1- Posición relativa de rectas en una circunferencia

Para hallar los puntos comunes de una circunferencia resolveremos el sistema formado

por las ecuaciones de ambas. En general se obtiene una ecuación de segundo grado, que

tendrá dependiendo del valor de su discriminante (∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐), las siguientes soluciones:

Recta secante

Recta tangente

∆> 0

Una recta es secante si su

discriminante es positivo:

∆= 0

Una recta es tangente si su discriminante

es igual a cero:

Recta exterior

Ejemplo:

Compruebe la posición relativa de la recta 𝑦 = 6𝑥 − 5, en la circunferencia con ecuación

(𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 8)2=34.

Prueba:

1) (𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 8)2=34, (sustituir 𝒚 = 𝟔𝒙 − 𝟓)

2) (𝑥 + 2)2 + (6𝑥 − 5 − 8) = 34, (se desarrollan los productos notables)

3) 𝑥2 + 22 + 2(𝑥)(2) + (6𝑥)2 + (13)2 − 2(6𝑥)(13) = 34, (se simplifica)

4) 𝑥2 + 4 + 4𝑥 + 36𝑥2 + 169 − 156𝑥 = 34

5) 37𝑥2 − 152𝑥 + 109 = 0 (𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎, 𝑏, 𝑐)

6) 𝑎 = 37, 𝑏 = −152, 𝑐 = 109, (utilizamos la fórmula ∆= 𝑏2 − 4(𝑎)(𝑐))

∆< 0

Una recta es exterior si su discriminante

es negativo:

7) ∆= (−152)2 − 4(37)(109) = 6 972

8) 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 ∆> 0, la recta 𝑦 = 6𝑥 − 5 es secante a la circunferencia.

Este se puede verificar gráficamente utilizando el software geogebra