potencial de mejora del refigerador del...

PFC de Pablo Utrilla Noriega

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4. MODELOS NUMÉRICOS

El uso de uno o varios modelos numéricos que simulen las condiciones en cada

elemento del motor Stirling para cualquier instante de tiempo es sin duda un paso

necesario para comprender el funcionamiento de un motor, y evaluar sus prestaciones.

Sin embargo, pese a la aparente simplicidad del ciclo Stirling, el análisis matemático del

ciclo conlleva una enorme complejidad, incluso para modelos ideales. La dificultad de

describir el comportamiento del motor en términos de simples ecuaciones

termodinámicas, es fuente del escepticismo y desconocimiento con el que se mira el

motor Stirling incluso hoy día.

4.1. Clasificación de los modelos numéricos.

El primer análisis en profundidad del ciclo se debe al trabajo de Gustave Schmidt en

1871, desde entonces, muchos otros modelos han sido desarrollados, algunos de ellos

muy complejos. Para clasificar estos modelos, se definen cuatro categorías según el grado

de sofisticación:

Modelos de orden cero: Basados en datos experimentales, más que en modelos

en sí, como los realizados por Beale o West, que estiman una potencia específica

en el eje del motor a partir de pocos parámetros de entrada. Por ejemplo, el

planteamiento de West, precisaba sólo de la presión media, régimen de giro,

desplazamiento, y temperaturas de los focos frío y caliente. De esta forma:

�̇�𝑒𝑓𝑓 = 𝑁𝑤 ∙ 𝑃𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 ∙ 𝑉𝑐 ∙𝑁

60∙ (

𝑇𝐻 − 𝑇𝐶

𝑇𝐻 + 𝑇𝐶)

Siendo Nw el número de West adimensional, con valores entre 0.25 y 0.35.

Modelos de primer orden: Se basan en el ciclo ideal con parámetros empíricos

para cada motor específico. Estos modelos conllevan ecuaciones explícitas para

las prestaciones de un motor concreto. Donde el conjunto de ecuaciones obtenido

puede ser integrado para variaciones sinodales de los volúmenes de expansión y

compresión, y son útiles para estimar el comportamiento del motor entre ciertos

márgenes, por ejemplo, dan una idea muy aproximada de la potencia de un motor

en función de sus dimensiones. Sin embargo no tienen en cuenta las pérdidas ni

los fenómenos no lineales.

Uno de los modelos más comunes de este tipo es el modelo isotermo analizado

por Schmidt. Estos modelos se usan básicamente como punto de partida a

modelos más complejos, y durante la etapa de diseño.


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Modelos de segundo orden: Se estudia la eficiencia global del ciclo en primer

lugar, y luego, los procesos particulares son estudiados local e

independientemente del análisis global, con el propósito de retroalimentar el

análisis global de nuevo en proceso iterativo hasta la convergencia del modelo. El

modelo adiabático de Urieli, pertenece a esta categoría, y y además de la potencia

del motor, calcula el calor absorbido por el calentador, y el cedido por el enfriador.

Las pérdidas térmicas y dinámicas se calculan con correlaciones sencillas para cada

elemento independiente, y no interactúan unas con otras, es por ello que este tipo

de modelo se denomina también como desacoplado. Los modelos de segundo

orden son más precisos que los anteriores pero siguen siendo inapropiados para

evaluar los fenómenos no lineales, ni la interacción entre las pérdidas.

Modelos de tercer orden: También denominados modelos acoplados, o nodales.

En este tipo de modelos el motor se divide en un número de nodos para los cuales

las ecuaciones de conservación de la masa, momento y energía son aplicadas. El

conjunto completo de ecuaciones a lo largo de todo el motor es solucionado

simultáneamente, dando lugar a la evaluación de la temperatura y la presión en

todos los puntos del motor y en cualquier instante de tiempo. Las pérdidas

también se evalúan como un conjunto a través de correlaciones o modelos

específicos. Los modelos de Frinkelstein o la NASA – Lewis, son de este tipo. Estos

modelos son los más sofisticados y que requieres de mayor tiempo de

computación. Pero no hay pruebas concluyentes de que sus resultados sean los

más precisos, pues comparados con los resultados experimentales, los modelos

de segundo orden pueden en ocasiones llegar a ser igual de fiables.

Modelos de cuarto orden: O multidimensionales, para abarcarlos es necesario el

uso del CFD (cálculo de dinámica de fluidos), se usan para determinar el perfil del

flujo a través de los distintos componentes del motor. Aunque considerar el

dominio completo del motor resulta inabarcable por complejidad computacional,

el estudio de pequeños dominios de efectos locales mediante CFD entrega

información muy valiosa del comportamiento esperado del motor.

Aun considerando el uso de modelos de cuarto orden, el trabajo útil del motor

seguirían sin poder calcularse con precisión debido a la naturaleza incierta y compleja de

las pérdidas mecánicas por fricción de la cadena cinemática de un motor, y la integración

en el sistema global de las pérdidas por elementos auxiliares como bombas de

refrigeración u otros sistemas. Experimentalmente se sabe que la eficiencia mecánica de

los motores se encuentra en el margen del 65 al 75%, de modo que se considera este

margen de incertidumbre para el diseño de un motor.

En los siguientes apartados se desarrollaran los modelos numéricos que han sido

utilizados en este proyecto para evaluar las condiciones de funcionamiento de cada


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componente del motor. En este caso, han sido, el modelo isotermo ideal y el modelo

adiabático ideal, siguiendo la estructura del libro “Stirling Cycle Engine Analysis”6.

Además, como herramienta suplementaria, se ha realizado un análisis más preciso

basado en el modelo adiabático, que se centra en la transferencia de calor y las pérdidas

de carga en los intercambiadores del motor. Este modelo será a partir de ahora

denominado como modelo adiabático simple.

4.2. El modelo isotermo ideal (Schmidt).

Como se ha comentado anteriormente, el modelo de Schmidt fue el primero en

aplicar los principios de la termodinámica al motor. Su modelo asume que el fluido de

trabajo en los cilindros de compresión y expansión es isotermo. Esta hipótesis simplifica

la complejidad asociada con las variaciones de temperatura en dichos cilindros,

asumiéndose constantes a lo largo de todo el ciclo.

Las hipótesis principales de este modelo son las siguientes.

La presión tiene el mismo valor en cualquier componente del motor para el

mismo instante de tiempo, (no se consideran las pérdidas de carga).

Las temperaturas en los cilindros de compresión y expansión son isotermas.

La masa del fluido de trabajo es constante, lo cual implica que no existen

fugas de gas fuera del motor.

El fluido de trabajo sigue la ecuación de estado del gas ideal.

El régimen de giro es constante.

Se considera régimen cíclico permanente. No hay variaciones dinámicas

entre un ciclo y el ciclo siguiente.

No se consideran energías cinética y potencial.

Las variaciones de volumen en los espacios de trabajo del motor son

sinusoidales.

Las ventajas que ofrece este modelo son varias. En primer lugar consideraciones

como la variación sinusoidal de volumen, simplifican la formulación de las ecuaciones a

relaciones algebraicas haciendo viable su cálculo manual, mucho antes de la era

informática. En segundo lugar el trabajo indicado calculado en el ciclo, derivado del

diagrama P-V, es bastante preciso.

6 (Urieli & Berchowitz, 1984)


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El análisis de Schmidt falla sin embargo en determinar con precisión los flujos de

calor a lo largo del ciclo, que afectan a la eficiencia. Es por ello que la eficiencia calculada

con este modelo coincide con la eficiencia de Carnot, puesto que si los espacios de

compresión y expansión son isotermos y los intercambiadores ideales, el modelo tiene

una eficiencia perfecta. De estas consideraciones surge el mapa de temperaturas del

modelo en la Fig. 20.

Los cinco componentes a los cuales se reduce el motor se consideran conectados

en serie, cada uno como un cuerpo homogéneo caracterizados por su masa “m”,

temperatura “T”, volumen “V” y presión “p” instantáneas.

Fig. 20 Modelo esquemático y mapa de temperaturas del modelo isotermo.

Para especificar el componente al que se refiere el modelo en cada caso se utilizará

un subíndice asociado a las abreviaturas comunes en la bibliografía sobre modelos

numéricos de motores Stirling, siempre en inglés. Estas abreviaturas corresponden a:

cilindro de compresión “C”, enfriador (cooler) “K”, regenerador “R”, calentador (heater)

“H” y cilindro de expansión “E”, como aparecen en el diagrama de la Fig. 20.


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4.2.1. Desarrollo de las ecuaciones.

El siguiente modelo termodinámico es una combinación de las ecuaciones de

balance de masa y energía, combinadas con el ángulo de giro del cigüeñal como variable

independiente “teta” θ.

El punto de partida es considerar la masa total del sistema, suma de las masas de

cada componente, como constante a lo largo del tiempo, siendo:

𝑀 = 𝑚𝑐 + 𝑚𝑘 + 𝑚𝑟 + 𝑚ℎ + 𝑚𝑒

Sustituyendo en la ley del gas ideal, se obtiene:

𝑚 =𝑝 ∙ 𝑉

𝑅 ∙ 𝑇 ⟶ 𝑀 =

𝑝

𝑅∙ (

𝑉𝑐

𝑇𝑘+

𝑉𝑘

𝑇𝑘+

𝑉𝑟

𝑇𝑟+

𝑉ℎ

𝑇ℎ+

𝑉𝑒

𝑇ℎ)

La temperatura efectiva en el regenerador es necesaria, y se calcula como la media

logarítmica de las temperaturas en enfriador y calentador, de esta forma:

𝑇𝑟 =(𝑇ℎ − 𝑇𝑘)

ln (𝑇ℎ

𝑇𝑘⁄ )

Dadas las variaciones de volumen Vc y Ve es posible despejar la presión p en función

de dichas variaciones de volumen.

𝑝 =𝑀 ∙ 𝑅

(𝑉𝑐

𝑇𝑘+

𝑉𝑘

𝑇𝑘+

𝑉𝑟

𝑇𝑟+

𝑉ℎ

𝑇ℎ+

𝑉𝑒

𝑇ℎ)

Por tanto el trabajo realizado por el Sistema en un ciclo completo es expresado por

la integral cíclica de pdV:

𝑊 = 𝑊𝑒 + 𝑊𝑐 = ∮ 𝑝𝑑𝑉𝑐 + ∮ 𝑝𝑑𝑉𝑒 = ∮ 𝑝 (𝑑𝑉𝑐

𝑑𝜃+

𝑑𝑉𝑒

𝑑𝜃) 𝑑𝜃

Los volúmenes Vc y Ve varían a lo largo del tiempo en función de la posición del

pistón en el cilindro. Para un motor Stirling tipo alfa, con un ángulo de desfase α=π/2,

entre las variaciones del volumen en el espacio de expansión respecto al de compresión.

Expresando esta variación en función del ángulo de giro del cigüeñal, teta, y conociendo

los volúmenes muertos en los cilindros se obtiene:

𝑉𝑐(𝜃) = 𝑉𝑚,𝑐 + 𝑥(𝜃) ∙ 𝐴𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 =


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= 𝑉𝑚𝑢𝑒𝑟𝑡𝑜,𝑐 + (𝑟 + 𝑙 − (𝑟 ∙ cos(𝜃) + 𝑙 ∙ cos (𝑎𝑟𝑠𝑒𝑛 (𝑟

𝑙∙ sen(𝜃))))) ∙ (

𝜋 ∙ 𝑑2

4)

𝑉𝑒(𝜃) = 𝑉𝑚,𝑒 + 𝑥(𝜃) ∙ 𝐴𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 =

= 𝑉𝑚,𝑒 + (𝑟 + 𝑙 − (𝑟 ∙ cos (𝜃 −𝜋

2) + 𝑙 ∙ cos (𝑎𝑟𝑠𝑒𝑛 (

𝑟

𝑙∙ sen (𝜃 −

𝜋

2))))) ∙ (

𝜋 ∙ 𝑑2

4)

Donde θ es el ángulo de giro del cigüeñal, d es el diámetro del cilindro, r es el radio

de giro de la biela, l es la longitud de la biela, Vm son los volúmenes muertos de cada

cilindro. La Fig. 21 representa gráficamente estas relaciones.

Fig. 21 Esquema del mecanismo pistón – biela – cigüeñal.

De esta forma el volumen total del motor equivale finalmente a:

𝑉𝑡 = 𝑉𝑐 + 𝑉𝑘 + 𝑉𝑟 + 𝑉ℎ + 𝑉𝑒

Dado que los volúmenes Vc y Ve dependen del ángulo de giro de cigüeñal, el volumen

total y la presión en el motor dependerán también de dicho ángulo, convirtiéndose en la

única variable independiente del conjunto de ecuaciones a utilizar.

4.2.2. Análisis energético.

Considerando el modelo isotermo ideal en términos de flujo energético, se plantea

la ecuación de la energía para una celda genérica del motor, que puede ser

indistintamente una celda de intercambio de calor, o de trabajo, en la cual además del

intercambio energético con el exterior, hay un flujo másico de entrada y otro de salida.


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Fig. 22 Esquema de celda genérica del motor.

La entalpía en dicha celda es aportada por la diferencia entre flujo másico y

temperaturas de entrada (mi y Ti) y salida (mo y To) mientras que los flujos de calor o

trabajo se representan por dQ y dW respectivamente. De esta forma el balance

energético queda en la expresión:

“Aporte de calor + entalpía neta = trabajo en la celda + incremento de energía interna.”

Para un gas ideal, entalpía y energía interna dependen solamente de la

temperatura, luego:

Entalpía específica: ℎ = 𝑐𝑝𝑇

Energía interna específica: 𝑢 = 𝑐𝑣𝑇

Quedando finalmente la anterior expresada como:

𝑑𝑄 + (𝑐𝑝𝑇𝑖𝑚′𝑖 − 𝑐𝑝𝑇𝑜𝑚′𝑜) = 𝑑𝑊 + 𝑐𝑣𝑑(𝑚𝑇)

Esta expresión corresponde con la forma clásica de la ecuación de la energía para

flujo no estacionario, cuyos términos de energía potencial y energía cinética han sido

despreciados. Considerando un modelo isotermo las temperaturas de entrada y salida

son iguales. (Ti=To), y considerando conservación de la masa la diferencia entre ambas es

igual al diferencial de masa en la celda, simplificando la ecuación anterior como:

𝑑𝑄 + 𝑐𝑝𝑇𝑑𝑚 = 𝑑𝑊 + 𝑐𝑣𝑇𝑑𝑚

Asumiendo gas ideal, si sustituimos la constante de los gases R=cp-cv, quedará:

𝑑𝑄 = 𝑑𝑊 − 𝑅𝑇𝑑𝑚

Por último el calor transferido al gas durante el ciclo se obtiene de la integración de

dQ. Sin embargo, la hipótesis de régimen cíclico permanente implica una variación cíclica

de la masa nula a lo largo del ciclo, para todas las celdas.


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Al integrar la expresión todos los componentes del motor se obtiene.

𝑄𝑐 = 𝑊𝑐 𝑄𝑒 = 𝑊𝑐 𝑄𝑘 = 0 𝑄ℎ = 0 𝑄𝑟 = 0

De estos resultados resultan las siguientes consideraciones:

El calor cedido o absorbido por el gas se transforma íntegramente en trabajo en

los espacios de compresión y expansión

El flujo neto de calor en el regenerador es cero, esto es evidente pues

consideramos un regenerador ideal.

No hay transferencia de calor entre el gas y el entorno en el calentador ni

enfriador.

La última consideración hace de los intercambiadores frío y caliente piezas

aparentemente inservibles en este modelo, puesto que el aporte y cesión de calor ocurre

en los espacios de expansión y compresión. Esta contradicción es una consecuencia

directa de la hipótesis del modelo isotermo de mantener los espacios de expansión y

compresión a la misma temperatura que sus intercambiadores asociados (calentador y

enfriador respectivamente), lo cual es una hipótesis a todas luces errónea.

En máquinas reales, el caso ideal tiende a considerar los espacios dónde se

transforma la energía del gas en trabajo, como dominios adiabáticos, y no isotermos, lo

cual implica que el calor neto del ciclo debe de ser aportado por los intercambiadores.

4.2.3. Caracterización del motor en el modelo.

Como punto de partida al estudio y simulación del motor GENOA 03, a continuación

se describen los pasos realizados para adaptar el modelo isotermo a la geometría y las

condiciones operativas del motor. Este modelo numérico ha sido implementado

mediante el software Matlab ®.

En primer lugar, se realiza sobre la unidad real un extenso trabajo de caracterización

de cada componente, midiendo todas las áreas y volúmenes que definen el espacio que

ocupa el fluido de trabajo. Además, como se menciona en el apartado 3.2 de este

proyecto, a partir de estas mediciones se realiza un modelo tridimensional simplificado

del motor, mediante el software CATIA V5 ®, que podrá ser utilizado como referencia al

motor real en futuras mediciones.


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En la Tabla 2, se exponen todas las características geométricas del motor GENOA 03

para su implementación en un modelo matemático.

GENOA 03 Características geométricas.

Longitud de biela l [mm] 210,0 Radio de giro de la biela r [mm] 30 Diámetro del cilindro d [mm] 110,0 Carrera del cilindro s [mm] 55,2 Volumen muerto cilindro compresión [cm3] 153,3 Desplazamiento cilindro compresión [cm3] 524,6 Volumen muerto cilindro expansión [cm3] 153,3 Desplazamiento cilindro expansión [cm3] 524,6 Desfase ciclo compresión-expansión [deg] 90

Características del calentador

Tipo de intercambiador Banco de tubos en U. Número de tubos 48 Longitud característica de tubos [mm] 393,0 Diámetro hidráulico de tubos [mm] 3,00 Área de flujo libre [cm2] 3,39 Área de mojado [cm2] 1777,89 Volumen total VH [cm3] 133,34

Características del enfriador

Tipo de intercambiador Carcasa y tubos, un paso por tubos (aire) y un paso por carcasa (agua).

Número de tubos 216 Longitud característica de tubos [mm] 65,5 Diámetro hidráulico de tubos [mm] 2,00 Área de flujo libre [cm2] 6,79 Área de mojado [cm2] 888,95 Volumen total VK [cm3] 44,45

Características del regenerador

Tipo de regenerador Malla prismática de hilo metálico mallado. Porosidad de la malla [%] 87,9 Diámetro de hilo metálico [mm] 0,05 Longitud característica [mm] 50,0 Diámetro hidráulico [mm] 0.363 Área de mojado [cm2] 5,256 Volumen total VR [cm3] 472,62

Condiciones operativas de entrada

Presión media indicada p [bar] 15 Régimen de giro N [rpm] 600 Temperatura de pared del calentador Th [K] 1023 Temperatura de pared del enfriador Tk [K] 293 Fluido de trabajo Air

Tabla 2 Características geométricas del motor GENOA 03


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Para aclarar los límites entre los distintos componentes del motor, y mostrar

gráficamente el origen de los parámetros de la Tabla 2, en la Fig. 23 se representa un corte

a lo largo de la sección media del motor. Cabe mencionar que en esta figura se pueden

distinguir ciertos volúmenes de interconexión entre elementos, como la conexión entre

el enfriador y el cilindro de compresión, que han sido despreciados en el modelo isotermo

para simplificar los cálculos. No obstante, estos volúmenes de interconexión, si se reflejan

en los modelos de los siguientes apartados.

Fig. 23 Vista de la sección media del conjunto de componentes del motor.


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4.2.4. Simulación numérica y resultados

Una vez está caracterizado geométricamente el motor y definidas sus condiciones

de contorno, el modelo isotermo es sencillo de implementar. Observando el diagrama de

flujo de la Fig. 24, el modelo parte de una masa total del motor inicial m, y una presión

media efectiva p. Luego el código calcula la presión media total para cada valor de θ en

función de la masa inicializada (p_mean) y lo compara con la presión de referencia. Si la

diferencia entre ambas es mayor que el error asumible el código entra en el bucle de

iteración corrigiendo la masa, hasta la convergencia. Entonces se puede obtener el

trabajo indicado del ciclo.

Fig. 24 Diagrama de flujo del modelo isotermo

Entrando en más en detalle en la forma en la que este modelo evoluciona hasta la

convergencia, se pueden definir varios pasos.

En primer lugar es preciso por ello calcular previamente las variaciones de volumen

de expansión y compresión para cada valor de θ. Mediante las ecuaciones del apartado

4.2.1 se obtiene la evolución de dichos volúmenes a lo largo de un ciclo completo (ver Fig.

25). Además se observa el desfase del ciclo de expansión respecto al de compresión.


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Fig. 25 Variación de volumen en los cilindros de compresión y expansión.

Una vez estas variaciones están resueltas, el código comienza el proceso de cálculo

de la presión, en función de la masa y los volúmenes, como se representa en el diagrama

de flujo. Representando la evolución de la presión en función del ángulo de giro, y

comparándola con el valor de la presión media del ciclo, que era una condición operativa,

y coincide con los 15 bares de diseño, se obtiene el diagrama de la Fig. 26.

Fig. 26 Presión del motor en función del ángulo de giro (azul), y presión media del ciclo (rojo)

Cuando el perfil de presiones es conocido a lo largo del ciclo, es se calcula el valor

de masa total en el motor para corregir el valor inicial. Para ello, se comprueba la

diferencia entre la presión obtenida y la presión de referencia, y según ésta sea mayor o

menor, se incrementa o disminuye la masa en la siguiente iteración hasta la convergencia.

0 50 100 150 200 250 300 350

10

12

14

16

18

20

Crank angle [deg]

Pre

ssu

re [b

ar]

Schmidt p-theta diagram

p (theta)

pmean


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En este caso mediante la simulación se obtiene un valor de masa total de aire en el

motor que satisface los criterios de convergencia, siendo:

𝑀 = 0,00144 [𝑘𝑔]

Finalmente, representando la presión para cada punto del ciclo, frente al volumen

total del motor en los mismos puntos, se obtiene el característico diagrama P-V de los

motores alternativos.

Fig. 27 Diagrama P-V del modelo isotermo

Integrando el área de este diagrama P-V se obtiene el trabajo indicado del ciclo.

Además, el resto de resultados de la simulación isoterma para el motor GENOA 03,

finalmente:

𝑄𝑒𝑥𝑝𝑎𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛 = 389,6 [𝐽] 𝑄𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 = −111,6 [𝐽]

𝑊𝑖𝑠𝑜𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 = 278,0 [𝐽] 𝜂𝑖𝑠𝑜 = 0,714

El rendimiento coincide con el valor ideal de Carnot, como era de esperar. La

potencia indicada del ciclo, para el par de cilindros, conociendo el trabajo, y el régimen

de giro queda definida como:

𝑃𝑖𝑠𝑜 = c ·𝑊𝑖𝑠𝑜∙𝑁

60= 5,560 [𝑘𝑊]

1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 190010

12

14

16

18

20

22

Total volume [cc]

Pre

ssu

re [b

ar]

Schmidt p-v diagram


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4.3. El modelo adiabático ideal (Urieli)

El planteamiento de este modelo se lo debemos al Dr. Israel Urieli, quien desarrolló

el análisis adiabático para el motor Stirling como parte de su tesis doctoral, y a Theodor

Finkelstein, quien definió por primera vez los modelos de espacios de trabajo adiabáticos

en los motores de aire. El análisis adiabático es similar en su planteamiento al modelo de

Schmidt, con la principal excepción de que considera que el fluido de trabajo en los

cilindros de compresión y expansión sufre un proceso adiabático en lugar de isotermo.

Un modelo ideal adiabático por tanto, representa la máxima eficiencia que el motor

a estudio es capaz de alcanzar, que además para motores de altas prestaciones, este valor

es bastante similar al valor de eficiencia real. Por tanto, se considera que un análisis de

un motor Stirling debe de llegar como mínimo al modelo adiabático para considerar que

los resultados de las simulaciones son de utilidad en dicho análisis.

Respecto al modelo isotermo, el resto de hipótesis y consideraciones se mantienen,

así como la simplificación del motor en cinco componentes en serie, no obstante hay

ciertas variables que hay que añadir a la formulación original relativa a los

intercambiadores de calor en el modelo adiabático, como se puede observar en la forma

esquemática del modelo (Fig. 28).

Fig. 28 Modelo esquemático y mapa de temperaturas del modelo adiabático.

En este modelo es preciso incluir las cuatro interfases asociadas a los cinco

componentes del motor, ya que ahora la temperatura entre los espacios de trabajo y los

intercambiadores no son constantes en un ciclo, como era el caso del modelo isotermo.

Cada interfase se distingue según los siguientes subíndices; CK, entre el cilindro de

compresión y el enfriador, KR, entre enfriador y regenerador, RH, entre regenerador y


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calentador, y por último HE entre el calentador y el cilindro de expansión. Por ejemplo,

mCK’ representa el caudal másico entre el cilindro de compresión y el enfriador.

Respecto a las temperaturas en los cilindros TE y TC se calculan mediante la ecuación

de los gases, conocida la masa volumen y presión en cada punto, oscilando sinodalmente.

La temperatura del regenerador ahora se considera lineal, variando entre los extremos

de TK y TH. Por último se asume que en el enfriador y calentador la temperatura

permanece constante e igual a TK y TH respectivamente, independientemente de la

dirección del flujo. Ésta consideración provoca fuertes discontinuidades térmicas en las

interfaces CK y HE, consecuencia de las simplificaciones del modelo. No obstante, las

temperaturas en las interfases sí dependen de la dirección del flujo, donde un valor

positivo de caudal másico implica el desplazamiento desde el espacio de compresión en

dirección al de expansión y viceversa. Dicha condición queda denotada en el algoritmo

como:

if mck' > 0 then Tck = Tc else Tck = Tk

if mhe' > 0 then The = Th else The = Te

En resumen, las hipótesis y simplificaciones llevadas a cabo por Urieli y Finkelstein

fueron:

Los espacios de compresión y expansión son adiabáticos. (El calor intercambiado

entre los cilindros y el entorno es nulo).

Las fugas de gas hacia el entorno son despreciables.

La presión en un instante de tiempo es la misma a lo largo de todo el motor. No

se consideran las pérdidas de carga.

El movimiento de la cadena cinemática pistón-biela-cigüeñal sigue la ley sinusoidal

descrita en el modelo isotermo (4.2.1)

La transferencia de calor en los intercambiadores se considera lo suficientemente

buena como para mantener las temperaturas TK y TH y el volumen VK y VH del gas,

constantes a su paso por el enfriador y calentador, respectivamente.

Las prestaciones del regenerador se suponen suficientemente buenas como para

mantener una distribución lineal de temperaturas a lo largo de su longitud, siendo

la temperatura TK para la cara en contacto con el enfriador y TH para el lado del

calentador.


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4.3.1. Desarrollo de las ecuaciones

El conjunto de ecuaciones del modelo se basa en la solución del diferencial de

presión y el diferencial de masa por elemento que tiene lugar para un incremento del

ángulo de giro del cigüeñal. De esta forma se utilizan la forma diferencial de conservación

de masa, cantidad de movimiento y conservación de la energía en los espacios de

expansión y compresión. Además de las ecuaciones de estado aplicadas a los

intercambiadores.

En primer lugar la forma diferencial de conservación de la masa nos lleva a:

𝑀 = 𝑚𝑐 + 𝑚𝑘 + 𝑚𝑟 + 𝑚ℎ + 𝑚𝑒 → 0 = 𝑑𝑚𝑐 + 𝑑𝑚𝑘 + 𝑑𝑚𝑟 + 𝑑𝑚ℎ + 𝑑𝑚𝑒

El gas, al igual que en el modelo isotermo, se considera que se comporta como gas

ideal. Esta hipótesis es cercana al comportamiento real puesto que el gas se encuentra en

condiciones lejanas al punto crítico.

De esta forma, derivando la forma de la ley de gases ideales para presiones, y

sabiendo que a lo largo del ciclo las temperaturas y volúmenes en los intercambiadores

son constantes, se obtiene:

𝑝 =𝑀𝑅

(𝑉𝑐

𝑇𝑐+

𝑉𝑘

𝑇𝑘+

𝑉𝑟

𝑇𝑟+

𝑉ℎ

𝑇ℎ+

𝑉𝑒

𝑇𝑒)

→ 𝑑𝑚

𝑚|

𝐾,𝑅,𝐻=

𝑑𝑝

𝑝|

𝐾,𝑅,𝐻

Luego sustituyendo en la forma diferencial de conservación de masa, y sabiendo

que la masa cumple la ecuación de estado, se tiene:

𝑑𝑚𝑐 + 𝑑𝑚𝑒 + 𝑑𝑝 (𝑚𝑘

𝑝+

𝑚𝑟

𝑝+

𝑚ℎ

𝑝) = 0 → 𝑑𝑚𝑐 + 𝑑𝑚𝑒 +

𝑑𝑝

𝑅(

𝑉𝑘

𝑇𝑘+

𝑉𝑟

𝑇𝑟+

𝑉ℎ

𝑇ℎ) = 0

El objetivo perseguido en la formulación isoterma, es obtener una relación para el

diferencial de presión dependiendo sólo de la variable independiente, en este caso el

ángulo θ. Luego es preciso despejar los términos de dmC y dmE.

Fig. 29 Esquema adiabático del cilindro de compresión y enfriador.


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La figura Fig. 29, es un esquema de las variables y flujos en el cilindro de

compresión. Aplicando la ecuación de la energía del apartado 4.2.2 a éste volumen de

control, se obtiene:

𝑑𝑄𝑐 − 𝑐𝑝𝑇𝑐𝑘𝑚𝑐𝑘 = 𝑑𝑊𝑐 + 𝑐𝑣𝑑(𝑚𝑐𝑇𝑐)

La compresión es adiabática, luego dQC=0, y el trabajo se define mediante, dWc =

pdVc. Por otra parte, el diferencial de masa dmc es igual al flujo másico a través de la

interfase CK, mck, reduciendo la ecuación a:

𝑐𝑝𝑇𝑐𝑘𝑑𝑚𝑐 = 𝑝𝑑𝑉𝑐 + 𝑐𝑣𝑑(𝑚𝑐𝑇𝑐)

Sustituyendo la ecuación de estado, y las relaciones de gas ideal se obtiene una

expresión del diferencial de masa en función de la presión. Esta relación se puede

expresar análogamente tanto para el espacio de compresión como el de expansión,

obteniendo:

𝑑𝑚𝑐 =𝑝𝑑𝑉𝑐 +

𝑉𝑐𝑑𝑝𝛾⁄

𝑅𝑇𝑐𝑘 𝑑𝑚𝑒 =

𝑝𝑑𝑉𝑒 +𝑉𝑒𝑑𝑝

𝛾⁄

𝑅𝑇ℎ𝑒

Finalmente, el diferencial de presiones para cada instante del ciclo queda definido

por:

𝑑𝑝 =−𝛾𝑝 (

𝑑𝑉𝑐

𝑇𝑐𝑘) + (

𝑑𝑉𝑒

𝑇ℎ𝑒)

[𝑉𝑐

𝑇𝑐𝑘+ 𝛾 (

𝑉𝑘

𝑇𝑘+

𝑉𝑟

𝑇𝑟+

𝑉ℎ

𝑇ℎ) +

𝑉𝑒

𝑇ℎ𝑒]

Las ecuaciones asociadas a dp y dm plantean un Sistema de ecuaciones diferenciales

con varias incógnitas asociadas a las temperaturas Tc y Te y a las masas mc y me. Dado que

el sistema resultante es no lineal, sólo puede ser resuelto mediante integración numérica,

como un problema de valores iniciales asociado a un proceso iterativo definido por ciertos

parámetros de convergencia.

Una vez p y m han son evaluadas, se pueden obtener el resto de variables a través

de balance de masa y ecuaciones de estado. Los parámetros dVc, dVe , Vc y Ve son

fácilmente calculados por las relaciones cinemáticas. Las ecuaciones diferenciales de la

temperatura en los espacios de trabajo derivan de la ecuación de gas ideal, obteniendo:

𝑑𝑇𝑐 = 𝑇𝑐 (𝑑𝑝

𝑝+

𝑑𝑉𝑐

𝑉𝑐+

𝑑𝑚𝑐

𝑚𝑐) 𝑑𝑇𝑒 = 𝑇𝑒 (

𝑑𝑝

𝑝+

𝑑𝑉𝑒

𝑉𝑒+

𝑑𝑚𝑒

𝑚𝑒)


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El trabajo indicado del ciclo es la suma de los trabajos realizados por cada cilindro,

siendo:

𝑑𝑊 = 𝑑𝑊𝑐 + 𝑑𝑊𝑒 = 𝑝𝑑𝑉𝑐 + 𝑝𝑑𝑉𝑒

A través de la ecuación de la energía, y sustituyendo los valores de dT y dW, se

obtiene una forma más adecuada de dicha ecuación, fácilmente aplicable a cada

componente.

𝑑𝑄 + (𝑐𝑝𝑇𝑖𝑚𝑖 − 𝑐𝑝𝑇𝑜𝑚𝑜) =(𝑐𝑝𝑝𝑑𝑉 + 𝑐𝑣𝑉𝑑𝑝)

𝑅

Por ejemplo para los tres intercambiadores, donde no hay intercambio de trabajo,

(el volumen es constante), se obtiene, reduciendo la expresión anterior:

𝑑𝑄𝑘 =𝑐𝑣𝑉𝑘𝑑𝑝

𝑅− 𝑐𝑝(𝑇𝑐𝑘𝑚𝑐𝑘 − 𝑇𝑘𝑟𝑚𝑘𝑟)

𝑑𝑄ℎ =𝑐𝑣𝑉ℎ𝑑𝑝

𝑅− 𝑐𝑝(𝑇𝑟ℎ𝑚𝑟ℎ − 𝑇ℎ𝑒𝑚ℎ𝑒)

𝑑𝑄𝑟 =𝑐𝑣𝑉𝑟𝑑𝑝

𝑅− 𝑐𝑝(𝑇𝑘𝑟𝑚𝑘𝑟 − 𝑇𝑟ℎ𝑚𝑟ℎ)

El Sistema final de ecuaciones diferenciales y relaciones algebraicas necesarias para

la solución numérica del modelo adiabático ideal, queda resumido en la Tabla 3.


Página | 44

Tabla 3. Conjunto de ecuaciones del modelo adiabático ideal.

4.3.2. Método de solución

Una vez planteado el sistema de ecuaciones necesario, y habiendo caracterizado el

motor en el desarrollo del modelo isotermo (apartado 4.2.3), el objetivo es resolver las

ecuaciones diferenciales de temperatura, masa y presión en ambos cilindros, para

representar la distribución de estos parámetros en un ciclo completo, y calcular las

prestaciones del motor.

En este caso, el problema es de una naturaleza no lineal mucho más discontinua

que en el caso isotermo, puesto que se han incorporado dos temperaturas condicionales

al sentido del flujo.


Página | 45

La Fig. 30 Diagrama de flujo simplificado del modelo adiabático idealFig. 30, trata

de expresar de manera simplificada el orden de ejecución del algoritmo de solución,

aunque faltan algunas operaciones clave, como la relativa a las temperaturas

condicionales.

Fig. 30 Diagrama de flujo simplificado del modelo adiabático ideal

El método de solución más sencillo para resolver este conjunto de ecuaciones

diferenciales es formularlo como un problema de valores iniciales, de forma que el valor

inicial de todas las variables es conocido, y las ecuaciones se integran a lo largo de todo

un ciclo, es decir, el cigüeñal da una vuelta completa. Sin embargo el modelo adiabático


Página | 46

corresponde más bien a un problema de condiciones de contorno y no de valores iniciales,

puesto que estos valores no son conocidos a priori.

Pero si asignamos unos valores iniciales a partir de la solución del modelo isotermo,

es posible integrar las ecuaciones a partir de dichos valores. Tras varias iteraciones de

ciclo completo, se cumple la condición que establece que los valores de las variables al

final del ciclo (2π) y al comienzo de éste (0), coinciden, que no es más que la condición de

alcanzar el régimen cíclico permanente del ciclo.

Una vez se obtiene la convergencia en la condición anterior, el siguiente paso es

satisfacer las condiciones operativas, de manera que la presión media del ciclo coincida

con la presión de diseño, para lo cual se precisa de un bucle más de iteración.

Con todas las consideraciones anteriores, el algoritmo es lo suficientemente estable

para generar la convergencia de la solución cambiando parámetros como la geometría

del motor o las condiciones operativas del motor, en un rango cercano al punto de diseño.


Una vez obtenida la solución para el modelo adiabático, es interesante mostrar la

distribución de temperaturas, donde ahora Te y Tc son variables con el tiempo, así como

la distribución de los flujos de energía a través de cada componente.

Fig. 31 Distribución de temperaturas del modelo Adiabático

En la Fig. 31, aparece la distribución de temperaturas del modelo adiabático, se

puede observar como las temperaturas de compresión y expansión son variables a lo

largo del ciclo. Lo más llamativo es que esta variación de temperatura implica una

reducción de la temperatura media en el cilindro de expansión, puesto que la oscilación

tiene una amplitud de en torno a 200K, esta disminución de la temperatura respecto al

0 50 100 150 200 250 300 350

300

400

500

600

700

800

900

1000

Crank angle [deg]

Te

mp

era

ture

[K

]

Temperatura - Giro del cigüeñal

Compresión

Expansión

Enfriador

Regenerador

Calentador


Página | 47

modelo adiabático, se verá reflejada en el rendimiento térmico de la máquina, que ya no

será equivalente al rendimiento ideal de Carnot, arrojando un valor ideal mucho más

realista.

En cuanto a los flujos de energía a lo largo del motor, en la Fig. 32 aparecen

superpuestos los valores relativos al flujo de calor en los intercambiadores junto a los

valores del trabajo neto, este diagrama arroja información muy valiosa del

comportamiento del modelo adiabático ideal. Cabe mencionar que la integral de la curva

no corresponde al valor neto de cada parámetro, sino que el valor para cada punto de la

curva es el valor neto acumulado, siendo cero al comienzo del ciclo, (referencia), y siendo

el valor neto para un ciclo completo en el punto θ=360°. En el caso del trabajo, aparecen

los asociados a los espacios de compresión y expansión, y el trabajo neto, que es la suma

de ambos valores, siendo el trabajo neto de expansión positivo, y el de compresión

negativo.

El flujo de calor del regenerador es cero al final del ciclo, puesto que lo

consideramos ideal en este modelo. Sin embargo a lo largo del ciclo arroja valores de

energía del orden de diez veces el trabajo neto final, lo cual implica que el regenerador es

una pieza clave en el diseño del motor, ya que las prestaciones de éste en un caso no

ideal, dependen crucialmente de la capacidad de dicho componente en absorber y ceder

grandes flujos de calor.

Por otro lado, los intercambiadores dan un valor neto idéntico al valor del volumen

de trabajo asociado, es decir Qh=We y Qk=Wc. Esto es un resultado a priori extraño y que

revela uno de los aspectos que el modelo adiabático no modela correctamente. La clave

de este fenómeno, está en el regenerador, que al ser ideal, se comporta como un aislante

perfecto entre las zonas fría y caliente del motor, de manera que el balance de energía en

cada parte, iguala los trabajos a los flujos de calor correspondientes.

Fig. 32 Distribución de flujos netos de energía del modelo adiabático


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Para ilustrar cualitativamente estos flujos netos de calor y trabajo, quedan

representados en el margen derecho de la Fig. 32.

Como puede observarse en la Fig. 33, este diagrama está superpuesto al diagrama

P-V del modelo isotermo (Fig. 27). Ambos diagramas son muy similares, donde la

eficiencia y potencia del modelo adiabático es sólo un 10% inferior a los valores isotermos,

no hay que olvidar que ambos son modelos ideales, y que como ya se expuso en las

características del modelo isotermo, una de sus principales ventajas era la precisión de la

solución en presiones del motor.

Fig. 33 Diagramas de presión volumen del ciclo isotermo y adiabático.

Integrando el área del diagrama P-V de la Fig. 33 para el modelo adiabático, se

obtiene finalmente el trabajo indicado del ciclo. Y del resto de ecuaciones, los flujos de

calor, y la eficiencia térmica del motor GENOA 03:

𝑄𝑐𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟 = 449,8 [𝐽] 𝑄𝑒𝑛𝑓𝑟𝑖𝑎𝑑𝑜𝑟 = −176,2 [𝐽]

𝑊𝑎𝑑𝑖𝑎𝑏𝑎𝑡𝑖𝑐𝑜 = 274,1 [𝐽] 𝜂𝑎𝑑𝑖𝑎𝑏𝑎𝑡𝑖𝑐𝑜 = 0,61

La potencia, calculada de la misma forma que en el caso del modelo isotermo,

queda por lo tanto:

1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 19008

10

12

14

16

18

20

22

Volume [cc]

Pre

ssu

re [b

ar]

Diagrama Presión - Volumen

Adiabático

Isotermo


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𝑃𝑎𝑑𝑖𝑎𝑏𝑎𝑡𝑖𝑐𝑎 = c ·𝑊𝑖𝑠𝑜 ∙ 𝑁

60= 5,482 [𝑘𝑊]

A modo de conclusiones para este apartado, se puede decir que el modelo

adiabático es más realista que el modelo isotermo, sin embargo, varios de los resultados

siguen siendo inconsistentes con el comportamiento real de un motor alternativo, sobre

todo los referentes a los intercambiadores. Como contrapartida, el análisis adiabático,

considerando todos los parámetros operativos y variables que es capaz de resolver,

ofrece una información muy valiosa para conocer las condiciones operativas de cada uno

de sus componentes por separado.

En el caso del presente proyecto, el modelo adiabático ideal ha resultado una

herramienta indispensable para conocer el flujo másico de aire que circula por el

intercambiador, en qué sentido lo hace, y en que instantes de tiempo hay picos de

velocidad de flujo, y puntos muertos de cambio de sentido del flujo, con el fin de diseñar

alternativas que se pudiesen comparar entre sí para unas condiciones de contorno lo más

parecidas posibles al comportamiento del motor real.

Además, el modelo adiabático ideal se presenta como una sólida base a la cual ir

añadiendo modificaciones y funciones auxiliares, para hacer el código aún más complejo

y abarcar otros aspectos como la efectividad transferencia de calor en los

intercambiadores, el efecto de incluir la geometría del motor con interconexiones entre

elementos, o las pérdidas de carga, por fricción del aire sobre las paredes del motor.

El siguiente paso es partir del modelo adiabático y diseñar un nuevo modelo que

sea capaz de evaluar los cambios en las prestaciones del motor al modificar o cambiar

componentes, como los intercambiadores, o más preciso a la hora de definir las

condiciones de contorno, por ejemplo, definir un flujo de agua de refrigeración a una

cierta temperatura en lugar de imponer una temperatura en la pared interna del

enfriador.


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4.4. El modelo adiabático simple (Ohio)

El modelo complementario que añade funciones y aspectos de cálculo

complementarios al modelo adiabático, a partir de ahora denominado modelo adiabático

simple. Este modelo sigue llamándose adiabático puesto que aunque el algoritmo original

del modelo ideal ha sido objeto de modificaciones, y se han añadido algunas variables de

control intermedias, el procedimiento de solución es en esencia el mismo, y además, las

paredes de los espacios de compresión y expansión se siguen considerando adiabáticas.

Dado que este modelo es más una modificación que un modelo numérico

propiamente dicho, el procedimiento a seguir depende de la literatura que se consulte,

ya que muchos proyectos sobre motores Stirling, al igual que éste, utilizan modificaciones

del modelo adiabático ideal.

Como ejemplo uno de estos modelos, se seguirá el planteamiento del propio Urieli,

el cual fue docente en la Universidad de Ohio, en la asignatura “Stirling Cycle Machine

Analysis” 7. Este planteamiento añade tres aspectos fundamentales; la transferencia de

calor distinguiendo el regenerador de los otros dos intercambiadores, y las pérdidas por

fricción del flujo en los tres intercambiadores del motor, y su influencia en las

prestaciones del mismo.

La eficiencia del regenerador se asume no ideal, estudiando la influencia de este

parámetro en las prestaciones del motor.

La transferencia de calor en enfriador y calentador es evaluada mediante

correlaciones de convección forzada para la transferencia entre el fluido de

trabajo y las paredes del intercambiador, de modo que se asume una temperatura

de pared para cada intercambiador.

La fricción del flujo, también llamadas pérdidas de carga, se refieren al trabajo

mecánico requerido para bombear el fluido de trabajo a través de los

intercambiadores. Este trabajo mecánico debe ser aportado por el trabajo

indicado del ciclo, reduciendo la potencia neta del motor.

Una vez el modelo implementa simultáneamente los tres aspectos anteriores, debe

realizarse la simulación numérica para el motor GENOA 03, y contrastarla con los modelos

ideales.

7 (Urieli, 2012)


Página | 51

4.4.1. Caracterización del regenerador no ideal

Como se ha comentado en numerosas ocasiones, el regenerador de un motor

Stirling es un componente clave con una influencia crítica sobre las prestaciones del

mismo. Sin embargo a lo largo de la historia del motor Stirling, las teorías de

funcionamiento de dicho componente se han basado únicamente en hipótesis apoyadas

por estudios meramente experimentales, difícilmente extrapolables de una configuración

o modelo a otros. En 1997 Allan Organ publica el libro “The regenerator and the Stirling

Engine”, representando un gran paso hacia adelante en la compleja tarea de analizar el

regenerador.

El regenerador es un dispositivo que funciona cíclicamente, en un sentido del flujo,

el flujo de aire caliente proveniente del calentador, transfiere parte de su calor a la malla

del regenerador, el sentido contrario, la malla cede la mayor cantidad posible de este

calor absorbido al aire frío proveniente del enfriador. En régimen permanente por lo

tanto, la transferencia neta de calor del regenerador es cero.

La efectividad del regenerador suele expresarse como el cociente de las variaciones

de entalpía en el flujo real, respecto a la variación máxima teórica en un regenerador

ideal. No obstante para adaptarnos al modelo adiabático simple, que consideramos el

caso ideal, definimos la eficiencia como:

𝜀 =𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑙𝑙𝑎 𝑦 𝑒𝑙 𝑔𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑝𝑎𝑠𝑜 ú𝑛𝑖𝑐𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟

𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝑎𝑑𝑖𝑎𝑏á𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙

Considerando el perfil de temperaturas de un regenerador no ideal para las

corrientes fría y caliente, representamos:

Fig. 34 Esquema de evolución de las temperaturas de ambos flujos a través del regenerador.


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Donde consideramos que la variación entre temperaturas, ∆T, fría y caliente de

entrada y salida es idéntica, en ambos extremos del regenerador. Además observando la

Fig. 34 se puede expresar la eficiencia en términos de temperaturas de la forma:

𝜀 =(𝑇ℎ1 − 𝑇ℎ2)

(𝑇ℎ1 − 𝑇𝑘2)

Para el regenerador ideal por tanto, ε=1, mientras que para ε=0, no hay efecto

regenerativo alguno. Para evaluar el efecto de estas variaciones en las prestaciones del

ciclo, partimos de la expresión general de la eficiencia térmica para el modelo ideal (con

superíndice ’).

𝜂𝑖 =𝑊′

𝑄′𝐻=

(𝑄′𝐻 + 𝑄′𝐾)

𝑄′𝐻

Mientras que para el caso no ideal, el calor intercambiado por enfriador y

calentador es el valor ideal más la suma del calor que el regenerador no ha sido capaz de

absorber:

𝑄𝐻 = 𝑄′𝐻 + 𝑄′

𝑅

(1−𝜀)

𝑄𝐾 = 𝑄′𝐾 + 𝑄′𝑅(1−𝜀)

Sustituyendo los valores de Qh Qk y eficiencia ideal ηi en la ecuación de la eficiencia

térmica no ideal se obtiene:

𝜂 =𝑊

𝑄𝐻=

(𝑄𝐻 + 𝑄𝐻)

𝑄𝐻=

𝜂𝑖

[1 + (𝑄′𝑅

𝑄′𝐻)

(1−𝜀)

]

Sabiendo la eficiencia térmica, y la proporción entre el calor del regenerador y el

calentador en el caso ideal se puede expresar una relación proporcional entre la eficiencia

del regenerador y la eficiencia térmica no ideal. De esta forma se observa que variando la

eficiencia en su rango absoluto, si ε=0, la eficiencia térmica cae desde el caso ideal ≈65%

hasta valores en torno al 10%.

Valores de eficiencia bajos, por ejemplo, del 80%, tienen diversas implicaciones en

el motor, para empezar, la eficiencia global puede caer hasta el 30%, y además, si el

regenerador no es capaz de deshacerse de una parte considerable del motor, el enfriador

debe ser más grande, incrementando las pérdidas de carga y disminuyendo el trabajo

neto.


Página | 53

4.4.2. Caracterización de los intercambiadores de calor.

El modelo que se usará para caracterizar estos intercambiadores será análogo para

ambos componentes, mediante el uso de ecuaciones y correlaciones básicas de

transferencia de calor en convección forzada. En este modelo, asumimos una

temperatura de pared constante Tw, junto con una temperatura media de masa del aire

a través del intercambiador, donde sólo consideramos la convección forzada del aire a

través de los tubos, y no consideramos el intercambio convectivo con el agua externa ni

la conducción a través de las paredes del tubo, como muestra el esquema de la Fig. 35.

Fig. 35 Esquema de transmisión de calor del modelo simple

La eficiencia de los intercambiadores podría a priori evaluarse a través del método

de la ε-NTU (método de las unidades de transferencia), pero para ello hace falta un

análisis más completo que el que plantea el modelo simple. En el apartado 5 de este

proyecto, se implementará el método de la ε-NTU como herramienta de análisis del

enfriador. Para el caso que nos ocupa, se parte de una temperatura de pared Tw

relacionada con la temperatura media de masa T mediante la ecuación de convección:

�̇� = ℎ𝑖𝑛𝑡𝐴𝑤(𝑇𝑤 − 𝑇)

Donde Q’ representa la energía calorífica, Aw hace referencia al “área de mojado”

de los intercambiadores y h es el coeficiente convectivo. Para evaluar esta ecuación en

términos de calor por ciclo, como hasta ahora, es preciso dividir por la frecuencia de la

máquina, f (Hz) o (s-1), De esta forma expresamos los valores de Qk y Qh como:

𝑄𝑘 − 𝑄𝑟,𝑙𝑜𝑠𝑠 =ℎ𝑘𝐴𝑤𝑘(𝑇𝑤𝑘 − 𝑇𝑘)

𝑓 → 𝑇𝑘 = 𝑇𝑤𝑘 − 𝑓(𝑄𝑘 − 𝑄𝑙𝑜𝑠𝑠)/(ℎ𝑘𝐴𝑤𝑘)

𝑄ℎ − 𝑄𝑟,𝑙𝑜𝑠𝑠 =ℎℎ𝐴𝑤ℎ(𝑇𝑤ℎ − 𝑇ℎ)

𝑓 → 𝑇ℎ = 𝑇𝑤ℎ − 𝑓(𝑄ℎ − 𝑄𝑟,𝑙𝑜𝑠𝑠)/(ℎℎ𝐴𝑤ℎ)


Página | 54

El par de ecuaciones de la derecha son las que finalmente implementa el código del

modelo simple. Se observa que al distinguir entre temperatura de pared, y temperatura

del gas, definimos unas pérdidas por transferencia, esto, sumado a las ya comentadas

pérdidas por eficiencia del regenerador, aproxima el modelo aún más al caso real.

4.4.3. Caracterización de las pérdidas de carga

A lo largo de los modelos anteriores se ha supuesto que la presión se mantenía

constante a lo largo de todos los componentes del motor para el mismo instante de

tiempo. Sin embargo, el paso del flujo a través de intercambiadores de calor, en este caso,

bancos de tubos, y a través de una malla en el caso del regenerador, genera una enorme

fricción del fluido sobre las paredes de estos componentes, siendo por tanto un fenómeno

que es necesario contemplar en un modelo más avanzado como éste.

Estás pérdidas por fricción se denominan generalmente, pérdidas de carga,

expresadas en unidades de presión. Tienen una influencia directa sobre la expresión del

trabajo indicado del ciclo, que como se ha expuesto, depende de la integración de la

presión y el volumen en los espacios de trabajo del motor, donde las pérdidas de carga

disminuyen el trabajo neto final.

Para cuantificar estas pérdidas, partimos de la expresión del trabajo indicado y

añadimos un término de sumatorio de pérdidas de carga en presión en los tres

intercambiadores, p, al término de la presión en uno de los extremos del motor,

obteniendo:

𝑊 = 𝑊𝑒 + 𝑊𝑐 = ∮ 𝑝𝑑𝑉𝑐 + ∮(𝑝 − ΣΔ𝑝)𝑑𝑉𝑒

Moviendo los términos de la expresión anterior, se puede expresar a un lado el

trabajo indicado inicial y al otro las pérdidas de carga ∆W en trabajo, de esta forma:

𝑊 = ∮ 𝑝(𝑑𝑉𝑐 + 𝑑𝑉𝑒) + ∮(ΣΔ𝑝)𝑑𝑉𝑒 = 𝑊𝑖 − ΔW ⋯ ΔW = ∫ (∑ Δ𝑝𝑖

𝑑𝑉𝑒

𝑑𝜃

3

𝑖=1

) 𝑑𝜃2𝜋

0

Para caracterizar estas pérdidas de carga en cada intercambiador, siguiendo el

procedimiento descrito por Kakaç8, en las pérdidas dentro de un conducto circular,

influyen la velocidad del fluido, la densidad, la rugosidad de las paredes del tubo así como

su diámetro y longitud.

8 (Sadik Kakaç, 2002)


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Expresando las relaciones anteriores como un conjunto adimensional de

parámetros, se obtiene:

𝑓 =Δ𝑝

4(𝐿/𝑑𝑖)(𝜌𝑢𝑚2 /2)

≡ Φ(𝑅𝑒, 𝑑𝑖)

Que corresponde al “factor de fricción de Fanning” un parámetro adimensional

relacionado con el esfuerzo cortante que la pared induce sobre el flujo. Este factor para

flujo turbulento se determina mediante correlaciones experimentales, en función del

número adimensional de Reynolds, o mediante el ábaco de Moody, (Fig. 36)

Fig. 36 Ábaco de Moody

Para su implementación en modelos numéricos, es más conveniente el uso de

correlaciones expresables numéricamente, como la de Drew, Koo & McAdams, aplicable

a la geometría de tubería simple:

𝑓 = 0.00140 + 0.125𝑅𝑒−0.32 𝑝𝑎𝑟𝑎 4 · 103 < 𝑅𝑒 < 5 · 106

Finalmente la expresión de las pérdidas de carga en una tubería queda como:

Δ𝑝 = 4𝑓𝐿

𝑑𝑖

𝜌𝑢𝑚2

2 [𝑃𝑎]


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El procedimiento de solución y los criterios de convergencia son idénticos a los del

modelo adiabático ideal, con la salvedad de que las temperaturas Tk y Th ahora no con

datos del problema, sino un valor que debe hallarse tras un proceso iterativo, a partir de

las temperaturas de pared (Twall,K y Twall,H), y la ecuación del apartado 4.4.2. Como el rango

entre temperaturas disminuye unos 60° en total, la eficiencia térmica cae por este motivo

un 5% respecto al modelo adiabático ideal. La distribución de temperaturas en este

modelo queda por tanto:

Fig. 37 Distribución de temperaturas en el modelo simple.

En cuanto a las pérdidas de carga, es interesante analizar dos aspectos. El primero

de ellos es la distribución de las pérdidas de carga de cada elemento por separado:

Fig. 38 Pérdidas de carga de los intercambiadores en el modelo Simple

0 50 100 150 200 250 300 350200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

Ángulo de giro [deg]

Te

mp

era

tura

[K

]

Temperaturas por ciclo Modelo Simple

Tcomp

Texp

Twall,k

Tk

Tr

Th

Twall,h

0 50 100 150 200 250 300 350

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

x 104

Ángulo de giro [deg]

Pé

rdid

as d

e c

arg

a [P

a]

Pérdidas de carga por intercambiador

deltapk

deltaph

deltapr


Página | 57

En la Fig. 38 se observa como las pérdidas de carga del calentador son del orden de

casi seis veces mayores que en el regenerador. Esto tiene una sencilla explicación si

consideramos la enorme longitud del calentador en comparación con la longitud del

enfriador o regenerador. Dado que las pérdidas de carga dependen linealmente de la

longitud de un conducto, parece lógico este resultado, aun considerando que el

regenerador consiste en una malla compactada, la longitud en el calentador es un

parámetro de mayor peso en este caso.

El segundo aspecto es observar la diferencia en la distribución de presiones del

cilindro de compresión respecto al de expansión una vez implementadas las pérdidas en

el código. La diferencia entre ambas presiones representa las pérdidas de carga.

Fig. 39 Distribución de presión en los espacios de trabajo

Para dar una idea de la importancia de las pérdidas de carga, la distribución de

presiones anterior implica una pérdidas por fricción de 16.6 J, que representan un 6% del

trabajo indicado sin pérdidas. Obteniendo un trabajo indicado del ciclo de 257,5 J.

Integrando el trabajo indicado del modelo simple, considerando la nueva ecuación

de integral de presiones, se obtiene finalmente el trabajo del ciclo. Y del resto de

ecuaciones, los flujos de calor, y la eficiencia térmica del motor GENOA 03 para el modelo

simple.

𝑄𝑐𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟 = 651,9 [𝐽] 𝑄𝑒𝑛𝑓𝑟𝑖𝑎𝑑𝑜𝑟 = −255,37 [𝐽]

𝑊𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒 = 257,5 [𝐽] 𝜂𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒 = 0,395

El efecto combinado de las pérdidas de carga junto al aumento de la demanda

calorífica al considerar un regenerador no ideal y las temperaturas de pared, hace

disminuir drásticamente la eficiencia térmica respecto a los modelos anteriores,

reduciéndose en más de 20 puntos porcentuales respecto al caso adiabático.

0 50 100 150 200 250 300 35010

12

14

16

18

20

22

24

Ángulo de giro (deg)

Pre

sió

n a

bso

luta

[b

ar]

Presión en los espacios de trabajo

pcomp

pexp

potencial de mejora del refigerador del...

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