plan de clases sistema de ecuaciones

8/19/2019 Plan de Clases Sistema de Ecuaciones

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Plan de clases

“Sistemas de Ecuaciones Lineales”

Introducción:

Dos ecuaciones con dos incógnitas cada una, determinan un sistema de

ecuaciones.

Contenidos:

Conceptuales:

* Sistemas de ecuaciones lineales.

* Mtodos de igualación, reducción, sustitución ! el de determinantes.

* Pro"lemas #ue se traducen a sistemas de ecuaciones lineales.

Procedimentales:

* $tili%ación de los mtodos de resolución numricos igualación, reducción,

sustitución ! el de determinantes en los sistemas de ecuaciones lineales de dos

ecuaciones ! dos incógnitas.

* &esolución gr'(ica de sistemas de ecuaciones lineales de dos ecuaciones ! dos

incógnitas.

* Clasi(icación de un sistema de acuerdo con su solución.

* Planteamiento de pro"lemas ! resolución mediante un sistema de ecuaciones

lineales de dos ecuaciones ! dos incógnitas.

)ctitudes:

* Incorporación al c'lculo de los sm"olos alge"raicos para resumir e interpretar

situaciones concretas.


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* +aloración de la precisión, la simplicidad ! la utilidad del lenguae alge"raico para

representar o resol-er di(erentes situaciones de la -ida cotidiana.

* )ctitud positi-a de los alumnos acia las matem'ticas.

/"eti-os:

Se pretende pro(undi%ar la a"ilidad del alumno en el maneo ! la comprensión

conceptual ! procedimental de las erramientas propios de las Matem'ticas

"'sica, teniendo presente sus posi"les aplicaciones como medio para optimi%ar el

tra"ao e0perimental.

Para ello se pretende #ue los alumnos puedan:

* &econocer situaciones #ue puedan ser resueltas por sistemas de

* &econocer situaciones #ue puedan ser resueltas por sistemas de ecuaciones

lineales.

* &esol-er sistemas de ecuaciones lineales con 1 incógnitas, utili%ando algunos de

los mtodos del sistema.

* Plantear ! resol-er pro"lemas ! desa(os #ue in-olucren sistemas de ecuaciones

lineales.

* 2raducir un pro"lema a lenguae alge"raico usando sistemas de ecuaciones

lineales en el planteamiento.

* Seleccionar ! organi%ar la in(ormación rele-ante.

Conocimientos pre-ios:

El alumno de"e sa"er:

* Concepto de igualdad numrica.

* Concepto de ecuación.

* 3ue es una ecuación de primer grado con una incógnita.

* &esolución de una ecuación de primer grado.


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* Propiedad uni(orme de la suma ! de la multiplicación.

* Sa"er gra(icar ecuaciones de primer grado.

Desarrollo:

Ecuación de primer grado con dos incógnitas

La (orma general:

* a04"!5c

a04"!5c

Donde 6 e 7 son incógnitas.

* a, ", c son n8meros reales cual#uieras, ! coe(iciente de las incógnitas.

* C termino independiente.

Para entrar en tema, empe%aremos con uno simple eemplo, DE L) EC$)CI/9:

041!5;

Para este tipo de ecuación

Se pueden encontrar, -arios

98meros de solución:

Como por eemplo...

65< ; >;41.


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Esto se de"e a #ue una ecuación con 1 incógnitas tiene in(initas soluciones.

2oda ecuación de primer grado con dos o m's incógnitas admites in(initas

soluciones.

2oda ecuación de primer grado con dos o m's incógnitas admites in(initas

soluciones.

Sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas

SIS2EM)S DE EC$)CI/9ES LI9E)LES:

Presentación del tema:

Mucos pro"lemas reales tienen #ue -er con situaciones en las cuales dos o m's

-alores cam"ian linealmente a la misma -e%. ) menudo, se desea allar cu'ndo

estos -alores ser'n iguales. Por eemplo, los -alores pueden ser la u"icación de

dos caminantes ! se desea determinar cu'ndo se encontrar'n los caminantes.

Cada -alor creciente se representa por una ecuación lineal. )s #ue -arios -alores

#ue cam"ian linealmente se representan por -arias ecuaciones lineales, llamadas

un sistema de ecuaciones lineales.

Identi(icar dónde los -alores ser'n iguales re#uiere resol-er el sistema, esto es,

allar los -alores de las -aria"les #ue acen ciertas todas las ecuaciones lineales

en el sistema.

En las matem'ticas, un sistema de ecuaciones es un conunto de dos o m's

ecuaciones con -arias incógnitas. $na solución para este sistema de"e

proporcionar un -alor para cada incógnita, de manera #ue ninguna de las

ecuaciones llegue a su contradicción. Es decir, el -alor #ue reemplacemos de"e


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acer cumplir la igualdad del sistema.

La (orma general es:

* a04"a5c

d04e!5(

a04"a5c

d04e!5(

En donde a, ", c, d, e, ( son n8meros reales.

* “0” e “!” son incógnitas del sistemas.

* a, ", d, e son coe(icientes de la incógnitas.

* c ! ( son trminos independientes.

Se indican #ue dos ecuaciones (orman un sistema, a"arc'ndolas con una lla-e.

)s por eemplo, para indicar #ue la ecuación 6475? ! la ecuación 6@751 (orman

sistema, ! se escri"e:

6475?

6@751

In(initos pares de -alores #ue satis(acen a la primera ecuación:

S=5 A=B; B A?B B AB@= B AFB1 B A B A@B=1 B G

7 los in(initos pares de -alores #ue satis(acen a la segunda ecuación:

S15 A>B= B A;B se satis(acen las dos ecuaciones.

5? 51

?5? 151

Por lo tanto, la solución del sistema, es:


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65<

75>

En este sistema de ecuación la solución resulto inmediata, por lo #ue se pudo

allar el resultado mentalmente, pero en la ma!ora de los casos no ocurre as, es

necesario encontrar mtodos generales #ue permitan resol-er cada sistema.

Estos mtodos son: el de igualación, sustitución, el de reducción por suma o resta,

! el de determinantes.

$n eemplo :

641!5; Como podemos o"ser-ar esta ecuación tra"aada anteriormente

64!5?= tiene in(initas soluciones.

Entonces, se puede encontrar pares de n8meros en donde se cumplen la primera

ecuación, ! no la segundaB o "ien se pueden encontrar -alor #ue se cumplan en la

segunda ecuación ! no en la primera. P/& L/ 3$E S/L/ H)7 $9 9IC/ P)&

DE 9$ME&/S 3$E +E&IJI3$E ) L)S D/S EC$)CI/9ES.

Empe%aremos por restar las ecuaciones:

04!5?=

041!5;

1!5>; 75=;

Encontramos #ue 75=;, aora nos #ueda "uscar un -alor #ue sola tenga 0.

Entonces usamos una de las dos ecuaciones, en este caso 041!5; ! lo

multiplicamos por 1, #ue es igual a 104!5, para luego restarlo con la otra


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ecuación:

104!5

64!5?=

65=> o"tu-imos 0 directamente.

65=>

S

75=;

65=>

S

75=;

“La solución de este sistema de ecuaciones en particular es el par de

n8meros #ue -eri(ica la dos ecuaciones al mismo tiempo, !a #ue un

sistema es e#ui-alente a otro, si tiene e0actamente el mismo conunto

de solución”.

El mtodo utili%ado para resol-er este sistema de ecuaciones (ue:

EL ME2/D/ DE &ED$CCI/9 P/& S$M) / &ES2).

Las operaciones -'lidas #ue utili%amos para encontrar la solución de un sistema !

#ue permiten encontrar sistemas de ecuaciones son: multiplicar o di-idir a una

ecuación por un n8mero distinto de cero ! sumar ! restar a una ecuación un

m8ltiplo de otra.

Las operaciones -'lidas #ue utili%amos para encontrar la solución de un sistema !

#ue permiten encontrar sistemas de ecuaciones son: multiplicar o di-idir a una

ecuación por un n8mero distinto de cero ! sumar ! restar a una ecuación un

m8ltiplo de otra.

El mtodo de reducción por suma o resta


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Para a(ian%ar m's este mtodo tam"in llamado de eliminación, se resume en los

siguientes pasos:

=K Se multiplican las ecuaciones por un n8mero con-eniente, para igualar el -alor

a"soluto de los coe(icientes de una misma incógnita, en las dos ecuaciones.

1K Seg8n #ue dicos coe(icientes resulten de igual o distinto signo, se restan o

suman las ecuaciones, con lo #ue se consigue eliminar dica incógnita. De all el

nom"re de eliminación o reducción.

>K Se resuel-e la ecuación de primer grado en la otra incógnita #ue as resulta.

K Se reempla%a esta por su -alor en una de las ecuaciones dada ! se o"tiene el

-alor de la primera incógnita o "ien se calcula esta incógnita por el mismo

mtodo.

) continuación se aplica este mtodo en un eemplo, para resol-er el siguiente

sistema:

1

>0@1!5@1

P&IME& P)S/: se o"ser-a en este eemplo, #ue "asta multiplicar la segunda

ecuación por > para igualar el -alor a"soluto de los coe(icientes de !, el sistema se

trans(orma en:

1

0@F!5@F

SE$9D/ P)S/: como los coe(icientes de ! tienen signos contrarios, se suman

miem"ro a miem"ro estas ecuaciones para eliminar la !. &esulta:

1

0@F!5@F

=05@1?


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/ tam"in es lo mismo plantearlo as:

1@F

=65@1?

2E&CE& P)S/: se resuel-e la ecuación en 0 #ue se aca"a de o"tener:

=05@1?

65@1?:=

65@1

C$)&2/ P)S/: se puede reempla%ar este -alor 05@1 en una ecuación del

sistema o "ien eliminar la 0, multiplicando la primera ecuación por > ! la segunda

por


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65@1

S

75;

65@1

S

75;

Luego la solución del sistema es:

Siguiendo con el eemplo :

641!5;

64!5?=

El mtodo utili%ado se denomina “mtodo de reducción por sumo o resta” !

consiste en encontrar una ecuación #ue posea solo una de las -aria"les del

sistema. Luego encontrar el -alor de la otra -aria"le repitiendo o no, el mismo

proceso.

El mtodo utili%ado se denomina “mtodo de reducción por sumo o resta” !

consiste en encontrar una ecuación #ue posea solo una de las -aria"les del

sistema. Luego encontrar el -alor de la otra -aria"le repitiendo o no, el mismo

proceso.

04!5?=

041!5;

1!5>

75=;


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Pero este -alor: !5=;, se puede reempla%ar en una de las dos ecuaciones, para

tener la solución de la otra incógnita, es decir, si !a o"tengo el -alor de una de las

incógnitas en este caso “!” la reempla%o en cual#uier ecuación, para o"tener la

otra incógnita, en este caso “0”.

)s: / "ien as:

04A1.=;5; 04A.=;5?=

04>5; 04F?5?=

05;@> 05?=@F?

05=> 05=>

APara cual#uier ecuación se o"tiene el mismo resultado

Se o"tiene el mismo resultado para cual#uiera de las dos ecuaciones.

7 tam"in se llegó al mismo resultado con el “mtodo de reducción por suma o

resta”.

Si lo reali%amos de esta (orma estaremos utili%ando una com"inación de mtodos,

primero para encontrar el -alor de “!” utili%amos el mtodo de reducción por suma

o resta, ! luego para encontrar el -alor de “0” utili%amos el mtodo de

S$S2I2$CI9.

El mtodo de sustitución depende de la (orma #ue tenga el sistema de

ecuaciones.

Primero a! #ue o"ser-ar #ue tipo de ecuación tengo, para luego -er cu'l ser' el

mtodo m's con-eniente a elegir para encontrar la solución del sistema.

Primero a! #ue o"ser-ar #ue tipo de ecuación tengo, para luego -er cu'l ser' el

mtodo m's con-eniente a elegir para encontrar la solución del sistema.


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Mtodo de sustitución:

Para a(ian%ar m's el mtodo, se resume en los siguientes pasos:

=K Se despea una de las incógnitas, en una de las ecuaciones del sistema.

1K Se sustitu!e en la otra ecuación dica incógnita por la e0presión o"tenida. De

all el mtodo de sustitución.

>KSe resuel-e la ecuación con una incógnita, #ue as resulta.

KEsta incógnita se reempla%a por el -alor o"tenido, en la e0presión #ue resulto al

despear la primera ! se calcula as el -alor de esta.

) continuación se aplica este mtodo, para resol-er el siguiente sistema:

104!5>

>0@1!5<

1

P&IME& P)S/: )l aplicar este mtodo es con-eniente o"ser-ar #ue incógnita !

en #ue ecuación es m's ('cil despear, para #ue #uede la incógnita despeada.

En este caso se -e #ue es la “!” en la ecuación 104!5>, despe'ndola se o"tiene:

104!5>

!5>@1!

SE$9D/ P)S/: Se reempla%a la “!” por el resultado o"tenido en la ecuación

>0@1!5


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1

2E&CE& P)S/: Se resuel-e esta ecuación de primer grado, cu!a incógnita 8nica

es “0”.

Para ello primero se e(ect8a la multiplicación indicada en el primer miem"ro ! se

o"tiene:

>0@F@05<

1

Se suma F a am"os >0@0@5

4!5>

!5>@

!5@=

651

S

75@=

651

S


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75@=

Luego la solución del sistema es:

En un sistema de ecuaciones, se puedo usar de(erentes mtodos para la

resolución de un sistema, es decir 1 mtodos di(erentes en un mismo sistema de

ecuaciones.

En un sistema de ecuaciones, se puedo usar de(erentes mtodos para la

resolución de un sistema, es decir 1 mtodos di(erentes en un mismo sistema de

ecuaciones.

)ora conoceremos otros mtodos de resolución de ecuaciones:

Mtodo de igualación

Se resume en los siguientes pasos:

=K Se despea una de las incógnitas en las dos ecuaciones.

1K Se igualan las e0presiones o"tenidas. De all el nom"re de mtodo de

igualación.

>K Se resuel-e la ecuación de primer grado en la otra incógnita #ue as resulta.

K Se reempla%a el -alor o"tenido de esta 8ltima incógnita en cual#uiera de las

dos e0presiones #ue resultaron al despear la primera, ! se o"tiene as su -alor.

) continuación se aplica este mtodo para resol-er el siguiente sistema:

>0@!5@F

104!5=F


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P&IME& P)S/: )l aplicar este mtodo, tam"in con-iene o"ser-ar cual es la

incógnita #ue se despea m's ('cilmente en las dos ecuaciones, en este caso es

“0”. Se tiene as:

>0@!5@F 104!5=F

>05@F41! 105=F@!

05@F4! 05=F@!

> 1

SE$9D/ P)S/: se igualan los resultados o"tenidos en el paso anterior:

@F4!5=F@!

> 1

2E&CE& P)S/: se resuel-e la ecuación en “!” #ue se aca"a de o"tener:

1A@F4!5>A=F@!

@=14?!5?@=1!

?!4=1!5?4=1

1!5F

!5F:1

!5>

C$)&2/ P)S/: se sustitu!e “!” por su -alor >, en cual#uier ecuacion. Para tener

el -alor de “0”:

>0@A.>5@F 104A.>5=F

>0@=15@F 104=15=F

>05@F4=1 105=F@=1

65F:> 05:1

651 051

Ase o"tiene el mismo resultado para cual#uier ecuacion


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75>

S

651

75>

S

651

Luego la solucion de este sistema es:

Mtodo de determinante o cramer:

Para estudiar este mtodo es necesario de(inir pre-iamente #ue se entiende por:

Determinante de segundo orden. Dado n8meros: a=, "=, a1, "1, la noción

sim"ólica:

a= "=

a1 "1

Se llama determinante de segundo orden ! signi(ica la di(erencia entre el producto

a=, "1, ! el producto "=, a1, Es decir:

a= "= 5 a= "1 N "= a1

a1 "1

Eemplo: calcular con la de(inición dada, el -alor de las siguientes determinantes:

<

1 > 5.>@


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Ha! un mtodo #ue aplica estos determinantes de segundo orden, para la

resolución de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitos.

Jorma general:

a=04"=!5c=

a104"1!5c1

a=04"=!5c=

a104"1!5c1

a= ! a1 son los coe(icientes de la incógnita 0.

"= ! "1 son los coe(icientes de la incógnita !.

c= ! c1 son los trminos independientes.

Eemplo: Se resuel-e el siguiente sistema por mtodo de determinantes:

0@>!5@;

F041!5

Como el determinante de los coe(iciente es: @> )plicando la r

&EL). F 1

&EL): el -alor de cada incógnita, de un sistema de dos ecuaciones de primer

grado con dos incógnitas, es una (racción #ue tiene por denominador el


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determinante de los coe(icientes de las incógnitas ! por numerador el

determinante #ue se o"tiene al reempla%ar en el anterior la columna de los

coe(icientes de la incógnita #ue se calcula por los trminos independiente.

&EL): el -alor de cada incógnita, de un sistema de dos ecuaciones de primer

grado con dos incógnitas, es una (racción #ue tiene por denominador el

determinante de los coe(icientes de las incógnitas ! por numerador el

determinante #ue se o"tiene al reempla%ar en el anterior la columna de los

coe(icientes de la incógnita #ue se calcula por los trminos independiente.

Entonces:

@; @>

65 1 5@;.1@A@>. 5 @=41; 5 => 5 =

@> .1@A@>.F ?4=? 1F 1

F 1

@;

75 F 5 .@A@;.F 5 >F41 5 ;? 5 >

@> .1@A@>.F 1F 1F

F 1

Luego el conunto de solución es: S5 A=B >

1


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/"ser-acion:

Para #ue se pueda aplicar este mtodo es necesario #ue el determinante de los

coe(icientes de las incógnitas sea distinto de cero, pues el (igura en el

denominador ! no se puede di-idir por cero.

* Cuando el determinante es distinto de cero, permite asegurar #ue el sistema

tiene una sola solución, #ue es o"tenida por la regla de los determinantes.

* Cuando el determinante es cero, no se puede aplicar la regla, el sistema no tiene

una sola soluciónB puede tener in(initas o no puede tener ninguna solución. Estas

consideraciones son generales para todos los sistemas de ecuaciones lineales.

Los determinantes se utili%an en los sistemas de ecuaciones lineales para

esta"lecer, antes de resol-er el sistema, si tiene una sola solución, si es

indeterminado o si es incompati"le.

Los determinantes se utili%an en los sistemas de ecuaciones lineales para

esta"lecer, antes de resol-er el sistema, si tiene una sola solución, si es

indeterminado o si es incompati"le.

Clasi(icacion de los sistemas lineales.

* Compati"les: con solución.

* Homogneos: trminos independientes nulos.

* 9o omogneos: no todos los trminos independientes son cero.

* Determinados: una solución.

* Indeterminados: in(initas soluciones.

)C2I+ID)DES:


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Eercicios:

=. &esuel-e por sustitución, igualación, reducción el sistema:

1. &esuel-e el sistema:

>. Halla las soluciones del sistema:

. &esuel-e:

Eercicio del sistema de ecuación resulto:

Pro"lemas:

=. Ouan compró un ordenador ! un tele-isor por 1 ! los -endió por 11F.

QCu'nto le costó cada o"eto, sa"iendo #ue en la -enta del ordenador ganó el

=R ! en la -enta del tele-isor ganó el =


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Pro"lemas resueltos del sistema de ecuaciones:

=

6 precio del ordenador.

7 precio del tele-isor.

Precio de -enta del ordenador.

Precio de -enta del tele-isor.

? precio del ordenador.

=1 precio del tele-isor.

1

6Uase del rect'ngulo.

7)ltura del rect'ngulo.

10 4 1! Permetro.

F cm Uase del rect'ngulo.

1 cm )ltura del rect'ngulo.

> 6 Dinero de )ntonio.

7 Dinero de Pedro.

1 Dinero de )ntonio.

=1 Dinero de Pedro

6 ci(ra de las unidades

7 ci(ra de las decenas

=0 4 ! 98mero


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=! 4 0 98mero in-ertido

98mero =

E-aluación de diagnóstico al (inali%ar un tema:

9om"re: VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV

Curso: VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV

Jeca: VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV

=. La solución del sistema >0 N 1! 5 ? es:

0 4

a A@?,=

" A>, =

c A1, @=

d A@1 ,=

1. El enunciado “La suma de las edades de 1 niWos es ? aWos, el triple de uno m's

el do"le del otro es 1> aWos” se traduce en el sistema:

a 0 5 ? N !

>0 5 1> N 1!

" 0 5 ? 4 !

>0 5 1> N 1!

c 0 5 ? N !

>0 5 1> 4 1!

d 0 5 ? 4 !

>0 5 1> 4 1!


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>. La suma de 1 n8meros es =..

&epetto LinsYens Jes#uet.

Zapelus%.

* Pro"lemas >.

Patricia Jauring ! Jlora utierre%.

Colección 9amaYYal.


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.

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