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1/49Universidad Politécnica de Madrid–Escuela Técnica Superior de Ingenieros IndustrialesGrado en Ingeniería en Tecnologías Industriales. Curso 2015-2016-3º

Matemáticas de Especialidad–Ingeniería Eléctrica

Derivación e integración de funciones

José Luis de la Fuente O’Connorjldelafuente@etsii.upm.esjoseluis.delafuente@upm.es

Clase_derivación_integración_funciones_2016.pdf

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2/49Índice

� Introducción

� Derivación numérica de funciones

� Fórmulas centradas de segundo orden o superior� Extrapolación de Richardson� Fórmulas derivadas del polinomio de interpolación deNewton� Derivación simbólica con Matlab

� Integración de funciones

� Fórmulas de Newton-Cotes� Fórmulas abiertas y cerradas� Método de Romberg� Cuadratura de Gauss-Legendre� Cuadratura adaptativa

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Introducción

� Como sabemos:La derivada de una función en un punto es el valor del límite, si existe, delcociente incremental de dicha función en el punto cuando el incremento dela variable tiende a cero.

f 0.x/ D df .x/

dxD lKım

h!0

f .x C h/ � f .x/

h

Es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha funciónsegún cambie el valor de su variable independiente.

� La derivación numérica evalúa numéricamente la derivada de una función a partirde valores numéricos de dicha función, sin necesidad por tanto de conocer laexpresión analítica de dicha derivada. Es muy sensible a pequeñas perturbacionesen los datos o a la precisión de estos.

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� Mientras que la integración produce un efecto de amortiguación de lasoscilaciones en los datos, la derivación evidencia esas oscilaciones.

Numerical Differentiation

Differentiation is inherently sensitive, as small

perturbations in data can cause large changes

in result

Differentiation is inverse of integration, which

is inherently stable because of smoothing ef-

fect

For example, two functions shown below have

very similar definite integrals but very different

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................

........................................................................................................

.................................................................................................

............................................................................................................

.....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...............................

.................................

..................................

...............................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................

46

Las dos funciones de la figura tienen integralesmuy parecidas mientras que sus derivadas endistintos puntos pueden diferir bastante.

� Si se necesita derivar funciones cuyos valores se conocen sólo en un conjuntodado de puntos concretos, lo más aconsejable es ajustar alguna función continuaa esos puntos y derivar luego la función obtenida.

� Si los datos presentan un cierto patrón de continuidad, se puede interpolar unafunción.

� Si se sabe que tienen ruido, lo más probable es que se requiera una aproximaciónmediante mínimos cuadrados o splines.

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5/49Derivación numérica de funciones

� Para calcular numéricamente la derivada de f W R! R se puede considerar unaaproximación intuitiva de su definición:

f 0.x/ D df .x/

dxD lKım

h!0f .x C h/ � f .x/

hD � f .x C h/ � f .x/

h,

es decir, la línea secante (o cuerda) en dos puntos próximos.

� Geométricamente se pueden considerar tres variantes

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� Geométricamente se pueden considerar tres variantes

x x+h

f(x)

f(x+h)

xx h

f(x)

f(x h)

f(x+h)

xx h

f(x h)

x+h

f(x)Aproximación

f 0.x/ D f .x C h/ � f .x/h

Fórmula adelantada

f 0.x/ D f .x/ � f .x � h/h

Fórmula atrasada

f 0.x/ D f .x C h/ � f .x � h/2h

Fórmula centrada

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6/49� Consideremos el desarrollo en serie de Taylor,

f .x C h/ D f .x/C f 0.x/hC f 00.x/2

h2 C f 000.x/6

h3 C � � �

f .x � h/ D f .x/ � f 0.x/hC f 00.x/2

h2 � f000.x/6

h3 C � � �

� Si despejamos de la primera igualdad f 0.x/ se obtiene la fórmula hacia adelantede su aproximación:

f 0.x/ D f .x C h/ � f .x/h

� f00.x/2

hC � � � � f .x C h/ � f .x/h

más un resto de primer orden: O.h/.

� Si despejamos de la segunda igualdad, igualmente f 0.x/, se obtiene la fórmulahacia atrás de su aproximación:

f 0.x/ D f .x/ � f .x � h/h

C f 00.x/2

hC � � � � f .x/ � f .x � h/h

más un resto también de primer orden: O.h/.

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� Restando las dos desigualdades y despejando f 0.x/ se llega a la fórmula centrada:

f 0.x/ D f .x C h/ � f .x � h/2h

� f000.x/6

h2 C � � � � f .x C h/ � f .x � h/2h

:

El resto en este caso es de segundo orden, O.h2/.

� Sumando las dos desigualdades y despejando f 00.x/ se obtiene la fórmulacentrada de la segunda derivada:

f 00.x/ D f .x C h/ � 2f .x/C f .x � h/h2

� f.4/.x/

12h2 C � � �

� f .x C h/ � 2f .x/C f .x � h/h2

;

con un resto de segundo orden, O.h2/.

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8/49� En el cálculo numérico de derivadas en entornos de precisión finita se cometenerrores significativos. Por ejemplo, la aproximación de las derivadas de ex produceestos resultados:

h f .x/ D ex; xD1 f .xCh/�f .x/h

error f .x/�f .x�h/h

f .xCh/�f .x�h/2h

error f .xCh/�2f .x/Cf .x�h/

h2

1e-01 2.718281828459046 2.858841954873879 0.140560126414833 2.586787173020957 2.722814563947418 0.004532735488372 2.7205478185292181e-02 2.718281828459046 2.731918655787080 0.013636827328035 2.704735610978304 2.718327133382692 0.000045304923646 2.7183044808776201e-03 2.718281828459046 2.719641422532781 0.001359594073736 2.716923140478667 2.718282281505724 0.000000453046678 2.7182820541149511e-04 2.718281828459046 2.718417747078483 0.000135918619438 2.718145918900738 2.718281832989611 0.000000004530565 2.7182817774473731e-05 2.718281828459046 2.718295419912308 0.000013591453263 2.718268237122956 2.718281828517632 0.000000000058586 2.7182789352764301e-06 2.718281828459046 2.718283186986525 0.000001358527479 2.718280469604650 2.718281828295587 0.000000000163458 2.7173818750725321e-07 2.718281828459046 2.718281963964841 0.000000135505795 2.718281693070423 2.718281828517632 0.000000000058586 2.7089441800853811e-08 2.718281828459046 2.718281777447373 0.000000051011673 2.718281866265215 2.718281821856294 0.000000006602752 -8.8817841970012491e-09 2.718281828459046 2.718281599811689 0.000000228647357 2.718282043900898 2.718281821856293 0.000000006602752 -444.08920985006231e-10 2.718281828459046 2.718278935276429 0.000002893182616 2.718283376168528 2.718281155722479 0.000000672736567 -44408.920985006231e-11 2.718281828459046 2.718270053492232 0.000011774966813 2.718314462413217 2.718292257952725 0.000010429493679 -4440892.0985006231e-12 2.718281828459046 2.718270053492233 0.000011774966813 2.718714142702083 2.718492098097158 0.000210269638112 -444089209.85006241e-13 2.718281828459046 2.713385072183882 0.004896756275163 2.722266856380883 2.717825964282383 0.000455864176663 -88817841970.012491e-14 2.718281828459046 2.664535259100375 0.053746569358670 2.753353101070388 2.708944180085382 0.009337648373664 -8881784197001.250

� Como vimos al hablar de errores, estos disminuyen a medida que aumenta hdesde valores próximos a la precisión de la máquina, alcanzan un mínimo,aproximadamente en h D log10.eps/=2 para la derivada adelantada y atrasada,y luego aumentan otra vez debido a los errores de redondeo y la precisión de lamáquina en las operaciones.

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� Un pequeño script de Matlab para calcular esa tabla y ver gráficamente laevolución del error es este.

% Fichero Derivadas_ex_1.m para simular derivación de e^x

h = 1; e=exp(1);f=fopen(’Salida_derivadas_1’,’w’);for i=1:14

h=h/10;der1 = (exp(1+h)-e)/h; err1=abs(der1-e); der2=(e-exp(1-h))/h;der3 = (exp(1+h)-exp(1-h))/2/h; err2=abs(der3-e);der4 = (exp(1+h)-2*e+exp(1-h))/(h*h);fprintf(f,’%6.0e %18.15f %18.15f %18.15f %18.15f %18.15f ’,...

’%18.15f %18.15f\n’,h,e,der1,err1,der2,der3,err2,der4);endfclose(’all’);h=0.5; R=zeros(32,3);for i=1:32

fd=(exp(1+h)-e)/h;cd=(exp(1+h)-exp(1-h))/(2*h);R(i,:)=[h abs(fd-e) abs(cd-e)];h=h/2;

endloglog(R(:,1),R(:,2),’+’,R(:,1),R(:,3),’or’)legend(’Derivadas avanzadas’,’Derivadas centradas’,’Location’,’NorthWest’);xlabel(’h’);ylabel(’error’); %axis([0 1 0.95 2]);

10-10 10-8 10-6 10-4 10-2 100

h

10-12

10-10

10-8

10-6

10-4

10-2

100

erro

r

Derivadas avanzadasDerivadas centradas

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10/49Fórmulas centradas de segundo orden o superior

� A la ya conocida de O.h2/ vamos añadir la de cuarto orden. Se desarrollan enserie de Taylor f .x ˙ 2h/ y f .x ˙ h/:

f .x C 2h/Df .x/C f 0.x/2hC f 00.x/4h2

2ŠC f 000.x/8h3

3ŠC f .4/.x/16h

4

4ŠCO.h5/

f .x � 2h/ Df .x/ � f 0.x/2hC f 00.x/4h2

2Š� f 000.x/8h3

3ŠC f .4/.x/16h

4

4ŠCO.h5/

f .x C h/ Df .x/C f 0.x/hC f 00.x/h2

2ŠC f 000.x/h3

3ŠC f .4/.x/h

4

4ŠCO.h5/

f .x � h/ Df .x/ � f 0.x/hC f 00.x/h2

2Š� f 000.x/h3

3ŠC f .4/.x/h

4

4ŠCO.h5/

� Restando dos a dos:f .x C 2h/ � f .x � 2h/Df 0.x/4hC f 000.x/16h3

3ŠCO.h5/

f .x C h/ � f .x � h/ Df 0.x/2hC f 000.x/2h3

3ŠCO.h5/:

Restando a la primera diferencia la segunda multiplicada por 8f .xC2h/ � 8f .xCh/C 8f .x�h/ � f .x�2h/Df 0.x/ .4h � 16h/CO.h5/;

y de aquí a

f 0.x/D�f .x C 2h/C 8f .x C h/ � 8f .x � h/C f .x � 2h/12h

CO.h4/:

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11/49� Otras fórmulas centradas de segundo y cuarto orden son las que siguen (notaciónfk D f .x C kh/, k D �3, �2, �1, 0, 1, 2, 3).

Fórmulas centradas de orden O.h2/

f 0.x/� f1�f�1

2h

f 00.x/� f1�2f0Cf�1

h2

f 000.x/� f2�2f1C2f�1�f�2

2h3

f .4/.x/� f2�4f1C6f0�4f�1�f�2

h4

Fórmulas centradas de orden O.h4/

f 0.x/� �f2C8f1�8f�1Cf�2

12h

f 00.x/� �f2C16f1�30f0C16f�1�f�2

12h2

f 000.x/� �f3C8f2�13f1C13f�1�8f�2Cf�3

8h3

f .4/.x/� �f3C12f2�39f1C56f0�39f�1C12f�2�f�3

6h4

� Se pueden también obtener fórmulas parecidas para las derivadas adelantadas yatrasadas.

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Extrapolación de Richardson Lewis Fry Richardson, ReinoUnido, 1881-1953.

� Su idea es extrapolar el valor de f .0/ calculando el valor de f a varios pasos hde distancia de f .0/ de cara conocer el comportamiento de esa función cuandoh! 0.

� Supongamos que para algún p y r , r > p, es f .h/ D a0 C a1hp CO.hr/según tiende h! 0 .

� Supongamos que se conocen los valores de p y r , pero no los de a0 y a1(precisamente f .0/ D a0 es lo que se quiere obtener).

� También supondremos que se ha calculado ya f para dos pasos h y h=q, siendoq cualquier entero positivo.

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� Se tendrá que

f .h/D a0 C a1hp CO.hr/f .h=q/D a0 C a1.h=q/p CO.hr/ D a0 C a1q�php CO.hr/:

Éste es una sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas: a0 y a1.

� Si se resuelve, se obtiene que

a0 D f .h/C f .h/ � f .h=q/q�p � 1 CO.hr/;

cuya precisión ahora es O.hr/, mejor que la anterior O.hp/, pues r > p.

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� Ejemplo Usaremos la extrapolación de Richardson para mejorar la precisióncon la que se calcula la derivada de sen.x/ en x D 1.

� Utilizando la fórmula adelantada de derivación se tiene que

F.h/ D a0 C a1hCO.h2/

por lo que aquí p D 1 y r D 2.

� Si se usan los valores h D 0;5 y h D 0;25 (es decir q D 2), se tiene que

F.h/ D sen.1C h/ � sen.1/h

D sen.1;5/ � sen.1/0;5

D 0;312048

F.h=2/ D sen.1;25/ � sen.1/0;25

D 0;430055:

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� El valor extrapolado es entonces

F.0/ D a0 D F.h/C F.h/ � F.h=2/.1=2/ � 1 D 2F.h=2/ � F.h/ D 0;548061;

frente al exacto que es cos.1/ D 0;540302.

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4 El valor extrapolado es entonces

F.0/ D a0 D F.h/C F.h/ � F.h=2/.1=2/ � 1 D 2F.h=2/ � F.h/ D 0;548061;

frente al exacto que es cos.1/ D 0;540302.

Example Continued

Extrapolated value is then given by

F (0) = a0 = F (h) +F (h)− F (h/2)

(1/2)− 1

= 2F (h/2)− F (h) = 0.548061

For comparison, correctly rounded result is given

by cos(1) = 0.540302

...................

...................

...................

...................

...................

...................

...................

...................

...................

...................

...................

...................

...................

...................

...................

...................

...................

.............................

..........................

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ..........................

F

h0 0.25 0.5

0.5

1.0

••• ....................................................................................... ......................................................................

...............................................................................................

...................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................

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Valor extrapolado

Valores calculados

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16/49Fórmulas basadas en el polinomio de interpolación deNewton

� Se utiliza cuando se trata de derivar una función de la que se conocen sólo unosdatos. En especial cuando esos datos están desigualmente espaciados.

� A esos datos, .x0; f .x0//, .x1; f .x1// ; : : :, se les interpola el polinomio deNewton

p.x/ D b0 C b1.x � x0/C b2.x � x0/.x � x1/donde

b0 D f .x0/; b1 D f .x1/ � f .x0/x1 � x0 y b2 D

f .x2/�f .x1/x2�x1 � f .x1/�f .x0/

x1�x0x2 � x0 :

� Luego se deriva el polinomio y se evalúa para los distintos puntos:

p0.x/Db1Cb2�.x � x0/C.x � x1/

�que para xDx0; p0.x0/Db1Cb2.x0 � x1/:

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� Las derivadas adelantadas, centradas y atrasadas, en x0 por ejemplo, se puedencalcular haciendo en ese polinomio x1 D x0 C h y x2 D x0 C 2h. Con lanotación abreviada,

b1 D f1 � f0h

; b2 Df2�f1h� f1�f0

h

2hD f0 � 2f1 C f2

h2:

A partir de ahí,

p0.x0/D b1Cb2.x0 � x1/Db1 � b2hD2f1�f02h� f0�2f1Cf2

2h2h D

D �3f0C4f1�f22h

;

que es la fórmula adelantada.

� Para x1 D x0 C h y x2 D x0 � h se tendría la fórmula centrada y conx1 D x0 � h y x2 D x0 � 2h la atrasada.

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Derivación simbólica con Matlab

� Con las utilidades simbólicas de Matlab se pueden obtener las fórmulassimbólicas de las derivadas de diversas funciones.

� Por ejemplo:

» syms x;» f=sin(3*x);» f1=diff(f)f1 =3*cos(3*x)» f2=sin(x)^7f2 =sin(x)^7» f3=diff(f2)f3 =7*cos(x)*sin(x)^6

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� Aquí se pueden ver gradient y lo que permite obtener.

% Fichero Derivada_quiver_1.mg=@(x,y) y-x-2*x.^2-2.*x.*y-y.^2;[x,y]=meshgrid(-2:.1:0, 1:.1:3); z=g(x,y);figure, mesh(x,y,z)[gx,gy]=gradient(z,0.25);figure%cs=contour(x,y,z); clabel(cs); hold onquiver(x,y,-gx,-gy);hold off

-5

-4

-3

-2

-1

-1

0

01

-2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 01

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

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Índice

� Introducción

� Derivación numérica de funciones

� Integración de funciones

� Fórmulas de Newton-Cotes� Fórmulas abiertas y cerradas� Método de Romberg� Cuadratura de Gauss-Legendre� Cuadratura adaptativa

h i j

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1 2 3

21/49Integración de funciones

� Dada una función f W R! R su integral definida en Œa b�,

I.f / Dl b

a

f .x/ dx;

se define como el límite de las sumas de Riemann,Georg Friedrich BernhardRiemann, Alemania, 1826-1866.

Rn DnXiD1

.xiC1 � xi/ f .ti/; x1 D a; xnC1 D b; xi � ti � xiC1

cuando la partición en subintervalos de Œa; b� se hace muy fina.

� La integral de Lebesgue generaliza la noción de la integral de Riemann paraextender el concepto de área bajo una curva e incluir funciones discontinuas.

Henrí Léon Lebesgue, Francia 1875-1941

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22/49� La integración numérica, o cuadratura, se refiere al cálculo numérico de esaintegral. Es necesaria cuando:

1. La función f .x/ sólo se conoce en punto concretos.

2. No se conoce la primitiva de la función f .x/.

3. La primitiva no es calculable:R 10e�x

2dx o

R �=20

p1C cos2.x/ dx.

4. Aunque se conozca la primitiva de la función, su cálculo es tan costoso que esmejor usar un método aproximado o más sencillo para calcularla.

5. Otras causas : : :

� Para integrar una función f .x/ complicada, se puede sustituir por un polinomiopn.x/ que interpola puntos concretos de aquella en el intervalo dado y luego serealiza la integración exacta de este polinomio.

� Se llama grado de precisión de la fórmula de integración al máximo grado de lospolinomios que son integrados exactamente por dicha fórmula.

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� Para calcular numéricamente el valor de una integral se recurre por lo general aun sumatorio de ciertos valores de la función, o de una aproximación, en unospuntos llamados nodos, xi , multiplicados por unos coeficientes de ponderacióndenominados pesos, wi :ˇ b

a

f .x/ dx DniiD1

wif .xi/:

� Esta sustitución supone cambiar un sumatorio infinito (la integral) por unsumatorio finito, por lo que se producirá un error de truncamiento.

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Fórmulas de Newton-Cotes Roger Cotes, Inglaterra, 1682-1716.

� Obtenidas a partir del polinomio de interpolación de Newton de la función aintegrar con argumentos igualmente espaciados (fórmula de diferencias finitas).

Regla del trapeciopol. primer grado

Z x1

x0

f .x/dx � h

2.f0 C f1/ error D �h3

12f 00.�/

Regla de Simpsonpol. segundo grado

Z x1

x0

f .x/dx � h

3.f0 C 4f1 C f2/ error D �h5

90f .4/.�/

Regla de Simpson 38

pol. tercer grado

Z x1

x0

f .x/dx � 3h

8.f0 C 3f1 C 3f2 C f3/ error D �3h5

80f .4/.�/

Regla de Boolepol. cuarto grado

Z x1

x0

f .x/dx � 2h

45.7f0 C 32f1 C 12f2 C 32f3 C 7f4/ error D �8h7

945f .6.�/

donde fk indica f .x0 C kh/.

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25/49Fórmula compuesta del trapecio

� Resulta de aplicar la regla o fórmula del trapecio —polinomio de primer grado—a los m subintervalos en el que se divide el original Œa; b�.

ETSII-UPM

Fórmulas de Newton-Cotes (4/4)� El cálculo de los errores de las restantes fórmulas de Newton-Cotes

es bastante laborioso y no se incluye en estas trasparencias.� Interpretación gráfica de la regla trapezoidal y las dos reglas de

Simpson:

ETSII-UPM

Fórmulas abiertas y cerradas� Concepto de fórmula de integración abierta

� Se llama abierta a una fórmula de integración numérica que no evalúa la función integrando en uno o en los dos extremos del intervalo.

� Las fórmulas abiertas son útiles cuando no se conoce la función en un extremo o tiene un valor infinito (integrales impropias).

� Un caso de gran interés práctico son las fórmulas de Adams, que utilizan npuntos, pero sólo desean calcular la integral en el último tramo (ver figuras)

Adams

abierta cerrada

Newton-Cotes

abierta cerrada

ˇ b

a

f .x/ dxDmiiD1

l xi

xi�1

f .x/ dx � h

2.f0Cf1/C � � � C h

2.fm�1Cfm/

Dh2.f0 C 2f1 C 2f2 C � � � C 2fm�1 C fm/ :

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26/49� El error que se comete esˇ b

a

f .x/ dx D h

2

0B@ miiD1

.fi�1 C fi/

1CA � b � a12

h2f 00.�/:

� Pongamos todo en un script de Matlab para calcularZ 1

0

1

.1C x/ dx cuya

solución es ln.2/.

function T = trapezrule(f,a,b,m)% Integración trapecio compuestox = linspace(a,b,m+1); % subintervalosT = (f(a)+f(b))/2; % comienzo y finalfor i = 1:m-1

T = T + f(x(i+1)); % interior intervaloendT = T*(b-a)/m; % multiplica por h

end

function f = intfun_1(x)% Función que se integraf = 1./(1+x);

end

>> for k=0:8disp(trapezrule(@intfun_1,0,1,2^k))end

0.7500000000000000.7083333333333330.6970238095238090.6941218503718500.6933912022075270.6932082082692490.6931624388834030.6931509952281080.693148134232443

>> log(2)ans =

0.693147180559945

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Fórmula compuesta del Simpson Thomas Simpson, Inglaterra,1710-1761.

� Sigue la misma estrategia de la fórmula del trapecio, pero ajustando una parábolaa tres puntos de cada subintervalo.

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Fórmulas de Newton-Cotes (4/4)� El cálculo de los errores de las restantes fórmulas de Newton-Cotes

es bastante laborioso y no se incluye en estas trasparencias.� Interpretación gráfica de la regla trapezoidal y las dos reglas de

Simpson:

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Fórmulas abiertas y cerradas� Concepto de fórmula de integración abierta

� Se llama abierta a una fórmula de integración numérica que no evalúa la función integrando en uno o en los dos extremos del intervalo.

� Las fórmulas abiertas son útiles cuando no se conoce la función en un extremo o tiene un valor infinito (integrales impropias).

� Un caso de gran interés práctico son las fórmulas de Adams, que utilizan npuntos, pero sólo desean calcular la integral en el último tramo (ver figuras)

Adams

abierta cerrada

Newton-Cotes

abierta cerrada

ETSII-UPM

Fórmulas compuestas (1/2)� Se obtienen aplicando sucesivamente una fórmula más sencilla. De

esta forma se pueden cubrir intervalos de integración largos sin utilizar fórmulas de orden muy elevado.

� Regla trapezoidal compuesta� Se descompone el intervalo [a,b] en M subintervalos xk=a+kh, k=0,1,...,M

� Error:

� Interpretación geométrica:

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Fórmulas compuestas (2/2)� Regla de Simpson compuesta

� M subintervalos de 3 puntos cada uno de ellos� 2M+1 puntos de abscisas xk=a+kh, k=0,1,...,2M� Distancia entre puntos h=(b�a)/2M

� Error de la regla de Simpson compuesta:

� Interpretación geométrica:

� Si Œa; b� se subdivide en m intervalos, habrá 2mC 1 puntos de abscisasxi D aC ih, i D 0; 1; : : : ; 2m. La distancia entre los puntos seráh D .b � a/=2m.

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� La integral esl b

a

f .x/ dxDmiiD1

l xi

xi�1

f .x/ dx � h

3.f0C4f1Cf2/C

Ch3.f2C4f3Cf4/C � � � C h

3.f2m�2C4f2m�1Cf2m/

Dh3.f0 C 4f1 C 2f2 C 4f3 C 2f4 � � � C 2f2m�2 C 4f2m�1 C f2m/ :

� El error que se comete,ˇ b

a

f .x/ dx D h

3

0B@ miiD1

.f2i�2 C 4f2i�1 C f2i/

1CA � b � a180

h4f .4/.�/:

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29/49� Hagámoslo en Matlab paraZ 1

0

1

1C xdx.

function I = simpson_1(f,a,b,n)% Integración de f en [a,b] con la regla de Simpson en n+1% puntos igualmente espaciadosh = (b-a)/n;xi = a:h:b;I = (h/3)*(f(xi(1))+2*sum(f(xi(3:2:end-2)))+4*sum(f(xi(2:2:end)))+f(xi(end)));

end

function f = intfun_1(x)% Función que se integraf = 1./(1+x);

end

� Si lo probamos:

>> for k=0:8disp(simpsons(@intfun_1,0,1,2^k))end

1.1666666666666670.6944444444444440.6932539682539680.6931545306545310.6931476528194190.6931472102898230.6931471824214550.6931471806763430.693147180567221

>> log(2)ans =

0.693147180559945

� La precisión es apreciablemente superior.

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Fórmulas abiertas y cerradas

� Se llama abierta a una fórmula de integración numérica que no evalúa la funciónintegrando en uno o en los dos extremos del intervalo.

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Fórmulas abiertas y cerradas Concepto de fórmula de integración abierta

Se llama abierta a una fórmula de integración numérica que no evalúa la función integrando en uno o en los dos extremos del intervalo.

Las fórmulas abiertas son útiles cuando no se conoce la función en un extremo o tiene un valor infinito (integrales impropias).

Un caso de gran interés práctico son las fórmulas de Adams, que utilizan npuntos, pero sólo desean calcular la integral en el último tramo (ver figuras)

Adams

Newton-Cotes

Newton-Cotes abierta NewtonCotes cerrada

� Las fórmulas abiertas son útiles cuando no se conoce la función en un extremo otiene un valor infinito (integrales impropias).

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� La regla del punto medio, aplicable a funciones cuya segunda derivada escontinua en Œa; b�, es muy útil en estos casos.l x1

x0

f .x/ dx D hf .w/C h3

24f 00.c/;

donde h D .x1 � x0/, w es el punto medio, es decir x0 C h=2 y c está entre x0y x1. Su versión compuesta esl b

a

f .x/ dx D h

0B@ miiD1

f .wi/

1CAC .b � a/h224

f 00.c/:

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� Ejemplo Aproximemos

l 1

0

sen.x/x

dx con la regla del punto medio

compuesta; m D 10.

� Los puntos medios son 0;05, 0;15; : : : ; 0;95 y la formula daría lo que sigue:ˇ 1

0

f .x/ dx � 0;1

10X1

f .mi/

!D 0;94620858:

No está mal; la cifra correcta con 15 dígitos es 0;946083070367183.

>> syms x;>> f = sin(x)/xf =sin(x)/x>> F = int(f, x)F =sinint(x)>> int(f, x, 0, 1)ans =sinint(1)>> format long>> sinint(1)ans =

0.946083070367183

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� Otra regla útil aplicable a las fórmulas de Newton-Cotes esˇ x4

x0

f .x/ dx D 4h

3

�2f .x1/ � f .x2/C 2f .x3/

�C 14h

5

45f .4/.c/;

donde h D .x4 � x0/=4, x1 D x0 C h, x2 D x0 C 2h, x3 D x0 C 3h yx0 < c < x4.

� Existen bastantes otras, por ejemplo,ˇ x6

x0

f .x/ dx D 6h

20

�11f .x1/�14f .x2/C26f .x3/�14f .x4/C11f .x5/

�C41h

7

140f .6/.c/;

donde x0 < c < x6.

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John Couch Adams, ReinoUnido, 1819-1892.

� Un caso de apreciable interés práctico son las fórmulas de Adams que utilizan npuntos, pero sólo desean calcular la integral en el último tramo (como se apreciaen la figura).

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Fórmulas abiertas y cerradas Concepto de fórmula de integración abierta

Se llama abierta a una fórmula de integración numérica que no evalúa la función integrando en uno o en los dos extremos del intervalo.

Las fórmulas abiertas son útiles cuando no se conoce la función en un extremo o tiene un valor infinito (integrales impropias).

Un caso de gran interés práctico son las fórmulas de Adams, que utilizan npuntos, pero sólo desean calcular la integral en el último tramo (ver figuras)

Adams

Newton-Cotes

Adams abierta Adams cerrada

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Método de Romberg Werner Romberg, Alemania,1909-2003.

� Está basado en la extrapolación de Richardson. Permite mejorar recursivamente laaproximación de las fórmulas compuestas con poco trabajo adicional.

� Se divide Œa; b� en un número de subintervalos potencia de 2: 1, 2, 4, 8; : : : y secalculan las integrales con la fórmula del trapecio.Los resultados se denominan R11, R21, R31; : : : Ri1.

� A partir de estas integrales, mediante extrapolación de Richardson, se calculanotras R22, R32; : : : ; Ri2, de error menor: O.h4/.

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� Por ejemplo, si se desea trabajar con i D 4, y el valor de la función enf .a/ D f1, f2, f3, f4, f5, f6, f7, f8, f9 D f .b/, se tendrá que

R11 D b�a2.f .a/C f .b// D h1

2.f1 C f9/

R21 D h2

2

�f .a/C f .b/C 2f �aCb

2

�� D h2

2.f1 C 2f5 C f9/

D 12R11 C h2f5

R31 D h3

2.f1 C 2f3 C 2f5 C 2f7 C f9/

D 12R21 C h3 .f3 C f7/

R41 D h4

2

�f1 C 2f2 C 2f3 C 2f4 C 2f5 C 2f6 C 2f7 C f9

�D 1

2R31 C h4 .f2 C f4 C f6 C f8/

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37/49� Las extrapolaciones que se hacen son, a partir de Richardson,

R22 D 22R21 �R113

R32 D 22R31 �R213

R42 D 22R41 �R313

� Con una fórmula de recurrencia para cada coeficiente jk, k > 1,

Rjk D4k�1Rj;k�1 �Rj�1;k�1

4k�1 � 1 :

� Al final se llega a una tabla general

R11R21 R22R31 R32 R33R41 R42 R43 R44::: : : :

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� Programa con el método de Romberg y su uso paraZ 2

1

ln.x/ dx:

function R = romberg(f, a, b, n)% Calcula una integral definida en el intervalo [a,b]% con la tabla de n filas de la fórmula de RombergR = zeros(n,n);h = (b-a)./(2.^(0:n-1));R(1,1) = (b-a)*(f(a)+f(b))/2;for i = 2:n

subtotal = 0;for j=1:2^(i-2)

subtotal = subtotal + f(a+(2*j-1)*h(i));endR(i,1) = R(i-1,1)/2+h(i)*subtotal;for k=2:i

R(i,k)=(4^(k-1)*R(i,k-1)-R(i-1,k-1))/(4^(k-1)-1);end

endend

>> romberg(@log,1,2,4)ans =0.346573590279973 0 0 00.376019349194069 0.385834602165434 0 00.383699509409442 0.386259562814567 0.386287893524509 00.385643909952095 0.386292043466313 0.386294208843096 0.386294309086248

>> 2*log(2)-1ans =

0.386294361119891>> format short e>> romberg(@log,1,2,5)ans =3.4657e-001 0 0 0 03.7602e-001 3.8583e-001 0 0 03.8370e-001 3.8626e-001 3.8629e-001 0 03.8564e-001 3.8629e-001 3.8629e-001 3.8629e-001 03.8613e-001 3.8629e-001 3.8629e-001 3.8629e-001 3.8629e-001

>> 2*log(2)-1-ans(5,5) % Comprobación del resultado numéricoans =

1.8772e-010>> syms x; % Hagamos todo de forma simbólica>> f = log(x)f =log(x)>> F = int(f, x)F =x*(log(x) - 1) % Primitiva de la integral>> int(f, x, 1, 2)ans =log(4) - 1>> format long>> log(4)-1ans =

0.386294361119891

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Cuadratura de Gauss-Legendre Andrien-Marie Legendre,Francia, 1752-1833.

� En este procedimiento se permite variar la posición de los nodos para mejorar laprecisión del resultado.

� En la figura se muestra cómo se puede obtener una mejor aproximación con sólodos nodos haciendo que no sean los extremos del intervalo.

ETSII-UPM

Método de Gauss-Legendre (1/6) Características del método de Gauss-Legendre

Se permite variar la posición de los nodos para mejorar el orden del método. Se trabaja en un intervalo de integración normalizado [−1, 1]. Con n puntos de integración y n pesos por determinar se pueden satisfacer 2n

condiciones, como por ejemplo integrar exactamente las 2n primeras potencias de x (desde x0 a x2n−1). Con esto el método será de orden 2n−1 pues integrará exactamente cualquier polinomio de dicho grado.

Las siguientes figuras muestran cómo se puede obtener mejor aproximación con dos nodos haciendo que no sean los extremos del intervalo.

-1 1 -1 1

� Se trabaja en un intervalo de integración normalizado: Œ�1; 1�.

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� La fórmula general de la cuadratura de Gauss-Legendre esˇ 1

�1f .x/ dx �

niiD1

cif .xi/;

donde los nodos, xi , son las raíces de los polinomios de Legendre de grado n enel intervalo Œ�1; 1�.

� Los coeficientes, o pesos, ci , están tabulados para integrar exactamentepolinomios de hasta grado 2n � 1.

� Con n puntos de integración, y n pesos por determinar, se pueden satisfacer 2ncondiciones, como por ejemplo integrar exactamente las 2n primeras potencias dex, desde x0 a x2n�1. Con esto el método será de orden 2n � 1 de precisión puesintegrará exactamente cualquier polinomio de dicho grado.

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n nodos xi coeficientes ci

2-p1=3 = -0,57735026918963 1 = 1,00000000000000p1=3 = 0,57735026918963 1 = 1,00000000000000

3

-p3=5 = -0,77459666924148 5=9 = 1,555555555555550 = 0,00000000000000 8=9 = 1,88888888888888p

3=5 = -0,77459666924148 5=9 = 1,55555555555555

4

-q

15C2p

3035

= -0,86113631159405 90�5p

3180

= 0,34785484513745

-q

15�2p

3035

= -0,33998104358486 90C5p

3180

= 0,65214515486255q15�2

p30

35= 0,33998104358486 90C5

p3

180= 0,65214515486255q

15C2p

3035

= 0,86113631159405 90�5p

3180

= 0,34785484513745

5

-0,93246951420315 0,17132449237917-0,66120938646626 0,36076157304814-0,23861918608320 0,467913934572690,23861918608320 0,467913934572690,66120938646626 0,360761573048140,93246951420315 0,17132449237917

Nodos y pesos, n D 2; : : : 5, para la cuadratura de Gauss-Legendre

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42/49� Ejemplo Aproximemos con cuadratura de Gauss-Legendre la integrall 1

�1e�

x2

2 dx:

� El valor exacto con 14 dígitos es 1,71124878378430.>> format long>> syms x;>> f = exp(-x^2/2)f =exp(-x^2/2)>> int(f, x, -1, 1)ans =2^(1/2)*pi^(1/2)*erf(2^(1/2)/2)>> double(ans)ans =

1.711248783784298

� Con dos nodos, la aproximación esl 1

�1e�

x2

2 dx � c1f .x1/C c2f .x2/ D 1 � f .�p1/3/C 1 � f .p1/3/ � 1,69296344978123:

Con tres nodos 59f .�p3/5/C 8

9f .0/C 5

9f .p

3/5/ � 1,71202024520191.

Con cuatro c1f .x1/C c2f .x2/C c3f .x3/C c4f .x4/ � 1,71122450459949:

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9 4 6 5

1 2 3

43/49� Para calcular en Œa; b� los n nodos y pesos de Gauss-Legendre.

function [x,w]=lgwt(N,a,b)% Calcula los N nodos y pesos de Gauss-Legendre en el intervalo [a,b]% para el cálculo de integrales definidas.% Si se quiere calcular la integral de f(x) es ese intervalo% calcular el valor de f(x) en todos los puntos del vector x.% La integral es sum(f.*w);N=N-1; N1=N+1; N2=N+2; xu=linspace(-1,1,N1)’;y =cos((2*(0:N)’+1)*pi/(2*N+2))+(0.27/N1)*sin(pi*xu*N/N2);L =zeros(N1,N2); % Matriz Legendre-Gauss VandermondeLp=zeros(N1,N2); % Derivada de LGVM% Calcula ceros del Polinomio de Legendre de orden N+1 (Newt.-Rap)y0=2;while max(abs(y-y0))>eps % Tolerancia de nuevos puntos: eps

L(:,1) =1; Lp(:,1)=0;L(:,2) =y; Lp(:,2)=1;for k=2:N1

L(:,k+1)=((2*k-1)*y.*L(:,k)-(k-1)*L(:,k-1))/k;endLp = (N2)*( L(:,N1)-y.*L(:,N2) )./(1-y.^2);y0 = y; y = y0-L(:,N2)./Lp;

endx=(a*(1-y)+b*(1+y))/2; % Pasar de [-1,1] to [a,b]w=(b-a)./((1-y.^2).*Lp.^2)*(N2/N1)^2; % Cálculos de pesos

end

� Calculemos la integral del ejemplo anterior,

l 1

�1e�

x2

2 dx.

>> [x,w]=lgwt(6,-1,1);>> f=exp(-(x.^2)/2);>> sum(f.*w)ans =

1.711248771041351

Con 8 nodos y con la rutina deintegración quad de Matlab:

>> [x,w]=lgwt(8,-1,1);>> sum(exp(-(x.^2)/2).*w)ans =

1.711248783780728>> quad(’exp(-(x.^2)/2)’,-1,1,1.e-14)ans =

1.711248783784298

h i j

d e f g

a b c

10 8 7

9 4 6 5

1 2 3

44/49

� Para aproximar una integral en un intervalo cualquiera Œa; b� se tiene quel b

a

f .x/ dx � b � a2

nXiD1

cif

�.b � a/ zi C .b C a/

2

�!:

� Aproximemos por ejemplo la integrall 2

1

ln.x/ dx

usando cuadratura de Gauss-Legendre. De la ecuación anterior,l 2

1

ln.x/ dx Dl 1

�1ln�z C 32

�1

2dz:

Con cuatro nodos, la aproximación es 0,38629449693871.Comparada con la exacta, 2 ln 2 � 1, es decir 0,38629436111989, no está nada mal.

h i j

d e f g

a b c

10 8 7

9 4 6 5

1 2 3

45/49

Integrales múltiples

� La cuadratura de Gauss se puede utilizar para realizar integrales múltiplesaplicándola sucesivamente a cada una de las variables, como por ejemplo:Z 1

�1

Z 1

�1f .�; �/ d�d�D

Z 1

�1

nXiD1

�cif .�i ; �/

�d�D

nXiD1ci

Z 1

�1f .�i ; �/ d�

DnXiD1

ci

nXjD1

cjf .�i ; �j /DnXiD1

nXjD1

cicjf .�i ; �j /:

h i j

d e f g

a b c

10 8 7

9 4 6 5

1 2 3

46/49

Cuadratura adaptativa

� La idea es utilizar una táctica “divide y vencerás” subdividiendo el intervalo deintegración según los tramos de variabilidad de la función.

� Se comienza dividiendo Œa; b� en dos subintervalos iguales y se utiliza la fórmulade Simpson con h D .b � a/=2 para calcular una aproximación I1 �

R baf .x/dx.

� Se hace lo mismo con h=2 para obtener IL �R maf .x/dx y IR �

R bmf .x/dx,

donde m D .aC b/=2.

� Luego, por extrapolación de Richardson, se calcula I2 D IL C IR eI3 D I2 C I2�I1

15.

h i j

d e f g

a b c

10 8 7

9 4 6 5

1 2 3

47/49� Si recordamos los errores que se cometían con la fórmula de Simpson,Z b

a

f .x/dx D h

3.f0 C 4f1 C f2/ � h

5

90f .4/.c0/;

para dos subintervalosZ b

a

f .x/dx D IL � h5

32

f .4/.c1/

90C IR � h5

32

f .4/.c2/

90

D IL C IR � h5

16

f .4/.c3/

90:

Restando este resultado de la expresión anterior queda

I1 � .IL C IR/ D h5 f.4/.c0/

90� h5

16

f .4/.c3/

90

� 1516h3

f .4/.c3/

90:

� Como el error de I1 � .IL C IR/ es 15 veces el de la aproximación ILC IR de laintegral, se comprueba si ˇ̌

I1 � .IL C IR/ˇ̌< 15 � tol

y si no lo es, se dividen los dos subintervalos Œa;m� y Œm; b� en dos cada unohasta que se llegue a la precisión adecuada.

h i j

d e f g

a b c

10 8 7

9 4 6 5

1 2 3

48/49

� Pasemos a Matlab esta forma de operar.

function [q fnct] = quadadapt(f,a,b,tol)% Evalua la integral de f(x) en [a,b]global fnct % Veces que se evalúa la funciónif nargin<4 || isempty(tol), tol=1.e-6; endfnct = 0;c = (a+b)/2;fa = f(a);fc = f(c);fb = f(b);fnct = fnct+3;q = quadstep(f,a,b,tol,fa,fc,fb);

end

function q = quadstep(f,a,b,tol,fa,fc,fb)% Subfunction recurrente de quadadaptglobal fncth = b-a; c = (a+b)/2;fd = f((a+c)/2);fe = f((c+b)/2);fnct = fnct+2;q1 = h/6 * (fa+4*fc+fb);q2 = h/12 * (fa+4*fd+2*fc+4*fe+fb);if abs(q2-q1) <= tol

q = q2+(q2-q1)/15;else

qa = quadstep(f,a,c,tol,fa,fd,fc);qb = quadstep(f,c,b,tol,fc,fe,fb);q = qa + qb;

endend

h i j

d e f g

a b c

10 8 7

9 4 6 5

1 2 3

49/49

� Si lo utilizamos para integrar

ˇ 2�

27�

sen�1

x

�C32dx, se obtiene esto:

>> f1_Heath_2=@(x)sin(1./x)+3/2;>> [q fnct]=quadadapt(f1_Heath_2,2/(7*pi),2/pi,1.e-14)q =

0.984511912667507fnct =

3949%% Comprobación con cuadratura adaptativa de Simpson de MATLAB>> [q2 fnct1]=quad(f1_Heath_2,2/(7*pi),2/pi,1.e-14)q2 =

0.984511912667507fnct1 =

2069%% Cuadratura adaptativa de Lobatto de MATLAB>> [q2 fnct1]=quadl(f1_Heath_2,2/(7*pi),2/pi,1.e-14)q2 =

0.984511912667507fnct1 =

1308%% Con syms de Matlab>>syms x a b>> f=sin(1./x)+3/2;>> I=int(f,2/(7*pi),2/pi);>> double(I)ans =

0.984511912667507

0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6

0.5

1

1.5

2

2.5

x

sin(1/x)+3/2

� El número de veces que se evalúa la función es sensiblemente diferente con losmétodos probados.