 0

Mag

nitu

de (d

B)

Wc


Aplicación al DCMCTPodemos deducir la ganancia de bode de la función de transferencia teniendo en cuenta que el sistema sólo tiene un integrador (la pendiente de caída a frecuencias bajas es de 20 dB/dec)

A la mínima frecuencia disponible el módulo es debido al integrador y a la ganancia de bode

25

30

35

40

45

50

Mag

nitu

de (d

B)

System: sysFrequency (rad/sec): 0.1Magnitude (dB): 45.1

10-1

100

-98

-96

-94

-92

-90

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

A esta frecuencia el modulo de un integrador es 20dB

El modulo de la ganancia será25.1dB


Aplicación al DCMCTEspecificaciones de control (en posición)

Especificacionesen el

dominio del tiempo

00

Tiemp

y(t)

)()()(

..

yyty

OS p

)(y

etptst

tiempo


Apliacción al DCMCT

Especificaciones de control

Ganancia del controladorKc≥5.56 (14.9 dB)0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

SO(%)Mf (grados)

Especificacionesen el

dominio del tiempo

Especificaciones en el dominio de la frecuencia



Apliacción al DCMCTDiseño de un control P para el DCMCT

Un controlador P no puede satisfacertodas las especificaciones

Ajustar Kc para cumplir las especificaciones1. Especificaciones en rp2. Especificaciones en ts, (wc≥15.708=w2)

3. Especificación en SO. Para que el margen de fase sea mayor que el deseado, wc < w3=7.28, |G(jw3)|dB=5.42 por lo tanto

-150

-100

-50

0

50

100

Mag

nitu

de (d

B)

System: untitled1Frequency (rad/sec): 15.7Magnitude (dB): -4.26

System: untitled1Frequency (rad/sec): 7.68Magnitude (dB): 5.42

10-1

100

101

102

103

104

-270

-225

-180

-135

-90

System: untitled1Frequency (rad/sec): 7.68Phase (deg): -132

Phas

e (d

eg)


Frequency (rad/sec)


Apliacción al DCMCTDado que todas las especificaciones no se pueden cumplir, sería posible que: Solo se cumpla la condición de sobreoscilación?

Sí, tomamos Kc menor que 0.5358

Se cumpla el tiempo de subida y el error en rp

Sí, tomamos la Kc más restrictiva de las dos, es decir Kc mayor que 5.56. Hay que comprobar que el sistema es estable. Con Kc=5.56 obtenemos Mf=1.56º(cerca de la inestabilidad)

Se cumpla el ts y SO

No existe una Kc que cumpla ambas condiciones

Se cumpla error en rp y la SO

No existe una Kc que cumpla ambas condiciones



¿Sería posible desacoplar el ts y la SO?

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Time (s)

y(t)


Desarrollo del tema



16


Control proporcional derivativo (PD)

Bajas frecuencias Ganancia como un P Fase aprox. Igual

Altas frecuencias Ganancia aumenta a razón de 20 dB/dec Fase sube hasta 90º (en teoría)

Implementación: Filtro de derivadas (red de avance). Limita el

máximo incremento de fase, (Máximo real ~ 78.5÷80º )

10-2 10-1 100 101 102

(rad/s)

Mód

ulo

(dB

)

0

45

90

(rad/s)

Fase

(gra

dos)

|Kc|dB1/Td

20 dB/dec



Ejemplos de métodos de diseño para controladores PD Los controladores PD son apropiados cuando no es posible

cumplir la especificación de SO (margen de estabilidad) a la vez que las de erp y ts

• El controlador P no consigue suficiente margen de fase o equivalentemente, para cumplir la especificación de margen de fase la wc o la ganancia de Bode son menores de las deseadas

Ejemplos• Caso 1: Al diseñar un controlador P (Kc) para cumplir ganancia de

Bode mínima y wc mínima, la diferencia entre el margen de fase del sistema resultante KcG(s) y el margen de fase deseado es menor de 45º

• Caso 2: Al diseñar un controlador P (Kc) para cumplir ganancia de Bode mínima, la diferencia entre el margen de fase del sistema resultante KcG(s) y el margen de fase deseado es mayor de 45º

• Caso 3: Al diseñar un controlador P (Kc) para cumplir ganancia la wc mínima, la diferencia entre el margen de fase del sistema resultante KcG(s) y el margen de fase deseado es mayor de 45º No hay espeficicaciones de ganancia de Bode mínima


Caso 1 La frecuencia de corte no varía

19


-150

-100

-50

0

50

100

Mag

nitu

de (d

B)

10-1

100

101

102

103

104

-270

-180

-90

0

90

Phas

e (d

eg)

Bode DiagramGm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 18 deg (at 30.9 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

c = 'c

1/Td

C(c)

Diseñar Kc como un controlador P para satisfacer las restricciones de régimen permanente y ts

Una vez fijada Kc, queda fijada la frecuencia de corte y el margen de fase del sistema KcG(s)

Con el término dervativo es posible aumentar hasta en 45º el margen de fase para cumplir la restricción de sobreoscilación

Si el incremento de fase requerido es mayor de 45º, entonces hay que colocar el cero a la izquierda de wc (caso 2)



Caso 2 La frecuencia de corte aumenta

-150

-100

-50

0

50

100

Mag

nitu

de (d

B)

10-1

100

101

102

103

104

-270

-180

-90

0

90

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram Gm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 53.5 deg (at 47.8 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

c 'c

1/Td

Mf(Gba(c)) > Mf (Gba('c))

El aumento de margen de fase es menor del esperado

Suponemos un AMf mayor para compensar esta perdida

En general para incrementos de fase entre 40º y 70ºtomaremos como 5º-10º

Es necesario comprobar que el sistema resultando cumple con las especificaciones a posteriori

En este caso Kc está fijada por erp


Si Kc no está fijada por la especificación de ganancia de Bode mínima, es decir, por la especificación de régimen permanente, es posible compensar el incremento en el módulo producido por el cero del PD bajando la ganancia Kc de forma apropiada

En este caso Kc la determinaremos para que wc sea la frecuencia de corte elegida, el incremento de margen de fase será el esperado independiemtemente del valor del AMf

Caso 3 El controlador no tiene restricciones de ganancia de Bode mínima

21


-150

-100

-50

0

50

100

Mag

nitu

de (d

B)

10-2

10-1

100

101

102

103

104

-270

-180

-90

0

90

Phas

e (d

eg)


Frequency (rad/sec)

1/Td c


Efecto sobre el sistema

A bajas frecuencias como un P A frecuencias medias

A altas frecuencias aumenta• El módulo 20 dB/dec• La fase sube hasta 80º

22


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Un buen ajuste puedeproporcionar unarespuesta más rápida y menos oscilatoria



- 1 5 0

- 1 0 0

- 5 0

0

5 0

1 0 0

Mag

nitu

de (d

B)

Wc

Análisis del moldeo de lazo

Baja frecuencia

Régimen permanente:mejora (Igual que el control P)

Menor error en régimenpermanente Mejores propiedades de seguimiento

Frecuencia de corte

Estabilidad: mejora(Aumentan los márgenes)

Rapidez del transitorio:mejora

Sobreoscilación: mejora

Alta frecuencia

Efecto del ruido: empeora

(La pendiente aumenta20 dB/dec)


Aplicación al DCMCT Ejemplo 1

Ajustar Kc para cumplir las especificaciones

1. Especificaciones en rp

2. Especificaciones en ts, (wc≥15.708)

Tomamos el valor mayor de Kc


Sistema es tipo 1 (se sabe por la pendiente del módulo a frecuencias bajas). El error en velocidad está acotado


Aplicación al DCMCT

-150

-100

-50

0

50

100

Mag

nitu

de (d

B)

10-1

100

101

102

103

104

-270

-225

-180

-135

-90

Phas

e (d

eg)

Bode DiagramGm = 0.821 dB (at 31.6 rad/sec) , Pm = 1.56 deg (at 30.2 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

Kc=5.56, wc=30.2 ,Mf=1.56º5.56G(j)

G(j)

Kc=5.56, la frecuencia de corte aumenta y además es > 15.708. Se cumple la condición del tiempo de subida y de error en rp


Aplicación al DCMCTPuesto que Kc esta determinada, paso esta al sistema y diseño (1+Tds) para controlar Kc*G(S)

-

U(s)R(s)

Sistema sin compensar

C(s)/Kc

Ym(s)=Y(s)

Del bode de Kc*G(S) sacamos wc y Mf y diseño (1+j.Td.wc) para que me aporte la fase necesaria para tener el margen de fase deseado

(1+jTdwc) Debe proporcionar la fase necesaria para que C.G tenga el margen de fase deseado.(1+jTdwc) Debe proporcionar la fase necesaria para que C.G tenga el margen de fase deseado.(1+jTdwc) Debe proporcionar la fase necesaria para que C.G tenga el margen de fase deseado.


Como

El incremento de margen de fase será menor del esperado. Incrementamos una cantidad para compensar esa disminución

= 10 en este caso

Calculamos Td a partir del AMf

Comprobamos el margen de fase resultante haciendo el bode de CG

Nota: Suponemos un valor de ∆, comprobamos el Mf de CG y si nos es suficiente rediseñamos con un valor mayor de ∆. Puede aumentarse ∆ mientras AMf sea menor de 80º. Si ocurriese esto no podríamos cumplir especificaciones con un PD

27


Td wc

AMf

1Re

Im



Faltaría comprobar la sobreoscilación y el tiempo de subidaPara ello simulamos la respuesta ante escalón de Gbc

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.180

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4System: sysclTime (sec): 0.0601Amplitude: 1.18


Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

Se cumple la condición sobre el Mf

-150

-100

-50

0

50

100M

agni

tude

(dB)

10-1

100

101

102

103

104

-270

-180

-90

0

90

Phas

e (d

eg)

Bode DiagramGm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 53.5 deg (at 47.8 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

C(s)

C(s)

C(S)G(s)

C(S)G(s)

KcG(s)

KcG(s)

Mf=53.3º


Aplicación al DCMCTEspecificaciones de control

El sistema es tipo 1, el error en posición es siempre cero (caso 3)

Ejemplo 2

(1+jTdwc) Debe proporcionar la fase necesaria para que C(s)G(s) tenga el margen de fase deseado

-150

-100

-50

0

50

100

Mag

nitu

de (d

B)


10-1

100

101

102

103

104

-270

-225

-180

-135

-90 System: untitled1Frequency (rad/sec): 17.6Phase (deg): -160

Phas

e (d

eg)


Frequency (rad/sec)

Buscamos en el bode de G(s) una frecuencia w’c ≥ wcd tal que si fuese la nueva frecuencia de corte el AMf fuese realizable


En este caso Kc la determinaremos para que w’c sea la frecuencia de corte elegida, el incremento de margen de fase será el esperado independiemtemente del valor del AMf.

Calculamos Td a partir del AMf

Calculamos Kc para que w’c sea la frecuencia de corte

Comprobamos el margen de fase resultante haciendo el bode de CG

30




Comprobamos SO y tsNo se cumplenRediseñamos suponiendo un Mfd mayor y una wcmayor

Se cumple la condición sobre el Mf y wc

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2



Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

-150

-100

-50

0

50

100

Mag

nitu

de (d

B)

10-1

100

101

102

103

104

-270

-180

-90

0

90

Phas

e (d

eg)


Frequency (rad/sec)

C

CG

CG

C

KcG

KcG



♦ En el caso que cumpliéndose la condición sobre el margen de fase no se cumpla la de SO. Rediseño suponiendo un Mfd mayor

♦ En el caso en el que AMf fuese mayor de 80º, el PD no es capaz de aportar ese AMf y por lo tanto no se pueden cumplir las especificaciones

Aumentamos el Mfd para cumplir la SO y la wc Para cumplir con el ts

Escogemos una nueva frecuencia de corte

Aunque AMf > 45º como conozco la nueva frecuencia de corte el AMfes el esperado



0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4



Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

-150

-100

-50

0

50

100

Mag

nitu

de (d

B)

10-1

100

101

102

103

104

-270

-180

-90

0

90

Phas

e (d

eg)


Frequency (rad/sec)

Mf de fase es el esperado

Comprobamos SO y tsse cumplen


Ejemplo PD

2

( 5)( )( 0.1)( 2 2)

sG ss s s

Especificaciones: erp ante escalón < 1% SO < 20%, Mfd > 48º

Especificación en eprp

Se toma Kc=4

No se puede satisfacer las especificaciones con un P

Un PD introduce fase por lo que es una buena posibilidad

-80

-60

-40

-20

0

20

40

Mag

nitu

de (d

B)10

-310

-210

-110

010

110

2

-180

-135

-90

-45

0

Phas

e (d

eg)

Bode DiagramGm = -8.37 dB (at 1.93 rad/sec) , Pm = -15 deg (at 2.81 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

Mf=-15º

Kc G(s)

G(s)


Ejemplo PD

2

( 5)( )( 0.1)( 2 2)

sG ss s s

eprp < 1%, SO < 20%

Se toma Kc=4

Especificación en SO Mfd=48º

Mf=-15º, wc=2.81 rad/s Mf=48+15+10=73 >45 Lo que implica caso b) 1/Td<wc Td=tan(73º)/2.81=1.1640 1/Td = 0.8591rad/s El resultado obtenido se caracteriza por:

Mf= 62.6o

Mg= inf wc = 6.08 rad/s

-100

-50

0

50

Mag

nitu

de (d

B)

10-3

10-2

10-1

100

101

102

-270

-180

-90

0

90

Phas

e (d

eg)

Bode DiagramGm = Inf , Pm = 62.6 deg (at 6.08 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

C(s)

C(s)

Mf= 62.6º

C(s) G(s)

C(s) G(s)

Kc G(s)

Kc G(s)



Mediante simulación es posible obtener: SO= 14% ts= 0.32 s

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Step Response

Time (sec)

Ampl

itude


Ejemplo PD

2

( 5)( )( 0.1)( 2 2)

sG ss s s

Especificaciones: erp ante escalón < 1% SO < 20%, Mfd > 48º

Especificación en eprp

Se toma Kc=4Especificación en SO. Mfd=48ºMf=5º, wc=3 rad/sMf=48-5+10=53 >45Lo que implica caso 2 1/Td<wcTd=tan(52º)/3=0.4423

Supongamos que no tengo disponible Matlab. ¿Cómo diseño el controlador?. Usamos diagramas asintóticos que nos dan una buena aproximación.

10-3 10-2 10-1 100 101 102

-50

0

50

(rad/s)

Mód

ulo

(dB

)

10-3 10-2 10-1 100 101 102-225-180-135-90-45

0

(rad/s)

Fase

(gra

dos)

c=3

Mf=5º

Bode asintótico de KcG

No se comprueba el diseño del controlador


Ejemplo PD

Especificaciones evrp ≤1% SO ≤ 20% → Mf ≥ 48o

Tiempo de subida mínimo

El sistema realimentado unitariamente es inestable pues Mf<0

Además este sistema no se puede controlar con un P, pues la fase del sistema es siempre inferior a -180o

Ejemplo de diseño

-150

-100

-50

0

50

Mag

nitu

de (d

B)


10-1

100

101

102

-270

-225

-180


Phas

e (d

eg)

Bode DiagramGm = -Inf dB (at 0 rad/sec) , Pm = -11.2 deg (at 0.99 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

|G(j2.29)|dB

=-15.2

Mf(G(j2.29))=-25º


Ejemplo PD El sistema es tipo 2, por lo que se

cumple la especificación en régimen permanente para todo Kc

Minimizar el tiempo de subida, implica maximizar la wc (a wc mayores Mfmenor) Con un Mfd=48º, imponemos Mf~75º, entonces ω’c=2.29 rad/s, Mf=-25º y |G(j ω’c)|dB=-15.2

AMf=Mfd-Mf=48-(-25)=73Td=tan(73)/2.26=1.44731/Td = 0.691 rad/s

Finalmente, Kc se toma para que la frecuencia de corte sea ω’c=2.26 rad/s

-150

-100

-50

0

50

100

Mag

nitu

de (d

B)

10-2

10-1

100

101

102

-270

-180

-90

0

90

Phas

e (d

eg)

Bode DiagramGm = -Inf dB (at 0 rad/sec) , Pm = 48.6 deg (at 2.31 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

C(s)

C(s)

C(s) G(s)

C(s) G(s)

G(s)

G(s)

Mf= 48.6º, wc=2.31


Ejemplo PDDiagrama de Bode de C(s)G(s)

Wc = 2.31Margen de fase = 48.6º


Ejemplo PD

La respuesta ante escalón del sistema controlado en bucle cerrado es tal que

• SO= 28%• ts= 0.709 s

La sobreoscilación mayor que la deseada se debe al cero que añade el controlador PD

0 2 4 6 8 10 12 140

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2



Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

¿Por qué no cumple las especificaciones?


Ejemplo PD

Análisis de Gbc(s)

Polos-1.047-1.9765 + 2.0324i-1.9765 - 2.0324i

Ceros-0.7

- No cumple que los polos dominantes sean complejos conjugados- El polo dominante estáen -1- El cero (introducido por el término derivativo) es dominante (genera la SO)


Ejemplo PD

Esto ocurre por forzar al máximo las posibilidades del PD Añadir 78º

En general, el diseño basado en el dominio de la frecuencia tendrá mayor probabilidad de cumplir la suposición de dar como resultado un sistema en bucle cerrado con dos polos complejos conjugados dominantes cuanto menos fase tenga que añadir el PD Colocar el cero lo más lejos posible del origen, es decir 1/Td lo

más grande posible Esto en general motiva que el PD de buenos resultados y

sea más fácil de diseñar cuando el incremento de fase es pequeño (menor de 45º) y las especificaciones de régimen permanente no fijan una ganancia del controlador Kcmínima Para cumplir las especificaciones de ganancia de Bode mínima,

es más apropiado un controlador con término integral


Desarrollo del tema

Diseño de controladores en el dominio de la frecuencia Control proporcional (P) Control PD Control PI Control PID



Control PI

Módulo asintótico

(rad/s)

dB

-90

-75

-60

-45

-30

-15

0Fase

grad

os

1/Ti

Kc- 20 dB/dec

Efectos:

♦ Incrementa el tipo del sistema(número de polos en el origen)

♦ Reduce la fase a frecuenciasmenores a 1/Ti


Control PI

Efectos en el sistema

♦ A bajas frecuencias la magnitudsube debido al polo en el origen.

♦ A altas fecuencias la magnitudno se modifica.

♦ Para frecuencas inferiores a 1/Tila fase decrece.

Mejora el rechazo a perturbaciones y laspropiedades de seguimiento de referencia

Puede introducirinestabilidad(menor margen de fase)

−200

−150

−100

−50

0

50

100

150

200

Mag

nitu

de (

dB)

10−4

10−3

10−2

10−1

100

101

102

103

−270

−180

−90

0

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Sin modificación

Descenso de fase

Incremento de pendiente


Control PI

- 1 5 0

- 1 0 0

- 5 0

0

5 0

1 0 0

Mag

nitu

de (d

B)

Alta frecuencia

La respuesta a altasfrecuencias no se modifica.

Baja frecuencia:

-A baja frecuencia la respuestamejora. Lapendiente se incrementa en -20dB/dec.

-Rechazo a perturbaciones mejora

-Seguimiento mejora

Frecuencia media

- El margen de estabilidad puedeempeorar

- El margen de fase decrece parabajas frecuencias. La sobreoscilación puedeaumentar.

Wc

Análisis del moldeo de lazo

-20 dB/dec


Control PI

♦ El control PI se usa principalmente para mejorarel rp y el rechazo a perurbaciones. Especialmentecuando se requiere el aumento de tipo de sistema.♦ Debido a que el PI reduce la fase haremossiempre:

Con objeto de que la reducción de fase caiga lejos de la frecuencia de corte y reduzca poco el margen de fase

-150

-100

-50

0

50

100

Mag

nitu

de (d

B)

10-2

10-1

100

101

102

103

104

-270

-180

-90

0Ph

ase

(deg

)

Bode DiagramGm = Inf , Pm = -180 deg (at Inf rad/sec)

Frequency (rad/sec)

Fase sist pocomodificada

KG


Control PI

♦ 1/Ti es el termino quepondera la integral.Si 1/Ti es pequeño el rechazo de lasperturbaciones es lento y el tiempo de establecimiento alto.Por ello:

0 5 10 15 20 25 300.99

1

1.01

1.02

1.03

1.04

1.05Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

1/Ti




Ajustar Kc para cumplir las especificaciones en rp

El tipo es 2 (1 del sistema + 1 del controlador). El error en aceleración está acotado

-

U(s)R(s)

Sistema sin compensar

C(s)/Kc

Ym(s)=Y(s)Diseñamos (1+Tis) para Diseñamos (1+Tis) para


Aplicación al DCMCT Dibujamos el bode de

-300

-200

-100

0

100

Mag

nitu

de (d

B)

10-1

100

101

102

103

104

-360

-315

-270

-225

-180

Phas

e (d

eg)

Bode DiagramGm = -Inf dB (at 0 rad/sec) , Pm = -6.27 deg (at 0.997 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

(1+jTiwc) Debe proporcionar la fase necesaria para que C.Gtenga el margen de fase deseado.


Aplicación al DCMCT Kc=K.Ti

Comprobamos Mf de CG

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4


Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

-200

-150

-100

-50

0

50

100

Mag

nitu

de (d

B)

10-2

10-1

100

101

102

103

104

-270

-180

-90

0

Phas

e (d

eg)


Frequency (rad/sec)

C

G

G

C

CG

CG

Comprobamos SO




♦ El tipo es 2 (1 del sistema + 1 del controlador).

♦ El error en velocidad es cero siempre. (No se podría conseguir con un PD). No existe condición sobre la ganancia proporcional debido a la especificación en rp.

♦ PI no aporta fase. El margen de fase ha de aportarlo el sistemaBuscamos w que sea mayor que wcd y que si fuera la frecuencia de corte tendría un margen de fase mayor que MFd




Frequency (rad/sec)

-150

-100

-50

0

50

100System: untitled1Frequency (rad/sec): 5.15Magnitude (dB): 9.86

Mag

nitu

de (d

B)

10-1

100

101

102

103

104

-270

-225

-180

-135

-90

Phas

e (d

eg) System: untitled1

Frequency (rad/sec): 5.15Phase (deg): -120

Dibujamos el bode de G(s)

Calculamos Ti

Calculamos Kc para que w’c sea la frecuencia de corte. Como

5º de más es debido a la reducción de fase del PI



Comprobamos Mf de CG

Comprobamos SO

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4 System: sysclTime (sec): 0.56Amplitude: 1.18


Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

-200

-150

-100

-50

0

50

100

Mag

nitu

de (d

B)

10-2

10-1

100

101

102

103

104

-270

-180

-90

0

Phas

e (d

eg)


Frequency (rad/sec)

C

C

G

G

CG

CG


Ejemplo de diseño de un PI

Especificaciones:♦ evrp 0.01♦ SO 20%

1( )( 1)( 10)

G ss s s

Si quisiéramos satisfacer especificaciones con un P o un PD

Kv = 0.1Kc 100 Kc =1000

Hacemos el bode de KcG

-200

-150

-100

-50

0

50

100

Mag

nitu

de (d

B)


10-2

10-1

100

101

102

103

-270

-225

-180

-135

-90

Phas

e (d

eg) System: untitled2

Frequency (rad/sec): 0.636Phase (deg): -126


Frequency (rad/sec)

1000G

1000G

G

G



Márgen de fase de 1000G(s) = -34.3ºSO 20% Mfd48º♦ Un controlador proporcianal no puede estabilizar el sistema y satisfacer lasespecificaciones de error en valocidad.♦ Se puede incrementar la fase añadiendo un PD?AMf = Mfd – Mf = 48- (-34.3) = 82.3º No se puede usar un PD

Solución: Usar un controlador PI. El PI incrementa el tipo de Gba y por lo tanto la especificación de error en régimen permanente se satisfaceautomáticamente.

PI no aporta fase. El margen de fase ha de aportarlo el sistema.Buscamos w tal que si fuera la frecuencia de corte tendría un margen de fase mayor que MFd. Hacemos el bode G(s)


Ejemplo de diseño de un PITi se elige para garantizar que el término integral no disminuye el margen de fase del sistema controlado:

Calculamos Kc para que w’csea la frecuencia de corte. Como

-200

-150

-100

-50

0

50

100

Mag

nitu

de (d

B)

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

-270

-180

-90

0

Phas

e (d

eg)


Frequency (rad/sec)

C

CG

CG

C

G

G


Ejemplo de diseño de un PIRespuesta temporal del sistema en bucle cerrado:

SO= 24%Habría que rediseñar. Como el MF > Mfd y aún así no se cumple la SO, rediseñamos un MFd =55

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

-200

-150

-100

-50

0

50

Mag

nitu

de (d

B) System: untitled1Frequency (rad/sec): 0.427Magnitude (dB): -13.3

10-2

10-1

100

101

102

103

-270

-225

-180

-135

-90


Phas

e (d

eg)


Frequency (rad/sec)



Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4





Especificaciones:♦ earp 0.01♦ SO 20%

1( )( 1)( 10)

G ss s s

El sistema es tipo 1. Para cumplir la especificación en régimen permanente necesitamos un control que aumente el tipo en 1. Necesariamente un PI o un PID

Error en aceleración 0.01 fija la mínima ganancia de bode Kc del

controlador:

Diseñamos (1+Tis) para



-200

-100

0

100

200

Mag

nitu

de (d

B)

10-2

10-1

100

101

102

103

-360

-315

-270

-225

-180

Phas

e (d

eg)

Bode DiagramGm = -Inf dB (at 0 rad/sec) , Pm = -101 deg (at 4.47 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

El incremento de margen de fase es mayor de 80º.

Con un PI no se pueden satisfacer las especificaciones



Especificaciones♦ evrp < 0.01♦ SO < 60%, Mfd=20º

El sistema es tipo 0. Para cumplir la especificación en régimen permanente necesitamos un control que aumente el tipo en 1. Necesariamente un PI o un PID

Error en velocidad 0.01 fija la mínima ganancia de bode Kc del

controlador:

Diseñamos (1+Tis) para



-150

-100

-50

0

50

100

Mag

nitu

de (d

B)

10-2

10-1

100

101

102

103

-270

-225

-180

-135

-90

Phas

e (d

eg)


Frequency (rad/sec)



Mf de fase es el esperado

Comprobamos SO y no cumple. Como la condición de margen de fase si se cumple rediseñamos con un Mfd mayor.

-100

-50

0

50

100

Mag

nitu

de (d

B)

10-2

10-1

100

101

102

103

-180

-135

-90

-45

0

Phas

e (d

eg)

Bode DiagramGm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 20.5 deg (at 12.8 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

C

C

G

G

CG

CGStep Response

Time (sec)

Ampl

itude

0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6




Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6


Se cumple la especificación de SO


Desarrollo del tema

Diseño de controladores en el dominio de la frecuencia Control proporcional (P) Control PD Control PI Control PID


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diseÑo frecuencial de controladores pid

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