Métodos locales de interpolación:

La motivación para el estudio de los métodos locales de interpolaciónradica en la dificultad de calcular el polinomio de interpolación para unnúmero no pequeño de puntos.

Además, cuanto mayor sea el número de puntos, es decir, cuanto másdifícil resulte el cálculo del polinomio de interpolación, tanto más correcta será la aproximación obtenida mediante los métodos de interpolación locales.

Los dos métodos locales de interpolación más sencillos son:- Interpolación por rectas, tomando los puntos de 2 en 2.- Interpolación por parábolas, tomando los puntos de 3 en 3.

Interpolación por rectas

Polinomio de interpolación

Interpolación por rectas:

xn-1

xn

xn+1

yn+1

yn-1

yn

y x( ) =yn +yn+1 −ynxn+1 −xn

(x−xn)

y x( ) =yn +yn −yn−1

xn −xn−1

(x−xn)

No están definidas las derivadas en los puntos xi; sí, en cambio, enlos puntos intermedios xi<x<xi+1, para los cuales la primera derivadaes constante y las derivadas superiores se anulan:

y' x( )=yi+1 −yixi+1 −xi

para xi <x<xi+1

Aunque no están definidas las derivadas en los puntos xi; sí quese pueden definir las derivadas por la derecha y por la izquierda que, en el caso, general, serán diferentes:

/ ∃ y' xi( )

y'(+) xi( )=yi+1 −yixi+1 −xi

→ derivada por la derecha

y'(−) xi( )=yi −yi−1

xi −xi−1

→ derivada por la izquierda

Fórmula para la integración con interpolación por rectas:Integración por trapecios:

y(x)dxa=x0

b=xn

∫ = [yi +yi+1 −yixi+1 −xixi

xi+1

∫i=0

n−1

∑ (x−xi)]dx

= yi(xi+1 −xi) +12yi+1 −yixi+1 −xi

(xi+1 −xi)2

⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥ i=0

n−1

∑

= yi(xi+1 −xi) +12yi+1 −yi( )(xi+1 −xi)

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥

i=0

n−1

∑xi

=

xi

=

y(x)dxa=x0

b=xn

∫ =12yi +yi+1( )Δxi

i=0

n−1

∑

y(x)dxa=x0

b=xn

∫ =12yi +yi+1( )Δxi

i=0

n−1

∑

Si todos los xi son iguales: Δxi =h

y(x)dxa=x0

b=xn

∫ =h12yi +yi+1( )

i=0

n−1

∑

y(x)dxa=x0

b=xn

∫ =h12y0 +yn( )+ yi

i=0

n−1

∑⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥

Obtener la siguiente integral por el método de los trapecios con 4cifras significativas correctas:

= xlnx−x[ ]13

=3ln3−3+1≈1.2958369

Si tomamos h = 1 (3 puntos):

x0 =1; x1 =2; x3 =3

ln(x)dx1

3

∫ =h12

ln(x0)+ln(x2)( )+ln(x1)⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥

ln(x)dx1

3

∫ =12

ln(1) +ln(3)( )+ln(2) ≈1.2424533

lnx dx1

3

∫

Si tomamos h = 1/2 (5 puntos):

x0 =1; x1 =1.5; x2 =2; x3 =2.5; x4 =3

ln(x)dx1

3

∫ =h12

ln(x0)+ln(x4)( )+ ln(xi )i=1

3

∑⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥

ln(x)dx1

3

∫ =12

12

ln(1) +ln(3)[ ]+ln(1.5) +ln(2)+ln(2.5)⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥

ln(x)dx1

3

∫ ≈1.2821046

Si tomamos h = 1/4 (9 puntos):

x0 =1; x1 =1.25; x2 =1.5; x3 =1.75; x4 =2;

x5 =2.25; x6 =2.5; x7 =2.75; x8 =3

ln(x)dx1

3

∫ =h12

ln(x0)+ln(x8)( ) + ln(xi)i=1

7

∑⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥

ln(x)dx1

3

∫ =14

[12

ln(1)+ln(3)[ ]+ln(1.25)+ln(1.5)+ln(1.75)+

+ln(2) +ln(2.25) +ln(2.5) +ln(2.75)]

ln(x)dx1

3

∫ ≈1.2923749

Si tomamos h = 1/8 (17 puntos):

x0 =1; x1 =1.125; x2 =1.25; x3 =1.375; x4 =1.5; x5 =1.625;

x6 =1.75; x7 =1.875; x8 =2; x9 =2.125;x10 =2.25; x11 =2.375;

x12 =2.5; x13 =2.625; x14 =2.75; x15 =2.875; x16 =3

ln(x)dx1

3

∫ =h12

ln(x0)+ln(x16)( )+ ln(xi)i=1

15

∑⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥

ln(x)dx1

3

∫ ≈1.2949695

Si tomamos h = 1/16 (33 puntos): ln(x)dx1

3

∫ ≈1.2956199

Si tomamos h = 1/32 (65 puntos): ln(x)dx1

3

∫ ≈1.2957826

xn-1

xn

xn+1

yn+1

yn-1

yn

Interpolación por parábolas:

h h

= xn+hxn-h =

y x( ) =yn +yn+1 −yn−1

2h(x−xn)+

yn+1 +yn−1 −2yn2h2 (x−xn)

2

El polinomio de interpolación que pasa por los puntos (xn-1, yn-1),(xn, yn), (xn+1, yn+1) lo podríamos calcular sustituyendo dichos valoresen la expresión general:

y(x) =a0 +a1x+a2x2

Sin embargo resulta más sencillo tomar la siguiente expresión :y(x) =a+b(x−xn)+c(x−xn)

2

yn−1 =a−bh+ch2

yn =a

yn+1 =a+bh+ch2

⎫

⎬ ⎪ ⎪

⎭ ⎪ ⎪

y tener en cuenta que xn-1 = xn - h, y que xn+1 = xn + h :

c=yn+1 +yn−1 −2yn

2h2

b=yn+1 −yn−1

2h

y x( ) =yn +yn+1 −yn−1

2h(x−xn)+

yn+1 +yn−1 −2yn2h2 (x−xn)

2

Las primeras derivadas en los puntos intermedios x, xn-1<x<xn+1 ahora no son constantes:

y' x( )=yn+1 −yn−1

2h+yn−1 +yn+1 −2yn

h2 (x−xn) ; xn −h<x<xn +h

Sí es constante la 2ª derivada y, por tanto, nulas todas las demásderivadas de orden superior:

y'' x( ) =yn−1 +yn+1 −2yn

h2 para xn −h<x<xn +h

y(n) x( )=0 ; (con n≥3) para xn −h<x<xn +h

Fórmula para la integración con interpolación por parábolas:Regla de Simpson :

y x( )xn −h

xn +h

∫ dx= yn +yn+1 −yn−1

2h(x−xn) +

yn−1 +yn+1 −2yn2h2 (x−xn)

2⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥

xn −h

xn +h

∫ dx

El valor de la integral de la parábola de interpolación desde xn-hhasta xn-h es:

y x( )xn −h

xn +h

∫ dx=yn2h+yn−1 +yn+1 −2yn

2h2

2h3

3=h3yn−1 +yn+1 +4yn( )

Si queremos integrar desde a ( = x0) hasta b (=xn):

x0, x1, x2, x3, x4, x5, …, xn-2, xn-1, xn,

(x0, x1, x2), (x2, x3, x4), …, (xn-2, xn-1, xn)

h3yn−2 +yn +4yn−1( )

=

h3y0 +y2 +4y1( )

=

h3y2 +y4 +4y3( )

=

+ +…+ =

y x( )a=x0

b=xn

∫ dx=h3

y0 +yn +2 yi +4 yii=1

impares

n−1

∑i=2pares

n−2

∑⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

Obtener la siguiente integral por el método de Simpson con 4cifras significativas correctas:

= xlnx−x[ ]13

=3ln3−3+1≈1.2958369

Si tomamos h = 1 (3 puntos)(1 intervalo):

x0 =1; x1 =2; x3 =3

ln(x)dx1

3

∫ =h3

ln(x0)+ln(x2)+4ln(x1)[ ]

ln(x)dx1

3

∫ =13

ln(1)+ln(3) +4ln(2)( ) ≈1.2904003

lnx dx1

3

∫

con trapecios y h=1→≈1.2424533

Si tomamos h = 1/2 (5 puntos)(2 intervalos):

x0 =1; x1 =1.5; x2 =2; x3 =2.5; x4 =3

ln(x)dx1

3

∫ =h3

ln(x0) +ln(x4)+2ln(x2)+4 ln(xi)i=1impar

3

∑⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

ln(x)dx1

3

∫ =16

ln(1)+ln(3)+2ln(2) +4 ln(1.5)+ln(2.5)( )[ ]

ln(x)dx1

3

∫ ≈1.2953217

con trapecios y h=12

→≈1.2821046

valor exacto≈1.2958369

Si tomamos h = 1/3 (7 puntos)(3 intervalos):

x0 =1; x1 =43

; x2 =53; x3 =2; x4 =

73

; x5 =83; x6 =3

ln(x)dx1

3

∫ =h3

ln(x0) +ln(x6) +2 ln(xi )i=2par

4

∑ +4 ln(xi )i=1impar

5

∑⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

ln(x)dx1

3

∫ =19

[ln(1)+ln(3)+2 ln(53)+ln(

73)

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ +

+4 ln(43)+ln(2)+ln(

83)

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ ]

ln(x)dx1

3

∫ ≈1.2957215

valor exacto≈1.2958369

Si tomamos h = 1/4 (9 puntos) (4 intervalos):

x0 =1; x1 =1.25; x2 =1.5; x3 =1.75; x4 =2;

x5 =2.25; x6 =2.5; x7 =2.75; x8 =3

ln(x)dx1

3

∫ =h3

ln(x0) +ln(x8)+2 ln(xi)i=2par

6

∑ +4 ln(xi )i=1impar

7

∑⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

ln(x)dx1

3

∫ =1

12[ln(1)+ln(3) +2(ln(1.5) +ln(2)+ln(2.5))

+4(ln(1.25)+ln(1.75)+ln(2.25)+ln(2.75))]ln(x)dx

1

3

∫ ≈1.2957983

con trapecios y h=14

→≈1.2923749

valor exacto≈1.2958369

Calcular mediante los procedimientos de Simpson y de los trapecios(con 7 puntos en ambos casos) el valor de las siguientes integrales:

cos( 1+x2 )dx0

3

∫

x 1+x2dx0

3

∫

x2exdx−1

2

∫

Calcular mediante los procedimientos de Simpson y de los trapecios(con 7 puntos en ambos casos) el valor de la siguiente integral:

cos( 1+x2 )dx0

3

∫Si tomamos h = 1/2 (7 puntos):

x0 =0; x1 =0.5; x2 =1; x3 =1.5; x4 =2; x5 =2.5; x6 =3Por trapecios:

cos( 1+x2 )dx0

3

∫ =h12

cos( 1+x02 )+cos( 1+x6

2)( ) + cos( 1+xi2 )

i=1

5

∑⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥

=12

[12

cos( 1+02 )+cos( 1+32 )( )+cos( 1+0.52 ) +cos( 1+12 )

+cos( 1+1.52 )+cos( 1+22 )+cos( 1+2.52 )]≈−0.692201¡¡¡EN R

ADIANES!!!

cos( 1+x2 )dx0

3

∫ =h3

[cos(1+x02 )+cos( 1+x6

2) +

+2 cos( 1+xi2 )

i=2par

4

∑ +4 cos( 1+xi2 )

i=1impar

5

∑ ]

Por Simpson:

=16{cos(1+02) +cos( 1+32 )+2[cos(1+12 ) +cos( 1+22 )]+

+4[cos(1+0.52 )+cos( 1+1.52 )+cos( 1+2.52 )]}≈−.692577

con trapecios→≈−.692201

valor exacto≈−.692603

Calcular mediante los procedimientos de Simpson y de los trapecios(con 7 puntos en ambos casos) el valor de la siguiente integral:

x 1+x2dx0

3

∫Si tomamos h = 1/2 (7 puntos):

x0 =0; x1 =0.5; x2 =1; x3 =1.5; x4 =2; x5 =2.5; x6 =3Por trapecios:

x( 1+x2 )dx0

3

∫ =h12x0( 1+x0

2 )+x6( 1+x62)( ) + xi( 1+xi

2 )i=1

5

∑⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥

=12

[12

0( 1+02 )+3( 1+32 )( ) +0.5( 1+0.52) +1( 1+12 )

+1.5( 1+1.52 )+2( 1+22 )+2.5( 1+2.52 )]≈10.3122

x( 1+x2 )dx0

3

∫ =h3

[x0( 1+x02 ) +x6( 1+x6

2 )+

+2 xi( 1+xi2 )

i=2par

4

∑ +4 xi( 1+xi2 )

i=1impar

5

∑ ]

Por Simpson:

=16{0( 1+02 )+3( 1+32 )+2[1( 1+12 )+2( 1+22 )]+

+4[0.5( 1+0.52 )+1.5( 1+1.52 )+2.5( 1+2.52 )]}≈10.2063

con trapecios→≈10.3122

valor exacto≈10.2076

Calcular mediante los procedimientos de Simpson y de los trapecios(con 7 puntos en ambos casos) el valor de la siguiente integral:

x2exdx−1

2

∫Si tomamos h = 1/2 (7 puntos):

x0 =−1; x1 =−0.5; x2 =0; x3 =0.5; x4 =1; x5 =1.5; x6 =2Por trapecios:

x2exdx−1

2

∫ =h12x0

2ex0 +x62ex6( )+ xi

2exi )i=1

5

∑⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥

x2exdx−1

2

∫ ≈14.164

x2exdx0

3

∫ =h3[x0

2ex0 +x62ex6 +

+2 xi2exi

i=2par

4

∑ +4 xi2exi

i=1impar

5

∑ ]

Por Simpson:

con trapecios→≈14.164

valor exacto≈12.9387

x2exdx−1

2

∫ ≈12.9919