clases de sistema de ecuaciones

UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA E.P INGENIERIA CIVIL

PROF. MIRELI RAMIREZ C. MATEMÁTICA BÁSICA II 2013 - II Página 1 de 39

RANGO DE UNA MATRIZ Am x n

Cálculo de r (Am x n)

CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ

1.1 Método de la Adjunta.

1.2 Método de Gauss – Jordan.

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES (SEL)

Clasificación de un sistema de ecuaciones lineales

Teorema de Rouché-Fröbenius

Solución de un sistema de ecuaciones lineales

1° Eliminación de Gauss – Jordan

2° Eliminación de Gauss.

3° Cramer

4° Por inversión de la matriz de coeficientes.

Aplicaciones de S. E. L.



RANGO DE UNA MATRIZ Am x n

El rango de una matriz cualquiera es el número de filas (o columnas) no nulas

Linealmente Independientes (L.I.: ninguna fila o columna depende de otra (s)

fila (s) o columna(s) respectivamente). El rango de A, se denota por: r(A).

OBSERVACIONES:

1. ZAr )( .

2. Sea nmArA nxm ,min)( 00 .

3. Sea 00 )(ArA nxm .

4. Sea nArAn )(00

5. singular. no o regular es nnn AnArASea )(,0

Propiedades equivalentes:

0.

nnnn AnArAASea )(,1

0

Por tanto No existe1

nA .nAr n )( Entonces A es singular-

EJEMPLOS:

a)

30

530053

)(

)(,,min)(

Ar

ZArArASea x

b) ZArArASea )(,)( 4004

c) 15 50 AAArASea :ie regular es )(

d) 16 40 AAArASea no :ie singular es )(

Cálculo de r (Am x n) Se puede hallar mediante determinantes u operaciones elementales.

En nuestro caso lo hallaremos mediante O.E. por filas, los pasos son los

siguientes: Sea Am x n

1° Asignar la DP de la mayor submatriz cuadrada en caso de que A no sea

Cuadrada. Si lo fuese Tome su DP.

2° Aplicar O.E., de tal manera que anulemos los elementos que están debajo de

la D.P., es decir triangular inferiormente.

3° Los elementos de la DP deben ser no nulos, en caso tenga algún cero, éste

debe quedar al final de a D.P.

4° En Caso aparezcan filas nulas, éstas deben ubicarse al final.

5° Después de aplicar los pasos anteriores, se calcula el rango de la matriz que

será el n° de filas no nulas.

( se puede aplicar OE por columnas)



Ejemplo: Halle el r(A) y determine si es invertible en caso de ser una matriz

cuadrada.

a)

54520153035

14367

179211046

2861214

x

A

SOLUCIÓN

La matriz no es cuadrada, por tanto no eviste su inversa.

Hallando r(A):

1° ZArArAr )(,)(,min)( 40540

2°

Luego r(A) = 2.

OBSERVACIÓN:

1. Si una fila “i” es combinación lineal de 2 o más filas, la fila “i” se

transforma en una fila nula mediante OE.

2. Si una fila “i” es el múltiplo de otra fila, la fila “i” se transforma en

una fila nula mediante OE.

b)

557732654

3214321

63100

52010

41001

x

A

Hallando r(A):

14 12 6 8 2

6 104 21 9 17

7 6 3 4 1 : 2f3 - f1

35 30 15 20 5 :f4- (2f1+f3)

14 12 6 8 2 : f1/2

6 104 21 9 17

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

7 6 3 4 1

6 104 21 9 17 : 7f2- 6f1

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

7 6 3 4 1

0 692 129 39 113

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0



1° ZArAr )(,)( 50

2°

Luego r(A) = 3.≠ orden de la matriz, entonces A no es invertible.

1 0 0 1 4

0 1 0 2 5

0 0 1 3 6

1 2 3 14 32 : f4 -f1

4 5 6 32 77 :f5 -4f1

1 0 0 1 4

0 1 0 2 5

0 0 1 3 6

0 2 3 13 28 : f4 - 2f2

0 5 6 28 61 : f5 = 2f4 + f2 Se anula f5

1 0 0 1 4

0 1 0 2 5

0 0 1 3 6

0 0 3 9 18 f4 = 3f3 Se anula f4

0 0 0 0 0

1 0 0 1 4

0 1 0 2 5

0 0 1 3 6

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0



ACTIVIDAD: CALCULE EL RANGO DE CADA MATRIZ

RPTA: 2, 2 , 3, 2, 4, 2, 2.



CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ

CUADRADA

Para hallar la inversa de una matriz cuadrada, se puede usar varios métodos

entre ellos tenemos:

1° Método de la adjunta.

2° Método de Gauss – Jordan.

1.1 Método de la Adjunta.

Definiciones previas: Sea ijn aA una matriz cuadrada

Matriz de cofactores, Se denota y define:

nijij Ade a de cofactor el es:c/nijc cA

Matriz Adjunta de An, Se denota y define:

TcAAadj )( : Es la transpuesta de la matriz de cofactores.

Luego A-1, mediante la adjunta se calcula por:

TcAA

AA

A1

)(11 adj

1.2 Método de Gauss – Jordan.

Definición previa:

Operaciones Elementales (0E): También llamada Transformaciones

Elementales, éstas se aplican a una matriz de

cualquier orden y son:

Intercambiar dos filas ( o columnas): )( jiji CCff o

Multiplicar por 0K a una fila “i” ( o columna “i”): )( ii KCKf o

A una fila “i” ( o columna “i” ) sumar el múltiplo de otra fila “j” ( o

columna “j”): )( jiji KCCKff o

Las OE no cambia el orden ni rango de una matriz.

En el desarrollo del curso se aplicará OE por filas salvo que se indique lo

contrario.

Luego A-1, mediante Gauss – Jordan se calcula mediante el siguiente

proceso:

IA

OE

1AI



Es decir ubicar a la derecha de A la matriz identidad, después aplicar OE

buscando transformar la matriz A en la identidad (I) y lo que esta su derecha

es A-1.

Los pasos de este método son:

1° A la derecha de A ubique la matriz identidad del mismo orden de A.

2° En la primera columna de A tome el elemento a11 (no nulo), con éste anule

los elementos que están debajo de él aplicando OE en las filas que están

debajo de a11, después

3° En la segunda columna de A (transformada) tome el elemento a22 (no nulo),

con él anule los elementos que están encima y debajo de él aplicando OE

en las filas que están encima y debajo de a22,

4° Aplicar sucesivamente el paso anterior hasta llegar a la última columna de

A, después

5° Observe si la matriz A se transformó en la identidad. Si los elementos aii

tomados en los pasos anteriores no son la unidad, utilice la segunda OE

para transformar los aii en la unidad.

6° una vez obtenida la matriz I, la matriz que está a su derecha es la inversa

de A.

7° Si al finalizar el paso 4 algún elemento de la diagonal principal de A

(transformada) es nulo o si en el proceso de aplicar OE se obtiene una fila

(o columna) nula en la matriz transformada de A, entonces no existe A-1.

Ejemplo: Halle A-1, mediante la adjunta y Gauss – Jordan, siendo:

a)

212

531

011

A

SOLUCIÓN

Mediante la adjunta:

1° Hallando A :

103

3)5)(1(1)2)(1(1)2)(3(0)1)(1(0)2)(5)(1()2)(3)(1(

AA

A

3A

2° Hallando Matriz de cofactores:

455

122

7811

31

11

51

01

53

01

12

11

22

01

21

01

12

31

22

51

21

53

cA

455

122

7811

cA

3° Hallando la Matriz adjunta de A:



417

528

5211

455

122

7811

)()(

T

TcAAadj

417

528

5211

)(Aadj

4° Luego A-1 es:

417

528

5211

3

1)(

11 AadjA

A

3/43/13/7

3/53/23/8

3/53/23/111A

Mediante Gauss – Jordan:

b)

131

312

110

A

SOLUCIÓN


1° Hallando A :

1012

12)3)(3(0)1)(2(1)1)(1(1)2)(3(1)1)(3)(1()1)(1(0

AA

A

12A

-1 1 0 1 0 0

1 3 5 0 1 0 : f2 + f1

-2 1 -2 0 0 1 : f3 - 2f1

-1 1 0 1 0 0

0 4 5 1 1 0 : f2 x f3

0 -1 -2 -2 0 1

-1 1 0 1 0 0 : f1 + f2

0 -1 -2 -2 0 1

0 4 5 1 1 0 : f3 + 4f2

-1 0 -2 -1 0 1 : 3f1 - 2f3

0 -1 -2 -2 0 1 3f2 - 2 f3

0 0 -3 -7 1 4

-3 0 0 11 -2 -5 : (-1/3) f1

0 -3 0 8 -2 -5 : (-1/3) f2

0 0 -3 -7 1 4 : (-1/3) f3

1 0 0 -11/3 2/3 5/3

0 1 0 -8/3 2/3 5/3

0 0 1 7/3 -1/3 -4/3

I 1A

3/43/13/7

3/53/23/8

3/53/23/111A



2° Hallando Matriz de cofactores:

224

114

758

12

10

32

10

31

11

31

10

11

10

13

11

31

12

11

32

13

31

cA

224

114

758

cA

3° Hallando la Matriz adjunta de A:

217

215

448

224

114

758

)()(

T

TcAAadj

217

215

448

)(Aadj

4° Luego A-1 es:

217

215

448

12

1)(

11 AadjA

A

6/112/112/7

6/112/112/5

3/13/13/21A


c)

0132

9251

9011

0121

A

0 1 1 1 0 0 : f1 x f3

2 -1 3 0 1 0

1 3 -1 0 0 1

1 3 -1 0 0 1

2 -1 3 0 1 0 : f2 - 2f1

0 1 1 1 0 0

1 3 -1 0 0 1

0 -7 5 0 1 -2 : f2 x f3

0 1 1 1 0 0

1 3 -1 0 0 1 : f1 - 3f2

0 1 1 1 0 0

0 -7 5 0 1 -2 : f3 + 7f2

1 0 -4 -3 0 1 : 3f1 + f3

0 1 1 1 0 0 : -12f2 + f3

0 0 12 7 1 -2

3 0 0 -2 1 1 : (1/3)f1

0 -12 0 -5 1 -2 : (-1/12)f2

0 0 12 7 1 -2 : (1/12)f3

1 0 0 -2/3 1/3 1/3

0 1 0 5/12 -1/12 1/6

0 0 1 7/12 1/12 -1/6

I 1A

6/112/112/7

6/112/112/5

3/13/13/21A



1 2 -1 0 1 0 0 0

-1 1 0 9 0 1 0 0 : f2 + f1

1 5 -2 9 0 0 1 0 : f3 - f1

2 3 1 0 0 0 0 1 : f4 -2 f1

1 2 -1 0 1 0 0 0 : 3f1 - 2f2

0 3 -1 9 1 1 0 0

0 3 -1 9 -1 0 1 0 : f3 - f2

0 -1 3 0 -2 0 0 1 : 3f4 + f2

3 0 -1 -18 1 -2 0 0

0 3 -1 9 1 1 0 0

0 0 0 0 -2 -1 1 0

0 0 8 9 -5 1 0 3

SOLUCIÓN


1° Hallando A :


Como se obtiene una fila nula

en la matriz transformada de

A, no existe la inversa de A.

0

132

121

121

29

132

242

121

9

0132

0242

9011

0121

:

0132

9251

9011

0121

,0

23

A

x

ffA

f2 f1 pues

2

4

f la en "2" factorizar ,

C en cofactor aplicar ,

10 AA



Actividad : Halle A-1, mediante la adjunta y Gauss – Jordan, siendo:

a) (

)

(

)

b) (

)

Actividad 02: Halle A-1, mediante Gauss – Jordan, siendo:

c) (

)

d)

(

)

(

)



SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

(SEL) Sea el sistema de “m” ecuaciones lineales con “n” incognitas (variables)

Este sistema se puede expresar matricialmente:

Donde:

A: matriz de coeficientes.

X: matriz de variables.

B: matriz de términos independientes.

La solución de un sistema de ecuaciones son los valores de las incógnitas

que satisfacen en simultáneo a cada una de las ecuaciones del sistema.

Discutir un sistema de ecuaciones significa determinar si tiene soluciones y

cuáles son.

mnmnmmm

nn

nn

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

α

332211

22323222121

11313212111



CLASIFICACIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Teorema de Rouché-Fröbenius, se aplica para determinar si un S. E. L. tiene solución o no.

Donde:

BAA * : Matriz Ampliada, se obtiene al añadir a la derecha de la matriz de

coeficientes la matriz de los términos independientes. r(A): rango de A. OBSERVACIONES: 1. Si r(A) ≠ r(A*), r(A) < r(A*).

2. Si B = 0 (S. L. Homogéneo), este sistema siempre será compatible. Si es

determinado su solución es (0, 0, 0,…,0), llamada solución trivial.

3. En todo Sistema Compatible, si existen más variables que ecuaciones, el

sistema tiene infinitas soluciones.

Sea Ax=B

Según sus Términos Independientes: B

HOMOGÉNEO : B = 0

Términos independientes son nulos.

NO HOMOGÉNEO : B ≠ 0

Términos independientes no son todos nulos.

Según su Solución

COMPATIBLE:

con solución

DETERMINADO:

Una solución

INDETERMINADO:

Infinitas Soluciones

INCOMPATIBLE:

Sin solución

Sea Ax=B

COMPATIBLE:

r(A) = r(A*) = k

DETERMINADO

(Una solución) :

k = n° variables

INDETERMINADO:

k < n° variables

Infinitas Soluciones que dependerán de (n - k) parámetros o variables libres, siendo "n" el n° de variables.

INCOMPATIBLE:

r(A) ≠ r(A*)



SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Para resolver un S. E. L. se puede aplicar varios métodos, entre ellos tenemos:


2° Eliminación de Gauss.

3° Cramer

4° Por inversión de la matriz de coeficientes.

Los dos primeros métodos se aplican para un sistema cualquiera además

permite clasificar el sistema usando el teorema anterior (mediante rangos),

mientras que los dos últimos sólo para sistemas no homogéneos que tengan el

mismo número de variables y ecuaciones.


El proceso es el siguiente: Se basa en diagonalizar la matriz de coeficientes

Sea Ax=B

Escribir la matriz ampliada del sistema: BAA *

Tomar la Diagonal Principal (DP) de la mayor submatriz cuadrada de A*

Triangularizar superior e inferiormente la submatriz, aplicando OE a A*.

Finalizado el paso anterior se obtiene un sistema equivalente(es decir un

sistema con la misma solución del sistema dado inicialmente) cuya

solución se obtiene de manera directa.

2° Eliminación de Gauss

El proceso es el siguiente: Se basa en Triangularizar inferiormente la

matriz de coeficientes del sistema de "m" ecuaciones con "n" incógnitas

obteniendo un sistema equivalente cuya 1ª ecuación tenga n incógnitas, la

segunda n-1, la tercera n-2, y así sucesivamente hasta llegar a la última

ecuación, que tendrá una sola incógnita. Hecho esto, se resuelve desde la

última ecuación y después se usa la sustitución hacia atrás para las demás

variables hasta llegar a la primera.

Los pasos de este proceso es similar al método de Gauss – Jordan con la

diferencia que solo se triangula inferiormente.

OBSERVACIONES:

El Método de Gauss – Jordan es más práctico ya que permite

obtener las variables directamente. El método de Gauss realiza

menos operaciones que Gauss – Jordan, sin embargo para obtener

sus variables es más laborioso.

En ambos métodos, en el paso de triangular inferiormente, se puede

hallar el r(A) y r(A*) y por ende determinar el tipo de sistema usando

el teorema de Rouché-Fröbenius.



Al hallar el rango en matrices que provengan de S.E.L es preciso tener en

cuenta que si se intercambian columnas en la matriz de coeficientes ha de

hacerse de igual forma el cambio correspondiente de incógnitas, teniendo

especial cuidado con la columna de los términos independientes que

conviene no moverla. En general, es aconsejable realizar todas las

operaciones por filas.

3° Método de Cramer ( por determinante)

Se aplica si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas y

el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero. Es decir, un

sistema de Cramer es, por definición, compatible determinado y, por tanto,

tiene siempre solución única.

Las variables del sistema AX = B, se obtiene mediante:

0, AA

Ax

ii

Siendo:

A: matriz de coeficientes

Ai: Matriz obtenida de la matriz A, al intercambiar la columna “i” por los

términos independientes del sistema.

TEOREMA: Sea el sistema de “ n” ecuaciones con “n” variables BAX y

sea A y Ai las matrices de Cramer.

le.Incompatib es sistema Eli, algún para

ado.Indetermin Compatible es sistema El

o.Determinad Compatible sistema El

00)

,00)

0)

i

i

AAiii

iAAii

Ai

4° Por inversión de la Matriz de Coeficientes

Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de

incógnitas n=m y el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de

cero. Es decir, resuelve sistemas compatibles determinados (no-

homogéneos).

Se basa en el siguiente criterio: sea el S.L.E de “n” ecuaciones con “n”

variables BAX .Si A es invertible, entonces es válido multiplicar a la

izquierda de ambas expresiones de la expresión matricial por A-1; obteniendo

los valores de las variables:



BAX

BAAXA

BAX

1

11

Note que 0B , de lo contrario se tendría la solución trivial o sea nula, la

cual no es de interés.

Ejemplo: Exprese matricialmente y discutir los sistemas de ecuaciones dados

usando los métodos anteriores según sea el caso:

a)

14

1132

0

zyx

zyx

zyx

SOLUCIÓN

La expresión matricial es:

BX

z

y

x

A

1

11

0

411

132

111

Como el sistema tiene 3 ecuaciones y 3 incógnitas, podría ser aplicable

los 4 métodos.

Método de Gauss – jordan:

Luego La solución del sistema es: S = (x, y, z) = (3, -2, -1).

Observe que en el paso (*) la mayor submatriz cuadrada de A* (en este

caso A) es triangular inferior, por tanto se puede:

Clasificar el sistema mediante rangos:

1 1 1 0

2 -3 1 11 : f2 - 2f1

-1 1 -4 -1 : f3 + f1

1 1 1 0 : 5f1 + f2

0 -5 -1 11

0 2 -3 -1 5f3 +2f2

5 0 4 11 : 17f1 +4f3

0 -5 -1 11 : 17f2 -f3

0 0 -17 17

85 0 0 255 : (1/85)f1

0 -85 0 170 : (-1/85)f2

0 0 -17 17 : (-1/17)f3

1 0 0 3 En la f1: x = 3

0 1 0 -2 En la f2: y = -2

0 0 1 -1 En la f3: z = -1

(*)

1

11

0

411

132

111*A



oDeterminad

vriables de n

Comp. es sist. El

3*)()( ArAr

Ie: El sistema tiene solución única.

Método de Gauss

De:

30

21115

11717

1

2

3

xzyxf

yzyf

zzf

:

:

:

Por Método de Cramer

El sistema es:

411

132

111

A

1

11

0

B

Como o.Determinad compatible es Sistema El 017A Luego

317

51

411

1311

110

x

AA

Ax x

217

34

411

1112

101

y

AA

Ay

y

117

17

111

1132

011

y

AA

Az

z

1 1 1 0

2 -3 1 11 : f2 - 2f1

-1 1 -4 -1 : f3 + f1

1 1 1 0

0 -5 -1 11

0 2 -3 -1 5f3 +2f2

1 1 1 0 : 17f1 +4f3

0 -5 -1 11 : 17f2 -f3

0 0 -17 17

A*=

14

1132

0

zyx

zyx

zyx



Por Inversión de la Matriz de Coeficientes

El sistema es:

Su expresión matricial es:

BX

z

y

x

A

1

11

0

411

132

111

11

1

1 017.

1

11

0

411

132

111

AAABA

z

y

x

( )

(

)

( )= (

). Luego la solución es: x = 3, y=-2,

z = -1.

14

1132

0

zyx

zyx

zyx



b)

{

-

- -

- -

- -

SOLUCIÓN


BX

x

x

x

x

A

3

1

8

2

1305

1140

2203

1121

4

3

2

1

Método de Gauss – jordan:

El sistema es compatible indeterminado, es decir tiene infinitas

soluciones con Una Variable Libre (n° de variables – rango: 4 – 3= 1).

1 -2 1 1 2

3 0 2 -2 -8 : f2 - 3f1

0 4 -1 -1 1

5 0 3 -1 -3 : f4 - 5f1

1 -2 1 1 2

0 6 -1 -5 -14

0 4 -1 -1 1

0 10 -2 -6 -13

1 1 -2 1 2 : f1 + f2

0 -1 6 -5 -14

0 -1 4 -1 1 : f3 - f2

0 -2 10 -6 -13 : f4 - 2f2

1 0 4 -4 -12 : f1 +2f3

0 -1 6 -5 -14 : f2 + 3f3

0 0 -2 4 15

0 0 -2 4 15 : f4 - f3

1 0 0 4 18 r(A) = 3 r(A) = r(A*) = 3 < n° variables=4

0 -1 0 7 31 r(A*) = 3

0 0 -2 4 15 Sistema compatible

0 0 0 0 0

S. C. Indeterminado

A*=

C2 x C3

A

A*=

TIxxxx 4321

TIxxxx 4231

3

1

8

2

1305

1140

2203

1121

*A



Hallando la solución General del sistema:

De:

libre) (variable

4

42423

43432

41411

22151542

731317

418184

x

xxxxf

xxxxf

xxxxf

/:

:

:

Por tanto la solución general del sistema es:

)arbitraria forma de escoge se ( Donde

4

44444321 7312215418

x

xxxxxxxx ,,/,,,,

Se puede obtener soluciones particulares, dando valores

arbitrarios a x4 . Una solución particular sería: ( 18, -15/2, -31, 0),

si x4 = 0.



Método de Gauss

El sistema es compatible indeterminado, es decir tiene infinitas

soluciones con Una Variable Libre (n° de variables – rango: 4 – 3= 1).

Hallando la solución General del sistema:

De:

libre) (variable

4

4142311

434232

42423

41822

7311456

22151542

x

xxxxxxf

xxxxxf

xxxxf

:

:

/:

Por tanto la solución general del sistema es:

)arbitraria forma de escoge se ( Donde

4

44444321 7312215418

x

xxxxxxxx ,,/,,,,

1 -2 1 1 2

3 0 2 -2 -8 : f2 - 3f1

0 4 -1 -1 1

5 0 3 -1 -3 : f4 - 5f1

1 -2 1 1 2

0 6 -1 -5 -14

0 4 -1 -1 1

0 10 -2 -6 -13

1 1 -2 1 2

0 -1 6 -5 -14

0 -1 4 -1 1 : f3 - f2

0 -2 10 -6 -13 : f4 - 2f2

1 1 -2 1 2

0 -1 6 -5 -14

0 0 -2 4 15

0 0 -2 4 15 : f4 - f3

1 1 -2 1 2 r(A) = 3 r(A) = r(A*) = 3 < n° variables=4

0 -1 6 -5 -14 r(A*) = 3

0 0 -2 4 15 Sistema compatible

0 0 0 0 0

S. C. Indeterminado

A*=

A

A*=

C2 x C3

TIxxxx 4321

TIxxxx 4231



Por Método de Cramer

El sistema es:

{

1305

1140

2203

1121

A

El sistema tiene el mismo número de ecuaciones y variables, pero del

desarrollo anterior por el método de Gauss – Jordan(o Gauss) se tiene

que r(A) = 3 ≠ 4(orden de A), entonces no existe la inversa de A. Por tanto

no se puede aplicar el método de Cramer ni por la inversión de la matriz

de coeficiente.

Ejemplo: Discutir los sistemas de ecuaciones dados usando Gauss – Jordan.

a) {

SOLUCIÓN


BX

x

x

x

A

0

1

2

312

112

110

3

2

1

0 1 1 2 : f1 x f2

2 -1 1 -1

2 1 3 0

2 -1 1 -1

0 1 1 2

2 1 3 0 : f3 - f1

2 -1 1 -1 : f1 + f2

0 1 1 2

0 2 2 1 : f3 - 2f2

2 0 2 1

0 1 1 2 r(A) = 2 r(A) ≠ r(A*)

0 0 0 -3 r(A*) = 3

Sistema incompatible

A*=

A*=

A



El sistema no tiene solución, pues los rangos de r(A) y r(A*) son

diferentes, o de la f3 se tiene:

0x1 + 0x2 + 0x3 = -3 , ie: 0 = -3 (absurdo)

b)

00055552

000204

0002523

zyx

zyx

zyx

SOLUCIÓN

El sistema tiene infinita soluciones con una variable libre. Su solución

general es:

De:

libre) (variable

z

zyzyf

zxzxf

00050005

500040000405

2

1

:

:

1. Aplicaciones de S. E. L.

1. (Administracion de Recursos) Un departamento de pesca y caza del estado

proporciona tres tipos de comidas aun lago que alberga a tres especies de

peces.

Cada pez de la especie A consume cada semana un promedio de:

1 u del alimento I, 1u del alimento II, 2 u del alimento III.

Cada pez de la especie B consume cada semana un promedio de:

3 u del alimento I, 4 u del alimento II, 5 u del alimento III.

Cada pez de la especie C consume cada semana un promedio de:

2 u del alimento I, 1u del alimento II, 5 u del alimento III.

Cada semana se proporcionan al lago 25 000 u del alimento I, 20 000 del

alimento II y 55 000 del alimento III. Si se supone que los peces se comen

todo el alimento, ¿Cuántos peces de cada especie pueden coexistir en el

lago?

1 3 2 25 000

1 4 1 20 000 : f2 - f1

2 5 5 55 000 : f3 -2f1

1 3 2 25 000 : f1 -3f2

0 1 -1 -5000

0 -1 1 5 000 : f3 + f2

1 0 5 40 000 r(A) = 2 r(A) = r(A*) = 2 ≠ 3

0 1 -1 -5000 r(A*) = 2

0 0 0 0 Sistema compatible

S. C. IndeterminadoA

A*=

n° variables: 3

A*=



SOLUCIÓN

Sea el n° total de peces, que pueden coexistir en el lago, de la:

Especie A: x

Especie B: y

Especie C: z

Datos: Consumo promedio semanal de alimentos según especie

A B C Total de

alimentos

I 1 3 2 25 000

II 1 4 1 20 000

III 2 5 5 55 000

El sistema es:

00055552

000204

0002523

zyx

zyx

zyx

La solución de sistema es infinita:

libre) (variablez

zyzy

zxzx

00050005

500040000405

Pero la solución al problema se restringe los valores de las variables a

números enteros positivos, pues las variables representan el número de

peces que habitan en el lago y éstos no pueden ser negativos ni fraccionarios.

Entonces:

0

00080005000500005

00080500040

z

Zzzzzy

zzx

,

Z esta entre 5 000 y 8 000 (n° entero), entonces existe 3 001 (8 000 – 5 000

+1) valores. Como x e y dependen de z entonces existen 3 001 soluciones

para el problema. Una solución es: ( x, y, z) = (5 000, 2 000, 7 000), si z = 7

000.

2. (Modelo de Leontief Aplicado a un Sistema Económico: Consumo -

Productividad) Suponga que una economía simple tiene tres industrias que

son dependientes entre sí, pero que no dependen de industrias externas (se

cumple el modelo cerrado de Leontief).

Las industrias son: agricultura, construcción y vestuario. La fracción de cada

producto que consume cada industria está dado por:



Producción Agricultura Construcción Vestuario

Consumo

Agricultura

Construcción

Vestuario

La componente dij denota la fracción de bienes producidos por la gente que

trabaja en la industria j y que es consumida por la gente que trabaja en la

industria i.

Por ejemplo:

16

431 d , significa que la industria del vestuario consume

16

4 del total de la

producción agrícola.

16

313 d , significa que la industria agrícola consume

16

3 del total de la

producción de la industria de vestuario.

Supongamos que los ingresos de la industria de la agricultura, construcción y

vestuario son 321 PPP ,, respectivamente. Asuma que se cumple la condición

de equilibrio (los gastos debidos al consumo es igual a los ingresos a las

ventas), determine los ingresos de cada sector de la economía.

SOLUCIÓN

Una economía simple tiene tres industrias que son dependientes entre sí,

pero que no dependen de industrias externas, cuya fracción de cada producto

que consume cada industria está dado por:

3 3716 6 16

5 5116 6 16

84 216 6 16

Consumo

Pr

Agricultura Construcción Vestuario

Agricultura

Construcción

Vestuario

oducción

Supongamos que el ingreso total de cada industria es:

Agricultura : 1P

Construcción : 2P y

Vestuario : 3P



9 3

16 16

5 5

1

5

16

1

6 6

2

4

1

3

1

1

2

0

0

1 16f

4852f

3 12f

1 2f f

0

9 8 3 0

3 8 3 0

3 4 6 0

142

133

3 8 3 0

0 16 12 0

0 12 9 0

f

f

2 1

3

3 8 3 0

9 8 3 0 3

3 4 6 0

f f

f f

1 3

2 3

3 8 3 0 2

0 4 3 0

0 4 3 0

f f

f f

1313 0 3 0

0 4 3 0

0 0 0 0

f

1 0 1 0

0 4 3 0

0 0 0 0

Además, teniendo en cuenta que se cumple la condición de equilibrio (los

gastos debidos al consumo son igual a los ingresos debidos a las ventas), se

tiene el siguiente sistema lineal:

1 2 3 1

1 2 3 2

1 2 3 3

7 3 3

16 6 16

5 1 5

16 6 16

4 2 8

16 6 16

P P P P

P P P P

P P P P

Resolviendo dicho sistema, mediante Gauss – Jordan:

de donde se obtiene: 1. rang(A)=rang(A/B)=2<nº variables(3). Por

tanto el sistema es compatible indeterminado, ie: tiene infinitas soluciones:

2. Las soluciones se obtiene de la última matriz equivalente a la ampliada (A/B). Cada fila representa las siguientes ecuaciones:

1 3 1 3

2 3 2 3

0

34 3 0

40 0 ( )

P P P P

P P P P

Verdad Haciendo:

3

1

2

3

4 ,

4

3

4

0 0 ( )

P t t

P t

P t

P t

Verdad La solución del sistema se puede representar como:

1 2 3, , 4 ,3 ,4 4,3,4 ,P P P t t t t t,

tiene infinitas soluciones.

Sin embargo para la solución del problema dado, “t” debe ser un número real no negativo, tales que los ingresos de la industria de la agricultura, construcción y vestuario están en la proporción 4:3:4, respectivamente.

Consumo ind. Agrícola = Producción total de la Ind. Agrícola (P1)

Consumo ind. Construcción = Producción total de la Ind.

De Construcción (P2) Consumo ind. Vestuario = Producción total de la Ind.

De Vestuario (P3)

equivalentemente, se tiene el sistema lineal homogéneo:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

9 3 30

16 6 16

5 5 50

16 6 16

4 2 10

16 6 2

P P P

P P P

P P P

Expresándolo en forma matricial:

1

2

3

9 3 3

16 6 16 05 5 5

016 6 16

04 2 1

16 6 2

P

P

P

X B

A



3. Análisis de flujo de tráfico.

Supongamos que tenemos una red de calles en una sola dirección en una ciudad. Se quiere analizar el flujo de tráfico en cada una de las calles. La dirección del tráfico en cada una de las calles está dado en la siguiente figura.

En varios sitios se han colocado contadores, y el número promedio de carros que pasan por cada uno de ellos en el periodo de 1 hora, aparece también en la figura. Las variables x1, x2, …,x7 representan el número de carros por hora que pasan de la intersección A a la intersección B, de la intersección B a la intersección C, etc. Asumiendo que no hay paradas en el tráfico, el número de carros que llega a una intersección debe ser igual al número de carros que sale de la intersección. Con base a este supuesto Determine los valores posibles de cada xi. Si la calle que va de D a E estuviera en reparación, ¿cuál sería el mínimo tráfico que se podría permitir? ¿Cómo podría obtenerse este mínimo?

SOLUCIÓN La dirección del tráfico en cada una de las calles está dada en la siguiente figura.

Primero determinemos los valores posibles de cada xi ; teniendo en cuenta que no hay paradas en el tráfico, el número de carros que llega a una intersección debe ser igual al número de carros que sale de la intersección. En base a este supuesto, se obtiene el siguiente sistema lineal:



1 3

1 2 4

2 5

3 6

4 6

800 (Flujo de tráfico en la intersección A)

200 (Flujo de tráfico en la intersección B)

500 (Flujo de tráfico en la intersección C)

750 (Flujo de tráfico en la intersección F)

x x

x x x

x x

x x

x x

7

5 7

600 (Flujo de tráfico en la intersección E)

50 (Flujo de tráfico en la intersección D)

x

x x

Resolviendo dicho sistema, mediante Gauss – Jordan, se tiene las siguientes

soluciones:

1 6

2 7

3 6

4 6 7

5 7

6 6

7 7

50

450

750

600

50

x x

x x

x x

x x x

x x

x x

x x

EL sistema tiene infinitas soluciones.

Como las xi son números de carros por hora de una intersección a otra, no

pueden ser valores negativos; un valor negativo de xi se interpreta como el

números de carros que van en contravía. Con esta restricción se tiene:

1 6

2 7

3 6

4 6 7

5 7

6

6

6

7

7

7

50

450

750 0

600

50 0

750

50

x x

x x

x x

x x x

x x

x x

x

x

x

x

Dependiendo el valor que tomen x6 y x7, se

obtienen los valores para las otras variables.

Ahora supongamos que la calle que va de D a E estuviera en reparación,

por lo se requiere que el tráfico en este espacio sea el mínimo, entonces

7 50x Por tanto 5 20 500x x . Recíprocamente si 5 70 50x x ,

entonces, si cerramos la carretera entre C y D se tendrá el mínimo tráfico

posible entre D y E. Los flujos 1 3 4 6, ,x x x y x no están determinados en forma

única. Si toda la distancia de D a F estuviera en reparación, requeriríamos

que 6x fuera mínimo, es decir sea cero. En este caso:

1 3 450, 750 650x x y x



4. Una granja avícola incluye en la dieta de sus aves vitaminas B, C y D para

evitar enfermedades así como un desarrollo más rápido. En cierto mes

compraron 20 cajas de vitamina B, 40 cajas de vitamina C y 50 cajas de

vitamina D pagando S/ 70 000; al siguiente mes compraron 30 cajas de

vitamina B, 20 cajas de vitamina C y 50 cajas de vitamina D pagando S/ 66

250; un mes después compraron 40 cajas de vitamina B, 10 cajas de

vitamina C y 70 cajas de vitamina D pagando en total S/ 82 500. ¿Cuál es el

precio de cada caja de vitamina, si el precio por caja no ha variado en todo

ese tiempo?

SOLUCIÓN:

Sea el costo de la caja de vitamina B, C, D: b, c, d; respectivamente.

n° cajas

b c d Inversión por mes

Compras

1° mes 20 40 50 70 000

2° mes 30 20 50 66 250

3° mes 40 10 70 82 500

El sistema es:

2508714

6256523

0007542

50082701040

25066502030

00070504020

dcb

dcb

dcb

dcb

dcb

dcb



Luego el número de cajas de las vitamina B, C y D son, respectivamente; 625,

500 y 750.

5. Un comerciante compró máquinas de cortar césped, sierras y tijeras de podar.

Las primeras le costaban a S/ 5 000, las segundas a S/ 1 000 y las terceras a

S/ 50. Compró 100 unidades gastando un total de S/ 100 000. ¿Cuántas

unidades de cada uno compró, si adquirió los tres productos?

SOLUCIÓN:

Sea el n° de herramientas a comprar: C, S, T

(1/125)*C4

2 4 5 7 000

3 2 5 6 625

4 1 7 8 250

2 4 5 56 : - f1 + f2

3 2 5 53

4 1 7 66 : f3 -2 f1

1 -2 0 -3

3 2 5 53 : f2 - 3 f1

0 -7 -3 -46

1 -2 0 -3

0 8 5 62 : f2 + f3

0 -7 -3 -46

1 -2 0 -3 : f1 +2f2

0 1 2 16

0 -7 -3 -46 : f3 + 7f2

1 0 4 29 r(A) = 3 r(A) = r(A*) = 2 = 3

0 1 2 16 r(A*) = 3

0 0 11 66 : f3* (1/11) Sistema compatible

1 0 4 29 : f1 - 4f3

0 1 2 16 : f2 - 2f3 S. C. Determinado

0 0 1 6

1 0 0 5

0 1 0 4

0 0 1 6

(125)*C4

1 0 0 625 b = 625

0 1 0 500 c = 500

0 0 1 750 d = 750

Al final multiplicar a C4 * (125) A*=

A*=

125= mcd (7 000, 6 625, 8250)

Costos

Cortar césped C 5 000

Sierras S 1 000

Tijeras T 50

TOTAL 100 S/ 100 000



000105100500

100

0001005010005000

100

SC

TSC

TSC

TSC

T

TSTS

TCTC

80

9910080009980

80

19095400

Solución al problema:

ZkkT

TS

TTC

TSC

,

,,

80

80

99100

80

19

80

80

positivos enteros n son

K = 1 K=2

T= 80k 80 160 x

8080

19

TTC 19 x

TS80

99100 01 x

Total = 100

100 Excede las

100 u

La única solución al problema es: T = 80, C = 19 y S = 1.

1 1 1 1 00

500 100 5 10 000 : f2 -500f1

El sistema es compatible 1 1 1 1 00 : 400f1 + f2

0 -400 -495 -40000 (-1/5)*f2

400 0 -95 0

0 80 99 8000

indeterminado

A*=



ACTIVIDA: DISCUSIÓN DE S. E. L

Discutir los siguiente sistemas de ecuaciones:



ACTIVIDAD DE APLICACIONES DE S. E. L

1. El siguiente diagrama reproduce una red de calles de una sola vía con el flujo

de tráfico en las direcciones indicadas. El número de carros está dado como

promedio de carros por hora. Asumiendo que el flujo que llega a una

intersección es igual al flujo que sale de ella, construya un modelo matemático

del flujo de tráfico. Si la calle que va de C a A estuviera en reparación,

¿cuál sería el mínimo tráfico que se podría permitir?. ¿Cómo podría

obtenerse este mínimo?

2. El siguiente diagrama reproduce una red de calles de una sola vía con el flujo

de tráfico en las direcciones indicadas. Asumiendo que el flujo que llega a

una intersección es igual al flujo que sale de ella.

a) construya un modelo matemático del flujo de tráfico.

b) Si al resolver el sistema obtenido en (a), se obtiene la siguiente solución; donde las columnas 1 hasta la columna 5 representan los coeficientes de x, y, z, w y t, respectivamente, y la última columna es de términos independientes:

1 0 0 1 0 100

0 1 0 1 0 80

0 0 1 -1 0 70

0 0 0 0 1 120

Determine el tipo de sistema.



Determine la solución al problema dado.

Suponer que la calle de A a D estuviera en reparación, ¿cuál sería el mínimo tráfico que se podría tener en las avenidas del circuito?

Suponiendo 20 carros pasan por la avenida Bolívar, ¿cuál sería el tráfico que se podría tener en las avenidas del circuito?

3. Considerar el siguiente diagrama de una malla de calles de un sentido con

vehículos que entran y salen de las intersecciones. La intersección k se

denota [k]. Las flechas a lo largo de las calles indican la dirección del flujo de

tráfico. Sea xi = número de vehículos/h que circulan por la calle i. Suponiendo

que el tráfico que entra a una intersección es igual al que sale.

a) Establezca un sistema de ecuaciones que describa el diagrama del flujo de tráfico

b) Si al resolver el sistema obtenido en (a), se obtiene la siguiente solución; donde las columnas 1 hasta la columna 5 representan los coeficientes de x1 a x5, respectivamente, y la última columna es de términos independientes

1 0 -1 0 1 200

0 1 -1 0 1 200

0 0 0 1 -1 -100

0 0 0 0 0 0

Determine el tipo de sistema.

Determine la solución al problema dado.

Suponer que la calle de [1] a [3] necesita cerrarse; es decir, x3=0. ¿Puede cerrarse también la calle de [4] a [1]? Si no se puede cerrar, ¿cuál es la mínima cantidad de vehículos que puede admitir esta calle ([4] a [1])?



4. Un comerciante compró máquinas de cortar césped, sierras y tijeras de podar.

Las primeras le costaban a S/ 5 000, las segundas a S/ 1 000 y las terceras a

S/ 50. Compró 200 unidades gastando un total de S/ 200 000. ¿Cuántas

unidades de cada uno compró, si adquirió los tres productos?

5. Una juguetería produce tres tipos de aviones: el modelo A a un costo de S/

100, el modelo B a un costo de S/ 200 y el modelo C a un costo de S/ 300.

Cierto día vendieron un total de 47 aviones por un monto total de S/ 11 100,

con estos datos ¿es posible determinar cuántos aviones de cada modelo se

vendió?

6. Para el control de cierta enfermedad de una planta, se usan tres productos

químicos en las siguientes proporciones: 10 unidades del químico A, 12

unidades del químico B, y 8 unidades del químico C. Las marcas X, Y y

Z son atomizadores comerciales que se venden en el mercado. Un galón de

la marca X contiene los químicos A, B y C, en la cantidad de 1, 2 y 1

unidades respectivamente. Un galón de la marca Y contiene los químicos en

la cantidad de 2, 1 y 3 unidades respectivamente; y un galón de la marca

Z los contiene en la cantidad 3, 2 y 1 unidades respectivamente. ¿Qué

cantidad de cada marca debe emplearse para fumigar la planta con las

cantidades exactas de los químicos requeridas para el control de la

enfermedad?

7. Suponga que una economía simple tiene cuatro industrias: agricultura,

construcción, vestuario y transporte, y que se satisfacen las condiciones del

modelo cerrado de Leontief. Los insumos y los productos están dados por la

siguiente matriz.

Producción

Agricultura Construcción Vestuario Transporte

Consumo

Agricultura

Construcción

Vestuario

Transporte



Suponga que los ingresos a las industrias de agricultura, construcción,

vestuario y transporte son 4321 PyPPP ,, respectivamente. Asuma que se

cumple la condición de equilibrio (los gastos debidos al consumo es igual a

los ingresos a las ventas), determine los ingresos de cada sector de la

economía.

8. Tres compuestos se combinan para formar tres tipos de fertilizantes. Una

unidad del fertilizante del tipo I requiere 10 kg del compuesto A, 30 kg del

compuesto B y 60 kg del compuesto C. Una unidad del tipo II requiere 20 kg

del A, 30 kg del B, y 50 kg del C. Una unidad del tipo III requiere 50 kg del A y

50 kg del C. Si hay disponibles 1600 kg del A, 1200 kg del B y 3200 del C.

¿Cuántas unidades de los tres tipos de fertilizantes se pueden producir si se

usa todo el material químico disponible?

9. Un dietista está preparando una dieta que consta de los alimentos A, B y C.

Cada onza del alimento A contiene 2 unidades de proteína, 3 unidades de

grasa y 4 unidades de carbohidratos. Cada onza del alimento B contiene 3

unidades de proteína, 2 unidades de grasa y 1 unidad de carbohidratos.

Cada onza del alimento C contiene 3 unidades de proteína, 3 unidades de

grasa y 2 unidades de carbohidratos. Si la dieta debe proporcionar

exactamente 25 unidades de proteína, 24 unidades de grasa y 21

unidades de carbohidratos, ¿cuántas onzas de cada comida se necesitan?

10. Una compañía minera extrae mineral de dos minas, el cual contiene para

la mina I el 1% de níquel y 2% de cobre, para la mina II el 2% de níquel y 5%

de cobre. ¿Qué cantidad de mineral se deberá extraer de cada mina para

obtener 4 toneladas de níquel y 9 toneladas de cobre?



Solucionario:

1. Análisis de flujo de tráfico:

El flujo de tráfico en la intersección:

100400300

500250750

300400100

100300200

3232

4343

2121

4114

xxxxD

xxxxC

xxxxB

xxxxA

:

:

:

:

Resolviendo el sistema por Gauss – Jordan , se tiene:

0

500

400

100

0000

1100

1010

1001

A

A*

El sistema es consistente indeterminado.

La solución del problema es: 410 ,,; iZxx ii

y , de

valores los obtiene se , tome que valor del do.Dependien

.

,

321

44

44

44343

44242

44141

500

0

5000500500

4000400400

1000100100

xxx

xx

Zxx

xxxxx

xxxxx

xxxxx

Supongamos que la calle que va de C a A está en reparación,

entonces el tráfico debe ser el mínimo en dicha calle, ie 4x = 500.

Luego, para obtener el menor tráfico en C –A, 03 x , ie: Debe

cerrarse la carretera entre D – C. Con esto se obtendría de manera



única y mínima los flujos en A –B – C ( ,4001005001 x

1004005002 x .

2. Vb

3. L

4. L

5. L

6. Ñ}

Supongamos que los ingresos de la industria es:

Agricultura : 1P

Construcción : 2P

Vestuario : 3P y

Transporte : 4P y

Además, teniendo en cuenta que se cumple la condición de equilibrio (los gastos debidos al consumo son igual a los ingresos debidos a las ventas), se tiene el siguiente sistema lineal:

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 4 1 10

3 9 3 3

1 2 1 10

3 3 6 6

1 1 3 10

4 9 4 41 1 1 3

012 9 4 4

P P P P

P P P P

P P P P

P P P P

Resolviendo dicho sistema, mediante Gauss – Jordan, usando matlab:

>> C=[-2/3 4/9 1/3 1/3 0;1/3 -2/3 1/6 1/6 0;1/4 1/9 -3/4 1/4 0;1/12 1/9 1/4 -3/4 0]

C =

-0.6667 0.4444 0.3333 0.3333 0

0.3333 -0.6667 0.1667 0.1667 0

0.2500 0.1111 -0.7500 0.2500 0

0.0833 0.1111 0.2500 -0.7500 0

>> rref(C)

ans =

1.0000 0 0 -2.4000 0

0 1.0000 0 -1.8000 0

0 0 1.0000 -1.4000 0



0 0 0 0 0

de donde se obtiene:

1. rang(A)=rang(A/B)=3<nº variables(4). Por tanto el sistema es compatible

indeterminado, ie: tiene infinitas soluciones:

2. Las soluciones se obtiene de la ultima matriz equivalente a la ampliada

(A/B)=C, Cada fila representa las siguientes ecuaciones:

1 4 1 4

2 4 2 4

3 4 3 4

122.4 0

59

1.8 057

1.4 05

0 0 ( )

P P P P

P P P P

P P P P

Verdad

Haciendo:

4

1

2

3

5 ,

12

9

7

P t t

P t

P t

P t

La solución del sistema se puede representar como:

1 2 3, , 12 ,9 ,7 12,9,7 ,P P P t t t t t , tiene infinitas soluciones.

Sin embargo para la solución del problema dado, “t” debe ser un

número real no negativo, tales que los ingresos de la industria de la

agricultura, construcción y vestuario están en la proporción 12:9:7,

respectivamente.

7.

clases de sistema de ecuaciones

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