interpolación de funciones

*INTERPOLACIÓN DE FUNCIONES

INTERPOLACIÓN

Es una herramienta fundamental para la derivación e integración numérica.

Obtener un algoritmo rápido, económico para calcular los valores de la función

a interpolar en aquellos puntos x, que no figuren en los datos.

Motivo principal:

Objetivo principal:

Técnica particular de sustitución de la función :

Consiste en construir una función F de gradon tal que en el intervalo cerrado a,b , en el que

viene prefijado el soporte de interpolación que se denota viene prefijado el soporte de interpolación que se denota

0 1 20 n

i nix a x x x ... x b ,

tome los mismos valores que la función a interpolar, es decir, que se verifique:tome los mismos valores que la función a interpolar, es decir, que se verifique:

i iF x f x i 0,1,2,...,n.

Para su construcción:

xi yi

x0

x1

x2

xn

y0

y1

y2

yn

Es evidente que si se tuviera únicamente dos puntos, el polinomio que pasa por éstos es de grado

uno (recta): 1 0y a x a con lo que habrá dos constantes para determinar 1a y 0a ; si tuviera tres

puntos, el polinomio es de segundo grado (parábola): 22 1 0y a x a x a con tres constantes a

determinar, etc. En el caso general de tener n 1 puntos el polinomio debe ser de grado n , con

n 1 constantes a determinar, que surgen de:

0

1n 1 n n 1 n

0 1 n 1 n

n 1

n

aa

y a a x a x a x 1 x x x .aa

Es evidente que si se tuviera únicamente dos puntos, el polinomio que pasa por éstos es de grado

uno (recta): 1 0y a x a con lo que habrá dos constantes para determinar 1a y 0a ; si tuviera tres

puntos, el polinomio es de segundo grado (parábola): 22 1 0y a x a x a con tres constantes a

determinar, etc. En el caso general de tener n 1 puntos el polinomio debe ser de grado n , con

n 1 constantes a determinar, que surgen de:

0

1n 1 n n 1 n

0 1 n 1 n

n 1

n

aa

y a a x a x a x 1 x x x .aa

Para determinar las constantes resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

n 1 ni i 0 1 i n 1 i iP y a a x a x a i 0,1, ,n .

Es decir:

n 1 n0 0 0 0 1 0 n 1 0 n 0 0

n 1 n1 1 1 0 1 1 n 1 1 n 1 1

n 1 nn n n 0 1 n n 1 n n n n

Si A x ;y a a x a x a x y


..............................................................................

Si A x ;y a a x a x a x y .

Es decir:

Para determinar las constantes resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

n 1 ni i 0 1 i n 1 i iP y a a x a x a i 0,1, ,n .

Es decir:

n 1 n0 0 0 0 1 0 n 1 0 n 0 0

n 1 n1 1 1 0 1 1 n 1 1 n 1 1

n 1 nn n n 0 1 n n 1 n n n n



..............................................................................

Si A x ;y a a x a x a x y .

Que adopta la forma:Este sistema adopta la forma:

2 n0 00 0 0

2 n1 11 1 1

2 n2 22 2 2

2 nn nn n n

a y1 x x xa y1 x x xa y1 x x x

a y1 x x x

.

Consideremos el sistema 0 1

0 1

a a 1

1.005a 0a

Ejemplo:Consideremos el siguiente sistema:

solución del mismo es 0 1a 201 a 200 ;

obtenemos el sistema 0 1

0 1

a a 1

a 1.01a 0

tiene por solución 0 1a 101 a 100 . Si

0.01 sdsdfff Utilizando el número indicador i

det A

a

sistema está mal condicionado.

2 22 2 21 2

i

i 1

1 1det

1 1.005det A 0.005número indicador

a a 1 1 . 1 1.005a

0.0050.0025 0.01

2. 2.010025

Fórmulas

de Lagrange

Parabólica Progresiva

de Newton Ascendente

de Taylor

de Newton Descendente

Aproximación por Mínimos Cuadrados

* Si la función interpolante es un polinomio:

* Si la función interpolante es una función spline:

Función spline de grado 0




Fórmula de Lagrange

Si consideramos dos puntos 0 0x ,y y 1 1x ,y

la cual 0 0 1 1f x y y f x y

Para ello definiremos las funciones:

01

0 10 1 1 0

x xx xL x y L x

x x x x,

por medio de un polinomio de primer grado que interpole esos valores. Para

ello definiremos las siguientes funciones:

Si consideramos dos puntos

El problema de encontrar un polinomio que pase por esos puntos, es el mismo

que el de aproximar una función f para la cual:

Se define entonces:Se define entonces

0 0 1 1P x L x f x L x f x .

Como

0 0 0 1 1 0 1 1L x 1, L x 0, L x 0, y L x 1,

tenemos

0 0 1 0 0P x 1.f x 0.f x f x y

y

1 0 1 1 1P x 0.f x 1.f x f x y .

Si reemplazamos por en:

Como

0 0 0 1 1 0 1 1L x 1, L x 0, L x 0, y L x 1,

por lo tanto:tenemos

0 0 1 0 0P x 1.f x 0.f x f x y

y y

1 0 1 1 1P x 0.f x 1.f x f x y .

obtenemos:

Para ello definiremos las funciones:

01

0 10 1 1 0

x xx xL x y L x

x x x x,

dos 0 1x y x

Gráficamente:

Generalización

Consideremos la construcción de un polinomio de grado máximo n que pase

por los n+1 puntos

A fin de generalizar el concepto de interpolación lineal, consideremos la construcción de un

polinomio de grado máximo n que pase por los n 1 puntos

0 0 1 1 n nx ,f x , x ,f x , , x ,f x .

Interpretémoslo gráficamente:

Construiremos:

una función n,kL x cada k 0,1, ,n

Propiedad:

d de que n,k iL x 0 , cu cuando i k y

i k y n,k kL x 1 se evalúe en kx x . Es decir,

0 1 k 1 k 1 nn,k

k 0 k 1 k k 1 k k 1 k n

ni

i 0 k i

x x x x x x x x x xL x

x x x x x x x x x x

x xx x

Gráficamente un se puede ver como:una función n,kL x

Teorema

Si 0 1 nx ,x , ,x son n 1 números distintos y si f es una función cuyos valores están dados en esos

números, entonces existe un único polinomio P x de grado a lo más n , con la propiedad de que

k kf x P x para cada k 0,1, ,n .

Este polinomio está dado por

n

0 n,0 n n,n k n,kk 0

P x f x L x f x L x f x L x

,

donde para cada k 0,1, ,n

n0 1 k 1 k 1 n i

n,ki 0k 0 k 1 k k 1 k k 1 k n k ii k

x x x x x x x x x x x xL x

x x x x x x x x x x x x

.





n



,


n0 1 k 1 k 1 n i




.





n



,


n0 1 k 1 k 1 n i




.





n



,


n0 1 k 1 k 1 n i




.





n



,


n0 1 k 1 k 1 n i




.

Error cometido:como

x f x P x .

escribir el error de la siguiente manera:

0 1 2 nx x x x x x x x x g x .

El error puede escribirse como:

Es posible demostrar que para 0 nx x ;x , g x está dada por

n 11

g x f cn 1 !

, 0 nx a c b x

La fórmula del error de la interpolación de Lagrange, es:el error de la interpolación de Lagrange, es:

n 1

0 1 2 n1

x f c x x x x x x x x .n 1 !

que puede escribirse como:Que se puede escribir:

nn 1

i

i 0

1x f c x x

n 1 !

Si denotamos n 1n 1 a x b

M máx f x obtenemos entonces el siguiente estimado del error

absoluto en la fórmula de interpolación de Lagrange:

n

n 1i

i 0

Mx f x P x x x

n 1 !

.

Si denotamos n 1n 1 a x b

M máx f x obtenemos entonces el siguiente estimado del error

absoluto en la fórmula de interpolación de Lagrange:

n

n 1i

i 0

Mx f x P x x x

n 1 !

.

Observación:

Ejemplo:

una cota del error absoluto en el intervalo 0 nx ,x .

2xf x e cos3x

0 1 2x 0, x 0.3, x 0.6, n 2 .

Determinando los coeficientes polinómicos 0 1 2L x , L x y L x :

Construiremos el polinomio interpolante de Lagrange para la siguiente función y obtendremos una

cota del error absoluto en el intervalo 0 nx ,x .


2

1 2 2n,k 2,0

k 1 k 2

x x x x x 0.3 x 0.6 x 0.9x 0.9 50L x L x x 5x 5

x x x x 0 0.3 0 0.6 0.18 9

2

0 2 2n,k 2,1

k 0 k 2

x x x x x 0 x 0.6 x 0.6x 100 20L x L x x x

x x x x 0.3 0 0.3 0.6 0.09 9 3

,

2

0 1 2n,k 2,2

k 0 k 1

x x x x x 0 x 0.3 x 0.3x 50 5L x L x x x

x x x x 0.6 0 0.6 0.3 0.18 9 3

.


2

1 2 2n,k 2,0

k 1 k 2

x x x x x 0.3 x 0.6 x 0.9x 0.9 50L x L x x 5x 5

x x x x 0 0.3 0 0.6 0.18 9

2

0 2 2n,k 2,1

k 0 k 2

x x x x x 0 x 0.6 x 0.6x 100 20L x L x x x

x x x x 0.3 0 0.3 0.6 0.09 9 3

,

2

0 1 2n,k 2,2

k 0 k 1

x x x x x 0 x 0.3 x 0.3x 50 5L x L x x x

x x x x 0.6 0 0.6 0.3 0.18 9 3

.


2

1 2 2n,k 2,0

k 1 k 2

x x x x x 0.3 x 0.6 x 0.9x 0.9 50L x L x x 5x 5,

x x x x 0 0.3 0 0.6 0.18 9

Puesto que 2 00f x f 0 e cos 3 0 1 ,

2 0.31f x f 0.3 e cos 3 0.3 1.82189401 y

2 0.62f x f 0.6 e cos 3 0,6 3.318478645 , tendremos

Puesto que 2 00f x f 0 e cos 3 0 1 ,

2 0.31f x f 0.3 e cos 3 0.3 1.82189401 y

2 0.62f x f 0.6 e cos 3 0,6 3.318478645 , tendremos

2

2 2k 2,k

k 0

2 2

50 100 20P x f x L x 1. x 5x 5 1.82189401 x x 3.318478645

9 9 3

50 5x x 11.2202x 3.80821x 1

9 3

Para calcular el error asumiremos como datos:

2x 2x

n 1

2x

nn 1

i

i 0

46e cos 3x 9e sen 3x

M y''' 0.26 65

n 1 3 n 2; x 0.26; y f x e cos 3x

y'''

Mx x x 0.4 0 0.4 0.3 0.4 0.6 0.0875361

n 1

.6521 65.6521

65.6!

1652

2Entonces x 9.10 .

Gráficamente:

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7x

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2y

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7x

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2y

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7x

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2y

f(x) F(x)

f(x) y F(x)

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