República Bolivariana de VenezuelaMinisterio de Educación Superior

Universidad Fermín ToroCabudare, Edo-Lara

Facultad de Ingeniería

Interpolación

Integrantes:

Iraima Sandoval

C.I: 24.394.478

Cabudare, Julio 2015

1. Obtener el polinomio de interpolación usando la fórmula de interpolación de Lagrange con la siguiente tabla de valores, e interpolar en el punto x = 1.

 xi -4 -3 2 -6

  yi -16 -5 -10

-50

li (x )= Πi≠ j

x−xix j−x i

p ( x )=∑j=0

n

y i ∙li (x )

l0 ( x )=(x−x1 ) (x−x2) (x− x3 )

(x0−x1 ) (x0−x2 ) (x0−x3 )=

( x+3 ) ( x−2 ) ( x+6 )(−4+3 ) (−4−2 ) (−4+6 )

l0 ( x )= 112x3+ 7

12x2−3

l1 ( x )=(x− x0 ) (x−x2 ) (x−x3 )

(x1−x0 ) (x1−x2 ) (x1−x3 )=

( x+4 ) ( x−2 ) (x+6 )(−3+4 ) (−3−2 ) (−3+6 )

l1 ( x )=−115x3− 8

15x2− 4

15x+ 16

5

l2 ( x )=(x−x0 ) (x−x1 ) (x−x3 )

(x2−x0 ) (x2−x1 ) ( x2− x3 )=

( x+4 ) (x+3 ) ( x+6 )(2+4 ) (2+3 ) (2+6 )

l2 ( x )= 1240

x3+ 13240

x2+ 940x+ 3

10

l3 (x )=(x−x0 ) ( x−x1) (x−x2 )

(x3−x0 ) (x3−x1 ) (x3−x2 )=

( x+4 ) ( x+3 ) ( x−2 )(−6+4 ) (−6+3 ) (−6−2 )

l3 (x )=−148x3− 5

48x2+ 1

24x+1

2

p ( x )= y0 l0 ( x )+ y1l1 ( x )+ y2l2 ( x )+ y3 l3 ( x )

Sustituyendo:

p ( x )=−16 ∙( 112x3+ 7

12x2−3)−5 ∙(−1

15x3− 8

15x2− 4

15x+ 16

5 )−10∙( 1240

x3+ 13240

x2+ 940x+ 3

10 )−50∙ (−148x3− 5

48x2+ 1

24x+ 1

2 )p ( x )=−2 x2−3x+4

2. Obtener el polinomio de interpolación usando la fórmula de interpolación de Newton en diferencias divididas con los datos de la tabla que aparece a continuación, e interpolar en el punto x= 3 (DIFERENCIAS DIVIDIDAS)

 xi

-4 6 2

 yi

-20 -30 -2

Por diferencias divididas:

xi f(xi) f[xi, xi+1] f[xi, xi+1, xi+2]-4 -20

-16 -30 -1

-72 -2

Luego:

P2 (x )=f [ x0 ]+f [ x0 , x1 ] ∙ (x−x0 )+ f [ x0 , x1, x2 ] ∙ (x−x0 ) ∙ (x−x1 )

P2 (x )=−20−1 ∙ ( x+4 )−1∙ ( x+4 ) ∙ ( x−6 )

P2 (x )=x−x2

3. Se quiere aproximar la función f(x) = −seno( 6 x ) en el intervalo [−1,1] utilizando interpolación polinómica con 5 puntos dados por el vector x=[ .8,.5, .3, .9, -.9]. ¿Cuál es el error máximo teórico que se cometería en el punto −0.5? ¿Y cuál el error real?

Por diferencias divididas:

x f [x0] f[xi, xi+1] f[xi, xi+1, xi+2] f[xi, xi+1, xi+2, xi+] f[xi, xi+1, xi+2, xi+3, xi+4]0,8 0,99616461

3,79094872

0,5-

0,14112001 18,9547436-

5,68642308 -56,69519740,3 0,99616461 13,2852239 -39,3631516

-0,37233354 10,2221604

0,9 0,77276449-

1,025800620,85862721

-0,9

-0,77276449

Luego:

P4 ( x )=f [ x0 ]+ f [ x0 , x1 ] ∙ (x−x0 )+ f [ x0 , x1 , x2 ] ∙ (x−x0 )∙ (x−x1 )+ f [ x0 , x1 , x2 , x3 ] ∙ (x−x0 )∙ (x−x1 ) ∙ (x−x2 )+ f [ x0 , x1, x2 , x3 , x4 ] ∙ (x−x0 ) ∙ (x−x1 ) ∙ (x−x2 )∙ (x−x3 )

P4 ( x )=0,99616461+3,79094872 ∙ ( x−0,8 )+18,9547436 ∙ ( x−0,8 ) ∙ (x−0,5 )−56,6951974 ∙ ( x−0,8 ) ∙ ( x−0,5 ) ∙ ( x−0,3 )−39,3631516∙ ( x−0,8 ) ∙ ( x−0,5 ) ∙ ( x−0,3 ) ∙ ( x−0,9 )

Para x = - 0,5

P4 (−0,5 )=0,99616461+3,79094872 ∙ (−0,5−0,8 )+18,9547436∙ (−0,5−0,8 ) ∙ (−0,5−0,5 )−56,6951974 ∙ (−0,5−0,8 ) ∙ (−0,5−0,5 ) ∙ (−0,5−0,3 )−39,3631516 ∙ (−0,5−0,8 ) ∙ (−0,5−0,5 ) ∙ (−0,5−0,3 ) ∙ (−0,5−0,9 )

P4 (−0,5 )=22,35935452

Error=|V real+V aproximado

V real |er=|sen(−0.5 ∙6)+22,35935452

sen (−0.5) |er=46,932156