Física Moderna II

POLINOMIOS DE LEGENDRE

Formación de la ecuación diferencial de los polinomios de Legendre a partir de la fórmula de Olindo Rodrígues

Los Polinomios de Legendre son una solución de un caso particular de la Ecuación de Legendre:

Partiendo de la fórmula de Olindo Rodrígues:

Pn(x )=1

2nn!D(n)( x2−1)n y llamando w=(x2−1)n→Pn ( x )= 1

2nn!D(n)w

derivando w en forma logarítmica

w'

w= n2 x

(x2−1)n

(x2−1)nw'−n2 xw=0

derivando n+1 veces

(x¿¿2−1)w(n+2)+(n+1 )2 x w(n+1)+(n+1 )nw(n)−2nx w(n+1)−2 (n+1 )nw(n)=0¿

(x¿¿2−1)w(n+2)+2 x w(n+1)−(n+1 )n w(n )=0¿

(x¿¿2−1) [w(n)] ' '+2x [w(n)] '−(n+1 )n [w(n) ]=0¿

Resulta entonces Pn ( x ) una integral particular de la ecuación diferencial de Legendre

(1−x¿¿2) y' '−2 x y '+n (n+1 ) y=0FormaCanónica¿

¿

Los Polinomios de Legendre como sistema Ortogonal

Los Polinomios de Legendre conforman un “sistema ortogonal” sobre el intervalo real [−1 ,1 ] con respecto al núcleo p(x)=1.

Def: Pn→ {Pn ( x ) }∈SistemaOrtogonal / [−1 ,1 ] ; p ( x )=1

Pm ( x )Pn ( x )=∫−1

1

Pm Pn=0 ,m≠n

Carlos Eduardo Espinoza, Alvaro Noé Mejía

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Se plantea la ecuación diferencial de Legendre para los pares (m, Pm) y (n, Pn)

[(1−x2)P'm ] '+(m+1 )mPm=0|¿Pn

[(1−x2)P'n ] '+(n+1 )n Pn=0|¿Pm

multiplicando las igualdades por Pn y Pm respectivamente se pueden restar miembro a miembro:

[(1−x2)P'm ] ' Pn−[(1−x2)P'

n ] ' Pm+[ (m+1 )m−(n+1)n ]PmPn=0

Los dos primeros términos se pueden expresar como:

[ (1−x2) P'm ] ' Pn−[ (1−x2 ) P'

n ] ' Pm=¿

¿ (1−x2 ) P' 'm Pn+(1−x2 ) ' P'

m Pn−(1−x2 ) P' 'nPm−(1−x2)' P '

n Pm

¿ (1−x2 ) [P' 'mPn−P ' '

nPm ]+(1−x2 ) ' [P'm Pn−P'

nPm ]definiendo el terminante W

W=( Pn Pm

P'n P '

m) , comm≠n , por lotanto :

W '=( Pn Pm

P' ' n P' 'm) , se puedeescribir entonces :

[ (1−x2) P'm ] ' Pn−[ (1−x2 ) P'

n ] ' Pm=(1−x2 )W '+(1−x2 ) 'W=[ (1−x2)W ] '

volviendo a la expresión original y reemplazando el último resultado queda:

[ (1−x2)W ] '+[ (m+1 )m−(n+1 )n ]PmPn=0

integrando en [−1 ,1 ] : [ (m+1 )m−(n+1 )n ]∫−1

1

PmPn=0.

El primer corchete se anula para m=n y m=−(n+1), por lo tanto para valores naturales de m yn

con m≠n, ∫−1

1

Pm Pn=0, lo cual demuestra la ortogonalidad sobre el intervalo real [−1 ,1 ] y con

respecto al núcleo p ( x )=1.

Deducción de los Polinomios de Legendre

Carlos Eduardo Espinoza, Alvaro Noé Mejía

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Partiendo de: (x2−1)n=∑k=0

n

¿¿

Derivando n veces

D(n)(x2−1)n=∑k=0

n

¿¿

¿∑k=0

n

¿¿

Que es la primera expresión de los Polinomios de Legendre salvo constante. Por otro lado recordando la convención Pn (1 )=1

D(n)(x2−1)n=D(n)¿¿∑k=0

n

(nk )D(k)¿

D(n)(x2−1)n |x=1=∑k=0

n

(nk )D(k)¿

¿(nn)D(n)¿

¿n !2n

De aquí se deduce la fórmula de Olindo Rodrígues: Pn(x )=1

2nn!D(n)( x2−1)n

Como verificación se deduce la expresión de los primeros Polinomios de Legendre a partir de esta fórmula.

P0 ( x )= 1

200 !D(0 ) (x2−1 )0=1

P1 (x )= 1

211!D(1 ) (x2−1 )1=x

P2 (x )= 1

222!D (2) (x2−1 )2=1

2(3 x2−1)

P3 ( x )= 1

233 !D (3) (x2−1 )3=1

2(5x3−3x )

Carlos Eduardo Espinoza, Alvaro Noé Mejía

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TABLA DE LOS PRIMEROS POLINOMIOS DE LEGENDRE

Carlos Eduardo Espinoza, Alvaro Noé Mejía

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Carlos Eduardo Espinoza, Alvaro Noé Mejía