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Portafolio FISICA VIEFPEMUSACTRANSCRIPT
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I
Universidad de San Carlos de Guatemala.Escuela de Formación de Profesores de Enseñanza MediaProfesorado en Matemática y FísicaPlan DiarioFísica VI
Guatemala, 2014
La Física Y Su AplicaciónPortafolio
II
CONTENIDO
INTRODUCCIÓN................................................................................................1
PROGRAMA.......................................................................................................2
1. INDUCTANCIA...........................................................................................10
Inductancia Mutua..........................................................................................10
Inductores y Auto Inductancia........................................................................11
Inductores...................................................................................................12
Energía del Campo Magnético.......................................................................12
Energía almacenada en un inductor...........................................................12
Densidad de la energía magnética.............................................................12
Circuito RL.....................................................................................................13
Circuito LC.....................................................................................................14
Circuito LRC en Serie....................................................................................14
Problemas de Aplicación................................................................................15
Conclusiones..................................................................................................22
Comentario.....................................................................................................22
Ejercicios de aplicación..................................................................................23
2. CORRIENTE ALTERNA (CA).....................................................................36
Fasores y Corriente Alterna...........................................................................36
Corriente Alterna Rectificada......................................................................37
Valores Cuadráticos Medios.......................................................................37
La Física y Su Aplicación
III
III
Resistencia y Reactancia...............................................................................37
Resistores en un circuito ca........................................................................37
Inductor en un circuito “ca”.........................................................................38
Reactancia Inductiva..................................................................................38
Capacitor en un circuito “ca”.......................................................................38
Reactancia Capacitiva................................................................................38
El Circuito LRC en Serie................................................................................38
Impedancia y Angulo de Fase........................................................................39
Impedancia.................................................................................................39
Angulo de Fase...........................................................................................39
Potencia en Circuitos de Corriente Alterna....................................................40
Potencia en un Resistor..............................................................................40
Potencia de un Inductor..............................................................................40
Potencia de un Capacitor............................................................................40
Potencia de un Circuito de “ca”...................................................................41
Resonancia en los Circuitos de Corriente Alterna..........................................41
Comportamiento de un circuito en Resonancia..........................................41
Transformadores............................................................................................42
Problemas de Aplicación................................................................................43
Conclusiones..................................................................................................49
Comentario.....................................................................................................49
Ejercicios de Aplicación.................................................................................50
3. Ondas Electromagnéticas...........................................................................65
Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas......................................65
Electricidad, Magnetismo y Luz..................................................................66
Generación de la radiación electromagnética.............................................66
El espectro electromagnético......................................................................66
Ondas electromagnéticas planas y rapidez de la luz.....................................67
Una onda electromagnética plana simple...................................................68
Propiedades clave de las ondas electromagnéticas...................................69
Deducción de la ecuación de onda electromagnética................................70
Ondas Electromagnéticas Sinusoidales.........................................................70
Campos de una onda sinusoidal.................................................................71
IV
Ondas electromagnéticas en la materia.....................................................71
Energía y cantidad de movimiento de las ondas electromagnéticas.............71
Flujo de energía electromagnética y el vector de Poynting........................72
Flujo de cantidad de movimiento electromagnética y presión de radiación72
Ondas electromagnéticas estacionarias........................................................72
Ondas estacionarias en una cavidad..........................................................72
Problemas de Aplicación................................................................................73
Conclusiones..................................................................................................77
Comentario.....................................................................................................77
Ejercicios de Aplicación.................................................................................78
4. NATURALEZA Y PROPAGACIÓN DE LA LUZ..........................................91
Naturaleza de la Luz......................................................................................91
Reflexión y Refracción..................................................................................91
Leyes de Reflexión y Refracción................................................................92
Índice de Refracción y Aspectos Ondulatorios de la luz.............................93
Reflexión Interna Total...................................................................................93
Dispersión......................................................................................................94
Polarización....................................................................................................94
Dispersión de la Luz.......................................................................................95
Principio de Huygens.....................................................................................95
Problemas de Aplicación................................................................................96
Conclusiones................................................................................................100
Comentarios.................................................................................................100
Ejercicios de aplicación................................................................................101
5. ÓPTICA GEOMÉTRICA...........................................................................112
Reflexión y refracción en una superficie plana.............................................112
Formación de imágenes mediante un espejo plano.................................113
Reglas de signos......................................................................................114
Imagen de un objeto extenso: Espejo plano.............................................114
Reflexión en una superficie esférica............................................................114
Imagen de un objeto puntual: Espejo esférico..........................................115
Métodos gráficos para espejos.................................................................115
Refracción en una superficie esférica..........................................................116
V
V
Lentes delgadas...........................................................................................117
Lentes divergentes...................................................................................118
Ecuación del fabricante de lentes.............................................................118
Cámaras Fotográficas..................................................................................119
El ojo............................................................................................................120
Problemas de Aplicación..............................................................................121
Conclusiones................................................................................................130
Comentarios.................................................................................................130
6. RELATIVIDAD..........................................................................................131
Primer postulado de Einstein.......................................................................131
El segundo postulado de Einstein................................................................131
Transformaciones de Lorentz:.....................................................................132
El efecto Doppler de las ondas electromagnéticas:.....................................132
Material proveniente de un agujero negro................................................132
Cantidad de movimiento relativista y energía:.............................................132
La mecánica newtoniana y las teorías especial y general de la relatividad: 133
Problemas de Aplicación..............................................................................134
Conclusiones................................................................................................144
Comentarios.................................................................................................144
ANEXOS.........................................................................................................145
CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES...............................................................150
RUBRICA PARA EVALUAR PORTAFOLIO 1ª...............................................151
RUBRICA PARA EVALUAR PORTAFOLIO 2ª...............................................152
PROYECTO: LADRÓN DE JOULE.................................................................153
PROYECTO: CASCADA DE LUZ...................................................................161
PROYECTO: AEROGENERADOR.................................................................168
PARCIAL NO. 1...............................................................................................176
PARCIAL NO. 2...............................................................................................185
COMPROBACIONES DE LECTURA..............................................................193
El Universo en una Cáscara de Nuez – Déjà Vu.........................................194
Comentarios.............................................................................................195
La Ciencia y el Campo Akásico – Horton y el Mundo de los Quien.............196
Comentarios.............................................................................................197
VI
El Tao de la Física – ¿Y tú qué Sabes?.......................................................198
Comentarios.............................................................................................199
Laboratorios....................................................................................................200
Reflexión en Espejos Planos.......................................................................201
Voltaje Inducido (Principio del Transformador)............................................216
Ley de Snell.................................................................................................228
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INTRODUCCIÓN
La física es una ciencia que se desarrolla a distintas escalas: hay descripciones que, aunque no sean perfectas, permiten entender determinados fenómenos que involucren ciertas escalas de tamaño o de energía, sin necesidad de utilizar teorías más avanzadas. En la mayoría de los casos, incluso, intentar una descripción de un cierto fenómeno con una teoría más detallada que la necesaria sería directamente infructuosa, debido al alto grado de complejidad, como la descripción de un fenómeno termodinámico en términos de la dinámica de todos los átomos que forman un sistema dado. Gracias a esta propiedad de manifestación a distintas escalas, la física ha podido avanzar hasta el conocimiento con el que contamos hoy. Si bien las ecuaciones de Newton no son válidas para objetos a escalas atómicas o moviéndose a velocidades cercanas a la de la luz, son perfectamente suficientes para explicar y predecir fenómenos que involucren objetos y energías cotidianas. Por ello seguimos utilizándolas, y también ¡enseñándolas!
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PROGRAMA
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1.INDUCTANCIA
Una corriente cambiante en una bobina induce una fern en otra bobina adyacente. El acoplamiento entre ellas queda descrito por su inductancia mutua. Una corriente cambiante en una bobina también induce una fem en esa misma bobina, la cual recibe el nombre de inductor, y la relación de la corriente con la .fem está descrita por la inductancia (también llamada auto inductancia) de la bobina Si una bobina inicialmente conduce corriente, cuando esta disminuye. hay una liberación de energía: este principio se utiliza en lo sistemas de encendido de los automóviles. Esta energía liberada estaba almacenada en el campo magnético generado por la corriente que inicialmente estaba en la bobina, y estudiaremos ciertas aplicaciones prácticas de la energía del campo magnético.
INDUCTANCIA MUTUAEs la interacción magnética entre dos alambres que transportan corrientes estables: la corriente en uno de los alambres genera un campo magnético que ejerce una fuerza sobre la corriente en el otro alambre. Pero cuando hay una corriente cambiante en uno de los circuitos, surge una interacción adicional. Considere dos bobinas de alambre cerca una de la otra.
Representar la proporcionalidad entre el flujo magnético de la bobina dos en la primera corriente en la forma flujo magnético = (constante) en la primera corriente, pero, en vez de ello, es más conveniente incluir el número de espiras N2 en la relación. Al introducir una constante de proporcionalidad M21, llamada inductancia mutua de las dos bobinas.
N2ΦB2=M 21 i1
Donde ΦB2es el flujo a través de una sola espira de la bobina 2. De ahí que,
N2
dΦB2
dt=M 21
di1dt
JOSEPH HENRYFísico estadounidense (1797-1878) Henry se convirtió en el primer director del Instituto Smithsoniano y en el primer presidente de la Academia de Ciencias Naturales. Mejoró el diseño del electroimán y construyó uno de los primeros motores. También descubrió el fenómeno de la autoinducción, pero no publicó sus resultados. La unidad de la inductancia, el henry, es llamada así en su honor.
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Por lo que se reescribe:
M 21=N 2ΦB2
i1
Por lo tanto:
Fem mutuamente inducidas
ε 2=−Mdi1dt
ε 1=−Mdi2dt
Inductancia Mutua
M=N2ΦB2
i1=N1ΦB1
i2
INDUCTORES Y AUTO INDUCTANCIAOcurre un efecto importante relacionado incluso cuando se considera un solo circuito aislado. Cuando en el circuito está presente una corriente, se establece un campo magnético que crea un flujo magnético a través del mismo circuito; este flujo se altera cuando la corriente cambia. Así, cualquier circuito que conduzca una corriente variable tiene una fem inducida en él por la variación en su propio campo magnético. Esa clase de fem se denomina fem auto inducida. Según J. ley de Lenz, una fem auto inducida siempre se opone al cambio en la corriente que causó la fem, y de ese modo hace más difícil que haya variaciones en la corriente. Por esta razón, las fem auto inducida son de gran importancia siempre que hay una corriente variable.
Puede haber fem auto inducida en cualquier circuito, ya que siempre hay algún flujo magnético a través de la espira cerrada de un circuito que conduce corriente. Pero el efecto se intensifica considerablemente si el circuito incluye una bobina con N espiras de alambre. Como resultado de la corriente i, hay un flujo magnético medio ΦB.
Auto inductancia
L=NΦB
i
Al reacomodar la ecuación y obtener la derivada con respecto al tiempo, la relación entre las razones de cambio es:
NΦB
dt=L
didt
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De acuerdo con la ley de Faraday para una bobina con N espiras, ecuación de
inductancia la fem auto inducida es:
Por lo que se deduce ε=Ldidt
InductoresUn elemento de circuito diseñado para tener una inductancia particular se llama inductor, o bobina de autoinducción. El símbolo habitual para un inductor en un circuito es:
Los inductores se encuentran entre los elementos indispensables de los circuitos electrónicos modernos. Su finalidad es oponerse a cualquier variación en la corriente a través del circuito. Un inductor en un circuito de corriente directa ayuda a mantener una corriente estable a pesar de las fluctuaciones en la fem aplicada; en un circuito de corriente alterna, un inductor tiende a suprimir las variaciones de la corriente que ocurran más rápido de lo deseado.
ENERGÍA DEL CAMPO MAGNÉTICO
Energía almacenada en un inductorUna corriente creciente i en el inductor causa una fem ε entre sus terminales, y una diferencia de potencial correspondiente V ab entre las terminales de la fuente, con el punto a a mayor potencial que el b. Así, la fuente debe estar agregando energía al inductor, y la potencia instantánea P.
Podemos calcular la entrada total de energía U necesaria para establecer una corriente final I en un inductor con inductancia L si la corriente inicial es igual a cero. Se supone que el inductor tiene una resistencia igual a cero, por lo que dentro del inductor no se disipa energía. Sea i la corriente en cierto instante y su razón de cambio di/dt; la corriente va en aumento, de manera que di/ dt >0.
El voltaje entre las terminales a y b del inductor en ese instante es V ab=Ldidt
y
la razón P a la que se entrega energía al inductor es:
P=V ab i=Lididt
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Densidad de la energía magnéticaEl volumen V encerrado por el solenoide toroidal es aproximadamente igual a la circunferencia 2πrmultiplicada por el área A: V= 2πrA. la auto inductancia del solenoide toroidal con vacío dentro de sus bobinas es:
L=μ0N
2 A2πr
La energía U almacenada en el solenoide toroidal cuando la corriente es I se obtiene así:
U=12L I 2=1
2μ0N
2 A2 πr
I 2
La energía por unidad de volumen, o densidad de energía magnética, es u=U /V :
u= U2 πrA
=12μ0N
2 A2πr
I2
Esto se puede expresar en términos de la magnitud B del campo magnético dentro del solenoide toroidal.
B=μ0∋¿2πr
¿
por lo tanto,
N2t 2
(2πr )2=B2
μ02
Por lo que la expresión para la densidad de energía magnética en el vacío:
u= B2
2 μ0
Cuando el material dentro del toroide no es un vacío, sino un material con permeabilidad magnética (constante) μ=K mμ0 se sustituye µ0 por µ, teniendo la energía por unidad de volumen en el campo magnético es:
Densidad de energía magnética en un material.
u= B2
2µ
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CIRCUITO RLUn circuito que incluye tanto un resistor como un inductor, y tal vez una fuente de fem, se llama circuito R-L. El inductor ayuda a impedir los cambios rápidos en una corriente, lo que puede ser útil si se requiere una corriente estable y la fuente externa tiene una fem fluctuante.
El resistor R puede ser un elemento de circuito individual, o ser la resistencia de los embobinados del inductor; todo inductor de la vida real tiene cierta resistencia a menos que esté hecho de alambre superconductor. Al cerrar el interruptor S1 se conecta la combinación R-L a una fuente con fem constante.
CIRCUITO LCUn circuito que contiene un inductor y un capacitor muestra un modo completamente nuevo de comportamiento, caracterizado por una corriente y una carga oscilantes. El capacitor comienza a descargarse a través del inductor. A causa de la fem inducida en el inductor, la corriente no puede cambiar en forma instantánea; comienza en cero y finalmente alcanza un valor máximo Im Durante esta intensificación. el capacitar se está descargando. En cada instante el potencial del capacitar es igual a la fem inducida por lo que a medida que el capacitar se descarga. la razón de cambio de la corriente disminuye. Cuando el potencial del capacitar se reduce a cero la fem inducida también es igual a cero. y la corriente se ha estabilizado en su valor máximo Im
CIRCUITO LRC EN SERIEUn inductor con inductancia L y un resistor de resistencia R están conectados en serie entre las terminales de un capacitor cargado, para formar un circuito en serie L-R-C. Como antes, el capacitor comienza a descargarse tan pronto como el circuito está completo. Pero en virtud de las pérdidas
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PROBLEMAS DE APLICACIÓNCalculo de la Inductancia Mutua
En una forma de bobina de Tesla (un generador de alto voltaje que tal vez haya visto en algún museo de ciencia), un solenoide largo con longitud l y área de sección transversal A, tiene un embobinado (o devanado) muy compacto con N1 espiras de alambre. Una bobina con N2 espiras lo rodea a la altura de su centro (figura). Calcule la inductancia mutua.
Datos
Longitud: l=0.50 m
Area de sección transversal: A=10cm2 =1.0x10-3m2
N1=1000espiras.
N2=10 espiras.
Incógnitas
Inductancia mutua: M
Planteamiento
FEM debida a la inductancia mutua
En el ejemplo anterior suponga que la corriente i2 en la bobina circundante exterior está dada por i2=(2.0x105A/s)t. (Las corrientes en alambres pueden
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intensificarse con esta rapidez durante periodos breves), a) En el momento t=3.0 sμ . ¿Qué flujo magnético medio que pasa por cada espira del solenoide es causado por la corriente en la bobina exterior circundante? b) ¿Cuál es la fem inducida en el solenoide?
Datos
Corriente en la bobina exterior: i2=2.0x105 A/s
Incógnitas
Flujo Magnético del solenoide: ΦB1
Fem inducida en el solenode: 1
Planteamiento
Calculo de la Autoinductancia
Un solenoide toroidalcon áreade sección transversal A y radio medio r tiene un embobinado compacto con N espiras de alambre alrededor de un núcleo no mangétrico (figura). Determine su autoinductancia. Suponga que B es uniforme en toda la sección transversal (es decir, ignore la variación de B con la distancia a partir del eje del toroide)
Datos
N=200 espiras
A=5.0 cm2=5.0x10-4m2
r=0.10m
Incógnitas
Autoinductancia: L
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Planteamiento
Cálculo de la fem autoinducida
Si la corriente en el solenoide toroidal del ejemplo anterior se incrementa de manera uniforme de 0 a 6.0 A en 3.0 μs, calcule la magnitud y el sentido de la fem autoinducida.
Datos
N=200 espiras
A=5.0 cm2=5.0x10-4m2
r=0.10m
L=40μH
Incógnitas
Magnitud y sentido de la fem inducida
Planteamiento
Almacenamiento de Energía de un inductor
A la industria de generación de energía eléctrica le agradaría encontrar formas eficientes de almacenar los sobrantes de energía producida durante las horas de escasa demanda, para satisfacer con más facilidad los requerimientos de
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consumo de sus clientes en los momentos de mucha demanda. ¿Se podría utilizar un enorme inductor? ¿Qué inductancia se necesitaría para almacenar 1.00 kW · h ele energía en una bobina que conduzca una corriente de 200 A?
Datos
Incógnitas
Planteamiento
Análisis de un circuito RL
Un sensible dispositivo electrónico con resistencia R=175Ω va a conectarse a una fuente de fem (de resistencia interna despreciable) por medio de un interruptor. El dispositivo está diseñado para que opere con una corriente de 36mA, pero, para evitar que sufra daños, la corriente no debe exceder de 4.9mA en los primeros 58 μs después de cerrado el interruptor. Por lo tanto, un inductor se conecta en serie con el dispositivo, como se muestra en la figura; el interruptor en cuestión es el S1. a)¿Cuál es la fem que debe tener la fuente? Suponga que la resistencia interna es despreciable, b)¿Qué inductancia L se requiere? c) ¿Cuál es la constante de tiempo T de este circuito?
Datos
Incógnitas
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19
Planteamiento
Energía en un circuito RL
Cuando la corriente decae en un circuito RL ¿Qué fracción de la energía almacenada en el inductor se ha disipado después de 2.3 constantes de tiempo?
Circuito Oscilante
Una fuente de energía de 300V se utiliza para cargar un capactior de 25μF. Una vez que el capacitor está cargado por completo, se desconecta de la fuente y se conecta a través de un inductor de 10mH. La resistencia en el circuito es despreciable. a) Determine la frecuencia y el periodo de oscilación en el circuito, b) Obtenga la carga del capacitor y la corriente en el circuito 1.2 ms después de haber conectado el inductor y el capacitor.
Datos
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Incógnitas
Planteamiento
La energía en un circuito oscilante
Considere otra vez el circuito LC del ejemplo 30.8, determine las energías magnética y eléctrica en a)t=0 y en b)t=1.2ms
Datos
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21
Incógnitas
Planteamiento
Circuito LRC sub amortiguado
¿Qué resistencia se requiere (en términos de L y C) para impartir a un circuito LRC una frecuencia equivalente a la mitad de la frecuencia no amortiguada?
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CONCLUSIONESLa inductancia mutua es cuando una corriente variable en un circuito ocasiona un flujo magnético variable en un segundo circuito, en donde este último se induce una fem. Del mismo modo, una corriente variable en el segundo circuito induce una fem en el primero.
La inductancia mutua depende de la geometría de las bobinas y el material entre ellas. Si los circuitos son bobinas de alambre con espiras en donde pasa el flujo medio a través de cada espira por una de las bobinas, que este es ocasionado por la corriente de la primera bobina. Mientras, que la auto inductancia ocurre cuando una corriente variable en cualquier circuito ocasiona una fem auto inducida; la inductancia depende de la geometría del circuito y el material que esta alrededor.
Un inductor con inductancia que lleva corriente tiene energía asociada con el campo magnético del inductor, la densidad de energía magnética es proporcional al cuadrado de la magnitud del campo magnético.
Un circuito RL es un circuito que contiene un resistor y un inductor y una fuente de fem, el crecimiento y el decaimiento de la corriente son exponenciales.
Un Circuito LC, es un circuito que contiene inductancia y capacitancia, experimenta oscilaciones eléctricas con frecuencia angular que depende del inductor y capacitor. Tal circuito es análogo a un oscilador armónico mecánico, con inductancia análoga a la masa.
Un circuito LRC es un circuito que contiene inductancia, resistencia y capacitancia experimenta oscilaciones amortiguadas para una resistencia suficientemente pequeña.
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COMENTARIO.Se le llama inductancia al campo magnético que crea una corriente eléctrica al pasar a través de una bobina de hilo conductor enrollado alrededor de la misma que conforma un inductor. A diferencia del capacitor, que almacena energía en forma de campo eléctrico, la bobina por su forma (espiras de alambre arrollados) almacena energía en forma de campo magnético. Todo cable por el que circula una corriente tiene a su alrededor un campo magnético, siendo el sentido de flujo del campo magnético, el que establece la ley de la mano derecha (ver electromagnetismo). Al estar la bobina hecha de espiras de cable, el campo magnético circula por el centro de la bobina y cierra su camino por su parte exterior. Una característica interesante de las bobinas es que se oponen a los cambios bruscos de la corriente que circula por ellas.
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
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2.CORRIENTE ALTERNA (CA)
George Westinghouse se inclinaba por la corriente alterna (ca), con voltajes y corrientes que varían en forma sinusoidal. Westinghouse argumentaba que con la ca se podían usar transformadores (los cuales estudiaremos en este capítulo) para aumentar y reducir el voltaje, pero no con cd; los voltajes bajos son más seguros de usar por los consumidores, pero los altos voltajes y las correspondientes corrientes bajas son mejores para la transmisión de energía a grandes distancias para reducir al mínimo las pérdidas de i2R en los cables. Finalmente prevaleció el punto de vista de Westinghouse, y en la actualidad la mayoría de los sistemas de distribución de energía para uso doméstico e industrial operan con corriente alterna. Cualquier aparato que se conecte a una toma de pared usa ca, y muchos dispositivos energizados con baterías, como radios y teléfonos inalámbricos, emplean la cd que suministran las baterías para crear o amplificar corrientes alternas. Los circuitos de los equipos modernos de comunicación, incluidos los localizadores y la televisión, también utilizan ampliamente la ca.
FASORES Y CORRIENTE ALTERNAPara suministrar una corriente alterna a un circuito se requiere una fuente de fem o voltaje alternos. Un ejemplo de esto es una bobina de alambre que gira con velocidad angular constante en un campo magnético. Esto crea una fem alterna sinusoidal y es el prototipo del generador comercial de corriente alterna o alternador.
Se aplica el término fuente de "ca" a cualquier dispositivo que suministre un voltaje (diferencia de potencial) o corriente que varía en forma sinusoidal. El símbolo habitual de una fuente de ca en los diagramas de circuito es:
v=Vcosωt
La función anterior es la de un voltaje sinusoidal, donde “v” es la diferencia de potencial instantánea, “V” es la diferencia de potencial máxima y se llama amplitud de voltaje. Por lo anterior de manera que una corriente sinusoidal se describe como:
NIKOLA TESLAFísico estadounidense (1856-1943) Tesla nació en Croacia pero pasó casi toda su vida profesional como inventor en Estados Unidos. Fue una figura clave en el perfeccionamiento de la electricidad de corriente alterna, transformadores de alta tensión y transporte de energía eléctrica mediante líneas de transmisión de CA. El punto de vista de Tesla estuvo en desacuerdo con las ideas de Thomas Edison, quien se dedicó al uso de corriente directa para transmitir energía eléctrica. El método de CA de Tesla ganó.
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i=Icosωt
Donde “i” es la corriente instantánea, e “I” es la corriente máxima.
Corriente Alterna RectificadaLa corriente de valor medio rectificada Ivmr se define de manera que, durante cualquier número entero de ciclos, la carga total que fluye es la misma que habría si la corriente fuera constante con un valor igual a Ivmr. La notación Ivmr y el nombre corriente de valor medio rectificado ponen de relieve que éste no es el promedio de la corriente sinusoidal original. En la carga total que fluye en el tiempo t corresponde al área bajo la curva de i en función de t (recuerde que i = dq/dt, por lo que q es la integral de t); esta área debe ser igual al área rectangular con altura Ivmr. Se observa que Ivmr es menor que la corriente máxima I; las dos están relacionadas mediante la expresión:
I vmr=2πI=0.637 I
Valores Cuadráticos MediosUna forma más útil de describir una cantidad positiva o negativa es el valor eficaz o valor cuadrático medio (rms, por las siglas de root mean square). Se usan valores rms en relación con la rapidez de las moléculas de un gas. Se eleva al cuadrado la corriente instantánea i, se obtiene el valor promedio (media) de i2 y, por último, se saca la raíz cuadrada de ese valor. Este procedimiento define la corriente eficaz, que se denota con Irms
La corriente instantánea está dada por i = I cos t, entonces:
I2 = I2 cos2 t,
I rms=I
√2
De la misma manera, el valor cuadrático medio de un voltaje sinusoidal con amplitud(máximo valor) V es:
V rms=V
√2
RESISTENCIA Y REACTANCIA
Resistores en un circuito caUn resistor con resistencia R a través del cual circula una corriente sinusoidal dada por la ecuación:
i = I cos t,
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La amplitud de la corriente (máxima corriente) es I. Según la ley de Ohm, el potencial instantáneo vR del punto a con respecto al punto b, es:
vR= IR= (IR) cost
El voltaje máximo VR, la amplitud del voltaje, es el coeficiente de la función coseno:
VR= IR
Por lo tanto:
vR= VR cost
Inductor en un circuito “ca”Aunque no hay resistencia, sí hay una diferencia de potencial VL entre las terminales del inductor a y b porque la corriente varía con el tiempo, lo que da lugar a una fem autoinducida. Esta fem inducida en el sentido de i está dada por la ecuación =-L di/dt; sin embargo, el voltaje vL no es simplemente igual a .
vL=I X L
Reactancia InductivaLa reactancia inductiva XL en realidad es una descripción de la fem autoinducida que se opone a cualquier cambio en la corriente a través del inductor, por lo que:
X L=ωL
Capacitor en un circuito “ca”Al conectar con la fuente un capacitor cuya capacitancia es C, se produce una corriente i = Icost a través del capacitor. De nuevo, el sentido positivo de la corriente es antihorario alrededor del circuito.
vC=I XC
Reactancia CapacitivaLa reactancia capacitiva de un capacitor es inversamente proporcional tanto a la capacitancia C como a la frecuencia angular ; cuanto mayores sean la capacitancia y la frecuencia, menor será la reactancia capacitiva XC.
X c=1ωc
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EL CIRCUITO LRC EN SERIEMuchos de los circuitos de ca usados en sistemas electrónicos prácticos implican resistencia, reactancia inductiva y reactancia capacitiva. Un ejemplo sencillo es un circuito en serie que contiene un resistor, un inductor, un capacitor y una fuente de ca,
En este circuito, en virtud de la regla de Kirchhoff de las espiras, el voltaje total instantáneo vad entre las terminales de los tres componentes es igual al voltaje de la fuente en ese instante. Demostraremos que el fasor que representa este voltaje total es la suma vectorial de los fasores de los voltajes individuales.
Para realizar esta suma vectorial primero se resta el fasor VC del fasor VL. (Estos dos fasores siempre están a lo largo de la misma línea, con sentidos opuestos.) Esto da el fasor VL - VC, que siempre forma un ángulo recto con el fasor VR, por lo que, según el teorema de Pitágoras, la magnitud del fasor V es:
V=√V R2 +(V L−V C )2=√ ( IR )2+( I X L−I XC )2=I √R2+( XL−X C )2
Se define impedancia “Z” de un circuito de ca como la razón entre la amplitud del voltaje entre las terminales del circuito y la amplitud de la corriente en el circuito. De la ecuación anterior, la impedancia del circuito en serie LRC es:
Z=√R2+ (X L−XC )2
Por lo tanto:
V=I √R2+ (X L−XC )2=IZ
IMPEDANCIA Y ANGULO DE FASE
ImpedanciaLa ecuación es análoga a V = IR, con la impedancia Z de un circuito de ca en el papel de la resistencia R en un circuito de cd. Así como la corriente directa tiende a seguir la trayectoria de menor resistencia, la corriente alterna tiende a seguir la trayectoria de mínima impedancia.
Angulo de FaseEl ángulo entre los fasores de voltaje y de corriente es el ángulo de fase del voltaje de fuente v con respecto a la corriente i; es decir, es el ángulo con el que el voltaje de fuente se adelanta a la corriente. De acuerdo con el diagrama,
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tanϕ=V L−V C
V R
=I (XL−XC)
IR=XL−X C
R
POTENCIA EN CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNAPara un circuito de ca con corriente instantánea i y amplitud de corriente I, consideraremos uno de sus elementos a través del cual la diferencia de potencial instantánea es v, con amplitud de voltaje V. La potencia instantánea p entregada a este elemento de circuito es
p=vi
Potencia en un ResistorLa curva de potencia correspondiente a un resistor es simétrica con respecto a un valor igual a la mitad de su valor máximo VI, así que la potencia media Pmed
es:
Pmed=12VI
Potencia de un InductorA continuación, conectamos la fuente a un inductor L, como en la figura “a”. El voltaje v = vL se adelanta 90° a la corriente. Cuando se multiplican las curvas de v e i, el producto vi es negativo durante la mitad del ciclo cuando v e i tienen signos opuestos. La curva de potencia, que se aprecia en la figura “b”, es simétrica con respecto al eje horizontal; es positiva la mitad del tiempo y negativa la otra mitad, y la potencia media es igual a cero. Cuando p es positiva, la energía se suministra para establecer el campo magnético en el inductor; cuando p es negativa, el campo desaparece y el inductor devuelve energía a la fuente. La transferencia neta de energía en un ciclo es igual a cero.
Potencia de un CapacitorPor último, conectamos la fuente a un capacitor C, como en la figura “a”. El voltaje v = vC se retrasa 90° con respecto a la corriente. La figura “c” muestra la curva de la potencia; de nuevo, la potencia media es igual a cero. Se suministra energía para cargar el capacitor y se devuelve a la fuente cuando el capacitor se descarga. La transferencia neta de energía en un ciclo es, una vez más, igual a cero.
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41
Potencia de un Circuito de “ca”En cualquier circuito de ca, con cualquier combinación de resistores, capacitores e inductores, el voltaje v a través de todo el circuito tiene un ángulo de fase con respecto a la corriente i. Así, la potencia instantánea p está dada por:
p=vi
El valor medio de cosωtsenωt es cero porque este producto es igual a ½ sen2ωt, cuyo promedio en un ciclo es cero. Por lo tanto, la potencia media Pmed
es:
Pmed=12VI cos ϕ=V RMS IRMS cosϕ
RESONANCIA EN LOS CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNAGran parte de la importancia práctica de los circuitos L-R-C en serie estriba en la forma en que tales circuitos responden a las fuentes de diferente frecuencia angular. Por ejemplo, un tipo de circuito sintonizador usado en los receptores de radio es simplemente un circuito L-R-C en serie. Una señal de radio de cualquier frecuencia dada produce una corriente de la misma frecuencia en el circuito receptor, pero la amplitud de la corriente es máxima si la frecuencia de la señal es igual a la frecuencia particular a la cual se “sintoniza” el circuito receptor. Este efecto se llama resonancia.
Comportamiento de un circuito en ResonanciaA medida que varía la frecuencia angular ω de la fuente, la amplitud de corriente I =V/Z se modifica; el valor máximo de I se presenta a la frecuencia a la que la impedancia Z es mínima. Este crecimiento máximo de la amplitud de corriente a cierta frecuencia se llama resonancia. La frecuencia angular ω0 a la que se presenta el máximo de resonancia se denomina frecuencia angular de resonancia. Ésta es la frecuencia angular a la que las reactancias inductiva y capacitiva son iguales; por lo tanto, en la resonancia,
ω0=1
√LC
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TRANSFORMADORESUna de las grandes ventajas de la ca sobre la cd en la distribución de energía eléctrica es que es mucho más fácil subir y bajar los voltajes con la ca que con la cd. Para la transmisión a grandes distancias es deseable usar un voltaje tan elevado y una corriente tan pequeña como sea posible; esto reduce las pérdidas de i2R en las líneas de transmisión, y permite utilizar alambres delgados, con lo cual se reducen los costos de los materiales. Las líneas de transmisión actuales operan de manera rutinaria con voltajes eficaces del orden de 500 kV. Por otro lado, consideraciones de seguridad y requerimientos de aislamiento imponen voltajes relativamente bajos en el equipo de generación y en las líneas de distribución domésticas e industriales. El voltaje estándar para el cableado doméstico es de 120 V en Estados Unidos y Canadá, y de 240 V en muchos otros países. La conversión necesaria del voltaje se lleva a cabo por medio de transformadores.
El símbolo de un transformador con núcleo de hierro en un circuito, como los que se usan en los sistemas de distribución, es:
La fuente de ca ocasiona una corriente alterna en el primario, lo que establece un flujo alterno en el núcleo; esto induce una fem en cada devanado, de acuerdo con la ley de Faraday.
La fem inducida en el secundario da lugar a una corriente alterna en el secundario, y esto entrega energía al dispositivo al que está conectado el secundario. Todas las corrientes y las fem tienen la misma frecuencia que la fuente de ca.
La razón entre la fem secundaria 2 y la fem primaria 1 es, por lo tanto, igual en cualquier instante a la razón entre las espiras del secundario y las espiras del primario:
ε2ε1
=N 2
N 1
Las fem inducidas 1 y 2 son iguales a los voltajes entre terminales a través del primario y el secundario, respectivamente; por lo tanto,
V 2
V 1
=N2
N1
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PROBLEMAS DE APLICACIÓNCorriente de una computadora personal
La placa en la parte posterior de una computadora personal indica que toma 2.7A de una línea de 120V y 60Hz. Para esta computadora, ¿Cuáles son los valores de a)la corriente media,b)la media del cuadrado de la corriente y c) la amplitud de la corriente?
Datos
Incógnitas
Planteamiento
Inductor en un circuito ca
La amplitud de la corriente en un inductor puro de un receptor de radio es de 250 uA cuando la amplitud de voltaje es de 3.60 V a una frecuencia de 1.60MHz (correspondiente al extremo superior de la banda de transmisión de AM). a)¿Cuál es la reactancia inductiva que se necesita?¿Y qué inductancia? b) Si la amplitud del voltaje se mantiene constante, ¿cuál será la amplitud de la corriente a través de este inductor a 16.0MHz?¿Y a 160kHz?
Datos
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Incógnitas
Planteamiento
Resistor y Capacitor en un circuito de ca.
Un resistor de 200Ω está conectado en serie con un capacitor de 5.0 μF. El voltaje a través del resistor es vR=(1.20V)cos(2500rad/s)t (figura). a) Obtenga una expresión para la corriente en el circuito. b) Determine la reactancia capacitiva del capacitor. c) Obtenga una expresión para el voltaje a través del capacitor.
Planteamiento
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45
Circuito LRC en serie
En el circuito en serie de la figura 31.13a suponga que R=300Ω L=60mH, C=0.50µF, V=50V y w=10,000rad/s. Determine las reactancias XL y XC, la impendancia Z, la amplitud de corriente I, el ángulo de fase y la amplitud de voltaje a través de cada elemento de circuito.
Datos
R=300ΩL=60mHC=0.50 μFV=50V
ω=10,000 rad / sIncógnitas
XL=?Xc=?Z=?
Planteamiento
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Circuito LRC en serie II
Para el circuito LRC en serie del ejemplo 31.4 obtenga expresiones de la dependencia a través del tiempo, de la corriente instantánea i y los voltajes instantáneos a través del resistor (vR), inductor (vL), capacitor (vC) y fuente de ca (v)
Planteamiento
Potencia en una secadora para el cabello
Una secadora eléctrica para el cabello está especificada a 1500W (la potencia media) y 120V(el voltaje rms).Calcule a)la resistencia, b)la corriente rms y c)la potencia instantánea máxima. Suponga que la secadora es un resistor puro. (El elemento que genera calor actúa como resistor).
Datos
Pmed=1500W
V rms=120V
Incógnitas
R=?
I rms=?
Pmax=?
Planteamiento
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47
Potencia en un circuito LRC en serie
Para el circuito LRC en serie del ejemplo 31.4 a)calcule el factor de potencia; y b)calcule la potencia media entregada a todo el circuito y a cada uno de sus elementos.
Planteamiento.
Sintonización de un radio
El circuito en serie de la figura es similar a algunos circuitos de sintonización de radios. Está conectado a una fuente de ca con voltaje terminal rms de 1.0V y frecuencia variable. a) Calcule la frecuencia de resonancia. En la frecuencia de resonancia, b) calcule la reactancia inductiva XL, la reactancia capacitiva Xc y la impedancia Z; c) la corriente rms Irms, y d) el voltaje rms a través de cada elemento de circuito.
Datos
L=0.40×10−3H
C=100×10−12F
V rms=1.00V
Incógnitas
ω0=?
f 0=?
X L=?
XC=?
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V R−rms=?
Planteamiento
La diferencia de potencial es:
"¡Despierte y perciba el aroma (del transformador)!"
Una amiga trae de Europa una cafetera a 120V? b)¿Qué corriente tomará la cafetera de la línea de 120V? c)¿Cuál es la resistencia de la cafetera? (Los voltajes son valores rms)
Datos
V 1=120VV 2=240VPmed=960W
Incógnitas
I 1=?I 2=?R=?
Planteamiento
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CONCLUSIONESUn alternador o fuente de ca produce una fem que varía en forma sinusoidal con el tiempo. Un voltaje o corriente sinusoidal se puede representar mediante un fasor, que es un vector que gira en sentido antihorario con velocidad angular constante v igual a la frecuencia angular de la cantidad sinusoidal. Su proyección sobre el eje horizontal en cualquier instante representa el valor instantáneo de la cantidad.
El voltaje entre las terminales de un resistor R está en fase con la corriente. El voltaje entre las terminales de un inductor L se adelanta a la corriente en 90°
En un circuito de ca general, las amplitudes del voltaje y la corriente están relacionadas mediante la impedancia del circuito Z.
Un transformador se utiliza para transformar los niveles de voltaje y de corriente en un circuito de ca.
COMENTARIOLa corriente alterna presenta ventajas decisivas de cara a la producción y transporte de la energía eléctrica, respecto a la corriente continua: Generadores y motores mas baratos y eficientes, y menos complejos, posibilidad de transformar su tensión de manera simple y barata (transformadores), también en la posibilidad de transporte de grandes cantidades de energía a largas distancias con un mínimo de sección de conductores ( a alta tensión), los motores muy simples, (como el motor de inducción asíncrono de rotor en cortocircuito) y la reducción de algunos fenómenos eléctricos indeseables (magnetización en las maquinas, y polarizaciones y corrosiones electrolíticas en pares metálicos)
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EJERCICIOS DE APLICACIÓN
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3.ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS
En este capítulo se usan las ecuaciones de Maxwell como base teórica para comprender las ondas electromagnéticas. Se verá que estas ondas transportan tanto energía como cantidad de movimiento. En las ondas electromagnéticas sinusoidales, los campos y son funciones sinusoidales del tiempo y la posición, con frecuencia y longitud de onda definidas. Los distintos tipos de ondas electromagnéticas luz visible, ondas de radio, rayos x y otras difieren sólo en su frecuencia y longitud de onda. Nuestro estudio de la óptica en capítulos posteriores se basará en parte en la naturaleza electromagnética de la luz. A diferencia de las ondas en una cuerda o las del sonido en un fluido, las ondas electromagnéticas no requieren un medio material; la luz que se observa por la noche procedente de las estrellas ha viajado sin dificultad a través de decenas o cientos de años luz del espacio (casi) vacío.
ECUACIONES DE MAXWELL Y ONDAS ELECTROMAGNÉTICASEn los últimos capítulos se estudian distintos aspectos de los campos eléctricos y magnéticos. Se sabe que cuando estos campos no varían con el tiempo como en el caso del campo eléctrico producido por cargas en reposo o el campo magnético de una corriente estable, se pueden analizar los campos eléctricos y magnéticos de forma independiente, sin considerar las interacciones entre ellos. Pero cuando los campos varían con el tiempo, dejan de ser independientes. La ley de Faraday plantea que un campo magnético variable en el tiempo actúa como fuente de campo eléctrico, como lo demuestran las fem inducidas en los inductores y transformadores. La ley de Ampère, incluyendo la corriente de desplazamiento descubierta por Maxwell, afirma que un campo eléctrico que cambia con el tiempo actúa como una fuente de campo magnético. Esta interacción mutua entre los dos campos se resume en las ecuaciones de Maxwell.
NIKOLA TESLAFísico estadounidense (1856-1943) Tesla nació en Croacia pero pasó casi toda su vida profesional como inventor en Estados Unidos. Fue una figura clave en el perfeccionamiento de la electricidad de corriente alterna, transformadores de alta tensión y transporte de energía eléctrica mediante líneas de transmisión de CA. El punto de vista de Tesla estuvo en desacuerdo con las ideas de Thomas Edison, quien se dedicó al uso de corriente directa para transmitir energía eléctrica. El método de CA de Tesla ganó.
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Electricidad, Magnetismo y LuzEn el sistema de unidades empleado en ese tiempo, estas dos unidades de carga tenían dimensiones físicas distintas. Su razón tenía unidades de velocidad, y las mediciones demostraron que la razón tenía un valor numérico que era exactamente igual a la rapidez de la luz, 3.00 X 108 m/s. En esa época, los físicos veían esto como una coincidencia extraordinaria y no tenían idea de cómo explicarla.
En su búsqueda por entender este resultado, Maxwell (figura 32.1) demostró en 1865 que una perturbación electromagnética debe propagarse en el espacio libre con una rapidez igual a la de la luz, por lo que era probable que la naturaleza de las ondas de luz fuera electromagnética. Al mismo tiempo descubrió que los principios básicos del electromagnetismo podían expresarse en términos de las cuatro ecuaciones que hoy se conocen como ecuaciones de Maxwell.
∮ E ∙ dA=Qenc
ϵ 0(Ley deGauss)
∮ B ∙ dA=0(ley de Gaussdelmagnetismo)
∮ B ∙ dl=μ0(ic+∈0
dΦE
dt )enc
(Ley de Ampére)
∮ E ∙ dl=−dΦE
dt(Ley de Faraday)
Generación de la radiación electromagnéticaLas líneas de campo eléctrico producidas por una carga puntual oscilante. Las líneas de campo no son objetos materiales; sin embargo, es útil pensar que se comportan como cuerdas que se extienden de la carga puntual al infinito. La oscilación de la carga hacia arriba y abajo hace que las ondas se propaguen hacia fuera de la carga a lo largo de estas “cuerdas”. Observe que la carga no emite ondas en todas direcciones por igual; las ondas son más intensas a 90° con respecto al eje de movimiento de la carga, en tanto que no hay ondas a lo largo de este eje. Ésta es la conclusión a la que se llega con la analogía de la “cuerda”. Además, hay una perturbación magnética que se extiende hacia fuera de la carga. Puesto que las perturbaciones eléctricas y magnéticas se dispersan o irradian desde la fuente, se utiliza de manera indistinta el nombre de radiación electromagnética o el de “ondas electromagnéticas”.
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67
El espectro electromagnéticoLas ondas electromagnéticas cubren un espectro extremadamente amplio de longitudes de onda y frecuencia. Este espectro electromagnético incluye las ondas de radio y televisión, la luz visible, la radiación infrarroja y ultravioleta, los rayos x y los rayos gamma. Se han detectado ondas electromagnéticas con frecuencias desde 1 hasta 1024 Hz.
La luz blanca ordinaria incluye todas las longitudes de onda visibles. Sin embargo, con el uso de fuentes o filtros especiales es posible seleccionar una banda angosta de longitudes de onda dentro de un intervalo de unos cuantos nm. Esa luz es aproximadamente monocromática (de un solo color). La luz totalmente monocromática con una sola longitud de onda es una idealización inalcanzable. Cuando usamos la expresión “luz monocromática con λ=550nm
ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS PLANAS Y RAPIDEZ DE LA LUZEl procedimiento consistirá en postular una configuración simple de campo eléctrico que tenga un comportamiento ondulatorio. Se supone un campo eléctrico Eque tenga sólo una componente y, y un campo magnético Bsólo con una componente z, y supondremos que ambos campos se mueven juntos en la dirección +x con una rapidez c que al principio es desconocida.
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Una onda electromagnética plana simpleSi se toma como base un sistema de coordenadas xyz se supone que todo el espacio está dividido en dos regiones por un plano perpendicular al eje x (y paralelo al plano yz). En cada punto a la izquierda de este plano hay un campo eléctrico uniforme en la dirección +y y un campo magnético uniforme en la dirección +z, como se ilustra. Además, supongamos que el plano limítrofe, al que llamaremos frente de onda, se desplaza hacia la derecha en la dirección +x con rapidez constante c, un valor que por el momento dejaremos indeterminado. Así, los campos y viajan a la derecha hacia regiones hasta ahora libres de campo con rapidez definida. En resumen, la situación describe una onda electromagnética rudimentaria. Una onda como ésta, en la que en cualquier instante los campos son uniformes en toda la extensión de cualquier plano perpendicular a la dirección de propagación, se llama onda plana.
La siguiente ecuación de Maxwell por considerar es la ley de Faraday:
∮ E ∙ dl=−d ΦE
dt
Aplicándolo en un rectángulo efgh paralelo al plano xy, que representa un corte transversal en el plano xy teniendo una altura a y anchura dx. Se tiene que:
∮ E ∙ dl=−Ea
Teniendo el flujo magnético distinto de cero y en un intervalo de tiempo dt frente de onda se desplaza una distancia c dt, la tasa de cambio de flujo magnético es:
dΦ E
dt=Bac
Sustituyendo los valores por las ecuaciones anteriores en la ley de Faraday se tiene que:
E=Bc
Para la onda electromagnética en el vacío se tiene en la ley de Ampere:
B=∈0 μ0 cE
Para la rapidez de las ondas electromagnéticas en el vacío obedeciendo la ley de Ampere como la ley de Faraday.
c= 1
√∈0μ0
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Propiedades clave de las ondas electromagnéticasPara una onda simple con la finalidad de evitar complicaciones matemáticas, pero este caso especial ilustra varias características importantes de todas las ondas electromagnéticas:
La onda es transversal; tanto como son perpendiculares a la dirección de propagación de la onda. Los campos eléctrico y magnético también son perpendiculares entre sí. La dirección de propagación es la dirección del producto vectorial.
Hay una razón definida entre las magnitudes de campo eléctrico y campo magnético: E=Bc
La onda viaja en el vacío con rapidez definida e invariable. A diferencia de las ondas mecánicas, que necesitan de partículas
oscilantes de un medio, como el agua o aire para transmitirse, las ondas electromagnéticas no requieren un medio. Lo que “ondula” en una onda electromagnética son los campos eléctricos y magnéticos.
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Deducción de la ecuación de onda electromagnética
La comparación de las ecuaciones resaltadas demuestra que la rapidez de la onda v está dada por:
ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS SINUSOIDALESLas ondas electromagnéticas sinusoidales son directamente análogas a las ondas mecánicas transversales sinusoidales que se forman en una cuerda estirada, En una onda electromagnética sinusoidal, en el campo magnético y campo eléctrico en cualquier punto del espacio son funciones sinusoidales del tiempo, y en cualquier instante la variación espacial de los campos también es sinusoidal.
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Para una onda con esta frecuencia, incluso una distancia de muchos kilómetros incluye sólo una pequeña fracción de la longitud de onda. Pero si la frecuencia es 108 Hz (100 MHz), común para las emisiones de radio de FM, la longitud de onda es:
Campos de una onda sinusoidalLos campos eléctrico y magnético oscilan en fase: Campo Eléctrico es máximo donde campo magnético también lo es, y campo eléctrico es igual a cero donde campo magnético también vale cero. Advierta también que donde campo eléctrico está en la dirección +y, el campo magnético tiene la dirección +z; y donde campo eléctrico está en la dirección -y, el campo magnético está en la dirección -z. En todos los puntos, el producto vectorial en los dos campos está en la dirección en que se propaga la onda
E ( x ,t )= j Emaxcos (kx−ωt)
B (x , t )=k Bmaxcos (kx−ωt)
Ondas electromagnéticas en la materiaHasta este momento, nuestro análisis de las ondas electromagnéticas se ha restringido a ondas en el vacío. Pero las ondas electromagnéticas también viajan en la materia; piense en la luz que viaja a través del aire, el agua o el vidrio. En este apartado ampliaremos nuestro estudio a las ondas electromagnéticas en materiales que no son conductores, es decir, en dieléctricos.
v= 1
√ϵμ= 1
√K K m
= 1
√ϵ 0μ0= c
√K Km
ENERGÍA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE LAS ONDAS ELECTROMAGNÉTICASEs un hecho muy conocido que hay energía asociada con las ondas electromagnéticas; piense en la energía de la radiación solar. Las aplicaciones prácticas de las ondas electromagnéticas —como los hornos de microondas, los trasmisores de radio y rayos láser para cirugía ocular— utilizan la energía que esas ondas transportan. Para comprender cómo se aprovecha esta energía, resulta útil deducir relaciones detalladas de la energía de una onda electromagnética.
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Flujo de energía electromagnética y el vector de PoyntingEs posible definir una cantidad vectorial que describa tanto la magnitud como la dirección de la tasa del flujo de energía:
S= 1μ0E× B
Flujo de cantidad de movimiento electromagnética y presión de radiaciónExiste además tasa de flujo de cantidad de movimiento correspondiente. El volumen dV ocupado por una onda electromagnética (rapidez c) que pasa a través de una área A en el tiempo dt es dV = Ac dt. Cuando se sustituye esto en la ecuación y se reordena, se encuentra que la tasa de flujo de la cantidad de movimiento por unidad de área es:
1Adpdt
=Sc= EBμ0 c
ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS ESTACIONARIASEl principio de superposición se cumple para las ondas electromagnéticas igual que para los campos eléctricos y magnéticos. La superposición de una onda incidente y una onda reflejada forma una onda estacionaria.
Ondas estacionarias en una cavidadSiguiendo con la analogía de la cuerda estirada, ahora es posible insertar un segundo plano conductor, paralelo al primero y a una distancia L de él, a lo largo del eje x. La cavidad entre los dos planos es análoga a una cuerda estirada sujeta en los puntos x = 0 y x = L. Ambos planos conductores deben ser planos nodales para una onda estacionaria puede presentarse sólo cuando el segundo plano está situado en alguna de las posiciones en las que E(x, t) = 0. Es decir, para que exista una onda estacionaria, L debe ser un múltiplo entero de λ/2. Las longitudes de onda que satisfacen esta condición son
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PROBLEMAS DE APLICACIÓNCampo eléctrico y magnético de un laser.
Un laser de dióxido de carbono emite una onda electromagnética sinusoidal que viaja en el vacío enla dirección x negativa. La longitud de onda es 10.6um (en el rango del infrarrrojo) y el campo eléctrico es paralelo al eje z con magnitud máxima de 1.5MV/m. Escriba las ecuaciones vectoriales para E y B como funciones del tiempo y la posición.
Planteamiento
Ondas Electromagnéticas en diferentes materiales
Cierta noche, durante una visita a una joyería, usted sostiene un diamante contra la luz de una lámpara del alumbrado público. El vapor de sodio caliente de la lámpara emite luz amarilla con frecuencia de 5.09 x 1014Hz. Determine la longitud de onda en el vacío, la rapidez de propagación de la onda y la longitud de onda en el diamante para el cual K=5.84 y Km=1.00 a esta frecuencia b) Una onda de radio con frecuencia de 90.0MHz (en la banda de radio de FM) pasa del vacío hacia un núcleo de ferrita aislante (un material ferro magnético que se utiliza en los cables de computadora para eliminar la interferencia de radio). Determine la longitud de onda en el vacío, la rapidez de propagación de la onda en la ferrita, y la longitud de onda en la ferrita para la cual K=10.0 y Km=1000 a esta frecuencia.
Datos
c=3.00×108ms
f=5.09×1014HzK=5.84Km=1.00Incógnitas
λvac í o=?vdiamante=?λdiamante=?
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v ferrita=?λ ferrita=?Planteamiento
λvac í o=cf=3.00×10
8m / s5.09×1014Hz
=5.89×10−7m=589nm
vdiamante=c
√K Km
=3.00×108m /s
√ (5.84 )(1.00)=1.24×108m / s
λdiamante=vdiamante
f=1.24×10
8m /s5.09×1014Hz
=2.44×10−7m=244nm
λvac í o=cf=3.00×10
8m / s90×106Hz
=3.33m
v ferrita=c
√K Km
=3.00×108m /s
√ (10.0 )(1000)=3.00×106m /s
λ ferrita=v ferritaf
=3.00×106m /s
90.0×106Hz=3.33×10−2m=3.33cm
Energía en una onda no sinusoidal
Con respecto a la onda no sinusoidal descrita en la sección anterior, suponga que E=100V/m=100N/C. Determine el valor B, la densidad de energía u y la rapidez de flujo de energía por unidad de área S.
Datos
c=3.00×108m /s
E=100Vm
=100NC
ϵ 0=8.85×10−12C2/N m2
Incógnitas
B=?u=?S=?
Planteamiento
B=Ec=
100Vm
3.00×108ms
=3.33×107T
u=ϵ 0E2=(8.85×10−12C2/N m2 ) (100N /C )2=8.85×10−8 N
m2=8.85×10−8 J /m3
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S= EBμ0
=(100V /m ) (3.33×10−7T )
4 π×10−7Tm /A=26.5 VA
m2=26.5W /m2
Energía en una onda sinusoidal
Una estación de radio en la superficie terrestre emite una onda sinusoidal con una potencia total media de 50kW (figura). Suponiendo que el transmisor irradia por igual en todas direcciones sobre el terreno (lo que es improbable en situaciones reales), calcule las amplitudes Emáx y Bmáx detectadas por un satélite ubicado a 100 km de la antena.
Datos
r=100Km=100×103mP=50 kW=5×104W
c=3.00× 108ms
μ0=4 π ×10−7Tm /A
Incógnitas
A=?
I=?
Emáx=?
Bmax=?
Planteamiento
A=2π r2=2 π (1×105m)2=6.28×1010m2
I= PA
= P2π r2
= 5.00×104W6.28×1010m2=7.96×10
−7W /m2
Emax=√2μ0 c Smed=√2 (4 π ×10−7Tm /A ) (3.00×108m / s) (7.96×10−7W /m2 )
Emax=2.45×10−2V /m
Bmax=Emax
c=2.45×10
−2V /m3.00×108m /s
=8.17×10−11T
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Potencia y presión de la luz solar
Un satélite en órbita alrededor de la Tierra tiene paneles recolectores de energía solar con área total de 4.0m2 (figura). Si la radiación del Sol es perpendicular a los paneles y es absorbida por completo, calcule la potencia solar media absorbida y la fuerza media asociada con la presión de radiación.Datos
I=1.4×103W /m2
A=4.0m2
Incógnitas
P=?F=?Planteamiento
P=IA
P=(1.4× 103Wm2 ) (4.0m2)
P=5.6×103WP=5.6 kW
F=prad A F=(4.7×10−6 Nm2 ) (4.0m2 )
F=1.9×10−5N
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CONCLUSIONESLas ecuaciones de Maxwell pronostican la existencia de ondas electromagnéticas que se propagan en el vacío con la rapidez de la luz.
Cuando una onda electromagnética viaja a través de un dieléctrico, la rapidez de onda v es menor que la rapidez de la luz en el vacío c.
La tasa de flujo de energía (potencia por unidad de área) de una onda electromagnética en vacío está dada por el vector de Poynting “S”
COMENTARIOBasados en las modificaciones que realizó Maxwell se llegó a un gran avance en la Física y a las ecuaciones de Maxwell se le encontró sentido a las ondas electromagnéticas que se propagan con mayor rapidez siendo esta la rapidez de la luz en el vacío.
Al encontrar la velocidad de la luz se llegó a un gran avance ya que se le pueden encontrar los movimientos de las partículas pequeñas y ondas electromagnéticas.
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EJERCICIOS DE APLICACIÓN
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4.NATURALEZA Y PROPAGACIÓN DE LA LUZ
Al estudiar la rama de la física llamada óptica, la cual se ocupa del comportamiento de la luz y otras ondas electromagnéticas, es posible obtener una apreciación más profunda del mundo visible. El conocimiento de las propiedades de la luz nos permite entender el color azul del cielo, el diseño de dispositivos ópticos como telescopios, microscopios, cámaras y anteojos, y el funcionamiento del ojo humano. Los mismos principios básicos de la óptica se encuentran en el meollo de los equipos modernos como el láser, la fibra óptica, los hologramas, las computadoras ópticas y las novedosas técnicas para obtener imágenes con fines médicos.
NATURALEZA DE LA LUZGalileo y otros científicos intentaron (sin éxito) medir la rapidez de la luz. Alrededor de 1665, comenzaron a descubrirse evidencias de las propiedades ondulatorias de la luz. A principios del siglo XIX, la evidencia de que la luz es una onda se había vuelto muy convincente. En 1873 James Clerk Maxwell predijo la existencia de ondas electromagnéticas y calculó su rapidez de propagación
REFLEXIÓN Y REFRACCIÓNEn esta sección se usa el modelo de la luz basado en rayos para explorar dos de los aspectos más importantes de la propagación de la luz: la reflexión y la refracción. Cuando una onda luminosa incide en una interfase lisa que separa dos materiales transparentes (como el aire y el vidrio, o el agua y el vidrio), la onda en general se refleja parcialmente y también se refracta (se transmite) parcialmente hacia el segundo material.
Se describen las direcciones de los rayos incidente reflejado y refractado (transmitido) en una interfase lisa entre dos materiales ópticos en términos de los ángulos que forman con la normal (perpendicular) a la superficie en el punto de incidencia. Si la interfase es rugosa tanto la luz transmitida como la reflejada se dispersan en varias direcciones y no hay un ángulo único de transmisión o reflexión. La reflexión con un ángulo definido desde una superficie muy lisa se llama reflexión especular: la reflexión dispersa a partir de una superficie áspera se llama reflexión difusa.
Físico y astrónomo holandés(1629-1695)Huygens es mejor conocido por sus aportaciones a los campos de la óptica y la dinámica. Para Huygens, la luz consistía en un tipo de movimiento vibratorio que se dispersa y produce la sensación de luz cuando incide en los ojos. Con base en esta teoría, dedujo las leyes de la reflexión y la refracción y explicó el fenómeno de doble refracción.
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El índice de refracción de un material óptico (también llamado índice refractivo) denotado con n, desempeña un papel central en la óptica geométrica. Es la razón entre la rapidez c de la luz en el vacío y la rapidez v de la luz en el material:
Leyes de Reflexión y RefracciónLos estudios experimentales de las direcciones de los rayos incidentes, reflejados y refractados en una interfase lisa entre dos materiales ópticos condujeron a las siguientes conclusiones (figura):
Los rayos incidente, reflejado y refractado, así como la normal a la superficie, se encuentran todos en el mismo plano. El plano de los tres rayos y la normal, llamado plano de incidencia, es perpendicular al plano de la superficie de frontera entre los dos materiales. Siempre se dibujan los diagramas de manera que los rayos incidente, reflejado y refractado estén en el plano del diagrama.
El ángulo de reflexión θr, es igual al ángulo de incidencia θa para todas las longitudes de onda y para cualquier par de materiales. Es decir, en la figura c,
Esta relación, junto con la observación de que los rayos incidente y reflejado y la normal están en el mismo plano, se conoce como ley de reflexión.
Para la luz monocromática y para un par dado de materiales, a y b, en lados opuestos de la interfase, la razón entre los senos de los ángulos θa
y θb, donde los dos ángulos están medidos a partir de la normal a la superficie, es igual al inverso de la razón entre los dos índices de refracción:
Este resultado experimental junto con la observación de que los rayos incidente y refractado, así como la normal se encuentran en el mismo plano se llama ley de refracción o ley de Snell, en honor del científico holandés Willebrord Snell (1591- 1626).
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Índice de Refracción y Aspectos Ondulatorios de la luzHemos analizado la forma en que la dirección de un rayo de luz cambia cuando pasa de un material a otro con distinto índice de refracción. También es importante ver lo que ocurre con las características ondulatorias de la luz cuando eso sucede.
En primer lugar, la frecuencia f de la onda no cambia cuando pasa de un material a otro. Es decir, el número de ciclos de la onda que llegan por unidad de tiempo es igual al número de ciclos que salen por unidad de tiempo; esto significa que la superficie de frontera no puede crear ni destruir ondas.
En segundo lugar, la longitud de onda , en general, es diferente en distintos materiales.
Esto se debe a que en cualquier material, v=f; como f es la misma en cualquier material que en el vacío y u siempre es menor que la rapidez e de la onda en el vacío. También se reduce en forma correspondiente. Así, la longitud de onda de la luz en un material es menor que la longitud de onda 0
de la misma luz en el vacío. De acuerdo con el análisis anterior, f=c/0 =v/. Al combinar esto con la ecuación anterior, n=c/v, se encuentra que:
REFLEXIÓN INTERNA TOTALLa forma en que la luz es parcialmente reflejada y parcialmente transmitida en una interfase entre dos materiales con distintos índices de refracción. Sin embargo, en ciertas circunstancias, toda la luz se puede reflejar en la interfase, sin que se transmita nada de ella aun si el segundo material es transparente.
El ángulo de incidencia para el cual el rayo refractado emerge en forma tangencial a la superficie se llama ángulo crítico, y se denota con θcrít· (Un análisis más detallado usando las ecuaciones de Maxwell demuestra que conforme el ángulo de incidencia se aproxima al ángulo crítico, la intensidad transmitida tiende a cero). Si el ángulo de incidencia es mayor que el ángulo crítico, el seno del ángulo de refracción, de acuerdo con la ley de Snell, tendría que ser mayor que la unidad, lo cual es imposible.
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DISPERSIÓNLa luz blanca ordinaria es una superposición de ondas con longitudes de onda que se extienden a través de todo el espectro visible. La rapidez de la luz en el vacío es la misma para todas las longitudes de onda, pero la rapidez en una sustancia material es diferente para distintas longitudes de onda. En consecuencia, el índice de refracción de un material depende de la longitud de onda. La dependencia de la rapidez de onda y del índice de refracción de la longitud de onda se llama dispersión.
POLARIZACIÓNLa polarización es una característica de todas las ondas transversales. En el caso de una cuerda que esté en equilibrio a lo largo del eje x, los desplazamientos pueden ocurrir a lo largo de la dirección y, como en la figura a. En este caso, la cuerda siempre queda en el plano xy. Pero los desplazamientos pueden ser a lo largo del eje z como en la figura b; en tal caso, la cuerda siempre se encuentra en el plano xz. Cuando una onda solo tiene desplazamientos en y, se dice que está linealmente polarizada en la dirección y; una onda con desplazamientos solo en z está linealmente polarizada en esa dirección. Para las ondas mecánicas es posible construir un filtro polarizador, o polarizador simplemente, que permita que solo pasen ondas con cierta dirección de polarización. En la figura c la cuerda puede deslizarse verticalmente en la ranura sin fricción, pero no es posible ningún movimiento horizontal. Este filtro deja pasar ondas polarizadas en la dirección y, pero bloquea las ondas polarizadas en la dirección z.
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DISPERSIÓN DE LA LUZCuando usted mira el cielo durante e l día, la luz que observa es la del Sol que ha sido absorbida y vuelta a irradiar en diferentes direcciones. Este proceso se llama dispersión. (Si la Tierra no tu viera atmósfera, el cielo se vería tan negro durante el día como durante la noche, tal como lo ve un astronauta en el espacio o en la Luna).
Considere que las moléculas de la atmósfera terrestre se localizan en el punto 0. El campo eléctrico en el haz de luz solar hace vibrar las cargas eléctricas de estas moléculas. Como la luz es una onda transversal. la dirección del campo eléctrico en cualquier componente de la luz solar se encuentra en el plano yz, y el movimiento de las cargas tiene lugar en ese plano. No hay campo y por lo tanto no hay movimiento de cargas, en la dirección del eje x.
Una onda de luz incidente provoca que las cargas eléctricas de las moléculas en el punto 0 vibren a lo largo de la línea de E. Esta vibración se descompone en dos componentes, una a lo largo del eje y y la otra a lo largo del eje z. Cada componente de la luz incidente produce el equivalente de dos "antenas·· moleculares que oscilan con la misma frecuencia que la luz incidente y están a lo largo de los ejes y y z.
PRINCIPIO DE HUYGENSEste principio, establecido por primera vez por el científico holandés Christiaan Huygens en 1678, es un método geométrico para obtener, a partir de la forma conocida de un frente de onda en un instante determinado, la forma que tiene ese frente de onda cierto tiempo después. Huygens supuso que todo punto de un frente de onda puede considerarse la fuente de ondas secundarias que se dispersan en todas direcciones con rapidez igual a la rapidez de la propagación de la onda. El nuevo frente de onda en un momento posterior se obtiene entonces construyendo una superficie tangente a las ondas secundarias, conocida como envolvente de esas ondas. Todos los resultados que se obtienen con el principio de Huygens también se pueden obtener a partir de las ecuaciones de Maxwell, de manera que no se trata de un principio independiente, pero a menudo resulta muy útil para efectuar cálculos con fenómenos ondulatorios.
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PROBLEMAS DE APLICACIÓNReflexión y refracción
En la figura, el material a es agua y el material b es un vidrio con indice de refracción de 1.52. Si el rayo incidente forma un ángulo de 60.0° con la normal, determine las direcciones de los rayos reflejado y refractado.
Datos
na=1.33
nb=1.52
θa=60 °
Incógnitas
Direcciones de los rayos reflejado y refractado.
Planteamiento
na senθa=nb senθb
senθb=na
nb
senθa
senθb=1.331.52
sen60.0 °
senθb=0.758
θb=arcsen (0.758 )=49.3 °
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Índice de refracción en el ojo
La longitud de onda de la luz roja de un láser de helio-neón es de 633 nm en el aire, pero de 474 nm en el humor acuoso del globo ocular. Calcule el índice de refracción del humor acuoso, además de la rapidez y la frecuencia de la luz en esta sustancia
Datos
λ0=633nm
λ=474 nm
c=3.00×108ms
Incógnitas
n=?
v=?
f=?
f 0=?
Planteamiento
λ=λ0n→n=
λ0λ
=633nm474nm
=1.34
v=cn=3.00×108
ms
1.34=2.25×108m /s
f= vλ=2.25×
108ms
474×10−9m=4.74×1014Hz
f 0=cλ0
=3.00×108
ms
633×10−9m=4.74×1014Hz
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Un periscopio con fugas
El periscopio de un submarino usa dos prismas totalmente reflectantes de 45°-45°-90° con reflexión interna total en los lados adyacentes a los ángulos de 45°. Explique por qué el periscopio deja de funcionar si se presenta una fuga y el prisma inferior queda cubierto por el agua.
Datos
nb=1.33
na=1.52
Incógnitas
θcri=?
Planteamiento
θcri=arcsen1.331.52
θcri=61.0 °
Combinación de dos polarizadores
En la figura la luz incidente no polarizado tiene una intensidad I0. Determine las intensidades transmitidas por el primero y segundo polarizadores si el ángulo entre los ejes de los dos filtros es de 30°.
Datos
ϕ=30°
Incógnitas
Intensidad de la polarización en cada celda.
Planteamiento
Primer filtro :I 02
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Segundo filtro :Icosθ
I 02cos30 °=
I 02∙34=38I 0
Reflexión en la superficie de una alberca
La luz del Sol se refleja en la superficie lisa de una albera. a) ¿Con qué ángulo de reflexión se polariza completamente la luz reflejada? b) ¿Cuál es el ángulo correspondiente de refracción? c) De noche se enciende un reflector subacuático en la alberca. Repita los incisos a) y b) para los rayos del reflector que llegan a la superficie desde abajo.
Datos
na=1.00
nb=1.33
Incógnitas
Ángulo de reflexión se polariza completamente la luz reflejada
Ángulo correspondiente de refracción
Planteamiento
θp=tan−1 nbna
θp=tan−1 1.331.00
=53.1°
θb=90 °−θp
θb=90−53.1°=36.9°
θp=tan−1 1.001.33
=36.9 °
θb=90 °−θp
θb=90−36.9°=53.1°
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CONCLUSIONESLa luz es una onda electromagnética. Cuando es emitida o absorbida también manifiesta propiedades de partícula. Es emitida por cargas eléctricas aceleradas.
En una interfase lisa entre dos materiales ópticos los rayos incidente, reflejado y refractado, así, como la normal a la interfase, se encuentran en un solo plano llamado plano de incidencia. La ley de reflexión establece que los ángulos de incidencia y reflejado son iguales. La ley de refracción relaciona los ángulos de incidencia y reflexión con los índices de refracción de los materiales.
Cuando un rayo viaja en un material el índice de refracción mayor hacia un material con menor índice, la reflexión interna total ocurre en la interfase cuando el ángulo de incidencia excede el ángulo crítico.
COMENTARIOSDejando de lado las ideas más antiguas sobre la naturaleza de la luz, los máximos protagonistas de esta historia son Isaac Newton y Cristian Huygens. Ambos científicos fueron contemporáneos y llegaros a conocerse en 1689. un año más tarde aparece la obra de Huygens, mientras que Newton publica su obra en 1704. En sus obras aparecen las dos teorías clásicas ondulatoria y corpuscular sobre la naturaleza de la luz.
La energía luminosa no está concentrada en cada partícula, como en la teoría corpuscular sino que está repartida por todo el frente de onda. El frente de onda es perpendicular a las direcciones de propagación. La teoría ondulatoria explica perfectamente los fenómenos luminosos mediante una construcción geométrica llamada principio de Huygens además según esta teoría, la luz se propaga con mayor velocidad en los medios menos densos. a pesar de esto, la teoría de Huygens fue olvidada durante un siglo debido a la gran autoridad de Newton.
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EJERCICIOS DE APLICACIÓN
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5.ÓPTICA GEOMÉTRICA
El reflejo en el espejo del baño, la imagen de la Luna a través de un telescopio, las figuras geométricas que se observan en un caleidoscopio: todos son ejemplos de imágenes. En cada caso, el objeto que se mira parece estar en un lugar diferente de su posición real: nuestro reflejo está del otro lado del espejo, la Luna parece estar más cercana cuando la vemos a través de un telescopio, y los objetos que se observan en un caleidoscopio parecen encontrarse en muchos lugares al mismo tiempo. En todos los casos, los rayos de luz provenientes de un punto de un objeto se desvían por reflexión o refracción (o una combinación de ambas), de tal forma que convergen hacia un punto denominado punto de imagen, o parecen divergir co respecto a este. Comenzaremos nuestro análisis con uno de los dispositivos ópticos de formación de imágenes más sencillos: un espejo plano.
REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN EN UNA SUPERFICIE PLANA
Antes de analizar el significado del término imagen, necesitamos definir el concepto de objeto como se utiliza en óptica. Por objeto entendemos todo aquello desde donde radian rayos de luz. La luz podría ser emitida por el objeto si este es luminoso, como el filamento
incandescente de una bombilla eléctrica. Por otro lado, la luz podría ser emitida por una fuente distinta (como una lámpara o el Sol) y luego reflejarse en el objeto: un ejemplo de ello es la luz que llega a nuestros ojos desde las páginas de este libro. La figura muestra rayos luminosos que radian en todas direcciones desde un objeto situado en un punto P. Para que un observador vea este objeto directamente, no debe haber obstrucción alguna entre el objeto y los ojos del observador.
Suponga que algunos de los rayos provenientes del objeto inciden en una superficie reflectante plana y lisa (figura). Esta podría ser la superficie de un material con un índice de refracción diferente, la cual refleja patte de la luz incidente, o una superficie metálica pulida que refleja casi el 100% de la luz que incide sobre e ll a. En todos los
casos, dibujaremos la superficie reflectante como una línea negra con un área
ARQUIMEDES(287 -212),
Según cuenta la tradición, defendió su ciudad natal, Siracusa, empleando espejos "ustorios", que son espejos cóncavos de gran tamaño, para concentrar los rayos del Sol en los barcos enemigos y quemar las naves de los romanos. Hace unos 4 años científicos británicos realizaron un experimento para comprobar si era posible y descubrieron que para que un barco se incendiara se necesitaba un espejo de 420 metros cuadrados, espejo que era totalmente imposible construir en su época.
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sombreada tras ella, como en la figura. Los espejos de baño tienen una lámina de vidrio delgada, que se encuentra frente a la superficie reflectante y la protege: despreciaremos los efectos de esta lámina delgada.
De acuerdo con la ley de reflexión, todos los rayos que inciden en la superficie se reflejan a un ángulo con respecto a la normal igual al ángulo de incidencia. Puesto que la superficie es plana, la normal tiene la misma dirección en todos los puntos de la superficie, y se tiene una reflexión especula: Una vez que los rayos se han reflejado, su dirección es la misma que si hubieran provenido del punto P'. Al punto P se le llama punto de objeto en tanto que el punto P' es el pu111o de imagen correspondiente: se dice que la superficie reflectante forma una imagen del punto P. Un observador que ve únicamente los rayos reflejados en la superficie, y que no sabe que está viendo un reflejo, piensa que el origen de los rayos se encuentra en el punto de imagen P'. El punto de imagen es, por consiguiente, un medio conveniente para describir la dirección de los diversos rayos reflejados, del mismo modo que el punto de objeto P describe la dirección de los rayos que llegan a la superficie antes de la reflexión.
Formación de imágenes mediante un espejo planoConcentrémonos por ahora en las imágenes que se producen por reflexión; más adelante en este mismo capítulo regresaremos a la refracción. Para determinar la ubicación precisa de la imagen virtual P' que un espejo plano forma de un objeto situado en P, utilizaremos la construcción que se presenta en la figura. La figura
muestra dos rayos que divergen a partir de un punto de objeto P situado a una distancia s a la izquierda de un espejo plano. Llamamos a s la distancia de objeto. El rayo PV incide normalmente en el espejo (es decir, es perpendicular a la superficie del espejo), y regresa siguiendo su trayectoria original. El rayo PB forma un ángulo θ con PV; incide en el espejo a un ángulo de incidencia θ y se refleja formando un ángulo igual con la normal. Si prolongamos hacia atrás los dos rayos reflejados, estos se intersecan en el punto P' a una distancia s' detrás del espejo. Llamamos a s' la distancia de imagen. La línea entre P y P' es perpendicular al espejo. Los dos triángulos PVB y P' VB son congruentes: por lo tanto. P y P' están a la misma distancia del espejo, y s y s' tienen igual magnitud. El punto de imagen P' está situado exactamente en posición opuesta al punto del objeto P, tan distante de la cara posterior del espejo como el punto del objeto se encuentra de su cara anterior. Podemos repetir la construcción de la figura 34.4 con respecto a cada rayo que diverge desde P La dirección de todos los rayos reflejados salientes es la misma que habría si cada uno hubiera tenido su origen en el punto P' lo cual confirma que P' es la imagen de P No importa dónde se encuentre el observador, siempre verá la imagen en el punto P'.
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Reglas de signosAntes de seguir adelante, conviene presentar algunas reglas generales de signos. Estas quizá parezcan innecesariamente complicadas en relación con el caso sencillo de una imagen formada por un espejo plano; no obstante, nos proponemos expresar las reglas de una forma que sea aplicable a todas las situaciones que encontraremos más adelante. Estas incluyen la formación de imágenes por una superficie reflectante o refractiva, plana o esférica, o por un par de superficies refractivas que forman una lente. Las reglas son las siguientes:
Regla de signos para la distancia de objeto: Cuando el objeto está del mismo lado de la superficie reflectante o refractiva que la luz entrante, la distancia de objeto s es positiva: en caso contrario, es negativa.
Regla de signos para la distancia de imagen: Cuando la imagen está del mismo lado de la superficie reflectante o refractiva que la luz saliente, la distancia de imagen s' es positiva; en caso contrario, es negativa.
Regla de signos para el radio de curvatura de una superficie esférica: Cuando el centro de curvatura C está del mismo lado que la luz saliente, el radio de curvatura es positivo; en caso contrario, es negativo.
Imagen de un objeto extenso: Espejo planoLa imagen que forma un objeto extenso como este es una imagen extensa; a cada punto del objeto corresponde un punto de la imagen. Se muestran dos de los rayos provenientes de Q; todos los rayos que proceden de Q parecen divergir desde su punto de imagen Q' después de la re flexión. La imagen de la flecha es la línea P' Q', cuya altura es y'. Otros puntos del objeto PQ tienen puntos de imagen situados entre P' y Q'. Los triángulos PQV y P' Q' V son congruentes; por ello el objeto PQ y la imagen P' Q' tienen igual tamaño y orientación, y y = y'.
La proporción de la altura de la imagen con respecto a la altura del objeto, y' /y. en cualquier situación de formación de imágenes es el aumento lateral m: es decir,
REFLEXIÓN EN UNA SUPERFICIE ESFÉRICAUn espejo plano forma una imagen del mismo tamaño que el objeto. No obstante, los espejos tienen numerosas aplicaciones donde se requiere que la imagen y el objeto sean de diferente tamaño. Un espejo de aumento para aplicar maquillaje proporciona una imagen más grande que el objeto y los espejos de vigilancia (que se utilizan en los comercio para identificar a los ladrones) forman una imagen más pequeña que el objeto. También hay
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aplicaciones de espejos en las cuales es deseable una imagen real, de modo que lo rayos luminosos pa en en efecto por el punto de imagen P'. Por sí solo, un espejo plano no puede realizar ninguna de estas tareas. Por ello se utilizan espejos curvos.
Imagen de un objeto puntual: Espejo esféricoConsideremos el caso especial (y fácil de analizar) de formación de imágenes con un espejo esférico. La figura muestra un espejo esférico con radio de curvatura R, con su lado cóncavo hacia la luz incidente. El centro de curvatura de la superficie (el centro de la
esfera de la cual forma parte la superficie) está en c, y el vértice del espejo (el centro de la superficie del espejo) se encuentra en V. La recta cv recibe el nombre de eje óptico. El punto P es un punto de objeto que se encuentra sobre el eje óptico; por el momento, supondremos que la distancia de P a V es mayor que R.
Se puede calcular la distancia de imagen s'. Sea h la altura del punto B con respecto al eje óptico. y δ la distancia corta de V al pie de esta línea vertical.
Se escribe entonces expresiones de las tangentes de α, β y ϕ. recordando que s, s' y R son cantidades positivas:
tanα=¿ hs−δ
tan β= hs '−δ
tanϕ= hR−δ
¿
En el caso de ángulos pequeños tenemos las siguientes relaciones aproximadas:
α=hsβ= h
s 'ϕ= h
R
Cuando el punto del objeto P está muy lejos del espejo esférico (s=∞ ), los rayos entrantes son paralelos. La distancia de imagen s' viene dada en este caso por:
1∞
+ 1s '
= 2Rs'= R
2
La distancia del vértice al punto focal, que se indica con f, recibe el nombre de distancia focal. Vemos que f se relaciona con el radio de curvatura R como
sigue:f=R2
Por lo regular, expresaremos la relación entre las distancias de objeto y de imagen de un espejo en términos de la distancia focal f:
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1s+ 1s '
=1f
Métodos gráficos para espejosTambién se puede establecer las propiedades de la imagen mediante un sencillo método gráfico. Este método consiste en encontrar el punto de intersección de unos cuantos rayos específicos que divergen a partir de un punto del objeto y se reflejan en el espejo. Entonces (despreciando las aberraciones), todos los rayos provenientes de este punto de objeto que inciden en el espejo se intersecarán en el mismo punto. Para esta construcción siempre se elige un punto de objeto que no esté sobre el eje óptico. Estos se conocen como rayos principales.
1. Un rayo paralelo al eje, después de reflejarse, pasa por el punto focal F de un espejo cóncavo o parece provenir del punto focal (virtual) de un espejo convexo.
2. Un rayo que pasa por el punto focal F (o que avanza hacia este) se refleja paralelamente al eje.
3. Un rayo a lo largo del radio que pasa por el centro de curvatura C. o se aleja de él. Interseca la superficie en dirección normal y se refleja de regreso por su trayectoria original.
4. Un rayo que incide en el vértice V se refleja, formando ángulos iguales con el eje óptico.
REFRACCIÓN EN UNA SUPERFICIE ESFÉRICASe forman imágenes por refracción lo mismo que por reflexión. Para comenzar, consideremos la refracción en una superficie esférica, es decir, en una interfase esférica entre dos materiales ópticos con diferente índice de refracción.
Este análisis es aplicable directamente a ciertos sistemas ópticos reales, como el ojo humano. Asimismo, constituye un peldaño hacia el análisis de las lentes, que normalmente tienen dos superficies esféricas (o casi esféricas).
La aplicación de esto a los triángulos PBC y P' BC da lo siguiente:
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Para obtener el aumento lateral m correspondiente a esta situación, utilizaremos la construcción de la figura. Dibujamos dos rayos a partir del punto Q, uno que pasa por el centro de curvatura C y otro que incide en el vértice V. De los triángulo PQV y P'Q'V
LENTES DELGADASEl dispositivo óptico más conocido y de uso más extendido (después del espejo plano) es la lente. Una lente es un sistema óptico con dos superficies refractivas. La lente más simple tiene dos superficies esféricas
suficientemente próximas entre sí como para que podamos despreciar la distancia entre ellas (el espesor de la lente); a este dispositivo se le llama lente delgada. Si usted utiliza anteojos o lentes de contacto para leer, entonces está viendo estas palabras a través de un par de lentes delgadas. Con respecto a la refracción en una sola superficie esférica. Sin embargo, pospondremos este análisis para más adelante en esta sección, con la finalidad de analizar primero las propiedades de las lentes delgadas.
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Lentes divergentesHasta ahora hemos analizado lentes convergentes. La figura muestra una lente divergente; el haz de rayos paralelos que incide en esta lente diverge después de refractarse. La distancia focal de una lente divergente es una cantidad negativa, y las lentes de este tipo se conocen también como lentes negativas. Los puntos focales de una lente negativa están invertidos en relación con los de una lente positiva. El segundo punto focal, F2, de una lente negativa es el punto a partir del cual los rayos que originalmente son paralelos al eje parecen divergir después de refractarse, como en la figura. Los rayos incidentes que convergen hacia el primer punto focal F1 como en la figura b, emergen de la lente paralelos a su eje.
Ecuación del fabricante de lentesEstablece la relación entre la distancia focal f, el índice de refracción n de la lente y los radios de curvatura R1 y R2 de las superficies de la lente. Aplicaremos el principio de que una imagen formada por una superficie reflectante o refractiva puede servir como el objeto de una segunda superficie reflectante o refractiva.
Se puede encontrar la posición y el tamaño de una imagen formada por una lente delgada usando un método gráfico muy parecido al que se aplicó en la sección a los espejos esféricos. También en este caso se dibujan unos cuantos rayos especiales, llamados rayos principales, que divergen a partir de un punto del objeto que 110 está sobre el eje óptico. La intersección de estos rayos, después de que han atravesado la lente, determina la posición y el tamaño de la imagen. Al utilizar este método gráfico, consideraremos que la desviación de cada rayo ocurre en su totalidad en el plano medio de la lente, como se muestra en la figura 34.36. Esto concuerda con la suposición de que la distancia entre las superficies de la lente es insignificante.
Los tres rayos principales cuyas trayectorias normalmente son fáciles de trazar en el caso de las lentes se muestran en la figura:
1. Un rayo paralelo al eje emerge de la lente en una dirección que pasa por el segundo punto focal F2 de una lente convergente, o que parece provenir del segundo punto focal de una lente divergente.
2. Un rayo que pasa por el centro de la lente no se desvía en grado apreciable; en el centro de la lente las dos superficies son paralelas; por
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lo tanto, este rayo emerge prácticamente con el mismo ángulo que tenía al entrar y a lo largo de la misma recta.
3. Un rayo que pasa por el primer punto focal F1 (o avanza hacia este) emerge paralelo al eje.
CÁMARAS FOTOGRÁFICASEl concepto de imagen, que es tan fundamental para comprender los sistemas simples de espejos y lentes, desempeña un papel igualmente importante en el análisis de los instrumentos ópticos (también conocidos como dispositivos ópticos). Entre los dispositivos ópticos más comunes se cuentan las cámaras fotográficas, las cuales forman una imagen de un objeto y la registran ya sea por medios electrónicos o sobre una película.
Los elementos básicos de una cámara fotográfica son una caja hermética a la luz (cámara significa habitación o recinto), una lente convergente, un obturador para abrir la lente durante un intervalo de tiempo definido y un medio de registro sensible a la luz. En una cámara digital, se usa un detector electrónico llamado dispositivo de carga acoplada CCD (por las siglas de charge coupled device); en una cámara más antigua se utiliza película fotográfica. La lente forma una imagen real invertida del objeto que se fotografía sobre el medio de registro. Las lentes de cámara fotográfica de alta calidad tienen varios elementos, lo cual permite corregir parcialmente diversas aberraciones, entre ellas la dependencia del índice de refracción con respecto a la longitud de onda y las limitaciones que impone la aproximación paraxial.
Por lo común, los fotógrafos expresan la capacidad colectora de luz de una lente en términos de la proporción f/D, conocida como el número f de la lente:
Número f= Distancia focalDiametro de abertura
= fD
EL OJOEl comportamiento óptico del ojo es similar al de una cámara. En la figura 34.44a se muestran las partes fundamentales del ojo humano considerado como sistema óptico. El ojo es de forma casi esférica y mide
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aproximadamente 2.5 cm de diámetro. La parte frontal tiene una curvatura un poco más marcada y está cubierta por una membrana dura y transparente llamada córnea. La región que está detrás de la córnea contiene un líquido llamado humor acuoso. En seguida viene el cristalino, una cápsula que contiene una gelatina fibrosa, dura en el centro y cada vez más suave hacia la periferia. La lente del cristalino se mantiene en su Jugar gracias a ligamentos que lo sujetan al músculo ciliar, el cual lo circunda. Detrás del cristalino, el ojo está lleno de una gelatina acuosa un poco viscosa conocida como humor vítreo. Los índices de refracción tanto del humor acuoso como del humor vítreo son de alrededor de 1.336, casi iguales al del agua. Aunque el cristalino no es homogéneo, tiene un índice promedio de 1.437, no muy diferente de los índices de los humores acuoso y vítreo. En consecuencia, la mayor parte de la refracción de la luz que penetra en el ojo ocurre en la superficie externa de la córnea.
PROBLEMAS DE APLICACIÓNImagen de un objeto extenso: Espejo esférico
Suponga ahora que se tiene un objeto de tamaño finito representado por la flecha PQ en la figura, perpendicular al eje óptico CV. La imagen de P formada por rayos paraxiales está en P'. La distancia de objeto al punto Q es casi idéntica a la correspondiente
al punto es casi idéntica a la correspondiente al punto P. por lo que la imagen
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P' Q' es casi recta y perpendicular al eje. Observe que las flechas objeto e imagen son de distinto tamaño (y y y', respectivamente) y de orientación opuesta. Se define como el aumento lateral m como la razón del tamaño de imagen y' con respecto al tamaño de objeto y:
Como los triángulos PVQ y P'VQ' de la figura son semejantes, también tenemos la relación y /s = -y'/ s' . El signo negativo es necesario porque el objeto y la imagen están en lados opuestos del eje óptico; si y es positiva . y' es negativa. Por lo tanto,
m= y 'y
=−s 's
Formación de imagen por un espejo cóncavo 1
Un espejo cóncavo forma una imagen del filamento de una lámpara de reflector que está a 10.0 cm delante del espejo, sobre una pared situada a 3.00 m del espejo. a) ¿Cuáles son el radio de curvatura y la distancia focal del
espejo? b) ¿Cuál es el aumento lateral? ¿Cuál es la altura de la imagen, si la altura del objeto es de 5.00 mm?
Datos
s=10.0cm
s'=300cm
Incógnitas
r=?
m=?
Planteamiento
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Problemas de imagen de Santa Claus
Para saber si se ha ensuciado de hollín, Santa Claus examina su reflejo en una esfera plateada brillante de un árbol de Navidad que está a 0.750 m de distancia (figura 34.18a). El diámetro de la esfera es de 7.20 cm. Las obras de referencia más conocidas indican que Santa Claus es un "viejo elfo muy jovial", por lo que estimamos su estatura en 1.6 m. ¿En dónde aparece, y cuál es la altura de la imagen de Santa Claus que forma la esfera? ¿La imagen es derecha o invertida?
Datos
s=75cm
Incógnitas
m=?
s'=?
y '=?
Planteamiento
Espejo cóncavo con diferentes distancias de objeto
Un espejo cóncavo tiene un radio de curvatura con un valor absoluto de 20 cm. Encuentre por medios gráficos la imagen de un objeto en forma de una flecha perpendicular al eje del espejo a cada una de las siguientes distancias de objeto: a) 30 cm, b) 20 cm, e) 10 cm y d) 5 cm. Compruebe la construcción calculando el tamaño y el aumento lateral de cada imagen.
Planteamiento
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123
Formación de imágenes por refracción I
Una varilla de vidrio cilíndrica, rodeada de aire tiene un índice de refracción de 1.52. Se pulió un extremo para formar una superficie hemisférica con radio R = 2.00 cm. Un objeto
pequeño se coloca sobre el eje de la varilla, 8.00 cm a la izquierda del vértice. a) Calcule la distancia de imagen y b) el aumento lateral.
Datos
na=1.00
nb=1.52
s=8.00cm
R=2.00cm
Incógnitas
s'=?
m=?
Planteamiento
Aumentos laterales
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Formación de imágenes por refracción II
La varilla de vidrio del ejemplo 34.5 se sumerge en agua, la cual tiene un índice de refracción n = 1.33. a) La distancia de objeto es de nuevo 8.00 cm. Encuentre la distancia de imagen y el aumento lateral.
Datos
na=1.33
nb=1.52
s=8.00cm
Incógnitas
s'=?
m=?
Planteamiento
Profundidad aparente de una piscina
125
125
Si mira hacia abajo en una piscina que tiene 2.00 m de profundidad, ¿cuál es la profundidad aparente?
Datos
na=1.33
nb=1.00
s=2.00m
Incógnitas
s'=?
Planteamiento
Determinación de la distancia focal de una lente
Suponga que el valor absoluto de los radios de curvatura de las superficies de lente de la figura 34.35 es igual en ambos casos a 10 cm, y que el índice de refracción es 11 = 1.52. ¿Cuál es la distancia focal f de la lente? b) Suponga que la lente de la figura 34.31 también tiene n = 1.52 y que los valores absolutos de los radios de curvatura de sus superficies de lente también son iguales a 10 cm. ¿Cuál es la distancia focal de esta lente?
Datos
R1=10cm
R2=−10 cm
n=1.52
Incógnitas
f=?
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Planteamiento
Ubicación de la imagen y aumento con una lente convergente
Utilice diagramas de rayos para encontrar la posición de la imagen y el aumento para un objeto situado en cada una de las siguientes distancias de una lente convergente con una distancia focal de 20 cm: a) 50 cm; b) 20 cm; e) 15 cm; d) - 40 cm. Compruebe sus resultados calculando la posición y el aumento lateral de la imagen usando las ecuaciones anteriores:
Datos
Incógnitas
Planteamiento
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127
Formación de imágenes por una lente divergente
Un haz de rayos paralelos se ensancha después de pasar a través de una lente divergente delgada, como si todos los rayos provinieran de un punto situado a 20.0 cm del centro de la lente. Usted se propone utilizar esta lente para formar una imagen virtual derecha que tenga 1/3 de la altura del objeto. a) ¿Dónde se debería colocar el objeto? ¿Dónde se formará la imagen? b) Dibuje un diagrama de rayos principales.
Datos
f=−20cm
Incógnitas
s=?
s'=?
Planteamiento
Imagen de una imagen
Las lentes convergentes A y B, de longitudes focales de 8.0 y 6.0 cm, respectivamente, se colocan con 36.0 cm de separación. Ambas lentes tienen el mismo eje óptico. Un objeto de 8.0 cm de altura se coloca a 12.0 cm a la izquierda de la lente A. Determine la posición, el tamaño y la orientación de la imagen creada por las dos lentes combinadas.
Datos
s=6cm
s=8cm
Incógnitas
Planteamiento
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Corrección de hipermetropía
El punto cercano de cieno ojo hipermétrope está a 100 cm delante del ojo. Dete rmi ne la distancia focal y la potencia de una lente de contacto que permitirá al usuario ver con claridad un objeto sinmdo a 25 cm delante del ojo.
Planteamiento
Corrección de miopía
El punto lejano de cierto ojo con miopía está a SO cm delante del ojo. Encuentre la distancia focal y la potencia de la lente de anteojos que permitan al usuario ver claramente un objeto en el infinito. Supongamos que la lente se utiliza a 2 cm delante del ojo.
Planteamiento
Exposiciones fotográficas
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129
Una lente telefoto común para cámara de 3S mm tiene una distancia focal de 200 mm y una escala de pasos f de f/2.8 a f/22. a) ¿Cuál es la escala correspondiente de diámetros de abertura? b) ¿Cuál es el rango correspondiente de intensidad de imagen en la película?
Datos
f=2.8
f=22
Incógnitas
D=?
Planteamiento
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CONCLUSIONESCuando divergen rayos a partir de un punto ele objeto P y son reflejados o refractados, la dirección de los rayos salientes es la misma que si hubieran divergido desde un punto P' conocido como punto de imagen. Si convergen en realidad en P' y divergen nuevamente más allá de ese punto, P' es una imagen real de P; Si solo parecen divergir a partir de P', se trata de una imagen virtual. Las imágenes pueden ser derechas o invertidas.
El punto focal de un espejo es el punto donde los rayos paralelos convergen después de reflejarse en un espejo cóncavo, o bien, el punto desde el que parecen divergir después de reflejarse en un espejo convexo. Los rayos que divergen a partir del punto focal de un espejo cóncavo son paralelos después de reflejarse: los rayos que convergen hacia el punto focal de un espejo convexo también son paralelos después de reflejarse. La distancia del punto focal al vértice se llama distancia focal y se expresa con f Los puntos focales de una lente se definen de modo análogo.
COMENTARIOSLa óptica geométrica usa la noción de rayo luminoso; es una aproximación del comportamiento que corresponde a las ondas electromagnéticas (la luz) cuando los objetos involucrados son de tamaño mucho mayor que la longitud de onda usada; ello permite despreciar los efectos derivados de la difracción, comportamiento ligado a la naturaleza ondulatoria de la luz.
El fenómeno más sencillo de esta teoría es la de la reflexión, si pensamos unos minutos en los rayos luminosos que chocan mecánicamente contra una superficie que puede reflejarse. La proporción entre los rayos que chocan y los que salen expedidos está regulada por los ángulos de éstos en relación con una línea perpendicular a la superficie en la que se reflejan. Entonces la ley de reflexión nos dice que el ángulo incidente es igual al ángulo reflejado con la perpendicular al espejo.
Las lentes con superficies de radios de curvatura pequeños tienen distancias focales cortas. Una lente con dos superficies convexas siempre refractará los rayos paralelos al eje óptico de forma que converjan en un foco situado en el lado de la lente opuesta al objeto. Una superficie de lente cóncava desvía los rayos incidentes paralelos al eje de forma divergente; a no ser que la segunda superficie sea convexa y tenga una curvatura mayor que la primera, los rayos divergen al salir de la lente, y parecen provenir de un punto situado en el mismo lado de la lente que el objeto. Estas lentes sólo forman imágenes virtuales, reducidas y no invertidas.
131
131
6.RELATIVIDAD
La teoría especial de la relatividad ha traído consigo cambios de gran alcance en nuestra comprensión de la naturaleza; no obstante, Einstein la fundamentó tan sólo en dos sencillos postulados.
Las experiencias y observaciones cotidianas tienen que ver con cuerpos que se mueven con magnitudes de velocidades mucho menores que la rapidez de la luz. La mecánica de Newton fue formulada al observar y describir el movimiento de esos cuerpos, y este formulismo es lo suficientemente satisfactorio para describir una amplia variedad de fenómenos que se presentan. Con todo, no describe en forma apropiada el movimiento de cuerpos cuyas magnitudes de velocidades se aproximan a la de la luz.
PRIMER POSTULADO DE EINSTEINConocido como el principio de relatividad, afirma que las leyes de la física son las mismas en todos los marcos de referencia inerciales.
Ejemplo ilustrativo:
Se induce la misma fem en la bobina, ya sea que el imán se mueva con respecto a la bobina o la bobina se mueva con respecto al imán.
EL SEGUNDO POSTULADO DE EINSTEINAfirma que la rapidez de la luz en un vacío es la misma en todos los marcos de referencia inerciales y es independiente del movimiento de la fuente.
Ejemplo ilustrativo
ALBERT EINSTEIN (1879–1955)Einstein, En 1905, a los 26 años de edad, publicó cuatro ensayos científicos que revolucionaron la física. Dos de estos nsayos se referían a lo que ahora se considera su aportación más importante: la teoría especial de la relatividad. En 1916, publicó la teoría general de la relatividad. En 1919 diversos astrónomos confirmaron la predicción de Einstein. Dedicó las últimas décadas de su vida a una infructuosa búsqueda de una teoría unificada que pudiera combinar la gravitación y el electromagnetismo
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TRANSFORMACIONES DE LORENTZ:La transformación de coordenadas de Lorentz relaciona las coordenadas y el
tiempo de un suceso en un marco inercial con las coordenadas y el tiempo
del mismo suceso observado en un segundo marco inercial que se desplaza con velocidad con respecto al primero. Con respecto a un movimiento
unidimensional, las velocidades en y en de una partícula están relacionadas de acuerdo con la transformación de velocidades de Lorentz.
EL EFECTO DOPPLER DE LAS ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS:Es el desplazamiento de la frecuencia de la luz proveniente de una fuente, debida al movimiento relativo de la fuente y el observador. La ecuación (37.25)
proporciona la frecuencia recibida en términos de la frecuencia emitida .
Material proveniente de un agujero negroAlgunas galaxias tienen en su centro agujeros negros de enorme masa. El material que gira en remolino en torno a un agujero negro se calienta, se ioniza y genera intensos campos magnéticos. Las fuerzas magnéticas resultantes encaminan parte del material hacia chorros de alta velocidad que se proyectan hacia fuera de la galaxia y al espacio intergaláctico, la luz azul que se observa
en el chorro tiene una frecuencia de , pero en el marco de
referencia del material proyectado la luz tiene una frecuencia de (en la región infrarroja del espectro electromagnético). ¿Con qué rapidez se desplaza el material del chorro hacia nosotros?
CANTIDAD DE MOVIMIENTO RELATIVISTA Y ENERGÍA:Con respecto a una partícula de masa en reposo que se mueve con
velocidad la cantidad de movimiento relativista , y la energía cinética
relativista . La energía total es la suma de la
energía cinética y la energía en reposo . La energía total también se
puede expresar en términos de la magnitud de la cantidad de movimiento y
la masa en reposo ,
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133
LA MECÁNICA NEWTONIANA Y LAS TEORÍAS ESPECIAL Y GENERAL DE LA RELATIVIDAD:La teoría especial de la relatividad es una generalización de la mecánica newtoniana. Todos los principios de la mecánica newtoniana están presentes como casos límite cuando toda rapidez es pequeña en comparación con c. Una generalización adicional para incluir los marcos de referencia no inerciales y su relación con los campos gravitacionales desemboca en la teoría general de la relatividad.
a) El observador está en reposo en un elevador en un campo gravitacional uniforme
g=g j dirigido hacia abajo. El observador deja caer su portafolios, que se mueve hacia
abajo con aceleración g. b) El observador está en una región donde la gravedad es
despreciable pero el elevador se mueve hacia arriba con una aceleración el ac=+gj. El
observador suelta su portafolios, que se mueve hacia abajo (de acuerdo con el observador) con aceleración g relativa al piso del elevador. De acuerdo con Einstein, los marcos de referencia en a) y b) son equivalentes. Ningún experimento local puede distinguir alguna diferencia entre los dos marcos. c) En el marco en aceleración, un rayo de luz parecería doblarse hacia abajo debido a la aceleración. d) Si a) y b) son verdaderamente equivalentes, como Einstein propuso, c) sugiere que un rayo de luz se doblaría hacia abajo en un campo gravitacional.
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PROBLEMAS DE APLICACIÓNDilatación del tiempo en 0.990c
Las partículas subatómicas de alta energía que llegan del espacio interactúan con los átomos de las capas altas de la atmósfera terrestre, produciendo partículas inestables llamadas muones. Un muón se desintegra con una vida
media de medida en un marco de referencia en el que se halla en
reposo. Si un muón se desplaza a 0.990c (aproximadamente ) con respecto a la Tierra, ¿cuál será su vida media medida por usted (un observador que se encuentra en la Tierra)?
Datos:
Incógnita:
Planteamiento
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135
Dilatación del tiempo a la rapidez de un avión a reacción
Un avión vuela de San Francisco a Nueva York (aproximadamente 4800 km, o
) con una rapidez constante de (aproximadamente ). ¿Cuánto tiempo toma el viaje, medido por un observador en tierra? ¿Y por un observador a bordo del avión?
Datos
Incógnitas
a)
b)
Planteamiento
a)
b)
Teorema del binomio
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¿Cuál es entonces el tiempo propio?
Magda aborda una nave espacial, y luego pasa velozmente por donde está
Sergio en la Tierra con una rapidez relativa de . En el instante en que Magda pasa, ambos ponen en marcha sendos cronómetros. a) En el instante
en que Sergio mide que Magda ha recorrido más allá de donde él está, ¿qué tiempo indica el cronómetro de Magda? b) En el instante en que
Magda lee en su cronómetro, ¿qué tiempo lee Sergio en el suyo?
Datos
Velocidad de Magda
Recorrido de Magda
Tiempo de Sergio
Incógnitas:
a)
b)
Planteamiento
a)
b)
137
137
¿Cuál es la longitud de la nave espacial y la separación entre los observadores?
Una nave espacial pasa volando cerca de
la Tierra con una rapidez de . Un miembro de la tripulación a bordo de la nave mide la longitud de ésta, y obtiene
un valor de . a) ¿Qué longitud miden los observadores que se hallan en la Tierra?
b) ¿Cuál es la separación entre ellos, medida por la tripulación de la nave espacial? Si están a una distancia de 56.4 m.
Datos
Incógnita
Procedimiento
a)
b)
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De paseo en un muón
Un muón tiene, en promedio, una vida propia de y una vida dilatada
de en un marco en el que su rapidez es de . Al multiplicar la rapidez constante por el tiempo para calcular la distancia se obtiene
y
Interprete estas dos distancias.
Datos
Incógnita
Planteamiento
139
139
¿Se recibió antes de ser enviado?
Ganadora de una carrera interestelar, Magda cruza la meta en el espacio al
mando de su nave espacial con una rapidez de con respecto a esa línea. Un mensaje de “hurra” es enviado desde el extremo posterior de su nave (suceso 2) en el instante (en su marco de referencia) en que el extremo frontal de la nave cruza la meta (suceso 1). La longitud de la nave medida por Magda es de 300 m. Sergio está en la meta y se halla en reposo con respecto a ella. Según las mediciones de Sergio, ¿cuándo y dónde ocurren los sucesos 1 y 2?
Datos
Incógnita
Planteamiento
en el suceso 2.
140
Velocidades relativas
a) Una nave espacial que se aleja de la Tierra con una rapidez de dispara una sonda espacial robot en la dirección de su movimiento, con una
rapidez de con respecto a la nave. ¿Cuál es la velocidad de la sonda con respecto a la Tierra? b) Una nave exploradora intenta dar alcance a la nave
espacial viajando a con respecto a la Tierra. ¿Cuál es la velocidad de la nave exploradora con respecto a la nave espacial?
Datos
Incógnitas
Planteamiento
141
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Material proveniente de un agujero negro
Algunas galaxias tienen en su centro agujeros negros de enorme masa. El material que gira en remolino en torno a un agujero negro se calienta, se ioniza y genera intensos campos magnéticos. Las fuerzas magnéticas resultantes encaminan parte del material hacia chorros de alta velocidad que se proyectan hacia fuera de la galaxia y al espacio intergaláctico, la luz azul que se observa
en el chorro tiene una frecuencia de , pero en el marco de
referencia del material proyectado la luz tiene una frecuencia de (en la región infrarroja del espectro electromagnético). ¿Con qué rapidez se desplaza el material del chorro hacia nosotros?
Datos
Incógnita
Planteamiento
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Dinámica relativista de un electrón
Un electrón (masa en reposo carga ) se desplaza en sentido opuesto a un campo eléctrico de magnitud
Todas las demás fuerzas son insignificantes en comparación con la fuerza del campo eléctrico. a) Calcule la magnitud de la cantidad de
movimiento y de la aceleración en los instantes cuando b) Determine las aceleraciones correspondientes si una fuerza de la misma magnitud es perpendicular a la velocidad.Datos
Incógnitas
Planteamiento
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143
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CONCLUSIONESSi dos sucesos ocurren en el mismo punto espacial en un marco de referencia particular, el intervalo de tiempo inicial entre los sucesos, medido en ese marco, se denomina intervalo de tiempo propio. Si este marco se desplaza con velocidad constante con respecto a un segundo marco, el intervalo de tiempo entre los sucesos observados en el segundo marco es más largo que el intervalo de tiempo inicial.
Si dos puntos están reposo en un marco de referencia particular la distancia inicial entre los puntos medida en ese marco es una longitud propia.
Las transformaciones de coordenadas de Lorentz relacionan las coordenadas y el tiempo de un suceso en un marco inercial S con las coordenadas y el tiempo del mismo suceso observado en un segundo marco inercial, que se desplaza con velocidad con respecto al primero.
El efecto Doppler es el desplazamiento de la frecuencia de la luz proveniente de una fuente, debida al movimiento relativo de la fuente y el observador.
COMENTARIOSLos dos postulados básicos de la teoría de la relatividad especial son los siguientes:
Las leyes de la física deben ser las mismas en todos los marcos de referencia inerciales.
La rapidez de la luz en el vacío tiene el mismo valor, c =3.00 *108 m/s, en todos los marcos inerciales, sin importar la velocidad del observador o la velocidad de la fuente que emite la luz.
Tres consecuencias de la teoría de la relatividad especial son las siguientes:
Los eventos que se observan como simultáneos para un observador no necesariamente se observan como simultáneos para otro observador que está en movimiento en relación con el primero.
Los relojes en movimiento relativo a un observador se mide que funcionan más lentos en un factor. Este fenómeno se conoce como dilatación del tiempo.
La longitud de los objetos en movimiento se observa como contraída en la dirección de movimiento en un factor. Este fenómeno se conoce como contracción de la longitud.
Para satisfacer los postulados de la relatividad especial, las ecuaciones de transformación galileana se deben sustituir por las ecuaciones de transformación de Lorentz:
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ANEXOS
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Comentario
El uso de los telescopios y el juego de los lentes, hace que podamos observar lo que nuestros ojos no pueden ver y así conocer de nuestra galaxia y de otras más.
147
147
Comentario
El uso de las películas hace ver un concepto más claro del universo, del como los astronautas viven la adrenalina en el espacio-tiempo que es el universo.
148
Comentario
Las investigaciones científicas y sobre todo de la NASA hace que se conozcan secretos inexplicables del universo tal es el caso del polvo de estrellas.
149
149
Comentario
Las investigaciones científicas que se realizan de estas explosiones ayudan a los investigadores a reconstruir cómo se producen estos potentes y deversos eventos
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CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES
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RUBRICA PARA EVALUAR PORTAFOLIO 1ª
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RUBRICA PARA EVALUAR PORTAFOLIO 2ª
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PROYECTO: LADRÓN DE JOULE
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155
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159
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PROYECTO: CASCADA DE LUZ
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163
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167
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PROYECTO: AEROGENERADOR
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169
170
171
171
172
173
173
174
175
175
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PARCIAL NO. 1
177
177
178
179
179
180
181
181
182
183
183
184
185
185
PARCIAL NO. 2
186
187
187
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189
189
190
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191
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193
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COMPROBACIONES DE LECTURA
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EL UNIVERSO EN UNA CÁSCARA DE NUEZ – DÉJÀ VU
195
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ComentariosEl Universo en una Cáscara de Nuez
Con su peculiar entusiasmo, el profesor Hawking nos incita a acompañarle en un colosal viaje por el espacio-tiempo, hacia un increíble país de las maravillas en el que partículas, membranas y cuerdas danzan en once dimensiones, donde los agujeros negros se evaporan y desaparecen llevándose consigo su secreto, y donde habita la pequeña nuez -la semilla cósmica originaria- de la que surgió nuestro universo.
Deja Vu
A pesar de ser un fenómeno común, el déjà vu se ha resistido a las fáciles definiciones de biólogos, psiquiatras, neurólogos y físicos. Las teorías actuales, como lo han descubierto los realizadores, van desde la psicología hasta lo más fantástico. Veamos algunas de ellas:
Algunos neurólogos creen que el déjà vu ocurre cuando el cerebro se centra en un simple detalle –un olor, una visión o un sonido– cuya familiaridad provoca la confusión entre el pasado y el presente durante una
fracción de segundo.
Los médicos señalan que muchos pacientes con lesiones en el lóbulo temporal experimentan la sensación del déjà vu; entonces, esta podría originarse a partir de una estimulación inesperada de esa parte del cerebro.
Algunos psicoanalistas creen que el déjà vu es una forma de “concreción del deseo”, en la cual profundos deseos psicológicos surgen, como en los sueños, pero en vigilia.
Quienes suscriben a la teoría de la reencarnación creen que los episodios detallados del déjà vu son evidencia de recuerdos de vidas pasadas.
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LA CIENCIA Y EL CAMPO AKÁSICO – HORTON Y EL MUNDO DE LOS QUIEN.
197
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ComentariosLa Ciencia y el Campo Akàisco
Durante miles de años los videntes y místicos de diversas tradiciones han sostenido que todo lo que existe en el universo está unido de alguna manera y que la totalidad de la información existente se mantiene, se conserva, en algo que ha recibido varios nombres, pero los de campo o registros akásicos serían los más conocidos. Un sabio chino, chiang tzu, escribió hace miles de años "el cielo, la tierra y yo vivimos juntos y todas las cosas formamos una unidad indisoluble". los últimos avances científicos están apoyando la existencia de este campo cósmico de
interconexión, que conserva y transmite la información.
Horton y el Mundo de los Quién.
Pues si es una película para niños, es una forma de empezar a enseñarles un poco acerca del mundo de la física cuántica. Esta divertida y pone a los niños a razonar algunas cosas a profundidad de una forma que ellos puedan entender.
Esta película da a entender lo que aún desconocemos es cuántos planetas del resto del universo pueden albergar alguna forma de vida inteligente, ya sea inferior, similar o, por qué no, superior a la humana.
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EL TAO DE LA FÍSICA – ¿Y TÚ QUÉ SABES?
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ComentariosEl Tao de la Física
Cuando la mente china entró en contacto con el pensamiento hindú, en la forma del Budismo, alrededor del primer siglo d.c, dos desarrollos paralelos sucedieron. Por un lado, la traducción de los sutras budistas estimuló a los pensadores chinos y los llevó a interpretar las enseñanzas del Buddha hindú a la luz de sus propias filosofías. De esta manera surgió un muy fructífero intercambio de ideas, que culminaron, en la escuela Hua-yen (sanscrito: Avatamsaka) de budismo en China y la escuela Kegon de Japón.
Por otro lado, el lado pragmático de la mentalidad china respondió al impacto del budismo hindú, concentrándose en los aspectos prácticos y desarrollándolos en una forma especial de disciplina espiritual que recibió el nombre de Ch'an, una palabra normalmente traducida como "meditación". Esta filosofía Ch'an fue eventualmente adoptada por Japón, alrededor del año 1200, y ha sido cultivado ahí bajo el nombre de Zen, una tradición que se mantiene viva hasta la actualidad.
Y tú ¿qué sabes?
El documental busca explicar la realidad combinando creencias místicas y postulados científicos obtenidos de la física, particularmente del principio de incertidumbre de la mecánica cuántica, como también nociones generales de psicología, psiquiatría y química.Las ideas del documental son acompañadas por la historia ficticia de Amanda (Marlee Matlin), una fotógrafa sorda que modifica a lo largo de la historia su predisposición psicológica frente al medio que la rodea.
La historia ficticia sugiere en su desarrollo que la actividad de la conciencia puede incidir en la realidad
física
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LABORATORIOS
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REFLEXIÓN EN ESPEJOS PLANOS
REFLEXIÓN EN ESPEJOS PLANOS
VOLTAJE INDUCIDO(PRINCIPIO DEL
TRANSFORMADOR)
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LEY DE SNELL
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