MÉTODO DE

BISECCIÓN

MÉTODO DE BISECCIÓN

Este es uno de los métodos más sencillos y de fácil intuición para resolver ecuaciones en una variable.

Se basa en el teorema del valor intermedio o Teorema de Bolzano o teorema de los valores intermedios, el cual establece que:

Toda función continua f en un intervalo cerrado [a,b] toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b). Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo [a,b]. En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos, el valor cero sería un valor intermedio entre f(a) y f(b), por lo que con certeza existe un p en [a,b] que cumple f(p)=0. De esta forma, se asegura la existencia de al menos una solución de la ecuación f(a)=0. (Colaboradores de Wikipedia, 2013)

El método consiste en lo siguiente:

Debe existir seguridad sobre la continuidad de la función f(x) en el intervalo [a,b]

A continuación se verifica que  Se calcula el punto medio m del intervalo [a,b] y se evalúa f(m) si ese valor es

igual a cero, ya hemos encontrado la raíz buscada En caso de que no lo sea, verificamos si f(m) tiene signo opuesto con f(a) o

con f(b) Se redefine el intervalo [a, b] como [a, m] ó [m, b] según se haya determinado

en cuál de estos intervalos ocurre un cambio de signo Con este nuevo intervalo se continúa sucesivamente encerrando la solución en

un intervalo cada vez más pequeño, hasta alcanzar la precisión deseada

En la siguiente figura se ilustra el procedimiento descrito

Para realizar el procedimiento hay una serie de pasos:

Paso 1: escójanse los valores iniciales X1 y Xu de forma tal que la función cambie de signo sobre el intervalo esto se verifica que f(X1)f(Xu)<0

Paso 2:la primera aproximación a la raíz Xr se determina como :

Xr¿X 1+Xu2

Paso 3: realícense las siguientes evaluaciones y determínese en que subintervalo cae la raíz:así f(X1)f(Xr)<0 ,entonces la raíz se encuentra dentro del primer subintervalo por lo tanto resuelves Xu=Xr y asi se continua hasta el otro paso b. si f(X1)f(Xr)>0,entonces la raíz se encuentra dentro del segundo intervalo por lo tanto se resuelve X1=Xr y se continuac. si f(X1)f(Xr)=0,entonces la raíz es igual a Xr y hasta aquí los cálculos

paso 4:calculese una nueva aproximación a la raíz mediante

Xr¿X 1+Xu2

Paso 5 : se verifica si la nueva aproximación es tan exacta como se desea si es asi entonces los cálculos terminan ,de otra manera se debe regresar al paso 3.

El método de bisección es menos eficiente que el método de Newton, pero es mucho más seguro para garantizar la convergencia. Si f es una función continua en el intervalo [a, b] y f(a)f(b) < 0, entonces este método converge a la raíz de f. De hecho, una cota del error absoluto es:

ORDEN DE CONVERGENCIA

CONVERGENCIA

Se entiende por convergencia de un método numérico la garantía de que, al realizar un buen número de repeticiones (iteraciones), las aproximaciones obtenidas terminan por acercarse cada vez más al verdadero valor buscado.

En la medida en la que un método numérico requiera de un menor número de iteracciones que otro, para acercarse al valor numérico deseado, se dice que tiene una mayor rapidez de convergencia.

Se entiende por estabilidad de un método numérico el nivel de garantía de convergencia, y es que algunos métodos numéricos no siempre convergen y, por el contrario divergen; es decir, se alejan cada vez más y más del resultado deseado. (INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TUXTLA GUTIÉRREZ)

ORDEN DE CONVERGENCIA

Los métodos numéricos de cálculo de raíces de una función son métodos iterativos, es decir, si construímos la sucesión

El orden de convergencia de un métodos está relacionado con la velocidad de convergencia de la sucesión con respecto a k.

Este concepto es útil para comparar métodos

Supongamos que la sucesión xk converge a  R . Decimos que xk converge a   con orden de convergencia p si

Con   distinto de cero. En los casos particulares

p=1, decimos que la convergencia es lineal   Método de Bisección p=2, decimos que la convergencia es cuadrática   Método de Newton-

Raphson. p (1 2), decimos que la convergencia es superlineal   Método de la

secante p=1 618.

Un método numérico se dice de orden p si genera una sucesión que converge a la solución con un orden de convergencia p.

Cuanto mayor es el orden de convergencia más rápido converge el método. (unioviedo)

Diremos que Xn converge a ∞ con orden de convergencia p≥1 si existe una constante positiva λ tan que

El valor λ se llama constante asintótica de error.

En particular, cuando p=1 hablaremos de convergencia lineal y cuando p=2 hablaremos de convergencia cuadrática. A una técnica iterativa que produce una sucesión que converge con orden de convergencia p se le denomina, en general, método de orden p. No es difícil mostrar, por ejemplo, que el método de bisección tiene convergencia lineal. (Trujillo)

METODO DE LA SECANTE

En análisis numérico el método de la secante es un método para encontrar los ceros de una función de forma iterativa.

Es una variación del método de Newton-Raphson donde en vez de calcular la derivada de la función en el punto de estudio, teniendo en mente la definición de derivada, se aproxima la pendiente a la recta que une la función evaluada en el punto de estudio y en el punto de la iteración anterior. Este método es de especial interés cuando el coste computacional de derivar la función de estudio y evaluarla es demasiado elevado, por lo que el método de Newton no resulta atractivo.

En otras palabras, el método de la secante es un algoritmo de la raíz de investigación que utiliza una serie de raíces de las líneas secantes para aproximar mejor la raíz de una función f. El método de la secante se puede considerar como una aproximación en diferencias finitas del método de Newton-Raphson. Sin

embargo, este método fue desarrollado independientemente de este último.(wikipedia)

CARACTERISTICAS DEL METODO DE LA SECANTE

Es un método para encontrar los ceros de una función de forma iterativa. Es una variación del método de Newton-Raphson No se calcula la derivada de la función. Los objetivos de este método es eliminar el problema de la derivada de la

función, ya que existen funciones que son muy complejas. Es muy similar al método de Newton con la diferencia principal que en este

método no se requiere de la segunda derivada.

ORDEN DE CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA SECANTE

El orden de convergencia de este método, en un punto cercano a la solución, es   donde

Cuando la raíz es simple, el orden de convergencia del método de la secante es:

Es el número áureo, por lo que se trata de una convergencia superlineal inferior a la del método de Newton-Raphson. En caso de que la aproximación inicial sea demasiado lejana o la raíz no sea simple, este método no asegura la convergencia y tiene un comportamiento similar al de Newton-Raphson. (wikipedia)

Los métodos cuyo orden de convergencia es mayor que uno pero menor que dos reciben el nombre de superlineales.

Covergencia superlineal inferior al de newton raphson

En caso de que la aproximación inicial sea demasiado lejana o la raíz no sea simple, este método no asegura la convergencia y tiene un comportamiento similar al de Newton-Raphson.

FORMULAS DEL MÉTODO DE LA SECANTE

MÉTODOS CON ORDEN DE CONVERGENCIA

Método de Newton Raphson Método del Punto fijo Método de la Secante

MÉTODO DE LA REGLA FALSA

METODO DE LA REGLA FALSA

En cálculo numérico, el método de la regla falsa o falsa posición es un método iterativo de resolución numérica de ecuaciones no lineales. El método combina el método de bisección y el método de la secante.

Este método sirve para encontrar la raíz o solución real de una ecuación. Al decir que encuentra su resultado hay que tomar en cuenta que no todas las ecuaciones tienen un solo resultado, y que no todas tienen resultado, por lo que hay que tener una idea de la forma de la curva de la ecuación antes de aplicar el método para que sea efectivo.

Procedimiento:

Se considera si la raíz de una ecuación está localizada más cerca de alguno de los extremos del intervalo.

Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo, tomamos el punto donde cruza al eje esta recta, nos aproximaremos mucho más rápido a la raíz; ésta es en sí, la idea central del método de la regla falsa y ésta es realmente la única diferencia con el método de bisección, puesto que en todo lo demás los dos métodos son prácticamente idénticos.

Solución del método de la regla falsa:

Usando triángulos semejantes, la intersección de la línea recta con el eje de las x se estima mediante:

Multiplicando en cruz la ecuación anterior obtenemos:

Agrupando términos y reordenando:

Dividiendo entre 

Esta es una de las formas del método de la falsa posición. Esta puede ponerse en una forma alternativa al separar los términos:

Sumando y restando xu en el lado derecho:

Agrupando términos se obtiene:

O:

Esta es la fórmula de la falsa posición. El valor de xr calculado con la ecuación reemplazará, después, a cualquiera de los dos valores iniciales, xl o xu, y da un valor de la función con el mismo signo de f(xr). De esta manera, los valores xl y xu siempre encierran la verdadera raíz. El proceso se repite hasta que la aproximación a la raíz sea adecuada.

Ejemplo:Sea la función donde x є [0,3] resolver por el método de falsa posición

SoluciónPrimero buscamos el intervalo donde podemos encontrar al menos una raíz.

f(0).f(1) < 0  entonces el intervalo a trabajar será [0,1] Iteración inicial.

Primera iteración

Segunda iteración

Tercera iteración

Cuarta iteración

MÉTODO DE LA SECANTE

MÉTODO DE LA SECANTE

Uno de los objetivos de este método es eliminar el problema de la derivada de la función, ya que existen funciones que describen fenómenos físicos en la vida real, cuya derivada es muy compleja.  El método de la secante es muy similar al de Newton con la diferencia principal que en este método de la secante no requiere de la segunda derivada. Este método funciona por medio de dos puntos sobre el eje x, es decir un intervalo (xi-1,xi), los cuales se evalúan en la función para sacar los puntos correspondientes en el eje de la y, los puntos a obtener son f(xi-1) y f(xi), por lo que las coordenadas de los puntos que interceptan a la función son (xi-1,f(xi-1)) y el (xi ,f(xi)). Se debe considerar que los puntos xi-1 y xi deben de contener a la raíz, por lo que el punto xi-1 debe estar a la izquierda y el punto xi a la derecha de la raíz.  Estos dos puntos que interceptan a la función, se unen por medio de una recta, la cual al cruzar el eje de la x, genera el siguiente punto de acercamiento xi+1 , el cual quedara ubicado entre el intervalo propuesto, como se muestra en la Fig. El principal inconveniente del método de Newton estriba en que requiere conocer el valor de la primera derivada de la función en el punto. Sin embargo, la forma funcional de f(x) dificulta en ocasiones el cálculo de la derivada. En estos casos es más útil emplear el método de la secante. El método de la secante parte de dos puntos (y no sólo uno como el método de Newton) y estima la tangente (es decir, la pendiente de la recta) por una aproximación de acuerdo con la expresión:

 

 Sustituyendo esta expresión en la ecuación del método de Newton, obtenemos la expresión del método de la secante que nos proporciona el siguiente punto de iteración:

 

    

Un problema potencial en la implementación del método de Newton es la evaluación de la derivada. Aunque esto no es un inconveniente para los

polinomios no para muchas otras funciones, existen algunas funciones cuyas derivadas en ocasiones resultan muy difíciles de calcular. En dichos casos, la derivada se puede aproximar mediante el siguiente cociente incremental:

Entonces, la fórmula para calcular el valor aproximado de la raíz en la iteración n+1 es:

El algoritmo que se obtiene al aplicar esta fórmula se conoce como el método de la secante. Si bien este método requiere de dos valores iniciales, no es necesario que f(x) cambie de signo entre los valores dados.

Gráficamente, el método de la secante, en lugar de aproximar la función en cada iteración por una recta tangente para determinar un cero, lo hace utilizando una recta secante.

Análisis del error

 

Se puede demostrar que el error en la iteración n+1 está dado por:

Como se puede apreciar, el error en la iteración n+1 es proporcional al producto de los errores de las dos iteraciones previas. Además, este error es ligeramente mayor que el que se comete en el método de Newton. Por lo tanto, su orden de convergencia será menor.

Diferencia entre los métodos de la secante y de Regula - Falsi

 

Como se puede observar, las expresiones que permiten calcular cada aproximación en los métodos de la secante y Regula - Falsi son idénticas en todos los términos. Ambas usan dos valores iniciales para calcular una aproximación de la pendiente de la función que se utiliza para proyectar hacia el eje x una nueva aproximación de la raíz. Sin embargo, existe una diferencia importante entre ambos métodos. Esta diferencia radica en la forma en que uno de los valores iniciales se reemplaza por la nueva aproximación. En el método de Regula - Falsi, la última aproximación ri de la raíz reemplaza cualquiera de los valores iniciales que dé un valor de la función con el mismo signo que f(ri). En consecuencia, las dos aproximaciones siempre encierran a la raíz. Por lo tanto, para todos los casos, el método siempre converge debido a que la raíz se encuentra dentro del intervalo.

En contraste, el método de la secante reemplaza los valores en secuencia estricta: el nuevo valor ri+1 sustituye a ri y ri reemplaza a ri-1. Por lo tanto, algunas veces los dos valores están en el mismo lado de la raíz, lo que puede llevar, en ciertos casos a divergencias.

 

Ventajas y desventajas

 

Aunque el método de la secante puede ser divergente en algunos casos, cuando converge lo hace más rápido que el método de Regula - Falsi. La inferioridad de este último se debe a que un extremo permanece fijo, para mantener a la raíz dentro del intervalo.

 

Orden de convergencia

 

Cuando la raíz es simple, el orden de convergencia del método de la secante es:

 

Los métodos cuyo orden de convergencia es mayor que uno pero menor que dos reciben el nombre de super lineales. (Nicolás, 2014)