DINAMICA DE FUNDACIONES

Facultad de Ingenierıa

Departamento de Ingenierıa Civil

Pilotes cargados lateralmente

Javier Mora Torres

Concepcion - 4 de noviembre de 2012

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Indice general

1. PILOTES CARGADOS LATERALMENTE 31.1. Capacidad lateral de Pilotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1. Empuje lateral ultimo en suelos no cohesivos . . . . . . . . . . . . . . 71.1.2. Empuje lateral ultimo en suelos cohesivos . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2. Deformacion de pilotes bajo carga lateral . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.1. Enfoque reaccion de la subrasante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.2. Enfoque elastico continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.3. Idealizacion Cantilever . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.2.4. Ejemplos de aplicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

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Capıtulo 1

PILOTES CARGADOSLATERALMENTE

1.1. Capacidad lateral de Pilotes

Casi todas las fundaciones con pilotes estan sujetas al menos a algun grado de carga hori-zontal. En muchos casos, la magnitud de las cargas horizontales, en relacion a la carga verticalaplicada es pequena, y no es necesario realizar calculos de diseno adicionales. Por ejemplolas fundaciones profundas de un edificio de moderada altura podran facilmente soportar lacarga de corte a la cual el edificio podrıa estar sujeto. En otros casos, tal como un murode contencion de tierra armada o un muelle, la carga horizontal puede resultar crıtica en eldiseno. Tradicionalmente, los pilotes han sido instalados a un angulo con la vertical, prove-yendo suficiente resistencia horizontal en virtud de la componente de la capacidad axial delpilote que actua horizontalmente. Sin embargo, resulta muy conservador ignorar la capacidaddel pilote para soportar la carga lateral (i.e. carga aplicada normal al eje del pilote). Estapuede tıpicamente ser de un orden de magnitud menor que la capacidad axial de un pilote,pero puede bien ser suficiente para omitir la necesidad de pilotes inclinados o fila de pilotes,los cuales son mas costosos de instalar.

La carga lateral de un pilote puede ser dividida en general en dos categorıas; de cargaactiva, donde las cargas externas aplicadas son aplicadas al pilote, con el suelo resistiendo lacarga, y de carga pasiva, cuando el desplazamiento del suelo somete al pilote a esfuerzos deflexion.

Cuando un pilote se carga lateralmente, las tensiones normales podrıan incrementarseen el frente, y disminuirse detras del pilote. Los desplazamientos en el suelo tienden a serradialmente alejandose del pilote enfrente del pilote, y radialmente hacia atras del pilote. Enalgun momento, cerca de la superficie del suelo, una abertura probablemente se abrira entrela parte posterior del pilote y el suelo, con el suelo en frente del pilote fallando en un tipo demecanismo de cuna, como se muestra en la Figura 1.1. Mas abajo, en el fuste del pilote, el

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Figura 1.1: Deformacion de un pilote bajo carga lateral.

suelo eventualmente fallara (fluira) alrededor del pilote sin presencia de aberturas. Al calcularla distribucion de empuje ultimo el cual puede ser movilizado por el pilote, estos diferentestipos de mecanismo de falla en el suelo deben ser tomados en cuenta.

El colapso del pilote por sı mismo puede ocurrir en uno de los dos modos. Para pilotescortos, o pilotes con un momento plastico grande, el pilote rotara esencialmente como uncuerpo rıgido. El perfil resultante de resistencia ofrecida por el suelo sera como se muestraesquematicamente en la Figura 1.2 (a). Por encima del centro de rotacion, se desarrollara em-puje pasivo en frente del pilote, mientras que bajo el centro de rotacion, el empuje pasivoestara detras del pilote. Para pilotes largos, se desarrollara una rotula plastica a cierta pro-fundidad, y solo la parte superior del pilote se sometera a un desplazamiento significativo(Figura 1.2 (b)). Aunque el suelo estara sujeto a cargas bajo la rotula plastica, los calculosde carga de falla solo requieren conocimiento del empuje actuando sobre la parte superior delpilote, por encima de la rotula plastica.

Cuando un pilote esta embebido en una cabeza, la cual esta restringida a la rotacion, sonposibles tres modos diferentes de colapso, como se muestra en la Figura 1.3. Pilotes cortosse trasladaran como un cuerpo rıgido con la cabeza, mientras que progresivamente piloteslargos formaran primero una rotula plastica al nivel de la cabeza del pilote, y luego otrarotula plastica a alguna distancia bajo el pilote. En la practica, la mayorıa de los pilotes se

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comportan como pilotes largos en cuanto a la capacidad lateral. Sino sera por lo tanto comoel modo que se muestra en la Figura 1.3 (c).

En los calculos de cargas de falla, es habitual tratar el suelo como un material plasticorıgido, idealizando los perfiles de empuje ultimo como se muestra en la Figura 1.2, contransiciones bruscas de empuje actuando en frente del pilote, justo por encima del punto dearticulacion es cero, y para pilotes cortos, limitando el empuje total que actua detras delpilote justo por debajo del punto de articulacion. Las fuerzas equivalentes, P y sus brazos depalanca, l, se muestran en la Figura 1.2 para un pilote sin restricciones. Para pilotes cortos,el momento en el punto B es Pbc(lbc−h), donde h es la profundidad del punto rotulado, y estedebe ser menor que el momento plastico para la seccion del pilote. El equilibrio horizontalentonces entrega

Hf = Pab − Pbc (1.1)

mientras que el equilibrio de momentos implica que

Hf (e+ h) = Pab(h− lab) + Pbc(lbc − h) (1.2)

Para un perfil dado de empuje ultimo que actua sobre el pilote, Pab y Pbc pueden serevaluados y resolver las dos ecuaciones anteriores para encontrarHf . Si el pilote falla mediantela formacion de una rotula plastica, esto ocurrira en el punto de maximo momento flector, ypor lo tanto donde la fuerza de corte es cero. En la figura 1.2 (b), el momento en B puedeser igual al momento plastico, Mp, para la seccion de pilote, y el empuje que actua sobre elpilote por debajo del punto B puede ser ignorado. Para fuerza cortante cero en el punto dearticulacion, Hf debe ser igual a Pab. Tomando momentos respecto a B, entonces queda

Hf [e+ h− (h− lab)] = Hf (e+ lab) = Mp (1.3)

Para el caso de un pilote en donde se restringe rotacion de la cabeza, las ecuaciones anterio-res se pueden usar donde, una o dos rotulas plasticas de forman, simplemente anadiendo untermino extra Mp, a los lados derechos de las ecuaciones (1.2) y (1.3) para permitir la rotulaen la parte superior del pilote. Para pilotes cortos, donde el pilote se traslada lateralmente(Figura 1.3 (a)), la carga de falla puede ser calculada de una manera sencilla, mediante laintegracion del empuje en toda la longitud del pilote. Debe tenerse en cuenta que los momen-tos flectores en la parte superior de los pilotes integrados a una cabeza deben ser tomadosen cuenta en el diseno de la cabeza en sı.

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Figura 1.2: Variacion de la resistencia del suelo a lo largo de pilotes cargados lateralmente.

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Figura 1.3: Modos de falla para pilotes cargados lateralmente.

1.1.1. Empuje lateral ultimo en suelos no cohesivos

A poca profundidad (menos de un diametro) un pilote circular o cuadrado parecera unlargo muro de contencion. En caso de falla, la cuna de suelo sera empujado por delante delpilote, y el empuje ultimo que actua sobre el pilote (para suelo no cohesivo) estara cerca deKp veces la tension vertical efectiva local, donde Kp es el coeficiente de empuje pasivo, iguala (1 + sinϕ′)/(1− sinϕ′). A mayor profundidad, sin embargo, se pueden desarrollar empujesultimos mucho mas grandes, debido a la naturaleza tridimensional del problema. En frentedel pilote, el suelo se deforma tanto como en un ensayo presiometrico, mientras que detras delpilote, las tensiones de contacto se reducen hasta que, en el lımite, el pilote se separa del suelo.A partir de los resultados de los ensayos presiometricos en arena (Hughes et al., 1977; Faheyand Randolph, 1984), se requieren presiones superiores a 10 veces el esfuerzo de sobrecargaefectiva para aumentar el radio del presiometro un 10 %. Sin empuje ultimo normalmente sealcanza, sino mas bien la presion aumenta proporcionalmente con la deformacion de cavidada algun exponente. El valor del exponente depende del angulo de friccion y la velocidad dedilatacion del suelo (Hughes et al., 1977).

En la practica, por supuesto, la falla del pilote se producira en algun momento, normalmen-te por la formacion de una rotula plastica en un cierto punto del pilote. El movimiento lateraldel pilote para provocar una falla tal estara generalmente en exceso de 10 % del diametro delpilote, en cuya etapa la analogıa del presiometro puede ya no ser precisa.

Aunque se ha propuesto una solucion no analıtica , Broms (1964) sugirio una fuerza ultimapor unidad de longitud del pilote, Pu dada por

Pu = 3Kpσ′vd (1.4)

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donde d es el diametro o el ancho del pilote. Esta expresion entrega empujes ultimos promedio,los cuales seran ligeramente mayor que el valor de 10σ′v mencionado anteriormente, paravalores practicos de ϕ′. Sin embargo, las comparaciones con resultados de ensayos in situmuestran una tendencia a que las capacidades medidas sean subestimadas en un 30 % usandoesta expresion (Poulos and Davis, 1980). Reese et al. (1974) postularon un mecanismo defalla de cuna en frente del pilote, lo cual conduce a una variacion de Pu, con la profundidadque es inicialmente proporcional a Kp, pero a mayor profundidad se vuelve proporcional aK3

p . Esta relacion se ha incorporado en las recomendacines del API (American PetroleumInstitute) para diseno de pilotes costa afuera.

Brinch Hansen (1961) y Meyerhof (1995) tambien desarrollaron tablas que describen lasvariaciones bastante complejas de la resistencia lateral ultima con la profundidad, mientrasque Barton (1982) encontro que sus datos de carga lateral podrıan coincidir de manerasuficiente con la simple variacion dada por

Pu = K2pσ′vd (1.5)

Para casi toda la arena de origen natural, Kp sera mayor que 3, de manera que estaexpresion dara un mejor ajuste a los resultados de las pruebas de carga que hizo en la ecuacion(1.4). Para la arena densa utilizada por Barton (1982) el angulo de friccion φ′ = 43◦, dandoKp = 5.3, y ası las resistencias laterales son alrededor del 75 % mayor que el valor sugeridopor Broms (1964). Estas diversas relaciones se comparan en la Figura 1.4.

Las ecuaciones (1.4) y (1.5) son casos particulares del caso mas general, donde la resistenciadel suelo se asume que varıa proporcionalmente con la profundidad de acuerdo a Pu = ndz,donde n es el gradiente del empuje medio final a traves del ancho de un pilote de diametro,d. Ası, para estas dos expresiones, n serıa igual a 3Kpγ

′ o K2pγ′ respectivamente. La relacion

general puede ser utilizada para derivar graficos que entregan la capacidad lateral de piloteslargos y cortos embebidos en un suelo uniforme con un gradiente de resistencia dada, comose muestra en la Figura 1.5. Para pilotes cortos, las lıneas curvas discontinuas correspondenal mecanismo de falla que se muestra en la Figura 1.3 (b).

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Figura 1.4: Variacion de la fuerza lateral ultima normalizada por unidad de longitud, con laprofundidad.

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Figura 1.5: Graficos de diseno para pilotes cargados lateralmente en suelo con resistenciaproporcional a la profundidad. 10

1.1.2. Empuje lateral ultimo en suelos cohesivos

Para pilotes en suelo cohesivo, el empuje ultimo ejercido sobre la parte frontal del pilotepor la cuna de suelo cerca de la superficie del suelo puede tomarse como 2cu, donde cu es laresistencia al corte no drenada del suelo. Reese (1958) y Matlock (1970) sugirieron tomar unempuje ultimo a poca profundidad, dado por

pu =Pu

d= 2cu + σ′v + αcu

z

d(1.6)

donde el factor α esta entre 0.5 y 3. Randolph y Houlsby (1984) sugirieron tomar α = 1.5.(Notar que σ′v podrıa reemplazarse por σv donde el agua no es libre de fluir por detras delpilote.)

Un mecanismo de falla mas general fue estudiado por Murff y Hamilton (1993), el cualcomprende una cuna conica de un solo lado o de dos lados, donde las velocidades radiales enel suelo varıan en proporcion a cosθ (ver Figura 1.6). Aparte de una carga muy transitoria,el supuesto conservador es asumir un mecanismo de un solo lado, con una abertura detrasdel pilote.

El mecanismo puede ser utilizado como la base de cota superior de la resistencia lateral paraun pilote. Murff y Hamilton (1993) muestran que la distribucion resultante de la resistenciase puede expresar como

pu =Pu

d= Npcu + σ′v (1.7)

donde Np se presenta como una funcion de la profundidad, lo que permite la variacion de lafuerza con la profundidad. Para el caso de que la resistencia del suelo varıe linealmente conla profundidad z de acuerdo a cu = cu0 + kz, la variacion de Np es

Np = Npl − (Npl − 2)e−ξzd (1.8)

donde

ξ = 0.25 + 0.05cu0kd≤ 0.55 (1.9)

El termino Npl es el valor lımite de Np con la profundidad, y puede tomarse ya sea como9, siguiendo Broms (1964), o usando las soluciones descritas a continuacion.

Solucion a partir de la Plasticidad

Randolph y Houlsby (1984) describen una solucion analıtica para el flujo de suelo alrededorde un objeto cilındrico. La solucion fue originalmente considerada como exacta, dentro de loslımites del modelo rıgido plastico del suelo, aunque posteriormente se descubrio que la mejor

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Figura 1.6: Mecanismo de colapso para el calculo del lımite superior. (Despues de Stewart,1999).

cota superior se encuentra ligeramente por encima del lımite inferior. La solucion permitelimitar la friccion, fs en la interfaz suelo-pilote que es menor o igual a la resistencia al cortedel suelo. Definiendo ∆ = sin−1(fs/cu), la frontera inferior para el factor de capacidad lımite,Npl, viene dada por

Npl =Pu

cud= π + 2∆ + 4 cos

(π −∆

4

)(√2 + sin

(π −∆

4

))(1.10)

La variacion del empuje ultimo con la razon de friccion fs/cu se muestra en la Figura 1.7.El valor de Npl varıa de 9.14, para un pilote perfectamente liso, hasta 11.94 para un piloteperfectamente rugoso, con un valor promedio de 10.5.

La Figura 1.8 muestra el mecanismo de falla para el caso de f2/cu = 0.5.

Analogıa del Presiometro

Las soluciones basadas en una respuesta rıgido-plastica del suelo pueden sobrestimar laverdadera capacidad donde se limita el flujo plastico. Un enfoque alternativo usa la analogıade la deformacion del suelo alrededor de un Presiometro, tal como noto Swain (1976) de losensayos sobre anclajes profundamente incrustados. La geometrıa de un anclaje es similar ala de un pilote cargado lateralmente, y los resultados experimentales indicaron un patron demovimiento radial hacia fuera del suelo en frente del anclaje, y un movimiento radial haciadentro detras del anclaje.

Para este patron de deformacion, es razonable asumir que el empuje ejercido por el suelo enfrente de un pilote cargado lateralmente, se acercara al empuje ultimo medido en un ensayopresiometrico. Detras del pilote, la tension normal mas baja sera una succion del orden de100kPa. Si se forma una separacion, entonces esta tension se incrementara a cero (en un

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Figura 1.7: Variacion de la resistencia lateral lımite con la razon de friccion de interface(Randolph and Houlsby, 1984).

Figura 1.8: Mecanismo de flujo para el suelo alrededor de pilote cargado lateralmente.

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agujero en seco) o si existe agua libre en la cabeza del pilote (por ejemplo, para pilotes costaafuera). Ademas, a los lados del pilote, algo de cohesion puede estar presente entre el pilotey el suelo. Tıpicamente, esta cohesion puede ser estimada como cud, por unidad de longituddel pilote.

El empuje ultimo, pl, obtenido de un ensayo presiometrico puede ser escrito

pl = σh + cu [ln(G/cu) + 1] (1.11)

donde σh es la tension horizontal (total) in situ en el suelo, y G es el modulo de cortedel suelo. En la practica, para valores tıpicos de G/cu, esta expresion puede ser aproximadapor pl ≈ σh + 6cu (Marsland and Randolph, 1977). Ası la fuerza neta por unidad de longitudactuando sobre el pilote se encuentra entre los lımites

(σ′h + 7cu)d ≤ Pu ≤ (σh + Pa + 7cu)d (1.12)

donde el lımite inferior corresponde al caso de agua en la cabeza actuando detras delpilote, y el lımite superior es donde se desarrolla una succion detras del pilote (Pa denotapresion atmosferica).

Para arcillas normal o ligeramente sobreconsolidadas, σ′h/cu sera aproximadamente 2, yel lımite inferior en la ecuacion (1.12) corresponde al resultado para un pilote liso obtenidode la teorıa de la plasticidad. Para una carga a corto plazo, probablemente se desarrollara al-guna succion detras del pilote, y la solucion de la plasticidad entregara la estimacion masbaja de fuerza ultima por unidad de longitud que actua sobre el pilote. Para arcillas durassobreconsolidadas la razon σ′h/cu sera considerablemente menor y puede ser tan baja como0.5 a poca profundidad. Incluso si se desarrolla succion detras del pilote, la fuerza ultima porunidad de longitud puede caer por debajo de 9cud.

Perfil general del empuje ultimo

El analisis proporciona una base teorica para la eleccion de los perfiles particulares deempuje ultimo para pilotes cargados lateralmente. En muchos casos, sin embargo, los valoressugeridos para Pu conducen a un perfil que aumenta desde 2cud en la superficie del suelo,hasta un valor de aproximadamente 9cud a una profundidad de 3 veces el diametro del pilote,como originalmente sugirio Broms (1964). (Broms conservadoramente tomo Pu igual a cero enla superficie del suelo, para permitir cualquier separacion que pudiera estar presente alrededorde la cabeza del pilote.) Este perfil de Pu se muestra en la Figura 1.9. El lımite de 9cud enprofundidad es probable que sea conservador, excepto para el caso de pilotes en arcilla rıgidasobreconsolidada, especialmente si hay agua libre disponible para fluir en cualquier espaciodetras del pilote.

Adoptando el perfil de fuerza ultima por unidad de longitud que se muestra en la Figura1.9, se pueden preparar graficos entregando la capacidad lateral de un pilote en terminos de

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Figura 1.9: Variacion idealizada de la resistencia lımite con la profundidad.

su geometrıa y el momento plastico lımite. Los graficos, que se muestran en la Figura 1.10,son similares a los presentados por Broms (1964), dando marginalmente cargas mas altasde falla como resultado de tomar Pu igual a 2cud en la superficie del suelo. Stewart (1999)demostro que las capacidades resultante de pilotes son tambien muy cercanas a las obtenidasmediante el enfoque de Murff y Hamilton (1993), con el supuesto conservador de suelo sinpeso.

Para otras variaciones calculadas de Pu con respecto a la profundidad, las expresionesderivadas en la seccion inicial pueden ser usadas para producir conjuntos similares de graficosa los mostrados en la Figura 1.10. Para perfiles estratificados, el procedimiento puede envolveralguna iteracion escogiendo un valor para la profundidad de la rotula plastica, siguiendo losprincipios descritos en la seccion inicial para calcular el valor de Hf , y luego comprobar quela posicion de la rotula corresponde al punto donde la fuerza de corte es cero en el pilote.

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1.2. Deformacion de pilotes bajo carga lateral

La deformacion de un pilote sujeto a carga lateral esta generalmente restringida a la partesuperior del pilote,raramente extendiendose mas alla de 10 veces el diametro del pilote bajola superficie del suelo. Esto ha llevado a una comun, aunque imprecisa, idealizacion de pilotescargados lateralmente en terminos de voladizos equivalentes. El pilote es reemplazado poruna viga en voladizo, fija a alguna profundidad e ignorando el apoyo del suelo por encima deesa profundidad. Modelos mas precisos de la respuesta de un pilote a carga lateral se obtienendejando apoyo del suelo sobre la parte superior del pilote. Dos alternativas de enfoque sonposibles, una donde el suelo es representado por resortes discretos bajo la longitud del pilote,y uno mas preciso el cual es un modelo continuo del suelo. Estos dos enfoques son discutidosen las siguientes secciones.

1.2.1. Enfoque reaccion de la subrasante

Los primeros analisis de la respuesta de un pilote cargado lateralmente trataron el suelocomo una serie de resortes bajo la longitud del pilote, la llamada idealizacion Winkler delsuelo (ver Figura 1.11). La rigidez del resorte, k, dando a la carga por unidad de longitud delpilote inducida por deflexion unitaria lateral del pilote, se denomina generalmente como elcoeficiente de balasto. Si k se supone constante a lo largo del pilote entonces son posibles lassoluciones analıticas, dando la forma deflectada del pilote, y la fuerza de corte y distribucionde momentos flectores abajo del pilote (Matlock and Reese, 1960). Para un pilote de unarigidez a la flexion dada, (EI)p, en suelo con un coeficiente de balasto, k, existe una longitudcrıtica mas alla del cual el pilote se comporta como si fuera infinitamente largo.

Esta longitud crıtica esta dada por

Lc = 4[(EI)p/k]1/4 (1.13)

Por lo tanto, como para el caso pilotes largos esbeltos sometidos a carga axial, los efectosde la carga aplicada en la parte superior del pilote se anulan a cierta profundidad abajo delpilote. De hecho la gran mayorıa de los pilotes encontrados en la practica se comportan comopilotes flexibles (es decir, mas largo que su longitud crıtica). Para tales pilotes, la deflexion,u, y la rotacion, θ, a nivel del suelo debido a la carga aplicada, H, y al momento, M , estandadas por

u =√

2H

k

(Lc

4

)−1+M

k

(Lc

4

)−2(1.14)

θ =H

k

(Lc

4

)−2+√

2M

k

(Lc

4

)−3(1.15)

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Figura 1.10: Graficos de diseno para pilotes cargados lateralmente en suelo cohesivo.

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Figura 1.11: Modelo de la reaccion de la subrasante del suelo alrededor del pilote.

Expresiones similares para la longitud crıtica y para la respuesta de carga deformacion sepueden obtener para casos donde el valor del coeficiente de balasto varıa con la profundidad,en particular donde es proporcional con la profundidad (Reese and Matlock, 1956).

Para cuando el coeficiente de balasto varıe proporcionalmente con la profundidad de acuer-do a k = nz, la longitud crıtica puede ser estimada a partir de

Lc = 4[(EI)p/n]1/5 (1.16)

y las deformaciones correspondientes a nivel de suelo estan dadas por

u = 2.43H

n

(Lc

4

)−2+ 1.62

M

n

(Lc

4

)−3(1.17)

θ = 1.62H

n

(Lc

4

)−3+ 1.73

M

n

(Lc

4

)−4(1.18)

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Tecnicas de computador han permitido la extension de este enfoque para incluir resortes nolineales a modo de representar el suelo. En lugar de un coeficiente de balasto, una completacurva de transferencia de carga (o p, carga por unidad de longitud de pilote, y, deflexion)se especifica. La modelacion por diferencia finita de la flexion del pilote permite obteneruna curva completa de carga-deflexion para el pilote (Reese, 1977). Las formas tıpicas de lascurvas p−y han sido presentadas por Reese et al., (1974) para pilotes en arena y por Matlock(1970), Dunnavant and O’Neill (1989) para pilotes en arcilla. En situaciones particulares,notablemente para diseno de pilotes costa afuera, los analisis de curva de transferencia decarga de pilotes pueden jugar un rol escencial en el diseno, principalmente con el fin de evaluarlos efectos de ciclos de carga. Herramientas computacionales tales como LPILE (Reese andWang, 1993) o PYGMY (Stewart, 1999b) incorporan algoritmos estandar para generar curvasp − y y pueden ser usados para analisis no lineal de pilotes individuales. Sin embargo, paraaplicaciones costa adentro el analisis lineal simple es a menudo suficiente, en particular cuandolos pilotes son parte de un grupo han de tenerse en cuenta los efectos de interaccion.

1.2.2. Enfoque elastico continuo

La principal limitacion en el uso de la teorıa de reaccion de la subrasante para el analisisde pilotes cargados lateralmente radica en asegurar un apropiado valor del coeficiente debalasto, k, para el suelo. Las comparaciones de la aproximacion balasto con analisis elasticoriguroso han demostrado que la eleccion correcta para k depende no solo de las propiedadesde los suelos, sino que tambien de la rigidez del pilote y la forma de la carga (que es laexcentricidad de la carga lateral aplicada). Ademas, no hay manera racional en el que losefectos de interaccion se puedan cuantificar cuando un grupo de pilotes se carga lateralmente.

Con el fin de superar estas limitaciones, se han presentado soluciones basadas en modelosde elementos finitos y de contorno del pilote y del suelo continuo (Poulos, 1971; Kuhlemeyer,1979; Randolph, 1981). Estas soluciones permiten expresiones similares en forma escrita aaquellas en las ecuaciones (1.13), (1.14) y (1.15), para la longitud crıtica del pilote y lasdeformaciones a nivel del suelo. Tratar inicialmente con los pilotes que son mas largos que sulongitud crıtica, se hace primeramente necesario tener en cuenta la rigidez promedio del suelosobre la longitud activa del pilote. Con el fin de evitar la necesidad de soluciones diferentespara diferentes valores del coeficiente de Poisson, Randolph (1981) introdujo un modulo G∗

definido por

G∗ = G

(1 +

3ν

4

)(1.19)

Haciendo referencia a la Figura 1.12, un modulo tıpico, Gc, se define como el valor mediode G∗ en toda la longitud activa del pilote. Ademas se introduce un parametro, ρc, el cualrefleja el grado de homogeneidad en la rigidez del suelo. Para la variacion lineal del modulomostrado en la Figura 1.12, ρc convenientemente puede estar definido por

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Figura 1.12: Definicion de ρc y Gc.

ρc =G∗Lc/4G∗Lc/2

=G∗Lc/4Gc

(1.20)

Esto es util para mostrar la solucion en terminos de un pilote solido equivalente de lamisma area de seccion transversal y la misma rigidez de flexion como el pilote real. Para unpilote equivalente de diametro d, el apropiado modulo de Young pueden ser calculado como

Ep =(EI)pπd4/64

(1.21)

donde (EI)p es la rigidez a flexion del pilote actual.

La longitud crıtica del pilote ahora esta definida por

Lc = d

(Ep

Gc

)2/7

(1.22)

La forma de esta ecuacion es similar a la ecuacion (1.13), con un exponente 2/7 en vez de1/4. Tambien, es usado Ep para un pilote equivalente en vez de la rigidez a flexion (EI)p,es posible pensar en terminos de una relacion de esbeltez crıtica, Lc/d, para el pilote que sededuce directamente de la razon de rigidez, Ep/Gc.

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Se puede ver en la Figura 1.12 que la definicion de Gc requiere el conocimiento de lalongitud crıtica Lc, que a su vez se define en terminos de Gc. Ası, se requiere alguna iteracionexcepto para los casos extremos de suelo homogeneo (ρ = 1) y suelo donde G es proporcionala la profundidad (ρ = 0.5 y la longitud crıtica se reduce a Lc = d(2Ep/m

∗d)2/9, donde m∗ esla tasa de incremento de G∗ con la profundidad). Por ejemplo, suponer que la variacion delmodulo de corte con la profundidad, z, es aproximada como

G = 10 + 4z (1.23)

donde z esta en m y G en MPa

Para un pilote de diametro 0.6m, con modulo equivalente Ep = 30×103 MPa, una primeraaproximacion para la longitud crıtica del pilote puede ser 6m (que es 10 veces el diametro delpilote). Tomando el coeficiente de Poisson como 0.3, el modulo caracterıstico, Gc, se calculacomo

Gc = (10 + 4× 6/2)(1 + 3× 0.3/4) = 27.0MPa (1.24)

Esto da una estimacion revisada de la longitud crıtica del pilote de

Lc = 0.6× (3× 104/27)2/7 = 4.45m. (1.25)

Otra iteracion entrega los valores finales de Lc = 4.63m, Gc = 23.6MPa.

El concepto de modulo de corte caracterıstico, Gc, y longitud crıtica del pilote, Lc, puedenser usadas para escribir expresiones para la deformacion del nivel del suelo del pilote. Ası ladeflexion lateral, u, y la rotacion, θ, estan dadas por

u =(Ep/Gc)

1/7

ρc/Gc

[0.27

H

Lc/2+ 0.3

M

(Lc/2)2

](1.26)

θ =(Ep/Gc)

1/7

ρc/Gc

[0.3

H

(Lc/2)2+ 0.8

√ρc

M

(Lc/2)3

](1.27)

Estas expresiones han sido derivadas por sıntesis de una serie de analisis de elementosfinitos (Randolph, 1981). La similitud con los obtenidos a partir del enfoque de reaccion dela subrasante (ecuaciones (1.14) y (1.15)) es evidente.

Se pueden obtener perfiles generalizados de deflexion y momento flector hacia abajo delpilote para pilotes sometidos a fuerza de corte, H, o momento flector, M . Estos perfiles semuestran en las Figuras 1.13 y 1.14. El momento maximo para un pilote bajo una carga lateralH, se produce a una profundidad entre Lc/4 (para suelo homogeneo) y Lc/3 (para suelo conrigidez proporcional a la profundidad). El valor del momento maximo puede estimarse como

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Figura 1.13: Curvas generalizadas de la deflexion lateral y perfil de momento flector parafuerza de carga.

Mmax = (0.1/ρc)HLc (1.28)

Para un grupo de pilotes, la tapa del pilote puede evitar la rotacion de la cabeza del pilote.Para tal pilote, se pueden utilizar las ecuaciones (1.26) y (1.27) para encontrar el momentode empotramiento, Mf . Haciendo θ = 0, el momento de empotramiento viene dado por

Mmax = −[0.1875/(ρc)

1/2]HLc (1.29)

La deflexion resultante de la cabeza del pilote puede calcularse como

uf =(Ep/Gc)

1/7

ρc/Gc

(0.27− 0.11

√ρc

)H

Lc/2(1.30)

Esto es aproximadamente la mitad de lo que hubiera sido para un pilote de cabeza libre.La Figura 1.15 muestra el perfil generalizado flectado y la variacion del momento flector bajoel pilote para este caso.

Para ilustrar el uso de estas soluciones en el diseno, considere la respuesta de un pilotetubular de acero, de 1.5m de diametro, con espesor de pared 50 mm, hincado en una arcillablanda normalmente consolidada con resistencia al corte que se incremente a razon de 2.5kPa/m.

El modulo equivalente del pilote puede calcularse como

Ep = Eacero

[1−

(did

)4]

(1.31)

donde di es el diametro inercial del pilote y Eacero se toma como 210 GPa. Tomando unmodulo de corte para el suelo de G = 100 cu = 0.25z MPa, y un coficiente de Poisson 0.3,la longitud crıtica del pilote puede ser calculada como

22

Figura 1.14: Curvas generalizadas de la deflexion lateral y perfil de momento flector paramomento de carga.

Figura 1.15: Curvas generalizadas de la deflexion lateral y perfil de momento flector parafuerza de carga de pilote de cabeza fija.

23

Lc = d(2Ep/m∗d)2/9 = 23.1m (1.32)

donde m∗ = 0.25(1 + 0.75×0.3) = 0.306 MPa/m. El valor de Gc es entonces 0.5×23.1×0.306 = 3.53 MPa, and ρc = 0.5.

Bajo una carga lateral de 1 MN , sin rotacion permitida al nivel del suelo, el maximomomento flector y la deflexion a nivel del suelo puede ser calculada a partir de las ecuaciones(1.29) y (1.30) respectivamente como

Mf = −6.1 MNm; uf = 21.3 mm (1.33)

Es apropiado hacer comentarios acerca de la aplicabilidad de las soluciones para la res-puesta de pilotes sometidos a carga lateral, basados en las propiedades elasticas del suelo.Claramente, las grandes deformaciones que ocurren localmente alrededor de la cabeza delpilote podrıan reducir el modulo secante a un valor bajo. Es probale que la idealizacion delsuelo como material con rigidez proporcional a la profundidad es una buena idealizacion tantocomo ha de ser un material homogeneo. Incluso con esta idealizacion, sin embargo, escoger elmodulo del suelo dependera de la magnitud del movimiento esperado. Ensayos en modelos encentrifugas sobre pilotes hincados en arena densa, reportados por Barton (1982), muestranque la rigidez deducida del suelo disminuye bruscamente cuando la deflexion de la cabeza delpilote se incrementa. Tomando un modulo de corte para la arena, el cual aumenta propor-cionalmente con la profundidad, z, de acuerdo a G = mz, la variacion del valor deducido dem∗ = m(1+3ν/4) con una deflexion de la cabeza del pilote fue como se muestra en la Figura1.16.

En la practica, el criterio de diseno crıtico por lo general sera el momento maximo de flexionhacia abajo del pilote, en lugar de la deflexion de la cabeza. La ecuacion (1.28) muestra queeste momento maximo sera relativamente insensible al valor del modulo del suelo adoptado.De hecho, las pruebas centrıfugas de Barton mostraron que la solucion elastica dio unaestimacion razonablemente buena de la posicion y la magnitud del momento flector maximo.

Pilotes cortos

Para pilotes que son mas cortos que su longitud crıtica, la deformacion de la cabeza sera masgrande que la dada por las ecuaciones (1.26) y (1.27). El aumento en la deflexion es pequenohasta que la longitud del pilote cae por debajo de aproximadamente 0.8Lc. Carter and Kul-hawy (1988) presentaron una solucion para pilotes esencialmente rıgidos en suelo homogeneo(ρc = 1). Para pilotes donde L/d ≤ 0.05(Ep/Gc)

1/2, la deflexion del nivel del suelo y larotacion estan dadas por

u = 0.32H

dGc

(L

d

)−1/3+ 0.16

M

d2Gc

(L

d

)−7/8(1.34)

24

Figura 1.16: Variacion del modulo del suelo deducido con deflexion del pilote (Barton, 1982).

25

θ = 0.16H

d2Gc

(L

d

)−7/8+ 0.25

M

d3Gc

(L

d

)−5/3(1.35)

Con tales pilotes cortos, el diseno normalmente dependera de la posibilidad de que elpilote falle como movimiento de cuerpo rıgido a traves del suelo. Otros graficos que danrespuesta de pilotes cargados lateralmente se pueden encontrar en Poulos and Davis (1980).

1.2.3. Idealizacion Cantilever

El principal defecto de la idealizacion de pilotes cargados lateralmente como voladizo (Can-tilever), fijo a cierta profundidad debajo de la superficie, ha sido la falta de consideracionde la funcion de las rigideces relativas del pilote y el suelo para determinar la profundidadadecuada de empotramiento. Las ecuaciones (1.26) y (1.27) pueden escribirse en una formamas familiar para los ingenieros estructurales, sustituyendo Gc en terminos de Ep y la longi-tud crıtica, Lc (vease la ecuacion (1.20)) y luego reemplazando Ep por (EI)p/(πd

4/64). Enla mayorıa de los casos, sera conveniente tomar ρc igual a 0.5, lo que permite que la rigidezdel suelo sea muy baja cerca de la superficie del suelo, donde el nivel de deformacion en elsuelo es alto. Para este caso, las ecuaciones (1.26) y (1.27) son transformadas a

u = 0.424H

EI

(Lc

2

)3

+ 0.472M

EI

(Lc

2

)2

(1.36)

θ = 0.472H

EI

(Lc

2

)2

+ 0.887M

EI

(Lc

2

)(1.37)

Estas ecuaciones son similares a las que podrıan ser obtenidas a partir de una idealizacioncantilever de un pilote, con una profundidad de empotramiento de Lc/2. En ese caso los trescoeficientes independientes del lado derecho podrıan ser 1/3, 1/2 y 1 respectivamente, en vezde los valores 0.424, 0.472 y 0.887. Ası, los errores asociados en la estimacion de deforma-ciones en un pilote a partir de una idealizacion cantilever sera pequena, proporcionando laprofundidad apropiada de empotramiento de Lc/2 se adopta.

La idealizacion cantilever no es adecuada para estimar el perfil de momento flector inducido.Por ejemplo, en el caso simple de un pilote bajo una fuerza, H, solo la ecuacion (1.28) daun momento flector maximo de 0.2HLc (tomando ρc = 0.5), situado a una profundidad deLc/3. El enfoque cantilever darıa un momento flector maximo en la base del voladizo (a unaprofundidad de Lc/2) de magnitud 0.5HLc.

26

1.2.4. Ejemplos de aplicacion

Calcular la deflexion y el giro que se produce en un pilote debido a una carga horizontalde H = 500 kg y a un momento M = 5 T-m, aplicados en la cabeza del pilote. Considerepara ello los siguientes datos.

Parametro Unidad Valor

Diametro, d m 0.6Espesor pared, e mm 25Coeficiente de Poisson, ν 0.3Modulo de Elasticidad, Ep kg/m2 2.1 · 1010

Inercia pilote, Ip m4 187 · 10−5

Modulo de corte suelo, G MPa 10 + 4zCoef. balasto cte., Ks MPa/m 20Coef. balasto lineal, Ks(z) MPa/m 2z

Tabla 1.1: Parametros

Ejemplo reaccion de la subrasante constante

La longitud crıtica del pilote viene dada por la ecuacion (1.13), mientras que la deflexionu, y el giro θ por las ecuaciones (1.14) y (1.15) respectivamente. Donde el factor k presenteen las primeras dos ecuaciones se calcula de la siguiente manera.

k = Ksd = 20 · 105 · 0.6 = 1.2 · 106 kg/m2

Ası,

Lc = 4 ·[

2.1 · 1010 · 187 · 10−5

1.2 · 106

]1/4= 2.39 m

Finalmente se calcula u y θ

u =√

2500

1.2 · 106

(2.39

4

)−1+

5000

1.2 · 106

(2.39

4

)−2= 0.0205 m

θ =500

1.2 · 106

(2.39

4

)−2+√

25000

1.2 · 106

(2.39

4

)−3= 0.02879 m/m

27

Ejemplo reaccion de la subrasante lineal

La longitud crıtica del pilote viene dada por la ecuacion (1.16), mientras que la deflexionu, y el giro θ por las ecuaciones (1.17) y (1.18) respectivamente. El factor n en este caso esigual a 2 MPa/m.

Lc = 4

[2.1 · 1010 · 187 · 10−5

2 · 105

]1/5= 2.87 m

u = 2.43500

2 · 105

(2.87

4

)−2+ 1.62

5000

2 · 105

(2.87

4

)−3= 0.1214 m

θ = 1.62500

2 · 105

(2.87

4

)−3+ 1.73

5000

2 · 105

(2.87

4

)−4= 0.1742 m/m

28

Ejemplo Idealizacion Cantilever

Como primera aproximacion, el largo crıtico del pilote, Lc, puede calcularse como 10d, loque entrega Lc = 10 · 0.6 m = 6.0 m. A partir de la iteracion 2 la longitud crıtica del pilotedebe calcularse como se muestra en la ecuacion (1.22).

Iteracion 1

Lc = 6.0 m

G(z = Lc) = 10 + 4 · 6.0 m = 34 MPa

Gc = 34 · 105 ·(

1 +3 · 0.3

4

)= 4.165 · 106 kg/m2

Iteracion 2

Lc = 0.6 ·(

2.1 · 1010

4.165 · 106

)= 6.86 m

G(z = Lc) = 10 + 4 · 6.86 m = 37.44 MPa

Gc = 37.44 · 105 ·(

1 +3 · 0.3

4

)= 4.5864 · 106 kg/m2

Iteracion 3

Lc = 0.6 ·(

2.1 · 1010

4.5864 · 106

)= 6.67 m

G(z = Lc) = 10 + 4 · 6.67 m = 36.68 MPa

Gc = 36.68 · 105 ·(

1 +3 · 0.3

4

)= 4.4933 · 106 kg/m2

29

Iteracion 4

Lc = 0.6 ·(

2.1 · 1010

4.4933 · 106

)= 6.86 m

Se puede ver que el valor de Lc converge a 6.86 m, por lo cual solo resta calcular la de-flexion y el giro de la cabeza del pilote a partir de las ecuaciones (1.36) y (1.37).

u =

[1/3

0.424

]· 500

3.927 · 107

[6.86

2

]3+

[1/2

0.472

]· 5000

3.927 · 107

[6.86

2

]2=

[0.000920.000925

]m

θ =

[1/2

0.472

]· 500

3.927 · 107

[6.86

2

]2+

[1

0.887

]· 5000

3.927 · 107

[6.86

2

]2=

[0.0015730.001394

]m/m

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Bibliografıa

[1] Fleming, K., Weltman, A., Randolph, M. and Elson, K.,(2009). Piling Enginee-ring, Third Edition. Taylor & Francis.

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